हाल ही में मैंने गणितीय दुनिया की फ्रैक्टल जैसी दिलचस्प वस्तुओं के बारे में सीखा। लेकिन वे केवल गणित में ही मौजूद नहीं हैं। वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। फ्रैक्टल प्राकृतिक हैं. मैं इस लेख में बात करूंगा कि फ्रैक्टल क्या हैं, फ्रैक्टल के प्रकार के बारे में, इन वस्तुओं के उदाहरणों और उनके अनुप्रयोगों के बारे में। आरंभ करने के लिए, मैं आपको संक्षेप में बताऊंगा कि फ्रैक्टल क्या है।

फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस - कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, अर्थात यह कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है। व्यापक अर्थ में, फ्रैक्टल्स को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है जिसमें एक आंशिक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल एक से अलग एक मीट्रिक आयाम होता है। उदाहरण के तौर पर, मैं चार अलग-अलग भग्नों को दर्शाने वाला एक चित्र डालूंगा।

मैं आपको फ्रैक्टल के इतिहास के बारे में थोड़ा बताऊंगा। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामरों के बीच मजबूती से स्थापित हो गई हैं। शब्द "फ्रैक्टल" बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए गढ़ा गया था, जिनसे उनका संबंध था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर 1977 में मैंडलब्रोट की पुस्तक द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर के प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया था (पोंकारे, फतौ, जूलिया, कैंटर, हॉसडॉर्फ)। लेकिन केवल हमारे समय में ही उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव हो पाया है।

फ्रैक्टल के बहुत सारे उदाहरण हैं, क्योंकि, जैसा कि मैंने कहा, वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। मेरी राय में, हमारा संपूर्ण ब्रह्मांड भी एक विशाल भग्न है। आख़िरकार, इसमें सब कुछ, परमाणु की संरचना से लेकर ब्रह्मांड की संरचना तक, बिल्कुल एक दूसरे को दोहराता है। लेकिन निस्संदेह, विभिन्न क्षेत्रों से फ्रैक्टल के अधिक विशिष्ट उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल जटिल गतिशीलता में मौजूद होते हैं। वो वहां थे अरेखीय अध्ययन करते समय स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं गतिशील प्रणालियाँ. सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला मामला वह है जब गतिशील प्रणाली को बहुपद या होलोमोर्फिक के पुनरावृत्तियों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है चरों के एक परिसर का कार्यसतह पर. इस प्रकार के कुछ सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल जूलिया सेट, मैंडेलब्रॉट सेट और न्यूटन पूल हैं। नीचे, क्रम से, चित्र उपरोक्त प्रत्येक भग्न को दर्शाते हैं।

फ्रैक्टल का एक अन्य उदाहरण फ्रैक्टल वक्र है। फ्रैक्टल वक्रों के उदाहरण का उपयोग करके फ्रैक्टल का निर्माण कैसे किया जाए, यह समझाना सबसे अच्छा है। इनमें से एक वक्र तथाकथित कोच स्नोफ्लेक है। एक सरल हैसमतल पर फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने की प्रक्रिया। आइए हम सीमित संख्या में लिंक वाली एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करें, जिसे जनरेटर कहा जाता है। इसके बाद, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदल देते हैं। परिणामी टूटी हुई लाइन में, हम फिर से प्रत्येक खंड को जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक चलते रहने पर सीमा में हमें एक भग्न वक्र प्राप्त होता है। नीचे कोच स्नोफ्लेक (या कर्व) है।

फ्रैक्टल वक्रों की भी एक विशाल विविधता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध पहले से ही उल्लिखित कोच स्नोफ्लेक, साथ ही लेवी वक्र, मिन्कोव्स्की वक्र, ड्रैगन की टूटी हुई रेखा, पियानो वक्र और पायथागॉरियन पेड़ हैं। मुझे लगता है कि यदि आप चाहें तो आप विकिपीडिया पर इन भग्नों की छवि और उनका इतिहास आसानी से पा सकते हैं।

फ्रैक्टल का तीसरा उदाहरण या प्रकार स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल हैं। ऐसे भग्नों में ब्राउनियन गति का प्रक्षेप पथ शामिल है विमान पर और अंतरिक्ष में, श्राम-लॉनर विकास, विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक फ्रैक्टल, यानी, एक पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त फ्रैक्टल जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है।

विशुद्ध गणितीय भग्न भी हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, कैंटर सेट, मेन्जर स्पंज, सीरपिंस्की ट्रायंगल और अन्य।

लेकिन शायद सबसे दिलचस्प फ्रैक्टल प्राकृतिक हैं। प्राकृतिक फ्रैक्टल प्रकृति की वस्तुएं हैं जिनमें फ्रैक्टल गुण होते हैं। और यहाँ सूची पहले से ही बड़ी है। मैं सब कुछ सूचीबद्ध नहीं करूंगा, क्योंकि उन सभी को सूचीबद्ध करना शायद असंभव है, लेकिन मैं आपको कुछ के बारे में बताऊंगा। उदाहरण के लिए, जीवित प्रकृति में, ऐसे भग्नों में हमारा संचार तंत्र और फेफड़े शामिल हैं। और पेड़ों के मुकुट और पत्ते भी। इसमें तारामछली, समुद्री अर्चिन, मूंगा, समुद्री सीपियां और पत्तागोभी या ब्रोकोली जैसे कुछ पौधे भी शामिल हैं। जीवित प्रकृति के ऐसे कई प्राकृतिक भग्न स्पष्ट रूप से नीचे दिखाए गए हैं।

यदि हम निर्जीव प्रकृति पर विचार करें तो जीवित प्रकृति की तुलना में वहां बहुत अधिक दिलचस्प उदाहरण हैं। बिजली, बर्फ के टुकड़े, बादल, जो सभी को अच्छी तरह से ज्ञात हैं, ठंढे दिनों में खिड़कियों पर पैटर्न, क्रिस्टल, पर्वत श्रृंखलाएं - ये सभी निर्जीव प्रकृति से प्राकृतिक भग्न के उदाहरण हैं।

हमने फ्रैक्टल के उदाहरण और प्रकार देखे। जहाँ तक फ्रैक्टल्स के उपयोग की बात है, इनका उपयोग ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखने की प्रक्रिया, लपटें, बादल आदि को मॉडलिंग करते हैं। फ्रैक्टल का उपयोग छिद्रपूर्ण सामग्री को मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंग प्रणालियों (रक्त वाहिका प्रणाली) का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना में इसका उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था। फ्रैक्टल्स का उपयोग रेडियो इंजीनियरिंग, सूचना विज्ञान और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, दूरसंचार और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र में भी सक्रिय रूप से किया जाता है। और, निःसंदेह, आधुनिक कला और वास्तुकला में फ्रैक्टल दृष्टि का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। यहां फ्रैक्टल पैटर्न का एक उदाहरण दिया गया है:

और इसलिए, इसके साथ मैं फ्रैक्टल जैसी असामान्य गणितीय घटना के बारे में अपनी कहानी पूरी करने के बारे में सोचता हूं। आज हमने जाना कि फ्रैक्टल क्या है, यह कैसे दिखाई देता है, फ्रैक्टल के प्रकार और उदाहरणों के बारे में। मैंने उनके अनुप्रयोग के बारे में भी बात की और कुछ भग्नों का दृश्य रूप से प्रदर्शन किया। मुझे आशा है कि आपने अद्भुत और आकर्षक भग्न वस्तुओं की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का आनंद लिया।

7वीं कक्षा की छात्रा पोलिना कार्प्युक द्वारा पूरा किया गया

प्रियोडा स्व-समान आकृतियों से बनाया गया है, हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। इस गैलरी में हमने ऐसी छवियां एकत्र की हैं जिनमें फ्रैक्चर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

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प्रकृति में भग्न पूर्ण द्वारा: 7वीं "बी" कक्षा की छात्रा पोलीना कारप्युक पर्यवेक्षक: मोलचानोवा इरीना पावलोवना रूबतसोव्स्क-2015

सही ढंग से देखने पर गणित न केवल सत्य, बल्कि अतुलनीय सौंदर्य को भी दर्शाता है। बर्ट्रेंड रसेल

एक पेड़, एक समुद्र तट, एक बादल, या हमारे हाथ की रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? संरचना का एक गुण है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में अंतर्निहित है: वे स्व-समान हैं। एक शाखा से, जैसे कि एक पेड़ के तने से, छोटे-छोटे अंकुर निकलते हैं, उनसे और भी छोटे अंकुर निकलते हैं, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को इसी तरह से संरचित किया जाता है: धमनियां धमनियों से निकलती हैं, और उनमें से सबसे छोटी केशिकाएं होती हैं जिनके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने वस्तुओं के इस गुण को भग्नता कहा है, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - भग्न कहा है। शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से अनुवाद "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में किया गया है, और जहां तक ​​इस शब्द की सामग्री का सवाल है, ऐसा कोई सूत्रीकरण नहीं है। इसे आमतौर पर एक स्व-समान सेट, संपूर्ण का एक हिस्सा, के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना को दोहराता है। .

पृथ्वी के परिदृश्यों की अंतरिक्ष तस्वीरें अक्सर फ्रैक्टल के उत्कृष्ट उदाहरण प्रदान करती हैं।

तटरेखाओं का आकार आमतौर पर भग्न होता है, लेकिन वे ऊबड़-खाबड़ होने की मात्रा में भिन्न-भिन्न होते हैं। यह उदाहरण प्राकृतिक फ्रैक्टल्स के दो विशिष्ट गुणों को दर्शाता है: व्यक्तिगत चैनल एक-दूसरे की नकल नहीं हैं, बल्कि समान घुमावदार रूपरेखा रखते हैं, जैसे कि वे एक ही पैटर्न द्वारा खींचे गए हों। बड़ी नलिकाएं छोटी और बहुत छोटी नलिकाओं की रूपरेखा के समान होती हैं। यदि हम, उदाहरण के लिए, चित्र के निचले बाएँ कोने को बड़ा करते हैं, तो हमें संपूर्ण चित्र के समान कुछ मिलेगा

जल और भूमि की परस्पर क्रिया परिदृश्यों में भग्न संरचनाओं को जन्म देती है - चाहे वे पहाड़ हों, नदियाँ हों या समुद्र तट हों।

जापानी कलाकार होकुसाई की पेंटिंग "द ग्रेट वेव" को शायद हर कोई जानता है, जहां फ़ूजी की पृष्ठभूमि में सुनामी लहर को दर्शाया गया है। यदि आप इस चित्र को करीब से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि एक लहर की शिखा बनाते समय, कलाकार ने एक भग्न का उपयोग किया था, जैसे कि इसमें कई शिकारी पानी के पंजे हों। इसलिए, इस चित्र का उपयोग अक्सर अराजकता सिद्धांत और फ्रैक्टल पर पुस्तकों के लिए एक चित्रण के रूप में किया जाता है।

जब रेत का टीला पानी से नष्ट हो जाता है, तो यह छोटे पैमाने पर उसकी प्रतिकृति बनाता है जो पृथ्वी के बड़े परिदृश्यों को भग्न आकार देता है।

बिजली का गिरना प्राकृतिक भग्न का एक उदाहरण है।

यह चित्र न केवल पेड़ों के मुकुटों की भग्न प्रकृति को दर्शाता है, बल्कि यह एक और दिलचस्प विचार का सुझाव देता है: एक जैविक समुदाय के रूप में जंगल भी एक भग्न है। व्यक्तिगत पेड़ - बड़े और छोटे - फिर भग्न की शाखाओं के रूप में कार्य करते हैं। वे समान हैं, लेकिन एक-दूसरे को दोहराते नहीं हैं।

पत्ती शिराएँ एक चपटी प्राकृतिक भग्न होती हैं। प्रत्येक पौधे के लिए, विशिष्ट पैटर्न अद्वितीय होता है, जैसे किसी व्यक्ति के हाथ पर पैपिलरी पैटर्न अद्वितीय होता है। गोएथे (कवि और वैज्ञानिक) का मानना ​​था कि पत्ती पौधे का सबसे अभिव्यंजक हिस्सा है, जो इसकी संपूर्ण आकृति विज्ञान को दर्शाता है।

फ़र्न प्राकृतिक फ्रैक्टल का एक उदाहरण है जो कंप्यूटर फ्रैक्टल के समान है। इसके अलावा, वे इसलिए भी दिलचस्प हैं क्योंकि फर्न विभिन्न काई और अन्य निचले पौधों के साथ-साथ सबसे अधिक विकासवादी प्राचीन पौधों में से एक है।

यह प्राकृतिक फ्रैक्टल का एक और प्रसिद्ध और बहुत प्रभावशाली उदाहरण है जिसके गणितीय रूप से स्पष्ट रूप हैं। स्व-समान सरल पिरामिड रोमनस्को गोभी के कम से कम तीन स्तर हैं

एक जादुई सुंदर फ्रैक्टल जो कुछ कलाकारों को प्रेरित कर सकता है। इस बीच, ध्यान से देखें: यह सिर्फ पत्तागोभी के पत्तों का एक कड़ा गुच्छा है।

ये खनिज जगत में भग्न संरचना के दिलचस्प उदाहरण हैं। कार्बोनेट एपेटाइट गोल्ड नगेट प्रकृति द्वारा निर्मित एक उत्कृष्ट खजाना है।

क्या आपने कभी सोचा है कि हम सचमुच फ्रैक्टल में सोचते हैं? यहां सोचने लायक बात है - कौन तर्क देगा कि मस्तिष्क प्रकृति की सबसे अद्भुत और अनोखी रचनाओं में से एक है। और यह पता चला है कि बाह्य रूप से इसमें वायुमंडलीय बादलों या बिछुआ की जड़ प्रणाली के समान भग्न विशेषताएं हैं।

यहां सब कुछ और भी जटिल है: दो अलग-अलग फ्रैक्टल पेड़ आपस में जुड़े हुए हैं - एक को शिरापरक रक्त की आपूर्ति की जाती है, और दूसरे को ऑक्सीजन-समृद्ध धमनी रक्त की आपूर्ति की जाती है। और कुल मिलाकर, फेफड़ा तीन भग्नों की एक आश्चर्यजनक रूप से जटिल प्रणाली है - एक श्वसन और दो परिसंचरण।

रेटिना में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं होती हैं जो हमें देखने की अनुमति देती हैं। इस फोटो में वे पीले-हरे रंग के हैं। वे एक नेटवर्क (रेटिना) बनाते हैं, लेकिन यह नेटवर्क अव्यवस्थित और भग्न है।

यह सुअर का पेट है. उसके रंग के धब्बे भी भग्न नियमों का पालन करते प्रतीत होते हैं। यह एक दिलचस्प विषय है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इसमें सैन्य महत्व सहित कई अनुप्रयोग हैं। किस नियम के अनुसार छलावरण पैटर्न तैयार किया जाना चाहिए ताकि इसे पहनने वाला प्राकृतिक रूपों - परिदृश्य और वनस्पति के साथ घुलमिल जाए?

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!!!

फ्रैक्टल के रूप में जानी जाने वाली गणितीय आकृतियाँ प्रख्यात वैज्ञानिक बेनोइट मैंडेलब्रॉट की प्रतिभा से उत्पन्न हुई हैं। उन्होंने अपना अधिकांश जीवन संयुक्त राज्य अमेरिका में बिताया, जहाँ उन्होंने येल विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाया। 1977 और 1982 में, मैंडेलब्रॉट ने "फ्रैक्टल ज्योमेट्री" या "प्रकृति की ज्यामिति" के अध्ययन के लिए समर्पित वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित किए, जिसमें उन्होंने प्रतीत होता है कि यादृच्छिक गणितीय रूपों को घटक तत्वों में तोड़ दिया, जो करीब से निरीक्षण करने पर, दोहराए जाने वाले निकले - जो नकल के लिए किसी प्रकार के पैटर्न के अस्तित्व को साबित करता है। मैंडेलब्रॉट की खोज के भौतिकी, खगोल विज्ञान और जीव विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण सकारात्मक परिणाम हुए।

फ्रैक्टल कैसे काम करता है?

फ्रैक्टल (लैटिन "फ्रैक्टस" से - टूटा हुआ, कुचला हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जो भागों के कई अनंत अनुक्रमों से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान होती है, और स्केल घटने पर दोहराई जाती है।

सभी पैमानों पर फ्रैक्टल की संरचना गैर-तुच्छ है। यहां हमें यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि इसका क्या मतलब है। इसलिए, नियमित आंकड़े, जैसे कि एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त या एक सुचारू कार्य का ग्राफ, इस तरह से व्यवस्थित किए जाते हैं कि पर्याप्त बड़े पैमाने पर एक नियमित आंकड़े के एक छोटे टुकड़े पर विचार करते समय, यह एक टुकड़े के समान होगा एक सीधी पंक्ति। फ्रैक्टल्स के लिए, पैमाने में वृद्धि से आकृति की संरचना का सरलीकरण नहीं होता है, और सभी पैमानों पर हम एक समान रूप से जटिल तस्वीर देखते हैं।

प्रकृति में, कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़ के मुकुट, फूलगोभी, बादल, मनुष्यों और जानवरों की परिसंचरण और वायुकोशीय प्रणाली, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े, जिनके तत्व एक जटिल संरचना में व्यवस्थित होते हैं, समुद्र तट (भग्न अवधारणा की अनुमति है) वैज्ञानिक ब्रिटिश द्वीपों की तटरेखा और अन्य पहले मापी न जा सकने वाली वस्तुओं को मापेंगे)।

आइए फूलगोभी की संरचना पर नजर डालें। यदि आप फूलों में से एक को काटते हैं, तो यह स्पष्ट है कि वही फूलगोभी आपके हाथों में रहती है, केवल आकार में छोटी। हम बार-बार काट सकते हैं, यहां तक ​​कि माइक्रोस्कोप के नीचे भी - लेकिन हमें फूलगोभी की छोटी-छोटी प्रतियां ही मिलती हैं। इस सरलतम मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में भी संपूर्ण अंतिम संरचना के बारे में जानकारी होती है।

प्रकृति में फ्रैक्टल का एक उल्लेखनीय उदाहरण "रोमनेस्कु" है, जिसे "रोमनेस्कु ब्रोकोली" या "कोरल फूलगोभी" भी कहा जाता है। इस विदेशी सब्जी का पहला उल्लेख 16वीं शताब्दी में इटली में मिलता है। इस गोभी की कलियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ती हैं। 3डी कलाकार, डिज़ाइनर और शेफ उसकी प्रशंसा करना कभी नहीं छोड़ते। इसके अलावा, उत्तरार्द्ध, विशेष रूप से गोभी के सबसे परिष्कृत स्वाद (मीठा और पौष्टिक, गंधक नहीं) के लिए सब्जी को महत्व देते हैं, और इस तथ्य के लिए कि यह सामान्य फूलगोभी की तुलना में कम कुरकुरी होती है। इसके अलावा, रोमेन ब्रोकोली विटामिन सी, एंटीऑक्सिडेंट और कैरोटीनॉयड से भरपूर होती है।

डिजिटल प्रौद्योगिकी में भग्न

फ्रैक्टल ज्योमेट्री ने डिजिटल संगीत के क्षेत्र में नई तकनीकों के विकास में अमूल्य योगदान दिया है, और डिजिटल छवियों को संपीड़ित करना भी संभव बनाया है। मौजूदा फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम डिजिटल छवि के बजाय संपीड़ित छवि को संग्रहीत करने के सिद्धांत पर आधारित हैं। संपीड़ित छवि के लिए, मुख्य छवि एक निश्चित बिंदु बनी रहती है। माइक्रोसॉफ्ट ने अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग किया था, लेकिन किसी न किसी कारण से इस विचार का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

नेटवर्क नोड्स "नेटसुकुकु" के बारे में जानकारी के कॉम्पैक्ट भंडारण के लिए सूचना के फ्रैक्टल संपीड़न के सिद्धांत का उपयोग सिस्टम द्वारा आईपी पते निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में 4 किलोबाइट जानकारी संग्रहीत करता है। कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य इंटरनेट से जुड़ता है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूचना के फ्रैक्टल संपीड़न का सिद्धांत पूरे नेटवर्क के विकेंद्रीकृत संचालन को सुनिश्चित करता है, और इसलिए इसमें काम यथासंभव स्थिरता से आगे बढ़ता है।

फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग किया जाता है - पेड़ों, झाड़ियों, समुद्री सतहों, पहाड़ी परिदृश्यों और अन्य प्राकृतिक वस्तुओं की छवियों का निर्माण करते समय। फ्रैक्टल ग्राफिक्स के लिए धन्यवाद, जटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं को लागू करने के लिए एक प्रभावी तरीका ईजाद किया गया था जिनकी छवियां प्राकृतिक वस्तुओं के समान हैं: ये फ्रैक्टल गुणांक को संश्लेषित करने के लिए एल्गोरिदम हैं, जो किसी भी तस्वीर की प्रतिलिपि को जितना संभव हो उतना करीब से पुन: पेश करना संभव बनाते हैं। मूल। दिलचस्प बात यह है कि फ्रैक्टल "पेंटिंग" के अलावा, फ्रैक्टल संगीत और फ्रैक्टल एनीमेशन भी हैं। ललित कलाओं में, एक दिशा है जो एक यादृच्छिक फ्रैक्टल की छवि प्राप्त करने से संबंधित है - "फ्रैक्टल मोनोटाइप" या "स्टोचैटिपी"।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स का गणितीय आधार फ्रैक्टल ज्यामिति है, जहां मूल "मूल वस्तुओं" से विरासत का सिद्धांत "उत्तराधिकारी छवियों" के निर्माण के तरीकों का आधार है। फ्रैक्टल ज्योमेट्री और फ्रैक्टल ग्राफिक्स की अवधारणाएं लगभग 30 साल पहले ही सामने आईं, लेकिन कंप्यूटर डिजाइनरों और गणितज्ञों के रोजमर्रा के जीवन में पहले ही मजबूती से स्थापित हो चुकी हैं।

फ्रैक्टल कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की मूल अवधारणाएँ हैं:

• भग्न त्रिभुज - भग्न आकृति - भग्न वस्तु (अवरोही क्रम में पदानुक्रम)
• भग्न रेखा
• भग्न रचना
• "मूल वस्तु" और "उत्तराधिकारी वस्तु"

वेक्टर और त्रि-आयामी ग्राफिक्स की तरह, फ्रैक्टल छवियों के निर्माण की गणना गणितीय रूप से की जाती है। पहले दो प्रकार के ग्राफ़िक्स से मुख्य अंतर यह है कि एक फ्रैक्टल छवि एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुसार बनाई जाती है - आपको सभी गणना करने के लिए कंप्यूटर की मेमोरी में सूत्र के अलावा कुछ भी संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है - और यह गणितीय उपकरण की सघनता ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस विचार के उपयोग की अनुमति दी। बस समीकरण के गुणांकों को बदलकर, आप आसानी से एक पूरी तरह से अलग फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं - कई गणितीय गुणांकों का उपयोग करके, बहुत जटिल आकृतियों की सतहों और रेखाओं को निर्दिष्ट किया जाता है, जो आपको क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, समरूपता और विषमता जैसी संरचना तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। , विकर्ण दिशाएँ और भी बहुत कुछ।

फ्रैक्टल का निर्माण कैसे करें?

फ्रैक्टल्स का निर्माता एक ही समय में एक कलाकार, फोटोग्राफर, मूर्तिकार और वैज्ञानिक-आविष्कारक की भूमिका निभाता है। स्क्रैच से चित्र बनाने के आगामी चरण क्या हैं?

• गणितीय सूत्र का उपयोग करके चित्र का आकार निर्धारित करें
• प्रक्रिया के अभिसरण की जांच करें और इसके मापदंडों में बदलाव करें
• छवि प्रकार चुनें
• एक रंग पैलेट चुनें

आइए एक मनमाना भग्न ज्यामितीय आकृति की संरचना पर विचार करें। इसके केंद्र में सबसे सरल तत्व है - एक समबाहु त्रिभुज, जिसे एक ही नाम मिला: "फ्रैक्टल"। भुजाओं के मध्य खंड पर, हम समबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंगे जिसकी भुजा मूल भग्न त्रिभुज की भुजा के एक तिहाई के बराबर होगी। उसी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दूसरी पीढ़ी के और भी छोटे उत्तराधिकारी त्रिकोण बनाए जाते हैं - और इसी तरह अनंत काल तक। परिणामी वस्तु को "फ्रैक्टल फिगर" कहा जाता है, जिसके अनुक्रम से हमें "फ्रैक्टल संरचना" प्राप्त होती है।

फ्रैक्टल ग्राफिक संपादकों और अन्य ग्राफिक कार्यक्रमों में हम निम्नलिखित पर प्रकाश डाल सकते हैं:

"आर्ट डब्बलर"
"पेंटर" (कंप्यूटर के बिना, कोई भी कलाकार केवल पेंसिल और ब्रश पेन के माध्यम से प्रोग्रामर द्वारा निर्धारित क्षमताओं को प्राप्त नहीं कर पाएगा)
"एडोब फोटोशॉप" (लेकिन यहां छवि "स्क्रैच से" नहीं बनाई गई है, बल्कि, एक नियम के रूप में, केवल संसाधित की गई है)

वैज्ञानिक आश्वस्त हैं कि प्रकृति एक आदर्श रचना है, जो मानव शरीर की संरचना में सुनहरे खंड के अनुपात और फूलगोभी के सिर में भग्न आकृतियों की खोज करते हैं।

"प्रकृति के अध्ययन और अवलोकन ने विज्ञान को जन्म दिया," सिसरो ने पहली शताब्दी ईसा पूर्व में लिखा था। बाद के समय में, विज्ञान के विकास और प्रकृति के अध्ययन से इसकी दूरी के साथ, वैज्ञानिकों को यह जानकर आश्चर्य हुआ कि हमारे पूर्वजों को क्या पता था, लेकिन वैज्ञानिक तरीकों से इसकी पुष्टि नहीं की गई थी।

सूक्ष्म और स्थूल जगत में समान संरचनाओं को खोजना दिलचस्प है; यह प्रेरणादायक भी हो सकता है कि विज्ञान इन संरचनाओं की ज्यामिति का वर्णन कर सकता है। परिसंचरण तंत्र, एक नदी, बिजली, पेड़ की शाखाएँ... ये सभी समान प्रणालियाँ हैं, जिनमें विभिन्न कण और अलग-अलग पैमाने शामिल हैं।

"स्वर्णिम अनुपात" का अनुपात

यहां तक ​​कि प्राचीन यूनानी और संभवतः मिस्रवासी भी "स्वर्ण खंड" के अनुपात को जानते थे। पुनर्जागरण गणितज्ञ लुका पैसिओली ने इस अनुपात को "दिव्य अनुपात" कहा। बाद में, वैज्ञानिकों ने पता लगाया कि सुनहरा अनुपात, जो मानव आंखों को बहुत भाता है और जो अक्सर शास्त्रीय वास्तुकला, कला और यहां तक ​​कि कविता में पाया जाता है, प्रकृति में हर जगह पाया जा सकता है।

सुनहरा अनुपात एक खंड का दो असमान भागों में विभाजन है, जिसमें छोटा हिस्सा लंबे हिस्से से संबंधित होता है और लंबा हिस्सा पूरे खंड से संबंधित होता है। पूरे खंड के लंबे भाग का अनुपात एक अनंत संख्या है, एक अपरिमेय अंश 0.618... है, छोटे भाग का अनुपात 0.382 है...

यदि आप भुजाओं वाला एक आयत बनाते हैं जिसका अनुपात "स्वर्ण अनुपात" के अनुपात के बराबर है, और उसमें एक और "सुनहरा आयत" अंकित करते हैं, उस एक में एक और, और इसी तरह अंदर और बाहर अनंत काल तक, तो एक सर्पिल बन सकता है आयतों के कोने बिंदुओं के अनुदिश खींचे जाएं। यह दिलचस्प है कि ऐसा सर्पिल नॉटिलस शेल के कट के साथ-साथ प्रकृति में पाए जाने वाले अन्य सर्पिलों के साथ मेल खाएगा।

चित्रण: Homk/wikipedia.org

नॉटिलस जीवाश्म.
फ़ोटो: Studio-Annika/Photos.com

नॉटिलस शैल।
फोटो: क्रिस 73/en.wikipedia.org

सुनहरे अनुपात का अनुपात मानव आँख द्वारा सुंदर और सामंजस्यपूर्ण माना जाता है। और अनुपात 0.618... फाइबोनैचि श्रृंखला में पिछली संख्या से अगली संख्या के अनुपात के बराबर है। फाइबोनैचि संख्याएं प्रकृति में हर जगह दिखाई देती हैं: यह वह सर्पिल है जिसके साथ पौधे की शाखाएं तने से जुड़ी होती हैं, वह सर्पिल जिसके साथ पाइन शंकु पर तराजू बढ़ते हैं या सूरजमुखी पर दाने होते हैं। दिलचस्प बात यह है कि वामावर्त और दक्षिणावर्त घूमने वाली पंक्तियों की संख्या फाइबोनैचि श्रृंखला में आसन्न संख्याएँ हैं।

ब्रोकोली गोभी का सिर और एक मेढ़े का सींग एक सर्पिल में घूमता है... और मानव शरीर में ही, निश्चित रूप से, स्वस्थ और सामान्य अनुपात में, सुनहरे अनुपात अनुपात पाए जाते हैं।

विट्रुवियन पुरुष। लियोनार्डो दा विंची द्वारा चित्रण।

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... फाइबोनैचि श्रृंखला की संख्याएँ हैं, जिनमें प्रत्येक अगला पद पिछले दो के योग से प्राप्त होता है। उपग्रहों द्वारा खींची गई दूर की सर्पिल आकाशगंगाएँ भी फाइबोनैचि सर्पिल में घूमती हैं।

सर्पिल आकाशगंगा.
फोटो: नासा

तीन उष्णकटिबंधीय चक्रवात.
फोटो: नासा

डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है।

विकृत मानव डीएनए.
चित्रण: Zephyris/en.wikipedia.org

तूफान एक सर्पिल में घूमता है, मकड़ी एक सर्पिल में अपना जाल बुनती है।

एक क्रॉस मकड़ी का जाल.
फोटो: विंसेंट डी ग्रूट/वीडियोग्रो.नेट

"सुनहरा अनुपात" तितली की शारीरिक संरचना में, उसके शरीर के वक्ष और पेट के हिस्सों के साथ-साथ ड्रैगनफ्लाई में भी देखा जा सकता है। और अधिकांश अंडे फिट होते हैं, यदि सुनहरे अनुपात के आयत में नहीं, तो उसके व्युत्पन्न में।

चित्रण: एडोल्फ मिलोट

भग्न

अन्य दिलचस्प आकृतियाँ जिन्हें हम प्रकृति में हर जगह देख सकते हैं वे हैं भग्न। फ्रैक्टल भागों से बनी आकृतियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान है - क्या यह आपको सुनहरे अनुपात के सिद्धांत की याद नहीं दिलाता है?

पेड़, बिजली, ब्रांकाई और मानव संचार प्रणाली का एक भग्न आकार होता है; फर्न और ब्रोकोली को भग्न का आदर्श प्राकृतिक चित्रण भी कहा जाता है। "सब कुछ इतना जटिल है, सब कुछ इतना सरल है" प्रकृति में व्यवस्थित है, लोग इसे नोटिस करते हैं, इसे सम्मान के साथ सुनते हैं।

सिसरो ने लिखा, "प्रकृति ने मनुष्य को सत्य की खोज करने की इच्छा प्रदान की है, जिनके शब्दों के साथ मैं प्रकृति में ज्यामिति पर लेख के पहले भाग को समाप्त करना चाहूंगा।"

ब्रोकोली फ्रैक्टल का एक आदर्श प्राकृतिक चित्रण है।
फोटो: pdfphoto.org

फ़र्न की पत्तियों का आकार भग्न आकृति जैसा होता है - वे स्व-समान होते हैं।
फोटो: Stockbyte/Photos.com

हरे फ्रैक्टल: फ़र्न की पत्तियाँ।
फोटो: जॉन फॉक्स/Photos.com

पीले पत्ते पर नसें, भग्न के आकार की।
फोटो: डिएगो बारुको/Photos.com

पत्थर पर दरारें: मैक्रो में भग्न।
फोटो: बॉब बील/Photos.com

खरगोश के कानों पर परिसंचरण तंत्र की शाखाएँ।
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बिजली का गिरना - भग्न शाखा।
फोटो: जॉन आर. साउदर्न/flickr.com

मानव शरीर में धमनियों की शाखा.

घुमावदार नदी और उसकी शाखाएँ.
फोटो: ज्यूपिटरइमेजेज/फोटोज.कॉम

कांच पर जमी बर्फ का पैटर्न स्व-समान होता है।
फ़ोटो: Schnobby/en.wikipedia.org

शाखाओं वाली शिराओं वाली एक आइवी पत्ती - आकार में भग्न।
फोटो: वोज्शिएच प्लोंका/फोटो.कॉम

फ्रैक्टल की खोज कैसे हुई

फ्रैक्टल के रूप में जानी जाने वाली गणितीय आकृतियाँ प्रख्यात वैज्ञानिक बेनोइट मैंडेलब्रॉट की प्रतिभा से उत्पन्न हुई हैं। अपने जीवन के अधिकांश समय उन्होंने अमेरिका के येल विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाया। 1977 - 1982 में, मैंडेलब्रॉट ने "फ्रैक्टल ज्योमेट्री" या "प्रकृति की ज्यामिति" के अध्ययन के लिए समर्पित वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित किए, जिसमें उन्होंने प्रतीत होता है कि यादृच्छिक गणितीय रूपों को घटक तत्वों में तोड़ दिया, जो बारीकी से जांच करने पर, दोहराए जाने वाले निकले - जो नकल के लिए एक निश्चित मॉडल की उपस्थिति साबित हुई। मैंडेलब्रॉट की खोज का भौतिकी, खगोल विज्ञान और जीव विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण परिणाम हुआ।

प्रकृति में भग्न

प्रकृति में, कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़ के मुकुट, फूलगोभी, बादल, मनुष्यों और जानवरों की परिसंचरण और वायुकोशीय प्रणाली, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े, जिनके तत्व एक जटिल संरचना में व्यवस्थित होते हैं, समुद्र तट (भग्न अवधारणा की अनुमति है) वैज्ञानिक ब्रिटिश द्वीपों की तटरेखा और अन्य पहले मापी न जा सकने वाली वस्तुओं को मापेंगे)।

आइए फूलगोभी की संरचना पर नजर डालें। यदि आप फूलों में से एक को काटते हैं, तो यह स्पष्ट है कि वही फूलगोभी आपके हाथों में रहती है, केवल आकार में छोटी। हम बार-बार काट सकते हैं, यहां तक ​​कि माइक्रोस्कोप के नीचे भी - लेकिन हमें फूलगोभी की छोटी-छोटी प्रतियां ही मिलती हैं। इस सरलतम मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में भी संपूर्ण अंतिम संरचना के बारे में जानकारी होती है।

डिजिटल प्रौद्योगिकी में भग्न

फ्रैक्टल ज्योमेट्री ने डिजिटल संगीत के क्षेत्र में नई तकनीकों के विकास में अमूल्य योगदान दिया है, और डिजिटल छवियों को संपीड़ित करना भी संभव बनाया है। मौजूदा फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम डिजिटल छवि के बजाय संपीड़ित छवि को संग्रहीत करने के सिद्धांत पर आधारित हैं। संपीड़ित छवि के लिए, मुख्य छवि एक निश्चित बिंदु बनी रहती है। माइक्रोसॉफ्ट ने अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग किया था, लेकिन किसी न किसी कारण से इस विचार का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स का गणितीय आधार फ्रैक्टल ज्यामिति है, जहां मूल "मूल वस्तुओं" से विरासत का सिद्धांत "उत्तराधिकारी छवियों" के निर्माण के तरीकों का आधार है। फ्रैक्टल ज्योमेट्री और फ्रैक्टल ग्राफिक्स की अवधारणाएं लगभग 30 साल पहले ही सामने आईं, लेकिन कंप्यूटर डिजाइनरों और गणितज्ञों के रोजमर्रा के जीवन में पहले ही मजबूती से स्थापित हो चुकी हैं।

फ्रैक्टल कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की मूल अवधारणाएँ हैं:

• भग्न त्रिभुज - भग्न आकृति - भग्न वस्तु (अवरोही क्रम में पदानुक्रम)
• भग्न रेखा
• भग्न रचना
• "मूल वस्तु" और "उत्तराधिकारी वस्तु"

वेक्टर और त्रि-आयामी ग्राफिक्स की तरह, फ्रैक्टल छवियों के निर्माण की गणना गणितीय रूप से की जाती है। पहले दो प्रकार के ग्राफ़िक्स से मुख्य अंतर यह है कि एक फ्रैक्टल छवि एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुसार बनाई जाती है - आपको सभी गणना करने के लिए कंप्यूटर की मेमोरी में सूत्र के अलावा कुछ भी संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है - और यह गणितीय उपकरण की सघनता ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस विचार के उपयोग की अनुमति दी। बस समीकरण के गुणांकों को बदलकर, आप आसानी से एक पूरी तरह से अलग फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं - कई गणितीय गुणांकों का उपयोग करके, बहुत जटिल आकृतियों की सतहों और रेखाओं को निर्दिष्ट किया जाता है, जो आपको क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, समरूपता और विषमता जैसी संरचना तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। , विकर्ण दिशाएँ और भी बहुत कुछ।

फ्रैक्टल का निर्माण कैसे करें?

फ्रैक्टल्स का निर्माता एक ही समय में एक कलाकार, फोटोग्राफर, मूर्तिकार और वैज्ञानिक-आविष्कारक की भूमिका निभाता है। स्क्रैच से चित्र बनाने के आगामी चरण क्या हैं?

• गणितीय सूत्र का उपयोग करके चित्र का आकार निर्धारित करें
• प्रक्रिया के अभिसरण की जांच करें और इसके मापदंडों में बदलाव करें
• छवि प्रकार चुनें
• एक रंग पैलेट चुनें

फ्रैक्टल ग्राफिक संपादकों और अन्य ग्राफिक कार्यक्रमों में हम निम्नलिखित पर प्रकाश डाल सकते हैं:

• "आर्ट डब्बलर"
• "पेंटर" (कंप्यूटर के बिना, कोई भी कलाकार केवल पेंसिल और ब्रश पेन के माध्यम से प्रोग्रामर द्वारा निर्धारित क्षमताओं को प्राप्त नहीं कर पाएगा)
• "एडोब फोटोशॉप" (लेकिन यहां छवि "स्क्रैच से" नहीं बनाई गई है, बल्कि, एक नियम के रूप में, केवल संसाधित की गई है)

आइए एक मनमाना भग्न ज्यामितीय आकृति की संरचना पर विचार करें। इसके केंद्र में सबसे सरल तत्व है - एक समबाहु त्रिभुज, जिसे एक ही नाम मिला: "फ्रैक्टल"। भुजाओं के मध्य खंड पर, हम समबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंगे जिसकी भुजा मूल भग्न त्रिभुज की भुजा के एक तिहाई के बराबर होगी। उसी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दूसरी पीढ़ी के और भी छोटे उत्तराधिकारी त्रिकोण बनाए जाते हैं - और इसी तरह अनंत काल तक। परिणामी वस्तु को "फ्रैक्टल फिगर" कहा जाता है, जिसके अनुक्रम से हमें "फ्रैक्टल संरचना" प्राप्त होती है।

स्रोत: http://www.iknowit.ru/

भग्न और प्राचीन मंडल

यह धन को आकर्षित करने वाला मंडल है। कहते हैं कि लाल रंग धन चुम्बक की तरह काम करता है। क्या अलंकृत पैटर्न आपको किसी चीज़ की याद नहीं दिलाते? वे मुझे बहुत परिचित लगे और मैंने एक भग्न के रूप में मंडलों पर शोध करना शुरू कर दिया।

सिद्धांत रूप में, मंडल एक जटिल संरचना का एक ज्यामितीय प्रतीक है, जिसकी व्याख्या ब्रह्मांड के एक मॉडल, "ब्रह्मांड के मानचित्र" के रूप में की जाती है। यह भंगुरता का पहला संकेत है!

वे कपड़े पर कढ़ाई की जाती हैं, रेत पर चित्रित की जाती हैं, रंगीन पाउडर से बनाई जाती हैं और धातु, पत्थर, लकड़ी से बनाई जाती हैं। इसका उज्ज्वल और मनमोहक स्वरूप इसे भारत में मंदिरों के फर्श, दीवारों और छत के लिए एक सुंदर सजावट बनाता है। प्राचीन भारतीय भाषा में, "मंडल" का अर्थ ब्रह्मांड की आध्यात्मिक और भौतिक ऊर्जा, या दूसरे शब्दों में, जीवन के फूल के बीच संबंधों का रहस्यमय चक्र है।

मैं फ्रैक्टल मंडलों की एक बहुत ही संक्षिप्त समीक्षा लिखना चाहता था, जिसमें न्यूनतम पैराग्राफ हों, जिससे पता चले कि संबंध स्पष्ट रूप से मौजूद है। हालाँकि, फ्रैक्टल्स और मंडलों के बारे में जानकारी को समझने और एक पूरे में जोड़ने की कोशिश करते हुए, मुझे अपने लिए अज्ञात स्थान में एक क्वांटम छलांग का अहसास हुआ।

मैं इस विषय की विशालता को एक उद्धरण के साथ प्रदर्शित करता हूं: "ऐसी भग्न रचनाओं या मंडलों का उपयोग चित्रों, रहने और काम करने की जगहों के लिए डिजाइन तत्वों, पहनने योग्य ताबीज, वीडियोटेप, कंप्यूटर प्रोग्राम के रूप में किया जा सकता है..." सामान्य तौर पर, फ्रैक्टल्स के अध्ययन का विषय बहुत बड़ा है।

एक बात मैं निश्चित रूप से कह सकता हूं कि दुनिया इसके बारे में हमारे मन में मौजूद खराब विचारों की तुलना में कहीं अधिक विविध और समृद्ध है।

भग्न समुद्री जानवर

फ्रैक्टल समुद्री जानवरों के बारे में मेरे अनुमान निराधार नहीं थे। यहां पहले प्रतिनिधि हैं. ऑक्टोपस सेफलोपोड्स के क्रम से नीचे रहने वाला एक समुद्री जानवर है।

इस फोटो को देखकर, इसके शरीर की भग्न संरचना और इस जानवर के सभी आठ स्पर्शकों पर चूसने वाले मेरे लिए स्पष्ट हो गए। एक वयस्क ऑक्टोपस के तम्बू पर चूसने वालों की संख्या 2000 तक पहुँच जाती है।

एक दिलचस्प तथ्य यह है कि ऑक्टोपस के तीन दिल होते हैं: एक (मुख्य) पूरे शरीर में नीला रक्त चलाता है, और अन्य दो - गलफड़े - रक्त को गलफड़ों के माध्यम से धकेलते हैं। गहरे समुद्र के इन भग्नों के कुछ प्रकार जहरीले होते हैं।

अपने आप को अपने वातावरण के अनुसार ढालकर और छिपाकर, ऑक्टोपस में रंग बदलने की बहुत उपयोगी क्षमता होती है।

ऑक्टोपस को सभी अकशेरुकी जीवों में सबसे "स्मार्ट" माना जाता है। वे लोगों को जानने लगते हैं और उन्हें खाना खिलाने वालों के आदी हो जाते हैं। ऐसे ऑक्टोपस को देखना दिलचस्प होगा जिन्हें प्रशिक्षित करना आसान है, जिनकी याददाश्त अच्छी है और जो ज्यामितीय आकृतियों को भी पहचानते हैं। लेकिन इन भग्न जानवरों का जीवनकाल छोटा होता है - अधिकतम 4 वर्ष।

मनुष्य इस जीवित फ्रैक्टल और अन्य सेफलोपोड्स की स्याही का उपयोग करता है। उनके स्थायित्व और सुंदर भूरे रंग के कारण कलाकारों द्वारा उनकी मांग की जाती है। भूमध्यसागरीय व्यंजनों में, ऑक्टोपस विटामिन बी3, बी12, पोटेशियम, फास्फोरस और सेलेनियम का एक स्रोत है। लेकिन मुझे लगता है कि इन समुद्री फ्रैक्टल्स को भोजन के रूप में खाने का आनंद लेने के लिए आपको यह जानना होगा कि इन्हें कैसे पकाया जाए।

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऑक्टोपस शिकारी होते हैं। अपने भग्न जालों से वे मोलस्क, क्रस्टेशियंस और मछली के रूप में शिकार पकड़ते हैं। यह अफ़सोस की बात है कि इतना सुंदर मोलस्क इन समुद्री जीवों का भोजन बन जाता है। मेरी राय में, वह समुद्री साम्राज्य के भग्नों का एक विशिष्ट प्रतिनिधि भी है।

यह घोंघे का रिश्तेदार है, गैस्ट्रोपॉड न्यूडिब्रांच ग्लौकस, जिसे ग्लौकस के नाम से भी जाना जाता है, जिसे ग्लौकस एटलांटिकस के नाम से भी जाना जाता है, जिसे ग्लौसिला मार्जिनटा के नाम से भी जाना जाता है। यह फ्रैक्टल इस मायने में भी असामान्य है कि यह पानी की सतह के नीचे रहता है और सतह के तनाव के कारण अपनी जगह पर बना रहता है। क्योंकि मोलस्क एक उभयलिंगी है, फिर संभोग के बाद दोनों "साझेदार" अंडे देते हैं। यह भग्न उष्णकटिबंधीय क्षेत्र के सभी महासागरों में पाया जाता है।

समुद्री साम्राज्य के भग्न

हम में से प्रत्येक ने, अपने जीवन में कम से कम एक बार, अपने हाथों में एक समुद्री सीप पकड़ी और वास्तविक बचकानी रुचि के साथ उसकी जांच की।

आमतौर पर सीपियाँ समुद्र की यात्रा की याद दिलाने वाली एक खूबसूरत स्मारिका होती हैं। जब आप अकशेरुकी मोलस्क के इस सर्पिल गठन को देखते हैं, तो इसकी भग्न प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं है।

हम इंसान कुछ हद तक इन नरम शरीर वाले मोलस्क की तरह हैं, जो अच्छी तरह से बने कंक्रीट फ्रैक्टल घरों में रहते हैं, अपने शरीर को तेज कारों में रखते और ले जाते हैं।

भग्न पानी के नीचे की दुनिया का एक और विशिष्ट प्रतिनिधि मूंगा है।
प्रकृति में मूंगों की 3,500 से अधिक किस्में ज्ञात हैं, जिनमें 350 रंगों तक का पैलेट होता है।

मूंगा, मूंगा पॉलीप्स की एक कॉलोनी का कंकाल सामग्री है, जो अकशेरुकी परिवार से भी है। उनका विशाल संचय संपूर्ण प्रवाल भित्तियों का निर्माण करता है, जिसके निर्माण की भग्न विधि स्पष्ट है।

मूंगे को पूरे विश्वास के साथ समुद्री साम्राज्य का एक भग्न कहा जा सकता है।

इसका उपयोग मनुष्यों द्वारा स्मारिका या गहनों और आभूषणों के लिए कच्चे माल के रूप में भी किया जाता है। लेकिन भग्न प्रकृति की सुंदरता और पूर्णता को दोहराना बहुत मुश्किल है।

किसी कारण से, मुझे इसमें कोई संदेह नहीं है कि पानी के नीचे की दुनिया में आपको कई भग्न जानवर भी मिलेंगे।

एक बार फिर, रसोई में चाकू और कटिंग बोर्ड के साथ अनुष्ठान करते हुए, और फिर, चाकू को ठंडे पानी में डुबोते हुए, मेरी आँखों में आँसू आ गए और एक बार फिर मुझे पता चला कि लगभग हर दिन मेरी आँखों के सामने आने वाले आंसू फ्रैक्टल से कैसे निपटना है .

भग्नता का सिद्धांत प्रसिद्ध नेस्टिंग गुड़िया - नेस्टिंग के समान है। यही कारण है कि फ्रैक्चरिटी पर तुरंत ध्यान नहीं दिया जाता है। इसके अलावा, प्रकाश, समान रंग और अप्रिय संवेदना पैदा करने की इसकी प्राकृतिक क्षमता ब्रह्मांड के करीबी अवलोकन और फ्रैक्टल गणितीय पैटर्न की पहचान में योगदान नहीं देती है।

लेकिन बकाइन रंग के सलाद प्याज ने, अपने रंग और आंसू पैदा करने वाले फाइटोनसाइड्स की अनुपस्थिति के कारण, मुझे इस सब्जी की प्राकृतिक भंगुरता के बारे में सोचने पर मजबूर कर दिया। बेशक, यह एक साधारण फ्रैक्टल है, विभिन्न व्यासों के साधारण वृत्त, कोई सबसे आदिम फ्रैक्टल भी कह सकता है। लेकिन यह याद रखने में कोई हर्ज नहीं होगा कि गेंद को हमारे ब्रह्मांड में एक आदर्श ज्यामितीय आकृति माना जाता है।

प्याज के लाभकारी गुणों के बारे में इंटरनेट पर कई लेख प्रकाशित हुए हैं, लेकिन किसी ने भी इस प्राकृतिक नमूने का फ्रैक्चरलिटी के दृष्टिकोण से अध्ययन करने की कोशिश नहीं की है। मैं केवल अपनी रसोई में प्याज के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग करने की उपयोगिता बता सकता हूं।

पी.एस. मैंने फ्रैक्टल काटने के लिए पहले से ही एक सब्जी कटर खरीद लिया है। अब हमें यह सोचना होगा कि साधारण सफेद पत्तागोभी जैसी स्वास्थ्यवर्धक सब्जी कितनी फ्रैक्टल है। घोंसला बनाने का वही सिद्धांत।

लोक कला में भग्न

विश्व प्रसिद्ध मैत्रियोश्का खिलौने की कहानी ने मेरा ध्यान खींचा। करीब से देखने पर, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह स्मारिका खिलौना एक विशिष्ट फ्रैक्टल है।

भग्नता का सिद्धांत तब स्पष्ट होता है जब लकड़ी के खिलौने की सभी आकृतियाँ एक पंक्ति में पंक्तिबद्ध होती हैं और एक दूसरे के अंदर नहीं होती हैं।

विश्व बाज़ार में इस खिलौना फ्रैक्टल की उपस्थिति के इतिहास पर मेरे छोटे से शोध से पता चला कि इस सुंदरता की जड़ें जापानी हैं। मैत्रियोश्का गुड़िया को हमेशा एक मूल रूसी स्मारिका माना गया है। लेकिन यह पता चला कि वह पुराने ऋषि फुकुरुमा की जापानी मूर्ति का प्रोटोटाइप थी, जिसे एक बार जापान से मास्को लाया गया था।

लेकिन यह रूसी खिलौना उद्योग ही था जिसने इस जापानी मूर्ति को दुनिया भर में प्रसिद्धि दिलाई। खिलौने के फ्रैक्टल नेस्टिंग का विचार कहां से आया यह मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से एक रहस्य बना हुआ है। सबसे अधिक संभावना है, इस खिलौने के लेखक ने एक दूसरे के अंदर आकृतियों को घोंसला बनाने के सिद्धांत का उपयोग किया। और निवेश करने का सबसे आसान तरीका विभिन्न आकारों के समान आंकड़े हैं, और यह पहले से ही एक भग्न है।

अध्ययन का एक समान रूप से दिलचस्प उद्देश्य एक फ्रैक्टल खिलौने की पेंटिंग है। यह एक सजावटी पेंटिंग है - खोखलोमा। खोखलोमा के पारंपरिक तत्व फूलों, जामुनों और शाखाओं के हर्बल पैटर्न हैं।

फिर से भंगुरता के सभी लक्षण। आख़िरकार, एक ही तत्व को विभिन्न संस्करणों और अनुपातों में कई बार दोहराया जा सकता है। परिणाम एक लोक फ्रैक्टल पेंटिंग है।

और यदि आप कंप्यूटर चूहों, लैपटॉप कवर और फोन की नई पेंटिंग से किसी को आश्चर्यचकित नहीं करेंगे, तो लोक शैली में कार की फ्रैक्टल ट्यूनिंग ऑटो डिजाइन में कुछ नया है। हमारे जीवन में फ्रैक्टल्स की दुनिया की हमारे लिए ऐसी सामान्य चीज़ों में इतने असामान्य तरीके से प्रकट होने पर कोई भी आश्चर्यचकित हो सकता है।

रसोई में भग्न

हर बार जब मैंने फूलगोभी को उबलते पानी में ब्लांच करने के लिए छोटे-छोटे पुष्पक्रमों में विभाजित किया, तो मैंने कभी भी फ्रैक्चर के स्पष्ट संकेतों पर ध्यान नहीं दिया, जब तक कि यह नमूना मेरे हाथ में नहीं आ गया।

पौधे की दुनिया से एक फ्रैक्टल का एक विशिष्ट प्रतिनिधि मेरी रसोई की मेज पर था।

फूलगोभी के प्रति मेरे पूरे प्यार के साथ, मुझे हमेशा एक समान सतह वाले नमूने मिले, जिनमें भग्नता के कोई स्पष्ट लक्षण दिखाई नहीं देते थे, और यहां तक ​​कि एक-दूसरे के भीतर निहित बड़ी संख्या में पुष्पक्रमों ने भी मुझे इस उपयोगी सब्जी में भग्न देखने का कारण नहीं दिया।

लेकिन स्पष्ट रूप से परिभाषित फ्रैक्टल ज्यामिति के साथ इस विशेष नमूने की सतह ने इस प्रकार की गोभी की फ्रैक्टल उत्पत्ति के बारे में थोड़ा सा भी संदेह नहीं छोड़ा।

हाइपरमार्केट की एक और यात्रा ने केवल गोभी की भग्न स्थिति की पुष्टि की। विदेशी सब्जियों की भारी संख्या के बीच फ्रैक्टल्स का एक पूरा डिब्बा था। यह रोमनस्कु, या रोमनस्क्यू ब्रोकोली, फूलगोभी थी।

यह पता चला है कि डिजाइनर और 3डी कलाकार इसकी विदेशी फ्रैक्टल जैसी आकृतियों की प्रशंसा करते हैं।

पत्तागोभी की कलियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ती हैं। रोमनेस्कु गोभी का पहला उल्लेख 16वीं शताब्दी में इटली से आया था।

और ब्रोकोली गोभी मेरे आहार में बार-बार आने वाली मेहमान नहीं है, हालांकि पोषक तत्वों और सूक्ष्म तत्वों की सामग्री के मामले में यह फूलगोभी से कई गुना बेहतर है। लेकिन इसकी सतह और आकार इतना एक समान है कि मुझे कभी इसमें वनस्पति भग्न देखने का ख्याल ही नहीं आया।

क्विलिंग में फ्रैक्टल

क्विलिंग तकनीक का उपयोग करते हुए ओपनवर्क शिल्प देखने के बाद, मुझे कभी यह एहसास नहीं हुआ कि उन्होंने मुझे कुछ याद दिलाया है। विभिन्न आकारों में समान तत्वों की पुनरावृत्ति, निश्चित रूप से, भग्नता का सिद्धांत है।

क्विलिंग पर एक और मास्टर क्लास देखने के बाद, क्विलिंग की भग्न प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं रह गया था। आखिरकार, क्विलिंग शिल्प के लिए विभिन्न तत्व बनाने के लिए, विभिन्न व्यास के हलकों वाले एक विशेष शासक का उपयोग किया जाता है। उत्पादों की सारी सुंदरता और विशिष्टता के बावजूद, यह एक अविश्वसनीय रूप से सरल तकनीक है।

क्विलिंग शिल्प के लगभग सभी मुख्य तत्व कागज से बनाए जाते हैं। मुफ़्त क्विलिंग पेपर का स्टॉक रखने के लिए, घर पर अपनी किताबों की अलमारियों पर एक नज़र डालें। निश्चित रूप से, आपको वहाँ कुछ चमकदार चमकदार पत्रिकाएँ मिलेंगी।

क्विलिंग उपकरण सरल और सस्ते हैं। शौकिया क्विलिंग कार्य करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह आपके घरेलू स्टेशनरी आपूर्ति में पाया जा सकता है।

और क्विलिंग का इतिहास यूरोप में 18वीं शताब्दी में शुरू होता है। पुनर्जागरण के दौरान, फ्रांसीसी और इतालवी मठों के भिक्षुओं ने किताबों के कवर को सजाने के लिए क्विलिंग का उपयोग किया था और उन्हें पेपर-रोलिंग तकनीक की भग्न प्रकृति के बारे में भी पता नहीं था जिसका उन्होंने आविष्कार किया था। उच्च समाज की लड़कियों ने विशेष स्कूलों में क्विलिंग पाठ्यक्रम भी लिया। इस तरह यह तकनीक देशों और महाद्वीपों में फैलने लगी।

शानदार आलूबुखारा बनाने पर इस वीडियो क्विलिंग मास्टर क्लास को "इसे स्वयं करें फ्रैक्टल" भी कहा जा सकता है। पेपर फ्रैक्टल्स की मदद से, अद्भुत विशेष वेलेंटाइन कार्ड और कई अन्य दिलचस्प चीजें प्राप्त की जाती हैं। आख़िरकार, कल्पना, प्रकृति की तरह, अटूट है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि जापानियों के पास जीवन में स्थान बहुत सीमित है, और इसलिए उन्हें इसका प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए अपना सर्वश्रेष्ठ प्रयास करना पड़ता है। ताकेशी मियाकावा दिखाता है कि यह कैसे प्रभावी ढंग से और सौंदर्यपूर्ण तरीके से किया जा सकता है। उनका फ्रैक्टल कैबिनेट इस बात की पुष्टि करता है कि डिजाइन में फ्रैक्टल का उपयोग न केवल फैशन के लिए एक श्रद्धांजलि है, बल्कि सीमित स्थान की स्थितियों में एक सामंजस्यपूर्ण डिजाइन समाधान भी है।

फ़र्निचर डिज़ाइन के संबंध में वास्तविक जीवन में फ्रैक्टल का उपयोग करने के इस उदाहरण ने मुझे दिखाया कि फ्रैक्टल न केवल गणितीय सूत्रों और कंप्यूटर प्रोग्रामों में कागज पर वास्तविक हैं।

और ऐसा लगता है कि प्रकृति हर जगह भग्नता के सिद्धांत का उपयोग करती है। आपको बस इसे करीब से देखने की जरूरत है, और यह अपनी शानदार प्रचुरता और अस्तित्व की अनंतता में प्रकट होगा।