बहुभुज। बहुभुज के प्रकार। उत्तल बहुभुज के भीतरी और बाहरी कोने। उत्तल एन-गॉन (प्रमेय) के आंतरिक कोणों का योग। उत्तल n-gon (प्रमेय) के बाह्य कोणों का योग। नियमित बहुभुज। एक नियमित बहुभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त (प्रमेय, उपफल 1.2)

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का आंतरिक कोण वह कोण होता है जो उसकी भुजाओं द्वारा उस शीर्ष पर अभिसारी होकर बनता है। किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाह्य कोण उस शीर्ष पर आंतरिक कोण से लगा हुआ कोण होता है। भीतरी कोने बाहरी कोने

प्रमेय। एक उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग (n - 2) · 180 o होता है, जहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या होती है। दिया गया है: एक उत्तल n-gon। सिद्ध करें: α = (n - 2) · 180 o सबूत n-gon के अंदर, एक मनमाना बिंदु O लें और इसे सभी शीर्षों से जोड़ दें। बहुभुज को एक उभयनिष्ठ शीर्ष O वाले n त्रिभुजों में विभाजित किया जाएगा। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180 o है, इसलिए, सभी त्रिभुजों के कोणों का योग 180 o n है। इस योग में, बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों के योग के अलावा, शीर्ष O पर त्रिभुजों के कोणों का योग शामिल होता है, जो 360 o के बराबर होता है। इस प्रकार, बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180 o n - 360 o \u003d (n - 2) 180 o है। तो, एन \u003d (एन - 2) 180 ओ। शिक्षा विभाग के विषय में

प्रमेय। उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग, प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया जाता है, n पर निर्भर नहीं करता है और 360 के बराबर होता है, जहाँ n n-gon की भुजाओं की संख्या होती है। प्रमाण। चूँकि बहुभुज का बाहरी कोना संगत आंतरिक कोण के निकट है, और आसन्न कोणों का योग 180 है, तो बहुभुज के बाहरी कोणों का योग है: बाहरी और आंतरिक आंतरिक इसलिए, उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग, प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया जाता है, n पर निर्भर नहीं करता है और 360 o के बराबर होता है, जहां n n-gon की भुजाओं की संख्या होती है। शिक्षा विभाग

प्रमेय। किसी भी नियमित बहुभुज को एक वृत्त के साथ अंकित किया जा सकता है, और इसके अलावा, केवल एक। प्रमाण। मान लीजिए 1,А2,…,А n एक नियमित बहुभुज है, О परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, इसलिए शीर्ष О से खींचे गए इन त्रिभुजों की ऊंचाई भी ОН1=ОН2=…=ОНn के बराबर होती है। इसलिए, केंद्र O और त्रिज्या OH1 वाला वृत्त बिंदु H1, H2, ..., Hn से होकर गुजरता है और इन बिंदुओं पर बहुभुज की भुजाओं को स्पर्श करता है, अर्थात। वृत्त दिए गए बहुभुज में अंकित है। Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

आइए हम साबित करें कि केवल एक खुदा हुआ वृत्त है। मान लीजिए कि केंद्र O और त्रिज्या OA वाला एक और खुदा हुआ वृत्त है। तब इसका केंद्र बहुभुज के किनारों से समान दूरी पर होता है, अर्थात बिंदु O1 बहुभुज के कोणों के प्रत्येक द्विभाजक पर स्थित होता है, और इसलिए इन द्विभाजक के चौराहे के बिंदु O के साथ मेल खाता है। इस वृत्त की त्रिज्या बिंदु O से बहुभुज की भुजाओं की दूरी के बराबर है, अर्थात। OH1 के बराबर है। प्रमेय सिद्ध हो गया है। उपफल 1 एक नियमित बहुभुज में अंकित एक वृत्त बहुभुज की भुजाओं को उनके मध्य बिंदुओं पर स्पर्श करता है। उपफल 2 एक नियमित बहुभुज के परिगत एक वृत्त का केंद्र उसी बहुभुज में अंकित एक वृत्त के केंद्र से मेल खाता है।

त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज - ये आंकड़े लगभग सभी को पता हैं। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि एक नियमित बहुभुज क्या है। लेकिन यह सब समान है नियमित बहुभुज वह कहलाता है जिसमें समान कोण और भुजाएँ होती हैं। ऐसे बहुत से आंकड़े हैं, लेकिन उन सभी के गुण समान हैं, और उन पर समान सूत्र लागू होते हैं।

नियमित बहुभुजों के गुण

कोई भी नियमित बहुभुज, चाहे वह वर्ग हो या अष्टकोण, एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है। इस मूल संपत्ति का उपयोग अक्सर एक आकृति का निर्माण करते समय किया जाता है। इसके अलावा, एक बहुभुज में एक वृत्त भी अंकित किया जा सकता है। इस मामले में, संपर्क के बिंदुओं की संख्या इसके पक्षों की संख्या के बराबर होगी। यह महत्वपूर्ण है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित एक वृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ केंद्र होगा। ये ज्यामितीय आंकड़े समान प्रमेयों के अधीन हैं। एक नियमित n-gon का कोई भी पक्ष इसके चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या R से जुड़ा होता है। इसलिए, इसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: a = 2R sin180°। के माध्यम से आप न केवल पक्षों, बल्कि बहुभुज की परिधि भी पा सकते हैं।

एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या कैसे ज्ञात करें

कोई भी एक निश्चित संख्या में एक दूसरे के बराबर खंड होते हैं, जो जुड़े होने पर एक बंद रेखा बनाते हैं। इस मामले में, गठित आकृति के सभी कोनों का मान समान है। बहुभुज को सरल और जटिल में विभाजित किया गया है। पहले समूह में एक त्रिभुज और एक वर्ग शामिल है। जटिल बहुभुजों में अधिक भुजाएँ होती हैं। इनमें तारे के आकार की आकृतियाँ भी शामिल हैं। जटिल नियमित बहुभुजों के लिए, पक्षों को एक वृत्त में अंकित करके पाया जाता है। आइए एक प्रमाण दें। पक्षों की मनमानी संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएं n। इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें। त्रिज्या R निर्दिष्ट करें। अब कल्पना करें कि कुछ n-gon दिया गया है। यदि इसके कोणों के बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं और एक दूसरे के बराबर हैं, तो भुजाएँ सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती हैं: a = 2R sinα: 2।

एक खुदा हुआ समकोण त्रिभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करना

एक समबाहु त्रिभुज एक नियमित बहुभुज है। वर्ग और एन-गॉन के समान ही सूत्र इस पर लागू होते हैं। एक त्रिभुज को सही माना जाएगा यदि उसकी भुजाएँ समान हों। इस मामले में, कोण 60⁰ हैं। दी गई भुजा की लंबाई a के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए। इसकी माध्यिका और ऊँचाई को जानकर आप इसकी भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र a \u003d x: cosα के माध्यम से खोजने की विधि का उपयोग करेंगे, जहाँ x माध्यिका या ऊँचाई है। चूँकि त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए हमें a = b = c प्राप्त होता है। तब निम्नलिखित कथन सत्य है: a = b = c = x: cosα। इसी तरह, आप एक समद्विबाहु त्रिभुज में भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं, लेकिन x दी गई ऊँचाई होगी। साथ ही, इसे आकृति के आधार पर सख्ती से पेश किया जाना चाहिए। इसलिए, ऊँचाई x को जानने के बाद, हम सूत्र a \u003d b \u003d x: cosα का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा पाते हैं। a का मान ज्ञात करने के बाद, आप आधार c की लंबाई की गणना कर सकते हैं। आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें। हम आधा आधार c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα के मान की तलाश करेंगे। फिर सी = 2xtanα। इतने सरल तरीके से आप किसी भी खुदे हुए बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

एक वृत्त में अंकित एक वर्ग की भुजाओं की गणना

किसी भी अन्य खुदे हुए नियमित बहुभुज की तरह, एक वर्ग में समान भुजाएँ और कोण होते हैं। त्रिभुज के समान ही सूत्र उस पर लागू होते हैं। आप विकर्ण के मान का उपयोग करके एक वर्ग की भुजाओं की गणना कर सकते हैं। आइए इस विधि पर अधिक विस्तार से विचार करें। यह ज्ञात है कि विकर्ण कोण को समद्विभाजित करता है। प्रारंभ में इसका मान 90 डिग्री था। इस प्रकार, विभाजन के बाद दो बनते हैं।आधार पर उनके कोण 45 डिग्री के बराबर होंगे। तदनुसार, वर्ग का प्रत्येक पक्ष समान होगा, अर्थात्: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e cosα \u003d e 2: 2, जहां e वर्ग का विकर्ण है, या का आधार है विभाजन के बाद बना समकोण त्रिभुज। यह एक वर्ग की भुजाओं को खोजने का एकमात्र तरीका नहीं है। आइए इस आकृति को एक वृत्त में अंकित करें। इस वृत्त R की त्रिज्या जानने के बाद, हम वर्ग की भुजा ज्ञात करते हैं। हम इसकी गणना इस प्रकार करेंगे: a4 = R√2। नियमित बहुभुजों की त्रिज्या की गणना सूत्र R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) द्वारा की जाती है, जहाँ a भुजा की लंबाई है।

एन-गॉन की परिधि की गणना कैसे करें

n-gon का परिमाप उसके सभी पक्षों का योग होता है। इसकी गणना करना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी पक्षों के मूल्यों को जानना होगा। कुछ प्रकार के बहुभुजों के लिए विशेष सूत्र होते हैं। वे आपको परिधि को बहुत तेजी से खोजने की अनुमति देते हैं। यह ज्ञात है कि किसी भी सम बहुभुज की भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए, इसकी परिधि की गणना करने के लिए, उनमें से कम से कम एक को जानना पर्याप्त है। सूत्र आकृति के पक्षों की संख्या पर निर्भर करेगा। सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है: P \u003d a, जहां a पक्ष का मान है, और n कोणों की संख्या है। उदाहरण के लिए, 3 सेमी की भुजा वाले एक नियमित अष्टकोण की परिधि को खोजने के लिए, आपको इसे 8 से गुणा करना होगा, अर्थात P = 3 8 = 24 सेमी। 5 सेमी की भुजा वाले षट्भुज के लिए, हम गणना करते हैं इस प्रकार है: पी = 5 6 = 30 सेमी और इसलिए प्रत्येक बहुभुज के लिए।

एक समांतर चतुर्भुज, वर्ग और समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना

एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, इसके आधार पर इसकी परिधि की गणना की जाती है। इससे कार्य बहुत आसान हो जाता है। दरअसल, अन्य आंकड़ों के विपरीत, इस मामले में इसके सभी पक्षों की तलाश करना जरूरी नहीं है, केवल एक ही पर्याप्त है। इसी सिद्धांत से हम चतुर्भुजों का परिमाप पाते हैं, अर्थात् एक वर्ग और एक समचतुर्भुज। इस तथ्य के बावजूद कि ये अलग-अलग आंकड़े हैं, उनके लिए सूत्र समान P = 4a है, जहां एक पक्ष है। आइए एक उदाहरण लेते हैं। यदि एक समचतुर्भुज या वर्ग की भुजा 6 सेमी है, तो हम परिधि को इस प्रकार पाते हैं: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 सेमी। एक समांतर चतुर्भुज में केवल विपरीत भुजाएँ होती हैं। इसलिए, इसकी परिधि एक अलग विधि का उपयोग करके पाई जाती है। इसलिए, हमें आकृति की लंबाई a और चौड़ाई b जानने की जरूरत है। फिर हम सूत्र P \u003d (a + c) 2 लागू करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज, जिसमें सभी भुजाएँ और उनके बीच के कोण बराबर होते हैं, एक समचतुर्भुज कहलाता है।

एक समबाहु और समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करना

सही की परिधि सूत्र P \u003d 3a द्वारा पाई जा सकती है, जहाँ a पक्ष की लंबाई है। यदि यह अज्ञात है, तो इसे माध्यिका के माध्यम से पाया जा सकता है। एक समकोण त्रिभुज में केवल दो भुजाएँ बराबर होती हैं। आधार पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से पाया जा सकता है। तीनों पक्षों के मान ज्ञात होने के बाद, हम परिधि की गणना करते हैं। यह सूत्र P \u003d a + b + c को लागू करके पाया जा सकता है, जहाँ a और b समान भुजाएँ हैं, और c आधार है। याद रखें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में a \u003d b \u003d a, इसलिए, a + b \u003d 2a, फिर P \u003d 2a + c। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा 4 सेमी है, इसका आधार और परिमाप ज्ञात कीजिए। हम पाइथागोरस प्रमेय c \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 सेमी के अनुसार कर्ण के मान की गणना करते हैं। अब हम परिधि की गणना करते हैं P \u003d 2 ∙ 4 + 5.65 \ u003d 13.65 सेमी।

एक नियमित बहुभुज के कोण कैसे ज्ञात करें

एक नियमित बहुभुज हमारे जीवन में प्रतिदिन होता है, उदाहरण के लिए, एक साधारण वर्ग, त्रिभुज, अष्टभुज। ऐसा लगता है कि इस आंकड़े को स्वयं बनाने से आसान कुछ भी नहीं है। लेकिन यह सिर्फ पहली नजर में है। किसी भी n-gon की रचना करने के लिए, आपको उसके कोणों का मान जानना होगा। लेकिन आप उन्हें कैसे ढूंढते हैं? प्राचीन काल के वैज्ञानिकों ने भी नियमित बहुभुज बनाने की कोशिश की। उन्होंने उन्हें हलकों में फिट करने का अनुमान लगाया। और फिर उस पर आवश्यक बिंदुओं को चिह्नित किया गया, सीधी रेखाओं से जुड़ा हुआ। सरल आंकड़ों के लिए, निर्माण समस्या हल हो गई है। सूत्र और प्रमेय प्राप्त हुए हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड अपने प्रसिद्ध काम "द बिगिनिंग" में 3-, 4-, 5-, 6- और 15-गॉन के लिए समस्याओं को हल करने में लगे हुए थे। उन्होंने उन्हें बनाने और कोण खोजने के तरीके खोजे। आइए देखें कि यह 15-गॉन के लिए कैसे करें। सबसे पहले आपको इसके आंतरिक कोणों के योग की गणना करने की आवश्यकता है। सूत्र S = 180⁰(n-2) का उपयोग करना आवश्यक है। तो, हमें एक 15-गॉन दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संख्या n 15 है। हम उस डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं जिसे हम सूत्र में जानते हैं और S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ प्राप्त करते हैं। हमने 15-गॉन के सभी आंतरिक कोणों का योग पाया है। अब हमें उनमें से प्रत्येक का मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। कुल 15 कोण हैं। हम 2340⁰: 15 = 156⁰ की गणना करते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक आंतरिक कोण 156⁰ है, अब एक शासक और एक कंपास का उपयोग करके, आप नियमित रूप से 15-गॉन बना सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल n-gons के बारे में क्या? सदियों से वैज्ञानिक इस समस्या के समाधान के लिए संघर्ष करते रहे हैं। यह केवल 18 वीं शताब्दी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा पाया गया था। वह 65537-गॉन बनाने में सक्षम था। तब से, समस्या को आधिकारिक तौर पर पूरी तरह से हल माना जाता है।

रेडियन में n-gons के कोणों की गणना

बेशक, बहुभुज के कोनों को खोजने के कई तरीके हैं। अक्सर उनकी गणना डिग्री में की जाती है। लेकिन आप उन्हें रेडियन में भी व्यक्त कर सकते हैं। यह कैसे करना है? निम्नानुसार आगे बढ़ना आवश्यक है। सबसे पहले, हम एक नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या का पता लगाते हैं, फिर उसमें से 2 घटाते हैं। इसलिए, हमें मान मिलता है: n - 2. संख्या n ("pi" \u003d 3.14) से प्राप्त अंतर को गुणा करें। अब यह केवल परिणामी उत्पाद को n-gon में कोणों की संख्या से विभाजित करने के लिए रहता है। उसी पंद्रह-पक्षीय के उदाहरण का उपयोग करके इन गणनाओं पर विचार करें। तो, संख्या n 15 है। आइए सूत्र S = p(n - 2): n = 3.14(15 - 2): 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 लागू करें। यह निश्चित रूप से रेडियन में कोण की गणना करने का एकमात्र तरीका नहीं है। आप कोण के आकार को केवल 57.3 की संख्या से अंशों में विभाजित कर सकते हैं। आखिरकार, वह कई डिग्री एक रेडियन के बराबर होती है।

डिग्री में कोणों के मान की गणना

डिग्री और रेडियन के अलावा, आप ग्रेड में एक नियमित बहुभुज के कोणों का मान ज्ञात करने का प्रयास कर सकते हैं। यह निम्न प्रकार से किया जाता है। कोणों की कुल संख्या में से 2 घटाएं, परिणामी अंतर को एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या से विभाजित करें। हम परिणाम को 200 से गुणा करते हैं। वैसे, कोणों को मापने की ऐसी इकाई डिग्री के रूप में व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं की जाती है।

n-gons के बाहरी कोनों की गणना

किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, आंतरिक बहुभुज के अलावा, आप बाहरी कोण की गणना भी कर सकते हैं। इसका मान अन्य आंकड़ों के समान ही पाया जाता है। तो, एक नियमित बहुभुज के बाहरी कोने को खोजने के लिए, आपको आंतरिक के मूल्य को जानना होगा। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इन दोनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। इसलिए, हम गणना इस प्रकार करते हैं: 180⁰ घटा आंतरिक कोण का मान। हम अंतर पाते हैं। यह इससे लगे कोण के मान के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का भीतरी कोना 90 डिग्री है, इसलिए बाहरी कोण 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ होगा। जैसा कि हम देख सकते हैं, इसे खोजना मुश्किल नहीं है। बाह्य कोण क्रमशः +180⁰ से -180⁰ तक का मान ले सकता है।

उद्देश्य: उत्तल बहुभुज के कोणों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए;

• प्रत्येक शीर्ष पर लिए गए बहुभुज के बाहरी कोणों के योग के प्रश्न की जाँच करें;
• संज्ञानात्मक गतिविधि के लिए सकारात्मक प्रेरणा बनाने के लिए;
• तार्किक सोच विकसित करना;
• ध्यान, अवलोकन, ड्राइंग का विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करना;
• समस्याओं को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए;
• छात्रों की संचार संस्कृति का विकास करना।

कक्षाओं के दौरान

महान रूसी वैज्ञानिक, रूसी भूमि का गौरव,

मिखाइलो वासिलीविच लोमोनोसोव ने कहा: "हिंसक कार्य बाधाओं पर विजय प्राप्त करता है।" मुझे उम्मीद है कि आज के पाठ में आपके साथ हमारा काम हमें सभी बाधाओं को दूर करने में मदद करेगा।

1. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति। (फ्रंट पोल।)

प्रदर्शन। (स्लाइड 2-4)

- एक बहुभुज की परिभाषा बनाइए, उसके मुख्य तत्वों के नाम लिखिए।
- एक उत्तल बहुभुज की परिभाषा।
- आप को ज्ञात चतुर्भुजों के उदाहरण दीजिए, जो उत्तल बहुभुज हैं।
क्या त्रिभुज को उत्तल बहुभुज माना जा सकता है?
उत्तल बहुभुज का बाह्य कोण क्या होता है?

2. समस्या का विवरण (पाठ के विषय पर आउटपुट)।

मौखिक सामने का काम।

दिए गए बहुभुजों के कोणों का योग ज्ञात कीजिए (स्लाइड्स 5-6)

- एक त्रिभुज; आयत:
- ट्रेपोजॉइड; मनमाना सप्तभुज।

कठिनाई के मामले में, शिक्षक प्रश्न पूछता है:

- समलम्ब की परिभाषा बनाइए।
समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के नाम लिखिए।
- कोण ए और डी की एक जोड़ी के बारे में क्या कहा जा सकता है, उनके पास क्या संपत्ति है?
- क्या आप अभी भी ड्राइंग पर आंतरिक एकतरफा कैच की एक जोड़ी का नाम दे सकते हैं?
क्या आप एक सप्तभुज के कोणों का योग ज्ञात कर सकते हैं? प्रश्न क्या है? (क्या एक स्वेच्छ बहुभुज के कोणों का योग ज्ञात करने का कोई सूत्र है?)

तो, यह स्पष्ट है कि आज का हमारा ज्ञान इस समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

हम अपने पाठ का विषय कैसे बना सकते हैं? - कोणों का योगउत्तल बहुभुज।

3. समाधान समस्या. इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए थोड़ा शोध करें।

हम पहले से ही त्रिभुज योग प्रमेय जानते हैं। क्या हम इसे किसी भी तरह से लागू कर सकते हैं?

- इसके लिए क्या करना चाहिए? (बहुभुज को त्रिभुजों में तोड़ें।)

बहुभुज को त्रिभुजों में कैसे विभाजित किया जा सकता है? इसके बारे में सोचें, इस पर चर्चा करें और अपने सर्वोत्तम विकल्पों की पेशकश करें।

समूहों में काम होता है, प्रत्येक समूह एक अलग कंप्यूटर पर काम करता है जिस पर "जियो गेब्रा" प्रोग्राम स्थापित होता है।

काम के अंत में, शिक्षक स्क्रीन पर समूहों के काम के परिणाम प्रदर्शित करता है। (स्लाइड 7)

- आइए प्रस्तावित विकल्पों का विश्लेषण करें और अपने अध्ययन के लिए सबसे इष्टतम चुनने का प्रयास करें।

आइए चयन मानदंड को परिभाषित करें: बंटवारे के परिणामस्वरूप हम क्या प्राप्त करना चाहते हैं? (निर्मित त्रिभुजों के सभी कोणों का योग बहुभुज के कोणों के योग के बराबर होना चाहिए।)

- किन विकल्पों को तुरंत खारिज किया जा सकता है? क्यों?

(विकल्प 1, क्योंकि सभी त्रिभुजों के कोणों का योग बहुभुज के कोणों के योग के बराबर नहीं होता है।)

- कौन सा विकल्प सबसे उपयुक्त है? क्यों? (विकल्प 3.)

आपको यह विकल्प कैसे मिला? (हमने बहुभुज के एक शीर्ष से विकर्ण खींचे हैं

चित्रकारी	n बहुभुज के शीर्षों की संख्या है	एक शीर्ष से खींचे गए विकर्णों की संख्या	प्राप्त त्रिभुजों की संख्या
	4
	5
	6
	7
	एन

- आइए बहुभुज के शीर्षों की संख्या, एक शीर्ष से खींचे जा सकने वाले विकर्णों की संख्या और प्राप्त त्रिभुजों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने का प्रयास करें।

प्रत्येक समूह को एक तालिका प्राप्त होती है जिसे उन्हें शोध प्रक्रिया के दौरान पूरा करना होता है।

समूहों में चर्चा के बाद, बच्चे अपने निष्कर्ष निकालते हैं:
एक एन-गॉन के एक शीर्ष से, n - 3 विकर्ण खींचे जा सकते हैं (चूंकि एक विकर्ण को चुने हुए शीर्ष पर और दो पड़ोसी वाले तक नहीं खींचा जा सकता है)। इस स्थिति में, हमें n - 2 त्रिभुज प्राप्त होते हैं।

अत: एक उत्तल बहुभुज के कोणों का योग 180 0 (n-2) होता है।

- आइए बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करने के प्रस्तावित विकल्पों पर वापस आते हैं।

क्या इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए चित्र 4 में प्रस्तावित रूपांतर का उपयोग करना संभव है?

ऐसे विभाजन से कितने त्रिभुज प्राप्त होते हैं? ( पीचीज़ें)
सभी त्रिभुजों के कोणों के योग और बहुभुज के कोणों के योग में क्या अंतर है? (360 0 पर)
- इस मामले में आप बहुभुज के कोणों के योग की गणना कैसे कर सकते हैं?

(180पी– 360 = 180एन - 180x2 \u003d 180 (एन -2)) (सीरखना 8)

- क्या चित्र 2 में प्रस्तावित संस्करण उस मुख्य आवश्यकता को पूरा करता है जो हमने विभाजन के लिए की थी? (हां।)

- बहुभुज के कोणों का योग ज्ञात करने के लिए इसका उपयोग करना उचित क्यों नहीं है? (परिणामस्वरूप त्रिभुजों की संख्या गिनना कठिन है।)

खैर, अब हम उस समस्या पर लौटते हैं जिसे हम पाठ की शुरुआत में हल नहीं कर सके।

(बच्चे मौखिक रूप से सप्तभुज के कोणों का योग और दो और समान अभ्यास गिनते हैं।) (स्लाइड 9 और 10)

4. अर्जित ज्ञान का अनुप्रयोग .

उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग ज्ञात करने के लिए हमने एक सूत्र निकाला है। अब बात करते हैं बहुभुज के बाहरी कोणों के योग के बारे में, जो प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया जाता है।

तो, कार्य यह है: कौन सा अधिक है: बाहरी कोणों का योग, प्रत्येक शीर्ष पर एक उत्तल षट्भुज के लिए या एक त्रिभुज के लिए लिया जाता है? (स्लाइड 11)

बच्चे अपना अनुमान लगाते हैं। शिक्षक इस मुद्दे को हल करने के लिए शोध करने का सुझाव देता है।

प्रत्येक समूह को स्वतंत्र रूप से हल करने का कार्य दिया जाता है।

समूह 1।

1) एक नियमित त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर लिए गए बाह्य कोणों का योग ज्ञात कीजिए।
2) - एक त्रिभुज पर, जिसके कोणों का अंश मान क्रमशः 70 0, 80 0 और 30 0 होता है।

समूह 2

1) आयत के प्रत्येक शीर्ष पर लिए गए बाहरी कोनों का योग ज्ञात कीजिए।
2) - एक चतुर्भुज पर, जिसके आंतरिक कोण क्रमशः 70 0, 80 0 और 120 0 और 90 0 हैं।

समूह 3.

1) एक सम षट्भुज के प्रत्येक शीर्ष पर लिए गए बाह्य कोणों का योग ज्ञात कीजिए।
2) - एक षट्भुज पर, जिसके आंतरिक कोण क्रमशः 170 0, 80 0 और 130 0, 100 0, 70 0, 170 0 हैं।

काम के अंत के बाद, बच्चे अपने परिणामों की रिपोर्ट करते हैं, शिक्षक उन्हें एक टेबल में दर्ज करता है और उन्हें स्क्रीन पर प्रदर्शित करता है। (स्लाइड 12)

तो, प्राप्त परिणामों से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? (किसी भी बहुभुज के लिए प्रत्येक शीर्ष पर लिए गए बाह्य कोणों का योग 360 0 होता है।)

आइए अब इस तथ्य को किसी भी n-gon के लिए सिद्ध करने का प्रयास करें।

यदि कठिनाइयाँ आती हैं, तो सबूत योजना पर सामूहिक रूप से चर्चा की जाती है:

1. बहुभुज के आंतरिक कोणों को α, β, γ, आदि के रूप में नामित करें।
2. बाहरी कोणों की डिग्री मापों को प्रस्तुत संकेतन के माध्यम से व्यक्त करें
3. एक बहुभुज के बाह्य कोणों का योग ज्ञात करने के लिए व्यंजक लिखिए
4. परिणामी व्यंजक को रूपांतरित करें, बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग के लिए पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करें।

सबूत बोर्ड पर लिखा है:

(180 - α) + (180 - β) + (180 - ) + ... = 180 पी - (α + β + γ + ...) = 180 पी - 180 (पी - 2) = 360

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन। समस्या को सुलझाना।

समस्या 1. क्या ऐसे आंतरिक कोणों के साथ एक उत्तल बहुभुज मौजूद है: 45 0 , 68 0 , 73 0 और 56 0 ? अपना जवाब समझाएं।

आइए हम विरोधाभास से साबित करें। यदि एक उत्तल बहुभुज में चार न्यून कोण हैं, तो चार अधिक बाहरी कोण हैं, जिसका अर्थ है कि बहुभुज के सभी बाहरी कोणों का योग 4*90 0 = 360 0 से अधिक है। हमारे पास एक विरोधाभास है। अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

एक उत्तल बहुभुज में 80 डिग्री के तीन कोण होते हैं और शेष 150 डिग्री होते हैं। उत्तल बहुभुज में कितने कोने होते हैं?

जैसा: उत्तल n-gon के लिए, कोणों का योग 180°(n - 2) होता है , फिर 180(n - 2)=3*80 + x*150, जहां समस्या की स्थिति के अनुसार हमें 80 डिग्री के 3 कोण दिए गए हैं, और अन्य कोणों की संख्या अभी भी हमारे लिए अज्ञात है, जिसका अर्थ है कि हम उनकी संख्या को x से निरूपित करें।

हालाँकि, बाईं ओर की प्रविष्टि से, हमने बहुभुज के कोनों की संख्या n के रूप में निर्धारित की, क्योंकि हम समस्या की स्थिति से उनमें से तीन के मूल्यों को जानते हैं, यह स्पष्ट है कि x = n-3।

तो समीकरण इस तरह दिखेगा: 180(n - 2) = 240 + 150(n - 3)

हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं

180एन - 360 = 240 + 150एन - 450

180एन - 150एन = 240 + 360 - 450

उत्तर: 5 चोटियाँ।

6. पाठ को सारांशित करना।

इसलिए, आइए इसे समेटें। आज के पाठ की सामग्री के आधार पर दूसरे समूह के लोगों के लिए अपने प्रश्न तैयार करें।

आपको सबसे अच्छा प्रश्न क्या लगता है?

सामूहिक कार्य में समूह के प्रत्येक सदस्य की भागीदारी की डिग्री पर चर्चा करें, सबसे सक्रिय नाम दें।

समूह में किसका काम सबसे अधिक उत्पादक था?

7. गृहकार्य:

1. कार्य।

एक बहुभुज में 113 डिग्री के तीन कोण होते हैं, और शेष एक दूसरे के बराबर होते हैं और उनका डिग्री माप एक पूर्णांक होता है। बहुभुज के शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए।

2. आइटम 114 पीपी. 169–171, पोगोरेलोव ए.वी. "ज्यामिति 7–9"।

वीडियो पाठ 2: बहुभुज। समस्या को सुलझाना

भाषण: बहुभुज। उत्तल बहुभुज के कोणों का योग

बहुभुज- ये वे आंकड़े हैं जो हमें हर जगह घेरते हैं - यह भी छत्ते का रूप है जिसमें मधुमक्खियां अपना शहद, वास्तुशिल्प संरचनाएं और बहुत कुछ जमा करती हैं।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, बहुभुज ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें दो से अधिक कोने होते हैं। इनमें एक बंद टूटी हुई रेखा होती है।

इसके अलावा, बहुभुज के कोने बाहरी और आंतरिक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक तारा एक आकृति है जिसमें 10 कोने होते हैं, जिनमें से कुछ उत्तल होते हैं और अन्य अवतल होते हैं:

उत्तल बहुभुज के उदाहरण:

कृपया ध्यान दें कि यह आंकड़ा नियमित बहुभुज दिखाता है - ये वे हैं जिनका स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

किसी भी बहुभुज में भुजाओं की संख्या के बराबर ही शीर्ष होते हैं। यह भी ध्यान दें कि पड़ोसी शीर्ष वे होते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में सभी आसन्न शीर्ष होते हैं।

एक नियमित बहुभुज में जितने अधिक कोण होते हैं, उनकी डिग्री माप उतनी ही अधिक होती है। हालांकि, उत्तल बहुभुज के कोण का डिग्री माप 180 डिग्री से अधिक या उसके बराबर नहीं हो सकता है।

बहुभुज की सामान्य डिग्री माप निर्धारित करने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

8 वीं कक्षा में, स्कूल में ज्यामिति पाठ में, छात्र पहली बार उत्तल बहुभुज की अवधारणा से परिचित होते हैं। बहुत जल्द वे सीखेंगे कि इस आकृति में एक बहुत ही रोचक संपत्ति है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना जटिल हो सकता है, उत्तल बहुभुज के सभी आंतरिक और बाहरी कोणों का योग कड़ाई से परिभाषित मूल्य लेता है। इस लेख में, गणित और भौतिकी में एक शिक्षक इस बारे में बात करता है कि उत्तल बहुभुज के कोणों का योग क्या है।

उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग

इस सूत्र को कैसे सिद्ध करें?

इस कथन के प्रमाण पर आगे बढ़ने से पहले, हम याद करते हैं कि कौन सा बहुभुज उत्तल कहलाता है। एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि वह पूरी तरह से उस रेखा के एक तरफ होता है जिसमें उसकी कोई भी भुजा होती है। उदाहरण के लिए, जो इस चित्र में दिखाया गया है:

यदि बहुभुज निर्दिष्ट शर्त को पूरा नहीं करता है, तो इसे गैर-उत्तल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इस तरह:

एक उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग होता है, जहाँ बहुभुज की भुजाओं की संख्या होती है।

इस तथ्य का प्रमाण एक त्रिभुज में कोणों के योग पर प्रमेय पर आधारित है, जो सभी स्कूली बच्चों के लिए जाना जाता है। मुझे विश्वास है कि आप इस प्रमेय से परिचित हैं। एक त्रिभुज के अंत: कोणों का योग होता है।

उत्तल बहुभुज को कई त्रिभुजों में विभाजित करने का विचार है। यह विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। हम किस विधि को चुनते हैं, इसके आधार पर साक्ष्य थोड़े भिन्न होंगे।

1. किसी शीर्ष से खींचे गए सभी संभावित विकर्णों द्वारा उत्तल बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करें। यह समझना आसान है कि तब हमारा n-gon त्रिभुजों में विभाजित हो जाएगा:

इसके अलावा, सभी परिणामी त्रिभुजों के सभी कोणों का योग हमारे n-gon के कोणों के योग के बराबर होता है। आखिरकार, परिणामी त्रिभुजों में प्रत्येक कोण हमारे उत्तल बहुभुज में एक आंशिक कोण होता है। यानी आवश्यक राशि के बराबर है।

2. आप उत्तल बहुभुज के अंदर एक बिंदु भी चुन सकते हैं और इसे सभी शीर्षों से जोड़ सकते हैं। तब हमारे n-gon को त्रिभुजों में विभाजित किया जाएगा:

इसके अलावा, इस मामले में हमारे बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के सभी कोणों के योग के बराबर होगा, जो केंद्रीय कोण के बराबर है। यानी वांछित राशि फिर से बराबर है।

उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग

आइए अब हम स्वयं से यह प्रश्न पूछें: "एक उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग क्या होता है?" इस प्रश्न का उत्तर निम्न प्रकार से दिया जा सकता है। प्रत्येक बाहरी कोना संबंधित आंतरिक कोने से सटा हुआ है। इसलिए यह इसके बराबर है:

तब सभी बाह्य कोणों का योग होता है। यानी बराबर है।

यह बहुत मजेदार परिणाम है। यदि हम किसी उत्तल n-gon के सभी बाहरी कोनों को एक के बाद एक क्रमिक रूप से अलग रखते हैं, तो परिणामस्वरूप पूरा विमान भर जाएगा।

इस रोचक तथ्य को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। आइए कुछ उत्तल बहुभुज के सभी पक्षों को आनुपातिक रूप से कम करें जब तक कि यह एक बिंदु में विलीन न हो जाए। ऐसा होने के बाद, सभी बाहरी कोनों को एक दूसरे से अलग कर दिया जाएगा और इस तरह पूरे विमान को भर दिया जाएगा।

दिलचस्प तथ्य, है ना? और ज्यामिति में ऐसे बहुत से तथ्य हैं। तो ज्यामिति सीखो, प्रिय छात्रों!

उत्तल बहुभुज के कोणों के योग के बराबर सामग्री सर्गेई वेलेरिविच द्वारा तैयार की गई थी