संक्षिप्त सिद्धांत

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि गणितीय प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, उत्तल) की समस्याओं को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। दुर्भाग्य से, विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग में, इसके उपयोग के क्षेत्र को कम करते हुए, महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयाँ हो सकती हैं। हम यहां लैग्रेंज विधि पर मुख्य रूप से विचार करते हैं क्योंकि यह विभिन्न आधुनिक संख्यात्मक विधियों को सही ठहराने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण है जो व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। लैग्रेंज फ़ंक्शन और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के लिए, वे न केवल गणितीय प्रोग्रामिंग के सिद्धांत और अनुप्रयोगों में एक स्वतंत्र और अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

शास्त्रीय अनुकूलन समस्या पर विचार करें:

इस समस्या के प्रतिबंधों में कोई असमानता नहीं है, चर की गैर-नकारात्मकता, उनकी विसंगति और कार्यों के लिए कोई शर्तें नहीं हैं और निरंतर हैं और कम से कम दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं।

समस्या को हल करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण समीकरणों (आवश्यक शर्तों) की एक प्रणाली देता है जो उस बिंदु से संतुष्ट होना चाहिए जो कि बाधाओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के सेट पर एक स्थानीय चरम के साथ कार्य प्रदान करता है (उत्तल प्रोग्रामिंग समस्या के लिए, पाया गया बिंदु उसी समय वैश्विक चरम बिंदु होगा)।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन (1) में बिंदु पर एक स्थानीय सशर्त चरम सीमा होती है और मैट्रिक्स की रैंक बराबर होती है। फिर आवश्यक शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

लैग्रेंज फ़ंक्शन है; लैग्रेंज गुणक हैं।

ऐसी पर्याप्त स्थितियां भी हैं जिनके तहत समीकरणों की प्रणाली का समाधान (3) फ़ंक्शन के चरम बिंदु को निर्धारित करता है। यह प्रश्न लैग्रेंज फलन के द्वितीय अवकलन के चिन्ह के अध्ययन के आधार पर हल किया गया है। हालांकि, पर्याप्त शर्तें मुख्य रूप से सैद्धांतिक रुचि की हैं।

आप लैग्रेंज गुणक विधि द्वारा समस्या (1), (2) को हल करने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया निर्दिष्ट कर सकते हैं:

1) लैग्रेंज फ़ंक्शन (4) लिखें;

2) सभी चरों के संबंध में लैग्रेंज फलन के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और उनकी बराबरी कीजिए

शून्य। इस प्रकार, समीकरणों से युक्त एक प्रणाली (3) प्राप्त की जाएगी। परिणामी प्रणाली को हल करें (यदि यह संभव हो जाता है!) और इस प्रकार लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी स्थिर बिंदु खोजें;

3) निर्देशांक के बिना लिए गए स्थिर बिंदुओं से, उन बिंदुओं का चयन करें जिन पर बाधाओं की उपस्थिति में फ़ंक्शन में सशर्त स्थानीय एक्स्ट्रेमा है (2)। यह विकल्प, उदाहरण के लिए, स्थानीय चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियों का उपयोग करके किया जाता है। यदि समस्या की विशिष्ट स्थितियों का उपयोग किया जाता है तो अक्सर अध्ययन को सरल बनाया जाता है।

समस्या समाधान उदाहरण

काम

फर्म मात्रा में दो प्रकार के माल का उत्पादन करती है और . उपयोगी लागत फलन संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है। बाजार में इन वस्तुओं की कीमतें समान और क्रमशः हैं।

निर्धारित करें कि किस मात्रा में आउटपुट अधिकतम लाभ प्राप्त किया गया है और यदि कुल लागत से अधिक नहीं है तो यह क्या है

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समस्या का समाधान

समस्या का आर्थिक और गणितीय मॉडल

लाभ समारोह:

लागत सीमा:

हमें निम्नलिखित आर्थिक और गणितीय मॉडल मिलते हैं:

इसके अलावा, कार्य के अर्थ के अनुसार

लैग्रेंज गुणक विधि

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

हम पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं:

हम समीकरणों की प्रणाली बनाते और हल करते हैं:

तब से

अधिकतम लाभ:

जवाब

इस प्रकार, इकाइयों का उत्पादन करना आवश्यक है। 1 प्रकार और इकाइयों का माल। दूसरे प्रकार का माल। इस मामले में, लाभ अधिकतम होगा और 270 होगा।
चित्रमय विधि द्वारा द्विघात उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिया गया है।

रेखीय समस्या को आलेखीय विधि द्वारा हल करना
दो चरों वाली रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि पर विचार किया जाता है। समस्या के उदाहरण पर, एक चित्र के निर्माण और समाधान खोजने का विस्तृत विवरण दिया गया है।

विल्सन इन्वेंट्री प्रबंधन मॉडल
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, इन्वेंट्री प्रबंधन (विल्सन मॉडल) का मुख्य मॉडल माना जाता है। ऑर्डर लॉट के इष्टतम आकार, वार्षिक भंडारण लागत, डिलीवरी के बीच के अंतराल और ऑर्डर देने के बिंदु के रूप में मॉडल के ऐसे संकेतकों की गणना की जाती है।

प्रत्यक्ष लागत अनुपात मैट्रिक्स और इनपुट-आउटपुट मैट्रिक्स
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, लेओन्टिव इंटरसेक्टोरल मॉडल पर विचार किया जाता है। प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक के मैट्रिक्स की गणना, मैट्रिक्स "इनपुट-आउटपुट", अप्रत्यक्ष लागत के गुणांक के मैट्रिक्स, अंतिम खपत और सकल उत्पादन के वैक्टर दिखाए जाते हैं।

साथ मेंलैग्रेंज विधि का सार बिना शर्त चरम समस्या के समाधान के लिए सशर्त चरम समस्या को कम करना है। एक गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल पर विचार करें:

(5.2)

कहाँ पे
प्रसिद्ध कार्य हैं,

ए
गुणांक दिए गए हैं।

ध्यान दें कि समस्या के इस निरूपण में, बाधाओं को समानता द्वारा दिया गया है, और चर के गैर-ऋणात्मक होने की कोई शर्त नहीं है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि कार्य
अपने पहले आंशिक डेरिवेटिव के साथ निरंतर हैं।

आइए हम शर्तों (5.2) को इस तरह से रूपांतरित करें कि समानता के बाएँ या दाएँ भाग में शामिल हों शून्य:

(5.3)

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें। इसमें उद्देश्य फ़ंक्शन (5.1) और बाधाओं के दाहिने हाथ (5.3) शामिल हैं, क्रमशः गुणांक के साथ लिया गया
. समस्या में जितने अवरोध हैं उतने ही लैग्रेंज गुणांक होंगे।

फ़ंक्शन के चरम बिंदु (5.4) मूल समस्या के चरम बिंदु हैं और इसके विपरीत: समस्या की इष्टतम योजना (5.1)-(5.2) लैग्रेंज फ़ंक्शन का वैश्विक चरम बिंदु है।

वास्तव में, समाधान खोजने दो
समस्या (5.1)-(5.2), तो शर्तें (5.3) संतुष्ट हैं। आइए योजना को प्रतिस्थापित करें
फ़ंक्शन (5.4) में और समानता (5.5) की वैधता की पुष्टि करें।

इस प्रकार, मूल समस्या की इष्टतम योजना को खोजने के लिए, एक चरम सीमा के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन की जांच करना आवश्यक है। फ़ंक्शन के उन बिंदुओं पर चरम मान होते हैं जहां इसके आंशिक डेरिवेटिव बराबर होते हैं शून्य. ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है अचल।

हम फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं (5.4)

,

.

बराबरी के बाद शून्यडेरिवेटिव हमें सिस्टम मिलता है एम+एनके साथ समीकरण एम+एनअनजान

,(5.6)

सामान्य स्थिति में, सिस्टम (5.6)-(5.7) में कई समाधान होंगे, जिसमें लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी मैक्सिमा और मिनिमा शामिल हैं। वैश्विक अधिकतम या न्यूनतम को उजागर करने के लिए, सभी पाए गए बिंदुओं पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना की जाती है। इनमें से सबसे बड़ा मान वैश्विक अधिकतम होगा, और सबसे छोटा वैश्विक न्यूनतम होगा। कुछ मामलों में इसका उपयोग करना संभव है सख्त चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्तेंनिरंतर कार्य (नीचे समस्या 5.2 देखें):

समारोह चलो
अपने स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर और दो बार अवकलनीय है (वे।
))। फिर:

ए ) अगर
, (5.8)

तब फ़ंक्शन का सख्त अधिकतम बिंदु है
;

बी) अगर
, (5.9)

तब फ़ंक्शन का सख्त न्यूनतम बिंदु है
;

जी ) अगर
,

तब चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है।

इसके अलावा, सिस्टम के कुछ समाधान (5.6)-(5.7) नकारात्मक हो सकते हैं। जो चरों के आर्थिक अर्थ के अनुरूप नहीं है। इस मामले में, नकारात्मक मूल्यों को शून्य से बदलने की संभावना का विश्लेषण किया जाना चाहिए।

लैग्रेंज गुणकों का आर्थिक अर्थ।इष्टतम गुणक मूल्य
दिखाता है कि मानदंड का मूल्य कितना बदलेगा जेड संसाधन बढ़ाने या घटाने पर जेप्रति इकाई, क्योंकि

लैग्रेंज विधि को तब भी लागू किया जा सकता है जब बाधाएं असमानताएं हों। तो, फ़ंक्शन के चरम का पता लगाना
शर्तों के अधीन

,

कई चरणों में किया गया प्रदर्शन:

1. उद्देश्य फलन के उन स्थिर बिन्दुओं का निर्धारण करें जिनके लिए वे समीकरणों के निकाय को हल करते हैं

.

2. स्थिर बिंदुओं से, वे चुने जाते हैं जिनके निर्देशांक शर्तों को पूरा करते हैं

3. लैग्रेंज विधि का उपयोग समता बाधाओं (5.1)-(5.2) के साथ समस्या को हल करने के लिए किया जाता है।

4. दूसरे और तीसरे चरण में पाए गए बिंदुओं की वैश्विक अधिकतम के लिए जांच की जाती है: इन बिंदुओं पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना की जाती है - सबसे बड़ा मूल्य इष्टतम योजना से मेल खाता है।

कार्य 5.1आइए, पहले खंड में मानी गई समस्या 1.3 को लैग्रेंज विधि से हल करें। जल संसाधनों का इष्टतम वितरण गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित है

.

लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें

इस फ़ंक्शन का बिना शर्त अधिकतम खोजें। ऐसा करने के लिए, हम आंशिक डेरिवेटिव की गणना करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं

,

इस प्रकार, हमने फॉर्म के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान सिंचित क्षेत्रों में जल संसाधनों के वितरण के लिए इष्टतम योजना है

, .

मात्रा
सैकड़ों हजारों घन मीटर में मापा जाता है।
- प्रति एक लाख घन मीटर सिंचाई जल की शुद्ध आय की राशि। अतः सिंचाई जल के 1 मी 3 का सीमांत मूल्य है
मांद इकाइयों

सिंचाई से अधिकतम अतिरिक्त शुद्ध आय होगी

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (माध्यम इकाइयाँ)

कार्य 5.2एक गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या को हल करें

हम बाधा का प्रतिनिधित्व करते हैं:

.

लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें और इसके आंशिक व्युत्पन्न का निर्धारण करें

.

लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, इसके आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर करना चाहिए। नतीजतन, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

.

पहले समीकरण से निम्नानुसार है

. (5.10)

अभिव्यक्ति दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें

,

जिसके लिए दो समाधान हैं :

और
. (5.11)

इन समाधानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

,
.

लैग्रेंज गुणक और अज्ञात के मान व्यंजकों द्वारा परिकलित करें (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

इस प्रकार, हमें दो चरम बिंदु मिले:

;
.

यह पता लगाने के लिए कि ये बिंदु अधिकतम या न्यूनतम बिंदु हैं, हम सख्त चरम (5.8)-(5.9) के लिए पर्याप्त शर्तों का उपयोग करते हैं। पूर्व अभिव्यक्ति के लिए , गणितीय मॉडल के प्रतिबंध से प्राप्त, हम उद्देश्य फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं

,

. (5.12)

एक सख्त चरम के लिए शर्तों की जांच करने के लिए, हमें प्राप्त किए गए चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न (5.11) का संकेत निर्धारित करना चाहिए।
और
.

,
;

.

इस प्रकार, (·)
मूल समस्या का न्यूनतम बिंदु है (
), ए (·)
- अधिकतम बिंदु।

इष्टतम योजना:

,
,
,

.

विधि का विवरण

कहाँ पे ।

दलील

लैग्रेंज गुणक विधि का निम्नलिखित औचित्य इसका कठोर प्रमाण नहीं है। इसमें अनुमानी तर्क शामिल है जो विधि के ज्यामितीय अर्थ को समझने में मदद करता है।

2डी केस

स्तर रेखाएँ और वक्र।

समीकरण द्वारा दी गई शर्त के तहत दो चर के कुछ फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए आवश्यक होने दें . हम मानेंगे कि सभी फलन लगातार भिन्न होते हैं, और यह समीकरण एक चिकने वक्र को परिभाषित करता है एससतह पर। फिर समस्या को फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए कम किया जाता है एफवक्र के एस. हम यह भी मानेंगे कि एसउन बिंदुओं से नहीं गुजरता जहां ढाल एफ 0 में बदल जाता है।

समतल पर फलन की समतल रेखाएँ खींचिए एफ(यानी वक्र)। यह ज्यामितीय विचारों से देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन की चरम सीमा एफवक्र के एसकेवल ऐसे बिंदु हो सकते हैं जिन पर एसऔर संबंधित स्तर रेखा समान हैं। वास्तव में, यदि वक्र एसस्तर रेखा को पार करता है एफएक बिंदु पर अनुप्रस्थ रूप से (अर्थात, कुछ गैर-शून्य कोण पर), फिर वक्र के साथ आगे बढ़ रहा है एसइस बिंदु से हम दोनों बड़े मान के अनुरूप स्तर की रेखाओं तक पहुँच सकते हैं एफ, और छोटा। इसलिए, ऐसा बिंदु एक चरम बिंदु नहीं हो सकता।

इस प्रकार, हमारे मामले में चरम के लिए आवश्यक शर्त स्पर्शरेखाओं का संयोग होगा। इसे विश्लेषणात्मक रूप में लिखने के लिए, ध्यान दें कि यह फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट्स की समानता के बराबर है एफऔर ψ इस बिंदु पर, क्योंकि ग्रेडिएंट वेक्टर स्तर रेखा के स्पर्शरेखा के लंबवत है। यह स्थिति निम्नलिखित रूप में व्यक्त की जाती है:

जहां कुछ गैर-शून्य संख्या है, जो लैग्रेंज गुणक है।

अभी विचार करें लैग्रेंज फ़ंक्शनऔर पर निर्भर करता है:

इसके चरम के लिए एक आवश्यक शर्त शून्य प्रवणता है। विभेदीकरण के नियमों के अनुसार, इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

हमने एक प्रणाली प्राप्त की है जिसके पहले दो समीकरण आवश्यक स्थानीय चरम स्थिति (1) के बराबर हैं, और तीसरा समीकरण के बराबर है . इससे आप पा सकते हैं। इस मामले में, अन्यथा फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट एफएक बिंदु पर गायब हो जाता है , जो हमारी धारणाओं के विपरीत है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस तरह से पाए जाने वाले बिंदु वांछित सशर्त चरम बिंदु नहीं हो सकते हैं - माना स्थिति आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। एक सहायक फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सशर्त चरम सीमा ढूँढना लीऔर दो चरों के सरलतम मामले के लिए यहां लागू लैग्रेंज गुणक पद्धति का आधार बनाता है। यह पता चला है कि उपरोक्त तर्क को एक मनमानी संख्या के चर और समीकरणों के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जो शर्तों को निर्दिष्ट करते हैं।

लैग्रेंज गुणकों की विधि के आधार पर, एक सशर्त चरम के लिए कुछ पर्याप्त शर्तों को भी साबित कर सकता है, जिसके लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे डेरिवेटिव के विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

आवेदन पत्र

• लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जो कई क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं (उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में)।
• किसी दिए गए औसत बिटरेट (विरूपण अनुकूलन - अंग्रेजी। दर-विरूपण अनुकूलन).

यह सभी देखें

लिंक

• ज़ोरिच वी.ए.गणितीय विश्लेषण। भाग 1. - एड। 2, रेव. और अतिरिक्त - एम .: फ़ैज़िस, 1997।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

लैग्रेंज गुणक- अतिरिक्त कारक जो उत्तल प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, रैखिक प्रोग्रामिंग) की चरम समस्या के उद्देश्य कार्य को बदलते हैं, जब इसे हल करने वाले कारकों की विधि द्वारा शास्त्रीय तरीकों में से एक द्वारा हल किया जाता है ... ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

लैग्रेंज गुणक- अतिरिक्त कारक जो उत्तल प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, रैखिक प्रोग्रामिंग) की चरम समस्या के उद्देश्य कार्य को बदलते हैं, जब इसे हल करने वाले कारकों (लैग्रेंज विधि) की विधि द्वारा शास्त्रीय तरीकों में से एक द्वारा हल किया जाता है। ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

यांत्रिकी। 1) पहली तरह के लग्रांगियन समीकरण, एक यंत्र की गति के अंतर समीकरण। सिस्टम, जो आयताकार समन्वय अक्षों पर अनुमानों में दिए गए हैं और तथाकथित शामिल हैं। लैग्रेंज गुणक। 1788 में जे। लैग्रेंज द्वारा प्राप्त। एक समग्र प्रणाली के लिए, ... ... भौतिक विश्वकोश

यांत्रिकी की गति का वर्णन करते हुए यांत्रिकी दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण। उन पर लागू बलों के प्रभाव में सिस्टम। एल. एट. जे। लैग रेंज द्वारा दो रूपों में स्थापित: एल। एट। कार्टेशियन में पहला प्रकार, या समीकरण ... के साथ समन्वय करता है गणितीय विश्वकोश

1) हाइड्रोमैकेनिक्स में, लैग्रेंज चर में एक तरल (गैस) की गति के लिए समीकरण, जो माध्यम के निर्देशांक हैं। फ्रेंच प्राप्त किया। वैज्ञानिक जे। लैग्रेंज (जे। लैग्रेंज; सी। 1780)। एल से। h c माध्यम की गति का नियम निर्भरता के रूप में निर्धारित होता है ... ... भौतिक विश्वकोश

लैग्रेंज गुणक विधि, फ़ंक्शन f(x) के सशर्त चरम को खोजने की एक विधि, जहां, m बाधाओं के संबंध में, i एक से m तक भिन्न होता है। सामग्री 1 विधि का विवरण ... विकिपीडिया

कई चर और कार्यात्मक कार्यों के सशर्त चरम के लिए समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाने वाला एक फ़ंक्शन। एल एफ की मदद से। एक सशर्त चरम के लिए समस्याओं में आवश्यक इष्टतमता की स्थिति लिखी जाती है। केवल चर व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है ... गणितीय विश्वकोश

सशर्त चरम के लिए समस्याओं को हल करने की विधि; एल एम एम तथाकथित के एक सहायक कार्य के बिना शर्त चरम के लिए इन समस्याओं को कम करने में शामिल है। लैग्रेंज फ़ंक्शन। फ़ंक्शन f (x1, x2,..., xn) के लिए ... ... के चरम की समस्या के लिए

वेरिएबल्स, जिनकी मदद से लैग्रेंज फंक्शन का निर्माण एक सशर्त चरम के लिए समस्याओं के अध्ययन में किया जाता है। एलएम और लैग्रेंज फ़ंक्शन का उपयोग एक सशर्त चरम के लिए समस्याओं में एक समान तरीके से आवश्यक इष्टतमता की स्थिति प्राप्त करना संभव बनाता है ... गणितीय विश्वकोश

1) हाइड्रोमैकेनिक्स में, लैग्रेंज चर में लिखे गए तरल माध्यम की गति के समीकरण, जो माध्यम के कणों के निर्देशांक होते हैं। एल से। माध्यम के कणों की गति का नियम समय पर निर्देशांक की निर्भरता के रूप में निर्धारित होता है, और उनके अनुसार ... ... महान सोवियत विश्वकोश

लैग्रेंज विधि

वर्ग के योग के लिए एक द्विघात रूप को कम करने की विधि, 1759 में जे। लैग्रेंज द्वारा इंगित की गई। दिया जाए

चर x 0 . से , एक्स 1 ,..., एक्स एन. क्षेत्र से गुणांक के साथ कविशेषताएँ इस प्रपत्र को विहित में लाना आवश्यक है। मन

चर के एक गैर-डीजेनरेट रैखिक परिवर्तन का उपयोग करना। एल.एम. में निम्नलिखित शामिल हैं। हम मान सकते हैं कि फॉर्म (1) के सभी गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, दो मामले संभव हैं।

1) कुछ के लिए जी,विकर्ण तब

जहाँ प्रपत्र f 1 (x) में कोई चर नहीं है एक्स जी। 2) यदि सभी लेकिन तब

जहाँ प्रपत्र f 2 (x) में दो चर नहीं हैं एक्स जीऔर एक्स एच।(4) में वर्ग चिन्हों के नीचे के रूप रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। फॉर्म (3) और (4) के रूपांतरों को लागू करके, फॉर्म (1) को चरणों की एक सीमित संख्या के बाद रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक रूपों के वर्गों के योग में घटा दिया जाता है। आंशिक अवकलजों का प्रयोग करते हुए सूत्र (3) और (4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

लिट: जी ए एन टी एम ए एच ई आर एफ। आर।,मैट्रिसेस का सिद्धांत, दूसरा संस्करण, मॉस्को, 1966; के उर ओ श ए जी, उच्च बीजगणित का पाठ्यक्रम, 11वां संस्करण, एम., 1975; अलेक्जेंड्रोव पी.एस., विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर व्याख्यान ..., एम।, 1968। आई वी प्रोस्कुर्यकोव।

गणितीय विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

देखें कि "LAGRANGE METHOD" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

लैग्रेंज विधि- लैग्रेंज विधि - लैग्रेंज फ़ंक्शन के सैडल पॉइंट (x *, *) को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने की एक विधि, जो इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है। .. ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

लैग्रेंज विधि- लैग्रेंज फ़ंक्शन के सैडल पॉइंट (x*, ?*) को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने की एक विधि, जिसे xi और ?i के संबंध में इस फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है। . लैग्रेंजियन देखें। (एक्स, आप) = सी और एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 सतह पर एक्सओयू.

इससे सिस्टम की जड़ों को खोजने की एक विधि का अनुसरण किया जाता है। अरेखीय समीकरण:

समीकरणों (10) या समीकरण (11) की प्रणाली के समाधान के अस्तित्व का अंतराल (कम से कम लगभग) निर्धारित करें। यहां सिस्टम में शामिल समीकरणों के प्रकार, उनके प्रत्येक समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र आदि को ध्यान में रखना आवश्यक है। कभी-कभी समाधान के प्रारंभिक सन्निकटन के चयन का उपयोग किया जाता है;

चयनित अंतराल पर चर x और y के लिए समीकरण (11) के समाधान को सारणीबद्ध करें, या कार्यों के ग्राफ़ बनाएं एफ 1 (एक्स, आप) = सी, और एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 (सिस्टम (10))।

समीकरणों की प्रणाली की अनुमानित जड़ों का स्थानीयकरण करें - समीकरण की जड़ों की सारणी तालिका से कई न्यूनतम मान खोजें (11), या सिस्टम में शामिल वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करें (10)।

4. ऐड-ऑन का प्रयोग करके समीकरणों के निकाय (10) के मूल ज्ञात कीजिए समाधान खोजें।