समीकरणों को जल्दी और सफलतापूर्वक हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको सबसे सरल नियमों और उदाहरणों से शुरुआत करनी होगी। सबसे पहले, आपको समीकरणों को हल करना सीखना होगा, जिसके बाईं ओर एक अज्ञात के साथ कुछ संख्याओं का अंतर, योग, भागफल या उत्पाद है, और दाईं ओर एक और संख्या है। दूसरे शब्दों में, इन समीकरणों में एक अज्ञात शब्द होता है और या तो सबट्रेंड के साथ मिन्यूएंड, या भाजक के साथ विभाज्य, आदि। यह इस प्रकार के समीकरणों के बारे में है जिसके बारे में हम आपसे बात करेंगे।
यह लेख उन बुनियादी नियमों के लिए समर्पित है जो आपको कारकों, अज्ञात शब्दों आदि को खोजने की अनुमति देते हैं। हम विशिष्ट उदाहरणों के साथ सभी सैद्धांतिक प्रावधानों की तुरंत व्याख्या करेंगे।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
अज्ञात शब्द ढूँढना
मान लीजिए कि हमारे पास दो फूलदानों में कुछ संख्या में गेंदें हैं, मान लीजिए 9। हम जानते हैं कि दूसरे फूलदान में 4 कंचे हैं। सेकंड में मात्रा कैसे ज्ञात करें? आइए इस समस्या को गणितीय रूप में लिखें, जो कि x के रूप में पाई जाने वाली संख्या को दर्शाता है। मूल स्थिति के अनुसार, यह संख्या 4 के साथ मिलकर 9 बनाती है, इसलिए हम समीकरण 4 + x = 9 लिख सकते हैं। बाईं ओर, हमें एक अज्ञात पद के साथ एक योग मिला, दाईं ओर, इस राशि का मान। एक्स कैसे खोजें? ऐसा करने के लिए, आपको नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है:
परिभाषा 1
अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात को योग से घटाएं।
इस मामले में, हम घटाव को एक अर्थ देते हैं जो जोड़ के विपरीत है। दूसरे शब्दों में, जोड़ और घटाव के संचालन के बीच एक निश्चित संबंध है, जिसे शाब्दिक रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: यदि a + b \u003d c, तो c - a \u003d b और c - b \u003d a, और इसके विपरीत, व्यंजकों c - a \u003d b और c - b = a से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a + b = c ।
इस नियम को जानकर हम ज्ञात और योग का प्रयोग करके एक अज्ञात पद ज्ञात कर सकते हैं। हम कौन सा शब्द जानते हैं, पहला या दूसरा, इस मामले में महत्वपूर्ण नहीं है। आइए देखें कि इस नियम को व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।
उदाहरण 1
आइए हम ऊपर दिए गए समीकरण को लें: 4 + x = 9। नियम के अनुसार, हमें ज्ञात योग से, 9 के बराबर, ज्ञात पद, 4 के बराबर घटाना होगा। एक प्राकृत संख्या को दूसरे से घटाएँ: 9 - 4 = 5। हमें वह शब्द मिला जिसकी हमें आवश्यकता है, 5 के बराबर।
आमतौर पर, ऐसे समीकरणों के समाधान इस प्रकार लिखे जाते हैं:
- मूल समीकरण पहले लिखा जाता है।
- इसके बाद, हम अज्ञात पद की गणना के लिए नियम लागू करने के बाद प्राप्त समीकरण को लिखते हैं।
- उसके बाद, हम उस समीकरण को लिखते हैं जो संख्याओं के साथ सभी क्रियाओं के बाद निकला।
लेखन के इस रूप की आवश्यकता मूल समीकरण के समतुल्य प्रतिस्थापन को दर्शाने के लिए और मूल को खोजने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करने के लिए आवश्यक है। ऊपर दिए गए हमारे सरल समीकरण का हल इस प्रकार सही ढंग से लिखा जाएगा:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 ।
हम प्राप्त उत्तर की शुद्धता की जांच कर सकते हैं। आइए मूल समीकरण में जो मिला है उसे प्रतिस्थापित करें और देखें कि क्या सही संख्यात्मक समानता इससे निकलती है। 5 को 4 + x = 9 में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें: 4 + 5 = 9। समानता 9 = 9 सही है, जिसका अर्थ है कि अज्ञात शब्द सही पाया गया था। यदि समानता गलत निकली, तो हमें समाधान पर वापस जाना चाहिए और इसकी दोबारा जांच करनी चाहिए, क्योंकि यह एक गलती का संकेत है। एक नियम के रूप में, अक्सर यह एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि या गलत नियम का अनुप्रयोग होता है।
अज्ञात सबट्रेंड या मिन्यूएंड का पता लगाना
जैसा कि हमने पहले पैराग्राफ में उल्लेख किया है, जोड़ और घटाव की प्रक्रियाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। इसकी मदद से, आप एक नियम तैयार कर सकते हैं जो आपको अज्ञात मिन्यूएंड को खोजने में मदद करेगा जब हम अंतर और सबट्रेंड, या अज्ञात सबट्रेंड को मिन्यूएंड या अंतर के माध्यम से जानते हैं। हम इन दो नियमों को बारी-बारी से लिखते हैं और दिखाते हैं कि समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें कैसे लागू किया जाए।
परिभाषा 2
अज्ञात minuend खोजने के लिए, minuend को अंतर में जोड़ें।
उदाहरण 2
उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण x - 6 = 10 है। कम अज्ञात। नियम के अनुसार, हमें घटाए गए 6 को अंतर 10 में जोड़ने की जरूरत है, हमें 16 मिलता है। यानी मूल मीन्यूएण्ड सोलह है। आइए समाधान को इसकी संपूर्णता में लिखें:
x - 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 ।
आइए परिणामी संख्या को मूल समीकरण में जोड़कर परिणाम की जाँच करें: 16 - 6 = 10। समानता 16-16 सही होगी, जिसका अर्थ है कि हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की है।
परिभाषा 3
अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाएं।
उदाहरण 3
आइए समीकरण 10 - x = 8 को हल करने के लिए नियम का उपयोग करें। हमें नहीं पता कि क्या घटाया जा रहा है, इसलिए हमें अंतर को 10 से घटाना होगा, यानी। 10 - 8 = 2. इसलिए, आवश्यक सबट्रेंड दो के बराबर है। यहाँ संपूर्ण समाधान प्रविष्टि है:
10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2।
आइए मूल समीकरण में एक ड्यूस को प्रतिस्थापित करके शुद्धता की जांच करें। आइए सही समानता 10 - 2 = 8 प्राप्त करें और सुनिश्चित करें कि हमें जो मान मिला है वह सही होगा।
अन्य नियमों पर जाने से पहले, हम ध्यान दें कि समीकरण के एक भाग से दूसरे में किसी भी पद को स्थानांतरित करने के लिए एक नियम है जिसमें संकेत उलट दिया गया है। उपरोक्त सभी नियम इसके पूर्णतया संगत हैं।
अज्ञात गुणक का पता लगाना
आइए दो समीकरण देखें: x 2 = 20 और 3 x = 12। दोनों में, हम उत्पाद के मूल्य और कारकों में से एक को जानते हैं, हमें दूसरा खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, हमें एक और नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है।
परिभाषा 4
अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है।
यह नियम एक भाव पर आधारित है जो गुणन के विपरीत है। गुणा और भाग के बीच निम्नलिखित संबंध है: a b = c जब a और b 0 के बराबर नहीं हैं, c: a = b, c: b = c और इसके विपरीत।
उदाहरण 4
ज्ञात भागफल 20 को ज्ञात गुणनखंड 2 से विभाजित करके पहले समीकरण में अज्ञात गुणनखंड की गणना करें। हम प्राकृत संख्याओं का विभाजन करते हैं और 10 प्राप्त करते हैं। आइए समानता के क्रम को लिखें:
x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10।
हम दस को मूल समानता में प्रतिस्थापित करते हैं और हमें वह 2 10 \u003d 20 मिलता है। अज्ञात गुणक का मान सही ढंग से किया गया था।
आइए स्पष्ट करें कि यदि कारकों में से एक शून्य है, तो यह नियम लागू नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हम इसकी सहायता से समीकरण x 0 = 11 को हल नहीं कर सकते। इस संकेतन का कोई मतलब नहीं है क्योंकि समाधान 11 को 0 से विभाजित करना है, और शून्य से विभाजन अपरिभाषित है। हमने रैखिक समीकरणों को समर्पित लेख में ऐसे मामलों के बारे में अधिक विस्तार से बात की।
जब हम इस नियम को लागू करते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से समीकरण के दोनों पक्षों को 0 से भिन्न गुणनखंड से विभाजित कर रहे हैं। एक अलग नियम है जिसके अनुसार ऐसा विभाजन किया जा सकता है, और यह समीकरण की जड़ों को प्रभावित नहीं करेगा, और इस अनुच्छेद में हमने जो लिखा है वह पूरी तरह से इसके अनुरूप है।
अज्ञात लाभांश या भाजक ढूँढना
एक और मामला जिस पर हमें विचार करने की आवश्यकता है, वह है अज्ञात लाभांश का पता लगाना यदि हम भाजक और भागफल को जानते हैं, और भाजक और भाजक ज्ञात होने पर भाजक भी ढूंढते हैं। हम इस नियम को यहां पहले ही बताए गए गुणन और भाग के बीच संबंध की सहायता से बना सकते हैं।
परिभाषा 5
अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए भाजक को भागफल से गुणा करें।
आइए देखें कि यह नियम कैसे लागू होता है।
उदाहरण 5
आइए इसका उपयोग समीकरण x: 3 = 5 को हल करने के लिए करें। हम ज्ञात भागफल और ज्ञात भाजक को आपस में गुणा करते हैं और 15 प्राप्त करते हैं, जो कि विभाज्य होगा जिसकी हमें आवश्यकता है।
यहाँ संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:
एक्स: 3 = 5, एक्स = 3 5, एक्स = 15।
चेक से पता चलता है कि हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की, क्योंकि जब 15 को 3 से विभाजित किया जाता है, तो यह वास्तव में 5 निकलता है। सही संख्यात्मक समानता सही निर्णय का प्रमाण है।
इस नियम की व्याख्या समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को 0 के अलावा समान संख्या से गुणा करने के रूप में की जा सकती है। यह परिवर्तन किसी भी तरह से समीकरण की जड़ों को प्रभावित नहीं करता है।
आइए अगले नियम पर चलते हैं।
परिभाषा 6
अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा।
उदाहरण 6
आइए एक सरल उदाहरण लेते हैं - समीकरण 21: x = 3। इसे हल करने के लिए, हम ज्ञात विभाज्य 21 को भागफल 3 से भाग देते हैं और 7 प्राप्त करते हैं। यह वांछित भाजक होगा। अब हम सही निर्णय लेते हैं:
21:x=3, x=21:3, x=7.
आइए सुनिश्चित करें कि मूल समीकरण में सात को प्रतिस्थापित करके परिणाम सही है। 21:7 = 3, इसलिए समीकरण के मूल की गणना सही ढंग से की गई थी।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह नियम केवल तभी लागू होता है जब भागफल शून्य न हो, अन्यथा हमें फिर से 0 से विभाजित करना होगा। यदि भागफल शून्य है, तो दो विकल्प संभव हैं। यदि लाभांश भी शून्य है और समीकरण 0: x \u003d 0 जैसा दिखता है, तो चर का मान कोई भी होगा, अर्थात इस समीकरण में अनंत संख्या में जड़ें हैं। लेकिन 0 के बराबर एक भागफल के साथ एक समीकरण, 0 के अलावा अन्य लाभांश के साथ, समाधान नहीं होगा, क्योंकि ऐसे कोई भाजक मान नहीं हैं। एक उदाहरण समीकरण 5: x = 0 होगा, जिसका कोई मूल नहीं है।
नियमों का लगातार लागू होना
अक्सर व्यवहार में अधिक जटिल समस्याएं होती हैं जिनमें शब्द, माइनस, सबट्रेंड, कारक, लाभांश और भागफल खोजने के नियमों को क्रमिक रूप से लागू किया जाना चाहिए। आइए एक उदाहरण लेते हैं।
उदाहरण 7
हमारे पास 3 x + 1 = 7 जैसा समीकरण है। हम अज्ञात पद 3 x की गणना करते हैं, 7 में से एक घटाते हैं। हम 3 · x = 7 - 1 के साथ समाप्त होते हैं, फिर 3 · x = 6। इस समीकरण को हल करना बहुत आसान है: 6 को 3 से विभाजित करें और मूल समीकरण का मूल प्राप्त करें।
यहाँ एक और समीकरण (2 x - 7) को हल करने के लिए एक आशुलिपि है: 3 - 5 = 2:
(2 x - 7) : 3 - 5 = 2 , (2 x - 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x - 7) : 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x - 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14।
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प्रथम स्तर
रेखीय समीकरण। पूरी गाइड (2019)
"रैखिक समीकरण" क्या हैं
या मौखिक रूप से - तीन दोस्तों को सेब दिए गए, इस तथ्य के आधार पर कि वास्या के पास सभी सेब हैं।
और अब आपने तय कर लिया है रेखीय समीकरण
आइए अब इस शब्द को गणितीय परिभाषा दें।
रेखीय समीकरण - एक बीजीय समीकरण है जिसके घटक बहुपदों की कुल घात है. यह इस तरह दिख रहा है:
कोई संख्या कहां और कहां हैं और
वास्या और सेब के मामले में हम लिखेंगे:
- "अगर वास्या तीनों दोस्तों को समान संख्या में सेब देती है, तो उसके पास कोई सेब नहीं बचेगा"
"छिपे हुए" रैखिक समीकरण, या समान परिवर्तनों का महत्व
इस तथ्य के बावजूद कि पहली नज़र में सब कुछ बेहद सरल है, समीकरणों को हल करते समय, आपको सावधान रहने की आवश्यकता है, क्योंकि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है, बल्कि किसी भी समीकरण को परिवर्तन और सरलीकरण द्वारा इस रूप में कम किया जाता है। उदाहरण के लिए:
हम देखते हैं कि यह दाईं ओर है, जो, सिद्धांत रूप में, पहले से ही इंगित करता है कि समीकरण रैखिक नहीं है। इसके अलावा, यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें दो और पद मिलेंगे जिनमें यह होगा, लेकिन निष्कर्ष पर मत पहुंचो! यह निर्धारित करने से पहले कि क्या समीकरण रैखिक है, सभी परिवर्तन करना और इस प्रकार मूल उदाहरण को सरल बनाना आवश्यक है। इस मामले में, परिवर्तन उपस्थिति को बदल सकते हैं, लेकिन समीकरण का सार नहीं।
दूसरे शब्दों में, ये परिवर्तन होना चाहिए सदृशया समकक्ष. ऐसे केवल दो परिवर्तन हैं, लेकिन वे समस्याओं को हल करने में एक बहुत ही महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। आइए ठोस उदाहरणों पर दोनों परिवर्तनों पर विचार करें।
बाएं - दाएं ले जाएं।
मान लें कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
प्राथमिक विद्यालय में वापस, हमें बताया गया था: "एक्स के साथ - बाईं ओर, एक्स के बिना - दाईं ओर।" x के साथ कौन सा व्यंजक दायीं ओर है? ठीक है, कैसे नहीं। और यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि यदि यह सरल प्रतीत होने वाला प्रश्न गलत समझा जाता है, तो गलत उत्तर सामने आता है। और बाईं ओर x के साथ व्यंजक क्या है? सही ढंग से, .
अब जब हमने इसे निपटा लिया है, तो हम सभी शर्तों को अज्ञात के साथ बाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं, और जो कुछ भी ज्ञात है वह दाईं ओर, यह याद करते हुए कि यदि संख्या के सामने कोई संकेत नहीं है, उदाहरण के लिए, तो संख्या सकारात्मक है, कि है, यह चिन्ह "" से पहले है।
ले जाया गया? तुम्हें क्या मिला?
जो कुछ किया जाना बाकी है वह समान शर्तों को लाना है। हम उपस्थित है:
इसलिए, हमने पहले समान परिवर्तन को सफलतापूर्वक पार्स किया है, हालांकि मुझे यकीन है कि आप इसे पहले से ही जानते थे और मेरे बिना सक्रिय रूप से इसका इस्तेमाल करते थे। मुख्य बात - संख्याओं के संकेतों के बारे में मत भूलना और समान चिह्न के माध्यम से स्थानांतरित करते समय उन्हें विपरीत में बदलें!
गुणा - भाग।
आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू करें
हम देखते हैं और सोचते हैं: इस उदाहरण में हमें क्या पसंद नहीं है? अज्ञात सब एक भाग में है, ज्ञात दूसरे में है, लेकिन कुछ हमें रोक रहा है ... और यह कुछ है - एक चार, क्योंकि अगर यह नहीं होता, तो सब कुछ सही होता - x एक संख्या के बराबर होता है - ठीक वैसे ही जैसे हमें चाहिए!
आप इससे कैसे छुटकारा पा सकते हैं? हम दाईं ओर स्थानांतरित नहीं कर सकते, क्योंकि तब हमें पूरे गुणक को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है (हम इसे नहीं ले सकते हैं और इसे दूर नहीं कर सकते हैं), और पूरे गुणक को स्थानांतरित करने का भी कोई मतलब नहीं है ...
यह उस विभाजन के बारे में याद रखने का समय है, जिसके संबंध में हम सब कुछ विभाजित करेंगे! सब - इसका अर्थ है बाएँ और दाएँ दोनों ओर। तो और केवल इतना! हमें क्या मिलता है?
यहाँ उत्तर है।
आइए अब एक और उदाहरण देखें:
सोचो इस मामले में क्या करना है? यह सही है, बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करें! आपको क्या जवाब मिला? सही ढंग से। .
निश्चित रूप से आप पहले से ही समान परिवर्तनों के बारे में सब कुछ जानते थे। विचार करें कि हमने इस ज्ञान को आपकी स्मृति में ताज़ा कर दिया है और यह कुछ और करने का समय है - उदाहरण के लिए, हमारे बड़े उदाहरण को हल करने के लिए:
जैसा कि हमने पहले कहा, इसे देखते हुए, आप यह नहीं कह सकते कि यह समीकरण रैखिक है, लेकिन हमें कोष्ठक खोलने और समान परिवर्तन करने की आवश्यकता है। तो चलो शुरू करते है!
आरंभ करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करते हैं, विशेष रूप से, योग का वर्ग और अंतर का वर्ग। यदि आपको यह याद नहीं है कि यह क्या है और कोष्ठक कैसे खोले जाते हैं, तो मैं दृढ़ता से इस विषय को पढ़ने की सलाह देता हूँ, क्योंकि परीक्षा में पाए गए लगभग सभी उदाहरणों को हल करते समय ये कौशल आपके लिए उपयोगी होंगे।
प्रकट किया? तुलना करना:
अब समान शर्तें लाने का समय आ गया है। क्या आपको याद है कि कैसे हमें एक ही प्राथमिक कक्षाओं में बताया गया था कि "हम कटलेट के साथ मक्खियाँ नहीं डालते"? यहां मैं आपको इसकी याद दिला रहा हूं। हम सब कुछ अलग-अलग जोड़ते हैं - कारक जो हैं, कारक हैं, और अन्य कारक जिनके पास अज्ञात नहीं है। जैसे ही आप समान शब्द लाते हैं, सभी अज्ञात को बाईं ओर ले जाएं, और जो कुछ भी ज्ञात है उसे दाईं ओर ले जाएं। तुम्हें क्या मिला?
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्स-स्क्वायर गायब हो गया है, और हम पूरी तरह से सामान्य देखते हैं रेखीय समीकरण. ढूँढना ही रह जाता है !
और अंत में, मैं समान परिवर्तनों के बारे में एक और बहुत महत्वपूर्ण बात कहूंगा - समान परिवर्तन न केवल रैखिक समीकरणों के लिए लागू होते हैं, बल्कि वर्ग, भिन्नात्मक तर्कसंगत और अन्य के लिए भी लागू होते हैं। आपको बस यह याद रखने की आवश्यकता है कि समान चिह्न के माध्यम से कारकों को स्थानांतरित करते समय, हम संकेत को विपरीत में बदलते हैं, और किसी संख्या से विभाजित या गुणा करते समय, हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा / विभाजित करते हैं।
आपने इस उदाहरण से और क्या लिया? कि एक समीकरण को देखकर यह हमेशा सीधे और सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं है कि यह रैखिक है या नहीं। आपको पहले अभिव्यक्ति को पूरी तरह से सरल बनाना होगा, और उसके बाद ही यह तय करना होगा कि यह क्या है।
रेखीय समीकरण। उदाहरण।
आपके लिए स्वयं अभ्यास करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं - निर्धारित करें कि क्या समीकरण रैखिक है और यदि ऐसा है, तो इसके मूल ज्ञात करें:
उत्तर:
1. एक।
2. क्या नहीं है।
आइए कोष्ठक खोलें और समान पद दें:
आइए एक समान परिवर्तन करें - हम बाएँ और दाएँ भागों को विभाजित करते हैं:
हम देखते हैं कि समीकरण रैखिक नहीं है, इसलिए इसकी जड़ों को देखने की कोई आवश्यकता नहीं है।
3. एक।
आइए एक समान परिवर्तन करें - हर से छुटकारा पाने के लिए बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करें।
सोचो यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर जानते हैं, तो हम आगे समीकरण को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं, यदि नहीं, तो विषय को देखना सुनिश्चित करें ताकि अधिक जटिल उदाहरणों में गलती न हो। वैसे, जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी स्थिति जहां यह असंभव है। क्यों?
तो चलिए आगे बढ़ते हैं और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
यदि आपने बिना किसी कठिनाई के हर चीज का सामना किया है, तो आइए दो चर वाले रैखिक समीकरणों के बारे में बात करते हैं।
दो चर वाले रैखिक समीकरण
अब चलिए थोड़ा अधिक जटिल एक - दो चरों वाले रैखिक समीकरणों पर चलते हैं।
रेखीय समीकरणदो चर के साथ इस तरह दिखते हैं:
कहां, और कोई संख्या है और।
जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर केवल इतना है कि समीकरण में एक और चर जोड़ा जाता है। और इसलिए सब कुछ समान है - कोई x वर्ग नहीं है, एक चर द्वारा कोई विभाजन नहीं है, आदि। आदि।
आपको देने के लिए क्या एक जीवन उदाहरण है ... चलो वही वास्या लेते हैं। मान लीजिए कि उसने फैसला किया कि वह अपने 3 दोस्तों में से प्रत्येक को समान संख्या में सेब देगा, और सेब अपने पास रखेगा। यदि वास्या प्रत्येक मित्र को एक सेब देता है तो उसे कितने सेब खरीदने होंगे? व्हाट अबाउट? क्या होगा अगर द्वारा?
प्रत्येक व्यक्ति को खरीदे जाने वाले सेबों की कुल संख्या पर प्राप्त होने वाले सेबों की संख्या की निर्भरता समीकरण द्वारा व्यक्त की जाएगी:
- - एक व्यक्ति को प्राप्त होने वाले सेबों की संख्या (, या, या);
- - सेब की संख्या जो वास्या अपने लिए लेगी;
- - प्रति व्यक्ति सेब की संख्या को ध्यान में रखते हुए, वास्या को कितने सेब खरीदने की जरूरत है।
इस समस्या को हल करते हुए, हम पाते हैं कि अगर वास्या एक दोस्त को एक सेब देता है, तो उसे टुकड़े खरीदने की जरूरत है, अगर वह सेब देता है - और इसी तरह।
और आम तौर पर बोल रहा हूँ। हमारे पास दो चर हैं। इस निर्भरता को एक ग्राफ पर क्यों नहीं चित्रित करते? हम अपने मूल्य का निर्माण और अंकन करते हैं, अर्थात अंक, निर्देशांक के साथ, और!
जैसा कि आप देख सकते हैं, और एक दूसरे पर निर्भर हैं रैखिक, इसलिए समीकरणों का नाम - " रैखिक».
हम सेब से सार निकालते हैं और ग्राफिक रूप से भिन्न समीकरणों पर विचार करते हैं। दो निर्मित रेखांकन को ध्यान से देखें - एक सीधी रेखा और एक परवलय, जो मनमाने कार्यों द्वारा दिए गए हैं:
दोनों आकृतियों पर संबंधित बिंदुओं को खोजें और चिह्नित करें।
तुम्हें क्या मिला?
आप देख सकते हैं कि पहले फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर अकेलामेल खाती है एक, अर्थात्, और रैखिक रूप से एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, जिसे दूसरे फ़ंक्शन के बारे में नहीं कहा जा सकता है। बेशक, आप इस पर आपत्ति कर सकते हैं कि दूसरे ग्राफ़ पर, x भी - से मेल खाता है, लेकिन यह केवल एक बिंदु है, यानी एक विशेष मामला है, क्योंकि आप अभी भी एक से अधिक से मेल खाने वाले को ढूंढ सकते हैं। और निर्मित ग्राफ किसी भी तरह से एक रेखा जैसा नहीं है, बल्कि एक परवलय है।
मैं दोहराता हूं, एक बार और: एक रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा होना चाहिए.
इस तथ्य के साथ कि समीकरण रैखिक नहीं होगा, अगर हम किसी भी हद तक जाते हैं - यह एक परवलय के उदाहरण का उपयोग करके समझ में आता है, हालांकि अपने लिए आप कुछ और सरल रेखांकन बना सकते हैं, उदाहरण के लिए या। लेकिन मैं आपको विश्वास दिलाता हूं - इनमें से कोई भी सीधी रेखा नहीं होगी।
विश्वास नहीं करते? मुझे जो मिला उसके साथ बनाएं और फिर तुलना करें:
और क्या होता है यदि हम किसी चीज़ को, उदाहरण के लिए, किसी संख्या से भाग दें? क्या एक रैखिक निर्भरता होगी और? हम बहस नहीं करेंगे, लेकिन हम निर्माण करेंगे! उदाहरण के लिए, आइए एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें।
किसी तरह यह निर्मित सीधी रेखा की तरह नहीं दिखता ... तदनुसार, समीकरण रैखिक नहीं है।
आइए संक्षेप करें:
- रेखीय समीकरण -एक बीजीय समीकरण है जिसमें इसके घटक बहुपदों की कुल घात बराबर होती है।
- रेखीय समीकरणएक चर के साथ जैसा दिखता है:
, जहां और कोई संख्याएं हैं;
रेखीय समीकरणदो चर के साथ:
, कहाँ, और कोई संख्या है। - यह निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि कोई समीकरण रैखिक है या नहीं। कभी-कभी, इसे समझने के लिए, समान परिवर्तन करना आवश्यक है, समान शब्दों को बाएँ / दाएँ ले जाएँ, चिह्न बदलना न भूलें, या समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा / विभाजित करें।
रेखीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में
1. रैखिक समीकरण
यह एक बीजीय समीकरण है जिसमें इसके घटक बहुपदों की कुल घात बराबर होती है।
2. एक चर के साथ रैखिक समीकरणकी तरह लगता है:
कोई संख्या कहां और हैं;
3. दो चरों के साथ रैखिक समीकरणकी तरह लगता है:
कहां, और कोई संख्या है।
4. पहचान परिवर्तन
यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण रैखिक है या नहीं, समान परिवर्तन करना आवश्यक है:
- बाएँ/दाएँ समान पदों पर जाएँ, चिह्न बदलना न भूलें;
- समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा/भाग दें।
कौशल विकसित करने का लंबा रास्ता समीकरण हल करनासबसे पहले और अपेक्षाकृत सरल समीकरणों को हल करने के साथ शुरू होता है। ऐसे समीकरणों से हमारा तात्पर्य उन समीकरणों से है, जिनके बाईं ओर दो संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल या भागफल होता है, जिनमें से एक अज्ञात होती है और दाईं ओर एक संख्या होती है। यानी, इन समीकरणों में एक अज्ञात शब्द, माइन्यूएंड, सबट्रेंड, गुणक, लाभांश या भाजक होता है। इस लेख में ऐसे समीकरणों के समाधान पर चर्चा की जाएगी।
यहां हम ऐसे नियम देंगे जो हमें एक अज्ञात शब्द, गुणक आदि खोजने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, हम तुरंत व्यवहार में इन नियमों के आवेदन पर विचार करेंगे, विशेषता समीकरणों को हल करेंगे।
पृष्ठ नेविगेशन।
इसलिए, हम मूल समीकरण 3 + x = 8 में x के बजाय संख्या 5 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें 3 + 5 = 8 मिलता है - यह समानता सही है, इसलिए, हमने अज्ञात शब्द को सही ढंग से पाया। यदि चेक के दौरान हमें गलत संख्यात्मक समानता मिली, तो यह हमें संकेत देगा कि हमने समीकरण को गलत तरीके से हल किया था। इसका मुख्य कारण या तो गलत नियम का लागू होना हो सकता है, या कम्प्यूटेशनल त्रुटियां हो सकती हैं।
कैसे अज्ञात minuend खोजने के लिए, घटाव?
संख्याओं के जोड़ और घटाव के बीच संबंध, जिसका हमने पहले ही पिछले पैराग्राफ में उल्लेख किया है, हमें एक ज्ञात सबट्रेंड और अंतर के माध्यम से एक अज्ञात मिन्यूएंड खोजने के लिए एक नियम प्राप्त करने की अनुमति देता है, साथ ही एक ज्ञात माइन्यूएंड के माध्यम से एक अज्ञात सबट्रेंड खोजने के लिए एक नियम प्राप्त करने की अनुमति देता है। और अंतर। हम उन्हें बारी-बारी से तैयार करेंगे, और तुरंत संबंधित समीकरणों का हल देंगे।
अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।
उदाहरण के लिए, समीकरण x−2=5 पर विचार करें। इसमें एक अज्ञात minuend शामिल है। उपरोक्त नियम हमें बताता है कि इसे खोजने के लिए, हमें ज्ञात सबट्रेंड 2 को ज्ञात अंतर 5 में जोड़ना होगा, हमारे पास 5+2=7 है। इस प्रकार, अभीष्ट minuend सात के बराबर है।
यदि आप स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो समाधान इस प्रकार लिखा जाता है:
x−2=5 ,
एक्स=5+2 ,
एक्स = 7।
आत्म-नियंत्रण के लिए, हम एक जाँच करेंगे। हम पाए गए को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, और हम संख्यात्मक समानता 7−2=5 प्राप्त करते हैं। यह सही है, इसलिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि हमने अज्ञात मिनट का मूल्य सही ढंग से निर्धारित किया है।
आप अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। यह निम्नलिखित नियम के अनुसार जोड़कर पाया जाता है: अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, minuend से अंतर घटाना आवश्यक है.
हम लिखित नियम का उपयोग करके फॉर्म 9−x=4 के समीकरण को हल करते हैं। इस समीकरण में, अज्ञात सबट्रेंड है। इसे खोजने के लिए, हमें ज्ञात अंतर 4 को ज्ञात घटाए गए 9 से घटाना होगा, हमारे पास 9−4=5 है। इस प्रकार, आवश्यक सबट्रेंड पांच के बराबर है।
यहाँ इस समीकरण के समाधान का एक संक्षिप्त रूप दिया गया है:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
एक्स = 5।
यह केवल पाए गए सबट्रेंड की शुद्धता की जांच करने के लिए बनी हुई है। आइए एक चेक बनाते हैं, जिसके लिए हम मूल समीकरण में x के बजाय पाए गए मान 5 को प्रतिस्थापित करते हैं, और हमें संख्यात्मक समानता 9−5=4 प्राप्त होती है। यह सही है, इसलिए हमने जो सबट्रेंड का मूल्य पाया वह सही है।
और अगले नियम पर जाने से पहले, हम ध्यान दें कि छठी कक्षा में, समीकरणों को हल करने के लिए एक नियम पर विचार किया जाता है, जो आपको किसी भी पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित करने की अनुमति देता है। तो, एक अज्ञात शब्द खोजने के लिए ऊपर विचार किए गए सभी नियम, घटाए और घटाए गए, इसके साथ पूरी तरह से संगत हैं।
अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको...
आइए समीकरणों पर एक नज़र डालें x 3=12 तथा 2 y=6 । उनमें अज्ञात संख्या बाईं ओर का कारक है, और उत्पाद और दूसरा कारक ज्ञात है। अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आप निम्न नियम का उपयोग कर सकते हैं: अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है.
इस नियम का आधार यह है कि हमने संख्याओं के भाग को गुणन के अर्थ के विपरीत अर्थ दिया है। अर्थात्, गुणा और भाग के बीच एक संबंध है: समानता a b=c से, जिसमें a≠0 और b≠0, यह इस प्रकार है कि c:a=b और c:b=c , और इसके विपरीत।
उदाहरण के लिए, आइए समीकरण x·3=12 के अज्ञात गुणनखंड को खोजें। नियम के अनुसार, हमें ज्ञात गुणनफल 12 को ज्ञात गुणनखंड 3 से भाग देना होगा। आइए करते हैं : 12:3=4 । अतः अज्ञात गुणनखंड 4 है।
संक्षेप में, समीकरण के हल को समानता के अनुक्रम के रूप में लिखा जाता है:
एक्स 3=12 ,
एक्स=12:3 ,
एक्स = 4।
परिणाम की जांच करना भी वांछनीय है: हम मूल समीकरण में अक्षर के बजाय पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें 4 3 \u003d 12 - सही संख्यात्मक समानता मिलती है, इसलिए हमने अज्ञात कारक का सही मूल्य पाया।
और एक और बात: अध्ययन किए गए नियम के अनुसार कार्य करते हुए, हम वास्तव में समीकरण के दोनों भागों का विभाजन एक गैर-शून्य ज्ञात गुणक द्वारा करते हैं। ग्रेड 6 में यह कहा जाएगा कि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा और विभाजित किया जा सकता है, इससे समीकरण के मूल प्रभावित नहीं होते हैं।
अज्ञात लाभांश, भाजक कैसे खोजें?
हमारे विषय के हिस्से के रूप में, यह पता लगाना बाकी है कि एक ज्ञात भाजक और भागफल के साथ अज्ञात लाभांश कैसे प्राप्त करें, साथ ही एक ज्ञात भाजक और भागफल के साथ एक अज्ञात भाजक को कैसे खोजें। पिछले पैराग्राफ में पहले ही वर्णित गुणा और भाग के बीच संबंध इन सवालों के जवाब देने की अनुमति देता है।
अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।
आइए एक उदाहरण के साथ इसके आवेदन पर विचार करें। समीकरण x:5=9 हल कीजिए। इस समीकरण के अज्ञात विभाज्य को खोजने के लिए, नियम के अनुसार, ज्ञात भागफल 9 को ज्ञात भाजक 5 से गुणा करना आवश्यक है, अर्थात, हम प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करते हैं: 9 5 \u003d 45। इस प्रकार, वांछित लाभांश 45 है।
आइए समाधान का एक संक्षिप्त संकेतन दिखाएं:
एक्स:5=9 ,
एक्स=9 5 ,
एक्स = 45।
चेक पुष्टि करता है कि अज्ञात लाभांश का मूल्य सही पाया गया है। वास्तव में, जब संख्या 45 को चर x के बजाय मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह सही संख्यात्मक समानता 45:5=9 में बदल जाती है।
ध्यान दें कि विश्लेषित नियम की व्याख्या किसी ज्ञात भाजक द्वारा समीकरण के दोनों भागों के गुणन के रूप में की जा सकती है। ऐसा परिवर्तन समीकरण की जड़ों को प्रभावित नहीं करता है।
आइए अज्ञात भाजक को खोजने के नियम पर चलते हैं: अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, भाज्य को भागफल से विभाजित करें.
एक उदाहरण पर विचार करें। समीकरण 18:x=3 से अज्ञात भाजक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें ज्ञात लाभांश 18 को ज्ञात भागफल 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है, हमारे पास 18:3=6 है। इस प्रकार, अभीष्ट भाजक छह के बराबर है।
समाधान इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है:
18:x=3 ,
एक्स=18:3 ,
एक्स = 6।
आइए विश्वसनीयता के लिए इस परिणाम की जाँच करें: 18:6=3 सही संख्यात्मक समानता है, इसलिए, समीकरण का मूल सही पाया जाता है।
यह स्पष्ट है कि यह नियम केवल तभी लागू किया जा सकता है जब भागफल शून्य से भिन्न हो, ताकि शून्य से विभाजन न हो। जब भागफल शून्य हो, तो दो स्थितियाँ संभव हैं। यदि इस स्थिति में लाभांश शून्य के बराबर है, अर्थात समीकरण का रूप 0:x=0 है, तो यह समीकरण भाजक के किसी भी गैर-शून्य मान को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, इस तरह के समीकरण की जड़ें कोई भी संख्या होती है जो शून्य के बराबर नहीं होती है। यदि, जब भागफल शून्य के बराबर हो, लाभांश शून्य से भिन्न हो, तो भाजक के किसी भी मान के लिए, मूल समीकरण एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में नहीं बदल जाता है, अर्थात समीकरण की कोई जड़ें नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, हम समीकरण 5:x=0 प्रस्तुत करते हैं, इसका कोई हल नहीं है।
नियम साझा करना
अज्ञात शब्द, माइन्यूएंड, सबट्रेंड, गुणक, लाभांश और भाजक को खोजने के लिए नियमों का लगातार आवेदन अधिक जटिल रूप के एकल चर के साथ समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।
समीकरण 3 x+1=7 पर विचार करें। सबसे पहले, हम अज्ञात पद 3 x ज्ञात कर सकते हैं, इसके लिए हमें ज्ञात पद 1 को योग 7 से घटाना होगा, हमें 3 x=7−1 और फिर 3 x=6 प्राप्त होगा। अब 6 के गुणनफल को ज्ञात गुणनखंड 3 से भाग देकर अज्ञात गुणनखंड ज्ञात करना शेष है, हमारे पास x=6:3 है, जहां से x=2 है। अतः मूल समीकरण का मूल ज्ञात किया जाता है।
सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक अन्य समीकरण (2·x−7):3−5=2 का एक संक्षिप्त समाधान प्रस्तुत करते हैं।
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7 ,
2x=28 ,
एक्स=28:2 ,
एक्स = 14।
ग्रंथ सूची।
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समीकरण मास्टर करने के लिए सबसे कठिन विषयों में से एक हैं, लेकिन वे अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हैं।
समीकरणों की सहायता से प्रकृति में होने वाली विभिन्न प्रक्रियाओं का वर्णन किया गया है। अन्य विज्ञानों में समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: अर्थशास्त्र, भौतिकी, जीव विज्ञान और रसायन विज्ञान में।
इस पाठ में, हम सरलतम समीकरणों के सार को समझने की कोशिश करेंगे, अज्ञात को व्यक्त करना सीखेंगे और कई समीकरणों को हल करेंगे। जैसा कि आप नई सामग्री सीखते हैं, समीकरण अधिक जटिल हो जाएंगे, इसलिए मूल बातें समझना बहुत महत्वपूर्ण है।
प्रारंभिक कौशल पाठ सामग्रीएक समीकरण क्या है?
एक समीकरण एक समानता है जिसमें एक चर होता है जिसका मूल्य आप खोजना चाहते हैं। यह मान ऐसा होना चाहिए कि जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाए, तो सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो।
उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 + 2 = 4 एक समानता है। बाईं ओर की गणना करते समय, सही संख्यात्मक समानता 4 = 4 प्राप्त होती है।
लेकिन समानता 2 + एक्स= 4 एक समीकरण है क्योंकि इसमें एक चर शामिल है एक्स, जिसका मूल्य पाया जा सकता है। मान ऐसा होना चाहिए कि जब इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाए, तो सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो।
दूसरे शब्दों में, हमें एक ऐसा मान ढूँढ़ने की ज़रूरत है जहाँ समान चिह्न अपने स्थान को सही ठहराएगा - बायाँ भाग दाएँ पक्ष के बराबर होना चाहिए।
समीकरण 2+ एक्स= 4 प्राथमिक है। परिवर्तनीय मूल्य एक्ससंख्या 2 के बराबर है। कोई अन्य मान बराबर नहीं होगा
संख्या 2 को कहा जाता है जड़या समीकरण का हल 2 + एक्स = 4
जड़या समीकरण का हलचर का वह मान है जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता बन जाता है।
कई जड़ें हो सकती हैं या बिल्कुल भी नहीं हो सकती हैं। प्रश्न हल करेंइसका अर्थ है इसकी जड़ों को खोजना या यह साबित करना कि जड़ें नहीं हैं।
समीकरण में चर को के रूप में भी जाना जाता है अनजान. आप इसे जो चाहें कॉल करने के लिए स्वतंत्र हैं। ये पर्यायवाची हैं।
टिप्पणी. वाक्यांश "समीकरण हल करें" अपने लिए बोलता है। एक समीकरण को हल करने का अर्थ है किसी समीकरण को "समान" करना - इसे संतुलित करना ताकि बायाँ पक्ष दाईं ओर के बराबर हो।
एक को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें
समीकरणों का अध्ययन परंपरागत रूप से कई अन्य के संदर्भ में समानता में शामिल एक संख्या को व्यक्त करना सीखने के साथ शुरू होता है। आइए इस परंपरा को न तोड़ें और ऐसा ही करें।
निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:
8 + 2
यह व्यंजक 8 और 2 संख्याओं का योग है। इस व्यंजक का मान 10 . है
8 + 2 = 10
हमें समानता मिली है। अब आप इस समानता से किसी भी संख्या को समान समानता में शामिल अन्य संख्याओं के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 2 को व्यक्त करें।
संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको प्रश्न पूछने की आवश्यकता है: "संख्या 2 प्राप्त करने के लिए संख्या 10 और 8 के साथ क्या करने की आवश्यकता है।" यह स्पष्ट है कि संख्या 2 प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या 8 को संख्या 10 से घटाना होगा।
तो हम करते हैं। हम संख्या 2 लिखते हैं और समान चिह्न से हम कहते हैं कि यह संख्या 2 प्राप्त करने के लिए हमने संख्या 10 में से संख्या 8 घटा दी:
2 = 10 − 8
हमने संख्या 2 को समीकरण 8 + 2 = 10 से व्यक्त किया। जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है।
समीकरणों को हल करते समय, विशेष रूप से एक संख्या को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करते समय, समान चिह्न को शब्द से बदलना सुविधाजनक होता है " वहाँ है" . यह मानसिक रूप से किया जाना चाहिए, न कि अभिव्यक्ति में।
अत: 8 + 2 = 10 से संख्या 2 को व्यक्त करने पर हमें समानता 2 = 10 - 8 प्राप्त होती है। इस समीकरण को इस तरह पढ़ा जा सकता है:
2 वहाँ है 10 − 8
यानी संकेत = शब्द "है" द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। इसके अलावा, समानता 2 = 10 - 8 का गणितीय भाषा से पूर्ण मानव भाषा में अनुवाद किया जा सकता है। फिर इसे इस तरह पढ़ा जा सकता है:
संख्या 2 वहाँ है 10 और 8 . के बीच का अंतर
संख्या 2 वहाँ हैसंख्या 10 और संख्या 8 के बीच का अंतर।
लेकिन हम खुद को "है" शब्द के साथ समान चिह्न को बदलने के लिए सीमित कर देंगे, और फिर हम हमेशा ऐसा नहीं करेंगे। गणितीय भाषा को मानव भाषा में अनुवाद किए बिना प्राथमिक अभिव्यक्तियों को समझा जा सकता है।
आइए परिणामी समानता 2 = 10 - 8 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:
8 + 2 = 10
आइए इस बार संख्या 8 को व्यक्त करें। 8 संख्या प्राप्त करने के लिए शेष संख्याओं के साथ क्या किया जाना चाहिए? यह सही है, आपको संख्या 2 को संख्या 10 . से घटाना होगा
8 = 10 − 2
आइए परिणामी समानता 8 = 10 - 2 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:
8 + 2 = 10
इस बार हम संख्या 10 व्यक्त करेंगे। लेकिन यह पता चला है कि दस को व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही व्यक्त किया गया है। यह बाएँ और दाएँ भागों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है, फिर हमें वह मिलता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:
10 = 8 + 2
उदाहरण 2. समानता पर विचार करें 8 - 2 = 6
हम इस समानता से संख्या 8 को व्यक्त करते हैं। संख्या 8 को व्यक्त करने के लिए, अन्य दो संख्याओं को जोड़ा जाना चाहिए:
8 = 6 + 2
आइए परिणामी समानता 8 = 6 + 2 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:
8 − 2 = 6
हम इस समानता से संख्या 2 को व्यक्त करते हैं। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमें 8 . में से 6 घटाना होगा
2 = 8 − 6
उदाहरण 3. समीकरण 3 × 2 = 6 . पर विचार करें
संख्या 3 को व्यक्त करें। संख्या 3 को व्यक्त करने के लिए, आपको 6 को 2 . से विभाजित करना होगा
आइए परिणामी समानता को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:
3 x 2 = 6
आइए इस समानता से संख्या 2 को व्यक्त करें। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको 3 को 6 . से विभाजित करना होगा
उदाहरण 4. समानता पर विचार करें
हम इस समानता से संख्या 15 को व्यक्त करते हैं। संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, आपको संख्या 3 और 5 . को गुणा करना होगा
15 = 3 x 5
आइए परिणामी समानता 15 = 3 × 5 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:
हम इस समानता से संख्या 5 को व्यक्त करते हैं। संख्या 5 को व्यक्त करने के लिए, आपको 15 को 3 . से विभाजित करना होगा
अज्ञात खोजने के नियम
अज्ञात खोजने के लिए कई नियमों पर विचार करें। हो सकता है कि वे आपसे परिचित हों, लेकिन उन्हें दोबारा दोहराने में कोई हर्ज नहीं है। भविष्य में, उन्हें भुलाया जा सकता है, क्योंकि हम इन नियमों को लागू किए बिना समीकरणों को हल करना सीखेंगे।
आइए पहले उदाहरण पर लौटते हैं, जिसे हमने पिछले विषय में माना था, जहां समीकरण 8 + 2 = 10 में संख्या 2 को व्यक्त करना आवश्यक था।
समीकरण 8 + 2 = 10 में, संख्याएँ 8 और 2 पद हैं, और संख्या 10 योग है।
संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:
2 = 10 − 8
यानी 10 के योग में से 8 घटाएं।
अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 8 + 2 = 10 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स
8 + एक्स = 10
इस स्थिति में, समीकरण 8 + 2 = 10 समीकरण 8 + . बन जाता है एक्स= 10 , और चर एक्स अज्ञात शब्द
हमारा कार्य इस अज्ञात पद को खोजना है, अर्थात् समीकरण 8 + . को हल करना है एक्स= 10। अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम दिया गया है:
अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।
जो मूल रूप से हमने तब किया था जब हमने दोनों को समीकरण 8 + 2 = 10 में व्यक्त किया था। पद 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने 10 . के योग से एक और पद 8 घटाया
2 = 10 − 8
और अब अज्ञात शब्द खोजने के लिए एक्स, हमें ज्ञात पद 8 को योग 10 से घटाना चाहिए:
एक्स = 10 − 8
यदि आप परिणामी समानता के दाहिने पक्ष की गणना करते हैं, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि चर किसके बराबर है एक्स
एक्स = 2
हमने समीकरण हल कर लिया है। परिवर्तनीय मूल्य एक्स 2 के बराबर। एक चर के मान की जाँच करने के लिए एक्समूल समीकरण 8 + . पर भेजा गया एक्स= 10 और के स्थानापन्न एक्स।किसी भी हल किए गए समीकरण के साथ ऐसा करना वांछनीय है, क्योंकि आप यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है:
नतीजतन
वही नियम लागू होगा यदि अज्ञात शब्द पहला नंबर 8 था।
एक्स + 2 = 10
इस समीकरण में एक्सअज्ञात पद है, 2 ज्ञात पद है, 10 योग है। अज्ञात शब्द खोजने के लिए एक्स, आपको ज्ञात पद 2 को योग 10 . से घटाना होगा
एक्स = 10 − 2
एक्स = 8
आइए पिछले विषय से दूसरे उदाहरण पर वापस आते हैं, जहां समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 8 को व्यक्त करना आवश्यक था।
समीकरण 8 - 2 = 6 में, संख्या 8 न्यूनतम अंत है, संख्या 2 सबट्रेंड है, संख्या 6 अंतर है
संख्या 8 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:
8 = 6 + 2
यानी 6 और घटाए गए 2 के अंतर को जोड़ें।
अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 8 के स्थान पर एक चर है एक्स
एक्स − 2 = 6
इस मामले में, चर एक्सतथाकथित की भूमिका निभाता है अज्ञात
अज्ञात मिन्यूएंड को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:
अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।
जब हमने 8 - 2 = 6 के समीकरण में संख्या 8 को व्यक्त किया तो हमने यही किया। न्यूनतम 8 को व्यक्त करने के लिए, हमने सबट्रेंड 2 को 6 के अंतर में जोड़ा।
और अब, अज्ञात minuend को खोजने के लिए एक्स, हमें सबट्रेंड 2 को अंतर 6 . में जोड़ना होगा
एक्स = 6 + 2
यदि आप दाईं ओर की गणना करते हैं, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि चर किसके बराबर है एक्स
एक्स = 8
अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स
8 − एक्स = 6
इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात सबट्रेंड
अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:
अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मिन्यूएंड से अंतर घटाना होगा।
हमने यही किया जब हमने समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 2 को व्यक्त किया। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने घटाए गए 8 से अंतर 6 घटाया।
और अब, अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए एक्स, आपको घटाए गए 8 . में से अंतर 6 को फिर से घटाना होगा
एक्स = 8 − 6
दाईं ओर की गणना करें और मान ज्ञात करें एक्स
एक्स = 2
आइए पिछले विषय से तीसरे उदाहरण पर लौटते हैं, जहां समीकरण 3 × 2 = 6 में हमने संख्या 3 को व्यक्त करने का प्रयास किया।
समीकरण 3 × 2 = 6 में, संख्या 3 गुणक है, संख्या 2 गुणक है, संख्या 6 गुणनफल है
संख्या 3 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:
अर्थात्, 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से भाग दें।
अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 3 × 2 = 6 में संख्या 3 के स्थान पर एक चर है एक्स
एक्स×2=6
इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात गुणक.
अज्ञात गुणक ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित नियम दिया गया है:
अज्ञात गुणक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणनखंड से विभाजित करना होगा।
जब हमने समीकरण 3 × 2 = 6 से संख्या 3 को व्यक्त किया तो हमने यही किया। हमने 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से विभाजित किया है।
और अब अज्ञात गुणक को खोजने के लिए एक्स, आपको 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से विभाजित करने की आवश्यकता है।
दाईं ओर की गणना हमें चर के मूल्य का पता लगाने की अनुमति देती है एक्स
एक्स = 3
वही नियम लागू होता है यदि चर एक्सगुणक के स्थान पर स्थित है, गुणक के स्थान पर नहीं। कल्पना कीजिए कि समीकरण 3 × 2 = 6 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स ।
इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात गुणक. एक अज्ञात कारक को खोजने के लिए, एक अज्ञात गुणक को खोजने के लिए प्रदान किया जाता है, अर्थात् उत्पाद को एक ज्ञात कारक से विभाजित करना:
अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणन द्वारा गुणनफल को विभाजित करने की आवश्यकता है।
जब हमने समीकरण 3 × 2 = 6 से संख्या 2 को व्यक्त किया तो हमने यही किया। फिर, संख्या 2 प्राप्त करने के लिए, हमने 6 के गुणनफल को गुणक 3 से भाग दिया।
और अब अज्ञात कारक को खोजने के लिए एक्सहमने 6 के गुणनफल को 3 के गुणक से भाग दिया।
समीकरण के दाईं ओर की गणना करने से आप यह पता लगा सकते हैं कि x किसके बराबर है
एक्स = 2
गुणक और गुणक को मिलाकर गुणनखंड कहा जाता है। चूंकि एक गुणक और एक कारक खोजने के नियम समान हैं, हम अज्ञात कारक खोजने के लिए एक सामान्य नियम बना सकते हैं:
अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है।
उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 9 × . को हल करें एक्स= 18. चर एक्सएक अज्ञात कारक है। इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल 18 को ज्ञात गुणनखंड 9 से विभाजित करना होगा
आइए समीकरण हल करें एक्स× 3 = 27। चर एक्सएक अज्ञात कारक है। इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल 27 को ज्ञात गुणनखंड से विभाजित करना होगा
आइए पिछले विषय से चौथे उदाहरण पर लौटते हैं, जहां समानता में संख्या 15 को व्यक्त करना आवश्यक था। इस समानता में, संख्या 15 लाभांश है, संख्या 5 भाजक है, संख्या 3 भागफल है।
संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:
15 = 3 x 5
अर्थात्, 3 के भागफल को 5 के भाजक से गुणा करें।
अब कल्पना कीजिए कि समानता में संख्या 15 के बजाय एक चर है एक्स
इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात लाभांश.
अज्ञात लाभांश खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:
अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।
हमने यही किया जब हमने संख्या 15 को समानता से व्यक्त किया। संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, हमने 3 के भागफल को 5 के भाजक से गुणा किया है।
और अब, अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए एक्स, आपको 3 के भागफल को 5 . के भाजक से गुणा करना होगा
एक्स= 3 × 5
एक्स .
एक्स = 15
अब कल्पना कीजिए कि समानता में, संख्या 5 के बजाय, एक चर है एक्स .
इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात भाजक.
अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम दिया गया है:
हमने यही किया जब हमने समानता से संख्या 5 को व्यक्त किया। संख्या 5 को व्यक्त करने के लिए, हमने लाभांश 15 को भागफल 3 से विभाजित किया है।
और अब अज्ञात भाजक को खोजने के लिए एक्स, आपको लाभांश 15 को भागफल 3 . से विभाजित करना होगा
आइए हम परिणामी समानता के दाईं ओर की गणना करें। तो हमें पता चलता है कि चर किसके बराबर है एक्स .
एक्स = 5
इसलिए, अज्ञात को खोजने के लिए, हमने निम्नलिखित नियमों का अध्ययन किया:
- अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा;
- अज्ञात मिन्यूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा;
- अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मिन्यूएंड से अंतर घटाना होगा;
- अज्ञात गुणक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणनखंड से विभाजित करना होगा;
- अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणन द्वारा गुणनफल को विभाजित करने की आवश्यकता है;
- अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा;
- एक अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, आपको भाज्य को भागफल से विभाजित करना होगा।
अवयव
अवयव हम समानता में शामिल संख्याओं और चरों को बुलाएंगे
तो, जोड़ के घटक हैं शर्तेंऔर जोड़
घटाव घटक हैं वियोज्य, वियोजकऔर अंतर
गुणन के घटक हैं गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जाय, कारकऔर काम
विभाजन के घटक लाभांश, भाजक और भागफल हैं।
हम किन घटकों के साथ काम कर रहे हैं, इसके आधार पर अज्ञात खोजने के लिए संबंधित नियम लागू होंगे। इन नियमों का अध्ययन हम पिछले विषय में कर चुके हैं। समीकरणों को हल करते समय, इन नियमों को दिल से जानना वांछनीय है।
उदाहरण 1. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए 45+ एक्स = 60
45 - अवधि, एक्सअज्ञात शब्द है, 60 योग है। हम अतिरिक्त घटकों के साथ काम कर रहे हैं। हमें याद है कि अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा:
एक्स = 60 − 45
दाईं ओर की गणना करें, मान प्राप्त करें एक्स 15 . के बराबर
एक्स = 15
अतः समीकरण का मूल 45 + . है एक्स= 60 बराबर 15.
अक्सर, अज्ञात शब्द को उस रूप में कम किया जाना चाहिए जिसमें इसे व्यक्त किया जा सके।
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें
यहां, पिछले उदाहरण के विपरीत, अज्ञात शब्द को तुरंत व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसमें गुणांक 2 है। हमारा कार्य इस समीकरण को उस रूप में लाना है जिसमें व्यक्त करना संभव होगा। एक्स
इस उदाहरण में, हम जोड़ के घटकों के साथ काम कर रहे हैं - शर्तें और योग। 2 एक्सपहला पद है, 4 दूसरा पद है, 8 योग है।
इस मामले में, शब्द 2 एक्सएक चर शामिल है एक्स. चर का मान ज्ञात करने के बाद एक्सटर्म 2 एक्सअलग रूप धारण कर लेगा। इसलिए, पद 2 एक्सअज्ञात शब्द के लिए पूरी तरह से लिया जा सकता है:
अब हम अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए नियम लागू करते हैं। योग से ज्ञात पद घटाएं:
आइए परिणामी समीकरण के दाईं ओर की गणना करें:
हमारे पास एक नया समीकरण है। अब हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं: गुणक, गुणक और उत्पाद। 2 - गुणक, एक्स- गुणक, 4 - उत्पाद
उसी समय, चर एक्सकेवल एक कारक नहीं है, बल्कि एक अज्ञात कारक है
इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणक से विभाजित करना होगा:
दाईं ओर की गणना करें, चर का मान प्राप्त करें एक्स
पाए गए रूट की जांच करने के लिए, इसे मूल समीकरण में भेजें और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्स
उदाहरण 3. प्रश्न हल करें 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56
अज्ञात व्यक्त करें एक्सयह वर्जित है। सबसे पहले आपको इस समीकरण को उस रूप में लाना होगा जिसमें इसे व्यक्त किया जा सके।
हम इस समीकरण के बाईं ओर प्रस्तुत करते हैं:
हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। 28 - गुणक, एक्स- गुणक, 56 - गुणनफल। जिसमें एक्सएक अज्ञात कारक है। अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणन द्वारा गुणनफल को विभाजित करने की आवश्यकता है:
यहां से एक्स 2 . है
समतुल्य समीकरण
पिछले उदाहरण में, समीकरण को हल करते समय 3एक्स + 9एक्स + 16एक्स = 56 , हमने समीकरण के बाईं ओर समान पद दिए हैं। परिणाम एक नया समीकरण 28 . है एक्स= 56। पुराना समीकरण 3एक्स + 9एक्स + 16एक्स = 56 और परिणामी नया समीकरण 28 एक्स= 56 कहा जाता है समतुल्य समीकरणक्योंकि उनकी जड़ें एक ही हैं।
समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके मूल समान हों।
चलो पता करते हैं। समीकरण के लिए 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 हमने जड़ को 2 के बराबर पाया। इस मूल को पहले समीकरण में रखें 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 , और फिर समीकरण 28 . में एक्स= 56 , जो पिछले समीकरण के बाईं ओर समान पदों की कमी के परिणामस्वरूप हुआ। हमें सही संख्यात्मक समानताएँ प्राप्त करनी चाहिए
संचालन के क्रम के अनुसार, गुणा पहले किया जाता है:
दूसरे समीकरण 28 . में मूल 2 को रखें एक्स= 56
हम देखते हैं कि दोनों समीकरणों के मूल समान हैं। तो समीकरण 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 6 और 28 एक्स= 56 वास्तव में समतुल्य हैं।
समीकरण को हल करने के लिए 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 हमने समान पदों में से एक का प्रयोग किया है। समीकरण के सही पहचान परिवर्तन ने हमें एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति दी 28 एक्स= 56 , जिसे हल करना आसान है।
समान परिवर्तनों में से, फिलहाल हम केवल भिन्नों को कम कर सकते हैं, समान पदों को ला सकते हैं, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं, और कोष्ठक भी खोल सकते हैं। ऐसे अन्य परिवर्तन हैं जिनसे आपको अवगत होना चाहिए। लेकिन समीकरणों के समान परिवर्तनों के एक सामान्य विचार के लिए, हमने जिन विषयों का अध्ययन किया है, वे काफी हैं।
कुछ परिवर्तनों पर विचार करें जो हमें एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देते हैं
यदि आप समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।
और इसी तरह:
यदि समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटा दी जाए, तो दिए गए समीकरण के समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा।
दूसरे शब्दों में, यदि समान संख्या को समीकरण में जोड़ा जाता है (या दोनों पक्षों से घटाया जाता है) तो समीकरण का मूल नहीं बदलता है।
उदाहरण 1. प्रश्न हल करें 
समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 10 घटाएं
समीकरण 5 एक्स= 10। हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। अज्ञात कारक को खोजने के लिए एक्स, आपको 10 के गुणनफल को ज्ञात गुणनखंड 5 से भाग देना होगा।
और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया मूल्य 2
हमें सही नंबर मिला है। तो समीकरण सही है।
समीकरण हल करना हमने समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 10 घटाई। परिणाम एक समान समीकरण है। इस समीकरण की जड़, समीकरणों की तरह भी 2 . के बराबर है
उदाहरण 2. समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16
समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 12 घटाएं
बाईं ओर 4 . होगा एक्स, और दाईं ओर संख्या 4
समीकरण 4 एक्स= 4। हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। अज्ञात कारक को खोजने के लिए एक्स, आपको गुणनफल 4 को ज्ञात गुणनखंड 4 से भाग देना होगा
आइए मूल समीकरण 4 पर वापस जाएं ( एक्स+ 3) = 16 और इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करें एक्सपाया मूल्य 1
हमें सही नंबर मिला है। तो समीकरण सही है।
समीकरण को हल करना 4( एक्स+ 3) = 16 हमने समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 12 घटा दी है। परिणामस्वरूप, हमें एक तुल्य समीकरण 4 . प्राप्त हुआ एक्स= 4। इस समीकरण की जड़, साथ ही समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16 भी 1 . के बराबर है
उदाहरण 3. प्रश्न हल करें 
आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें:
आइए समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 8 जोड़ें
हम समीकरण के दोनों भागों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं:
बाईं ओर 2 . होगा एक्स, और दाईं ओर संख्या 9
परिणामी समीकरण में 2 एक्स= 9 हम अज्ञात पद को व्यक्त करते हैं एक्स
मूल समीकरण पर वापस जाएं और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया गया मान 4.5
हमें सही नंबर मिला है। तो समीकरण सही है।
समीकरण हल करना हमने समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 8 जोड़ दी। परिणामस्वरूप, हमें एक तुल्य समीकरण प्राप्त हुआ। इस समीकरण की जड़, समीकरणों की तरह 4.5 . के बराबर भी है
अगला नियम, जो आपको एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है, इस प्रकार है
यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, तो उसका चिन्ह बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है।
अर्थात्, यदि हम पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में उसके चिह्न को बदलकर स्थानान्तरित करते हैं तो समीकरण का मूल नहीं बदलेगा। यह गुण सबसे महत्वपूर्ण में से एक है और समीकरणों को हल करने में सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है।
निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:
इस समीकरण का मूल 2 है। के स्थान पर प्रतिस्थापित कीजिए एक्सयह जड़ और जाँच करें कि क्या सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई है
यह सही समानता का पता लगाता है। तो संख्या 2 वास्तव में समीकरण की जड़ है।
अब आइए इस समीकरण की शर्तों के साथ प्रयोग करने का प्रयास करें, उन्हें एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हुए, संकेतों को बदलते हुए।
उदाहरण के लिए, पद 3 एक्ससमीकरण के बाईं ओर स्थित है। आइए इसे दाईं ओर ले जाएं, संकेत को विपरीत में बदलते हुए:
यह समीकरण निकला 12 = 9एक्स − 3एक्स . इस समीकरण के दाईं ओर:
एक्सएक अज्ञात कारक है। आइए इस ज्ञात कारक को खोजें:
यहां से एक्स= 2। जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण की जड़ नहीं बदली है। अतः समीकरण 12 + 3 एक्स = 9एक्सऔर 12 = 9एक्स − 3एक्स समकक्ष हैं।
वास्तव में, यह परिवर्तन पिछले परिवर्तन का एक सरलीकृत तरीका है, जहां समीकरण के दोनों पक्षों में एक ही संख्या को जोड़ा (या घटाया गया) था।
हमने कहा कि समीकरण 12 + 3 . में एक्स = 9एक्सटर्म 3 एक्सचिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया गया। वास्तव में, निम्नलिखित हुआ: पद 3 को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाया गया एक्स
फिर बाईं ओर समान पद दिए गए और समीकरण प्राप्त हुआ 12 = 9एक्स − 3एक्स। फिर इसी तरह के शब्द फिर से दिए गए, लेकिन दाईं ओर, और समीकरण 12 = 6 प्राप्त हुआ एक्स।
लेकिन तथाकथित "स्थानांतरण" ऐसे समीकरणों के लिए अधिक सुविधाजनक है, यही वजह है कि यह इतना व्यापक हो गया है। समीकरणों को हल करते समय, हम अक्सर इस विशेष परिवर्तन का उपयोग करेंगे।
समीकरण 12 + 3 भी समतुल्य हैं एक्स= 9एक्सऔर 3एक्स - 9एक्स= −12 . इस बार समीकरण 12 + 3 . में एक्स= 9एक्सपद 12 को दाईं ओर ले जाया गया, और पद 9 एक्सबांई ओर। यह नहीं भूलना चाहिए कि स्थानांतरण के दौरान इन शर्तों के संकेत बदल गए थे
अगला नियम, जो आपको एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है, इस प्रकार है:
यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा।
दूसरे शब्दों में, एक समीकरण के मूल नहीं बदलते हैं यदि दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है। इस क्रिया का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब आपको भिन्नात्मक व्यंजकों वाले समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है।
सबसे पहले, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा किया जाएगा।
उदाहरण 1. प्रश्न हल करें
भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाले समीकरणों को हल करते समय, इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे पहले प्रथागत है।
इस मामले में, हम ऐसे ही एक समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को 8 से गुणा किया जा सकता है:
हमें याद है कि इसके लिए आपको दी गई भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा। हमारे पास दो भिन्न हैं और उनमें से प्रत्येक को संख्या 8 से गुणा किया जाता है। हमारा कार्य भिन्नों के अंशों को इस संख्या 8 से गुणा करना है।
अब सबसे दिलचस्प बात होती है। दोनों भिन्नों के अंश और हर में 8 का गुणनखंड होता है, जिसे 8 से घटाया जा सकता है। यह हमें भिन्नात्मक व्यंजक से छुटकारा पाने की अनुमति देगा:
नतीजतन, सबसे सरल समीकरण रहता है
खैर, यह अनुमान लगाना आसान है कि इस समीकरण का मूल 4 . है
एक्सपाया मूल्य 4
यह सही संख्यात्मक समानता का पता लगाता है। तो समीकरण सही है।
इस समीकरण को हल करते समय, हमने इसके दोनों भागों को 8 से गुणा किया। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त हुआ। इस समीकरण का मूल, समीकरणों की तरह, 4 है। अतः ये समीकरण समतुल्य हैं।
वह गुणक जिसके द्वारा समीकरण के दोनों भागों को गुणा किया जाता है, आमतौर पर समीकरण के भाग से पहले लिखा जाता है, न कि उसके बाद। इसलिए, समीकरण को हल करते हुए, हमने दोनों भागों को 8 के कारक से गुणा किया और निम्नलिखित प्रविष्टि प्राप्त की:
इससे समीकरण की जड़ नहीं बदली है, लेकिन अगर हमने स्कूल में ऐसा किया होता, तो हम पर टिप्पणी की जाती, क्योंकि बीजगणित में जिस व्यंजक से गुणा किया जाता है, उससे पहले गुणनखंड लिखने की प्रथा है। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 8 के गुणनखंड से गुणा करने पर निम्नानुसार फिर से लिखना वांछनीय है:
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें 
बाईं ओर, कारक 15 को 15 से कम किया जा सकता है, और दाईं ओर, कारक 15 और 5 को 5 से कम किया जा सकता है।
आइए समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलें:
आइए शब्द को आगे बढ़ाएं एक्सचिह्न को बदलकर समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर। और समीकरण के दायीं ओर से पद 15 को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाएगा, फिर से चिन्ह बदल जाएगा:
हम दोनों भागों में समान पदों को लाते हैं, हमें प्राप्त होता है
हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। चर एक्स
मूल समीकरण पर वापस जाएं और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया मूल्य 5
यह सही संख्यात्मक समानता का पता लगाता है। तो समीकरण सही है। इस समीकरण को हल करते समय, हमने दोनों पक्षों को 15 से गुणा किया। इसके अलावा, समान परिवर्तन करते हुए, हमने समीकरण 10 = 2 . प्राप्त किया एक्स. इस समीकरण की जड़, समीकरणों की तरह 5 के बराबर। तो ये समीकरण बराबर हैं।
उदाहरण 3. प्रश्न हल करें
बाईं ओर, दो ट्रिपल कम किए जा सकते हैं, और दाईं ओर 18 . के बराबर होगा
सबसे सरल समीकरण रहता है। हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। चर एक्सएक अज्ञात कारक है। आइए इस ज्ञात कारक को खोजें:
आइए मूल समीकरण पर लौटते हैं और . के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपाया मूल्य 9
यह सही संख्यात्मक समानता का पता लगाता है। तो समीकरण सही है।
उदाहरण 4. प्रश्न हल करें 
समीकरण के दोनों पक्षों को 6 . से गुणा करें
समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलें। दाईं ओर, गुणनखंड 6 को अंश तक बढ़ाया जा सकता है:
हम समीकरणों के दोनों भागों में कम करते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है:
आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:
हम शर्तों के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं। अज्ञात युक्त शर्तें एक्स, हम समीकरण के बाईं ओर समूहित करते हैं, और अज्ञात से मुक्त शब्द - दाईं ओर:
हम दोनों भागों में समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:
आइए अब वेरिएबल का मान ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, हम गुणनफल 28 को ज्ञात गुणनखंड 7 से विभाजित करते हैं
यहां से एक्स= 4.
मूल समीकरण पर वापस जाएं और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया मूल्य 4
यह सही संख्यात्मक समानता निकला। तो समीकरण सही है।
उदाहरण 5. प्रश्न हल करें 
आइए समीकरण के दोनों भागों में जहां संभव हो, कोष्ठक खोलें:
समीकरण के दोनों पक्षों को 15 . से गुणा करें
आइए समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें:
आइए समीकरण के दोनों भागों में कम करें, क्या कम किया जा सकता है:
आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:
आइए जहां संभव हो कोष्ठक खोलें:
हम शर्तों के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं। अज्ञात वाले शब्दों को समीकरण के बाईं ओर समूहीकृत किया जाता है, और अज्ञात से मुक्त शब्दों को दाईं ओर समूहीकृत किया जाता है। यह मत भूलो कि स्थानांतरण के दौरान, शर्तें अपने संकेतों को विपरीत में बदल देती हैं:
हम समीकरण के दोनों भागों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं:
आइए मूल्य ज्ञात करें एक्स
परिणामी उत्तर में, आप पूरे भाग का चयन कर सकते हैं:
आइए मूल समीकरण पर लौटते हैं और . के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपाया मूल्य
यह एक बोझिल अभिव्यक्ति के रूप में सामने आता है। आइए चर का उपयोग करें। हम समानता के बाईं ओर एक चर में डालते हैं ए, और एक चर में समानता का दाहिना भाग बी
हमारा काम यह सुनिश्चित करना है कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर है। दूसरे शब्दों में, समानता सिद्ध कीजिए A = B
चर A में व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
परिवर्तनीय मूल्य लेकिनबराबर। आइए अब वेरिएबल का मान ज्ञात करें बी. यानी हमारी समानता के दाहिने हिस्से का मूल्य। यदि यह के बराबर है, तो समीकरण सही ढंग से हल हो जाएगा
हम देखते हैं कि चर का मान बी, साथ ही चर A का मान है। इसका मतलब है कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण को सही ढंग से हल किया गया है।
आइए अब कोशिश करें कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा न करें, बल्कि विभाजित करें।
समीकरण पर विचार करें 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 . हम इसे सामान्य तरीके से हल करते हैं: हम समीकरण के बाईं ओर अज्ञात शब्दों को समूहित करते हैं, और दाईं ओर अज्ञात से मुक्त शब्द। इसके अलावा, ज्ञात समान परिवर्तनों को निष्पादित करते हुए, हम मान पाते हैं एक्स
के स्थान पर पाए गए मान 2 को प्रतिस्थापित करें एक्समूल समीकरण में:
आइए अब समीकरण के सभी पदों को अलग करने का प्रयास करें 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 हम देखते हैं कि इस समीकरण के सभी पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। हम प्रत्येक पद को इससे विभाजित करते हैं:
आइए प्रत्येक अवधि में कम करें:
आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:
हम ज्ञात समान परिवर्तनों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करते हैं:
हमें जड़ 2 मिली। तो समीकरण 15एक्स+ 7एक्स+ 7 = 35एक्स - 20एक्स+ 21 और 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 समकक्ष हैं।
समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से विभाजित करने से आप अज्ञात को गुणांक से मुक्त कर सकते हैं। पिछले उदाहरण में, जब हमें समीकरण 7 . मिला था एक्स= 14, हमें गुणनफल 14 को ज्ञात गुणनखंड 7 से विभाजित करने की आवश्यकता है। लेकिन यदि हम अज्ञात को बाईं ओर के गुणांक 7 से मुक्त करते हैं, तो मूल तुरंत मिल जाएगा। ऐसा करने के लिए, दोनों भागों को 7 . से विभाजित करना पर्याप्त था
हम भी अक्सर इस विधि का प्रयोग करेंगे।
माइनस वन से गुणा करें
यदि समीकरण के दोनों पक्षों को ऋणात्मक एक से गुणा किया जाता है, तो दिए गए समीकरण के समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा।
यह नियम इस तथ्य का अनुसरण करता है कि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) करने से इस समीकरण का मूल नहीं बदलता है। इसका अर्थ है कि यदि इसके दोनों भागों को -1 से गुणा किया जाए तो मूल नहीं बदलेगा।
यह नियम आपको समीकरण में शामिल सभी घटकों के संकेतों को बदलने की अनुमति देता है। यह किस लिए है? फिर से, एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए जिसे हल करना आसान है।
समीकरण पर विचार करें। इस समीकरण की जड़ क्या है?
आइए समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 5 जोड़ते हैं
यहाँ समान शब्द हैं:
और अब हम इसके बारे में याद करते हैं। समीकरण के बाईं ओर क्या है। यह माइनस वन और वेरिएबल का गुणनफल है एक्स
यानी वेरिएबल के सामने माइनस एक्सचर को ही संदर्भित नहीं करता है एक्स, लेकिन उस इकाई के लिए, जिसे हम नहीं देखते हैं, क्योंकि यह प्रथागत है कि गुणांक 1 को न लिखें। इसका मतलब है कि समीकरण वास्तव में इस तरह दिखता है:
हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। ढूँढ़ने के लिए एक्स, आपको गुणनफल −5 को ज्ञात कारक −1 से विभाजित करना होगा।
या समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से विभाजित करें, जो और भी आसान है
अतः समीकरण का मूल 5 है। जाँच करने के लिए, हम इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह मत भूलो कि मूल समीकरण में, चर के सामने ऋणात्मक है एक्सएक अदृश्य इकाई को संदर्भित करता है
यह सही संख्यात्मक समानता निकला। तो समीकरण सही है।
आइए अब समीकरण के दोनों पक्षों को घटाकर एक से गुणा करने का प्रयास करें:
कोष्ठकों को खोलने के बाद, बाईं ओर व्यंजक बनता है, और दाईं ओर 10 . के बराबर होगा
इस समीकरण की जड़, समीकरण की तरह, 5 . है
तो समीकरण बराबर हैं।
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें
इस समीकरण में, सभी घटक ऋणात्मक हैं। नकारात्मक घटकों की तुलना में सकारात्मक घटकों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, तो आइए समीकरण में शामिल सभी घटकों के संकेतों को बदलें। ऐसा करने के लिए, इस समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करें।
यह स्पष्ट है कि −1 से गुणा करने पर कोई भी संख्या अपने चिन्ह को विपरीत दिशा में बदल देगी। इसलिए, -1 से गुणा करने और कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है, लेकिन विपरीत संकेतों वाले समीकरण के घटकों को तुरंत लिखा जाता है।
इसलिए, एक समीकरण को −1 से गुणा करने पर विस्तार से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
या आप बस सभी घटकों के संकेत बदल सकते हैं:
यह वही निकलेगा, लेकिन अंतर यह होगा कि हम अपना समय बचाएंगे।
अतः समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है। आइए इस समीकरण को हल करें। संख्या 4 को दोनों भागों से घटाएँ और दोनों भागों को 3 . से भाग दें
जब रूट मिल जाता है, तो वेरिएबल आमतौर पर बाईं ओर लिखा जाता है, और इसका मान दाईं ओर होता है, जो हमने किया।
उदाहरण 3. प्रश्न हल करें
समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करें। तब सभी घटक अपने संकेतों को विपरीत में बदल देंगे:
परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाएं एक्सऔर समान शब्द जोड़ें:
हम समीकरण के दोनों भागों में एकता जोड़ते हैं और समान पद देते हैं: 
शून्य के बराबर
हमने हाल ही में सीखा है कि यदि किसी समीकरण में हम एक पद को उसके चिह्न को बदलकर एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है।
और क्या होगा यदि हम एक भाग से दूसरे भाग में एक पद नहीं, बल्कि सभी शर्तों को स्थानांतरित करते हैं? यह सही है, जिस हिस्से से सभी शर्तें ली गई हैं, उसमें शून्य रहेगा। दूसरे शब्दों में, कुछ भी नहीं बचेगा।
आइए समीकरण को एक उदाहरण के रूप में लें। हम हमेशा की तरह इस समीकरण को हल करते हैं - हम अज्ञात वाले शब्दों को एक भाग में समूहित करते हैं, और संख्यात्मक शब्दों को अज्ञात से मुक्त छोड़ देते हैं। इसके अलावा, ज्ञात समान परिवर्तनों को निष्पादित करते हुए, हम चर का मान पाते हैं एक्स
आइए अब इसके सभी घटकों को शून्य से बराबर करके समान समीकरण को हल करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम सभी शर्तों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, संकेतों को बदलते हुए:
यहाँ बाईं ओर समान शब्द हैं:
आइए दोनों भागों में 77 जोड़ें, और दोनों भागों को 7 . से विभाजित करें
अज्ञात खोजने के नियमों का एक विकल्प
जाहिर है, समीकरणों के समान परिवर्तनों के बारे में जानकर, अज्ञात खोजने के नियमों को याद नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण में अज्ञात को खोजने के लिए, हमने गुणनफल 10 को ज्ञात कारक 2 . से विभाजित किया है
लेकिन अगर समीकरण में दोनों भागों को 2 से विभाजित किया जाता है, तो मूल तुरंत मिल जाता है। समीकरण के बायीं ओर अंश में गुणनखंड 2 और हर में गुणनखंड 2 को 2 से घटाया जाएगा और दायां पक्ष 5 के बराबर होगा
हमने अज्ञात पद को व्यक्त करके रूप के समीकरणों को हल किया:
लेकिन आप उन्हीं परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं जिनका हमने आज अध्ययन किया है। समीकरण में, पद 4 को चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जा सकता है:
समीकरण के बाईं ओर, दो ड्यूस कम हो जाएंगे। दाहिना भाग 2 के बराबर होगा। अत: ।
या आप समीकरण के दोनों पक्षों में से 4 घटा सकते हैं। तब आपको निम्नलिखित प्राप्त होगा:
प्रपत्र के समीकरणों के मामले में, उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना अधिक सुविधाजनक होता है। आइए दोनों समाधानों की तुलना करें:
पहला समाधान बहुत छोटा और साफ-सुथरा है। यदि आप अपने सिर में विभाजन करते हैं तो दूसरा समाधान काफी छोटा हो सकता है।
हालाँकि, आपको दोनों विधियों को जानने की आवश्यकता है और उसके बाद ही आपको जो सबसे अच्छा लगता है उसका उपयोग करें।
जब कई जड़ें हों
एक समीकरण के कई मूल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए समीकरण एक्स(एक्स + 9) = 0 के दो मूल हैं: 0 और -9।
समीकरण में एक्स(एक्स + 9) = 0 ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक था एक्सजिसके लिए बाईं ओर शून्य के बराबर होगा। इस समीकरण के बाईं ओर के भाव हैं एक्सऔर (एक्स + 9), जो कारक हैं। उत्पाद कानूनों से, हम जानते हैं कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है (या तो पहला कारक या दूसरा)।
यानी समीकरण में एक्स(एक्स + 9) = 0 समानता प्राप्त की जाएगी यदि एक्सशून्य होगा या (एक्स + 9)शून्य होगा।
एक्स= 0 या एक्स + 9 = 0
इन दोनों व्यंजकों को शून्य से बराबर करने पर, हम समीकरण के मूल ज्ञात कर सकते हैं एक्स(एक्स + 9) = 0। पहली जड़, जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, तुरंत मिल गई। दूसरी जड़ खोजने के लिए, आपको प्राथमिक समीकरण को हल करना होगा एक्स+ 9 = 0। यह अनुमान लगाना आसान है कि इस समीकरण का मूल −9 है। जाँच से पता चलता है कि जड़ सही है:
−9 + 9 = 0
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें
इस समीकरण के दो मूल हैं: 1 और 2। समीकरण का बायाँ भाग व्यंजकों का गुणनफल है ( एक्स- 1) और ( एक्स- 2)। और गुणनफल शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है (या कारक ( एक्स-1) या कारक ( एक्स − 2) ).
आइए इसे ढूंढते हैं एक्सजिसके तहत भाव ( एक्स- 1) या ( एक्स- 2) गायब हो जाना:
हम पाए गए मानों को मूल समीकरण में बदल देते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि इन मानों के साथ बाईं ओर शून्य के बराबर है:
जब अपरिमित रूप से अनेक जड़ें हों
एक समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल हो सकते हैं। अर्थात् किसी भी संख्या को ऐसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।
उदाहरण 1. प्रश्न हल करें 
इस समीकरण का मूल कोई भी संख्या है। यदि आप समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं और समान पद लाते हैं, तो आपको समानता 14 \u003d 14 मिलती है। यह समानता किसी के लिए भी प्राप्त की जाएगी एक्स
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें
इस समीकरण का मूल कोई भी संख्या है। यदि आप समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं, तो आपको समानता मिलती है 10एक्स + 12 = 10एक्स + 12. यह समानता किसी के लिए भी प्राप्त की जाएगी एक्स
जब जड़ें न हों
ऐसा भी होता है कि समीकरण का कोई हल ही नहीं है, अर्थात इसकी कोई जड़ नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि किसी भी मान के लिए एक्स, समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं होगा। उदाहरण के लिए, चलो। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें
आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें:
यहाँ समान शब्द हैं:
हम देखते हैं कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर नहीं है। और इसलिए यह किसी भी मूल्य के लिए होगा आप. उदाहरण के लिए, चलो आप = 3 .
पत्र समीकरण
एक समीकरण में न केवल चर वाली संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि अक्षर भी हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए, गति ज्ञात करने का सूत्र एक शाब्दिक समीकरण है:
यह समीकरण समान रूप से त्वरित गति में शरीर की गति का वर्णन करता है।
एक उपयोगी कौशल एक अक्षर समीकरण में शामिल किसी भी घटक को व्यक्त करने की क्षमता है। उदाहरण के लिए, समीकरण से दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने की आवश्यकता है एस .
समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें टी
दाईं ओर चर टीसे कम टी
परिणामी समीकरण में, बाएँ और दाएँ भाग आपस में बदल जाते हैं:
हमने दूरी ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त किया है, जिसका अध्ययन हम पहले कर चुके हैं।
आइए समीकरण से समय निर्धारित करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने की आवश्यकता है टी .
समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें टी
दाईं ओर चर टीसे कम टीऔर जो हमने छोड़ा है उसे फिर से लिखें:
परिणामी समीकरण में वी × टी = एसदोनों भागों को में विभाजित करें वी
बाईं ओर चर वीसे कम वीऔर जो हमने छोड़ा है उसे फिर से लिखें:
हमने समय निर्धारित करने का सूत्र प्राप्त किया है, जिसका अध्ययन हमने पहले किया था।
मान लीजिए कि ट्रेन की गति 50 किमी/घंटा है
वी= 50 किमी/घंटा
और दूरी 100 किमी . है
एस= 100 किमी
फिर पत्र निम्नलिखित रूप लेगा
इस समीकरण से आप समय निकाल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए टी. आप भागफल से भागफल को विभाजित करके अज्ञात भाजक को खोजने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं और इस प्रकार चर का मान निर्धारित कर सकते हैं टी
या आप समान परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं। पहले समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें टी
फिर दोनों भागों को 50 . से भाग दें
उदाहरण 2 एक्स
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं ए
समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें बी
ए + बीएक्स = सी, तो हमारे पास एक तैयार समाधान होगा। इसमें आवश्यक मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त होगा। वे मान जिन्हें अक्षरों से प्रतिस्थापित किया जाएगा ए, बी, सीबुलाया मापदंडों. और फॉर्म के समीकरण ए + बीएक्स = सीबुलाया मापदंडों के साथ समीकरण. मापदंडों के आधार पर, रूट बदल जाएगा।
समीकरण 2 + 4 . हल करें एक्स= 10। यह एक शाब्दिक समीकरण की तरह दिखता है ए + बीएक्स = सी. समान परिवर्तन करने के बजाय, हम तैयार समाधान का उपयोग कर सकते हैं। आइए दोनों समाधानों की तुलना करें:
हम देखते हैं कि दूसरा समाधान बहुत सरल और छोटा है।
तैयार समाधान के लिए, आपको एक छोटी सी टिप्पणी करने की आवश्यकता है। पैरामीटर बीशून्य नहीं होना चाहिए (बी 0), चूंकि शून्य से विभाजन की अनुमति नहीं है।
उदाहरण 3. एक शाब्दिक समीकरण दिया। इस समीकरण से व्यक्त करें एक्स
आइए समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें
हम शर्तों के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं। एक चर युक्त पैरामीटर एक्स, हम समीकरण के बाईं ओर समूह करते हैं, और इस चर से मुक्त पैरामीटर - दाईं ओर।
बाईं ओर, हम गुणनखंड निकालते हैं एक्स
दोनों भागों को एक व्यंजक में विभाजित करें ए-बी
बाईं ओर, अंश और हर को कम किया जा सकता है ए-बी. तो चर अंत में व्यक्त किया जाता है एक्स
अब, यदि हम फॉर्म के समीकरण पर आते हैं ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी), तो हमारे पास एक तैयार समाधान होगा। इसमें आवश्यक मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त होगा।
मान लीजिए हमें एक समीकरण दिया गया है 4(एक्स - 3) = 2(एक्स+ 4) . यह एक समीकरण की तरह दिखता है ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी). हम इसे दो तरीकों से हल करते हैं: समान परिवर्तनों का उपयोग करना और तैयार समाधान का उपयोग करना:
सुविधा के लिए, हम समीकरण से निकालते हैं 4(एक्स - 3) = 2(एक्स+ 4) पैरामीटर मान ए, बी, सी, डी . यह हमें प्रतिस्थापित करते समय गलतियाँ नहीं करने देगा:
जैसा कि पिछले उदाहरण में है, यहाँ हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए ( ए - बी 0)। अगर हम फॉर्म के समीकरण में आते हैं ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी)जिसमें पैरामीटर एऔर बीसमान होगा, हम इसे हल किए बिना कह सकते हैं कि इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि समरूप संख्याओं का अंतर शून्य के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण 2(x - 3) = 2(x + 4)फॉर्म का एक समीकरण है ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी). समीकरण में 2(x - 3) = 2(x + 4)विकल्प एऔर बीवही। यदि हम इसे हल करना शुरू करते हैं, तो हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर नहीं होगा:
उदाहरण 4. एक शाब्दिक समीकरण दिया। इस समीकरण से व्यक्त करें एक्स
हम समीकरण के बाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:
दोनों पक्षों को से गुणा करें ए
बायीं तरफ पर एक्सइसे कोष्ठक से बाहर निकालें
हम दोनों भागों को व्यंजक (1 − .) से विभाजित करते हैं ए)
एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण
इस पाठ में जिन समीकरणों पर विचार किया गया है, वे कहलाते हैं एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण.
यदि समीकरण को पहली डिग्री दिया जाता है, जिसमें अज्ञात से विभाजन नहीं होता है, और इसमें अज्ञात से मूल भी नहीं होते हैं, तो इसे रैखिक कहा जा सकता है। हमने अभी तक डिग्री और जड़ों का अध्ययन नहीं किया है, इसलिए अपने जीवन को जटिल न करने के लिए, हम "रैखिक" शब्द को "सरल" समझेंगे।
इस पाठ में हल किए गए अधिकांश समीकरण सरलतम समीकरण में सिमट कर रह गए, जिसमें उत्पाद को एक ज्ञात कारक से विभाजित किया जाना था। उदाहरण के लिए, समीकरण 2( एक्स+ 3) = 16। आइए इसे हल करें।
आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलें, हमें 2 . मिलता है एक्स+ 6 = 16. चिह्न बदलकर पद 6 को दाईं ओर ले जाएं। तब हम 2 . प्राप्त करते हैं एक्स= 16 - 6. दाईं ओर की गणना करें, हमें 2 . मिलता है एक्स= 10. खोजने के लिए एक्स, हम गुणनफल 10 को ज्ञात गुणनखंड 2 से विभाजित करते हैं। इसलिए एक्स = 5.
समीकरण 2( एक्स+ 3) = 16 रैखिक है। यह समीकरण 2 . तक कम हो गया एक्स= 10, जिसका मूल ज्ञात करने के लिए उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना आवश्यक था। इस सरल समीकरण को कहा जाता है विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री का रैखिक समीकरण. "कैनोनिकल" शब्द "सरल" या "सामान्य" शब्दों का पर्याय है।
विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण को फॉर्म का समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी = बी।
हमारा समीकरण 2 एक्स= 10 विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री का एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में पहली डिग्री है, एक अज्ञात है, इसमें अज्ञात से विभाजन नहीं है और इसमें अज्ञात से जड़ें नहीं हैं, और इसे विहित रूप में प्रस्तुत किया गया है, अर्थात सबसे सरल रूप में जिसमें यह निर्धारित करना आसान है मूल्य एक्स. मापदंडों के बजाय एऔर बीहमारे समीकरण में संख्याएँ 2 और 10 हैं। लेकिन एक समान समीकरण में अन्य संख्याएँ हो सकती हैं: धनात्मक, ऋणात्मक, या शून्य के बराबर।
यदि एक रैखिक समीकरण में ए= 0 और बी= 0 है, तो समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक मूल हैं। दरअसल, अगर एशून्य है और बीशून्य के बराबर है, तो रैखिक समीकरण कुल्हाड़ी= बी 0 . का रूप लेता है एक्स= 0। किसी भी मूल्य के लिए एक्सबाईं ओर दाईं ओर के बराबर होगा।
यदि एक रैखिक समीकरण में ए= 0 और बी 0, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। दरअसल, अगर एशून्य है और बीकुछ गैर-शून्य संख्या के बराबर है, संख्या 5 कहें, तो समीकरण कुल्हाड़ी = बी 0 . का रूप लेता है एक्स= 5। लेफ्ट साइड जीरो और राइट साइड पांच होगा। और शून्य पांच के बराबर नहीं है।
यदि एक रैखिक समीकरण में ए 0 , और बीकिसी भी संख्या के बराबर है, तो समीकरण का एक मूल होता है। यह पैरामीटर को विभाजित करके निर्धारित किया जाता है बीप्रति पैरामीटर ए
दरअसल, अगर एकुछ गैर-शून्य संख्या के बराबर है, संख्या 3 कहें, और बीकिसी संख्या के बराबर है, मान लीजिए कि संख्या 6 है, तो समीकरण का रूप ले लेगा।
यहां से।
एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण लिखने का एक और रूप है। यह इस तरह दिख रहा है: कुल्हाड़ी - बी= 0। यह वही समीकरण है कुल्हाड़ी = बी
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