विमान पर विचार करें पी और उसे प्रतिच्छेद करने वाली रेखा . रहने दो लेकिन अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है। इस बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें , रेखा के समानांतर . रहने दो . दूरसंचार विभाग बिंदु प्रक्षेपण कहा जाता है लेकिनविमान के लिए पीदी गई रेखा के समानांतर डिजाइन में . विमान पी , जिस पर अंतरिक्ष के बिंदु प्रक्षेपित होते हैं, प्रक्षेपण तल कहलाते हैं।

पी - प्रक्षेपण विमान;

- प्रत्यक्ष डिजाइन; ;

; ; ;

ओर्थोगोनल डिजाइनसमानांतर डिजाइन का एक विशेष मामला है। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन एक समानांतर प्रोजेक्शन है जिसमें प्रोजेक्शन लाइन प्रोजेक्शन प्लेन के लंबवत होती है। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन व्यापक रूप से तकनीकी ड्राइंग में उपयोग किया जाता है, जहां एक आकृति को तीन विमानों पर प्रक्षेपित किया जाता है - क्षैतिज और दो लंबवत।

परिभाषा: एक बिंदु का ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण एमविमान के लिए पीआधार कहा जाता है एम 1सीधा एमएम 1, बिंदु से नीचे एमविमान के लिए पी.

पद: , , .

परिभाषा: आकृति का ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण एफविमान के लिए पीसमतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो आकृति के बिंदुओं के समुच्चय के ओर्थोगोनल अनुमान हैं एफविमान के लिए पी.

समांतर डिजाइन के एक विशेष मामले के रूप में ऑर्थोगोनल डिज़ाइन में समान गुण होते हैं:

पी - प्रक्षेपण विमान;

- प्रत्यक्ष डिजाइन; ;

1) ;

2) , .

1. समानांतर रेखाओं के प्रक्षेपण समानांतर होते हैं।

समतल आकृति का प्रक्षेपण क्षेत्र

प्रमेय: एक निश्चित समतल पर समतल बहुभुज के प्रक्षेपण का क्षेत्रफल बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल के बीच के कोण के कोज्या द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

चरण 1: प्रक्षेपित आकृति एक त्रिभुज ABC है, जिसकी भुजा AC प्रोजेक्शन प्लेन a (प्रोजेक्शन प्लेन a के समानांतर) में है।

दिया गया:

सिद्ध करना:

प्रमाण:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. तीन लंबवत प्रमेय के अनुसार;

D - ऊंचाई; 1 डी में - ऊंचाई;

5. - डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण;

6. ; ; ; ;

चरण 2: प्रक्षेपित आकृति एक त्रिभुज ABC है, जिसकी कोई भी भुजा प्रक्षेपण तल a में नहीं है और इसके समानांतर नहीं है।

दिया गया:

सिद्ध करना:

प्रमाण:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(प्रथम चरण);

5. ; ; ;

(प्रथम चरण);

चरण: डिज़ाइन की गई आकृति एक मनमाना बहुभुज है।

प्रमाण:

बहुभुज को एक शीर्ष से खींचे गए विकर्णों द्वारा त्रिभुजों की एक परिमित संख्या में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए प्रमेय सत्य है। इसलिए, प्रमेय उन सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के लिए भी सही होगा जिनके तल प्रक्षेपण तल के साथ समान कोण बनाते हैं।

टिप्पणी: सिद्ध प्रमेय एक बंद वक्र द्वारा परिबद्ध किसी भी समतल आकृति के लिए मान्य है।

अभ्यास:

1. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका तल एक कोण पर प्रक्षेपण तल की ओर झुकता है यदि उसका प्रक्षेपण भुजा a वाला एक नियमित त्रिभुज है।

2. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका तल एक कोण पर प्रक्षेपण तल की ओर झुकता है यदि इसका प्रक्षेपण एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 10 सेमी और आधार 12 सेमी है।

3. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका तल एक कोण पर प्रक्षेपण तल की ओर झुकता है यदि उसका प्रक्षेपण 9, 10 और 17 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज है।

4. ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करें, जिसका विमान एक कोण पर प्रक्षेपण विमान की ओर झुकता है यदि इसका प्रक्षेपण एक समद्विबाहु समलम्ब है, जिसका बड़ा आधार 44 सेमी है, पक्ष 17 सेमी है और विकर्ण है 39 सेमी.

5. 8 सेमी के किनारे के साथ एक नियमित षट्भुज के प्रक्षेपण क्षेत्र की गणना करें, जिसका विमान एक कोण पर प्रक्षेपण विमान के लिए झुका हुआ है।

6. एक समचतुर्भुज, जिसकी भुजा 12 सेमी है और न्यून कोण है, दिए गए तल के साथ एक कोण बनाता है। इस तल पर समचतुर्भुज के प्रक्षेपण के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

7. एक समचतुर्भुज जिसकी भुजा 20 सेमी है और विकर्ण 32 सेमी है, दिए गए तल के साथ एक कोण बनाता है। इस तल पर समचतुर्भुज के प्रक्षेपण के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

8. एक क्षैतिज तल पर चंदवा का प्रक्षेपण एक आयत है जिसमें भुजाएँ और . कैनोपी का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि पार्श्व फलक एक कोण पर क्षैतिज तल की ओर झुके हुए समान आयत हैं, और कैनोपी का मध्य भाग प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर एक वर्ग है।

11. "अंतरिक्ष में रेखाएँ और विमान" विषय पर अभ्यास:

त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 65 सेमी, 75 सेमी हैं। त्रिभुज के बड़े कोण के शीर्ष से उसके तल तक 60 सेमी के बराबर एक लम्ब खींचा जाता है। लम्ब के सिरों से बड़ी भुजा तक की दूरी ज्ञात कीजिए। त्रिभुज का।

2. सेमी की दूरी पर विमान से अलग किए गए एक बिंदु से, दो झुकाव वाले कोण खींचे जाते हैं, जो विमान के बराबर कोण बनाते हैं, और आपस में - एक समकोण। झुके हुए समतल के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

3. एक नियमित त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। बिंदु M को चुना जाता है ताकि बिंदु M को त्रिभुज के सभी शीर्षों से जोड़ने वाले खंड उसके तल से कोण बना सकें। बिंदु M से त्रिभुज के शीर्षों और भुजाओं की दूरी ज्ञात कीजिए।

4. वर्ग के विकर्ण के कोण पर वर्ग के किनारे के माध्यम से एक विमान खींचा जाता है। उन कोणों का पता लगाएं, जिन पर वर्ग की दो भुजाएँ समतल की ओर झुकी हुई हैं।

5. एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से गुजरने वाले तल की ओर कोण पर झुका होता है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तल a और तल के बीच का कोण है।

6. त्रिभुज ABC और DBC के तलों के बीच विकर्ण कोण है। AD ज्ञात कीजिए यदि AB = AC = 5 सेमी, BC = 6 सेमी, BD = DC = सेमी।

"अंतरिक्ष में रेखाएं और विमान" विषय पर नियंत्रण प्रश्न

1. स्टीरियोमेट्री की बुनियादी अवधारणाओं की सूची बनाएं। स्टीरियोमेट्री के अभिगृहीत तैयार करें।

2. अभिगृहीतों के परिणामों को सिद्ध कीजिए।

3. अंतरिक्ष में दो रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति क्या है? प्रतिच्छेदी, समांतर, प्रतिच्छेदी रेखाओं को परिभाषित कीजिए।

4. प्रतिच्छेदी रेखाओं की कसौटी सिद्ध कीजिए।

5. रेखा और तल की आपेक्षिक स्थिति क्या है? प्रतिच्छेदी, समांतर रेखाओं और तलों की परिभाषाएँ दीजिए।

6. एक सीधी रेखा और एक तल के समांतरता के चिन्ह को सिद्ध कीजिए।

7. दोनों तलों की आपेक्षिक स्थिति क्या है?

8. समान्तर तलों को परिभाषित कीजिए। दो तलों की समांतरता के लिए एक कसौटी सिद्ध कीजिए। समानांतर विमानों के बारे में प्रमेय तैयार करें।

9. रेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करें।

10. एक रेखा और एक तल के लंबवतता के चिह्न को सिद्ध कीजिए।

11. लंब के आधार, तिरछे के आधार, समतल पर परोक्ष के प्रक्षेपण की परिभाषा दीजिए। लंबवत और तिरछे के गुणों को एक बिंदु से विमान में उतारा।

12. एक सीधी रेखा और एक तल के बीच के कोण को परिभाषित करें।

13. प्रमेय को तीन लंबों पर सिद्ध कीजिए।

14. एक डायहेड्रल कोण की परिभाषा दीजिए, एक डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण।

15. दो तलों के लम्बवत् चिह्न को सिद्ध कीजिए।

16. दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी को परिभाषित करें।

17. एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को परिभाषित करें।

18. एक बिंदु से एक समतल की दूरी को परिभाषित कीजिए।

19. एक सीधी रेखा और उसके समानांतर एक तल के बीच की दूरी को परिभाषित करें।

20. समानांतर विमानों के बीच की दूरी को परिभाषित करें।

21. तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी को परिभाषित करें।

22. एक समतल पर किसी बिंदु के लंबकोणीय प्रक्षेपण को परिभाषित करें।

23. एक समतल पर किसी आकृति के लंबकोणीय प्रक्षेपण को परिभाषित करें।

24. समतल पर प्रक्षेपों के गुणधर्म निरूपित करें।

25. समतल बहुभुज के प्रक्षेपण क्षेत्र पर एक प्रमेय बनाइए और सिद्ध कीजिए।

झुके हुए AB और समतल DAC के बीच का कोण 30* है - यह कोण BAC है कोण DAB 45 है (त्रिभुज DAB एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है), इसलिए DA=BDBA=DA*root(2) AC= AB*cos (BAC)=AB*cos 30 \u003d DA * root (2) * root (3) / 2 \u003d\u003d DA * root (6) / 2 तीन लंबों के प्रमेय द्वारा DC AD के लंबवत है कॉस (सीएडी) = cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*root(6)/2)=2/root(6)= जड़(2/3)कोण CAB=arccos (2/3)

संबंधित कार्य:

समचतुर्भुज ABCD की भुजा AB है a, इनमें से एक कोण 60 डिग्री है। बिंदु D से a/2 की दूरी पर भुजा AB से होकर एक समतल अल्फा खींचा जाता है।
a) बिंदु C से समतल अल्फा की दूरी ज्ञात कीजिए।
b) चित्र में द्वितल कोण DABM का रैखिक कोण दिखाइए। एम अल्फा से संबंधित है।
ग) समचतुर्भुज तल और अल्फा तल के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

समचतुर्भुज ABCD की भुजा AB है a, इनमें से एक कोण 60 डिग्री है। बिंदु D से a/2 की दूरी पर भुजा AB के माध्यम से एक समतल अल्फा खींचा जाता है। a) बिंदु C से समतल अल्फा की दूरी ज्ञात कीजिए। b) चित्र में द्वितल कोण DABM का रैखिक कोण दिखाइए। एम अल्फा से संबंधित है। ग) समचतुर्भुज तल और अल्फा तल के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

समचतुर्भुज ABCD की भुजा AB, a के बराबर है, और इसका एक कोण 60° के बराबर है। बिंदु D से a2 की दूरी पर भुजा AB से होकर एक समतल अल्फा खींचा जाता है।

a) बिंदु C से समतल अल्फा तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

b) चित्र में दर्शाइए कि विकर्ण कोण DABM, M का रैखिक कोण वर्ग से संबंधित है। अल्फा.

ग) समचतुर्भुज तल और अल्फा तल के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन समानांतर प्रोजेक्शन का एक विशेष मामला है। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन में, प्रोजेक्शन बीम प्रोजेक्शन प्लेन के लंबवत होते हैं।

इस तरह के प्रक्षेपण के उपकरण में एक प्रक्षेपण विमान होता है।

बिंदु A का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण प्राप्त करने के लिए, एक प्रक्षेपित बीम को इसके माध्यम से P1 के लंबवत खींचा जाना चाहिए। बिंदु A1 को बिंदु A का ओर्थोगोनल या आयताकार प्रक्षेपण कहा जाता है।

एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण प्राप्त करने के लिए ए 1 बी 1खंड अब, हवाई जहाज पर पी 1, यह बिंदुओं के माध्यम से आवश्यक है लेकिनऔर परपर लंबवत प्रक्षेपित रेखाएँ खींचना पी 1. एक समतल के साथ प्रक्षेपित रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर पी 1ओर्थोगोनल अनुमान प्राप्त करें ए 1और पहले मेंअंक लेकिनऔर पर. ऑर्थोगोनल अनुमानों को जोड़ना ए 1और पहले मेंएक ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन प्राप्त करें ए 1 बी 1खंड अब.

समानांतर प्रक्षेपण के सभी गुण भी ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के लिए संभव हैं। हालांकि, ओर्थोगोनल अनुमानों में कुछ और गुण हैं।

ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन गुण:
1. एक खंड की लंबाई उसके प्रक्षेपण की लंबाई के बराबर होती है, जो खंड के झुकाव के कोण के कोसाइन द्वारा प्रक्षेपण तल तक विभाजित होती है।

आइए एक सीधी रेखा लेते हैं अबऔर इसके ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन का निर्माण करें ए 1 बी 1विमान के लिए पी 1. यदि आप एक सीधी रेखा खींचते हैं एएस || ए 1 बी 1, फिर त्रिभुज से एबीसीउसका अनुसरण करता है |एसी| : |एबी| = क्योंकि एकया |एबी| = |ए 1 बी 1 | : क्योंकि एक, क्योंकि |ए 1 बी 1 | = |एसी|.

2. इसके अलावा, ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन के लिए, समकोण प्रक्षेपण प्रमेय:

प्रमेय:यदि समकोण का कम से कम एक पक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर है, और दूसरा इसके लंबवत नहीं है, तो कोण को इस तल पर पूर्ण आकार में प्रक्षेपित किया जाता है।

प्रमाण:

एक समकोण दिया गया है एबीसी, जो, शर्त के अनुसार, एक सीधी रेखा है सन एबीऔर सूर्य ||प्रक्षेपण विमान पी 1. निर्माण द्वारा, सीधे सूरजप्रोजेक्टिंग बीम के लिए बी बी 1. इसलिए, एक सीधी रेखा सूरजविमान के लिए बी (एबीएक्सबीबी1), क्योंकि यह इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लिए है। सीधी रेखा के अनुसार बी 1 सी 1 || सूरज, इसलिए विमान के लिए भी बी, यानी, और प्रत्यक्ष ए 1 बी 1यह विमान। इसलिए, रेखाओं के बीच का कोण ए 1 बी 1और बी 1 से 1 90° के बराबर होता है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन बिंदुओं के ऑर्थोगोनल अनुमानों को निर्धारित करते समय ज्यामितीय निर्माण की सादगी प्रदान करता है, साथ ही अनुमानों पर अनुमानित आकृति के आकार और आकार को बचाने की क्षमता प्रदान करता है। इन फायदों ने तकनीकी ड्राइंग में व्यापक अनुप्रयोग के साथ ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन प्रदान किया।

अनुमानित प्रक्षेपण विधियाँ हमें वर्णनात्मक ज्यामिति की प्रत्यक्ष समस्या को हल करने की अनुमति देती हैं, अर्थात, मूल से एक सपाट चित्र बनाने के लिए। इस तरह से प्राप्त एक विमान पर अनुमान वस्तु, उसके आकार और अंतरिक्ष में स्थिति का एक अधूरा विचार देते हैं, अर्थात इस तरह के चित्र में उत्क्रमण का गुण नहीं होता है।

एक प्रतिवर्ती चित्र प्राप्त करने के लिए, अर्थात। एक चित्र जो अंतरिक्ष में मूल के आकार, आकार और स्थिति की पूरी तस्वीर देता है, एक एकल-चित्र चित्र पूरक है। ऐड-ऑन के आधार पर, विभिन्न प्रकार के चित्र हैं।

1. मोंज या ऑर्थोगोनल अनुमानों का प्लॉट।ऑर्थोगोनल (आयताकार) अनुमानों की विधि का सार यह है कि मूल को 2 या 3 परस्पर ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन विमानों पर ऑर्थोगोनल रूप से प्रक्षेपित किया जाता है, और फिर उन्हें ड्राइंग प्लेन के साथ जोड़ा जाता है।
2. एक्सोनोमेट्रिक ड्राइंग।एक्सोनोमेट्रिक ड्राइंग का सार यह है कि सबसे पहले मूल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ सख्ती से जुड़ा हुआ है ऑक्सीज़, इसे प्रोजेक्शन प्लेन में से एक पर ओर्थोगोनली प्रोजेक्ट करें ऑक्सी, या OXZ. फिर, समानांतर प्रक्षेपण द्वारा, परिणामी संरचना का एक समानांतर प्रक्षेपण पाया जाता है: निर्देशांक अक्ष ऑक्स, ओए, ओजेड,माध्यमिक प्रक्षेपण और मूल।
3. परिप्रेक्ष्य ड्राइंग।एक परिप्रेक्ष्य ड्राइंग का निर्माण करते समय, पहले एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन बनाया जाता है, और फिर पहले से निर्मित ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन का केंद्रीय प्रोजेक्शन और मूल ही पिक्चर प्लेन पर पाया जाता है।
4. संख्यात्मक अंकों के साथ अनुमान, आदि।संख्यात्मक अंकों के साथ अनुमानों को प्राप्त करने के लिए, मूल को शून्य-स्तर के विमान पर लंबवत रूप से प्रक्षेपित किया जाता है और मूल के बिंदुओं से इस विमान की दूरी का संकेत दिया जाता है।

आइए हम आयताकार अनुमानों और एक एक्सोनोमेट्रिक ड्राइंग के अध्ययन पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

कक्षा 10 . में ज्यामिति का पाठ

इस पाठ में, आप रेखाओं और तलों का अपना अध्ययन जारी रखेंगे; रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात करना सीखें। आप समतल पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण की अवधारणा से परिचित होंगे और इसके गुणों पर विचार करेंगे। पाठ एक बिंदु से एक तल तक की दूरी और एक बिंदु से एक रेखा तक, एक रेखा और एक तल के बीच के कोण की परिभाषा देगा। प्रसिद्ध तीन प्रमेय सिद्ध होंगे। लंबवत।

किसी दिए गए विमान पर एक बिंदु A का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण इस विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण है जो इस विमान के लंबवत एक सीधी रेखा के समानांतर है। किसी दिए गए समतल p पर किसी आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण में इस आकृति के सभी बिंदुओं के समतल p पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण होते हैं।

ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन अक्सर एक विमान पर त्रि-आयामी निकायों को चित्रित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, खासकर तकनीकी चित्रों में। यह एक मनमाना समानांतर प्रक्षेपण की तुलना में अधिक यथार्थवादी छवि देता है, विशेष रूप से गोल निकायों की।

मान लीजिए कि एक बिंदु A से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है जो समतल p से संबंधित नहीं है, जो इस तल के लंबवत है और इसे बिंदु B पर काटती है। तब खंड AB को बिंदु A से इस तल पर गिराया गया लंब कहा जाता है, और बिंदु B को ही इस लंब का आधार कहा जाता है। कोई भी खंड AC, जहाँ C, B से भिन्न, समतल p का एक मनमाना बिंदु है, इस तल की ओर झुका हुआ कहलाता है।

ध्यान दें कि इस परिभाषा में बिंदु B, बिंदु A का ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन है, और खंड AC, परोक्ष AB का ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है। ऑर्थोग्राफिक अनुमानों में सामान्य समानांतर अनुमानों के सभी गुण होते हैं, लेकिन उनमें कई नए गुण भी होते हैं।

मान लीजिए कि एक बिंदु से समतल पर एक लंबवत और कई झुकी हुई रेखाएँ खींची जाती हैं। तब निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

1. कोई भी तिरछा इस तल पर तिरछे के लंबवत और ओर्थोगोनल प्रक्षेपण दोनों से लंबा है।

2. समान तिरछे में समान ओर्थोगोनल अनुमान होते हैं, और इसके विपरीत, समान अनुमान वाले तिरछे भी समान होते हैं।

3. एक तिरछा दूसरे से लंबा होता है यदि और केवल तभी जब पहले तिरछे का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण दूसरे तिरछे के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण से लंबा हो।