इस लेख की शुरुआत में, हमने त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधारणा पर चर्चा की। उनके उद्देश्य का मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमिति की मूल बातें और आवधिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करना है। और हमने एक कारण के लिए एक त्रिकोणमितीय वृत्त खींचा, क्योंकि ज्यादातर मामलों में त्रिकोणमितीय कार्यों को एक इकाई सर्कल में एक त्रिभुज या उसके कुछ खंडों के पक्षों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। मैंने आधुनिक जीवन में त्रिकोणमिति के निर्विवाद रूप से महान महत्व का भी उल्लेख किया। लेकिन विज्ञान अभी भी खड़ा नहीं है, परिणामस्वरूप, हम त्रिकोणमिति के दायरे का काफी विस्तार कर सकते हैं और इसके प्रावधानों को वास्तविक और कभी-कभी जटिल संख्याओं में स्थानांतरित कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति सूत्रकई प्रकार हैं। आइए उन्हें क्रम में मानें।

1. एक ही कोण के त्रिकोणमितीय फलनों का संबंध

यहां हम इस तरह की अवधारणा पर विचार करते हैं: बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान.

एक त्रिकोणमितीय पहचान एक समानता है जिसमें त्रिकोणमितीय संबंध होते हैं और जो इसमें शामिल कोणों के सभी मूल्यों के लिए सही है।

सबसे महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और उनके प्रमाणों पर विचार करें:

पहली पहचान स्पर्शरेखा की परिभाषा से ही होती है।

शीर्ष A पर न्यून कोण x वाला एक समकोण त्रिभुज लें।



सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है:

(बीसी) 2 + (एसी) 2 = (एबी) 2

अब हम समानता के दोनों भागों (AB) 2 से विभाजित करते हैं और sin और cos की परिभाषाओं को याद करते हुए, हमें दूसरी पहचान मिलती है:

(बीसी) 2 /(एबी) 2 + (एसी) 2 /(एबी) 2 = 1

पाप x = (बीसी)/(एबी)

कॉस एक्स = (एसी)/(एबी)

पाप 2 x + cos 2 x = 1

तीसरी और चौथी सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए हम पिछले उपपत्ति का प्रयोग करते हैं।

ऐसा करने के लिए, हम दूसरी पहचान के दोनों हिस्सों को cos 2 x से विभाजित करते हैं:

sin 2 x/cos 2 x + cos 2 x/cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

पहली पहचान के आधार पर tg x \u003d sin x / cos x हमें तीसरा मिलता है:

1 + tg2x = 1/cos2x

अब हम दूसरी पहचान को sin 2 x से विभाजित करते हैं:

पाप 2 एक्स/ पाप 2 एक्स + कॉस 2 एक्स/ पाप 2 एक्स = 1/ पाप 2 एक्स

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x 1/tg 2 x के अलावा और कुछ नहीं है, इसलिए हमें चौथी पहचान मिलती है:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

यह एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों के योग पर प्रमेय को याद करने का समय है, जो कहता है कि त्रिभुज के कोणों का योग \u003d 180 0। यह पता चला है कि त्रिभुज के शीर्ष B पर एक कोण होता है जिसका मान 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x होता है।



पाप और क्योंकि की परिभाषाओं को फिर से याद करें और हमें पांचवीं और छठी पहचान मिलती है:

पाप x = (बीसी)/(एबी)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

अब निम्नलिखित करते हैं:

कॉस एक्स = (एसी)/(एबी)

पाप (90 0 - एक्स) = (एसी)/(एबी)

पाप (90 0 - x) = क्योंकि x

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां सब कुछ प्राथमिक है।

अन्य सर्वसमिकाएँ हैं जिनका उपयोग गणितीय सर्वसमिकाओं को हल करने में किया जाता है, मैं उन्हें केवल एक संदर्भ के रूप में दूंगा, क्योंकि वे सभी ऊपर से उपजी हैं।



2. एक दूसरे के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों की अभिव्यक्ति

   (मूल के सामने चिन्ह का चुनाव इस बात से निर्धारित होता है कि वृत्त के किस भाग में कोना स्थित है?)







3. कोणों को जोड़ने और घटाने के सूत्र निम्नलिखित हैं:



4. डबल, ट्रिपल और हाफ एंगल फॉर्मूला।

   मैं ध्यान देता हूं कि वे सभी पिछले सूत्रों का पालन करते हैं।

पाप 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

टीजी 3एक्स = (3टीजीएक्स - टीजी 3 एक्स) /(1 - 3टीजी 2 एक्स)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. त्रिकोणमितीय व्यंजकों को परिवर्तित करने के सूत्र:

"पाप" अनुरोध यहाँ पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "सेकंड" अनुरोध यहां पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "साइन" यहां पुनर्निर्देश करता है; अन्य अर्थ भी देखें ... विकिपीडिया

चावल। 1 त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, सेकेंट, कोसेकेंट, कोटैंजेंट त्रिकोणमितीय कार्य एक प्रकार के प्राथमिक कार्य हैं। आमतौर पर उनमें साइन (sin x), कोसाइन (cos x), स्पर्शरेखा (tg x), कोटैंजेंट (ctg x), ... विकिपीडिया शामिल हैं।

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जियोडेटिक माप (XVII सदी) ... विकिपीडिया

त्रिकोणमिति में, आधे कोण के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र एक पूर्ण कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए आधे कोण के स्पर्शरेखा से संबंधित है: इस सूत्र के विभिन्न रूप इस प्रकार हैं ... विकिपीडिया

- (ग्रीक τρίγονο (त्रिकोण) और ग्रीक μετρειν (मापने के लिए), यानी त्रिभुजों का मापन) गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन करती है। यह शब्द पहली बार 1595 में ... ... विकिपीडिया . के रूप में सामने आया था

- (लैटिन सॉल्यूटियो ट्राइएंगुलोरम) एक ऐतिहासिक शब्द जिसका अर्थ है मुख्य त्रिकोणमितीय समस्या का समाधान: एक त्रिभुज (भुजाओं, कोणों, आदि) के बारे में ज्ञात डेटा का उपयोग करके, इसकी बाकी विशेषताओं का पता लगाएं। त्रिभुज पर स्थित हो सकता है ... ... विकिपीडिया

पुस्तकें

• तालिकाओं का एक सेट। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10। 17 टेबल + कार्यप्रणाली, . तालिकाओं को मोटे पॉलीग्राफिक कार्डबोर्ड पर मुद्रित किया जाता है जिसकी माप 680 x 980 मिमी होती है। किट में शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशों के साथ एक ब्रोशर शामिल है। 17 शीट्स का स्टडी एल्बम।…
• इंटीग्रल और अन्य गणितीय फ़ार्मुलों की तालिकाएँ, ड्वाइट जीबी। प्रसिद्ध संदर्भ पुस्तक के दसवें संस्करण में अनिश्चित और निश्चित इंटीग्रल की बहुत विस्तृत तालिकाएँ हैं, साथ ही बड़ी संख्या में अन्य गणितीय सूत्र: श्रृंखला विस्तार, ...

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय में मंदी की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद नहीं हो जाता जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

आप अपनी समस्या के विस्तृत समाधान का आदेश दे सकते हैं !!!

एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tg x` या `ctg x`) के चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और हम उनके सूत्रों पर आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई भी संख्या है। आइए उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`।

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि ज्या के मामले में होता है, वास्तविक संख्याओं के बीच कोई हल नहीं होता है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

रेखांकन में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`ए` के किसी भी मान के लिए अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसमें `ए` के किसी भी मूल्य के लिए अनंत समाधान भी हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइनस के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण के हल में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने के लिए उपयोग करना;
• मूलों और तालिकाओं के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके परिणामी सरल समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके समाधान के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

बीजगणितीय विधि।

इस पद्धति में, एक चर का प्रतिस्थापन और समानता में उसका प्रतिस्थापन किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

एक प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हमें जड़ें मिलती हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिसमें से दो मामले अनुसरण करते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडन।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `sin x+cos x=1`।

फेसला। समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में लाना होगा:

`a sin x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर पहले मामले के लिए दोनों भागों को `cos x \ne 0` और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x`: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0` के समीकरण मिलते हैं, जिन्हें ज्ञात विधियों का उपयोग करके हल किया जाना चाहिए।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

फेसला। आइए दाईं ओर को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`।

यह दूसरी डिग्री का एक समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण है, इसके बाएँ और दाएँ भागों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`टीजी^2 एक्स+टीजी एक्स - 2=0`। आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें `tg x=t`, परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0`। इस समीकरण की जड़ें हैं `t_1=-2` तथा `t_2=1`। फिर:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

जवाब। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

हाफ कॉर्नर पर जाएं

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

फेसला। द्विकोण सूत्रों को लागू करने पर परिणाम होता है: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 टीजी^2 एक्स/2 - 11 टीजी एक्स/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

जवाब। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

एक सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण में `a sin x + b cos x =c`, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, हम दोनों भागों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करते हैं:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x + `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x = `\frac c(sqrt (a^2) +बी^2))`।

बाईं ओर के गुणांक में साइन और कोसाइन के गुण होते हैं, अर्थात्, उनके वर्गों का योग 1 होता है और उनका मापांक अधिकतम 1 होता है। आइए उन्हें निम्नानुसार निरूपित करें: \frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , तब:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `3 sin x+4 cos x=2`।

फेसला। समीकरण के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+`\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))= `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 क्योंकि x=2/5`।

निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`। चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। तब हम अपनी समानता को रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`पाप(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

जवाब। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये अंशों और हरों में भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनमें त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

फेसला। समीकरण के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह देखते हुए कि हर शून्य नहीं हो सकता, हमें मिलता है `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` तथा `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`।

जवाब। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। अध्ययन 10 वीं कक्षा में शुरू होता है, परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद रखने की कोशिश करें - वे निश्चित रूप से आपके काम आएंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद करने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात यह है कि सार को समझना और निकालने में सक्षम होना। यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए।