विमानों के बीच का कोण

आइए समीकरणों द्वारा दिए गए दो विमानों α 1 और α 2 पर विचार करें:

नीचे कोनादो तलों के बीच हमारा तात्पर्य इन तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोणों में से एक से है। यह स्पष्ट है कि सामान्य वैक्टर और विमानों α 1 और α 2 के बीच का कोण संकेतित आसन्न डायहेड्रल कोणों में से एक के बराबर है या . इसलिए . क्योंकि और , तब

.

उदाहरण।विमानों के बीच का कोण निर्धारित करें एक्स+2आप-3जेड+4=0 और 2 एक्स+3आप+जेड+8=0.

दो तलों की समांतरता की स्थिति।

दो विमान α 1 और α 2 समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वैक्टर और समानांतर हैं, और इसलिए .

तो, दो विमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं यदि और केवल यदि संबंधित निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं:

या

विमानों के लंबवत होने की स्थिति।

यह स्पष्ट है कि दो विमान लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वेक्टर लंबवत हैं, और इसलिए, या।

इस प्रकार, ।

उदाहरण।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष।

सदिश समीकरण प्रत्यक्ष।

पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की स्थिति उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्धारित होती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर।

एक सीधी रेखा के समानांतर एक वेक्टर को कहा जाता है गाइडिंगइस लाइन का वेक्टर।

तो चलो सीधे मैंएक बिंदु से गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) वेक्टर के समानांतर एक सीधी रेखा पर लेटना।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम (एक्स, वाई, जेड)एक सीधी रेखा पर। चित्र से यह देखा जा सकता है कि .

सदिश और संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीबिंदु की स्थिति के आधार पर कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है एमएक सीधी रेखा पर। कारक टीएक पैरामीटर कहा जाता है। बिन्दुओं की त्रिज्या सदिशों को निरूपित करना एम 1 और एमक्रमशः, के माध्यम से और , हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरसीधी रेखा समीकरण। यह दर्शाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाती है एमएक सीधी रेखा पर लेटना।

हम इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखते हैं। नोटिस जो , और यहाँ से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकसीधी रेखा समीकरण।

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक परिवर्तन एक्स, आपऔर जेडऔर डॉट एमएक सीधी रेखा में चलता है।

विहित समीकरण प्रत्यक्ष

रहने दो एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) - एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु मैं, और इसकी दिशा वेक्टर है। फिर से, एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम (एक्स, वाई, जेड)और वेक्टर पर विचार करें।

यह स्पष्ट है कि सदिश और संरेख हैं, इसलिए उनके संबंधित निर्देशांक समानुपाती होने चाहिए, इसलिए

– कैनन कासीधी रेखा समीकरण।

टिप्पणी 1.ध्यान दें कि लाइन के विहित समीकरणों को पैरामीटर को समाप्त करके पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है टी. वास्तव में, पैरामीट्रिक समीकरणों से हम प्राप्त करते हैं या .

उदाहरण।एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक तरीके से।

निरूपित , इस तरह एक्स = 2 + 3टी, आप = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

टिप्पणी 2.रेखा को निर्देशांक अक्षों में से एक के लंबवत होने दें, उदाहरण के लिए, अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत है बैल, इस तरह, एम= 0। नतीजतन, सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप लेते हैं

समीकरणों से पैरामीटर को हटाना टी, हम रूप में सीधी रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से सीधी रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका अर्थ है कि रेखा संगत निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

इसी प्रकार, विहित समीकरण अक्षों के लंबवत सीधी रेखा से मेल खाती है बैलऔर ओएया समानांतर अक्ष आउंस.

उदाहरण।

सामान्य समीकरण दो योजनाओं के अंतःक्षेपण की एक रेखा के रूप में एक सीधी रेखा

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनंत विमानों की संख्या गुजरती है। उनमें से कोई दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। अतः ऐसे किन्हीं दो तलों के समीकरण, जिन्हें एक साथ माना जाए, इस रेखा के समीकरण हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके चौराहे की रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक सीधी रेखा की रचना कीजिए

एक रेखा बनाने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। निर्देशांक विमानों के साथ रेखा के चौराहे के बिंदुओं को चुनना सबसे आसान तरीका है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyहम एक सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं, यह मानते हुए जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम बिंदु पाते हैं एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर आप= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से, कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों पर आगे बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ बिंदु खोजने की जरूरत है एम 1 रेखा पर और रेखा की दिशा सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से प्राप्त करते हैं, निर्देशांक में से एक को मनमाना मान देते हैं। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, ध्यान दें कि यह वेक्टर दोनों सामान्य वैक्टरों के लंबवत होना चाहिए और . इसलिए, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के लिए मैंआप सामान्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद ले सकते हैं:

.

उदाहरण।सरल रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में।

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से निर्देशांक में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, आप= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले विमानों के सामान्य वैक्टर में निर्देशांक होते हैं इसलिए, दिशा वेक्टर सीधा होगा

. इसलिये, मैं: .

अधिकारों के बीच का कोण

कोनाअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बने किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

जाहिर है, रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा वैक्टर और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि , तब सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

इस लेख में हम एक समतल में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण पर विचार करेंगे। यदि इस सरल रेखा के दो बिंदु ज्ञात हों या यदि इस सरल रेखा का एक बिंदु और दिशा सदिश ज्ञात हो, तो आइए हम एक सरल रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण के निर्माण के उदाहरण दें। आइए हम पैरामीट्रिक रूप में एक समीकरण को विहित और सामान्य रूपों में बदलने के तरीकों को प्रस्तुत करते हैं।

एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण लीविमान पर निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया गया है:

(1)

कहाँ पे एक्स 1 , आपकिसी बिंदु के 1 निर्देशांक एम 1 एक सीधी रेखा पर ली. वेक्टर क्यू={एम, पी) रेखा का दिशा सदिश है ली, टीकुछ पैरामीटर है।

ध्यान दें कि एक सीधी रेखा के समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखते समय, सीधी रेखा का निर्देशन सदिश शून्य सदिश नहीं होना चाहिए, अर्थात निर्देशन सदिश का कम से कम एक निर्देशांक होना चाहिए। क्यूशून्य से भिन्न होना चाहिए।

पैरामीट्रिक समीकरण (1) द्वारा दिए गए कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा बनाने के लिए, यह पैरामीटर सेट करने के लिए पर्याप्त है टीदो अलग-अलग मान, गणना करें एक्सऔर आपऔर इन बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। पर टी=0 हमारे पास एक बिंदु है एम 1 (एक्स 1 , आप 1) पर टी= 1, हमें एक बिंदु मिलता है एम 2 (एक्स 1 +एम, आप 1 +पी).

समतल पर एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण बनाने के लिए लीरेखा पर एक बिंदु होना पर्याप्त है लीऔर रेखा की दिशा सदिश, या रेखा से संबंधित दो बिंदु ली. पहले मामले में, एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण के निर्माण के लिए, आपको बिंदु के निर्देशांक और दिशा वेक्टर को समीकरण (1) में सम्मिलित करना होगा। दूसरे मामले में, आपको सबसे पहले लाइन के दिशा वेक्टर को खोजने की जरूरत है क्यू={एम, पी), बिंदुओं के संगत निर्देशांक के अंतर की गणना एम 1 और एम 2: एम=एक्स 2 −एक्स 1 , पी=आप 2 −आप 1 (चित्र। 1)। इसके अलावा, पहले मामले के समान, किसी एक बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा) और दिशा वेक्टर क्यू(1) में सीधी रेखा।

उदाहरण 1. एक रेखा एक बिंदु . से होकर गुजरती है एम=(3,−1) और एक दिशा सदिश है क्यू=(−3, 5)। एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण की रचना कीजिए।

फेसला। एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण का निर्माण करने के लिए, हम बिंदु के निर्देशांक और दिशा वेक्टर को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करते हैं:

आइए परिणामी समीकरण को सरल बनाएं:

व्यंजकों (3) से, हम एक समतल पर एक सीधी रेखा का विहित समीकरण लिख सकते हैं:

एक सीधी रेखा के इस समीकरण को विहित रूप में लाएँ।

समाधान: पैरामीटर व्यक्त करें टीचर के माध्यम से एक्सऔर आप:

(5)

व्यंजकों (5) से हम लिख सकते हैं।

सीधी रेखा के विहित समीकरणों में प्रत्येक भिन्न को किसी न किसी पैरामीटर के साथ बराबर करना टी:

हम पैरामीटर के माध्यम से सीधी रेखा के प्रत्येक बिंदु के वर्तमान निर्देशांक को व्यक्त करने वाले समीकरण प्राप्त करते हैं टी.

इस प्रकार, सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का रूप है:

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण।

मान लीजिए दो बिंदु M 1 (x1,y1,z1)और एम 2 (x2,y2,z2). दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण उसी तरह प्राप्त होते हैं जैसे एक समतल पर समान समीकरण। इसलिए, हम तुरंत इस समीकरण का रूप देते हैं।

दो तलों के प्रतिच्छेदन पर एक सीधी रेखा। अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि हम दो गैर-समानांतर तलों पर विचार करें, तो उनका प्रतिच्छेदन एक सीधी रेखा होगी।

यदि सामान्य वैक्टर और असंरेखित।

नीचे, उदाहरणों पर विचार करते समय, हम ऐसे सरल रेखा समीकरणों को विहित समीकरणों में बदलने का एक तरीका दिखाएंगे।

5.4 दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बनने वाला कोण होता है।

मान लीजिए कि दो रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं।

दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण के लिए हम दिशा सदिशों के बीच का कोण लेंगे।

और

दो सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति उनके दिशा वैक्टर की लंबवतता की स्थिति में कम हो जाती है और यानी, अदिश उत्पाद के शून्य के बराबर: या समन्वय रूप में: .

दो रेखाओं के समानांतरवाद की स्थिति उनके दिशा वैक्टर के समानांतरवाद की स्थिति में कम हो जाती है और

5.5 एक सीधी रेखा और एक तल की पारस्परिक व्यवस्था।

मान लीजिए कि सीधी रेखा के समीकरण दिए गए हैं:

और विमान। रेखा और तल के बीच का कोण रेखा और उसके समतल पर प्रक्षेपण द्वारा बनाए गए दो आसन्न कोणों में से कोई एक होगा (चित्र 5.5)।

चित्र 5.5

यदि रेखा समतल के लंबवत है, तो रेखा का दिशा देने वाला सदिश और समतल का अभिलंब सदिश संरेख है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा और एक तल के लम्बवत्ता की स्थिति संरेखीय सदिशों की स्थिति तक कम हो जाती है

एक सीधी रेखा और एक समतल के समानांतर होने की स्थिति में, ऊपर बताए गए उनके सदिश परस्पर लंबवत होते हैं। इसलिए, एक सीधी रेखा और एक तल के समांतरता की स्थिति को सदिशों के लंबवतता की स्थिति में घटा दिया जाता है; वे। उनका डॉट उत्पाद शून्य है या समन्वय रूप में:।

नीचे अध्याय 5 के विषय से संबंधित समस्याओं को हल करने के उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण 1:

समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत बिंदु A (1,2,4) से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए:

फेसला:

हम दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल के समीकरण का उपयोग करते हैं।

ए(एक्स-एक्स 0)+बी(वाई-वाई 0)+सी(जेड-जेड 0)=0

एक बिंदु के रूप में, हम बिंदु ए (1,2,4) लेते हैं, जिसके माध्यम से विमान शर्त से गुजरता है।

रेखा के विहित समीकरणों को जानने के बाद, हम रेखा के समानांतर सदिश को जानते हैं।

इस तथ्य के कारण कि, स्थिति से, सीधी रेखा वांछित विमान के लंबवत है, दिशा वेक्टर को विमान के सामान्य वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है।

इस प्रकार, हम इस रूप में समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

उदाहरण 2:

विमान पर खोजें 4x-7y+5z-20=0एक बिंदु P जिसके लिए OP निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है।

फेसला:

आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं। (चित्र 5.6)

पर

चित्र 5.6

खाली बिंदु में निर्देशांक होते हैं। चूंकि वेक्टर निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है, इस वेक्टर की दिशा कोसाइन एक दूसरे के बराबर होती हैं

आइए वेक्टर के अनुमानों को खोजें:

तब इस सदिश की दिशा कोज्या आसानी से मिल जाती है।

दिशा कोसाइन की समानता से, समानता इस प्रकार है:

एक्स पी \u003d वाई पी \u003d जेड पी

चूँकि बिंदु P समतल पर स्थित है, इस बिंदु के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने से यह एक सर्वसमिका में बदल जाता है।

4x पी -7x पी +5x पी -20=0

2x पी \u003d 20

एक्स पी \u003d 10

क्रमश: y r=10; जेड पी=10.

इस प्रकार, वांछित बिंदु P के निर्देशांक P (10; 10; 10) हैं।

उदाहरण 3:

दो बिंदु A (2, -1, -2) और B (8, -7.5) दिए गए हैं। खंड AB के लंबवत बिंदु B से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला:

समस्या को हल करने के लिए, हम दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल के समीकरण का उपयोग करते हैं।

ए(एक्स-एक्स 0)+बी(वाई-वाई 0)+सी(जेड-जेड 0)=0

एक बिंदु के रूप में, हम बिंदु बी (8, -7.5) का उपयोग करते हैं, और विमान के लंबवत वेक्टर के रूप में, वेक्टर। आइए वेक्टर के अनुमानों को खोजें:

तब हमें समतल का समीकरण इस रूप में प्राप्त होता है:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

उदाहरण 4:

ओए अक्ष के समानांतर और बिंदुओं के (1,-5,1) और एम (3,2,-2) से गुजरने वाले विमान के समीकरण का पता लगाएं।

फेसला:

चूंकि विमान ओए अक्ष के समानांतर है, हम विमान के अपूर्ण समीकरण का उपयोग करेंगे।

कुल्हाड़ी+सीजेड+डी=0

इस तथ्य के कारण कि बिंदु K और M समतल पर स्थित हैं, हमें दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।

आइए हम इन शर्तों से गुणांक ए और सी को डी के संदर्भ में व्यक्त करें।

हम पाए गए गुणांकों को समतल के अपूर्ण समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

तब से, हम डी को कम करते हैं:

उदाहरण 5:

तीन बिंदुओं M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला:

आइए दिए गए 3 बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण का उपयोग करें।

बिंदुओं M, K, R के निर्देशांकों को पहले, दूसरे और तीसरे के रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पहली पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करें।

उदाहरण 6:

बिंदुओं M1 (8, -3,1) से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए; एम 2 (4,7,2) और विमान के लंबवत 3x+5y-7z-21=0

फेसला:

आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं (चित्र 5.7)

चित्र 5.7

हम दिए गए समतल P2 और वांछित समतल P2 को निरूपित करते हैं। किसी दिए गए विमान 1 के समीकरण से हम विमान 1 के लंबवत वेक्टर के अनुमानों को निर्धारित करते हैं।

समानांतर अनुवाद के माध्यम से वेक्टर को विमान पी 2 में ले जाया जा सकता है, क्योंकि समस्या की स्थिति के अनुसार, विमान पी 2 विमान पी 1 के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर विमान पी 2 के समानांतर है। .

आइए विमान में पड़े वेक्टर के अनुमानों को खोजें 2 :

अब हमारे पास दो सदिश हैं और समतल R 2 में हैं। स्पष्ट रूप से वेक्टर , सदिशों के सदिश गुणनफल के बराबर और तल R 2 के लम्बवत होगा, क्योंकि यह तल R 2 के लम्बवत है और इसलिए इसका अभिलंब सदिश है।

वैक्टर और उनके अनुमानों द्वारा दिए गए हैं, इसलिए:

इसके बाद, हम वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के समीकरण का उपयोग करते हैं। एक बिंदु के रूप में, आप M 1 या M 2 में से कोई भी बिंदु ले सकते हैं, उदाहरण के लिए M 1 (8, -3.1); विमान 2 के लिए एक सामान्य वेक्टर के रूप में हम लेते हैं।

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

उदाहरण 7:

एक सीधी रेखा को दो समतलों के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित किया जाता है। रेखा के विहित समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला:

हमारे पास फॉर्म में एक समीकरण है:

एक बिंदु खोजने की जरूरत है एक्स 0, वाई 0, जेड 0) जिससे होकर सीधी रेखा और दिशा सदिश गुजरती है।

हम निर्देशांक में से एक को मनमाने ढंग से चुनते हैं। उदाहरण के लिए, जेड = 1, तो हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

इस प्रकार, हमें वांछित रेखा (2,0,1) पर स्थित एक बिंदु मिला है।

वांछित सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में, हम वैक्टर का क्रॉस उत्पाद लेते हैं और , जो सामान्य वैक्टर हैं , जिसका अर्थ है वांछित रेखा के समानांतर।

इस प्रकार, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर में अनुमान होते हैं। किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करना:

तो वांछित विहित समीकरण का रूप है:

उदाहरण 8:

एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए 2x+3y+3z-8=0

फेसला:

आइए एक सीधी रेखा के दिए गए समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखें।

एक्स = 3t-2; वाई=-टी+2; z=2t-1

सीधी रेखा का प्रत्येक बिंदु पैरामीटर के एकल मान से मेल खाता है टी. पैरामीटर खोजने के लिए टीरेखा और तल के प्रतिच्छेदन बिंदु के संगत, हम व्यंजक को तल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं एक्स, वाई, जेडपैरामीटर के माध्यम से टी।

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

टी = 1

फिर वांछित बिंदु के निर्देशांक

वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु में निर्देशांक (1;1;1) हैं।

उदाहरण 9:

समानांतर रेखाओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आइए एक योजनाबद्ध आरेखण बनाएं (चित्र 5.9)

चित्र 5.9

दिए गए रेखाओं के समीकरणों से और हम इन रेखाओं के दिशा देने वाले सदिशों के अनुमानों का निर्धारण करते हैं। हम विमान पी में पड़े वेक्टर के अनुमानों को ढूंढते हैं, और अंक लेते हैं और एम 1 (1, -1,2) और एम 2 (0,1, -2) के विहित समीकरणों से।

व्याख्यान संख्या 7

अंतरिक्ष में विमान और रेखा

प्रो दिमकोव एम.पी.

1. एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

मान लीजिए कि एक बिंदु M 0 (x 0, y 0, z 0) एक सीधी रेखा पर दिया गया है और एक सदिश s = (l,m,n) पर स्थित है

यह रेखा (या इसके समानांतर)। सदिश s को भी कहा जाता है गाइड वेक्टर सीधे.

ये स्थितियां विशिष्ट रूप से अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को परिभाषित करती हैं। चलो उसे ढूंढते हैं

समीकरण। रेखा पर एक मनमाना बिंदु M (x, y, z) लें। यह स्पष्ट है कि वैक्टर

M 0 M (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0) और s संरेख हैं।

इसलिए, M 0 M = t s - एक सीधी रेखा का एक सदिश समीकरण है।

समन्वय संकेतन में, अंतिम समीकरण में निम्नलिखित पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व है

एक्स = x0 + टी एल,

वाई = y0 + टीएम,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

जहां टी - "के माध्यम से चलाता है"

अंतराल (−∞ ,∞ ) ,

(क्योंकि बिंदु M (x, y, z) अवश्य

"के माध्यम से चलना"

पूरी लाइन)।

2. एक सीधी रेखा का विहित समीकरण

पिछले समीकरणों से पैरामीटर t को हटाकर, हमारे पास है

एक्स - एक्स

वाई - वाई

जेड - जेड

टी-

एक सीधी रेखा का विहित समीकरण।

3. रेखाओं के बीच का कोण। दो पंक्तियों की शर्तें " " और " "

दो पंक्तियाँ दी जाए

एक्स - xi

वाई - यी

z−zi

मैं = 1.2.

परिभाषा।

सीधी रेखाओं L 1 और L 2 . के बीच का कोण

चलो किसी भी कोण से कॉल करते हैं

दो सीधी रेखाओं से बने दो कोण, क्रमशः दिए गए एक के समानांतर और एक बिंदु से गुजरते हुए (जिसमें किसी एक सीधी रेखा के समानांतर अनुवाद की आवश्यकता हो सकती है)।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि कोणों में से एक कोण ϕ के बीच के कोण के बराबर है

लाइनों के दिशा वैक्टर

= (एल 1, एम 1, एन 1)

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ), [और दूसरा कोण

तो यह (π - φ )] के बराबर होगा। तब कोण संबंध से निर्धारित होता है

कोसφ =

एल 1 2 + एम 1 2 + एन 1 2

एल 2 2 + एम 2 2 + एन 2 2

सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैंअगर एस और एस

समरेख

रेखाएँ s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 पर लंबवत हैं।

4. एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण। शर्तें «» और «» प्रत्यक्ष और

विमान

मान लीजिए कि रेखा L को उसके विहित समीकरण x - l x 0 = y - m y 0 = z - n z 0 द्वारा दिया गया है,

और समीकरण द्वारा विमान पी

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0।

परिभाषा। रेखा L . के बीच का कोण

और समतल p, रेखा L और समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का न्यून कोण है।

यह परिभाषा (और आकृति) से निम्नानुसार है कि वांछित कोण सामान्य वेक्टर n (ए, बी, सी) और के बीच के कोण के लिए पूरक (एक समकोण तक) है।

दिशा वेक्टर एस (एल, एम, एन)।

अल + बीएम + सीएन

−φ

पाप =

ए 2 + बी 2 + सी 2 एल 2 + एम 2 + एन 2

(. को न्यून कोण प्राप्त करने के लिए लिया जाता है)।

अगर एल , तो एस एन (एस, एन) = 0

अल + बीएम + सीएन = 0 −					स्थिति " "।
यदि L P , तो s n . के संरेख है
				सी-	स्थिति " "।
5. एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु
एल : x = x0 + एल , टी ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
पी: कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0।
x, y, z के व्यंजकों को तल के समीकरण में प्रतिस्थापित करना और रूपांतरित करना,
		टी = - कुल्हाड़ी 0 + 0 से + सीजेड 0 + डी।
				अल + बीएम + सीएन

अब, यदि हम पाए गए "t" को सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु मिलेगा

व्याख्यान संख्या 8-9

गणितीय विश्लेषण की मूल बातें

प्रो दिमकोव एम.पी.

गणितीय विश्लेषण के मुख्य कार्यों में से एक सीमा तक मार्ग का संचालन है, जो विभिन्न रूपों में पाठ्यक्रम में होता है। हम तथाकथित संख्या अनुक्रम की सीमा की अवधारणा के आधार पर, सीमा संचालन के लिए मार्ग के सबसे सरल रूप से शुरू करते हैं। यह सीमा संचालन, एक समारोह की सीमा के लिए मार्ग के एक और बहुत महत्वपूर्ण रूप की शुरूआत की सुविधा प्रदान करेगा। निम्नलिखित में, अंतर और अभिन्न कलन के निर्माण में सीमा तक मार्ग के निर्माण का उपयोग किया जाएगा।



 अनंत और असीम रूप से बड़े क्रम

 असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे अनुक्रमों के बीच संबंध।

 अतिसूक्ष्म अनुक्रमों के सरलतम गुण

 अनुक्रम सीमा।

 अभिसरण अनुक्रमों के गुण

 अभिसरण अनुक्रमों पर अंकगणितीय संचालन

 मोनोटोनिक अनुक्रम

 कॉची अभिसरण मानदंड

 संख्या ई और इसका आर्थिक चित्रण।

 आर्थिक गणना में सीमाओं का अनुप्रयोग

§ 1. संख्यात्मक अनुक्रम और सरल गुण

1. एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा। अनुक्रमों पर अंकगणितीय संचालन

संख्या क्रम संख्याओं के अनंत सेट हैं। उदाहरण क्रम स्कूल से जाने जाते हैं:

1) अनंत अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का क्रम;

2) नियमित परिधि का क्रमकिसी दिए गए सर्कल में अंकित एन-गॉन;

	3) संख्याओं का क्रम							संख्या का अनुमान लगाना

संख्या अनुक्रम कहा जाएगा (या सिर्फ एक क्रम)।

अलग-अलग संख्या x 3 , x 5 , x n अनुक्रम के तत्व या सदस्य कहलाएंगे (1)। प्रतीक x n को इस क्रम का उभयनिष्ठ या n-वाँ सदस्य कहा जाता है। सामान्य पद x n में n = 1, 2, … का मान देते हुए, हमें क्रमशः पहला x 1, दूसरा x 2 और इसी प्रकार मिलता है। सदस्य।

एक अनुक्रम दिया गया माना जाता है (देखें डीईएफ़।) यदि इसके किसी भी तत्व को प्राप्त करने के लिए एक विधि निर्दिष्ट है। अक्सर अनुक्रम के सामान्य पद के लिए एक सूत्र द्वारा एक अनुक्रम दिया जाता है।

अंकन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम (1) को कभी-कभी इस प्रकार लिखा जाता है:

(एक्स एन)। उदाहरण के लिए,			मतलब अनुक्रम 1,
( 1+ (- 1)n ) हमारे पास है			0, 2, 0, 2, … .

सामान्य शब्द की संरचना (इसका सूत्र) जटिल हो सकती है। उदाहरण के लिए,

							एन एन.
एक्स एन =					n-विषम

कभी-कभी अनुक्रम तथाकथित द्वारा दिया जाता है आवर्तक सूत्र, अर्थात। सूत्र जो आपको ज्ञात पिछले वाले से अनुक्रम के बाद के सदस्यों को खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण (फाइबोनैचि संख्या)।मान लीजिए x 1 = x 2 = 1 और n = 3, 4, ... के लिए आवर्तक सूत्र x n = x n - 1 + x n - 2 दिया गया है। फिर हमारे पास अनुक्रम 1, 1 है,

2, 3, 5, 8, ... (पीसा से लियोनार्डो की संख्या, उपनाम फाइबोनैचि)। ज्यामितीय रूप से, एक संख्यात्मक अनुक्रम को एक संख्यात्मक . पर दर्शाया जा सकता है

बिंदुओं के अनुक्रम के रूप में अक्ष जिनके निर्देशांक संगत के बराबर हैं

अनुक्रम के संबंधित सदस्य। उदाहरण के लिए, ( x n ) = 1 n ।

व्याख्यान 8-9 गणितीय विश्लेषण के मूल सिद्धांत प्रो। दिमकोव एम.पी. 66

अनुक्रम ( x n ) के साथ एक अन्य अनुक्रम ( y n ) पर विचार करें : y 1 , y 2 , y ,n (2) ।

परिभाषा। अनुक्रम का योग (अंतर, उत्पाद, भागफल)

मान (xn) और (yn) को एक अनुक्रम (zn) कहा जाता है जिसके सदस्य हैं

के अनुसार गठित

जेड एन = एक्स एन + वाई एन

एक्स-y

≠ 0

एक अनुक्रम ( xn ) और एक संख्या c R का गुणनफल एक अनुक्रम ( c xn ) है।

परिभाषा। अनुक्रम ( xn ) को बाउंडेड कहा जाता है

ऊपर से (नीचे से), यदि कोई वास्तविक संख्या M (m) इस प्रकार है कि इस अनुक्रम का प्रत्येक अवयव xn असमान को संतुष्ट करता है

एक्सएन एम (एक्सएन ≥ एम)। एक अनुक्रम को बाउंडेड कहा जाता है यदि यह m ≤ xn ≤ M के ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हो। अनुक्रम xn कहा जाता है

असीमित है यदि धनात्मक संख्या A के लिए (मनमाने ढंग से बड़ा) कम से कम हैअनुक्रम xn का एक तत्व संतुष्ट करता है

जो असमानता xn > A देता है।

(एक्स एन) = ( 1एन ) 0 एक्स एन ≤ 1.

( x n ) = ( n ) - नीचे से 1 से घिरा है, लेकिन असीम है।

( x n ) = ( - n ) - ऊपर (-1) से घिरा है, लेकिन असीम भी है।

परिभाषा। अनुक्रम ( x n ) कहा जाता है बहुत छोता,

यदि किसी धनात्मक वास्तविक संख्या ε (चाहे वह कितनी भी छोटी क्यों न हो) के लिए , (N = N (ε )) के आधार पर एक संख्या N मौजूद है, जैसे कि सभी n N के लिए असमानता x n< ε .

उदाहरण। (एक्स एन) = 1 एन।

परिभाषा। अनुक्रम (xn) कहा जाता है अंतहीन दर्द-

शोय अगर एक सकारात्मक वास्तविक संख्या ए (चाहे वह कितनी भी बड़ी हो) के लिए एक संख्या एन (एन = एन (ए)) है जैसे कि सभी एन ≥ एन के लिए

असमानता xn > A प्राप्त की जाती है।

मान लीजिए कि रेखा बिंदु M1 (x1, y1, z1) से होकर गुजरती है और सदिश (m ,n, l) के समानांतर है। आइए इस लाइन के लिए एक समीकरण लिखें।

आइए इस रेखा पर एक मनमाना बिंदु M (x, y, z) लें और x, y, z के बीच संबंध खोजें। चलो एक वेक्टर बनाते हैं

वेक्टर संरेख हैं।

- अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का विहित समीकरण।

एक सीधी रेखा के 44 पैरामीट्रिक समीकरण

क्योंकि यह समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, तो परिणामी समीकरण रेखा का एक पैरामीट्रिक समीकरण होता है।

इस सदिश समीकरण को निर्देशांक रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रणाली को बदलने और पैरामीटर टी के मूल्यों की बराबरी करते हुए, हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

परिभाषा। सीधी रेखा की दिशा कोसाइन वेक्टर की दिशा कोसाइन होती है, जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है:

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं: m: n: p = cosa: cosb: cosg।

संख्या m, n, p को रेखा का ढाल कहा जाता है। चूँकि एक शून्येतर सदिश है, तो m, n और p एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकते हैं, लेकिन इनमें से एक या दो संख्याएँ शून्य के बराबर हो सकती हैं। इस मामले में, एक सीधी रेखा के समीकरण में, संबंधित अंशों को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए।

45 दो अलग-अलग दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए कि M1(x1y1) और M2(x2y2) समतल पर दिए गए हैं। आइए हम इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के विहित समीकरण की रचना करें, दिशा वेक्टर S के रूप में हम M1M2 लेते हैं

ट्रोइका

यह दो दिए गए बिंदुओं (x1 y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

आइए अब हम सीधी रेखा और अंतरिक्ष में तल के समीकरणों की ओर मुड़ें।

3-आयामी अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति

इसी प्रकार द्वि-विमीय स्थिति के समान, तीन चर x, y, z के संबंध में प्रथम घात का कोई भी समीकरण xyz तलों में एक समतल का समीकरण होता है। बिंदु M(x0,y0,z0) से गुजरने वाले और सामान्य N(A,B,C) A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) से गुजरने वाले समतल का विहित समीकरण = 0 - यह समीकरण कौन सा है?

मान x-x0, y-y0 और z-z0 वर्तमान बिंदु के निर्देशांक और निश्चित बिंदु के बीच के अंतर हैं। इसलिए, वेक्टर a (x-x 0, y-y0, z-z0) वर्णित विमान में स्थित एक वेक्टर है, और वेक्टर N विमान के लंबवत एक वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि वे एक दूसरे के लंबवत हैं।

तब उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए।

समन्वय रूप में (एन, ए) = 0 इस तरह दिखता है:

ए (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

अंतरिक्ष में, वैक्टर के दाएं और बाएं ट्रिपल प्रतिष्ठित हैं। गैर-समतलीय सदिशों a, b, c का एक तिहाई सही कहा जाता है, यदि उनके सामान्य मूल से, निर्दिष्ट क्रम में वैक्टर a, b, c के सिरों का ट्रैवर्सल दक्षिणावर्त जा रहा है। नहीं तो a,b,c बचे हैं।

46 अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण

अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच का कोण डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित आसन्न कोणों में से कोई भी होता है।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

स्पष्ट है कि रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि, तब हमें सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार प्राप्त होता है

दो रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की शर्तें उनके दिशा वैक्टर के समानांतरवाद और लंबवतता की शर्तों के बराबर हैं और:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात। l1 l2 के समानांतर है यदि और केवल यदि यह समानांतर है .

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि और केवल यदि संगत गुणांकों के गुणनफलों का योग शून्य के बराबर हो: ।

रेखा l1 के समांतर बिंदु М1(1;2;3) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए:

चूँकि वांछित रेखा l, l1 के समानांतर है, इसलिए वांछित रेखा l के दिशा सदिश के रूप में, हम रेखा l1 की दिशा सदिश ले सकते हैं।