बहुत बार, अंश के अंश और हर बीजीय व्यंजक होते हैं जिन्हें पहले कारकों में विघटित किया जाना चाहिए, और फिर, उनके बीच समान पाए जाने पर, अंश और हर दोनों को उनमें विभाजित करें, अर्थात भिन्न को कम करें। 7वीं कक्षा में बीजगणित पर एक पाठ्यपुस्तक का एक पूरा अध्याय एक बहुपद को गुणनखंड बनाने के कार्यों के लिए समर्पित है। फैक्टरिंग की जा सकती है 3 तरीके, साथ ही इन विधियों का एक संयोजन।

1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग

के रूप में जाना जाता है एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करें, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल जोड़ना होगा। अवधारणा में शामिल बहुपदों के गुणन के कम से कम 7 (सात) सामान्य मामले हैं। उदाहरण के लिए,

तालिका 1. पहले तरीके से गुणनखंडन

2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

यह विधि गुणन के वितरण नियम के अनुप्रयोग पर आधारित है। उदाहरण के लिए,

हम मूल व्यंजक के प्रत्येक पद को उस गुणनखंड से विभाजित करते हैं जिसे हम निकालते हैं, और साथ ही हमें कोष्ठकों में व्यंजक मिलता है (अर्थात, जो हम निकालते हैं उससे विभाजित करने का परिणाम कोष्ठक में रहता है)। सबसे पहले, आपको चाहिए गुणक को सही ढंग से निर्धारित करें, जिसे ब्रैकेट किया जाना चाहिए।

कोष्ठक में बहुपद भी एक सामान्य कारक हो सकता है:

"फैक्टराइज़" कार्य करते समय, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालते समय विशेष रूप से संकेतों से सावधान रहना चाहिए। कोष्ठक में प्रत्येक पद के चिन्ह को बदलने के लिए (बी ० ए), हम सामान्य कारक निकालते हैं -1 , जबकि कोष्ठक के प्रत्येक पद को -1 से विभाजित किया जाता है: (बी - ए) = - (ए - बी)।

इस घटना में कि कोष्ठक में व्यंजक वर्ग (या किसी सम घात तक) है, तब कोष्ठक के अंदर की संख्याओं की अदला-बदली की जा सकती है पूरी तरह से मुक्त, चूंकि कोष्ठक से निकाले गए माइनस गुणा करने पर भी प्लस में बदल जाएंगे: (बी - ए) 2 = (ए - बी) 2, (बी - ए) 4 = (ए - बी) 4 आदि…

3. समूहन विधि

कभी-कभी व्यंजक के सभी पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है, लेकिन केवल कुछ ही होते हैं। तब आप कोशिश कर सकते हैं समूह शर्तें कोष्ठकों में ताकि प्रत्येक में से कुछ गुणनखंड निकाले जा सकें। समूहीकरण विधिसामान्य कारकों का डबल ब्रैकेटिंग है।

4. एक साथ कई विधियों का उपयोग करना

कभी-कभी आपको एक बहुपद को एक साथ गुणनखंडों में गुणनखंड करने के लिए एक नहीं, बल्कि कई तरीकों को लागू करने की आवश्यकता होती है।

यह इस विषय पर एक सारांश है। "गुणन". अगले चरण चुनें:

• अगले सार पर जाएँ:

गुणनखंड करने के लिए, भावों को सरल बनाना आवश्यक है। इसे और कम करने में सक्षम होने के लिए यह आवश्यक है। एक बहुपद का अपघटन तब समझ में आता है जब उसकी घात दूसरी से कम न हो। पहली डिग्री वाले बहुपद को रैखिक कहा जाता है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

लेख अपघटन की सभी अवधारणाओं, सैद्धांतिक नींव और बहुपद को फैक्टर करने के तरीकों को प्रकट करेगा।

लिखित

प्रमेय 1

जब घात n वाला कोई बहुपद, जिसका रूप P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो। . . + a 1 x + a 0, उच्चतम डिग्री a n और n रैखिक कारकों (x - x i), i = 1, 2 , … , n , फिर P n (x) = a n के साथ एक स्थिर कारक के साथ एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। (एक्स - एक्स एन) (एक्स - एक्स एन -1) । . . · (x - x 1) , जहां x i , i = 1, 2 , … , n - ये बहुपद के मूल हैं।

प्रमेय जटिल प्रकार x i , i = 1 , 2 , … , n और जटिल गुणांक a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n के मूल के लिए अभिप्रेत है। यह किसी भी विघटन का आधार है।

जब a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n के रूप के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हों, तब संयुग्मी युग्मों में सम्मिश्र मूल उत्पन्न होंगे। उदाहरण के लिए, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के बहुपद से संबंधित मूल x 1 और x 2। . . + a 1 x + a 0 को सम्मिश्र संयुग्म माना जाता है, तो अन्य मूल वास्तविक होते हैं, इसलिए हम पाते हैं कि बहुपद P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · का रूप लेता है। . . (एक्स - एक्स 3) एक्स 2 + पी एक्स + क्यू, जहां एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2)।

टिप्पणी

बहुपद की जड़ों को दोहराया जा सकता है। बीजगणित के प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें, बेजआउट के प्रमेय के परिणाम।

बीजगणित का मौलिक प्रमेय

प्रमेय 2

घात n वाले किसी बहुपद का कम से कम एक मूल होता है।

बेज़ाउट का प्रमेय

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के बहुपद को विभाजित करने के बाद। . . + a 1 x + a 0 (x - s) पर, तो हमें शेषफल मिलता है, जो बिंदु s पर बहुपद के बराबर है, तो हम प्राप्त करते हैं

पी एन एक्स = ए एन एक्स एन + ए एन -1 एक्स एन -1 +। . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , जहाँ Q n - 1 (x) घात n-1 के साथ एक बहुपद है।

Bezout के प्रमेय से उपपत्ति

जब बहुपद P n (x) का मूल s माना जाता है, तो P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + । . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) । समाधान का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने पर यह कोरोलरी पर्याप्त है।

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

a x 2 + b x + c के रूप का एक वर्ग त्रिपद को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। तब हम पाते हैं कि a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , जहां x 1 और x 2 मूल (जटिल या वास्तविक) हैं।

इससे पता चलता है कि अपघटन स्वयं बाद में द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाता है।

उदाहरण 1

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

समीकरण 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र के अनुसार विवेचक का मान ज्ञात करना होगा, फिर हमें D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9 मिलता है। इसलिए हमारे पास है कि

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

यहाँ से हम पाते हैं कि 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1।

चेक करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। तब हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

सत्यापन के बाद, हम मूल अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं। अर्थात्, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विस्तार सही है।

उदाहरण 2

3 x 2 - 7 x - 11 के रूप के एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

हम पाते हैं कि फॉर्म 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 के परिणामी द्विघात समीकरण की गणना करना आवश्यक है।

जड़ों को खोजने के लिए, आपको विवेचक का मूल्य निर्धारित करना होगा। हमें वह मिलता है

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

यहाँ से हम पाते हैं कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6।

उदाहरण 3

बहुपद 2 x 2 + 1 का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

अब आपको द्विघात समीकरण 2 x 2 + 1 = 0 को हल करना है और इसके मूल ज्ञात करने हैं। हमें वह मिलता है

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

इन जड़ों को जटिल संयुग्म कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अपघटन को स्वयं 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण 4

वर्ग त्रिपद x 2 + 1 3 x + 1 का विस्तार कीजिए।

फेसला

सबसे पहले आपको x 2 + 1 3 x + 1 = 0 के रूप का एक द्विघात समीकरण हल करना होगा और इसके मूल ज्ञात करने होंगे।

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 डी = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + डी 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 मैं

जड़ें प्राप्त करने के बाद, हम लिखते हैं

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 मैं

टिप्पणी

यदि विवेचक का मान ऋणात्मक है, तो बहुपद दूसरे क्रम के बहुपद बने रहेंगे। इसलिए यह इस प्रकार है कि हम उन्हें रैखिक कारकों में विघटित नहीं करेंगे।

दूसरे से अधिक घात वाले बहुपद के गुणनखंड करने की विधियाँ

अपघटन एक सार्वभौमिक विधि मानता है। सभी मामलों में से अधिकांश बेज़आउट के प्रमेय के परिणाम पर आधारित हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल x 1 के मान का चयन करना होगा और (x - x 1) से विभाजित करके बहुपद को 1 से विभाजित करके इसकी डिग्री कम करनी होगी। परिणामी बहुपद को रूट x 2 खोजने की आवश्यकता होती है, और खोज प्रक्रिया चक्रीय होती है जब तक कि हम पूर्ण अपघटन प्राप्त नहीं कर लेते।

यदि जड़ नहीं मिलती है, तो गुणन के अन्य तरीकों का उपयोग किया जाता है: समूहीकरण, अतिरिक्त शर्तें। यह विषय उच्च शक्तियों और पूर्णांक गुणांक वाले समीकरणों के समाधान को मानता है।

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उस स्थिति पर विचार करें जब मुक्त पद शून्य के बराबर हो, तो बहुपद का रूप P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो जाता है। . . + ए 1 एक्स।

यह देखा जा सकता है कि इस तरह के बहुपद की जड़ x 1 \u003d 0 के बराबर होगी, फिर आप बहुपद को व्यंजक P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप में निरूपित कर सकते हैं। . . + ए 1 एक्स = = एक्स (ए एन एक्स एन -1 + ए एन -1 एक्स एन - 2 + ... + ए 1)

इस विधि को कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने वाला माना जाता है।

उदाहरण 5

तृतीय डिग्री बहुपद 4 x 3 + 8 x 2 - x का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

हम देखते हैं कि x 1 \u003d 0 दिए गए बहुपद का मूल है, तो हम x को संपूर्ण व्यंजक में से कोष्ठक में डाल सकते हैं। हम पाते हैं:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

आइए वर्ग त्रिपद 4 x 2 + 8 x - 1 के मूल ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए विवेचक और जड़ों को खोजें:

डी = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + डी 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - डी 2 4 = - 1 - 5 2

फिर यह इस प्रकार है

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

आरंभ करने के लिए, आइए एक अपघटन विधि पर विचार करें जिसमें P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के पूर्णांक गुणांक हों। . . + a 1 x + a 0 , जहां उच्चतम शक्ति का गुणांक 1 है।

जब बहुपद के पूर्णांक मूल होते हैं, तो उन्हें मुक्त पद का भाजक माना जाता है।

उदाहरण 6

व्यंजक f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 का विस्तार कीजिए।

फेसला

विचार करें कि क्या पूर्णांक जड़ें हैं। संख्या - 18 के भाजक को लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 । यह इस प्रकार है कि इस बहुपद की पूर्णांक जड़ें हैं। आप हॉर्नर स्कीम के अनुसार चेक कर सकते हैं। यह बहुत सुविधाजनक है और आपको बहुपद के विस्तार गुणांक शीघ्रता से प्राप्त करने की अनुमति देता है:

यह इस प्रकार है कि x \u003d 2 और x \u003d - 3 मूल बहुपद की जड़ें हैं, जिन्हें रूप के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स 3 + 5 एक्स 2 + 9 एक्स + 9) = = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)

हम x 2 + 2 x + 3 के रूप के एक वर्ग त्रिपद के अपघटन की ओर मुड़ते हैं।

चूंकि विवेचक नकारात्मक है, इसका मतलब है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

जवाब:एफ (एक्स) \u003d एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 \u003d (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)

टिप्पणी

इसे हॉर्नर की योजना के बजाय एक बहुपद द्वारा मूल चयन और बहुपद के विभाजन का उपयोग करने की अनुमति है। आइए हम P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के प्रसार पर विचार करें। . . + a 1 x + a 0 , जिनमें से उच्चतम एक के बराबर नहीं है।

यह मामला भिन्नात्मक परिमेय भिन्नों के लिए होता है।

उदाहरण 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

चर y = 2 x को बदलना आवश्यक है, किसी को उच्चतम डिग्री पर 1 के बराबर गुणांक वाले बहुपद में जाना चाहिए। आपको व्यंजक को 4 से गुणा करके प्रारंभ करना होगा। हमें वह मिलता है

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

जब फॉर्म का परिणामी फ़ंक्शन g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 में पूर्णांक जड़ें होती हैं, तो उनकी खोज मुक्त पद के भाजक के बीच होती है। प्रविष्टि इस तरह दिखेगी:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

आइए परिणाम के रूप में शून्य प्राप्त करने के लिए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन जी (वाई) की गणना के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिलता है

जी (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ग्राम (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ग्राम (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ग्राम (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ग्राम (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ग्राम (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 ग्राम (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 ग्राम (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 ग्राम (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ग्राम (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

हम पाते हैं कि y \u003d - 5 फॉर्म y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के समीकरण की जड़ है, जिसका अर्थ है कि x \u003d y 2 \u003d - 5 2 मूल फ़ंक्शन की जड़ है।

उदाहरण 8

कॉलम 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 को x + 5 2 से विभाजित करना आवश्यक है।

फेसला

हम लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

भाजक की जाँच में बहुत समय लगेगा, इसलिए x 2 + 7 x + 3 के रूप के परिणामी वर्ग त्रिपद का गुणनखंड लेना अधिक लाभदायक है। शून्य के बराबर करने पर, हम विवेचक पाते हैं।

x 2 + 7 x + 3 = 0 डी = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 एक्स + 7 2 + 37 2

इसलिए यह इस प्रकार है कि

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

बहुपद का गुणन करते समय कृत्रिम तरकीबें

सभी बहुपदों में परिमेय मूल निहित नहीं होते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कारकों को खोजने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। लेकिन सभी बहुपदों को एक उत्पाद के रूप में विघटित या प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

समूहीकरण विधि

ऐसे मामले हैं जब आप एक बहुपद की शर्तों को एक सामान्य कारक खोजने के लिए समूहित कर सकते हैं और इसे कोष्ठक से निकाल सकते हैं।

उदाहरण 9

बहुपद x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

क्योंकि गुणांक पूर्णांक हैं, तो मूल रूप से पूर्णांक भी हो सकते हैं। जाँच करने के लिए, हम इन बिंदुओं पर बहुपद के मान की गणना करने के लिए मान 1 , - 1 , 2 और - 2 लेते हैं। हमें वह मिलता है

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

इससे पता चलता है कि जड़ें नहीं हैं, अपघटन और समाधान की एक अलग विधि का उपयोग करना आवश्यक है।

समूहीकरण की आवश्यकता है:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

मूल बहुपद को समूहीकृत करने के बाद, इसे दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हमें कारक बनाने की जरूरत है। हमें वह मिलता है

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

टिप्पणी

समूहीकरण की सरलता का अर्थ यह नहीं है कि शब्दों का चयन करना काफी आसान है। इसे हल करने का कोई निश्चित तरीका नहीं है, इसलिए विशेष प्रमेयों और नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण 10

बहुपद x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

दिए गए बहुपद का कोई पूर्णांक मूल नहीं है। शर्तों को समूहीकृत किया जाना चाहिए। हमें वह मिलता है

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

फैक्टरिंग के बाद, हमें वह मिलता है

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए संक्षिप्त गुणन और न्यूटन के द्विपद सूत्रों का उपयोग करना

उपस्थिति अक्सर यह स्पष्ट नहीं करती है कि अपघटन के दौरान किस तरह का उपयोग करना है। परिवर्तन किए जाने के बाद, आप पास्कल के त्रिभुज से मिलकर एक रेखा बना सकते हैं, अन्यथा उन्हें न्यूटन का द्विपद कहा जाता है।

उदाहरण 11

बहुपद x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

व्यंजक को रूप में बदलना आवश्यक है

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

कोष्ठक में योग के गुणांकों का क्रम व्यंजक x + 1 4 द्वारा दर्शाया गया है।

तो हमारे पास x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 है।

वर्गों के अंतर को लागू करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

दूसरे कोष्ठक में दिए गए व्यंजक पर विचार कीजिए। यह स्पष्ट है कि वहाँ घोड़े नहीं हैं, इसलिए वर्गों के अंतर का सूत्र फिर से लागू किया जाना चाहिए। हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जैसे

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

उदाहरण 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

आइए अभिव्यक्ति को बदलें। हमें वह मिलता है

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 एक्स 2 + एक्स 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

एक बहुपद का गुणन करते समय एक चर को बदलने की एक विधि

एक चर बदलते समय, डिग्री कम हो जाती है और बहुपद का गुणनखंड हो जाता है।

उदाहरण 13

x 6 + 5 x 3 + 6 के रूप के एक बहुपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला

शर्त से, यह स्पष्ट है कि y = x 3 को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

परिणामी द्विघात समीकरण के मूल y = - 2 और y = - 3 हैं, तो

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

घनों के योग के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हमें फॉर्म के भाव मिलते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

यानी हमें वांछित विस्तार मिल गया है।

ऊपर चर्चा किए गए मामले बहुपद पर विभिन्न तरीकों से विचार करने और फैक्टरिंग करने में मदद करेंगे।

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बीजगणित में "बहुपद" और "बहुपद के गुणनखंड" की अवधारणाएं बहुत आम हैं, क्योंकि बड़ी बहु-मूल्यवान संख्याओं के साथ आसानी से गणना करने के लिए आपको उन्हें जानने की आवश्यकता होती है। यह लेख कई अपघटन विधियों का वर्णन करेगा। वे सभी उपयोग करने के लिए काफी सरल हैं, आपको बस प्रत्येक मामले में सही चुनने की आवश्यकता है।

एक बहुपद की अवधारणा

एक बहुपद एकपदी का योग है, अर्थात्, केवल गुणन संक्रिया वाले व्यंजक।

उदाहरण के लिए, 2 * x * y एक एकपदी है, लेकिन 2 * x * y + 25 एक बहुपद है, जिसमें 2 एकपदी होते हैं: 2 * x * y और 25. ऐसे बहुपदों को द्विपद कहा जाता है।

कभी-कभी, बहु-मूल्यवान मूल्यों के साथ उदाहरणों को हल करने की सुविधा के लिए, अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संख्या में कारकों में विघटित होना, यानी संख्या या अभिव्यक्ति जिसके बीच गुणन ऑपरेशन किया जाता है। बहुपद को गुणनखंड करने के कई तरीके हैं। उन्हें सबसे आदिम से शुरू करने पर विचार करना उचित है, जिसका उपयोग प्राथमिक कक्षाओं में भी किया जाता है।

ग्रुपिंग (सामान्य प्रविष्टि)

सामान्य रूप से समूहीकरण विधि द्वारा बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने का सूत्र इस प्रकार है:

एसी + बीडी + बीसी + विज्ञापन = (एसी + बीसी) + (विज्ञापन + बीडी)

एकपदी का समूह बनाना आवश्यक है ताकि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड प्रकट हो। पहले कोष्ठक में, यह कारक c है, और दूसरे में - d। यह तब किया जाना चाहिए ताकि इसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सके, जिससे गणनाओं को सरल बनाया जा सके।

एक विशिष्ट उदाहरण पर अपघटन एल्गोरिथ्म

समूहन विधि का उपयोग करके बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने का सबसे सरल उदाहरण नीचे दिया गया है:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

पहले ब्रैकेट में, आपको कारक ए के साथ शर्तों को लेना होगा, जो सामान्य होगा, और दूसरे में - कारक बी के साथ। समाप्त अभिव्यक्ति में + और - चिह्नों पर ध्यान दें। हमने एकपदी के सामने वह चिन्ह रखा जो प्रारंभिक व्यंजक में था। यही है, आपको अभिव्यक्ति 25a के साथ नहीं, बल्कि अभिव्यक्ति -25 के साथ काम करने की आवश्यकता है। माइनस साइन, जैसा कि यह था, इसके पीछे की अभिव्यक्ति के लिए "चिपका हुआ" है और इसे गणना में हमेशा ध्यान में रखा जाता है।

अगले चरण में, आपको उस गुणनखंड को, जो सामान्य है, कोष्ठक से बाहर निकालना होगा। यही समूहीकरण के लिए है। इसे कोष्ठक से बाहर निकालने का अर्थ है कोष्ठक से पहले (गुणा चिह्न को छोड़कर) उन सभी कारकों को लिखना जो कोष्ठक में सभी शब्दों में बिल्कुल दोहराए गए हैं। यदि कोष्ठक में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक पद हैं, तो उनमें से प्रत्येक में उभयनिष्ठ गुणनखंड अवश्य होना चाहिए, अन्यथा इसे कोष्ठक से बाहर नहीं किया जा सकता है।

हमारे मामले में, कोष्ठक में केवल 2 पद हैं। समग्र गुणक तुरंत दिखाई देता है। पहला कोष्ठक a है, दूसरा b है। यहां आपको डिजिटल गुणांक पर ध्यान देने की आवश्यकता है। पहले कोष्ठक में, दोनों गुणांक (10 और 25) 5 के गुणज हैं। इसका अर्थ यह है कि न केवल a, बल्कि 5a को भी कोष्ठक में रखा जा सकता है। ब्रैकेट से पहले, 5a लिखें, और फिर निकाले गए सामान्य कारक द्वारा कोष्ठक में प्रत्येक शब्द को विभाजित करें, और भागफल को कोष्ठक में भी लिखें, + और - चिह्नों को न भूलें। दूसरे ब्रैकेट के साथ भी ऐसा ही करें। , 7b निकालें, क्योंकि 14 और 35 7 के गुणज हैं।

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5)।

यह 2 पद निकला: 5a (2c - 5) और 7b (2c - 5)। उनमें से प्रत्येक में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है (यहां कोष्ठकों में संपूर्ण व्यंजक समान है, जिसका अर्थ है कि यह एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है): 2c - 5. इसे भी कोष्ठक से निकालने की आवश्यकता है, अर्थात पद 5a और 7b दूसरे ब्रैकेट में रहें:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)।

तो पूर्ण अभिव्यक्ति है:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b)।

इस प्रकार, बहुपद 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 कारकों में विघटित हो जाता है: (2c - 5) और (5a + 7b)। लिखते समय उनके बीच गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है

कभी-कभी इस प्रकार के भाव होते हैं: 5a 2 + 50a 3, यहां आप न केवल a या 5a, बल्कि 5a 2 को भी ब्रैकेट कर सकते हैं। आपको हमेशा सबसे बड़े संभव सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने का प्रयास करना चाहिए। हमारे मामले में, यदि हम प्रत्येक पद को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

5ए 2/5ए 2 = 1; 50ए 3 / 5ए 2 = 10ए(समान आधारों के साथ कई घातों के भागफल की गणना करते समय, आधार संरक्षित होता है, और घातांक घटाया जाता है)। इस प्रकार, एक ब्रैकेट में रहता है (किसी भी स्थिति में यदि आप किसी एक शब्द को पूरी तरह से ब्रैकेट से निकालते हैं तो उसे लिखना न भूलें) और भागफल: 10a। परिणाम यह निकला:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

वर्ग सूत्र

गणना की सुविधा के लिए, कई सूत्र निकाले गए हैं। उन्हें कम गुणन सूत्र कहा जाता है और अक्सर उपयोग किया जाता है। ये सूत्र घातों वाले बहुपदों को गुणनखंड बनाने में मदद करते हैं। यह कारक बनाने का एक और शक्तिशाली तरीका है। तो यहाँ वे हैं:

• ए 2 + 2एबी + बी 2 = (ए + बी) 2 -सूत्र, जिसे "योग का वर्ग" कहा जाता है, क्योंकि एक वर्ग में विस्तार के परिणामस्वरूप, कोष्ठक में संलग्न संख्याओं का योग लिया जाता है, अर्थात इस योग का मान स्वयं 2 गुना से गुणा किया जाता है, जो यानी यह एक गुणक है।
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - अंतर के वर्ग का सूत्र, यह पिछले वाले के समान है। परिणाम एक वर्ग शक्ति में निहित कोष्ठक में संलग्न अंतर है।
• ए 2 - बी 2 \u003d (ए + बी) (ए - बी)- यह वर्गों के अंतर का सूत्र है, क्योंकि शुरू में बहुपद में 2 वर्ग संख्याएँ या व्यंजक होते हैं जिनके बीच घटाव किया जाता है। यह शायद तीनों में से सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है।

वर्गों के सूत्रों द्वारा गणना के उदाहरण

उन पर गणना काफी सरलता से की जाती है। उदाहरण के लिए:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - सूत्र "योग का वर्ग" का प्रयोग करें।
2. 25x 2 5x का वर्ग है। 20xy 2*(5x*2y) के गुणनफल का दोगुना है, और 4y 2 2y का वर्ग है।
3. तो 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)।यह बहुपद 2 कारकों में विघटित होता है (कारक समान हैं, इसलिए इसे एक वर्ग शक्ति के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है)।

अंतर के वर्ग के सूत्र के अनुसार संचालन इसी तरह किया जाता है। जो बचा है वह वर्ग सूत्र का अंतर है। इस सूत्र के उदाहरण अन्य अभिव्यक्तियों के बीच पहचानना और खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20)। 25a 2 \u003d (5a) 2, और 400 \u003d 20 2 . के बाद से
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y)। 36x 2 \u003d (6x) 2, और 25y 2 \u003d (5y 2) के बाद से
• सी 2 - 169 बी 2 \u003d (सी - 13 बी) (सी + 13 बी)। चूँकि 169b 2 = (13b) 2

यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक पद किसी न किसी व्यंजक का वर्ग हो। तब इस बहुपद को वर्ग सूत्र के अंतर से गुणनखंड करना होता है। इसके लिए यह आवश्यक नहीं है कि संख्या से ऊपर दूसरी शक्ति हो। बड़ी घात वाले बहुपद हैं, लेकिन फिर भी इन सूत्रों के लिए उपयुक्त हैं।

ए 8 +10ए 4 +25 = (ए 4) 2 + 2*ए 4 *5 + 5 2 = (ए 4 +5) 2

इस उदाहरण में, 8 को (a 4) 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात एक निश्चित व्यंजक का वर्ग। 25 5 2 है और 10a 4 . है - यह 2*a 4 *5 पदों का दोहरा उत्पाद है। यही है, यह अभिव्यक्ति, बड़े घातांक के साथ डिग्री की उपस्थिति के बावजूद, बाद में उनके साथ काम करने के लिए 2 कारकों में विघटित हो सकती है।

घन सूत्र

घनों वाले बहुपदों के गुणनखंड के लिए समान सूत्र मौजूद हैं। वे वर्गों वाले लोगों की तुलना में थोड़े अधिक जटिल हैं:

• ए 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)- इस सूत्र को घनों का योग कहा जाता है, क्योंकि इसके प्रारंभिक रूप में बहुपद एक घन में संलग्न दो व्यंजकों या संख्याओं का योग होता है।
• ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2) -पिछले एक के समान एक सूत्र को घनों के अंतर के रूप में दर्शाया जाता है।
• ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3 = (ए + बी) 3 - योग घन, गणनाओं के परिणामस्वरूप, संख्याओं या भावों का योग प्राप्त होता है, कोष्ठक में संलग्न होता है और स्वयं को 3 बार गुणा किया जाता है, अर्थात घन में स्थित होता है
• ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3 = (ए - बी) 3 -गणितीय संक्रियाओं (प्लस और माइनस) के केवल कुछ संकेतों में परिवर्तन के साथ पिछले एक के साथ सादृश्य द्वारा संकलित सूत्र को "डिफरेंस क्यूब" कहा जाता है।

अंतिम दो सूत्र व्यावहारिक रूप से बहुपद को फैक्टर करने के उद्देश्य से उपयोग नहीं किए जाते हैं, क्योंकि वे जटिल हैं, और बहुपदों को ढूंढना काफी दुर्लभ है जो पूरी तरह से ऐसी संरचना से मेल खाते हैं ताकि उन्हें इन सूत्रों के अनुसार विघटित किया जा सके। लेकिन आपको अभी भी उन्हें जानने की जरूरत है, क्योंकि उन्हें विपरीत दिशा में कार्यों के लिए आवश्यक होगा - कोष्ठक खोलते समय।

घन सूत्रों के उदाहरण

एक उदाहरण पर विचार करें: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 )

हमने यहां काफी अभाज्य संख्याएं ली हैं, इसलिए आप तुरंत देख सकते हैं कि 64a 3, (4a) 3 है और 8b 3 (2b) 3 है। इस प्रकार, इस बहुपद को घनों के सूत्र अंतर द्वारा 2 गुणनखंडों में विस्तारित किया जाता है। घनों के योग के सूत्र पर क्रिया सादृश्य द्वारा की जाती है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि सभी बहुपदों को कम से कम एक तरीके से विघटित नहीं किया जा सकता है। लेकिन ऐसे व्यंजक हैं जिनमें वर्ग या घन से बड़ी घातें होती हैं, लेकिन उन्हें संक्षिप्त गुणन रूपों में भी विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2)।

इस उदाहरण में 12 डिग्री तक हैं। लेकिन यहां तक ​​कि घनों के योग के सूत्र का उपयोग करके भी इसका गुणनखंड किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको x 12 को (x 4) 3 के रूप में प्रस्तुत करना होगा, अर्थात किसी व्यंजक के घन के रूप में। अब, a के बजाय, आपको इसे सूत्र में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है। खैर, व्यंजक 125y 3 5y का घन है। अगला कदम फॉर्मूला लिखना और गणना करना है।

सबसे पहले, या जब संदेह हो, तो आप हमेशा व्युत्क्रम गुणन द्वारा जांच कर सकते हैं। आपको परिणामी व्यंजक में केवल कोष्ठक खोलने और समान शब्दों के साथ कार्य करने की आवश्यकता है। यह विधि कटौती के सभी सूचीबद्ध तरीकों पर लागू होती है: दोनों एक सामान्य कारक और समूह के साथ काम करने के लिए, और क्यूब्स और वर्ग शक्तियों के सूत्रों पर संचालन के लिए।

बहुपदों के गुणनखंडन के 8 उदाहरण दिए गए हैं। इनमें द्विघात और द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरण, आवर्तक बहुपद वाले उदाहरण और तृतीय और चतुर्थ डिग्री बहुपदों के पूर्णांक मूल खोजने वाले उदाहरण शामिल हैं।

1. द्विघात समीकरण के हल के उदाहरण

उदाहरण 1.1

एक्स 4 + x 3 - 6 x 2.

फेसला

एक्स निकालें 2 कोष्ठक के लिए:
.
2 + एक्स - 6 = 0:
.
समीकरण जड़ें:
, .

.

जवाब

उदाहरण 1.2

तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंडन:
एक्स 3 + 6 x 2 + 9 x.

फेसला

हम कोष्ठक से x निकालते हैं:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 + 6 x + 9 = 0:
इसके भेदक है।
चूँकि विवेचक शून्य के बराबर है, समीकरण के मूल गुणज हैं: ;
.

यहाँ से हम बहुपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:
.

जवाब

उदाहरण 1.3

पांचवीं डिग्री बहुपद का गुणन:
एक्स 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

फेसला

एक्स निकालें 3 कोष्ठक के लिए:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 - 2 x + 10 = 0.
इसके भेदक है।
चूंकि विवेचक शून्य से कम है, इसलिए समीकरण के मूल जटिल हैं: ;
, .

बहुपद के गुणनखंड का रूप है:
.

यदि हम वास्तविक गुणांकों के साथ गुणनखंड करने में रुचि रखते हैं, तो:
.

जवाब

फ़ार्मुलों का उपयोग करके बहुपदों को फ़ैक्टर करने के उदाहरण

द्विघात बहुपद वाले उदाहरण

उदाहरण 2.1

द्विघात बहुपद का गुणनखंडन कीजिए:
एक्स 4 + x 2 - 20.

फेसला

सूत्र लागू करें:
ए 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी).

;
.

जवाब

उदाहरण 2.2

एक बहुपद का गुणनखंड करना जो द्विघात को कम करता है:
एक्स 8 + x 4 + 1.

फेसला

सूत्र लागू करें:
ए 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी):

;

;
.

जवाब

उदाहरण 2.3 पुनरावर्ती बहुपद के साथ

पुनरावर्ती बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

फेसला

पुनरावर्ती बहुपद में एक विषम डिग्री होती है। अत: इसका मूल x = - 1 . हम बहुपद को x से भाग देते हैं - (-1) = एक्स + 1. परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
, ;
;


;
.

जवाब

पूर्णांक मूलों वाले बहुपद गुणनखंडों के उदाहरण

उदाहरण 3.1

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

फेसला

मान लीजिए समीकरण

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

तो, हमें तीन जड़ें मिली हैं:
एक्स 1 = 1 , एक्स 2 = 2 , एक्स 3 = 3 .
चूंकि मूल बहुपद तीसरी डिग्री का है, इसलिए इसकी तीन से अधिक जड़ें नहीं हैं। चूँकि हमें तीन मूल मिले हैं, वे सरल हैं। फिर
.

जवाब

उदाहरण 3.2

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

फेसला

मान लीजिए समीकरण

कम से कम एक पूर्णांक जड़ है। तब यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
-2, -1, 1, 2 .
इन मानों को एक-एक करके बदलें:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
यदि हम यह मान लें कि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
1, 2, -1, -2 .
स्थानापन्न x = -1 :
.

तो हमें एक और मूल x . मिला है 2 = -1 . पिछले मामले की तरह, बहुपद को से विभाजित करना संभव होगा, लेकिन हम शर्तों को समूहित करेंगे:
.

समीकरण x . के बाद से 2 + 2 = 0 कोई वास्तविक जड़ नहीं है, तो बहुपद के गुणनखंड का रूप है।

हम पहले से ही जानते हैं कि डिग्री के अंतर के कारककरण का आंशिक रूप से उपयोग कैसे किया जाता है - "वर्गों का अंतर" और "क्यूब्स का अंतर" विषय का अध्ययन करते समय, हमने एक उत्पाद के रूप में अभिव्यक्ति के अंतर का प्रतिनिधित्व करना सीखा जिसे वर्गों के रूप में या के रूप में दर्शाया जा सकता है कुछ भावों या संख्याओं के घन।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार:

वर्गों के अंतर को उनके योग द्वारा दो संख्याओं या व्यंजकों के अंतर के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है

घनों के अंतर को योग के अधूरे वर्ग द्वारा दो संख्याओं के अंतर के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है

4 घातों में व्यंजकों के अंतर में संक्रमण

वर्ग सूत्र के अंतर के आधार पर, आइए व्यंजक $a^4-b^4$ . को गुणनखंडित करने का प्रयास करें

याद करें कि कैसे एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - इसके लिए, आधार वही रहता है, और घातांक को गुणा किया जाता है, अर्थात $((a^n))^m=a^(n*m)$

तब आप कल्पना कर सकते हैं:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

तो हमारी अभिव्यक्ति को $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$ के रूप में दर्शाया जा सकता है

अब पहले ब्रैकेट में हमें फिर से संख्याओं का अंतर मिला, जिसका अर्थ है कि हम फिर से दो संख्याओं या भावों के अंतर के गुणनफल के रूप में उनके योग से गुणनखंड कर सकते हैं: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (ए+बी)$।

अब हम बहुपद के गुणनफल के नियम का उपयोग करके दूसरे और तीसरे कोष्ठक के गुणनफल की गणना करते हैं - हम पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करते हैं और परिणाम जोड़ते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले पहले बहुपद के पहले पद - $a$ - को दूसरे के पहले और दूसरे पदों ($a^2$ और $b^2$) से गुणा करते हैं, अर्थात। हमें $a\cdot a^2+a\cdot b^2$ मिलता है, फिर हम पहले बहुपद के दूसरे पद -$b$- को दूसरे बहुपद के पहले और दूसरे पदों से गुणा करते हैं ($a^2$ से) और $b^2$), वो। $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ प्राप्त करें और परिणामी अभिव्यक्तियों का योग करें

$\बाएं(ए+बी\दाएं)\बाएं(ए^2+बी^2\दाएं)=ए\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

हम गणना किए गए उत्पाद को ध्यान में रखते हुए, चौथी डिग्री के मोनोमियल का अंतर लिखते हैं:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +बी^2)$=$\ \बाएं(ए-बी\दाएं)(ए+बी)(ए^2+बी^2)\ $=

छठी शक्ति में भावों के अंतर में संक्रमण

वर्ग सूत्र के अंतर के आधार पर, आइए व्यंजक $a^6-b^6$ . को गुणनखंडित करने का प्रयास करें

याद करें कि कैसे एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - इसके लिए, आधार वही रहता है, और घातांक को गुणा किया जाता है, अर्थात $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

तब आप कल्पना कर सकते हैं:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

तो हमारी अभिव्यक्ति को $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$ के रूप में दर्शाया जा सकता है

पहले कोष्ठक में हमें एकपदी के घनों का अंतर मिला, दूसरे में एकपदी के घनों का योग, अब हम फिर से एकपदी के घनों के अंतर को योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा दो संख्याओं के अंतर के गुणनफल के रूप में गुणा कर सकते हैं $a^3-b^3=\left(a-b\right)( a^2+ab+b^2)$

मूल अभिव्यक्ति रूप लेती है

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

हम बहुपद के गुणनफल के नियम का उपयोग करके दूसरे और तीसरे कोष्ठक के गुणनफल की गणना करते हैं - हम पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करते हैं और परिणाम जोड़ते हैं।

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

हम गणना किए गए उत्पाद को ध्यान में रखते हुए, 6 वीं डिग्री के मोनोमियल का अंतर लिखते हैं:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

शक्ति अंतर फैक्टरिंग

आइए घनों के अंतर, $4$ डिग्री के अंतर, $6$ डिग्री के अंतर के लिए सूत्रों का विश्लेषण करें

हम देखते हैं कि इनमें से प्रत्येक विस्तार में कुछ सादृश्य है, जो हमें मिलता है:

उदाहरण 1

गुणनखंड $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

फेसला:सबसे पहले, हम प्रत्येक एकपदी को 5 की घात के कुछ एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

हम शक्ति अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं

चित्र 1।