स्मिरनोवा अनास्तासिया युरीवना

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ।

शैक्षिक गतिविधियों के संगठन का रूप: ललाट, व्यक्तिगत।

पाठ का उद्देश्य: भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम के बारे में एक विचार देने के लिए एक नए प्रकार के समीकरणों - भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का परिचय देना।

पाठ मकसद।

ट्यूटोरियल:

• भिन्नात्मक परिमेय समीकरण की अवधारणा का निर्माण;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है;
• एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाने के लिए।

विकसित होना:

• अर्जित ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल के गठन के लिए स्थितियां बनाएं;
• विषय में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि के विकास को बढ़ावा देना;
• छात्रों की विश्लेषण, तुलना और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना;
• आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण, ध्यान, स्मृति, मौखिक और लिखित भाषण, स्वतंत्रता के कौशल का विकास।

पोषण:

• विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा;
• शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा;
• अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

उपकरण:पाठ्यपुस्तक, ब्लैकबोर्ड, क्रेयॉन।

पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8"। Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, S.A.Telyakovsky द्वारा संपादित। मास्को "ज्ञानोदय"। 2010

इस विषय के लिए पांच घंटे आवंटित किए जाते हैं। यह सबक पहला है। मुख्य बात यह है कि भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम का अध्ययन करना और अभ्यास में इस एल्गोरिथम को तैयार करना।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! आज मैं अपना पाठ एक चौपाई के साथ शुरू करना चाहूंगा:
सबके जीवन को आसान बनाने के लिए
क्या तय होगा, क्या हो सकता है,
मुस्कुराओ, सभी को शुभकामनाएँ
कैसी भी समस्या हो
हम एक दूसरे को देखकर मुस्कुराए, अच्छा मूड बनाया और काम करने लगे।

ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे हुए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जो हमें एक नए विषय का अध्ययन करने की आवश्यकता है। कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. एक समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)
2. समीकरण #1 किसे कहते हैं? ( रैखिक।) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि। ( अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).
3. समीकरण 3 किसे कहते हैं? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। (पी सूत्रों के बारे में)
4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)
5. समीकरणों को हल करने के लिए किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, इसके चिह्न को बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)
6. एक अंश शून्य के बराबर कब होता है? ( एक अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर गैर-शून्य होता है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

जवाब: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

जवाब: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

एक्स 2 -7x+12 = 0

डी = 1> 0, एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4।

जवाब: 3;4.

हम निम्नलिखित पाठों में समीकरण संख्या 7 के प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करेंगे।

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, छात्र एक बाहरी जड़ की अवधारणा से नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

• समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5.6 से कैसे भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-6 - एक चर के साथ व्यंजक.)
• समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है.)
• कैसे पता करें कि कोई संख्या समीकरण का मूल है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।
2. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।
3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर शून्य नहीं होता है।
4. प्रश्न हल करें।
5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।
6. उत्तर लिखिए।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8" से कार्य, यू.एन. मकारिचेव, 2007: नंबर 600(बी, सी); नंबर 601 (ए, ई)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 - बाहरी जड़। उत्तर: 3.

ग) 2 - बाहरी जड़। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

1. पाठ्यपुस्तक से आइटम 25 पढ़ें, उदाहरण 1-3 का विश्लेषण करें।
2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।
3. नोटबुक नंबर 600 (डी, ई) में हल करें; संख्या 601 (जी, एच)।

6. पाठ को सारांशित करना।

इसलिए, आज के पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखा। चाहे आप भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे भी हल करें, आपको क्या ध्यान रखना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

एक पूर्णांक व्यंजक एक गणितीय व्यंजक है जो संख्याओं और शाब्दिक चरों से जोड़, घटाव और गुणा के संचालन का उपयोग करता है। पूर्णांकों में ऐसे व्यंजक भी शामिल होते हैं जिनमें शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजन शामिल होता है।

भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक की अवधारणा

एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति एक गणितीय अभिव्यक्ति है, जिसमें संख्याओं और शाब्दिक चर के साथ किए गए जोड़, घटाव और गुणा के संचालन के अलावा, साथ ही शून्य के बराबर संख्या से विभाजन भी होता है, जिसमें शाब्दिक चर के साथ अभिव्यक्ति में विभाजन भी होता है।

परिमेय व्यंजक सभी पूर्णांक और भिन्नात्मक व्यंजक हैं। परिमेय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनकी बाएँ और दाएँ पक्ष परिमेय व्यंजक होते हैं। यदि एक परिमेय समीकरण में बाएँ और दाएँ भाग पूर्णांक व्यंजक हैं, तो ऐसे परिमेय समीकरण को पूर्णांक कहा जाता है।

यदि एक परिमेय समीकरण में बाएँ या दाएँ भाग भिन्नात्मक व्यंजक हैं, तो ऐसे परिमेय समीकरण को भिन्नात्मक कहा जाता है।

भिन्नात्मक परिमेय व्यंजकों के उदाहरण

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने की योजना

1. समीकरण में शामिल सभी भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

2. समीकरण के दोनों पक्षों को एक उभयनिष्ठ हर से गुणा करें।

3. परिणामी संपूर्ण समीकरण को हल करें।

4. मूलों की जाँच करें और उन मूलों को हटा दें जो उभयनिष्ठ हर को शून्य में बदल देते हैं।

चूँकि हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल कर रहे हैं, भिन्नों के हरों में चर होंगे। तो, वे एक आम भाजक में होंगे। और एल्गोरिथ्म के दूसरे पैराग्राफ में, हम एक सामान्य हर से गुणा करते हैं, फिर बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। जिस पर सार्व भाजक शून्य के बराबर होगा, जिसका अर्थ है कि इससे गुणा करना व्यर्थ होगा। इसलिए, अंत में प्राप्त जड़ों की जांच करना सुनिश्चित करें।

एक उदाहरण पर विचार करें:

एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))।

हम सामान्य योजना का पालन करेंगे: हम सबसे पहले सभी भिन्नों के सामान्य भाजक को ढूंढते हैं। हमें x*(x-5) प्राप्त होता है।

प्रत्येक भिन्न को एक सामान्य हर से गुणा करें और परिणामी संपूर्ण समीकरण लिखें।

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

आइए परिणामी समीकरण को सरल करें। हम पाते हैं:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

हमें एक सरल घटा हुआ द्विघात समीकरण मिला। हम इसे किसी भी ज्ञात विधि से हल करते हैं, हमें मूल x=-2 और x=5 प्राप्त होते हैं।

अब हम प्राप्त समाधानों की जाँच करते हैं:

हम सार्व हर में संख्या -2 और 5 को प्रतिस्थापित करते हैं। x=-2 पर, उभयनिष्ठ हर x*(x-5) लुप्त नहीं होता, -2*(-2-5)=14. तो संख्या -2 मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का मूल होगा।

x=5 पर, उभयनिष्ठ हर x*(x-5) शून्य हो जाता है। इसलिए, यह संख्या मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि शून्य से विभाजन होगा।

इस लेख में मैं आपको दिखाऊंगा सात प्रकार के तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम, जो चरों के परिवर्तन के माध्यम से वर्ग इकाई में कम हो जाते हैं। ज्यादातर मामलों में, परिवर्तन जो प्रतिस्थापन की ओर ले जाते हैं, वे बहुत ही गैर-तुच्छ होते हैं, और उनके बारे में स्वयं अनुमान लगाना काफी कठिन होता है।

प्रत्येक प्रकार के समीकरण के लिए, मैं समझाऊंगा कि इसमें एक चर परिवर्तन कैसे किया जाए, और फिर मैं संबंधित वीडियो ट्यूटोरियल में एक विस्तृत समाधान दिखाऊंगा।

आपके पास स्वयं समीकरणों को हल करना जारी रखने का अवसर है, और फिर वीडियो ट्यूटोरियल के साथ अपने समाधान की जांच करें।

तो, चलिए शुरू करते हैं।

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

ध्यान दें कि चार कोष्ठकों का गुणनफल समीकरण के बाईं ओर है, और संख्या दाईं ओर है।

1. आइए कोष्ठकों को दो से समूहित करें ताकि मुक्त पदों का योग समान हो।

2. उन्हें गुणा करें।

3. आइए हम चर के परिवर्तन का परिचय दें।

हमारे समीकरण में, हम पहले ब्रैकेट को तीसरे के साथ और दूसरे को चौथे के साथ समूहित करते हैं, क्योंकि (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

इस बिंदु पर, परिवर्तनशील परिवर्तन स्पष्ट हो जाता है:

हमें समीकरण मिलता है

जवाब:

2 .

इस प्रकार का एक समीकरण पिछले एक के समान होता है जिसमें एक अंतर होता है: समीकरण के दाईं ओर एक संख्या का गुणनफल होता है। और इसे पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है:

1. हम कोष्ठकों को दो से समूहित करते हैं ताकि मुक्त पदों का गुणनफल समान हो।

2. हम कोष्ठक के प्रत्येक युग्म को गुणा करते हैं।

3. प्रत्येक गुणनखंड से हम कोष्ठक में से x निकालते हैं।

4. समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें।

5. हम चर के परिवर्तन का परिचय देते हैं।

इस समीकरण में, हम पहले ब्रैकेट को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ समूहित करते हैं, क्योंकि:

ध्यान दें कि प्रत्येक कोष्ठक में गुणांक और मुक्त पद समान हैं। आइए प्रत्येक ब्रैकेट से गुणक निकालें:

चूँकि x=0 मूल समीकरण का मूल नहीं है, हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

हमें समीकरण मिलता है:

जवाब:

3 .

ध्यान दें कि दोनों भिन्नों के हर वर्ग त्रिपद हैं, जिनमें प्रमुख गुणांक और मुक्त पद समान हैं। हम दूसरे प्रकार के समीकरण के अनुसार, कोष्ठक से x निकालते हैं। हम पाते हैं:

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को x से विभाजित करें:

अब हम चर के परिवर्तन का परिचय दे सकते हैं:

हम चर t के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

4 .

ध्यान दें कि समीकरण के गुणांक केंद्रीय के संबंध में सममित हैं। इस तरह के समीकरण को कहा जाता है वापस करने .

इसे हल करने के लिए

1. समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें (हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि x=0 समीकरण का मूल नहीं है।) हम प्राप्त करते हैं:

2. शर्तों को इस प्रकार समूहित करें:

3. प्रत्येक समूह में, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं:

4. आइए एक प्रतिस्थापन पेश करें:

5. आइए व्यंजक को t के पदों में व्यक्त करें:

यहां से

हमें टी के लिए समीकरण मिलता है:

जवाब:

5. सजातीय समीकरण।

घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय एक सजातीय संरचना वाले समीकरणों का सामना किया जा सकता है, इसलिए आपको इसे पहचानने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

सजातीय समीकरणों में निम्नलिखित संरचना होती है:

इस समानता में, A, B और C संख्याएँ हैं, और समान व्यंजक एक वर्ग और एक वृत्त द्वारा दर्शाए जाते हैं। यही है, सजातीय समीकरण के बाईं ओर समान डिग्री वाले मोनोमियल का योग होता है (इस मामले में, मोनोमियल की डिग्री 2 है), और कोई मुक्त शब्द नहीं है।

सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं

ध्यान! समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित करते समय, आप मूल खो सकते हैं। इसलिए, यह जाँचना आवश्यक है कि क्या व्यंजक के मूल, जिससे हम समीकरण के दोनों भागों को विभाजित करते हैं, मूल समीकरण के मूल हैं।

चलिए पहले रास्ते पर चलते हैं। हमें समीकरण मिलता है:

अब हम एक परिवर्तनीय प्रतिस्थापन पेश करते हैं:

व्यंजक को सरल कीजिए और t के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त कीजिए:

जवाब:या

7 .

इस समीकरण में निम्नलिखित संरचना है:

इसे हल करने के लिए, आपको समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करना होगा।

एक पूर्ण वर्ग का चयन करने के लिए, आपको दोहरे उत्पाद को जोड़ना या घटाना होगा। तब हमें योग या अंतर का वर्ग मिलता है। यह एक सफल परिवर्तनीय प्रतिस्थापन के लिए महत्वपूर्ण है।

आइए दोहरे उत्पाद को ढूंढकर शुरू करें। यह चर को बदलने की कुंजी होगी। हमारे समीकरण में, दोहरा उत्पाद है

अब आइए जानें कि हमारे लिए क्या अधिक सुविधाजनक है - योग या अंतर का वर्ग। शुरुआत के लिए, भावों के योग पर विचार करें:

बढ़िया! यह व्यंजक गुणनफल के दुगुने के ठीक बराबर है। फिर, कोष्ठक में योग का वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको दोहरे उत्पाद को जोड़ना और घटाना होगा:

हमने उपरोक्त समीकरण को 7 में प्रस्तुत किया है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि एक परिमेय व्यंजक क्या है। यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और चर x से बना एक बीजीय व्यंजक है।

यदि r(x) एक परिमेय व्यंजक है, तो समीकरण r(x) = 0 एक परिमेय समीकरण कहलाता है।

हालाँकि, व्यवहार में "तर्कसंगत समीकरण" शब्द की कुछ व्यापक व्याख्या का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है: यह h(x) = q(x) के रूप का एक समीकरण है, जहाँ h(x) और q(x) हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

अब तक, हम किसी भी तर्कसंगत समीकरण को हल नहीं कर सके, लेकिन केवल एक ही, जो विभिन्न परिवर्तनों और तर्कों के परिणामस्वरूप कम हो गया था रेखीय समीकरण. अब हमारी संभावनाएं बहुत अधिक हैं: हम एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे, जो न केवल रैखिक को कम करता है
mu, लेकिन द्विघात समीकरण के लिए भी।

याद कीजिए कि कैसे हमने पहले परिमेय समीकरणों को हल किया था और एक समाधान एल्गोरिथम तैयार करने का प्रयास किया था।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

इस मामले में, हमेशा की तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि समानताएं ए \u003d बी और ए - बी \u003d 0 ए और बी के बीच समान संबंध व्यक्त करती हैं। इसने हमें समीकरण के बाईं ओर शब्द को स्थानांतरित करने की अनुमति दी विपरीत संकेत।

आइए समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है

समानता की शर्तों को याद करें अंशोंशून्य: यदि, और केवल तभी, जब दो संबंध एक साथ संतुष्ट हों:

1) भिन्न का अंश शून्य है (a = 0); 2) भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है)।
समीकरण (1) के बाईं ओर भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह ऊपर उल्लिखित दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करने के लिए बनी हुई है। अनुपात का अर्थ समीकरण (1) के लिए है। मान x 1 = 2 और x 2 = 0.6 संकेतित संबंधों को संतुष्ट करते हैं और इसलिए समीकरण (1) की जड़ों के रूप में कार्य करते हैं, और साथ ही दिए गए समीकरण की जड़ें भी।

1) आइए समीकरण को रूप में बदलें

2) आइए इस समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करें:

(साथ ही अंश में चिह्नों को बदल दिया और
अंश)।
इस प्रकार, दिया गया समीकरण रूप लेता है

3) समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 को हल कीजिए

4) पाए गए मानों के लिए, स्थिति की जाँच करें . संख्या 4 इस शर्त को पूरा करती है, लेकिन संख्या 2 नहीं। अतः 4 दिए गए समीकरण का मूल है, और 2 एक बाह्य मूल है।
उत्तर - 4।

2. एक नए चर का परिचय देकर परिमेय समीकरणों का समाधान

एक नया चर पेश करने की विधि आप से परिचित है, हमने इसे एक से अधिक बार उपयोग किया है। आइए उदाहरणों के द्वारा दिखाएं कि इसका उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को हल करने में कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3समीकरण x 4 + x 2 - 20 = 0 को हल करें।

फेसला। हम एक नया चर y \u003d x 2 पेश करते हैं। चूँकि x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, तो दिए गए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

वाई 2 + वाई - 20 = 0।

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसके मूल हम ज्ञात . का उपयोग करके ज्ञात करेंगे सूत्रों; हमें y 1 = 4, y 2 = - 5 प्राप्त होता है।
लेकिन y \u003d x 2, जिसका अर्थ है कि समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई है:
x2=4; एक्स 2 \u003d -5।

पहले समीकरण से हम पाते हैं कि दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
जवाब: ।
कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी \u003d 0 फॉर्म के समीकरण को द्विघात समीकरण ("द्वि" - दो, यानी, जैसा कि "दो बार वर्ग" समीकरण) कहा जाता है। अभी हल किया गया समीकरण बिल्कुल द्विघाती था। किसी भी द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे उदाहरण 3 से समीकरण: एक नया चर y \u003d x 2 पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण को चर y के संबंध में हल किया जाता है, और फिर चर x पर वापस आ जाता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें

फेसला। ध्यान दें कि समान व्यंजक x 2 + 3x यहाँ दो बार आता है। इसलिए, एक नया चर y = x 2 + Zx पेश करना समझ में आता है। यह हमें एक सरल और अधिक सुखद रूप में समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देगा (जो वास्तव में, एक नए को पेश करने का उद्देश्य है चर- और रिकॉर्डिंग आसान है
, और समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है):

और अब हम एक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।

1) आइए समीकरण के सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ:

= 0
2) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें

इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को रूप में बदल दिया है

3) समीकरण से - 7y 2 + 29y -4 = 0 हम पाते हैं (हमने पहले से ही बहुत सारे द्विघात समीकरणों को हल कर लिया है, इसलिए शायद यह हमेशा पाठ्यपुस्तक में विस्तृत गणना देने के लायक नहीं है)।

4) आइए 5 (y - 3) (y + 1) की स्थिति का उपयोग करके पाए गए जड़ों की जाँच करें। दोनों जड़ें इस शर्त को पूरा करती हैं।
तो, नए चर y के लिए द्विघात समीकरण हल हो गया है:
चूंकि y \u003d x 2 + Zx, और y, जैसा कि हमने स्थापित किया है, दो मान लेता है: 4 और, - हमें अभी भी दो समीकरणों को हल करना है: x 2 + Zx \u003d 4; एक्स 2 + जेडएक्स \u003d। पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और -4 हैं, दूसरे समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं

विचार किए गए उदाहरणों में, एक नए चर को पेश करने की विधि थी, जैसा कि गणितज्ञ कहना चाहते हैं, स्थिति के लिए पर्याप्त है, अर्थात यह इसके साथ अच्छी तरह से मेल खाता है। क्यों? हाँ, क्योंकि एक ही व्यंजक कई बार समीकरण रिकॉर्ड में स्पष्ट रूप से सामने आया था और इस व्यंजक को एक नए अक्षर से निर्दिष्ट करना उचित था। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी एक नया चर केवल परिवर्तनों की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"। ठीक यही अगले उदाहरण में होगा।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
फेसला। हमारे पास है
एक्स (एक्स - 3) \u003d एक्स 2 - 3x;
(एक्स - 1) (एक्स - 2) \u003d एक्स 2 -3x + 2।

अतः दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

अब एक नया चर "प्रकट" हुआ है: y = x 2 - Zx।

इसकी मदद से, समीकरण को y (y + 2) \u003d 24 और फिर y 2 + 2y - 24 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण की जड़ें संख्या 4 और -6 हैं।

मूल चर x पर लौटने पर, हम दो समीकरण x 2 - Zx \u003d 4 और x 2 - Zx \u003d - 6. प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण से हम x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1 पाते हैं; दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर : 4,-1.

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