एक हवाई जहाज की कल्पना करें: पंख, धड़, पूंछ, यह सब एक साथ - एक वास्तविक विशाल, विशाल, संपूर्ण हवाई जहाज। और आप एक हवाई जहाज का एक मॉडल बना सकते हैं, छोटा, लेकिन सब कुछ वास्तविक है, वही पंख, आदि, लेकिन कॉम्पैक्ट। तो गणितीय मॉडल है। एक पाठ समस्या है, बोझिल, आप इसे देख सकते हैं, इसे पढ़ सकते हैं, लेकिन इसे पूरी तरह से नहीं समझ सकते हैं, और इससे भी अधिक यह स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए। लेकिन क्या होगा अगर हम इसका एक छोटा मॉडल, एक गणितीय मॉडल, एक बड़ी मौखिक समस्या से बना लें? गणितीय का क्या अर्थ है? इसलिए, गणितीय संकेतन के नियमों और कानूनों का उपयोग करते हुए, संख्याओं और अंकगणितीय संकेतों का उपयोग करके पाठ को तार्किक रूप से सही प्रतिनिधित्व में रीमेक करें। इसलिए, एक गणितीय मॉडल एक गणितीय भाषा का उपयोग करके वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व है।

आइए सरल शुरू करें: संख्या, संख्या से बड़ी है। हमें इसे शब्दों का प्रयोग किए बिना लिखना होगा, केवल गणित की भाषा। यदि इससे अधिक हो, तो पता चलता है कि यदि हम इसमें से घटा दें, तो इन संख्याओं का अंतर बराबर ही रहेगा। वे। या। सार समझ गया?

अब यह अधिक जटिल है, अब एक पाठ होगा जिसे आपको गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करना चाहिए, जब तक आप यह नहीं पढ़ लेते कि मैं इसे कैसे करूँगा, इसे स्वयं आज़माएँ! चार संख्याएँ हैं: , तथा । एक उत्पाद और अधिक उत्पाद और दो बार।

क्या हुआ?

गणितीय मॉडल के रूप में, यह इस तरह दिखेगा:

वे। उत्पाद दो से एक के रूप में संबंधित है, लेकिन इसे और सरल बनाया जा सकता है:

ठीक है, सरल उदाहरणों के साथ, आपको बात समझ में आती है, मुझे लगता है। आइए पूर्ण कार्यों की ओर बढ़ें जिसमें इन गणितीय मॉडलों को भी हल करने की आवश्यकता है! यहाँ कार्य है।

व्यवहार में गणितीय मॉडल

कार्य 1

बारिश के बाद कुएं का जलस्तर बढ़ सकता है। लड़का कुएँ में छोटे-छोटे कंकड़ गिरने का समय मापता है और पानी से दूरी की गणना सूत्र का उपयोग करके करता है, मीटर में दूरी कहाँ है और सेकंड में गिरने का समय है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय था। मापे गए समय को s में बदलने के लिए वर्षा के बाद जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए? अपना उत्तर मीटर में व्यक्त करें।

हाय भगवान्! कौन से सूत्र, किस तरह का कुआं, क्या हो रहा है, क्या करना है? क्या मैंने आपका दिमाग पढ़ा? आराम करो, इस प्रकार के कार्यों में, स्थितियां और भी भयानक होती हैं, याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि इस कार्य में आप चर के बीच सूत्रों और संबंधों में रुचि रखते हैं, और ज्यादातर मामलों में इसका क्या मतलब है यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। आप यहाँ क्या उपयोगी देखते हैं? मैं व्यक्तिगत रूप से देखता हूं। इन समस्याओं को हल करने का सिद्धांत इस प्रकार है: आप सभी ज्ञात मात्राएँ लेते हैं और उन्हें प्रतिस्थापित करते हैं।लेकिन कभी-कभी सोचना पड़ता है!

मेरी पहली सलाह के बाद, और सभी ज्ञात लोगों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

यह मैं था जिसने दूसरे के समय को प्रतिस्थापित किया, और उस ऊंचाई को पाया जो पत्थर बारिश से पहले उड़ गया था। और अब हमें बारिश के बाद गिनने और अंतर खोजने की जरूरत है!

अब दूसरी सलाह को सुनें और इसके बारे में सोचें, प्रश्न निर्दिष्ट करता है कि "बारिश के बाद जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए ताकि मापा समय s से बदल सके"। आपको इसका तुरंत पता लगाने की आवश्यकता है, इसलिए, बारिश के बाद जल स्तर बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि पत्थर के जल स्तर तक गिरने का समय कम है, और यहाँ अलंकृत वाक्यांश "ताकि मापा समय बदल जाए" एक विशिष्ट अर्थ पर: गिरावट का समय नहीं बढ़ता है, लेकिन निर्दिष्ट सेकंड से कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि बारिश के बाद फेंक के मामले में, हमें शुरुआती समय सी से सी घटाना होगा, और हमें ऊंचाई के लिए समीकरण मिलता है कि बारिश के बाद पत्थर उड़ जाएगा:

और अंत में, यह पता लगाने के लिए कि बारिश के बाद पानी का स्तर कितना बढ़ जाना चाहिए, ताकि मापा गया समय s से बदल जाए, आपको बस पतझड़ की पहली ऊंचाई से दूसरे को घटाना होगा!

हमें उत्तर मिलता है: प्रति मीटर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इस तरह के एक समझ से बाहर और कभी-कभी जटिल समीकरण परिस्थितियों में कहां से आए और इसमें सब कुछ क्या मतलब है, इसके लिए मेरा शब्द लें, इनमें से अधिकांश समीकरण हैं भौतिकी से लिया गया है, और वहाँ जंगल बीजगणित से भी बदतर है। कभी-कभी मुझे ऐसा लगता है कि इन कार्यों का आविष्कार परीक्षा में छात्र को जटिल सूत्रों और शर्तों की एक बहुतायत से डराने के लिए किया गया था, और ज्यादातर मामलों में उन्हें लगभग ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। बस शर्त को ध्यान से पढ़ें और सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें!

यहाँ एक और समस्या है, भौतिकी में नहीं, बल्कि आर्थिक सिद्धांत की दुनिया से, हालाँकि यहाँ गणित के अलावा अन्य विज्ञानों के ज्ञान की फिर से आवश्यकता नहीं है।

टास्क 2

कीमत (हजार रूबल) पर एक एकाधिकार उद्यम के उत्पादों के लिए मांग की मात्रा (प्रति माह इकाइयों) की निर्भरता सूत्र द्वारा दी गई है

कंपनी के मासिक राजस्व (हजार रूबल में) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है। उच्चतम मूल्य निर्धारित करें जिस पर मासिक राजस्व कम से कम एक हजार रूबल होगा। जवाब हजार रूबल में दें।

सोचो अब मैं क्या करूँगा? हाँ, हम जो जानते हैं उसे प्रतिस्थापित करना शुरू कर देंगे, लेकिन, फिर से, आपको अभी भी थोड़ा सोचना होगा। आइए अंत से चलते हैं, हमें किस पर पता लगाना है। तो, कुछ के बराबर है, हम पाते हैं कि यह और क्या बराबर है, और यह बराबर है, और हम इसे लिखेंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, मैं इन सभी मात्राओं के अर्थ के बारे में विशेष रूप से परेशान नहीं हूं, मैं केवल शर्तों से देखता हूं, क्या बराबर है, आपको क्या करना है। आइए कार्य पर वापस आएं, आपके पास पहले से ही है, लेकिन जैसा कि आपको याद है, दो चर वाले एक समीकरण से, उनमें से कोई भी नहीं मिल सकता है, क्या करना है? हाँ, हमारे पास अभी भी स्थिति में एक अप्रयुक्त कण है। यहाँ, पहले से ही दो समीकरण और दो चर हैं, जिसका अर्थ है कि अब दोनों चर पाए जा सकते हैं - बढ़िया!

क्या आप ऐसी प्रणाली को हल कर सकते हैं?

हम प्रतिस्थापन द्वारा हल करते हैं, हम इसे पहले ही व्यक्त कर चुके हैं, जिसका अर्थ है कि हम इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे और इसे सरल करेंगे।

यह पता चला है कि यहाँ एक ऐसा द्विघात समीकरण है: , हम हल करते हैं, जड़ें इस तरह हैं, । कार्य में, उच्चतम मूल्य का पता लगाना आवश्यक है, जिस पर हमने सिस्टम को संकलित करते समय जिन सभी शर्तों को ध्यान में रखा था, वे पूरी होंगी। ओह, यह पता चला कि कीमत थी। बढ़िया, इसलिए हमें कीमतें मिलीं: और। उच्चतम कीमत, आप कहते हैं? ठीक है, उनमें से सबसे बड़ा, जाहिर है, हम इसे प्रत्युत्तर में लिखते हैं। अच्छा, क्या यह मुश्किल है? मुझे नहीं लगता, और आपको इसमें बहुत अधिक तल्लीन करने की आवश्यकता नहीं है!

और यहाँ आपके लिए एक भयावह भौतिकी है, या यों कहें, एक और समस्या:

टास्क 3

तारों के प्रभावी तापमान को निर्धारित करने के लिए, स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन कानून का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, तारे की दीप्तिमान शक्ति कहाँ है, एक स्थिर है, तारे का सतह क्षेत्र है, और तापमान है। यह ज्ञात है कि एक निश्चित तारे की सतह का क्षेत्रफल बराबर होता है, और उसके विकिरण की शक्ति W के बराबर होती है। इस तारे का तापमान केल्विन डिग्री में ज्ञात कीजिए।

यह कहाँ स्पष्ट है? हां, शर्त कहती है कि क्या बराबर है। पहले, मैंने सिफारिश की थी कि सभी अज्ञात को तुरंत प्रतिस्थापित किया जाए, लेकिन यहां पहले अज्ञात की मांग को व्यक्त करना बेहतर है। देखो सब कुछ कितना सरल है: एक सूत्र है और वे इसमें जाने जाते हैं, और (यह ग्रीक अक्षर "सिग्मा" है। सामान्य तौर पर, भौतिक विज्ञानी ग्रीक अक्षरों से प्यार करते हैं, इसकी आदत डालें)। तापमान अज्ञात है। आइए इसे एक सूत्र के रूप में व्यक्त करें। यह कैसे करना है, मुझे आशा है कि आप जानते हैं? ग्रेड 9 में GIA के लिए ऐसे असाइनमेंट आमतौर पर देते हैं:

अब यह दाईं ओर के अक्षरों के बजाय संख्याओं को स्थानापन्न करना और सरल बनाना है:

यहाँ उत्तर है: डिग्री केल्विन! और यह कितना भयानक काम था!

हम भौतिकी में समस्याओं को सताना जारी रखते हैं।

टास्क 4

एक गेंद की जमीन के ऊपर की ऊंचाई कानून के अनुसार बदल जाती है, मीटर में ऊंचाई कहां है, फेंक के बाद से सेकंड में समय बीत चुका है। गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितने सेकंड में होगी?

ये सभी समीकरण थे, लेकिन यहां यह निर्धारित करना आवश्यक है कि गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर थी, जिसका अर्थ है ऊंचाई पर। हम क्या बनाने जा रहे हैं? असमानता, हाँ! हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो बताता है कि गेंद कैसे उड़ती है, जहां मीटर में बिल्कुल समान ऊंचाई है, हमें ऊंचाई की आवश्यकता है। माध्यम

और अब आप केवल असमानता को हल करते हैं, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि असमानता के चिह्न को कम या ज्यादा से कम या बराबर में बदलना न भूलें, जब आप असमानता के दोनों हिस्सों से गुणा करते हैं ताकि सामने के माइनस से छुटकारा मिल सके।

यहां जड़ें हैं, हम असमानता के लिए अंतराल बनाते हैं:

हम उस अंतराल में रुचि रखते हैं जहां साइन माइनस है, क्योंकि असमानता वहां नकारात्मक मान लेती है, यह दोनों से समावेशी है। और अब हम मस्तिष्क को चालू करते हैं और ध्यान से सोचते हैं: असमानता के लिए, हमने एक समीकरण का उपयोग किया जो गेंद की उड़ान का वर्णन करता है, यह किसी तरह एक परवलय के साथ उड़ता है, अर्थात। यह उड़ता है, एक चोटी पर पहुंचता है और गिरता है, कैसे समझें कि यह कम से कम मीटर की ऊंचाई पर कितना लंबा होगा? हमें 2 मोड़ मिले, यानी। जिस क्षण यह मीटर से ऊपर चढ़ता है और जिस क्षण गिरते हुए समान चिह्न पर पहुँचता है, ये दो बिंदु समय के रूप में हमारे रूप में व्यक्त होते हैं, अर्थात्। हम जानते हैं कि उड़ान के किस सेकंड में यह हमारे लिए (मीटर से ऊपर) रुचि के क्षेत्र में प्रवेश किया और किसमें इसे छोड़ा (मीटर के निशान से नीचे गिर गया)। वह इस क्षेत्र में कितने सेकंड था? यह तर्कसंगत है कि हम क्षेत्र से बाहर निकलने का समय लेते हैं और उसमें से इस क्षेत्र में प्रवेश के समय को घटा देते हैं। तदनुसार:- इतना वह मीटर से ऊपर के क्षेत्र में था, यह उत्तर है।

आप इतने भाग्यशाली हैं कि इस विषय पर अधिकांश उदाहरण भौतिकी में समस्याओं की श्रेणी से लिए जा सकते हैं, इसलिए एक और पकड़ें, यह अंतिम है, इसलिए अपने आप को धक्का दें, बहुत कम बचा है!

टास्क 5

एक निश्चित उपकरण के हीटिंग तत्व के लिए, ऑपरेटिंग समय पर तापमान निर्भरता प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त की गई थी:

मिनटों में समय कहाँ है। यह ज्ञात है कि डिवाइस के ऊपर हीटिंग तत्व के तापमान पर खराब हो सकता है, इसलिए इसे बंद कर देना चाहिए। डिवाइस को बंद करने के लिए काम शुरू होने के बाद अधिकतम समय का पता लगाएं। अपना उत्तर मिनटों में व्यक्त करें।

हम एक अच्छी तरह से स्थापित योजना के अनुसार कार्य करते हैं, जो कुछ भी दिया जाता है, हम पहले लिखते हैं:

अब हम सूत्र लेते हैं और इसे उस तापमान मान के बराबर करते हैं जिससे डिवाइस को जितना संभव हो उतना गर्म किया जा सकता है जब तक कि वह जल न जाए, अर्थात:

अब हम उन अक्षरों के स्थान पर संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ वे ज्ञात हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, डिवाइस के संचालन के दौरान तापमान को द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि यह एक परवलय के साथ वितरित किया जाता है, अर्थात। डिवाइस एक निश्चित तापमान तक गर्म होता है, और फिर ठंडा हो जाता है। हमें जवाब मिले और इसलिए, गर्म करने के दौरान और मिनटों के दौरान, तापमान महत्वपूर्ण है, लेकिन बीच और मिनटों के बीच यह सीमा से भी अधिक है!

तो, आपको एक मिनट के बाद डिवाइस को बंद करना होगा।

गणितीय मॉडल। संक्षेप में मुख्य के बारे में

सबसे अधिक बार, भौतिकी में गणितीय मॉडल का उपयोग किया जाता है: आखिरकार, आपको संभवतः दर्जनों भौतिक सूत्रों को याद रखना होगा। और सूत्र स्थिति का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

OGE और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में केवल इस विषय पर कार्य होते हैं। USE (प्रोफाइल) में यह कार्य संख्या 11 (पूर्व में B12) है। OGE में - कार्य संख्या 20।

समाधान योजना स्पष्ट है:

1) शर्त के पाठ से, उपयोगी जानकारी को "अलग" करना आवश्यक है - हम "दिया" शब्द के तहत भौतिकी की समस्याओं में क्या लिखते हैं। यह उपयोगी जानकारी है:

• सूत्र
• ज्ञात भौतिक मात्राएँ।

यही है, सूत्र के प्रत्येक अक्षर को एक निश्चित संख्या सौंपी जानी चाहिए।

2) सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें। अज्ञात मान अक्षर के रूप में रहता है। अब आपको केवल समीकरण (आमतौर पर काफी सरल) को हल करने की आवश्यकता है, और उत्तर तैयार है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

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गणितीय मॉडल

गणित का मॉडल - अनुमानित कार्यमॉडलिंग की वस्तु का विवरण, का उपयोग करके व्यक्त किया गयास्क्यू गणितीय प्रतीकवाद।

कई सदियों पहले गणित के साथ-साथ गणितीय मॉडल भी सामने आए थे। कंप्यूटर की उपस्थिति से गणितीय मॉडलिंग के विकास को एक बड़ा प्रोत्साहन मिला। कंप्यूटर के उपयोग ने कई गणितीय मॉडलों का विश्लेषण और व्यवहार करना संभव बना दिया जो पहले विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए उत्तरदायी नहीं थे। कंप्यूटर-कार्यान्वित गणितीयआकाश मॉडलबुलाया कंप्यूटर गणितीय मॉडल, ए कंप्यूटर मॉडल का उपयोग करके लक्षित गणना करनाबुलाया कम्प्यूटेशनल प्रयोग.

कंप्यूटर गणितीय mo . के चरणविलोपनचित्र में दिखाया गया है। प्रथममंच - मॉडलिंग लक्ष्यों की परिभाषाये लक्ष्य भिन्न हो सकते हैं:

1. यह समझने के लिए एक मॉडल की आवश्यकता होती है कि कोई विशेष वस्तु कैसे काम करती है, इसकी संरचना, मूल गुण, विकास के नियम और अंतःक्रिया क्या है
   बाहरी दुनिया के साथ (समझ);
2. किसी वस्तु (या प्रक्रिया) को प्रबंधित करने और दिए गए लक्ष्यों और मानदंडों (प्रबंधन) के प्रबंधन के सर्वोत्तम तरीकों को निर्धारित करने के लिए सीखने के लिए एक मॉडल की आवश्यकता होती है;
3. निर्दिष्ट तरीकों और वस्तु पर प्रभाव के रूपों (पूर्वानुमान) के कार्यान्वयन के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए मॉडल की आवश्यकता होती है।

आइए उदाहरणों के साथ समझाएं। अध्ययन का विषय किसी द्रव या गैस के प्रवाह की उस पिंड के साथ अंतःक्रिया हो जो इस प्रवाह में बाधक हो। अनुभव से पता चलता है कि शरीर की ओर से प्रवाह के प्रतिरोध की शक्ति प्रवाह वेग में वृद्धि के साथ बढ़ती है, लेकिन कुछ पर्याप्त उच्च गति पर, गति में और वृद्धि के साथ फिर से बढ़ने के लिए यह बल अचानक कम हो जाता है। प्रतिरोध बल में कमी का क्या कारण है? गणितीय मॉडलिंग हमें एक स्पष्ट उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देता है: प्रतिरोध में अचानक कमी के समय, सुव्यवस्थित शरीर के पीछे तरल या गैस के प्रवाह में बनने वाले भंवर इससे दूर होने लगते हैं और प्रवाह से दूर हो जाते हैं।

एक पूरी तरह से अलग क्षेत्र से एक उदाहरण: एक आम भोजन आधार वाले व्यक्तियों की दो प्रजातियों की स्थिर आबादी के साथ शांतिपूर्वक सह-अस्तित्व, "अचानक" नाटकीय रूप से उनकी संख्या बदलना शुरू कर देता है। और यहां गणितीय मॉडलिंग कारण (या कम से कम एक निश्चित परिकल्पना का खंडन करने के लिए) को स्थापित करने के लिए (निश्चित डिग्री के साथ) अनुमति देता है।

वस्तु प्रबंधन की अवधारणा का विकास मॉडलिंग का एक अन्य संभावित लक्ष्य है। उड़ान सुरक्षित और सबसे आर्थिक रूप से लाभप्रद होने के लिए कौन सा विमान उड़ान मोड चुना जाना चाहिए? एक बड़ी सुविधा के निर्माण पर सैकड़ों प्रकार के कार्यों को कैसे शेड्यूल किया जाए ताकि यह जल्द से जल्द समाप्त हो जाए? ऐसी कई समस्याएं अर्थशास्त्रियों, डिजाइनरों और वैज्ञानिकों के सामने व्यवस्थित रूप से उठती हैं।

अंत में, किसी वस्तु पर कुछ प्रभावों के परिणामों की भविष्यवाणी करना सरल भौतिक प्रणालियों में अपेक्षाकृत सरल मामला हो सकता है, और अत्यंत जटिल - व्यवहार्यता के कगार पर - जैविक, आर्थिक, सामाजिक प्रणालियों में। यदि एक पतली छड़ में अपने घटक मिश्र धातु में परिवर्तन के साथ गर्मी प्रसार के तरीके में परिवर्तन के बारे में प्रश्न का उत्तर देना अपेक्षाकृत आसान है, तो इसके निर्माण के पर्यावरणीय और जलवायु परिणामों का पता लगाना (भविष्यवाणी करना) अतुलनीय रूप से अधिक कठिन है। बड़े पनबिजली स्टेशन या कर कानून में बदलाव के सामाजिक परिणाम। शायद, यहाँ भी, भविष्य में गणितीय मॉडलिंग विधियाँ अधिक महत्वपूर्ण सहायता प्रदान करेंगी।

दूसरा चरण:मॉडल के इनपुट और आउटपुट पैरामीटर की परिभाषा; आउटपुट पर उनके परिवर्तनों के प्रभाव के महत्व की डिग्री के अनुसार इनपुट मापदंडों का विभाजन। इस प्रक्रिया को रैंकिंग, या रैंक द्वारा विभाजन (नीचे देखें) कहा जाता है। "औपचारिक"टशन और मॉडलिंग").

तीसरा चरण:गणितीय मॉडल का निर्माण। इस स्तर पर, मॉडल के अमूर्त फॉर्मूलेशन से एक फॉर्मूलेशन में एक संक्रमण होता है जिसमें एक विशिष्ट गणितीय प्रतिनिधित्व होता है। एक गणितीय मॉडल समीकरण, समीकरणों की प्रणाली, असमानताओं की प्रणाली, अंतर समीकरण या ऐसे समीकरणों की प्रणाली आदि है।

चौथा चरण:गणितीय मॉडल के अध्ययन के लिए विधि का चुनाव। अक्सर, संख्यात्मक विधियों का उपयोग यहां किया जाता है, जो प्रोग्रामिंग के लिए खुद को अच्छी तरह से उधार देते हैं। एक नियम के रूप में, एक ही समस्या को हल करने के लिए कई विधियाँ उपयुक्त हैं, सटीकता, स्थिरता आदि में भिन्न। संपूर्ण मॉडलिंग प्रक्रिया की सफलता अक्सर विधि के सही चुनाव पर निर्भर करती है।

पांचवां चरण:एक एल्गोरिथ्म का विकास, कंप्यूटर प्रोग्राम का संकलन और डिबगिंग एक ऐसी प्रक्रिया है जिसे औपचारिक रूप देना मुश्किल है। प्रोग्रामिंग भाषाओं में से, गणितीय मॉडलिंग के लिए कई पेशेवर फोरट्रान पसंद करते हैं: दोनों परंपरा के कारण, और कंपाइलर्स (कम्प्यूटेशनल काम के लिए) की नायाब दक्षता के कारण और गणितीय विधियों के मानक कार्यक्रमों के विशाल, सावधानीपूर्वक डिबग और अनुकूलित पुस्तकालयों की उपस्थिति के कारण। यह। कार्य की प्रकृति और प्रोग्रामर के झुकाव के आधार पर, पास्कल, बेसिक, सी जैसी भाषाएं भी उपयोग में हैं।

छठा चरण:कार्यक्रम परीक्षण। एक ज्ञात उत्तर के साथ एक परीक्षण समस्या पर कार्यक्रम के संचालन का परीक्षण किया जाता है। यह सिर्फ एक परीक्षण प्रक्रिया की शुरुआत है जिसका औपचारिक रूप से संपूर्ण तरीके से वर्णन करना मुश्किल है। आमतौर पर, परीक्षण तब समाप्त होता है जब उपयोगकर्ता अपनी पेशेवर विशेषताओं के अनुसार कार्यक्रम को सही मानता है।

सातवां चरण:वास्तविक कम्प्यूटेशनल प्रयोग, जिसके दौरान यह स्पष्ट हो जाता है कि मॉडल वास्तविक वस्तु (प्रक्रिया) से मेल खाता है या नहीं। मॉडल वास्तविक प्रक्रिया के लिए पर्याप्त रूप से पर्याप्त है यदि कंप्यूटर पर प्राप्त प्रक्रिया की कुछ विशेषताएं प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त विशेषताओं के साथ सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ मेल खाती हैं। यदि मॉडल वास्तविक प्रक्रिया के अनुरूप नहीं है, तो हम पिछले चरणों में से एक पर लौटते हैं।

गणितीय मॉडलों का वर्गीकरण

गणितीय मॉडलों का वर्गीकरण विभिन्न सिद्धांतों पर आधारित हो सकता है। विज्ञान की शाखाओं (भौतिकी, जीव विज्ञान, समाजशास्त्र, आदि में गणितीय मॉडल) द्वारा मॉडलों को वर्गीकृत करना संभव है। इसे लागू गणितीय उपकरण के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है (साधारण अंतर समीकरणों, आंशिक अंतर समीकरणों, स्टोकेस्टिक विधियों, असतत बीजगणितीय परिवर्तनों, आदि के उपयोग के आधार पर मॉडल)। अंत में, यदि हम गणितीय तंत्र की परवाह किए बिना विभिन्न विज्ञानों में मॉडलिंग के सामान्य कार्यों से आगे बढ़ते हैं, तो निम्नलिखित वर्गीकरण सबसे स्वाभाविक है:

• वर्णनात्मक (वर्णनात्मक) मॉडल;
• अनुकूलन मॉडल;
• बहु मानदंड मॉडल;
• खेल मॉडल।

आइए इसे उदाहरणों के साथ समझाएं।

वर्णनात्मक (वर्णनात्मक) मॉडल. उदाहरण के लिए, सौर मंडल पर आक्रमण करने वाले धूमकेतु की गति का अनुकरण उसकी उड़ान के प्रक्षेपवक्र, पृथ्वी से वह दूरी, और इसी तरह की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। इस मामले में, मॉडलिंग के लक्ष्य वर्णनात्मक हैं, क्योंकि धूमकेतु की गति को प्रभावित करने, उसमें कुछ बदलने का कोई तरीका नहीं है।

अनुकूलन मॉडलउन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है जिन्हें किसी दिए गए लक्ष्य को प्राप्त करने के प्रयास में प्रभावित किया जा सकता है। इस मामले में, मॉडल में एक या अधिक पैरामीटर शामिल होते हैं जिन्हें प्रभावित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक अन्न भंडार में थर्मल शासन को बदलकर, अधिकतम अनाज संरक्षण प्राप्त करने के लिए इस तरह के शासन को चुनने का लक्ष्य निर्धारित किया जा सकता है, अर्थात। भंडारण प्रक्रिया का अनुकूलन करें।

बहु मानदंड मॉडल. अक्सर एक ही समय में कई मापदंडों में प्रक्रिया को अनुकूलित करना आवश्यक होता है, और लक्ष्य बहुत विरोधाभासी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, भोजन की कीमतों और किसी व्यक्ति की भोजन की आवश्यकता को जानने के लिए, लोगों के बड़े समूहों (सेना में, बच्चों के ग्रीष्मकालीन शिविर, आदि) के लिए शारीरिक रूप से सही ढंग से और एक ही समय में, यथासंभव सस्ते में भोजन का आयोजन करना आवश्यक है। यह स्पष्ट है कि ये लक्ष्य बिल्कुल मेल नहीं खाते; मॉडलिंग करते समय, कई मानदंडों का उपयोग किया जाएगा, जिनके बीच संतुलन की तलाश की जानी चाहिए।

खेल मॉडलन केवल कंप्यूटर गेम से संबंधित हो सकता है, बल्कि बहुत गंभीर चीजों से भी जुड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक लड़ाई से पहले, विरोधी सेना के बारे में अधूरी जानकारी की उपस्थिति में, एक कमांडर को एक योजना विकसित करनी चाहिए: किस क्रम में कुछ इकाइयों को युद्ध में लाने के लिए, आदि, दुश्मन की संभावित प्रतिक्रिया को ध्यान में रखते हुए। आधुनिक गणित का एक विशेष खंड है - गेम थ्योरी - जो अधूरी जानकारी की स्थिति में निर्णय लेने के तरीकों का अध्ययन करता है।

कंप्यूटर विज्ञान के स्कूल पाठ्यक्रम में, छात्रों को मूल पाठ्यक्रम के भाग के रूप में कंप्यूटर गणितीय मॉडलिंग का प्रारंभिक विचार प्राप्त होता है। हाई स्कूल में, गणितीय मॉडलिंग का भौतिकी और गणित में कक्षाओं के साथ-साथ एक विशेष वैकल्पिक पाठ्यक्रम के लिए एक सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में गहराई से अध्ययन किया जा सकता है।

हाई स्कूल में कंप्यूटर गणितीय मॉडलिंग सिखाने के मुख्य रूप व्याख्यान, प्रयोगशाला और क्रेडिट कक्षाएं हैं। आमतौर पर, प्रत्येक नए मॉडल के अध्ययन के लिए तैयार करने और तैयार करने के काम में 3-4 पाठ लगते हैं। सामग्री की प्रस्तुति के दौरान, कार्य निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें भविष्य में छात्रों द्वारा स्वयं हल किया जाना चाहिए, सामान्य शब्दों में, उन्हें हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार की जाती है। प्रश्न तैयार किए जाते हैं, जिनके उत्तर कार्य करते समय प्राप्त किए जाने चाहिए। अतिरिक्त साहित्य इंगित किया गया है, जो कार्यों के अधिक सफल समापन के लिए सहायक जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देता है।

नई सामग्री के अध्ययन में कक्षाओं के आयोजन का रूप आमतौर पर एक व्याख्यान है। अगले मॉडल की चर्चा पूरी होने के बाद छात्रोंउनके पास आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी और आगे के काम के लिए कार्यों का एक सेट है। कार्य की तैयारी में, छात्र उपयुक्त समाधान विधि का चयन करते हैं, कुछ ज्ञात निजी समाधान का उपयोग करके, वे विकसित कार्यक्रम का परीक्षण करते हैं। कार्यों को पूरा करने में काफी संभावित कठिनाइयों के मामले में, परामर्श दिया जाता है, साहित्य में इन वर्गों को और अधिक विस्तार से तैयार करने का प्रस्ताव किया जाता है।

कंप्यूटर मॉडलिंग सिखाने के व्यावहारिक भाग के लिए सबसे अधिक प्रासंगिक परियोजनाओं की विधि है। कार्य एक शैक्षिक परियोजना के रूप में छात्र के लिए तैयार किया जाता है और कई पाठों में किया जाता है, और इस मामले में मुख्य संगठनात्मक रूप कंप्यूटर प्रयोगशाला कार्य है। लर्निंग प्रोजेक्ट मेथड का उपयोग करके मॉडल को सीखना विभिन्न स्तरों पर लागू किया जा सकता है। पहला परियोजना कार्यान्वयन प्रक्रिया का समस्या विवरण है, जिसका नेतृत्व शिक्षक करता है। दूसरा एक शिक्षक के मार्गदर्शन में छात्रों द्वारा परियोजना का कार्यान्वयन है। तीसरा एक शैक्षिक अनुसंधान परियोजना के छात्रों द्वारा स्वतंत्र कार्यान्वयन है।

कार्य के परिणाम रेखांकन, आरेख के रूप में संख्यात्मक रूप में प्रस्तुत किए जाने चाहिए। यदि संभव हो तो प्रक्रिया को गतिकी में कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रस्तुत किया जाता है। गणना के पूरा होने और परिणामों की प्राप्ति पर, उनका विश्लेषण किया जाता है, सिद्धांत से ज्ञात तथ्यों की तुलना में, विश्वसनीयता की पुष्टि की जाती है और एक सार्थक व्याख्या की जाती है, जो बाद में एक लिखित रिपोर्ट में परिलक्षित होती है।

यदि परिणाम छात्र और शिक्षक को संतुष्ट करते हैं, तो कार्य गिनतापूरा हो गया है, और इसका अंतिम चरण एक रिपोर्ट तैयार करना है। रिपोर्ट में अध्ययन के तहत विषय पर संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी, समस्या का गणितीय सूत्रीकरण, एक समाधान एल्गोरिथ्म और इसका औचित्य, एक कंप्यूटर प्रोग्राम, कार्यक्रम के परिणाम, परिणामों और निष्कर्षों का विश्लेषण, संदर्भों की एक सूची शामिल है।

जब सभी रिपोर्ट तैयार की जाती हैं, तो परीक्षण सत्र में, छात्र किए गए कार्यों पर संक्षिप्त रिपोर्ट बनाते हैं, अपनी परियोजना का बचाव करते हैं। यह समस्या को स्थापित करने, औपचारिक मॉडल बनाने, मॉडल के साथ काम करने के तरीकों को चुनने, कंप्यूटर पर मॉडल को लागू करने, तैयार मॉडल के साथ काम करने, परिणामों की व्याख्या करने सहित, कक्षा को प्रोजेक्ट टीम की रिपोर्ट का एक प्रभावी रूप है। पूर्वानुमान नतीजतन, छात्र दो ग्रेड प्राप्त कर सकते हैं: पहला प्रोजेक्ट के विस्तार और इसकी रक्षा की सफलता के लिए है, दूसरा प्रोग्राम के लिए है, इसके एल्गोरिदम की इष्टतमता, इंटरफ़ेस इत्यादि। छात्रों को सिद्धांत पर सर्वेक्षण के दौरान अंक भी मिलते हैं।

एक आवश्यक प्रश्न यह है कि गणितीय मॉडलिंग के लिए स्कूल सूचना विज्ञान पाठ्यक्रम में किस प्रकार के उपकरणों का उपयोग किया जाए? मॉडलों का कंप्यूटर कार्यान्वयन किया जा सकता है:

• स्प्रेडशीट (आमतौर पर एमएस एक्सेल) का उपयोग करना;
• पारंपरिक प्रोग्रामिंग भाषाओं (पास्कल, बेसिक, आदि) के साथ-साथ उनके आधुनिक संस्करणों (डेल्फी, विजुअल) में प्रोग्राम बनाकर
  आवेदन के लिए बुनियादी, आदि);
• गणितीय समस्याओं (MathCAD, आदि) को हल करने के लिए विशेष सॉफ्टवेयर पैकेज का उपयोग करना।

प्राथमिक विद्यालय स्तर पर, पहला उपाय पसंदीदा प्रतीत होता है। हालाँकि, हाई स्कूल में, जब प्रोग्रामिंग, मॉडलिंग के साथ, कंप्यूटर विज्ञान का एक प्रमुख विषय है, तो इसे मॉडलिंग टूल के रूप में शामिल करना वांछनीय है। प्रोग्रामिंग की प्रक्रिया में, छात्रों को गणितीय प्रक्रियाओं का विवरण उपलब्ध हो जाता है; इसके अलावा, उन्हें बस उन्हें मास्टर करने के लिए मजबूर किया जाता है, और यह गणितीय शिक्षा में भी योगदान देता है। विशेष सॉफ्टवेयर पैकेज के उपयोग के लिए, यह अन्य उपकरणों के पूरक के रूप में एक प्रोफाइल कंप्यूटर विज्ञान पाठ्यक्रम में उपयुक्त है।

व्यायाम :

• मुख्य अवधारणाओं को रेखांकित करें।

आपके ध्यान में लाए गए लेख में, हम गणितीय मॉडल के उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। इसके अलावा, हम मॉडल बनाने के चरणों पर ध्यान देंगे और गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कुछ समस्याओं का विश्लेषण करेंगे।

हमारा एक और मुद्दा अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल है, जिसके उदाहरण हम थोड़ी देर बाद परिभाषा पर विचार करेंगे। हम "मॉडल" की अवधारणा के साथ अपनी बातचीत शुरू करने का प्रस्ताव करते हैं, संक्षेप में उनके वर्गीकरण पर विचार करें और हमारे मुख्य प्रश्नों पर आगे बढ़ें।

"मॉडल" की अवधारणा

हम अक्सर "मॉडल" शब्द सुनते हैं। यह क्या है? इस शब्द की कई परिभाषाएँ हैं, यहाँ उनमें से केवल तीन हैं:

• एक विशिष्ट वस्तु जो जानकारी प्राप्त करने और संग्रहीत करने के लिए बनाई गई है, कुछ गुणों या विशेषताओं को दर्शाती है, और इसी तरह, इस वस्तु के मूल (इस विशिष्ट वस्तु को विभिन्न रूपों में व्यक्त किया जा सकता है: मानसिक, संकेतों का उपयोग करके विवरण, और इसी तरह);
• एक मॉडल का अर्थ किसी विशिष्ट स्थिति, जीवन या प्रबंधन का प्रदर्शन भी है;
• किसी वस्तु की एक छोटी प्रति एक मॉडल के रूप में काम कर सकती है (वे अधिक विस्तृत अध्ययन और विश्लेषण के लिए बनाई गई हैं, क्योंकि मॉडल संरचना और संबंधों को दर्शाता है)।

पहले कही गई हर बात के आधार पर, हम एक छोटा निष्कर्ष निकाल सकते हैं: मॉडल आपको एक जटिल प्रणाली या वस्तु के बारे में विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देता है।

सभी मॉडलों को कई विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• उपयोग के क्षेत्र द्वारा (शैक्षिक, प्रयोगात्मक, वैज्ञानिक और तकनीकी, गेमिंग, सिमुलेशन);
• गतिकी द्वारा (स्थिर और गतिशील);
• ज्ञान की शाखा द्वारा (भौतिक, रासायनिक, भौगोलिक, ऐतिहासिक, सामाजिक, आर्थिक, गणितीय);
• प्रस्तुति की विधि (सामग्री और सूचनात्मक) के अनुसार।

सूचना मॉडल, बदले में, संकेत और मौखिक में विभाजित हैं। और प्रतिष्ठित - कंप्यूटर और गैर-कंप्यूटर पर। आइए अब हम गणितीय मॉडल के उदाहरणों पर विस्तार से विचार करें।

गणित का मॉडल

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक गणितीय मॉडल विशेष गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके किसी वस्तु या घटना की कुछ विशेषताओं को दर्शाता है। दुनिया के नियमों को अपनी विशिष्ट भाषा में मॉडल करने के लिए गणित की आवश्यकता होती है।

इस विज्ञान के आगमन के साथ-साथ गणितीय निदर्शन की पद्धति की उत्पत्ति हजारों वर्ष पूर्व काफ़ी समय पहले हुई थी। हालांकि, इस मॉडलिंग पद्धति के विकास के लिए कंप्यूटर (इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर) की उपस्थिति से प्रोत्साहन मिला।

अब चलो वर्गीकरण पर चलते हैं। इसे कुछ संकेतों के अनुसार भी किया जा सकता है। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

हम पिछले वर्गीकरण को रोकने और करीब से देखने का प्रस्ताव करते हैं, क्योंकि यह मॉडलिंग के सामान्य पैटर्न और बनाए जा रहे मॉडल के लक्ष्यों को दर्शाता है।

वर्णनात्मक मॉडल

इस अध्याय में, हम वर्णनात्मक गणितीय मॉडल पर अधिक विस्तार से ध्यान देने का प्रस्ताव करते हैं। सब कुछ बहुत स्पष्ट करने के लिए, एक उदाहरण दिया जाएगा।

आरंभ करने के लिए, इस दृश्य को वर्णनात्मक कहा जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि हम केवल गणना और पूर्वानुमान करते हैं, लेकिन हम किसी भी तरह से घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते।

एक वर्णनात्मक गणितीय मॉडल का एक आकर्षक उदाहरण एक धूमकेतु की पृथ्वी से उड़ान पथ, गति, दूरी की गणना है जो हमारे सौर मंडल के विस्तार पर आक्रमण करता है। यह मॉडल वर्णनात्मक है, क्योंकि प्राप्त सभी परिणाम हमें केवल किसी प्रकार के खतरे से आगाह कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, हम घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते। हालांकि, प्राप्त गणनाओं के आधार पर, पृथ्वी पर जीवन को संरक्षित करने के लिए कोई उपाय करना संभव है।

अनुकूलन मॉडल

अब हम आर्थिक और गणितीय मॉडलों के बारे में थोड़ी बात करेंगे, जिसके उदाहरण विभिन्न स्थितियाँ हो सकते हैं। इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो कुछ स्थितियों में सही उत्तर खोजने में मदद करते हैं। उनके पास कुछ पैरामीटर होने चाहिए। इसे बहुत स्पष्ट करने के लिए, कृषि भाग से एक उदाहरण पर विचार करें।

हमारे पास अन्न भंडार है, लेकिन अनाज बहुत जल्दी खराब हो जाता है। इस मामले में, हमें सही तापमान शासन चुनने और भंडारण प्रक्रिया को अनुकूलित करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार, हम "अनुकूलन मॉडल" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। गणितीय अर्थ में, यह समीकरणों की एक प्रणाली है (रैखिक और नहीं दोनों), जिसका समाधान किसी विशेष आर्थिक स्थिति में इष्टतम समाधान खोजने में मदद करता है। हमने गणितीय मॉडल (अनुकूलन) का एक उदाहरण माना है, लेकिन मैं एक और बात जोड़ना चाहूंगा: यह प्रकार अत्यधिक समस्याओं के वर्ग से संबंधित है, वे आर्थिक प्रणाली के कामकाज का वर्णन करने में मदद करते हैं।

हम एक और बारीकियों पर ध्यान देते हैं: मॉडल एक अलग प्रकृति के हो सकते हैं (नीचे दी गई तालिका देखें)।

बहु मानदंड मॉडल

अब हम आपको बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इससे पहले, हमने किसी एक मानदंड के अनुसार प्रक्रिया को अनुकूलित करने के लिए गणितीय मॉडल का एक उदाहरण दिया था, लेकिन क्या होगा यदि उनमें से बहुत सारे हैं?

बहु-मापदंड कार्य का एक महत्वपूर्ण उदाहरण लोगों के बड़े समूहों के उचित, स्वस्थ और एक ही समय में किफायती पोषण का संगठन है। सेना, स्कूल कैंटीन, समर कैंप, अस्पताल आदि में इस तरह के कार्य अक्सर सामने आते हैं।

इस कार्य में हमें क्या मापदंड दिए गए हैं?

1. भोजन स्वस्थ होना चाहिए।
2. भोजन का खर्च कम से कम रखा जाना चाहिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये लक्ष्य बिल्कुल मेल नहीं खाते हैं। इसका मतलब यह है कि किसी समस्या को हल करते समय, इष्टतम समाधान की तलाश करना आवश्यक है, दो मानदंडों के बीच संतुलन।

खेल मॉडल

गेम मॉडल के बारे में बोलते हुए, "गेम थ्योरी" की अवधारणा को समझना आवश्यक है। सीधे शब्दों में कहें तो ये मॉडल वास्तविक संघर्षों के गणितीय मॉडल को दर्शाते हैं। यह केवल समझने योग्य है कि, वास्तविक संघर्ष के विपरीत, एक गेम गणितीय मॉडल के अपने विशिष्ट नियम होते हैं।

अब मैं गेम थ्योरी से कम से कम जानकारी दूंगा, जिससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि गेम मॉडल क्या है। और इसलिए, मॉडल में आवश्यक रूप से पार्टियां (दो या अधिक) होती हैं, जिन्हें आमतौर पर खिलाड़ी कहा जाता है।

सभी मॉडलों में कुछ विशेषताएं होती हैं।

गेम मॉडल को जोड़ा या एकाधिक किया जा सकता है। यदि हमारे पास दो विषय हैं, तो संघर्ष जोड़ा जाता है, यदि अधिक - एकाधिक। एक विरोधी खेल को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है, इसे शून्य-योग वाला खेल भी कहा जाता है। यह एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक प्रतिभागी का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर होता है।

सिमुलेशन मॉडल

इस खंड में, हम सिमुलेशन गणितीय मॉडल पर ध्यान केंद्रित करेंगे। कार्यों के उदाहरण हैं:

• सूक्ष्मजीवों की संख्या की गतिशीलता का मॉडल;
• आणविक गति का मॉडल, और इसी तरह।

इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो वास्तविक प्रक्रियाओं के यथासंभव करीब हैं। कुल मिलाकर, वे प्रकृति में किसी भी अभिव्यक्ति की नकल करते हैं। पहले मामले में, उदाहरण के लिए, हम एक कॉलोनी में चींटियों की संख्या की गतिशीलता का मॉडल बना सकते हैं। इस मामले में, आप प्रत्येक व्यक्ति के भाग्य का निरीक्षण कर सकते हैं। इस मामले में, गणितीय विवरण का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, अधिक बार लिखित शर्तें होती हैं:

• पांच दिनों के बाद, मादा अंडे देती है;
• बीस दिनों के बाद चींटी मर जाती है, इत्यादि।

इस प्रकार, एक बड़ी प्रणाली का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। गणितीय निष्कर्ष प्राप्त सांख्यिकीय डेटा का प्रसंस्करण है।

आवश्यकताएं

यह जानना बहुत जरूरी है कि इस प्रकार के मॉडल के लिए कुछ आवश्यकताएं हैं, जिनमें से नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।

बहुमुखी प्रतिभा	एक ही प्रकार की वस्तुओं के समूहों का वर्णन करते समय यह गुण आपको उसी मॉडल का उपयोग करने की अनुमति देता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सार्वभौमिक गणितीय मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु की भौतिक प्रकृति से पूरी तरह स्वतंत्र हैं।
पर्याप्तता	यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह संपत्ति वास्तविक प्रक्रियाओं के सबसे सही पुनरुत्पादन की अनुमति देती है। संचालन समस्याओं में, गणितीय मॉडलिंग की यह संपत्ति बहुत महत्वपूर्ण है। एक मॉडल का एक उदाहरण गैस प्रणाली के उपयोग को अनुकूलित करने की प्रक्रिया है। इस मामले में, गणना और वास्तविक संकेतकों की तुलना की जाती है, परिणामस्वरूप, संकलित मॉडल की शुद्धता की जांच की जाती है।
शुद्धता	इस आवश्यकता का तात्पर्य उन मूल्यों के संयोग से है जो हमें गणितीय मॉडल और हमारी वास्तविक वस्तु के इनपुट मापदंडों की गणना करते समय प्राप्त होते हैं
अर्थव्यवस्था	किसी भी गणितीय मॉडल के लिए मितव्ययिता की आवश्यकता को कार्यान्वयन लागतों की विशेषता होती है। यदि मॉडल के साथ काम मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो यह गणना करना आवश्यक है कि इस गणितीय मॉडल का उपयोग करके एक समस्या को हल करने में कितना समय लगेगा। अगर हम कंप्यूटर एडेड डिज़ाइन की बात कर रहे हैं, तो समय और कंप्यूटर मेमोरी के संकेतकों की गणना की जाती है

मॉडलिंग कदम

कुल मिलाकर, गणितीय मॉडलिंग में चार चरणों को अलग करने की प्रथा है।

1. मॉडल के कुछ हिस्सों को जोड़ने वाले कानूनों का निर्माण।
2. गणितीय समस्याओं का अध्ययन।
3. व्यावहारिक और सैद्धांतिक परिणामों के संयोग का पता लगाना।
4. मॉडल का विश्लेषण और आधुनिकीकरण।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

इस खंड में, हम संक्षेप में इस मुद्दे पर प्रकाश डालेंगे। कार्यों के उदाहरण हो सकते हैं:

• मांस उत्पादों के उत्पादन के लिए एक उत्पादन कार्यक्रम का गठन, उत्पादन का अधिकतम लाभ सुनिश्चित करना;
• एक फर्नीचर कारखाने में उत्पादित होने वाली मेजों और कुर्सियों की इष्टतम संख्या की गणना करके संगठन के लाभ को अधिकतम करना, और इसी तरह।

आर्थिक-गणितीय मॉडल एक आर्थिक अमूर्तता प्रदर्शित करता है, जिसे गणितीय शब्दों और संकेतों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

कंप्यूटर गणितीय मॉडल

कंप्यूटर गणितीय मॉडल के उदाहरण हैं:

• फ्लोचार्ट, डायग्राम, टेबल आदि का उपयोग करते हुए हाइड्रोलिक्स कार्य;
• ठोस यांत्रिकी पर समस्याएं, और इसी तरह।

एक कंप्यूटर मॉडल एक वस्तु या प्रणाली की एक छवि है, जिसे इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

• टेबल;
• ब्लॉक आरेख;
• आरेख;
• ग्राफिक्स, और इतने पर।

साथ ही, यह मॉडल सिस्टम की संरचना और इंटरकनेक्शन को दर्शाता है।

एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण

हम पहले ही बात कर चुके हैं कि आर्थिक-गणितीय मॉडल क्या है। समस्या को हल करने का एक उदाहरण अभी माना जाएगा। वर्गीकरण में बदलाव के साथ लाभ बढ़ाने के लिए रिजर्व की पहचान करने के लिए हमें उत्पादन कार्यक्रम का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

हम समस्या पर पूरी तरह से विचार नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण करेंगे। हमारे कार्य की कसौटी लाभ को अधिकतम करना है। फिर फ़ंक्शन का रूप है: Л=р1*х1+р2*х2… अधिकतम की ओर झुकाव। इस मॉडल में, p प्रति इकाई लाभ है, x उत्पादित इकाइयों की संख्या है। इसके अलावा, निर्मित मॉडल के आधार पर, गणना करना और सारांशित करना आवश्यक है।

एक साधारण गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण

काम।मछुआरा निम्नलिखित पकड़ के साथ लौटा:

• 8 मछलियाँ - उत्तरी समुद्र के निवासी;
• 20% पकड़ - दक्षिणी समुद्र के निवासी;
• स्थानीय नदी से एक भी मछली नहीं मिली।

उसने दुकान से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

तो, इस समस्या का गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण इस प्रकार है। हम मछलियों की कुल संख्या को x के रूप में निरूपित करते हैं। इस शर्त के बाद, 0.2x दक्षिणी अक्षांशों में रहने वाली मछलियों की संख्या है। अब हम सभी उपलब्ध सूचनाओं को मिलाते हैं और समस्या का गणितीय मॉडल प्राप्त करते हैं: x=0.2x+8। हम समीकरण को हल करते हैं और मुख्य प्रश्न का उत्तर प्राप्त करते हैं: उसने स्टोर में 10 मछलियां खरीदीं।

आर्थिक समस्याओं को हल करने का आधार गणितीय मॉडल हैं।

गणित का मॉडलसमस्या गणितीय संबंधों का एक समूह है जो समस्या के सार का वर्णन करता है।

गणितीय मॉडल तैयार करने में शामिल हैं:

• कार्य चर चयन
• प्रतिबंधों की एक प्रणाली तैयार करना
• उद्देश्य समारोह का विकल्प

कार्य चरमात्राएँ X1, X2, Xn कहलाती हैं, जो पूरी तरह से आर्थिक प्रक्रिया की विशेषता हैं। आमतौर पर उन्हें एक सदिश के रूप में लिखा जाता है: X=(X 1 , X 2 ,...,X n)।

प्रतिबंधों की प्रणालीकार्य समीकरणों और असमानताओं का एक समूह है जो विचाराधीन समस्या में सीमित संसाधनों का वर्णन करता है।

लक्ष्य समारोहकार्य को कार्य चर का एक कार्य कहा जाता है जो कार्य की गुणवत्ता को दर्शाता है और जिसके चरम को खोजने की आवश्यकता होती है।

सामान्य तौर पर, एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

इस प्रविष्टि का अर्थ निम्नलिखित है: उद्देश्य फलन (1) और संगत चरों का चरम ज्ञात कीजिए X=(X 1 , X 2 ,...,X n) बशर्ते कि ये चर बाधाओं (2) और गैर की प्रणाली को संतुष्ट करते हों। -नकारात्मकता की स्थिति (3)।

स्वीकार्य समाधानएक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या की (योजना) कोई भी n-आयामी वेक्टर X=(X 1 , X 2 ,...,X n) है जो बाधाओं और गैर-नकारात्मकता स्थितियों की प्रणाली को संतुष्ट करता है।

समस्या रूपों के व्यवहार्य समाधान (योजनाओं) का सेट व्यवहार्य समाधान की सीमा(ओडीआर)।

इष्टतम समाधानएक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का (योजना) समस्या का एक ऐसा व्यवहार्य समाधान (योजना) है, जिसमें उद्देश्य कार्य चरम पर पहुंच जाता है।

गणितीय मॉडल के संकलन का एक उदाहरण

संसाधनों (कच्चे माल) का उपयोग करने का कार्य

स्थिति: n प्रकार के उत्पादों के निर्माण के लिए m प्रकार के संसाधनों का उपयोग किया जाता है। एक गणितीय मॉडल बनाएं।

मालूम:

• b i (i = 1,2,3,...,m) प्रत्येक i-वें प्रकार के संसाधन के भंडार हैं;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) की एक इकाई मात्रा के उत्पादन के लिए प्रत्येक i-वें प्रकार के संसाधन की लागत है उत्पाद का j-वें प्रकार;
• c j (j = 1,2,3,...,n) j-वें प्रकार के उत्पाद की एक इकाई मात्रा की बिक्री से होने वाला लाभ है।

संसाधनों (कच्चे माल) पर दिए गए प्रतिबंधों के साथ अधिकतम लाभ प्रदान करने वाले उत्पादों के उत्पादन के लिए एक योजना तैयार करना आवश्यक है।

फेसला:

हम चर X=(X 1 , X 2 ,...,X n) का एक वेक्टर पेश करते हैं, जहां x j (j = 1,2,...,n) j-वें प्रकार के उत्पादन का आयतन है उत्पाद।

किसी दिए गए वॉल्यूम x j उत्पादों के उत्पादन के लिए i-th प्रकार के संसाधन की लागत ij x j के बराबर है, इसलिए, सभी प्रकार के उत्पादों के उत्पादन के लिए संसाधनों के उपयोग पर प्रतिबंध का रूप है:
j-वें प्रकार के उत्पाद की बिक्री से लाभ c j x j के बराबर है, इसलिए उद्देश्य फलन इसके बराबर है:

जवाब- गणितीय मॉडल इस तरह दिखता है:

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विहित रूप

सामान्य स्थिति में, एक रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या इस तरह से लिखी जाती है कि समीकरण और असमानता दोनों ही बाधाएँ हैं, और चर या तो गैर-ऋणात्मक या मनमाने ढंग से बदल सकते हैं।

उस स्थिति में जब सभी अवरोध समीकरण होते हैं और सभी चर गैर-नकारात्मकता की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को कहा जाता है विहित

इसे निर्देशांक, वेक्टर और मैट्रिक्स संकेतन में दर्शाया जा सकता है।

समन्वय संकेतन में विहित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का रूप है:

मैट्रिक्स संकेतन में विहित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का रूप है:

• ए समीकरणों की प्रणाली के गुणांक का मैट्रिक्स है
• X कार्य चर का एक स्तंभ मैट्रिक्स है
• एओ बाधा प्रणाली के दाहिने भागों का मैट्रिक्स-स्तंभ है

अक्सर, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें सममित कहा जाता है, जो मैट्रिक्स नोटेशन में रूप होते हैं:

एक सामान्य रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को विहित रूप में कम करना

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के अधिकांश तरीकों में, यह माना जाता है कि बाधाओं की प्रणाली में चर की गैर-नकारात्मकता के लिए समीकरण और प्राकृतिक स्थितियां होती हैं। हालांकि, आर्थिक समस्याओं के मॉडल संकलित करते समय, मुख्य रूप से असमानताओं की प्रणाली के रूप में बाधाएं बनती हैं, इसलिए असमानताओं की प्रणाली से समीकरणों की प्रणाली में जाने में सक्षम होना आवश्यक है।

यह इस तरह किया जा सकता है:

एक रैखिक असमानता a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b लें और इसके बाईं ओर कुछ मान x n+1 इस प्रकार जोड़ें कि असमानता समानता बन जाए a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+ए एन एक्स एन +एक्स एन+1 = बी। इसके अलावा, यह मान x n+1 गैर-ऋणात्मक है।

आइए एक उदाहरण के साथ सब कुछ समझते हैं।

उदाहरण 26.1

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को विहित रूप में कम करें:

फेसला:
आइए उद्देश्य फलन का अधिकतम पता लगाने की समस्या पर चलते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम उद्देश्य फ़ंक्शन के गुणांकों के संकेतों को बदलते हैं।
बाधा प्रणाली की दूसरी और तीसरी असमानताओं को समीकरणों में बदलने के लिए, हम गैर-ऋणात्मक अतिरिक्त चर x 4 x 5 पेश करते हैं (यह ऑपरेशन गणितीय मॉडल पर अक्षर डी के साथ चिह्नित है)।
चर x 4 को दूसरी असमानता के बाईं ओर "+" चिह्न के साथ दर्ज किया गया है, क्योंकि असमानता का रूप "≤" है।
चर x 5 तीसरी असमानता के बाईं ओर "-" चिह्न के साथ दर्ज किया गया है, क्योंकि असमानता का रूप "≥" है।
चर x 4 x 5 को गुणांक के साथ उद्देश्य फलन में दर्ज किया जाता है। शून्य के बराबर।
हम समस्या को विहित रूप में लिखते हैं।

उदाहरण 1.5.1।

कुछ आर्थिक क्षेत्र विशेष रूप से अपने दम पर और केवल इस क्षेत्र की आबादी के लिए कई (एन) प्रकार के उत्पादों का उत्पादन करते हैं। यह माना जाता है कि तकनीकी प्रक्रिया पर काम किया गया है, और इन वस्तुओं के लिए जनसंख्या की मांग का अध्ययन किया गया है। उत्पादों के उत्पादन की वार्षिक मात्रा निर्धारित करना आवश्यक है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि यह मात्रा अंतिम और औद्योगिक खपत दोनों प्रदान करनी चाहिए।

आइए इस समस्या का गणितीय मॉडल बनाएं। इसकी स्थिति के अनुसार, निम्नलिखित दिए गए हैं: उत्पादों के प्रकार, उनकी मांग और तकनीकी प्रक्रिया; प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के लिए आउटपुट का आयतन ज्ञात कीजिए।

आइए हम ज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

सी मैं- जनता की मांग मैं-वें उत्पाद ( मैं=1,...,एन); ए आईजेयू- रकम मैं-वें उत्पाद को इस तकनीक का उपयोग करके जे-वें उत्पाद की एक इकाई का उत्पादन करने की आवश्यकता है ( मैं=1,...,एन ; जे=1,...,एन);

एक्स मैं - आउटपुट की मात्रा मैं-वें उत्पाद ( मैं=1,...,एन); समग्रता साथ =(सी 1 ,..., सी एन ) मांग वेक्टर कहा जाता है, संख्या ए आईजेयू- तकनीकी गुणांक, और सेट एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ) रिलीज वेक्टर है।

समस्या की स्थिति से, वेक्टर एक्स दो भागों में बांटा गया है: अंतिम खपत के लिए (वेक्टर साथ ) और प्रजनन (वेक्टर .) एक्स-एस ) वेक्टर के उस हिस्से की गणना करें एक्स जो प्रजनन के लिए जाता है। उत्पादन के लिए हमारे पदनामों के अनुसार एक्स जे j-वें उत्पाद की मात्रा जाती है ए आईजेयू · एक्स जेमात्रा मैं-वें उत्पाद।

फिर योग ए i1 · एक्स 1 +...+ ए में · एक्स एनमूल्य दिखाता है मैं-वां उत्पाद, जो पूरे आउटपुट के लिए आवश्यक है एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ).

इसलिए, समानता होनी चाहिए:

इस तर्क को सभी प्रकार के उत्पादों तक विस्तारित करते हुए, हम वांछित मॉडल पर पहुंचते हैं:

के संबंध में n रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करना एक्स 1 ,...,एक्स एनऔर आवश्यक आउटपुट वेक्टर खोजें।

इस मॉडल को अधिक कॉम्पैक्ट (वेक्टर) रूप में लिखने के लिए, हम संकेतन का परिचय देते हैं:

वर्ग (
) -आव्यूह लेकिनप्रौद्योगिकी मैट्रिक्स कहा जाता है। यह जांचना आसान है कि हमारा मॉडल अब इस तरह लिखा जाएगा: एक्स-एस = आहया

(1.6)

हमें क्लासिक मॉडल मिला " इनपुट आउटपुट ”, जिसके लेखक प्रसिद्ध अमेरिकी अर्थशास्त्री वी। लियोन्टीव हैं।

उदाहरण 1.5.2।

एक तेल रिफाइनरी में तेल के दो ग्रेड होते हैं: ग्रेड लेकिन 10 इकाइयों की मात्रा में, ग्रेड पर- 15 इकाइयां। तेल प्रसंस्करण करते समय, दो सामग्रियां प्राप्त होती हैं: गैसोलीन (हम निरूपित करते हैं बी) और ईंधन तेल ( एम) प्रसंस्करण प्रौद्योगिकी के लिए तीन विकल्प हैं:

मैं: एक इकाई लेकिन+ 2 इकाइयां पर 3 यूनिट देता है। बी+ 2 इकाइयां एम

द्वितीय: 2 इकाइयां लेकिन+ 1 इकाई पर 1 इकाई देता है। बी+ 5 इकाइयां एम

तृतीय: 2 यूनिट लेकिन+ 2 इकाइयां पर 1 इकाई देता है। बी+ 2 इकाइयां एम

गैसोलीन की कीमत $ 10 प्रति यूनिट है, ईंधन तेल $ 1 प्रति यूनिट है।

तेल की उपलब्ध मात्रा के प्रसंस्करण के लिए तकनीकी प्रक्रियाओं का सबसे लाभप्रद संयोजन निर्धारित करना आवश्यक है।

मॉडलिंग से पहले, हम निम्नलिखित बिंदुओं को स्पष्ट करते हैं। यह समस्या की स्थितियों से निम्नानुसार है कि संयंत्र के लिए तकनीकी प्रक्रिया की "लाभप्रदता" को इसके तैयार उत्पादों (गैसोलीन और ईंधन तेल) की बिक्री से अधिकतम आय प्राप्त करने के अर्थ में समझा जाना चाहिए। इस संबंध में, यह स्पष्ट है कि संयंत्र का "पसंद (निर्णय) निर्णय" यह निर्धारित करना है कि कौन सी तकनीक और कितनी बार आवेदन करना है। जाहिर है, ऐसी कई संभावनाएं हैं।

आइए अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

एक्स मैं- उपयोग की मात्रा मैं-वें तकनीकी प्रक्रिया (मैं = 1,2,3). मॉडल के अन्य पैरामीटर (तेल ग्रेड के भंडार, गैसोलीन और ईंधन तेल की कीमतें) ज्ञात.

अब पौधे का एक विशिष्ट निर्णय एक वेक्टर के चुनाव में सिमट गया है एक्स =(x 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) , जिसके लिए संयंत्र का राजस्व बराबर है (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) डॉलर। यहां, 32 डॉलर पहली तकनीकी प्रक्रिया के एक आवेदन से प्राप्त आय है (10 डॉलर 3 इकाइयां। बी+ $1 2 इकाइयां एम= $32)। गुणांक 15 और 12 का क्रमशः दूसरी और तीसरी तकनीकी प्रक्रियाओं के लिए समान अर्थ है। तेल भंडार के लिए लेखांकन निम्नलिखित स्थितियों की ओर जाता है:

विविधता के लिए लेकिन:

विविधता के लिए पर:,

जहां पहली असमानता में गुणांक 1, 2, 2 तकनीकी प्रक्रियाओं के एक बार के अनुप्रयोग के लिए ग्रेड ए तेल की खपत दर हैं मैं,द्वितीय,तृतीयक्रमश। दूसरी असमानता के गुणांकों का ग्रेड बी तेल के लिए समान अर्थ है।

संपूर्ण रूप से गणितीय मॉडल का रूप है:

ऐसा वेक्टर खोजें एक्स = (एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) बढ़ाने के लिए

एफ (एक्स) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

जब शर्तें पूरी होती हैं:

इस प्रविष्टि का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है:

प्रतिबंधों के तहत

(1.7)

हमें तथाकथित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या मिली।

मॉडल (1.7.) एक नियतात्मक प्रकार (अच्छी तरह से परिभाषित तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.3।

निवेशक को अपने लिए न्यूनतम जोखिम के साथ एक निश्चित लाभ प्राप्त करने के लिए एक निश्चित राशि के लिए उन्हें खरीदने के लिए स्टॉक, बॉन्ड और अन्य प्रतिभूतियों का सबसे अच्छा सेट निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। सुरक्षा में निवेश किए गए प्रत्येक डॉलर पर वापसी जे-वें प्रकार, दो संकेतकों द्वारा विशेषता: अपेक्षित लाभ और वास्तविक लाभ। एक निवेशक के लिए, यह वांछनीय है कि प्रतिभूतियों के पूरे सेट के लिए प्रति डॉलर निवेश का अपेक्षित लाभ किसी दिए गए मूल्य से कम नहीं है बी.

ध्यान दें कि इस समस्या के सही मॉडलिंग के लिए, एक गणितज्ञ को प्रतिभूतियों के पोर्टफोलियो सिद्धांत के क्षेत्र में कुछ बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होती है।

आइए हम समस्या के ज्ञात मापदंडों को निरूपित करें:

एन- प्रतिभूतियों के प्रकार की संख्या; ए जे- जे-वें प्रकार की सुरक्षा से वास्तविक लाभ (यादृच्छिक संख्या); से अपेक्षित लाभ है जेवें प्रकार की सुरक्षा।

अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें :

आप जे - प्रकार की प्रतिभूतियों की खरीद के लिए आवंटित धन जे.

हमारे नोटेशन में, निवेश की गई कुल राशि को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: . मॉडल को सरल बनाने के लिए, हम नई मात्राएँ पेश करते हैं

.

इस प्रकार, एक्स मैं- यह प्रकार की प्रतिभूतियों की खरीद के लिए आवंटित सभी निधियों का हिस्सा है जे.

यह स्पष्ट है कि

समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि निवेशक का लक्ष्य न्यूनतम जोखिम के साथ एक निश्चित स्तर का लाभ प्राप्त करना है। अनिवार्य रूप से, जोखिम अपेक्षित लाभ से वास्तविक लाभ के विचलन का एक उपाय है। इसलिए, इसे टाइप I और टाइप j की प्रतिभूतियों के लिए लाभ सहप्रसरण के साथ पहचाना जा सकता है। यहाँ M गणितीय अपेक्षा का पदनाम है।

मूल समस्या के गणितीय मॉडल का रूप है:

प्रतिबंधों के तहत

,
,
,
. (1.8)

हमने प्रतिभूति पोर्टफोलियो की संरचना को अनुकूलित करने के लिए प्रसिद्ध मार्कोविट्ज़ मॉडल प्राप्त किया है।

मॉडल (1.8.) एक स्टोकेस्टिक प्रकार (यादृच्छिकता के तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.4।

एक व्यापार संगठन के आधार पर, न्यूनतम श्रेणी के उत्पादों में से एक के n प्रकार होते हैं। इस उत्पाद के केवल एक प्रकार को ही स्टोर पर डिलीवर किया जाना चाहिए। सामान के प्रकार को चुनना आवश्यक है जिसे स्टोर में लाने की सलाह दी जाती है। यदि उत्पाद प्रकार जेमांग में होगा, तो स्टोर को इसकी बिक्री से लाभ होगा आर जे, अगर यह मांग में नहीं है - नुकसान क्यू जे .

मॉडलिंग से पहले, हम कुछ मूलभूत बिंदुओं पर चर्चा करेंगे। इस समस्या में, निर्णय निर्माता (डीएम) स्टोर है। हालाँकि, परिणाम (अधिकतम लाभ प्राप्त करना) न केवल उसके निर्णय पर निर्भर करता है, बल्कि इस बात पर भी निर्भर करता है कि क्या आयातित सामान मांग में होगा, अर्थात क्या उन्हें आबादी द्वारा खरीदा जाएगा (यह माना जाता है कि किसी कारण से स्टोर करता है जनसंख्या की मांग का अध्ययन करने का अवसर नहीं है)। इसलिए, जनसंख्या को दूसरे निर्णय निर्माता के रूप में माना जा सकता है, जो अपनी पसंद के अनुसार माल के प्रकार का चयन करता है। स्टोर के लिए आबादी का सबसे खराब "निर्णय" है: "आयातित सामान मांग में नहीं हैं।" इसलिए, सभी प्रकार की स्थितियों को ध्यान में रखने के लिए, स्टोर को आबादी को अपने "प्रतिद्वंद्वी" (सशर्त रूप से) के रूप में मानने की जरूरत है, विपरीत लक्ष्य का पीछा करते हुए - स्टोर के लाभ को कम करने के लिए।

इसलिए, हमें दो प्रतिभागियों के विपरीत लक्ष्यों का पीछा करने के साथ निर्णय लेने में समस्या है। आइए हम स्पष्ट करें कि स्टोर बिक्री के लिए माल के प्रकारों में से एक को चुनता है (इसमें n समाधान हैं), और जनसंख्या उन सामानों में से एक को चुनती है जो सबसे बड़ी मांग में है ( एनसमाधान विकल्प)।

गणितीय मॉडल को संकलित करने के लिए, हम एक तालिका बनाते हैं एनरेखाएं और एनकॉलम (कुल एन 2 सेल) और सहमत हैं कि पंक्तियाँ स्टोर की पसंद के अनुरूप हैं, और कॉलम जनसंख्या की पसंद के अनुरूप हैं। फिर सेल (मैं, जे)उस स्थिति से मेल खाती है जब स्टोर चुनता है मैं-वें प्रकार का माल ( मैं-वीं पंक्ति), और जनसंख्या चुनती है जे-वें प्रकार का माल ( जे-वें स्तंभ)। प्रत्येक सेल में, हम स्टोर के दृष्टिकोण से संबंधित स्थिति का एक संख्यात्मक मूल्यांकन (लाभ या हानि) लिखते हैं:

नंबर क्यू मैंस्टोर के नुकसान को दर्शाने के लिए माइनस के साथ लिखा गया; प्रत्येक स्थिति में, जनसंख्या का "अदायगी" (सशर्त रूप से) स्टोर के "अदायगी" के बराबर होता है, जिसे विपरीत संकेत के साथ लिया जाता है।

इस मॉडल का एक संक्षिप्त दृश्य इस प्रकार है:

(1.9)

हमें तथाकथित मैट्रिक्स गेम मिला। मॉडल (1.9.) खेल निर्णय लेने वाले मॉडल का एक उदाहरण है।