एक समद्विबाहु त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त का व्यास। त्रिभुज के परिगत वृत्त

"त्रिभुजों में उत्कीर्ण और परिचालित वृत्त" विषय ज्यामिति पाठ्यक्रम में सबसे कठिन में से एक है। वह कक्षा में बहुत कम समय बिताती है।

हाई स्कूल पाठ्यक्रम के लिए यूएसई परीक्षा पेपर के दूसरे भाग में इस विषय की ज्यामितीय समस्याओं को शामिल किया गया है। इन कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए बुनियादी ज्यामितीय तथ्यों का ठोस ज्ञान और ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में कुछ अनुभव की आवश्यकता होती है।
प्रत्येक त्रिभुज के लिए केवल एक परिबद्ध वृत्त होता है। यह एक वृत्त है जिस पर दिए गए मापदंडों वाले त्रिभुज के तीनों शीर्ष स्थित हैं। इसकी त्रिज्या ज्ञात करना न केवल ज्यामिति पाठ में आवश्यक हो सकता है। डिजाइनरों, कटर, ताला बनाने वालों और कई अन्य व्यवसायों के प्रतिनिधियों को इससे लगातार निपटना पड़ता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, आपको त्रिभुज के प्राचलों और उसके गुणों को जानना होगा। परिबद्ध वृत्त का केंद्र त्रिभुज के लंब समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर है।
मैं आपके ध्यान में केवल त्रिभुज ही नहीं, बल्कि परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के सभी सूत्र लाता हूँ। अंकित वृत्त के सूत्र देखे जा सकते हैं।

ए, बी. साथ -एक त्रिभुज की भुजाएँ


α - कोण विपरीत पक्षए,
एस-त्रिभुज का क्षेत्रफल,

पी-अर्धपरिमापी।

फिर त्रिज्या ज्ञात करने के लिए ( आर) परिबद्ध वृत्त के सूत्रों का प्रयोग करें:

बदले में, त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके की जा सकती है:

और यहाँ कुछ और सूत्र हैं।

1. एक नियमित त्रिभुज के चारों ओर परिवृत्त की त्रिज्या। यदि एक एत्रिभुज की भुजा, तब

2. एक समद्विबाहु त्रिभुज के परितः परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या। रहने दो ए, बीत्रिभुज की भुजाएँ हैं, तो

एक वृत्त का व्यास एक सीधी रेखा खंड है जो वृत्त के केंद्र से गुजरते हुए वृत्त के दो सबसे दूर के बिंदुओं को एक दूसरे से जोड़ता है। व्यास नाम ग्रीक भाषा से आया है और इसका शाब्दिक अर्थ है अनुप्रस्थ। व्यास को लैटिन वर्णमाला के अक्षर D या चिह्न O से निरूपित किया जाता है।

सर्कल व्यास

यह जानने के लिए कि किसी वृत्त का व्यास कैसे ज्ञात किया जाए, आपको सूत्रों को देखना होगा। दो बुनियादी सूत्र हैं जिनके द्वारा आप एक वृत्त के व्यास की गणना कर सकते हैं। पहला डी = 2 आर है। यहां व्यास त्रिज्या के दोगुने के बराबर है, जहां त्रिज्या केंद्र से वृत्त (R) के किसी भी बिंदु की दूरी है। एक उदाहरण पर विचार करें, यदि कार्य में त्रिज्या ज्ञात है और यह 10 सेमी के बराबर है, तो आप आसानी से व्यास का पता लगा सकते हैं। त्रिज्या के इस मान के लिए, हम सूत्र D \u003d 2 * 10 \u003d 20 cm . में स्थानापन्न करते हैं

दूसरा सूत्र परिधि के साथ व्यास को खोजना संभव बनाता है और यह डी \u003d एल / पी जैसा दिखता है, जहां एल परिधि का मान है, और पी पीआई संख्या है, जो लगभग 3.14 के बराबर है। व्यवहार में लागू करने के लिए यह सूत्र बहुत सुविधाजनक है। यदि आपको मैनहोल, टैंक कैप या किसी प्रकार के गड्ढे का व्यास जानने की आवश्यकता है, तो आपको बस उनकी परिधि को मापने और इसे 3.14 से विभाजित करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, परिधि 600 सेमी है, इसलिए डी = 600 / 3.14 = 191.08 सेमी।

परिबद्ध वृत्त का व्यास

परिचालित वृत्त का व्यास भी ज्ञात किया जा सकता है यदि यह एक त्रिभुज में परिबद्ध या अंकित हो। ऐसा करने के लिए, आपको पहले सूत्र का उपयोग करके खुदा हुआ सर्कल के लिए त्रिज्या खोजने की आवश्यकता है: आर = एस / पी, जहां एस त्रिकोण के क्षेत्र को दर्शाता है, और पी इसकी आधा परिधि है, पी बराबर है (ए + बी + सी) / 2। त्रिज्या ज्ञात होने के बाद, आपको पहले सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है। या तुरंत सभी मानों को सूत्र D = 2S/p में बदलें।

यदि आप नहीं जानते कि परिचालित वृत्त का व्यास कैसे ज्ञात किया जाए, तो त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें। आर \u003d (ए * बी * सी) / 4 * एस, एस सूत्र में त्रिकोण के क्षेत्र को इंगित करता है। फिर, इसी तरह, त्रिज्या के मान को सूत्र D = 2R में प्रतिस्थापित करें।

एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के गुणों पर प्रमेयों के प्रमाण

खंड के मध्य लंबवत

परिभाषा 1। खंड के मध्य लंबवतकहा जाता है, इस खंड के लंबवत और इसके मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा (चित्र 1)।

प्रमेय 1. खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु है सिरों से समान दूरी पर यह खंड।

प्रमाण । खंड AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक मनमाना बिंदु D पर विचार करें (चित्र 2), और सिद्ध करें कि त्रिभुज ADC और BDC बराबर हैं।

दरअसल, ये त्रिभुज समकोण त्रिभुज होते हैं जिनके पैर AC और BC बराबर होते हैं, जबकि पैर DC उभयनिष्ठ होते हैं। त्रिभुज ADC और BDC की समानता से, खंड AD और DB की समानता इस प्रकार है। प्रमेय 1 सिद्ध होता है।

प्रमेय 2 (प्रमेय 1 के विपरीत). यदि एक बिंदु एक खंड के सिरों से समान दूरी पर है, तो यह इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रमाण । आइए हम प्रमेय 2 को "विरोधाभास द्वारा" विधि से सिद्ध करें। इसके लिए, मान लीजिए कि कोई बिंदु E खंड के सिरों से समान दूरी पर है, लेकिन इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित नहीं है। आइए हम इस धारणा को एक विरोधाभास में लाते हैं। आइए पहले उस स्थिति पर विचार करें जब बिंदु E और A लंबवत द्विभाजक के विपरीत पक्षों पर स्थित हों (चित्र 3)। इस मामले में, खंड ईए किसी बिंदु पर लंबवत द्विभाजक को काटता है, जिसे हम अक्षर डी द्वारा निरूपित करेंगे।

आइए हम सिद्ध करें कि खंड AE खंड EB से लंबा है। सच में,

इस प्रकार, उस स्थिति में जब बिंदु E और A लंबवत समद्विभाजक के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं, हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है।

अब उस स्थिति पर विचार करें जब बिंदु E और A लंबवत द्विभाजक के एक ही तरफ स्थित हों (चित्र 4)। आइए हम सिद्ध करें कि खंड EB, खंड AE से लंबा है। सच में,

परिणामी विरोधाभास प्रमेय 2 . के प्रमाण को पूरा करता है

त्रिभुज के परिगत वृत्त

परिभाषा 2. त्रिभुज के परिगत एक वृत्त, त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त को कॉल करें (चित्र 5)। इस मामले में त्रिभुज कहा जाता है एक वृत्त में अंकित त्रिभुजया खुदा हुआ त्रिभुज.

एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के गुण। ज्या प्रमेय

आकृतितस्वीरसंपत्ति
मध्य लंबवत
त्रिभुज की भुजाओं तक		 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना .

केंद्र एक वृत्त के न्यून त्रिभुज के परितः परिबद्धकेंद्र के बारे में बताया गया है तीव्र कोण अंदर त्रिकोण।
केंद्र एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्तके बारे में वर्णित के केंद्र आयताकार कर्ण का मध्यबिंदु .
केंद्र एक वृत्त के एक अधिक त्रिभुज के बारे में परिचालितकेंद्र के बारे में बताया गया है कुंठित वृत्त त्रिभुज झूठ बाहर त्रिकोण।

,
वर्ग त्रिकोण

एस = 2आर 2 पाप एपाप बीपाप सी ,
परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:
एक त्रिभुज की भुजाओं का मध्यलंब

सभी लंबवत द्विभाजक एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की ओर खींचा गया, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना .
त्रिभुज के परिगत वृत्त

किसी भी त्रिभुज को एक वृत्त द्वारा परिबद्ध किया जा सकता है। . त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जिस पर त्रिभुज की भुजाओं पर खींचे गए सभी लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।
एक वृत्त का केंद्र एक न्यूनकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित है

केंद्र के बारे में बताया गया है तीव्र कोण वृत्त त्रिभुज झूठ अंदर त्रिकोण।
एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र

के बारे में वर्णित के केंद्र आयताकार वृत्त त्रिभुज है कर्ण का मध्यबिंदु .
एक अधिक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र

केंद्र के बारे में बताया गया है कुंठित वृत्त त्रिभुज झूठ बाहर त्रिकोण।

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानताएँ मान्य होती हैं (साइन प्रमेय):

,

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, A, B, C त्रिभुज के कोण हैं, R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:

एस = 2आर 2 पाप एपाप बीपाप सी ,

जहाँ A, B, C त्रिभुज के कोण हैं, S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के गुणों पर प्रमेयों के प्रमाण

प्रमेय 3. एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की ओर खींचे गए सभी मध्यलंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण । त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB पर खींचे गए दो लंब समद्विभाजकों पर विचार कीजिए और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को O अक्षर से निरूपित कीजिए (चित्र 6)।

चूँकि बिंदु O खण्ड AC के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है, तो, प्रमेय 1 के आधार पर, निम्नलिखित समानता रखती है:

चूँकि बिंदु O खण्ड AB के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है, तो प्रमेय 1 के आधार पर निम्नलिखित समानता रखती है:

इसलिए, समानता सत्य है:

जहां से, प्रमेय 2 का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बिंदु 0 खंड BC के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है। इस प्रकार, तीनों लंबवत समद्विभाजक एक ही बिंदु से गुजरते हैं, जिसे सिद्ध करना था।

परिणाम। किसी भी त्रिभुज को एक वृत्त द्वारा परिबद्ध किया जा सकता है। . त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जिस पर त्रिभुज की भुजाओं पर खींचे गए सभी लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण । आइए बिंदु O पर विचार करें, जिस पर त्रिभुज ABC की भुजाओं पर खींचे गए सभी लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 6)।

प्रमेय 3 को सिद्ध करते समय, निम्नलिखित समानता प्राप्त हुई:

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदु O और त्रिज्या OA, OB, OC पर केन्द्रित वृत्त त्रिभुज ABC के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

आपको चाहिये होगा

  • दिए गए मापदंडों के साथ त्रिभुज
  • दिशा सूचक यंत्र
  • शासक
  • वर्ग
  • ज्या और कोज्या की तालिका
  • गणितीय अवधारणाएं
  • त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करना
  • ज्या और कोज्या के लिए सूत्र
  • त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

अनुदेश

वांछित मापदंडों के साथ एक त्रिकोण बनाएं। एक त्रिभुज या तो तीन भुजाओं पर होता है, या दो भुजाओं पर और उनके बीच एक कोण होता है, या एक भुजा पर और उससे सटे दो कोण होते हैं। त्रिभुज के शीर्षों को A, B, और C, कोणों को α, β, और के रूप में और कोनों के विपरीत पक्षों को a, b, और c के रूप में लेबल करें।

त्रिभुज की सभी भुजाओं की ओर खींचिए और उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जहाँ वे प्रतिच्छेद करते हैं। पक्षों के लिए संबंधित सूचकांकों के साथ ऊंचाई को एच के रूप में नामित करें। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात कीजिए और इसे O के रूप में चिह्नित कीजिए। यह वृत्त का केंद्र होगा। इस प्रकार, इस वृत्त की त्रिज्याएँ OA, OB और OS खंड होंगी।

दो सूत्रों का उपयोग करके त्रिज्या ज्ञात कीजिए। एक के लिए, आपको पहले गणना करने की आवश्यकता है। यह त्रिभुज की सभी भुजाओं के बराबर है जो 2 से विभाजित किसी भी कोण की ज्या है।

इस मामले में, परिचालित वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

दूसरे के लिए, एक पक्ष की लंबाई और विपरीत कोण की ज्या पर्याप्त है।

त्रिज्या की गणना करें और त्रिभुज की परिधि का वर्णन करें।

मददगार सलाह

याद रखें कि त्रिभुज की ऊंचाई कितनी होती है। यह एक कोने से विपरीत दिशा में खींचा गया लंबवत है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल को इन कोणों के योग की ज्या के दोगुने से विभाजित एक भुजा के वर्ग और दो आसन्न कोणों की ज्या के गुणनफल के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

स्रोत:

  • परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या वाली तालिका
  • एक समबाहु के परितः परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

यह एक बहुभुज के चारों ओर घिरा हुआ माना जाता है यदि यह इसके सभी शीर्षों को छूता है। उल्लेखनीय रूप से, इस तरह का केंद्र हलकोंबहुभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से खींचे गए लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है। RADIUSवर्णित हलकोंपूरी तरह से उस बहुभुज पर निर्भर करता है जिसके चारों ओर इसका वर्णन किया गया है।

आपको चाहिये होगा

  • एक बहुभुज की भुजाएँ, उसका क्षेत्रफल/परिधि ज्ञात कीजिए।

अनुदेश

टिप्पणी

एक वृत्त को बहुभुज के चारों ओर तभी परिबद्ध किया जा सकता है जब वह नियमित हो, अर्थात्। इसकी सभी भुजाएँ समान हैं और इसके सभी कोण समान हैं।
यह थीसिस कि एक बहुभुज के चारों ओर घेरे हुए एक वृत्त का केंद्र उसके लंबवत द्विभाजक का प्रतिच्छेदन है, सभी नियमित बहुभुजों के लिए सही है।

स्रोत:

  • बहुभुज की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें

यदि एक बहुभुज के लिए एक परिवृत्त वृत्त का निर्माण करना संभव है, तो इस बहुभुज का क्षेत्रफल परिबद्ध वृत्त के क्षेत्रफल से कम है, लेकिन अंकित वृत्त के क्षेत्रफल से अधिक है। कुछ बहुभुजों के लिए सूत्र ज्ञात करने के लिए जाने जाते हैं RADIUSउत्कीर्ण और परिचालित मंडलियां।

अनुदेश

बहुभुज में अंकित एक वृत्त जो बहुभुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। त्रिकोण के लिए RADIUSमंडलियां: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, जहां p अर्ध-परिधि है; ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाएँ। सूत्र के लिए सरलीकृत किया गया है: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), और त्रिभुज की भुजा है।

एक बहुभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त एक वृत्त है जिस पर बहुभुज के सभी शीर्ष स्थित होते हैं। त्रिभुज के लिए, त्रिज्या सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), जहाँ p अर्ध-परिधि है; ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाएँ। सही के लिए, यह आसान है: आर = ए/3^1/2।

बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण की त्रिज्या और उसकी भुजाओं की लंबाई का अनुपात ज्ञात करना हमेशा संभव नहीं होता है। अधिक बार वे बहुभुज के चारों ओर ऐसे हलकों के निर्माण तक सीमित होते हैं, और फिर भौतिक RADIUSमापक यंत्रों या सदिश स्थान का उपयोग करते हुए वृत्त।
उत्तल बहुभुज के परिबद्ध वृत्त का निर्माण करने के लिए, इसके दो कोणों के द्विभाजक का निर्माण किया जाता है, परिबद्ध वृत्त का केंद्र उनके प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है। त्रिज्या समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु से बहुभुज के किसी भी कोने के शीर्ष तक की दूरी होगी। पक्षों के केंद्रों से बहुभुज के अंदर बने लंबवत के चौराहे पर खुदा हुआ केंद्र (ये लंबवत मध्यिका हैं)। ऐसे दो लंबों का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है। खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या, माध्यिका लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु से बहुभुज की भुजा तक की दूरी के बराबर होती है।

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टिप्पणी

मनमाने ढंग से दिए गए बहुभुज में एक वृत्त को अंकित करना और उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना असंभव है।

मददगार सलाह

एक चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है यदि a + c = b + d, जहाँ a, b, c, d क्रम में चतुर्भुज की भुजाएँ हैं। एक वृत्त को एक चतुर्भुज के चारों ओर परिबद्ध किया जा सकता है यदि इसके सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री तक हो;

एक त्रिभुज के लिए ऐसे वृत्त हमेशा मौजूद होते हैं।

टिप 4: तीन भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना विद्यालय की योजनामिति में सबसे सामान्य कार्यों में से एक है। किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं का ज्ञान होना ही किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पर्याप्त होता है। विशेष मामलों और समबाहु त्रिभुजों में, क्रमशः दो और एक भुजा की लंबाई जानने के लिए पर्याप्त है।

आपको चाहिये होगा

  • त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई, हीरोन का सूत्र, कोज्या प्रमेय

अनुदेश

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए बगुला का सूत्र इस प्रकार है: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))। यदि आप सेमीपरिमीटर p को पेंट करते हैं, तो आपको मिलता है: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) / 2)) = (वर्ग ((ए + बी + सी) (ए + बी-सी) (ए + सी-बी) (बी + सी-ए))) / 4।

उदाहरण के लिए, कोसाइन प्रमेय को लागू करके आप त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं।

कोसाइन के नियम के अनुसार, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC)। प्रस्तुत संकेतन का उपयोग करते हुए, ये इस रूप में भी हो सकते हैं: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC)। इसलिए, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र S = a*c*sin(ABC)/2 से दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से भी ज्ञात होता है। कोण ABC की ज्या को मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इसके रूप में व्यक्त किया जा सकता है: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) साइन को क्षेत्र सूत्र में प्रतिस्थापित करना और इसे चित्रित करना, आप कर सकते हैं त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के सूत्र पर आएं।

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कार्तीय समन्वय प्रणाली में त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने वाले तीन बिंदु इसके शीर्ष हैं। प्रत्येक समन्वय अक्ष के सापेक्ष उनकी स्थिति जानने के बाद, आप इस सपाट आकृति के किसी भी पैरामीटर की गणना कर सकते हैं, जिसमें इसकी परिधि द्वारा सीमित एक भी शामिल है। वर्ग. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

अनुदेश

क्षेत्रफल की गणना के लिए हीरोन के सूत्र का प्रयोग करें त्रिकोण. इसमें आकृति के तीनों पक्षों के आयाम शामिल हैं, इसलिए गणना शुरू करें। प्रत्येक पक्ष की लंबाई निर्देशांक अक्षों पर उसके अनुमानों की लंबाई के वर्गों के योग के मूल के बराबर होनी चाहिए। यदि हम निर्देशांक A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) और C(X₃,Y₃,Z₃) को निरूपित करते हैं, तो उनकी भुजाओं की लंबाई निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)।

गणना को सरल बनाने के लिए, एक सहायक चर - अर्ध-परिधि (पी) दर्ज करें। उस से यह सभी पक्षों की लंबाई का आधा योग है: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √ ((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ).

गणना वर्ग(एस) हेरॉन के सूत्र द्वारा - अर्ध-परिधि के उत्पाद की जड़ और इसके बीच का अंतर और प्रत्येक पक्ष की लंबाई लें। सामान्य शब्दों में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: S = (P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂) ² + ( Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√ ((X₁ -X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²))।

व्यावहारिक गणना के लिए, विशेष कैलकुलेटर का उपयोग करना सुविधाजनक है। ये कुछ साइटों के सर्वर पर होस्ट की गई स्क्रिप्ट हैं जो आपके द्वारा उपयुक्त रूप में दर्ज किए गए निर्देशांक के आधार पर सभी आवश्यक गणनाएं करेंगी। एकमात्र ऐसी सेवा - यह गणना के प्रत्येक चरण के लिए स्पष्टीकरण और औचित्य प्रदान नहीं करती है। इसलिए, यदि आप केवल अंतिम परिणाम में रुचि रखते हैं, और सामान्य गणनाओं में नहीं, उदाहरण के लिए, पृष्ठ http://planetcalc.ru/218/ पर जाएं।

प्रपत्र फ़ील्ड में, प्रत्येक कोने के प्रत्येक निर्देशांक दर्ज करें त्रिकोण- वे यहाँ कुल्हाड़ी, अय, अज़, आदि के रूप में हैं। यदि त्रिभुज द्वि-आयामी निर्देशांक द्वारा दिया जाता है, तो फ़ील्ड में - Az, Bz और Cz - शून्य लिखें। "गणना सटीकता" फ़ील्ड में, प्लस या माइनस माउस पर क्लिक करके दशमलव स्थानों की वांछित संख्या निर्धारित करें। प्रपत्र के नीचे रखे नारंगी बटन "गणना" को दबाने की आवश्यकता नहीं है, इसके बिना गणना की जाएगी। आपको उत्तर शिलालेख "स्क्वायर ." के बगल में मिलेगा त्रिकोण”- यह नारंगी बटन के ठीक नीचे स्थित है।

स्रोत:

  • बिंदुओं पर शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

कभी-कभी एक उत्तल बहुभुज इस प्रकार खींचा जा सकता है कि सभी कोनों के शीर्ष उस पर स्थित हों। बहुभुज के संबंध में इस तरह के एक चक्र को परिवृत्त कहा जाना चाहिए। उसकी केंद्रखुदा हुआ चित्र की परिधि के अंदर नहीं होना चाहिए, लेकिन वर्णित के गुणों का उपयोग करना हलकों, इस बिंदु को खोजना आमतौर पर बहुत मुश्किल नहीं है।

आपको चाहिये होगा

  • शासक, पेंसिल, चांदा या वर्ग, परकार।

अनुदेश

यदि वह बहुभुज जिसके चारों ओर आप वृत्त का वर्णन करना चाहते हैं, कागज पर खींचा गया है, तो खोजने के लिए केंद्रऔर एक शासक, पेंसिल और चांदा या वर्ग के लिए एक वृत्त पर्याप्त है। आकृति के किसी भी पक्ष की लंबाई को मापें, इसके मध्य का निर्धारण करें और चित्र के इस स्थान पर एक सहायक बिंदु लगाएं। एक वर्ग या एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके, बहुभुज के अंदर इस तरफ लंबवत एक खंड खींचें जब तक कि यह विपरीत पक्ष के साथ छेड़छाड़ न करे।

बहुभुज के किसी अन्य पक्ष के साथ भी यही ऑपरेशन करें। दो निर्मित खंडों का प्रतिच्छेदन वांछित बिंदु होगा। यह वर्णित की मुख्य संपत्ति से इस प्रकार है हलकों- उसकी केंद्रउत्तल बहुभुज में किसी भी भुजा के साथ हमेशा इन पर खींचे गए लंबवत द्विभाजक के चौराहे के बिंदु पर स्थित होता है

बहुत बार, ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, आपको सहायक आंकड़ों के साथ कार्य करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, एक उत्कीर्ण या परिबद्ध वृत्त आदि की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। यह लेख आपको दिखाएगा कि त्रिभुज के परिगत एक वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात की जाती है। या, दूसरे शब्दों में, उस वृत्त की त्रिज्या जिसमें त्रिभुज अंकित है।

त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें - सामान्य सूत्र

सामान्य सूत्र इस प्रकार है: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), जहां R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, p त्रिभुज की परिधि को 2 से विभाजित करता है (आधा परिधि)। a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि a = 3, b = 6, c = 7 हो।

इस प्रकार, उपरोक्त सूत्र के आधार पर, हम अर्ध-परिधि की गणना करते हैं:
पी = (ए + बी + सी)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:
आर = 3 × 6 × 7/4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) = 126/4√ (8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 5.

उत्तर: आर = 126/16√5

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, एक बहुत ही सरल सूत्र है: R = a/√3, जहाँ a इसकी भुजा का आकार है।

उदाहरण: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 5 है। परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

चूँकि एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, समस्या को हल करने के लिए, आपको बस इसका मान सूत्र में दर्ज करना होगा। हम पाते हैं: आर = 5/√3।

उत्तर: आर = 5/√3।


एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें

सूत्र इस तरह दिखता है: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, जहां a और b पैर हैं और c कर्ण है। यदि हम पैरों के वर्गों को एक समकोण त्रिभुज में जोड़ते हैं, तो हमें कर्ण का वर्ग प्राप्त होता है। जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, यह व्यंजक मूल के अंतर्गत है। कर्ण के वर्ग के मूल की गणना करने से हमें लंबाई ही मिल जाती है। परिणामी व्यंजक को 1/2 से गुणा करने पर अंततः हमें व्यंजक 1/2 × c = c/2 प्राप्त होता है।

उदाहरण: यदि त्रिभुज के पैर 3 और 4 हैं, तो परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या की गणना करें। मानों को सूत्र में रखें। हम पाते हैं: आर = 1/2 × (3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5।

इस व्यंजक में कर्ण की लंबाई 5 है।

उत्तर: आर = 2.5।


एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें

सूत्र इस तरह दिखता है: R = a² / (4a² - b²), जहां a त्रिभुज की जांघ की लंबाई है और b आधार की लंबाई है।

उदाहरण: एक वृत्त की त्रिज्या की गणना करें यदि उसका कूल्हा = 7 और उसका आधार = 8 है।

समाधान: हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: R \u003d 7² / (4 × 7² - 8²)।

आर = 49/√(196 - 64) = 49/√132। उत्तर सीधे इस तरह लिखा जा सकता है।

उत्तर: आर = 49/√132


एक वृत्त की त्रिज्या की गणना के लिए ऑनलाइन संसाधन

इन सभी फ़ार्मुलों में भ्रमित होना बहुत आसान है। इसलिए, यदि आवश्यक हो, तो आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं जो आपको त्रिज्या खोजने के लिए समस्याओं को हल करने में मदद करेगा। ऐसे मिनी कार्यक्रमों के संचालन का सिद्धांत बहुत सरल है। पक्ष के मान को उपयुक्त क्षेत्र में रखें और तैयार उत्तर प्राप्त करें। आप उत्तर को पूर्णांकित करने के लिए कई विकल्प चुन सकते हैं: दशमलव, सौवां, हज़ारवां, आदि।

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