प्रमेय में सेकन्ट्स की पारस्परिक व्यवस्था पर कोई प्रतिबंध नहीं है (यह प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं और समानांतर रेखाओं दोनों के लिए सही है)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखा खंड secant पर कहाँ हैं।

समानांतर रेखाओं के मामले में सबूत

आइए एक रेखा BC खींचते हैं। कोण ABC और BCD समान हैं, जैसे समांतर रेखाओं AB और CD और छेदक BC के नीचे स्थित आंतरिक क्रॉस, और कोण ACB और CBD समान हैं, जैसे कि समानांतर रेखा AC और BD और छेद BC के नीचे स्थित आंतरिक क्रॉस। फिर, त्रिभुजों की समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार, त्रिभुज ABC और DCB सर्वांगसम हैं। इसका मतलब है कि एसी = बीडी और एबी = सीडी। ■

भी मौजूद है आनुपातिक खंड प्रमेय:

समांतर रेखाएं आनुपातिक खंडों को सेकेंट पर काटती हैं: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3)।

थेल्स प्रमेय आनुपातिक खंड प्रमेय का एक विशेष मामला है, क्योंकि समान खंडों को आनुपातिक खंड माना जा सकता है जिसमें आनुपातिकता गुणांक 1 के बराबर है।

उलटा प्रमेय

यदि थेल्स प्रमेय में समान खंड शीर्ष से शुरू होते हैं (यह सूत्र अक्सर स्कूली साहित्य में उपयोग किया जाता है), तो विलोम प्रमेय भी सत्य हो जाएगा। प्रतिच्छेदन खंडों के लिए, इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है:

इस प्रकार (अंजीर देखें।) इस तथ्य से कि $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$यह इस प्रकार है कि प्रत्यक्ष $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

यदि छेदक समानांतर हैं, तो यह आवश्यक है कि आपस में दोनों खंडों पर खंडों की समानता की आवश्यकता हो, अन्यथा यह कथन गलत हो जाता है (एक प्रतिउदाहरण एक समलम्बाकार है जो आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होता है)।

विविधताएं और सामान्यीकरण

निम्नलिखित कथन Sollertinsky के लेम्मा के लिए दोहरा है:

समुद्री नौवहन में थेल्स प्रमेय का प्रयोग आज भी एक नियम के रूप में किया जाता है कि यदि जहाज एक-दूसरे की ओर बढ़ते रहें तो स्थिर गति से चलने वाले जहाजों के बीच टकराव अपरिहार्य है। रूसी भाषा के साहित्य के बाहर, थेल्स प्रमेय को कभी-कभी प्लानिमेट्री का एक और प्रमेय कहा जाता है, अर्थात्, यह कथन कि एक वृत्त के व्यास के आधार पर एक उत्कीर्ण कोण एक सही है। इस प्रमेय की खोज का श्रेय वास्तव में थेल्स को दिया जाता है, जैसा कि प्रोक्लस द्वारा प्रमाणित किया गया है। "थेल्स की प्रमेय" लेख पर एक समीक्षा लिखें। साहित्य अतानासियन एल.एस. और अन्य।ज्यामिति 7-9। - ईडी। तीसरा। - एम।: ज्ञानोदय, 1992। टिप्पणियाँ यह सभी देखें एक वृत्त के व्यास के आधार पर कोण पर थेल्स का प्रमेय थेल्स प्रमेय की विशेषता वाला एक अंश "मैं कुछ नहीं सोचता, मैं बस इसे नहीं समझता ... - रुको, सोन्या, तुम सब कुछ समझ जाओगी। देखें कि वह किस तरह का व्यक्ति है। मेरे या उसके बारे में बुरा मत सोचो। "मैं किसी के बारे में बुरा नहीं सोचता: मैं सभी से प्यार करता हूं और सभी के लिए खेद महसूस करता हूं। लेकिन मुझे क्या करना है? सोन्या ने उस कोमल लहजे को नहीं छोड़ा जिसके साथ नताशा ने उसे संबोधित किया था। नताशा के हाव-भाव जितने कोमल और खोजी थे, सोन्या का चेहरा उतना ही गंभीर और कठोर था। "नताशा," उसने कहा, "तुमने मुझे तुमसे बात न करने के लिए कहा, मैंने नहीं किया, अब तुम खुद शुरू हो। नताशा, मुझे उस पर विश्वास नहीं है। यह रहस्य क्यों? - फिर फिर! नताशा बाधित. - नताशा, मुझे तुम्हारे लिए डर लग रहा है। - क्या डरना है? "मुझे डर है कि आप खुद को बर्बाद कर लेंगे," सोन्या ने निर्णायक रूप से कहा, जो उसने कहा उससे खुद डर गई। नताशा के चेहरे पर फिर गुस्सा आ गया। "और मैं नष्ट कर दूंगा, मैं नष्ट कर दूंगा, मैं जितनी जल्दी हो सके खुद को नष्ट कर दूंगा। तुमसे मतलब। तुम्हारे लिए नहीं, लेकिन मेरे लिए यह बुरा होगा। छोड़ो, मुझे छोड़ दो। मुझे आपसे नफ़रत है। - नताशा! सोन्या ने डर के मारे पुकारा। - मुझे इससे नफरत है, मुझे इससे नफरत है! और तुम हमेशा के लिए मेरे दुश्मन हो! नताशा कमरे से बाहर भागी। नताशा अब सोन्या से बात नहीं करती थी और उससे बचती थी। उत्तेजित आश्चर्य और आपराधिकता की समान अभिव्यक्ति के साथ, उसने पहले यह और फिर दूसरा व्यवसाय लिया और तुरंत उन्हें छोड़ दिया। सोन्या के लिए चाहे कितनी भी मुश्किल क्यों न हो, उसने अपनी दोस्त पर नजरें गड़ा दीं। जिस दिन गिनती वापस आने वाली थी, सोन्या ने देखा कि नताशा पूरी सुबह लिविंग रूम की खिड़की पर बैठी थी, मानो किसी चीज़ का इंतज़ार कर रही हो और उसने गुज़रते सैनिक को किसी तरह का संकेत दिया हो, जिसे सोन्या ने अनातोले के लिए गलत समझा। सोन्या ने अपने दोस्त को और भी अधिक ध्यान से देखना शुरू कर दिया और देखा कि नताशा दोपहर के भोजन और शाम के हर समय एक अजीब और अप्राकृतिक स्थिति में थी (उसने उससे पूछे गए सवालों के अनुपयुक्त उत्तर दिए, शुरू किया और वाक्यांशों को समाप्त नहीं किया, हर चीज पर हँसी)। चाय के बाद, सोन्या ने देखा कि एक डरपोक नौकरानी नताशा के दरवाजे पर उसका इंतजार कर रही है। उसने इसे अंदर जाने दिया, और, दरवाजे पर छिपकर, पता चला कि पत्र फिर से सौंप दिया गया था। और अचानक सोन्या को यह स्पष्ट हो गया कि नताशा के पास इस शाम के लिए किसी तरह की भयानक योजना थी। सोन्या ने दरवाजा खटखटाया। नताशा ने उसे अंदर नहीं जाने दिया। "वह उसके साथ भाग जाएगी! सोन्या ने सोचा। वह सब कुछ करने में सक्षम है। आज उसके चेहरे पर कुछ विशेष रूप से दयनीय और दृढ़ था। वह फूट-फूट कर रोने लगी, अपने चाचा को अलविदा कहते हुए, सोन्या को याद आया। हाँ, यह सही है, वह उसके साथ दौड़ती है - लेकिन मुझे क्या करना चाहिए? सोन्या ने सोचा, अब उन संकेतों को याद करते हुए जो स्पष्ट रूप से साबित करते हैं कि नताशा का किसी तरह का भयानक इरादा क्यों था। "कोई गिनती नहीं है। मुझे क्या करना चाहिए, कुरागिन को पत्र लिखकर उससे स्पष्टीकरण मांगना चाहिए? लेकिन उसे जवाब देने के लिए कौन कहता है? पियरे को लिखें, जैसा कि प्रिंस आंद्रेई ने दुर्घटना के मामले में पूछा था? ... लेकिन शायद, वास्तव में, उसने बोल्कॉन्स्की को पहले ही मना कर दिया था (उसने कल राजकुमारी मरिया को एक पत्र भेजा था)। कोई चाचा नहीं हैं!" सोन्या को मरिया दिमित्रिग्ना को बताना भयानक लग रहा था, जो नताशा में इतना विश्वास करती थी। लेकिन एक तरह से या किसी अन्य, सोन्या ने सोचा, एक अंधेरे गलियारे में खड़ा है: अब या कभी नहीं यह साबित करने का समय आ गया है कि मैं उनके परिवार के अच्छे कामों को याद करता हूं और निकोलस से प्यार करता हूं। नहीं, मैं कम से कम तीन रातों तक नहीं सोऊंगा, लेकिन मैं इस गलियारे को नहीं छोड़ूंगा और उसे जबरदस्ती नहीं जाने दूंगा, और उनके परिवार पर शर्म नहीं आने दूंगा, ”उसने सोचा। अनातोले हाल ही में डोलोखोव चले गए। रोस्तोवा के अपहरण की योजना पहले से ही सोची गई थी और कई दिनों तक डोलोखोव द्वारा तैयार की गई थी, और जिस दिन सोन्या ने नताशा को दरवाजे पर सुना, उसकी रक्षा करने का फैसला किया, इस योजना को अंजाम दिया जाना था। नताशा ने शाम को दस बजे कुरागिन को पीछे के बरामदे में जाने का वादा किया। कुरागिन को उसे एक तैयार ट्रोइका में रखना था और उसे मास्को से 60 मील दूर कमेंका गाँव ले जाना था, जहाँ एक छंटनी वाला पुजारी तैयार किया गया था, जो उनसे शादी करने वाला था। कामेनका में, एक सेट-अप तैयार था, जो उन्हें वार्शवस्काया रोड पर ले जाने वाला था, और वहाँ उन्हें डाक पर विदेश यात्रा करनी थी। अनातोले के पास एक पासपोर्ट था, और एक यात्री का, और उसकी बहन से दस हजार पैसे लिए गए, और दस हजार डोलोखोव के माध्यम से उधार लिए गए। दो गवाह - खवोस्तिकोव, पूर्व क्लर्क, जिसे डोलोखोव और मकारिन खेलते थे, एक सेवानिवृत्त हुसार, एक अच्छे स्वभाव वाला और कमजोर आदमी, जिसे कुरागिन से असीम प्यार था - चाय के पहले कमरे में बैठे थे। डोलोखोव के बड़े कार्यालय में, फारसी कालीनों, भालू की खाल और हथियारों के साथ दीवार से छत तक सजाए गए, डोलोखोव एक खुले ब्यूरो के सामने एक यात्रा बैशमेट और जूते में बैठे थे, जिस पर बिल और पैसे के डिब्बे थे। अनातोले, अपनी बिना बटन वाली वर्दी में, उस कमरे से चले जहां गवाह बैठे थे, कार्यालय के माध्यम से पीछे के कमरे में, जहां उनके फ्रांसीसी फुटमैन और अन्य लोग आखिरी चीजें पैक कर रहे थे। डोलोखोव ने पैसे गिने और उसे लिख दिया। "ठीक है," उन्होंने कहा, "खवोस्तिकोव को दो हजार दिए जाने चाहिए। - अच्छा, मुझे जाने दो, - अनातोले ने कहा। - मकरका (जिसे वे मकरिना कहते हैं), यह आग और पानी के माध्यम से आपके लिए निःस्वार्थ भाव से है। खैर, स्कोर खत्म हो गया है, - डोलोखोव ने उसे एक नोट दिखाते हुए कहा। - इसलिए? "हाँ, बिल्कुल, ऐसा ही है," अनातोले ने कहा, जाहिरा तौर पर डोलोखोव की बात नहीं सुन रहा था और एक मुस्कान के साथ जिसने अपना चेहरा नहीं छोड़ा, उसके आगे देख रहा था।

समानांतर और secant के बारे में।

रूसी भाषा के साहित्य के बाहर, थेल्स प्रमेय को कभी-कभी प्लानिमेट्री का एक और प्रमेय कहा जाता है, अर्थात्, यह कथन कि एक वृत्त के व्यास के आधार पर एक उत्कीर्ण कोण एक सही है। इस प्रमेय की खोज का श्रेय वास्तव में थेल्स को दिया जाता है, जैसा कि प्रोक्लस द्वारा प्रमाणित किया गया है।

शब्दों

यदि दो सीधी रेखाओं में से एक पर कई समान खंड क्रमिक रूप से अलग रखे जाते हैं और दूसरी सीधी रेखा को काटते हुए उनके सिरों से समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे दूसरी सीधी रेखा पर समान खंडों को काट देंगे।

एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण, जिसे भी कहा जाता है आनुपातिक खंड प्रमेय

समांतर रेखाएं आनुपातिक खंडों को सेकेंट पर काटती हैं:

ए 1 ए 2 बी 1 बी 2 = ए 2 ए 3 बी 2 बी 3 = ए 1 ए 3 बी 1 बी 3। (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

टिप्पणियों

• प्रमेय में सेकन्ट्स की पारस्परिक व्यवस्था पर कोई प्रतिबंध नहीं है (यह प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं और समानांतर रेखाओं दोनों के लिए सही है)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखा खंड secant पर कहाँ हैं।

• थेल्स प्रमेय आनुपातिक खंड प्रमेय का एक विशेष मामला है, क्योंकि समान खंडों को आनुपातिक खंड माना जा सकता है जिसमें आनुपातिकता गुणांक 1 के बराबर है।

सेकेंडों के मामले में सबूत

खंडों के असंबद्ध जोड़े के साथ एक प्रकार पर विचार करें: कोण को सीधी रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेद करने दें ए ए 1 | | बी बी 1 | | सी सी 1 | | डी डी 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))और जिसमें ए बी = सी डी (\displaystyle एबी=सीडी).

1. बिंदुओं से गुजरें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)और सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)कोण की दूसरी भुजा के समानांतर सीधी रेखाएँ। ए बी 2 बी 1 ए 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1))और सी डी 2 डी 1 सी 1 (\डिस्प्लेस्टाइल सीडी_(2)डी_(1)सी_(1)). समांतर चतुर्भुज संपत्ति के अनुसार: ए बी 2 = ए 1 बी 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1))और सी डी 2 = सी 1 डी 1 (\डिस्प्लेस्टाइल सीडी_(2)=सी_(1)डी_(1)).
2. त्रिभुज △ ए बी बी 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2))और △ सी डी डी 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2))त्रिभुजों की समानता के दूसरे मानदंड के आधार पर बराबर हैं

समानांतर रेखाओं के मामले में सबूत

आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं ईसा पूर्व. कोने एबीसीऔर बीसीडीसमान्तर रेखाओं पर स्थित आंतरिक क्रॉस के समान हैं अबऔर सीडीऔर secant ईसा पूर्व, और कोण एसीबीऔर सीबीडीसमान्तर रेखाओं पर स्थित आंतरिक क्रॉस के समान हैं एसीऔर बीडीऔर secant ईसा पूर्व. फिर, त्रिभुजों की समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार, त्रिभुज एबीसीऔर डीसीबीबराबर हैं। इसलिए यह इस प्रकार है कि एसी = बीडीऔर अब = सीडी. ■

विविधताएं और सामान्यीकरण

उलटा प्रमेय

यदि थेल्स प्रमेय में समान खंड शीर्ष से शुरू होते हैं (यह सूत्र अक्सर स्कूली साहित्य में उपयोग किया जाता है), तो विलोम प्रमेय भी सत्य हो जाएगा। प्रतिच्छेदन खंडों के लिए, इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है:

इस प्रकार (अंजीर देखें।) इस तथ्य से कि सी बी 1 सी ए 1 = बी 1 बी 2 ए 1 ​​ए 2 = ... (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)ए_(2)))=\ldots ), उसका अनुसरण करता है ए 1 बी 1 | | ए 2 बी 2 | | ... (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

यदि छेदक समानांतर हैं, तो यह आवश्यक है कि आपस में दोनों खंडों पर खंडों की समानता की आवश्यकता हो, अन्यथा यह कथन गलत हो जाता है (एक प्रतिउदाहरण एक समलम्बाकार है जो आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होता है)।

इस प्रमेय का उपयोग नेविगेशन में किया जाता है: एक जहाज से दूसरे जहाज की दिशा बनाए रखने पर निरंतर गति से चलने वाले जहाजों की टक्कर अपरिहार्य है।

सोलेर्टिंस्की का लेम्मा

निम्नलिखित कथन Sollertinsky के लेम्मा के लिए दोहरा है:

रहने दो एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)- रेखा के बिंदुओं के बीच प्रक्षेपी पत्राचार एल (\ डिस्प्लेस्टाइल एल)और प्रत्यक्ष एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम). फिर लाइनों का सेट एक्स एफ (एक्स) (\displaystyle एक्सएफ(एक्स))कुछ के लिए स्पर्शरेखा का सेट होगा

योजना:

परिचय

• 1 उलटा प्रमेय
• 2 संस्कृति में थेल्स का प्रमेय
• 3 रोचक तथ्य
टिप्पणियाँ

परिचय

यह समानांतर रेखा प्रमेय है। व्यास पर आधारित कोण के लिए, एक अन्य प्रमेय देखें।

थेल्स प्रमेय- प्लानिमेट्री के प्रमेयों में से एक।

प्रमेय में सेकन्ट्स की पारस्परिक व्यवस्था पर कोई प्रतिबंध नहीं है (यह प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं और समानांतर रेखाओं दोनों के लिए सही है)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखा खंड secant पर कहाँ हैं।

सेकेंडों के मामले में सबूत

थेल्स प्रमेय का प्रमाण

खंडों के असंबद्ध जोड़े के साथ एक प्रकार पर विचार करें: कोण को सीधी रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेद करने दें एए 1 | | बीबी 1 | | सीसी 1 | | डीडी 1 और जिसमें एबी = सीडी .

समानांतर रेखाओं के मामले में सबूत

आइए एक रेखा BC खींचते हैं। कोण ABC और BCD समान हैं, जैसे समांतर रेखाओं AB और CD और छेदक BC के नीचे स्थित आंतरिक क्रॉस, और कोण ACB और CBD समान हैं, जैसे कि समानांतर रेखा AC और BD और छेद BC के नीचे स्थित आंतरिक क्रॉस। फिर, त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के अनुसार, त्रिभुज ABC और DCB सर्वांगसम हैं। इसका मतलब है कि एसी = बीडी और एबी = सीडी। मैं

भी मौजूद है सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय:

समांतर रेखाएं आनुपातिक खंडों को सेकेंट पर काटती हैं:

थेल्स प्रमेय सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय का एक विशेष मामला है, क्योंकि समान खंडों को आनुपातिक खंड माना जा सकता है जिसमें आनुपातिकता गुणांक 1 के बराबर होता है।

1. उलटा प्रमेय

यदि थेल्स प्रमेय में समान खंड शीर्ष से शुरू होते हैं (यह सूत्र अक्सर स्कूली साहित्य में उपयोग किया जाता है), तो विलोम प्रमेय भी सत्य हो जाएगा। प्रतिच्छेदन खंडों के लिए, इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है:

व्युत्क्रम थेल्स प्रमेय में, यह महत्वपूर्ण है कि समान खंड शीर्ष से शुरू होते हैं

इस प्रकार (अंजीर देखें।) किस प्रकार से रेखाएं।

यदि छेदक समानांतर हैं, तो यह आवश्यक है कि आपस में दोनों खंडों पर खंडों की समानता की आवश्यकता हो, अन्यथा यह कथन गलत हो जाता है (एक प्रतिउदाहरण एक समलम्बाकार है जो आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होता है)।

2. संस्कृति में थेल्स का प्रमेय

अर्जेंटीना संगीत समूह लेस लुथियर्स ( स्पैनिश) प्रमेय को समर्पित एक गीत प्रस्तुत किया। इस गीत के लिए वीडियो क्लिप आनुपातिक अंतराल के लिए प्रत्यक्ष प्रमेय के लिए एक प्रमाण प्रदान करता है।

3. रोचक तथ्य

• समुद्री नौवहन में थेल्स प्रमेय का प्रयोग आज भी एक नियम के रूप में किया जाता है कि यदि जहाज एक-दूसरे की ओर बढ़ते रहें तो स्थिर गति से चलने वाले जहाजों के बीच टकराव अपरिहार्य है।
• रूसी भाषा के साहित्य के बाहर, थेल्स प्रमेय को कभी-कभी प्लानिमेट्री का एक और प्रमेय कहा जाता है, अर्थात्, यह कथन कि एक वृत्त के व्यास के आधार पर एक उत्कीर्ण कोण एक सही है। इस प्रमेय की खोज का श्रेय वास्तव में थेल्स को दिया जाता है, जैसा कि प्रोक्लस द्वारा प्रमाणित किया गया है।
• थेल्स ने मिस्र में ज्यामिति की मूल बातें समझीं।

टिप्पणियाँ

1. El Teorema de Thales द्वारा Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
2. 3. मिस्र की यात्रा / घर / प्राचीन साहित्य और दर्शन। मिलेटस से थेल्स - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet

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यह सार रूसी विकिपीडिया के एक लेख पर आधारित है। 07/16/11 23:06:34 को तुल्यकालन पूरा हुआ
इसी तरह के सार:

यह मकबरा छोटा है, लेकिन इसकी महिमा अपार है।
इसमें आपके सामने बहु-दिमाग वाले थेल्स छिपे हैं।

मिलेटस के थेल्स के मकबरे पर शिलालेख

ऐसी तस्वीर की कल्पना करो। 600 ई.पू मिस्र। आपके सामने मिस्र का एक विशाल पिरामिड है। फिरौन को आश्चर्यचकित करने और उसके पसंदीदा में बने रहने के लिए, आपको इस पिरामिड की ऊंचाई को मापने की आवश्यकता है। आपके पास ... आपके निपटान में कुछ भी नहीं है। आप निराशा में पड़ सकते हैं, या आप क्या कर सकते हैं मिलेटस के थेल्स: त्रिभुज समरूपता प्रमेय का प्रयोग करें। हां, यह पता चला है कि सब कुछ काफी सरल है। मिलेटस के थेल्स ने तब तक इंतजार किया जब तक कि उसकी छाया की लंबाई और उसकी ऊंचाई का मेल नहीं हो गया, और फिर, त्रिकोण समानता प्रमेय का उपयोग करते हुए, पिरामिड की छाया की लंबाई पाई, जो तदनुसार, पिरामिड द्वारा डाली गई छाया के बराबर थी।

यह कौन है मिलेटस के थेल्स? एक व्यक्ति जिसने पुरातनता के "सात बुद्धिमान पुरुषों" में से एक के रूप में प्रसिद्धि प्राप्त की? थेल्स ऑफ मिलेटस एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक हैं जिन्होंने खगोल विज्ञान के साथ-साथ गणित और भौतिकी में उत्कृष्ट प्रदर्शन किया। उनके जीवन के वर्ष केवल लगभग स्थापित किए गए हैं: 625-645 ई.पू

थेल्स के खगोल विज्ञान के ज्ञान के प्रमाणों में निम्नलिखित उदाहरण है। 28 मई, 585 ई.पूमिलेटस द्वारा सूर्य ग्रहण की भविष्यवाणी ने लिडिया और मीडिया के बीच युद्ध को समाप्त करने में मदद की जो पहले से ही 6 साल तक चला था। इस घटना ने मेड्स को इतना भयभीत कर दिया कि वे लिडियन के साथ शांति बनाने के लिए प्रतिकूल परिस्थितियों के लिए सहमत हो गए।

थेल्स को एक साधन संपन्न व्यक्ति के रूप में चित्रित करने वाली किंवदंती काफी व्यापक रूप से जानी जाती है। थेल्स ने अक्सर अपनी गरीबी के बारे में भद्दी टिप्पणियां सुनीं। एक बार उन्होंने यह साबित करने का फैसला किया कि दार्शनिक चाहें तो बहुतायत में रह सकते हैं। सर्दियों में भी थेल्स ने तारों को देखकर यह निश्चय किया कि गर्मियों में जैतून की अच्छी फसल होगी। फिर उसने मिलेटस और किओस में तेल के कुण्डों को किराये पर लिया। यह उन्हें काफी सस्ते में मिला, क्योंकि सर्दियों में व्यावहारिक रूप से उनकी कोई मांग नहीं होती है। जब जैतून ने भरपूर फसल दी, तो थेल्स ने अपने तेल प्रेस को किराए पर देना शुरू कर दिया। इस पद्धति द्वारा एकत्र की गई बड़ी मात्रा में धन को इस बात के प्रमाण के रूप में माना जाता था कि दार्शनिक अपने दिमाग से कमा सकते हैं, लेकिन उनका पेशा ऐसी सांसारिक समस्याओं से अधिक है। वैसे, इस किंवदंती को खुद अरस्तू ने दोहराया था।

जहां तक ​​ज्यामिति की बात है, उनकी कई "खोजें" मिस्रवासियों से उधार ली गई थीं। और फिर भी ग्रीस में ज्ञान के इस हस्तांतरण को थेल्स ऑफ मिलेटस के मुख्य गुणों में से एक माना जाता है।

थेल्स की उपलब्धियाँ निम्नलिखित का सूत्रीकरण और प्रमाण हैं: प्रमेय:

• ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं;
• समान त्रिभुज वे होते हैं जिनमें भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः बराबर होते हैं;
• एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं;
• व्यास वृत्त को समद्विभाजित करता है;
• व्यास पर आधारित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है।

एक अन्य प्रमेय का नाम थेल्स के नाम पर रखा गया है, जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उपयोगी है। इसका सामान्यीकृत और विशेष रूप है, उलटा प्रमेय, सूत्रों के आधार पर सूत्र भी थोड़े भिन्न हो सकते हैं, लेकिन उन सभी का अर्थ एक ही रहता है। आइए इस प्रमेय पर विचार करें।

यदि समांतर रेखाएँ किसी कोण की भुजाओं को काटती हैं और उसकी एक भुजा पर समान खंडों को काटती हैं, तो वे दूसरी तरफ समान खंडों को काटती हैं।

मान लें कि बिंदु ए 1, ए 2, ए 3 कोण के एक पक्ष के साथ समांतर रेखाओं के चौराहे के बिंदु हैं, और बी 1, बी 2, बी 3 समानांतर रेखाओं के दूसरे पक्ष के साथ चौराहे के बिंदु हैं कोना। यह साबित करना आवश्यक है कि यदि ए 1 ए 2 \u003d ए 2 ए 3, फिर बी 1 बी 2 \u003d बी 2 बी 3।

बिंदु B 2 से रेखा A 1 A 2 के समानांतर एक रेखा खींचिए। आइए एक नई सीधी रेखा С 1 С 2 निरूपित करें। समांतर चतुर्भुज A 1 C 1 B 2 A 2 और A 2 B 2 C 2 A 3 पर विचार करें।

समांतर चतुर्भुज गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि A1A2 = C 1 B 2 और A 2 A 3 = B 2 C 2। और चूंकि हमारी स्थिति के अनुसार ए 1 ए 2 \u003d ए 2 ए 3, फिर सी 1 बी 2 \u003d बी 2 सी 2।

और अंत में, त्रिभुजों C 1 B 2 B 1 और ∆ C 2 B 2 B 3 पर विचार करें।

सी 1 बी 2 = बी 2 सी 2 (ऊपर सिद्ध)।

और इसका मतलब यह है कि सी 1 बी 2 बी 1 और Δ सी 2 बी 2 बी 3 त्रिभुजों की समानता के दूसरे संकेत (पक्ष और आसन्न कोणों के साथ) के बराबर होगा।

इस प्रकार, थेल्स प्रमेय सिद्ध होता है।

इस प्रमेय के उपयोग से ज्यामितीय समस्याओं के समाधान में बहुत सुविधा होगी और तेजी आएगी। गणित के इस मनोरंजक विज्ञान में महारत हासिल करने के लिए शुभकामनाएँ!

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

प्रमेय 6.6 (थेल्स प्रमेय)।यदि किसी कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समांतर रेखाएँ उसके एक तरफ के समान खंडों को काटती हैं, तो वे दूसरी तरफ समान खंडों को काटती हैं।(चित्र 131)।

प्रमाण। मान लीजिए कि ए 1, ए 2, ए 3 कोण के एक पक्ष के साथ समानांतर रेखाओं के चौराहे बिंदु हैं और ए 2 ए 1 ​​और ए 3 (छवि 131) के बीच स्थित है। मान लीजिए कि B 1 , B 2 , B 3 कोण की दूसरी भुजा के साथ इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन के संगत बिंदु हैं। आइए हम सिद्ध करें कि यदि ए 1 ए 2 = ए 2 एज़, तो बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3।

आइए हम रेखा A 1 A 3 के समानांतर बिंदु B 2 से होकर एक रेखा EF खींचते हैं। समांतर चतुर्भुज ए 1 ए 2 \u003d एफबी 2, ए 2 ए 3 \u003d बी 2 ई की संपत्ति से और ए 1 ए 2 \u003d ए 2 ए 3, फिर एफबी 2 \u003d बी 2 ई।

त्रिभुज बी 2 बी 1 एफ और बी 2 बी 3 ई दूसरे मानदंड में बराबर हैं। उनके पास सिद्ध द्वारा बी 2 एफ = बी 2 ई है। शीर्ष बी 2 पर कोण लंबवत के बराबर हैं, और कोण बी 2 एफबी 1 और बी 2 ईबी 3 समानांतर ए 1 बी 1 और ए 3 बी 3 और एक सेकेंट ईएफ के साथ स्थित आंतरिक क्रॉसवाइज के बराबर हैं।

त्रिभुजों की समानता से पक्षों की समानता इस प्रकार है: बी 1 बी 2 \u003d बी 2 बी 3। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। थेल्स प्रमेय की स्थिति में कोण की भुजाओं के स्थान पर आप कोई भी दो सीधी रेखाएँ ले सकते हैं, जबकि प्रमेय का निष्कर्ष समान होगा:

समानांतर रेखाएं दो दी गई रेखाओं को काटती हैं और एक रेखा पर समान खंडों को काटती हैं, दूसरी रेखा पर समान खंडों को काटती हैं।

कभी-कभी थेल्स के प्रमेय को इस रूप में भी लागू किया जाएगा।

समस्या (48)। दिए गए खंड AB को n बराबर भागों में विभाजित करें।

फेसला। आइए हम बिंदु A से एक अर्ध-रेखा खींचते हैं जो रेखा AB पर नहीं है (आकृति 132)। अर्ध-रेखा a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n पर समान खंडों को अलग रखें। बिंदुओं A n और B को कनेक्ट करें। बिंदुओं A 1, A 2, ... के माध्यम से ड्रा करें। A n -1 रेखा A n B के समानांतर सीधी रेखाएं। वे खंड AB को बिंदु B 1, B 2, B पर काटती हैं। n-1, जो खंड AB को n बराबर खंडों में विभाजित करता है (थेल्स प्रमेय के अनुसार)।

ए वी पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक