पावर फ़ंक्शन y = x p के डोमेन पर, निम्न सूत्र धारण करते हैं:
; ;
;
; ;
; ;
; .

शक्ति कार्यों के गुण और उनके रेखांकन

शून्य के बराबर एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शन, पी = 0

यदि घात फलन y = x p का घातांक शून्य, p = 0 के बराबर है, तो घात फलन सभी x 0 के लिए परिभाषित है और स्थिर है, एक के बराबर है:
वाई \u003d एक्स पी \u003d एक्स 0 \u003d 1, एक्स 0।

प्राकृतिक विषम घातांक के साथ घात फलन, p = n = 1, 3, 5, ...

प्राकृतिक विषम घातांक n = 1, 3, 5, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। इस तरह के एक संकेतक को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: n = 2k + 1, जहां k = 0, 1, 2, 3, ... एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। नीचे ऐसे कार्यों के गुण और रेखांकन दिए गए हैं।

घातांक n = 1, 3, 5, ... के विभिन्न मूल्यों के लिए एक प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: -∞ < y < ∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
पर -∞< x < 0 выпукла вверх
0 . पर< x < ∞ выпукла вниз
ब्रेकप्वाइंट:एक्स = 0, वाई = 0
एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
एक्स = -1 पर,
y(-1) = (-1) n (-1) 2k+1 = -1
x = 0 के लिए, y(0) = 0 n = 0
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
n = 1 के लिए, फलन स्वयं के विपरीत है: x = y
n 1 के लिए प्रतिलोम फलन घात n का मूल है:

प्राकृतिक सम घातांक के साथ घात फलन, p = n = 2, 4, 6, ...

प्राकृतिक सम घातांक n = 2, 4, 6, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। इस तरह के एक संकेतक को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: n = 2k, जहाँ k = 1, 2, 3, ... एक प्राकृत संख्या है। ऐसे फलनों के गुण और आलेख नीचे दिए गए हैं।

घातांक n = 2, 4, 6, ... के विभिन्न मानों के लिए एक प्राकृतिक सम घातांक के साथ एक शक्ति फलन y = x n का ग्राफ।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: 0 y< ∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x 0 के लिए नीरस रूप से घटता है
x 0 के लिए नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:न्यूनतम, x=0, y=0
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
एक्स = -1 के लिए, y(-1) = (-1) n (-1) 2k = 1
x = 0 के लिए, y(0) = 0 n = 0
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
n = 2 के लिए, वर्गमूल:
n 2 के लिए, घात n का मूल:

पूर्णांक ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन, p = n = -1, -2, -3, ...

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक n = -1, -2, -3, ... के साथ एक शक्ति फलन y = x p = x n पर विचार करें। यदि हम n = -k रखें, जहाँ k = 1, 2, 3, ... एक प्राकृत संख्या है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

घातांक n = -1, -2, -3, ... के विभिन्न मानों के लिए एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ।

विषम घातांक, n = -1, -3, -5, ...

नीचे एक विषम ऋणात्मक घातांक n = -1, -3, -5, ... के साथ y = x n फलन के गुण हैं।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:
x . पर< 0 : выпукла вверх
x > 0 के लिए: उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:
x . पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
एन = -1 के लिए,
नहीं के लिए< -2 ,

सम घातांक, n = -2, -4, -6, ...

नीचे एक ऋणात्मक घातांक n = -2, -4, -6, ... के साथ y = x n फलन के गुण दिए गए हैं।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई > 0
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 : монотонно возрастает
x > 0 के लिए : नीरस रूप से घटते हुए
चरम:नहीं
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:वाई > 0
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:
एन = -2 के लिए,
नहीं के लिए< -2 ,

परिमेय (आंशिक) घातांक के साथ शक्ति फलन

एक परिमेय (आंशिक) घातांक के साथ एक घात फलन y = x p पर विचार करें, जहां n एक पूर्णांक है, m > 1 एक प्राकृत संख्या है। इसके अलावा, n, m में उभयनिष्ठ भाजक नहीं हैं।

भिन्नात्मक सूचक का हर विषम है

मान लीजिए भिन्नात्मक घातांक का हर विषम है: m = 3, 5, 7, .... इस मामले में, पावर फ़ंक्शन x p को सकारात्मक और नकारात्मक x दोनों मानों के लिए परिभाषित किया गया है। ऐसे शक्ति कार्यों के गुणों पर विचार करें जब घातांक p निश्चित सीमा के भीतर हो।

पी नकारात्मक है, पी< 0

माना परिमेय घातांक (विषम हर m = 3, 5, 7, ... के साथ) शून्य से कम है।

घातांक के विभिन्न मूल्यों के लिए एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ घातीय कार्यों के रेखांकन, जहां एम = 3, 5, 7, ... विषम है।

विषम अंश, n = -1, -3, -5, ...

यहां परिमेय ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन y = x p के गुण हैं, जहां n = -1, -3, -5, ... एक विषम ऋणात्मक पूर्णांक है, m = 3, 5, 7 ... एक है विषम प्राकृतिक संख्या।

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:
x . पर< 0 : выпукла вверх
x > 0 के लिए: उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:
x . पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = -1 के लिए, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

सम अंश, n = -2, -4, -6, ...

एक परिमेय ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन y = x p के गुण, जहाँ n = -2, -4, -6, ... एक सम ऋणात्मक पूर्णांक है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृत संख्या है .

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई > 0
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 : монотонно возрастает
x > 0 के लिए : नीरस रूप से घटते हुए
चरम:नहीं
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:वाई > 0
सीमाएं:
; ; ;
निजी मान:
x = -1 के लिए, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1, y(1) = 1 n = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

पी-मान सकारात्मक है, एक से कम, 0< p < 1

परिमेय घातांक के साथ घात फलन का ग्राफ़ (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

विषम अंश, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < +∞
एकाधिक मान: -∞ < y < +∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
x . पर< 0 : выпукла вниз
x > 0 के लिए: उत्तल ऊपर
ब्रेकप्वाइंट:एक्स = 0, वाई = 0
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
संकेत:
x . पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = -1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

सम अंश, n = 2, 4, 6, ...

परिमेय घातांक वाले घात फलन y = x p के गुण, जो 0 के भीतर हैं, प्रस्तुत किए गए हैं।< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < +∞
एकाधिक मान: 0 y< +∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 : монотонно убывает
x > 0 के लिए : नीरस रूप से बढ़ रहा है
चरम:न्यूनतम x = 0, y = 0 . पर
उत्तल: x 0 . पर ऊपर की ओर उत्तल
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
संकेत: x 0, y > 0 . के लिए
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = 1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

घातांक p एक से बड़ा है, p > 1

घातांक के विभिन्न मानों के लिए परिमेय घातांक (p > 1 ) के साथ एक घात फलन का ग्राफ़, जहाँ m = 3, 5, 7, ... विषम है।

विषम अंश, n = 5, 7, 9, ...

एक से अधिक परिमेय घातांक वाले घातांक फलन y = x p के गुण: . जहाँ n = 5, 7, 9, ... एक विषम प्राकृत संख्या है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृत संख्या है।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: -∞ < y < ∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
पर -∞< x < 0 выпукла вверх
0 . पर< x < ∞ выпукла вниз
ब्रेकप्वाइंट:एक्स = 0, वाई = 0
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = -1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

सम अंश, n = 4, 6, 8, ...

एक से अधिक परिमेय घातांक वाले घातांक फलन y = x p के गुण: . जहाँ n = 4, 6, 8, ... एक सम प्राकृत संख्या है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृत संख्या है।

कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक मान: 0 y< ∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x . पर< 0 монотонно убывает
x > 0 के लिए नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:न्यूनतम x = 0, y = 0 . पर
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
;
निजी मान:
x = -1, y(-1) = 1 . के लिए
x = 0 के लिए, y(0) = 0
x = 1, y(1) = 1 . के लिए
रिवर्स फ़ंक्शन:

भिन्नात्मक सूचक का हर सम है

माना भिन्नात्मक घातांक का हर सम हो: m = 2, 4, 6, .... इस मामले में, पावर फ़ंक्शन x p तर्क के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित नहीं है। इसके गुण अपरिमेय घातांक (अगले भाग को देखें) के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के साथ मेल खाते हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ शक्ति फलन

एक अपरिमेय घातांक p के साथ एक शक्ति फलन y = x p पर विचार करें। इस तरह के कार्यों के गुण ऊपर विचार किए गए लोगों से भिन्न होते हैं क्योंकि वे x तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित नहीं होते हैं। तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए, गुण केवल घातांक p के मान पर निर्भर करते हैं और इस पर निर्भर नहीं करते हैं कि p पूर्णांक, परिमेय या अपरिमेय है या नहीं।

y = x p घातांक p के विभिन्न मानों के लिए।

नकारात्मक पी . के साथ पावर फ़ंक्शन< 0

कार्यक्षेत्र:एक्स > 0
एकाधिक मान:वाई > 0
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
सीमाएं: ;
निजी मूल्य: x = 1, y(1) = 1 p = 1 . के लिए

धनात्मक घातांक p > 0 . के साथ घात फलन

संकेतक एक 0 . से कम है< p < 1

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
उत्तल:उत्तल ऊपर
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
निजी मान: x = 0 के लिए, y(0) = 0 p = 0 ।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 . के लिए

संकेतक एक p > 1 . से बड़ा है

कार्यक्षेत्र:एक्स 0
एकाधिक मान:वाई 0
मोनोटोन:एकरसता से बढ़ता है
उत्तल:उत्तल नीचे
ब्रेकप्वाइंट:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएं:
निजी मान: x = 0 के लिए, y(0) = 0 p = 0 ।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 . के लिए

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

यह सभी देखें:

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात फलनों के गुणधर्मों और आलेखों को याद कीजिए।

सम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी समता है, ग्राफ़ op-y अक्ष के संबंध में सममित हैं।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ

विषम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;-1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी विषमता है, मूल के संबंध में रेखांकन सममित हैं।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ

आइए मुख्य परिभाषा को याद करें।

एक परिमेय धनात्मक घातांक वाली एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की डिग्री को एक संख्या कहा जाता है।

एक परिमेय ऋणात्मक घातांक वाली धनात्मक संख्या a की घात को संख्या कहा जाता है।

निम्नलिखित समानता के लिए:

उदाहरण के लिए: ; - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है; मौजूद है, क्योंकि घातांक एक पूर्णांक है,

आइए हम एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों पर विचार करें।

उदाहरण के लिए:

इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आप एक टेबल बना सकते हैं। हम अन्यथा करेंगे: पहले, हम हर के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन करेंगे - हम इसे जानते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ

हर फलन का ग्राफ एक निश्चित बिंदु (1;1) से होकर गुजरता है। मूल फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, यह बिंदु बना रहता है, जब रूट भी शून्य हो जाता है, तो फ़ंक्शन अनंत तक जाता है। और, इसके विपरीत, जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 4)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ

अध्ययनाधीन कार्यों के परिवार से एक और कार्य पर विचार करें।

यह महत्वपूर्ण है कि परिभाषा के अनुसार

हर में फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें: हम इस फ़ंक्शन के ग्राफ को जानते हैं, यह परिभाषा के अपने क्षेत्र में बढ़ता है और बिंदु (1; 1) (चित्रा 5) से गुजरता है।

चावल। 5. फंक्शन ग्राफ

मूल फलन के ग्राफ का निर्माण करते समय, बिंदु (1; 1) बना रहता है, जब मूल भी शून्य हो जाता है, तो फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। और, इसके विपरीत, जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 6)।

चावल। 6. फंक्शन ग्राफ

विचार किए गए उदाहरण यह समझने में मदद करते हैं कि ग्राफ कैसे जाता है और अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के गुण क्या हैं - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक वाला फ़ंक्शन।

इस परिवार के कार्यों के रेखांकन बिंदु (1; 1) से गुजरते हैं, फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है।

समारोह का दायरा:

फ़ंक्शन ऊपर से बाध्य नहीं है, बल्कि नीचे से बाध्य है। फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान है।

फ़ंक्शन निरंतर है, यह सभी सकारात्मक मानों को शून्य से प्लस अनंत तक लेता है।

उत्तल डाउन फंक्शन (चित्र 15.7)

बिंदु A और B को वक्र पर लिया जाता है, उनके माध्यम से एक खंड खींचा जाता है, संपूर्ण वक्र खंड के नीचे होता है, यह स्थिति वक्र पर दो बिंदुओं के मनमाने ढंग से संतुष्ट होती है, इसलिए फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर होता है। चावल। 7.

चावल। 7. किसी फलन की उत्तलता

यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस परिवार के कार्य शून्य से नीचे से बंधे हैं, लेकिन उनका सबसे छोटा मूल्य नहीं है।

उदाहरण 1 - अंतराल पर फलन का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए और के साथ बढ़ता हैएक्स और घट जाता हैएक्स }