आइए पहले हम दो चरों वाले समीकरणों के निकाय के हल की परिभाषा को याद करें।

परिभाषा 1

संख्याओं के एक युग्म को दो चरों वाले समीकरणों के निकाय का हल कहा जाता है, यदि उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त होती है।

आगे हम दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे।

अस्तित्व समीकरणों के सिस्टम को हल करने के चार बुनियादी तरीके: प्रतिस्थापन विधि, जोड़ विधि, चित्रमय विधि, नई चर प्रबंधन विधि। आइए इन विधियों को विशिष्ट उदाहरणों के साथ देखें। पहली तीन विधियों का उपयोग करने के सिद्धांत का वर्णन करने के लिए, हम दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करेंगे:

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि इस प्रकार है: इनमें से कोई भी समीकरण लिया जाता है और $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर $y$ को सिस्टम के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जहां से चर $x.$ पाया जाता है। उसके बाद, हम आसानी से वेरिएबल $y.$ . की गणना कर सकते हैं

उदाहरण 1

आइए हम दूसरे समीकरण $y$ से $x$ के रूप में व्यक्त करें:

पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें, $x$ खोजें:

\ \ \

$y$ खोजें:

जवाब: $(-2,\ 3)$

जोड़ विधि।

एक उदाहरण के साथ इस विधि पर विचार करें:

उदाहरण 2

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(सरणी) \दाएं।\]

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें, हम प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(सरणी) \दाएं।\]

अब दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ते हैं:

\ \ \

दूसरे समीकरण से $y$ खोजें:

\[-6-y=-9\] \

जवाब: $(-2,\ 3)$

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि इस पद्धति में एक या दोनों समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा करना आवश्यक है कि किसी एक चर को जोड़ने पर "गायब हो जाए"।

ग्राफिकल तरीका

चित्रमय विधि इस प्रकार है: प्रणाली के दोनों समीकरणों को समन्वय तल पर प्रदर्शित किया जाता है और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु पाया जाता है।

उदाहरण 3

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(सरणी) \दाएं।\]

आइए हम $y$ को दोनों समीकरणों से $x$ के रूप में व्यक्त करें:

\[\बाएं\( \begin(सरणी)(सी) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

आइए एक ही तल पर दोनों रेखांकन बनाएं:

चित्र 1।

जवाब: $(-2,\ 3)$

नए चर कैसे पेश करें

हम निम्नलिखित उदाहरण में इस विधि पर विचार करेंगे:

उदाहरण 4

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(सरणी) \दाएं .\]

फेसला।

यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(सरणी) \ सही।\]

चलो $2^x=u\ (u>0)$ और $3^y=v\ (v>0)$, हमें मिलता है:

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(सरणी) \दाएं।\]

हम परिणामी प्रणाली को जोड़ विधि द्वारा हल करते हैं। आइए समीकरण जोड़ें:

\ \

फिर दूसरे समीकरण से, हम पाते हैं कि

प्रतिस्थापन पर लौटने पर, हम घातीय समीकरणों की एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(सरणी) \दाएं।\]

हम पाते हैं:

\[\बाएं\( \आरंभ (सरणी) (सी) (एक्स = 0) \\ (वाई = 1) \ अंत (सरणी) \ सही। \]

पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई चित्रमय पद्धति से अधिक विश्वसनीय।

प्रतिस्थापन विधि

हमने इस विधि का उपयोग 7वीं कक्षा में रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए किया था। 7 वीं कक्षा में विकसित किया गया एल्गोरिथ्म दो चर x और y के साथ किन्हीं दो समीकरणों (जरूरी नहीं कि रैखिक हो) की प्रणालियों को हल करने के लिए काफी उपयुक्त है (बेशक, चर को अन्य अक्षरों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जो कोई फर्क नहीं पड़ता)। वास्तव में, हमने पिछले पैराग्राफ में इस एल्गोरिथम का उपयोग किया था, जब दो अंकों की संख्या की समस्या ने गणितीय मॉडल को जन्म दिया, जो कि समीकरणों की एक प्रणाली है। हमने उपरोक्त समीकरणों की इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया है (उदाहरण 1 से 4 देखें)।

दो चर x, y के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम।

1. निकाय के एक समीकरण से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
2. निकाय के किसी अन्य समीकरण में y के स्थान पर परिणामी व्यंजक को रखिए।
3. x के परिणामी समीकरण को हल कीजिए।
4. पहले चरण में प्राप्त व्यंजक y से x में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।
5. उत्तर को मानों के जोड़े (x; y) के रूप में लिखें, जो क्रमशः तीसरे और चौथे चरण में पाए गए।

4) y के प्रत्येक पाए गए मान को सूत्र x \u003d 5 - Zy में बदलें। तो अगर
5) समीकरणों की दी गई प्रणाली के जोड़े (2; 1) और समाधान।

उत्तर: (2; 1);

बीजीय जोड़ विधि

यह विधि, प्रतिस्थापन विधि की तरह, 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित है, जहाँ इसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया गया था। हम निम्नलिखित उदाहरण में विधि के सार को याद करते हैं।

उदाहरण 2समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
सिस्टम के दूसरे समीकरण को उसके पहले समीकरण से घटाएं:

मूल प्रणाली के दो समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ के परिणामस्वरूप, एक ऐसा समीकरण प्राप्त हुआ जो दिए गए सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों की तुलना में सरल है। इस सरल समीकरण के साथ, हमें किसी दिए गए सिस्टम के किसी भी समीकरण को बदलने का अधिकार है, उदाहरण के लिए, दूसरा। तब समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक सरल प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा:

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं कि इस व्यंजक को y के स्थान पर निकाय के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह x के पाए गए मानों को सूत्र में बदलने के लिए बनी हुई है

अगर एक्स = 2 तो

इस प्रकार, हमने सिस्टम के दो समाधान खोजे हैं:

नए चर पेश करने की विधि

आप 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के साथ परिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि से परिचित हो गए। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का सार समान है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से कुछ विशेषताएं हैं जिनकी चर्चा हम निम्नलिखित उदाहरणों में करेंगे।

उदाहरण 3समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर सिस्टम के पहले समीकरण को सरल रूप में फिर से लिखा जा सकता है: आइए इस समीकरण को चर t के संबंध में हल करें:

ये दोनों मान स्थिति को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए चर t के साथ एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ें हैं। लेकिन इसका मतलब है कि या तो जहां से हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि की मदद से, हम सिस्टम के पहले समीकरण को "स्तरीकृत" करने में सक्षम थे, जो दिखने में काफी जटिल है, दो सरल समीकरणों में:

एक्स = 2 वाई; वाई - 2x।

आगे क्या होगा? और फिर प्राप्त किए गए दो सरल समीकरणों में से प्रत्येक को समीकरण x 2 - y 2 \u003d 3 के साथ एक प्रणाली में माना जाना चाहिए, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने में समस्या कम हो जाती है:

पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली के लिए समाधान खोजना और उत्तर में सभी परिणामी मूल्यों के जोड़े शामिल करना आवश्यक है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें, खासकर जब से यहां इसके लिए सब कुछ तैयार है: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में एक्स के बजाय एक्सप्रेशन 2y को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

चूंकि x \u003d 2y, हम क्रमशः x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का फिर से उपयोग करें: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में y के बजाय अभिव्यक्ति 2x को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है। इस प्रकार, उत्तर में केवल पहली प्रणाली के समाधान शामिल किए जाने चाहिए।

उत्तर: (2; 1); (-2; -1)।

दो चर वाले दो समीकरणों के सिस्टम को हल करते समय नए चरों को पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: एक नया चर पेश किया जाता है और सिस्टम के केवल एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में ठीक ऐसा ही हुआ। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में एक साथ दो नए चर पेश किए जाते हैं और उनका उपयोग किया जाता है। उदाहरण 4 में ऐसा ही होगा।

उदाहरण 4समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए दो नए चर पेश करें:

हम सीखते हैं कि तब

यह हमें दिए गए सिस्टम को बहुत सरल रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा, लेकिन नए चर a और b के संबंध में:

a \u003d 1 के बाद से, समीकरण a + 6 \u003d 2 से हम पाते हैं: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. इस प्रकार, चर a और b के लिए, हमें एक हल मिला:

चर x और y पर लौटने पर, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

हम इस प्रणाली को हल करने के लिए बीजीय जोड़ विधि लागू करते हैं:

तब से समीकरण 2x + y = 3 से हम पाते हैं:
इस प्रकार, चर x और y के लिए, हमें एक हल मिला:

आइए इस खंड को एक संक्षिप्त लेकिन गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ समाप्त करें। आप पहले ही विभिन्न समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर चुके हैं: रैखिक, वर्ग, तर्कसंगत, अपरिमेय। आप जानते हैं कि एक समीकरण को हल करने का मुख्य विचार यह है कि एक समीकरण से दूसरे में धीरे-धीरे जाना, सरल लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर। पिछले भाग में, हमने दो चरों वाले समीकरणों के लिए तुल्यता की धारणा का परिचय दिया था। इस अवधारणा का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा।

चर x और y वाले समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समान समाधान हैं या यदि दोनों प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

इस खंड में हमने जिन तीनों विधियों (प्रतिस्थापन, बीजगणितीय जोड़ और नए चरों का परिचय) की चर्चा की है, वे तुल्यता की दृष्टि से बिल्कुल सही हैं। दूसरे शब्दों में, इन विधियों का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली को दूसरे, सरल, लेकिन मूल प्रणाली के समतुल्य से बदल देते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि

हम पहले ही सीख चुके हैं कि प्रतिस्थापन की विधि, बीजीय योग और नए चरों के परिचय जैसे सामान्य और विश्वसनीय तरीकों से समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए। और अब आइए उस विधि को याद करें जिसका अध्ययन आप पिछले पाठ में कर चुके हैं। अर्थात्, आलेखीय समाधान पद्धति के बारे में आप जो जानते हैं उसे दोहराते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करने की विधि प्रत्येक विशिष्ट समीकरणों के लिए एक ग्राफ का निर्माण है जो इस प्रणाली में शामिल हैं और एक ही समन्वय विमान में हैं, और जहां इन ग्राफों के बिंदुओं के चौराहे को खोजने की आवश्यकता है। . समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए इस बिंदु (x; y) के निर्देशांक हैं।

यह याद रखना चाहिए कि समीकरणों की एक ग्राफिकल प्रणाली के लिए या तो एक एकल सही समाधान, या अनंत संख्या में समाधान होना, या समाधान बिल्कुल नहीं होना आम बात है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक समाधान पर करीब से नज़र डालें। और इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान हो सकता है यदि रेखाएं, जो कि सिस्टम के समीकरणों के ग्राफ हैं, प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ये रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों की ऐसी प्रणाली का कोई हल नहीं है। प्रणाली के समीकरणों के प्रत्यक्ष रेखांकन के संयोग के मामले में, ऐसी प्रणाली आपको कई समाधान खोजने की अनुमति देती है।

खैर, अब आइए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग करके 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर एक नज़र डालें:

सबसे पहले, हम पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं;
दूसरा चरण दूसरे समीकरण से संबंधित एक ग्राफ तैयार करना होगा;
तीसरा, हमें रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है।
और परिणामस्वरूप, हमें प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिलते हैं, जो समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ और अधिक विस्तार से देखें। हमें हल करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

समीकरण हल करना

1. सबसे पहले, हम इस समीकरण का एक ग्राफ बनाएंगे: x2+y2=9।

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों का यह ग्राफ मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त होगा, और इसकी त्रिज्या तीन के बराबर होगी।

2. हमारा अगला कदम एक समीकरण तैयार करना होगा जैसे: y = x - 3।

इस मामले में, हमें एक रेखा बनानी होगी और अंक (0;−3) और (3;0) खोजने होंगे।

3. आइए देखें कि हमें क्या मिला। हम देखते हैं कि रेखा वृत्त को उसके दो बिंदुओं A और B पर काटती है।

अब हम इन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक (3;0) बिंदु A के अनुरूप हैं, और निर्देशांक (0;-3) बिंदु B के अनुरूप हैं।

और इसके परिणामस्वरूप हमें क्या मिलता है?

एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त संख्याएँ (3;0) और (0;−3) प्रणाली के दोनों समीकरणों के ठीक समाधान हैं। और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये संख्याएँ समीकरणों की इस प्रणाली के समाधान भी हैं।

अर्थात्, इस समाधान का उत्तर संख्याएँ हैं: (3;0) और (0;−3)।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की सॉल्विंग सिस्टम निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। ये कारक इस लेख को बनाने का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री को चुना और संरचित किया जाता है ताकि इसकी मदद से आप कर सकें

• रैखिक बीजीय समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी हुई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान पर विस्तार से विचार करके, रैखिक समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करें।

लेख की सामग्री का संक्षिप्त विवरण।

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ देते हैं, और कुछ अंकन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करते हैं जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर होती है और जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है। सबसे पहले, आइए क्रैमर विधि पर ध्यान दें, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को विभिन्न तरीकों से हल करेंगे।

उसके बाद, हम एक सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाले सिस्टम की ओर मुड़ते हैं, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स पतित है। हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय तैयार करते हैं, जो हमें एसएलएई की संगतता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (उनकी संगतता के मामले में) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

रैखिक बीजीय समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देना सुनिश्चित करें। आइए हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

अंत में, हम उन समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करते हैं जो रैखिक रूप से कम हो जाती हैं, साथ ही साथ विभिन्न समस्याएं, जिनके समाधान में SLAE उत्पन्न होते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम n अज्ञात चर वाले p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे (p, n के बराबर हो सकता है)

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएं), - मुक्त सदस्य (वास्तविक या जटिल संख्याएं भी)।

SLAE के इस रूप को कहा जाता है समन्वय.

पर मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली का रूप है,
कहाँ पे - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का मैट्रिक्स-कॉलम, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-कॉलम।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करकेअज्ञात चरों के मानों का एक समूह कहलाता है, जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान में बदल जाता है।

यदि समीकरणों के किसी निकाय का कम से कम एक हल हो, तो वह कहलाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है, तो इसे कहते हैं असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है निश्चित; एक से अधिक उपाय हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , तो सिस्टम कहा जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों का समाधान।

यदि सिस्टम समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम ऐसे SLAE को कॉल करेंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अनूठा समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगले अज्ञात चर को व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, और इसी तरह। या उन्होंने जोड़ विधि का इस्तेमाल किया, यानी उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि वे अनिवार्य रूप से गॉस पद्धति के संशोधन हैं।

रेखीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं।

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

आइए हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और निकाय के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात्।

आज्ञा देना प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक बनें, और मैट्रिक्स के निर्धारक हैं जो ए से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, …, nthमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस तरह के अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर की विधि के सूत्रों द्वारा की जाती है: . इस प्रकार क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

फेसला।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (निर्धारक मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, निर्धारक - दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, - मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। ):

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

जवाब:

क्रैमर की विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे नुकसान कहा जा सकता है) सिस्टम समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होने पर निर्धारकों की गणना करने की जटिलता है।

मैट्रिक्स विधि (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय मैट्रिक्स रूप में दिया गया है, जहाँ मैट्रिक्स A का आयाम n बटा n है और इसका सारणिक शून्येतर है।

चूंकि, तब मैट्रिक्स A उलटा है, यानी एक उलटा मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों भागों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के कॉलम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सूत्र मिलता है। तो हमें मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान मिला।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि।

फेसला।

आइए मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखें:

जैसा

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजीय पूरक के मैट्रिक्स का उपयोग करके एक उलटा मैट्रिक्स बनाएं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह गणना करना बाकी है - व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर का मैट्रिक्स मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-स्तंभ पर (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

जवाब:

या किसी अन्य अंकन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चरों वाले n रैखिक समीकरणों के निकाय का हल खोजने की आवश्यकता है
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू होता है, फिर x 2 को सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, तीसरे से शुरू होता है, और इसी तरह, केवल अज्ञात चर तक। x n अंतिम समीकरण में रहता है। अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस विधि का फॉरवर्ड रन पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से x n पाया जाता है, x n-1 की गणना इस मान का उपयोग करके अंतिम समीकरण से की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को सिस्टम के तीसरे समीकरण से गुणा करें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम पिछले समीकरण से x n की गणना करते हैं, जैसे कि x n के प्राप्त मूल्य का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम x 1 को पाते हैं पहला समीकरण।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

फेसला।

आइए अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों हिस्सों में, हम क्रमशः पहले समीकरण के संबंधित भागों को गुणा और गुणा करते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण से x 2 को इसके बाएँ और दाएँ भागों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में जोड़कर, गुणा करके बाहर करते हैं:

इस पर गॉस विधि का आगे का पाठ्यक्रम पूरा हो जाता है, हम रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं।

परिणामी समीकरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से, हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और यह गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

जवाब:

एक्स 1 \u003d 4, एक्स 2 \u003d 0, एक्स 3 \u003d -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली।

सामान्य स्थिति में, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन उन समीकरण प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्गाकार और पतित होता है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी संगतता स्थापित करना आवश्यक है। प्रश्न का उत्तर जब SLAE संगत है, और जब यह असंगत है, देता है क्रोनकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के लिए (p बराबर n हो सकता है) सुसंगत होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात रैंक( ए) = रैंक (टी)।

आइए एक उदाहरण के रूप में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता निर्धारित करने के लिए क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आवेदन पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली में है समाधान।

फेसला।

. आइए नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य से भिन्न। आइए इसके आसपास के तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नज़र डालें:

चूंकि सभी सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो है।

बदले में, संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम के अवयस्क

शून्य से भिन्न।

इस प्रकार, रंग (ए), इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

जवाब:

समाधान की कोई व्यवस्था नहीं है।

इसलिए, हमने क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके सिस्टम की असंगति को स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन SLAE का समाधान कैसे खोजा जाए यदि इसकी अनुकूलता स्थापित हो जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार नाबालिग और मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय की अवधारणा की आवश्यकता है।

शून्य के अलावा मैट्रिक्स A के उच्चतम कोटि के माइनर को कहा जाता है बुनियादी.

यह आधार नाबालिग की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका क्रम मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए, कई बुनियादी नाबालिग हो सकते हैं; हमेशा एक बुनियादी नाबालिग होता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

दूसरे क्रम के निम्नलिखित अवयस्क मूलभूत हैं, क्योंकि वे शून्येतर हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय।

यदि क्रम p ब n के मैट्रिक्स की रैंक r है, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों (और कॉलम) के सभी तत्व जो चुने हुए आधार को माइनर नहीं बनाते हैं, उन्हें पंक्तियों (और कॉलम) के संबंधित तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। ) जो आधार नाबालिग बनाते हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या देता है?

यदि, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय द्वारा, हमने सिस्टम की संगतता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी मूल नाबालिग को चुनते हैं (इसका क्रम आर के बराबर है), और सिस्टम से सभी समीकरणों को बाहर नहीं करते हैं चुने हुए मूल नाबालिग का निर्माण करें। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

नतीजतन, सिस्टम के अत्यधिक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा एकमात्र समाधान पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

फेसला।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि दूसरे क्रम के अवयस्क शून्य से भिन्न। विस्तारित मैट्रिक्स रैंक भी दो के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम का एकमात्र नाबालिग शून्य के बराबर है

और ऊपर माने गए दूसरे क्रम का अवयस्क शून्य से भिन्न है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, कोई भी रेखीय समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता पर जोर दे सकता है, क्योंकि रैंक (ए) = रैंक (टी) = 2।

आधार नाबालिग के रूप में, हम लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरणों के गुणांकों द्वारा बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की है। आइए इसे क्रैमर विधि द्वारा हल करें:


जवाब:

एक्स 1 \u003d 1, एक्स 2 \u003d 2.

यदि परिणामी SLAE में समीकरण r की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से कम है, तो हम समीकरणों के बाएँ भागों में मूल अवयव बनाने वाले पदों को छोड़ देते हैं, और शेष पदों को समीकरणों के दाएँ भागों में स्थानांतरित कर देते हैं विपरीत संकेत के साथ प्रणाली।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r हैं) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (उनमें से n - r हैं) जो दाईं ओर समाप्त होते हैं, कहलाते हैं नि: शुल्क.

अब हम मान लेते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, जबकि r मुख्य अज्ञात चरों को मुक्त अज्ञात चरों के रूप में एक अनूठे तरीके से व्यक्त किया जाएगा। क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा परिणामी SLAE को हल करके उनकी अभिव्यक्ति पाई जा सकती है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

फेसला।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक पाएं सीमावर्ती नाबालिग विधि द्वारा। आइए हम 1 1 = 1 को शून्येतर प्रथम कोटि के अवयस्क के रूप में लें। आइए इस नाबालिग के आस-पास एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग की खोज शुरू करें:


तो हमें दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य नाबालिग मिला। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमावर्ती नाबालिग की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, अर्थात सिस्टम सुसंगत है।

तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य नाबालिग को मूल के रूप में लिया जाएगा।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार को मामूली बनाते हैं:


हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मूल नाबालिग में भाग लेने की शर्तों को छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


हम मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 मनमाना मान देते हैं, अर्थात हम लेते हैं , जहां मनमानी संख्याएं हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेता है


हम क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राप्त प्राथमिक प्रणाली को हल करते हैं:


इसलिये, ।

उत्तर में, मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

जवाब:

मनमानी संख्या कहां हैं।

संक्षेप।

एक सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता का पता लगाते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, तो हम मूल नाबालिग को चुनते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चुने हुए मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है, तो SLAE का एक अनूठा समाधान है, जो हमें ज्ञात किसी भी विधि से मिल सकता है।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर हम मुख्य अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शर्तों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मनमाना मान निर्दिष्ट करते हैं। मुक्त अज्ञात चर के लिए। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से, हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग करके, कोई भी किसी भी प्रकार के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को उनकी संगतता के लिए प्रारंभिक परीक्षा के बिना हल कर सकता है। अज्ञात चरों के क्रमिक अपवर्जन की प्रक्रिया SLAE की संगतता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो यह उसे खोजना संभव बनाता है।

कम्प्यूटेशनल कार्य के दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि लेख में इसका विस्तृत विवरण और विश्लेषण उदाहरण देखें।

समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के सामान्य समाधान को रिकॉर्ड करना।

इस खंड में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों के संयुक्त सजातीय और अमानवीय प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनके अनंत संख्या में समाधान हैं।

आइए पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

मौलिक निर्णय प्रणाली n अज्ञात चर वाले p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक सेट है, जहां r सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान को X (1), X (2), ..., X (n-r) (X (1), X (2), …, X (n-r) के रूप में नामित करते हैं, तो आयाम n के मैट्रिक्स कॉलम हैं। द्वारा 1 ) , तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से स्थिर गुणांक С 1 , 2 , …, (n-r) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात, ।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाऊ) की एक सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र मूल SLAE के सभी संभावित समाधानों को परिभाषित करता है, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक C 1 , C 2 , ..., C (n-r) के मानों का कोई भी सेट लेते हुए, सूत्र के अनुसार हम मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करेगा।

इस प्रकार, यदि हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस रूप में सेट कर सकते हैं।

आइए हम सजातीय SLAE के लिए समाधान की एक मूलभूत प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया को प्रदर्शित करें।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के मूल नाबालिग को चुनते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं, और सिस्टम के समीकरणों के दाहिने हाथ की ओर विपरीत संकेतों के साथ स्थानांतरित करते हैं जिसमें सभी शब्द मुक्त अज्ञात चर होते हैं। आइए मुक्त अज्ञात चर को मान 1,0,0,…,0 दें और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि द्वारा। इस प्रकार, एक्स (1) प्राप्त किया जाएगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। आदि। यदि हम मुक्त अज्ञात चर को 0,0,…,0,1 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) मिलता है। इस प्रकार सजातीय SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसका सामान्य समाधान रूप में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण।

समाधान की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

फेसला।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर होती है। आइए हम अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के गैर-शून्य नाबालिग के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के तत्व को 1 1 = 9 लेते हैं। दूसरे क्रम के सीमावर्ती गैर-शून्य नाबालिग का पता लगाएं:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया जाता है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के नाबालिगों के माध्यम से देखें:

तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं, इसलिए मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो है। आइए मूल नाबालिग को लें। स्पष्टता के लिए, हम सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान देते हैं जो इसे बनाते हैं:

मूल एसएलएई का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम समीकरणों के दाहिनी ओर मुख्य अज्ञात वाले पदों को छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली में दो समाधान होते हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर होते हैं, और इसके मूल नाबालिग का क्रम दो होता है। एक्स (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को मान x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना जिसके लिए प्रणाली एक सच्ची समानता बन जाती है, या यह स्थापित करना कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम के 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-दर-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोगों के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

जाने-माने सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य हल होंगे।

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजना आवश्यक है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 उलटा मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करना संभव बनाती है।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को हल करने की गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गाऊसी समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को एक समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

गॉस विधि मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए समझना मुश्किल है, लेकिन गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में पढ़ रहे बच्चों की सरलता को विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त पद एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

इस लेख की सामग्री समीकरणों की प्रणालियों के साथ पहले परिचित के लिए है। यहां हम समीकरणों और उसके समाधानों की एक प्रणाली की परिभाषा पेश करते हैं, और समीकरणों के सबसे सामान्य प्रकार के सिस्टम पर भी विचार करते हैं। हमेशा की तरह, हम व्याख्यात्मक उदाहरण देंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

समीकरणों की एक प्रणाली क्या है?

हम धीरे-धीरे समीकरणों के निकाय की परिभाषा पर पहुंचेंगे। सबसे पहले, दो बिंदुओं को इंगित करते हुए, इसे देना सुविधाजनक है: पहला, रिकॉर्ड का प्रकार, और दूसरा, इस रिकॉर्ड में निहित अर्थ। आइए हम उन पर बारी-बारी से ध्यान दें, और फिर तर्क को समीकरणों की प्रणालियों की परिभाषा में सामान्यीकृत करें।

आइए उनमें से कुछ को हमारे सामने रखते हैं। उदाहरण के लिए, आइए दो समीकरण 2 x+y=−3 और x=5 लें। हम उन्हें एक के नीचे एक लिखते हैं और उन्हें बाईं ओर एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ जोड़ते हैं:

इस प्रकार के अभिलेख, जो एक स्तंभ में व्यवस्थित कई समीकरण होते हैं और बाईं ओर एक घुंघराले कोष्ठक के साथ संयुक्त होते हैं, समीकरणों के सिस्टम के रिकॉर्ड होते हैं।

ऐसे रिकॉर्ड का क्या मतलब है? वे निकाय के समीकरणों के ऐसे सभी हलों के समुच्चय को परिभाषित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण का हल होते हैं।

दूसरे शब्दों में इसका वर्णन करने में कोई दिक्कत नहीं है। मान लीजिए कि पहले समीकरण के कुछ समाधान सिस्टम के अन्य सभी समीकरणों के समाधान हैं। और इसलिए सिस्टम का रिकॉर्ड भी उन्हें नामित करता है।

अब हम समीकरणों के निकाय की परिभाषा को पर्याप्त रूप से स्वीकार करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा।

समीकरणों की प्रणालीरिकॉर्ड कहलाते हैं, जो एक के नीचे एक स्थित समीकरण होते हैं, जो एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा बाईं ओर एकजुट होते हैं, जो समीकरणों के सभी समाधानों के सेट को दर्शाते हैं जो एक साथ सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के समाधान होते हैं।

पाठ्यपुस्तक में एक समान परिभाषा दी गई है, लेकिन वहां यह सामान्य मामले के लिए नहीं, बल्कि दो चर में दो तर्कसंगत समीकरणों के लिए दी गई है।

मुख्य प्रकार

यह स्पष्ट है कि असीम रूप से कई अलग-अलग समीकरण हैं। स्वाभाविक रूप से, उनका उपयोग करके संकलित समीकरणों की असीम रूप से कई प्रणालियाँ भी हैं। इसलिए, समीकरणों की प्रणालियों के साथ अध्ययन और काम करने की सुविधा के लिए, उन्हें समान विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित करना समझ में आता है, और फिर व्यक्तिगत प्रकार के समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें।

पहला उपखंड प्रणाली में शामिल समीकरणों की संख्या से खुद का सुझाव देता है। यदि दो समीकरण हैं, तो हम कह सकते हैं कि हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है, यदि तीन हैं, तो तीन समीकरणों की एक प्रणाली, आदि। यह स्पष्ट है कि एक समीकरण की प्रणाली के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इस मामले में, वास्तव में, हम समीकरण के साथ ही काम कर रहे हैं, न कि सिस्टम के साथ।

अगला भाग निकाय के समीकरणों को लिखने में शामिल चरों की संख्या पर आधारित है। यदि एक चर है, तो हम एक चर के साथ समीकरणों की एक प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं (वे एक अज्ञात के साथ भी कहते हैं), यदि दो हैं, तो दो चर के साथ समीकरणों की एक प्रणाली (दो अज्ञात के साथ), आदि। उदाहरण के लिए, दो चर x और y के साथ समीकरणों की एक प्रणाली है।

यह रिकॉर्ड में शामिल सभी विभिन्न चरों की संख्या को संदर्भित करता है। उन्हें प्रत्येक समीकरण के रिकॉर्ड में एक बार में शामिल होने की आवश्यकता नहीं है, उन्हें कम से कम एक समीकरण में रखना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें तीन चर x, y और z हैं। पहले समीकरण में, चर x स्पष्ट रूप से मौजूद है, जबकि y और z निहित हैं (हम मान सकते हैं कि इन चरों में शून्य है), और दूसरे समीकरण में, x और z मौजूद हैं, और चर y को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित नहीं किया गया है। दूसरे शब्दों में, पहले समीकरण के रूप में देखा जा सकता है , और दूसरा x+0 y−3 z=0 के रूप में।

तीसरा बिंदु जिसमें समीकरणों की प्रणाली भिन्न होती है, वह स्वयं समीकरणों का रूप है।

स्कूल में, समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन शुरू होता है दो चर में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली. अर्थात्, ऐसी प्रणालियाँ दो रैखिक समीकरण बनाती हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: और . उन पर, समीकरणों की प्रणालियों के साथ काम करने की मूल बातें सीखी जाती हैं।

अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय, तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों के सिस्टम का भी सामना करना पड़ सकता है।

इसके अलावा 9वीं कक्षा में, गैर-रेखीय समीकरणों को दो चर वाले दो समीकरणों के सिस्टम में जोड़ा जाता है, अधिकांश भाग के लिए दूसरी डिग्री के पूरे समीकरण, कम अक्सर - उच्च डिग्री के। इन प्रणालियों को गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली कहा जाता है, यदि आवश्यक हो, तो समीकरणों और अज्ञात की संख्या निर्दिष्ट की जाती है। आइए हम अरैखिक समीकरणों की ऐसी प्रणालियों के उदाहरण दिखाते हैं: और ।

और फिर सिस्टम में भी हैं, उदाहरण के लिए,। उन्हें आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली कहा जाता है, बिना यह निर्दिष्ट किए कि कौन से समीकरण। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि अक्सर वे समीकरणों की एक प्रणाली के बारे में "समीकरणों की प्रणाली" कहते हैं, और यदि आवश्यक हो तो ही परिशोधन जोड़े जाते हैं।

हाई स्कूल में, जैसा कि सामग्री का अध्ययन किया जाता है, अपरिमेय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक और घातीय समीकरण सिस्टम में प्रवेश करते हैं: , , .

यदि आप विश्वविद्यालयों के पहले पाठ्यक्रमों के कार्यक्रम में और भी आगे देखते हैं, तो मुख्य जोर रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों के अध्ययन और समाधान पर है, यानी समीकरण, जिनके बाएं हिस्सों में बहुपद हैं पहली डिग्री, और दाईं ओर - कुछ संख्याएँ। लेकिन वहाँ, स्कूल के विपरीत, दो चर के साथ दो रैखिक समीकरण पहले से ही नहीं लिए गए हैं, लेकिन एक मनमानी संख्या में चर के साथ समीकरणों की एक मनमानी संख्या है, जो अक्सर समीकरणों की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है।

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान क्या है?

शब्द "समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान" सीधे समीकरणों की प्रणालियों को संदर्भित करता है। स्कूल दो चर के साथ समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की परिभाषा देता है :

परिभाषा।

दो चर वाले समीकरणों के निकाय को हल करनाइन वेरिएबल्स के मानों की एक जोड़ी को कहा जाता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को सही एक में बदल देता है, दूसरे शब्दों में, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण का समाधान है।

उदाहरण के लिए, चर मानों की एक जोड़ी x=5 , y=2 (इसे (5, 2) के रूप में लिखा जा सकता है) परिभाषा के अनुसार समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान है, क्योंकि सिस्टम के समीकरण, जब x= 5 , y=2 को उनमें प्रतिस्थापित किया जाता है, वास्तविक संख्यात्मक समानताएं क्रमशः 5+2=7 और 5−2=3 में बदल जाती हैं। लेकिन मूल्यों की जोड़ी x=3 , y=0 इस प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि जब इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो उनमें से पहला गलत समानता में बदल जाएगा 3+0=7 ।

इसी तरह की परिभाषाएं एक चर वाले सिस्टम के साथ-साथ तीन, चार, आदि वाले सिस्टम के लिए तैयार की जा सकती हैं। चर।

परिभाषा।

एक चर के साथ समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनाएक चर मान होगा जो सिस्टम के सभी समीकरणों का मूल है, यानी सभी समीकरणों को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। फॉर्म के एक चर टी के साथ समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें . संख्या −2 इसका हल है, क्योंकि (−2) 2 =4 और 5·(−2+2)=0 दोनों ही वास्तविक संख्यात्मक समानताएं हैं। और t=1 सिस्टम का समाधान नहीं है, क्योंकि इस मान के प्रतिस्थापन से दो गलत समानताएं 1 2 =4 और 5·(1+2)=0 प्राप्त होंगी।

परिभाषा।

तीन, चार, आदि के साथ एक प्रणाली का समाधान। चरतिगुना, चौगुना आदि कहा जाता है। वेरिएबल्स के मान, क्रमशः, जो सिस्टम के सभी समीकरणों को वास्तविक समानता में परिवर्तित करते हैं।

तो, परिभाषा के अनुसार, चर x=1 , y=2 , z=0 के मानों का ट्रिपल सिस्टम का समाधान है , क्योंकि 2 1=2 , 5 2=10 और 1+2+0=3 सही संख्यात्मक समानताएं हैं। और (1, 0, 5) इस प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि जब चर के इन मूल्यों को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो उनमें से दूसरा गलत समानता में बदल जाता है 5 0=10 , और तीसरा एक भी 1+0+5=3 है।

ध्यान दें कि समीकरणों के सिस्टम में समाधान नहीं हो सकते हैं, समाधान की एक सीमित संख्या हो सकती है, उदाहरण के लिए, एक, दो, ..., या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। जब आप इस विषय में गहराई से उतरेंगे तो आप इसे देखेंगे।

समीकरणों और उनके समाधानों की एक प्रणाली की परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान इसके सभी समीकरणों के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है।

निष्कर्ष निकालने के लिए, यहाँ कुछ संबंधित परिभाषाएँ दी गई हैं:

परिभाषा।

असंगतयदि इसका कोई समाधान नहीं है, अन्यथा प्रणाली को कहा जाता है संयुक्त.

परिभाषा।

समीकरणों की प्रणाली को कहा जाता है ढुलमुलयदि इसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, और निश्चित, यदि उसके पास सीमित संख्या में समाधान हैं, या कोई भी समाधान नहीं है।

उदाहरण के लिए, इन शब्दों को एक पाठ्यपुस्तक में पेश किया जाता है, लेकिन स्कूल में इनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, अधिक बार इन्हें उच्च शिक्षण संस्थानों में सुना जा सकता है।

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