आइए परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हों, उनकी परिभाषा दें, उदाहरण दें, और सबसे सामान्य प्रकार की समस्याओं का विश्लेषण भी करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

परिमेय समीकरण: परिभाषा और उदाहरण

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों से परिचित होना स्कूल की 8 वीं कक्षा में शुरू होता है। इस समय, बीजगणित के पाठों में, छात्र तेजी से ऐसे समीकरणों वाले कार्यों को पूरा करने लगे हैं जिनमें उनके नोट्स में तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ होती हैं। आइए अपनी याददाश्त को ताज़ा करें कि यह क्या है।

परिभाषा 1

तर्कसंगत समीकरणएक समीकरण है जिसमें दोनों पक्षों में परिमेय व्यंजक होते हैं।

विभिन्न मैनुअल में, आप एक और शब्द पा सकते हैं।

परिभाषा 2

तर्कसंगत समीकरण- यह एक समीकरण है, जिसके बाईं ओर के रिकॉर्ड में एक परिमेय व्यंजक होता है, और दाईं ओर शून्य होता है।

हमने परिमेय समीकरणों के लिए जो परिभाषाएँ दी हैं, वे समतुल्य हैं, क्योंकि उनका मतलब एक ही है। हमारे शब्दों की शुद्धता की पुष्टि इस तथ्य से होती है कि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति के लिए पीऔर क्यूसमीकरण पी = क्यूऔर पी - क्यू = 0समकक्ष अभिव्यक्ति होगी।

अब आइए उदाहरणों की ओर मुड़ें।

उदाहरण 1

परिमेय समीकरण:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3।

परिमेय समीकरण, अन्य प्रकार के समीकरणों की तरह, 1 से लेकर कई तक के चर हो सकते हैं। आरंभ करने के लिए, हम उन सरल उदाहरणों को देखेंगे जिनमें समीकरणों में केवल एक चर होगा। और फिर हम धीरे-धीरे कार्य को जटिल बनाना शुरू करते हैं।

परिमेय समीकरण दो बड़े समूहों में विभाजित हैं: पूर्णांक और भिन्नात्मक। आइए देखें कि प्रत्येक समूह पर कौन से समीकरण लागू होंगे।

परिभाषा 3

एक परिमेय समीकरण एक पूर्णांक होगा यदि इसके बाएँ और दाएँ भागों के रिकॉर्ड में संपूर्ण परिमेय व्यंजक हों।

परिभाषा 4

एक परिमेय समीकरण भिन्नात्मक होगा यदि उसके एक या दोनों भागों में भिन्न हो।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर द्वारा विभाजन होता है, या चर हर में मौजूद होता है। पूर्णांक समीकरण लिखने में ऐसा कोई विभाजन नहीं है।

उदाहरण 2

3 एक्स + 2 = 0और (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं। यहाँ समीकरण के दोनों भागों को पूर्णांक व्यंजकों द्वारा निरूपित किया जाता है।

1 एक्स - 1 = एक्स 3 और x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हैं।

संपूर्ण परिमेय समीकरणों में रैखिक और द्विघात समीकरण शामिल हैं।

पूर्णांक समीकरणों को हल करना

ऐसे समीकरणों का हल आमतौर पर उनके समतुल्य बीजीय समीकरणों में परिवर्तन को कम कर देता है। यह निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार समीकरणों के समतुल्य परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है:

• पहले हमें समीकरण के दायीं ओर शून्य मिलता है, इसके लिए समीकरण के दायीं ओर के व्यंजक को उसके बायीं ओर स्थानांतरित करना और चिन्ह को बदलना आवश्यक है;
• तब हम समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को एक मानक रूप बहुपद में बदल देते हैं।

हमें एक बीजीय समीकरण प्राप्त करना है। यह समीकरण मूल समीकरण के तुल्य होगा। आसान मामले हमें पूरे समीकरण को एक रैखिक या द्विघात समीकरण में कम करके समस्या को हल करने की अनुमति देते हैं। सामान्य स्थिति में, हम डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करते हैं एन.

उदाहरण 3

संपूर्ण समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

फेसला

आइए मूल व्यंजक को उसके समतुल्य बीजीय समीकरण प्राप्त करने के लिए रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण के दाईं ओर निहित व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करेंगे और चिह्न को विपरीत में बदल देंगे। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

अब हम बाईं ओर के व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में बदल देंगे और इस बहुपद के साथ आवश्यक क्रियाएं करेंगे:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

हम फॉर्म के द्विघात समीकरण के समाधान के लिए मूल समीकरण के समाधान को कम करने में कामयाब रहे एक्स 2 - 5 एक्स - 6 = 0. इस समीकरण का विभेदक धनात्मक है: डी = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49।इसका मतलब है कि दो वास्तविक जड़ें होंगी। आइए द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके उन्हें खोजें:

एक्स \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 या x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 या x 2 = - 1

आइए समीकरण की जड़ों की शुद्धता की जांच करें जो हमने समाधान के दौरान पाया था। इस संख्या के लिए, जो हमें प्राप्त हुई, हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3और 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) - 1) - 3. पहले मामले में 63 = 63 , क्षण में 0 = 0 . जड़ों एक्स = 6और एक्स = - 1वास्तव में उदाहरण की स्थिति में दिए गए समीकरण के मूल हैं।

जवाब: 6 , − 1 .

आइए देखें कि "संपूर्ण समीकरण की शक्ति" का क्या अर्थ है। हम अक्सर उन मामलों में इस शब्द का सामना करेंगे जब हमें बीजगणित के रूप में एक संपूर्ण समीकरण का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता होती है। आइए अवधारणा को परिभाषित करें।

परिभाषा 5

एक पूर्णांक समीकरण की डिग्रीमूल संपूर्ण समीकरण के समतुल्य बीजीय समीकरण की घात है।

यदि आप उपरोक्त उदाहरण से समीकरणों को देखते हैं, तो आप स्थापित कर सकते हैं: इस पूरे समीकरण की डिग्री दूसरी है।

यदि हमारा पाठ्यक्रम दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने तक सीमित था, तो विषय पर विचार यहां पूरा किया जा सकता था। लेकिन सब कुछ इतना आसान नहीं है। थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करना मुश्किलों से भरा होता है। और चौथी डिग्री से ऊपर के समीकरणों के लिए, जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इस संबंध में, तीसरी, चौथी और अन्य डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए हमें कई अन्य तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला दृष्टिकोण गुणन विधि पर आधारित है। इस मामले में क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• हम व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं ताकि शून्य रिकॉर्ड के दाईं ओर बना रहे;
• हम बायीं ओर के व्यंजक को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, और फिर हम कई सरल समीकरणों के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

समीकरण (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) का हल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम रिकॉर्ड के दाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में परिवर्तित करना इस तथ्य के कारण अव्यावहारिक है कि यह हमें चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण देगा: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. परिवर्तन की आसानी ऐसे समीकरण को हल करने में सभी कठिनाइयों को उचित नहीं ठहराती है।

दूसरी तरफ जाना बहुत आसान है: हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13।इस प्रकार हम फॉर्म के समीकरण पर पहुंचते हैं (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. अब हम परिणामी समीकरण को दो द्विघात समीकरणों के समुच्चय से प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13 = 0और एक्स 2 - 2 एक्स - 1 = 0और विभेदक के माध्यम से उनकी जड़ें खोजें: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ।

जवाब: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2।

इसी तरह, हम एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह विधि हमें मूल संपूर्ण समीकरण की तुलना में कम शक्तियों वाले समकक्ष समीकरणों को पारित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण 5

क्या समीकरण की जड़ें हैं? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

फेसला

यदि अब हम एक संपूर्ण परिमेय समीकरण को एक बीजीय समीकरण में कम करने का प्रयास करते हैं, तो हमें घात 4 का एक समीकरण प्राप्त होगा, जिसका कोई परिमेय मूल नहीं है। इसलिए, हमारे लिए दूसरी तरफ जाना आसान होगा: एक नया चर y पेश करें, जो समीकरण में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करेगा एक्स 2 + 3 एक्स.

अब हम पूरे समीकरण के साथ काम करेंगे (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). हम समीकरण के दाईं ओर विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और आवश्यक परिवर्तन करते हैं। हम पाते हैं: वाई 2 + 4 वाई + 3 = 0. आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें: वाई = - 1और वाई = - 3.

अब चलो रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं। हमें दो समीकरण मिलते हैं एक्स 2 + 3 एक्स = - 1और एक्स 2 + 3 एक्स = - 3।आइए उन्हें x 2 + 3 x + 1 = 0 और . के रूप में फिर से लिखें एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0. प्राप्त प्रथम समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करते हैं: - 3 ± 5 2 । दूसरे समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है। इसका मतलब है कि दूसरे समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

जवाब:- 3 ± 5 2

उच्च डिग्री के पूर्णांक समीकरण अक्सर समस्याओं में आते हैं। इनसे डरने की जरूरत नहीं है। आपको कई कृत्रिम परिवर्तनों सहित, उन्हें हल करने की एक गैर-मानक विधि लागू करने के लिए तैयार रहने की आवश्यकता है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

हम इस उप-विषय पर विचार p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ शुरू करते हैं, जहां पी (एक्स)और क्यू (एक्स)पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं। अन्य भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के हल को हमेशा संकेतित रूप के समीकरणों के हल में घटाया जा सकता है।

समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक भिन्न आप, कहाँ पे वीएक संख्या है जो शून्य से भिन्न होती है, शून्य के बराबर होती है केवल उन मामलों में जहां भिन्न का अंश शून्य के बराबर होता है। उपरोक्त कथन के तर्क का अनुसरण करते हुए, हम यह दावा कर सकते हैं कि समीकरण p (x) q (x) = 0 का हल दो शर्तों की पूर्ति के लिए घटाया जा सकता है: पी (एक्स) = 0और क्यू (एक्स) 0. इस पर, p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया है:

• हम संपूर्ण परिमेय समीकरण का हल ढूंढते हैं पी (एक्स) = 0;
• हम जाँचते हैं कि समाधान के दौरान मिली जड़ों के लिए स्थिति संतुष्ट है या नहीं क्यू (एक्स) 0.

अगर यह शर्त पूरी हो जाए तो जड़ मिल जाती है अगर नहीं तो जड़ समस्या का समाधान नहीं है।

उदाहरण 6

समीकरण 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम p (x) q (x) = 0 के रूप के एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, जिसमें p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 - 2 = 0 है। आइए रैखिक समीकरण को हल करना शुरू करें 3 एक्स - 2 = 0. इस समीकरण का मूल होगा एक्स = 2 3.

आइए देखें कि पाया गया मूल क्या है, क्या यह शर्त को पूरा करता है 5 x 2 - 2 0. ऐसा करने के लिए, व्यंजक में एक संख्यात्मक मान बदलें। हमें मिलता है: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0।

शर्त पूरी होती है। इसका मतलब है कि एक्स = 2 3मूल समीकरण का मूल है।

जवाब: 2 3 .

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए एक अन्य विकल्प है। याद रखें कि यह समीकरण पूरे समीकरण के बराबर है पी (एक्स) = 0मूल समीकरण के चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा पर। यह हमें समीकरण p(x) q(x) = 0 को हल करने में निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करने की अनुमति देता है:

• प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
• चर x के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी ज्ञात कीजिए;
• हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल के रूप में चर x के स्वीकार्य मानों के क्षेत्र में स्थित जड़ों को लेते हैं।

उदाहरण 7

समीकरण x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 हल कीजिए।

फेसला

सबसे पहले, द्विघात समीकरण को हल करते हैं एक्स 2 - 2 एक्स - 11 = 0. इसकी जड़ों की गणना करने के लिए, हम एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करते हैं। हम पाते हैं डी 1 = (− 1) 2 - 1 (− 11) = 12, और x = 1 ± 2 3 ।

अब हम मूल समीकरण के लिए x का ODV ज्ञात कर सकते हैं। ये सभी संख्याएँ हैं जिनके लिए एक्स 2 + 3 एक्स ≠ 0. यह वैसा ही है जैसा एक्स (एक्स + 3) 0, जहां से x ≠ 0 , x ≠ − 3 ।

अब देखते हैं कि समाधान के पहले चरण में प्राप्त मूल x = 1 ± 2 3 चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा के भीतर हैं या नहीं। हम देखते हैं कि क्या आता है। इसका अर्थ है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं x = 1 ± 2 3 ।

जवाब:एक्स = 1 ± 2 3

वर्णित दूसरी समाधान विधि उन मामलों में पहले की तुलना में सरल है जहां चर x के स्वीकार्य मानों का क्षेत्र आसानी से मिल जाता है, और समीकरण की जड़ें पी (एक्स) = 0तर्कहीन। उदाहरण के लिए, 7 ± 4 26 9। जड़ें तर्कसंगत हो सकती हैं, लेकिन एक बड़े अंश या हर के साथ। उदाहरण के लिए, 127 1101 और − 31 59 . यह स्थिति की जाँच के लिए समय बचाता है। क्यू (एक्स) 0: ओडीजेड के अनुसार, फिट नहीं होने वाली जड़ों को बाहर करना बहुत आसान है।

जब समीकरण की जड़ें पी (एक्स) = 0पूर्णांक हैं, तो p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए वर्णित एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक समीचीन है। एक पूरे समीकरण की जड़ों को तेजी से ढूँढना पी (एक्स) = 0, और फिर जांचें कि क्या उनके लिए शर्त पूरी हुई है क्यू (एक्स) 0, और ODZ नहीं खोजें, और फिर समीकरण हल करें पी (एक्स) = 0इस ओडीजेड पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

उदाहरण 8

समीकरण (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 के मूल ज्ञात कीजिए। = 0।

फेसला

हम पूरे समीकरण पर विचार करके शुरू करते हैं (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0और उसकी जड़ों को खोज रहा है। ऐसा करने के लिए, हम गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि लागू करते हैं। यह पता चला है कि मूल समीकरण चार समीकरणों के एक सेट के बराबर है 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, जिनमें से तीन रैखिक हैं और एक चौकोर है। हम मूल पाते हैं: पहले समीकरण से एक्स = 1 2, दूसरे से एक्स = 6, तीसरे से - x \u003d 7, x \u003d - 2, चौथे से - एक्स = - 1.

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें। इस मामले में ODZ निर्धारित करना हमारे लिए मुश्किल है, क्योंकि इसके लिए हमें पांचवीं डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करना होगा। उस स्थिति की जाँच करना आसान होगा जिसके अनुसार भिन्न का हर, जो समीकरण के बाईं ओर है, लुप्त नहीं होना चाहिए।

बदले में, व्यंजक में चर x के स्थान पर मूलों को प्रतिस्थापित करें x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112और इसके मूल्य की गणना करें:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(- 2) 5 - 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(− 1) 5 - 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 - 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0।

किया गया सत्यापन हमें यह स्थापित करने की अनुमति देता है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण की जड़ें हैं 1 2 , 6 तथा − 2 .

जवाब: 1 2 , 6 , - 2

उदाहरण 9

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

आइए समीकरण से शुरू करते हैं (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. आइए जानें इसकी जड़ें। द्विघात और रैखिक समीकरणों के संयोजन के रूप में इस समीकरण का प्रतिनिधित्व करना हमारे लिए आसान है 5 x 2 - 7 x - 1 = 0और एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण के मूल सूत्र का उपयोग करके हम मूल ज्ञात करते हैं। हमें पहले समीकरण से दो मूल x = 7 ± 69 10 मिलते हैं, और दूसरे से एक्स = 2.

स्थितियों की जांच करने के लिए मूल समीकरण में मूलों के मान को प्रतिस्थापित करना हमारे लिए काफी कठिन होगा। चर x का LPV निर्धारित करना आसान होगा। इस मामले में, चर x का डीपीवी सभी संख्याएं हैं, सिवाय उन लोगों के जिनके लिए शर्त संतुष्ट है एक्स 2 + 5 एक्स - 14 = 0. हम प्राप्त करते हैं: x - , - 7 ∪ - 7, 2 2 , + ∞ ।

अब देखते हैं कि हमें मिली जड़ें x चर के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी से संबंधित हैं या नहीं।

मूल x = 7 ± 69 10 - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण के मूल हैं, और एक्स = 2- संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी जड़ है।

जवाब:एक्स = 7 ± 69 10।

आइए हम उन मामलों की अलग-अलग जाँच करें जब p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अंश में एक संख्या होती है। ऐसे मामलों में, यदि अंश में शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो समीकरण के मूल नहीं होंगे। यदि यह संख्या शून्य के बराबर है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या होगी।

उदाहरण 10

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 को हल करें।

फेसला

इस समीकरण की जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि समीकरण के बाईं ओर से अंश के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है। इसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए समस्या की स्थिति में दिए गए भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं होगा।

जवाब:कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 11

समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 हल करें।

फेसला

चूँकि भिन्न का अंश शून्य है, समीकरण का हल ODZ चर x से x का कोई भी मान होगा।

अब ODZ को परिभाषित करते हैं। इसमें सभी x मान शामिल होंगे जिसके लिए x 4 + 5 x 3 0. समीकरण समाधान x 4 + 5 x 3 = 0हैं 0 और − 5 , चूंकि यह समीकरण समीकरण के बराबर है एक्स 3 (एक्स + 5) = 0, और यह, बदले में, दो समीकरणों x 3 = 0 और . के समुच्चय के बराबर है एक्स + 5 = 0जहां ये जड़ें दिखाई दे रही हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि स्वीकार्य मूल्यों की वांछित सीमा कोई भी x है, सिवाय एक्स = 0और एक्स = -5.

यह पता चला है कि भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 के अनंत हल हैं, जो शून्य और - 5 को छोड़कर कोई भी संख्या है।

जवाब: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

अब आइए एक मनमाना रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में बात करते हैं। उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है आर (एक्स) = एस (एक्स), कहाँ पे आर (एक्स)और एस (एक्स)तर्कसंगत व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। ऐसे समीकरणों के हल को p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों के हल में घटाया जाता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि हम समीकरण के दाईं ओर से विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करके एक समान समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)समीकरण के बराबर है आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0. हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि एक परिमेय व्यंजक को परिमेय भिन्न में कैसे बदला जाए। इसके लिए धन्यवाद, हम समीकरण को आसानी से बदल सकते हैं आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 p (x) q (x) के रूप के समरूप परिमेय भिन्न में।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण से आगे बढ़ते हैं आर (एक्स) = एस (एक्स) p (x) q (x) = 0 के रूप का एक समीकरण, जिसे हम हल करना सीख चुके हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि से संक्रमण करते समय आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0से p (x) q (x) = 0 और फिर to पी (एक्स) = 0हम चर x के मान्य मानों की सीमा के विस्तार को ध्यान में नहीं रख सकते हैं।

यह काफी यथार्थवादी है कि मूल समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)और समीकरण पी (एक्स) = 0परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, वे समकक्ष नहीं रहेंगे। तब समीकरण का हल पी (एक्स) = 0हमें ऐसी जड़ें दे सकते हैं जो विदेशी होंगी आर (एक्स) = एस (एक्स). इस संबंध में, प्रत्येक मामले में ऊपर वर्णित किसी भी तरीके से जांच करना आवश्यक है।

आपके लिए विषय का अध्ययन करना आसान बनाने के लिए, हमने फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए सभी सूचनाओं को एक एल्गोरिथम में सामान्यीकृत किया है आर (एक्स) = एस (एक्स):

• हम व्यंजक को विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर से स्थानांतरित करते हैं और दाईं ओर शून्य प्राप्त करते हैं;
• हम भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रमिक रूप से क्रिया करके मूल व्यंजक को परिमेय भिन्न p (x) q (x) में बदलते हैं;
• प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
• हम बाहरी जड़ों को ODZ से संबंधित होने की जाँच करके या मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्रकट करते हैं।

नेत्रहीन, क्रियाओं की श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

आर (एक्स) = एस (एक्स) → आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 → पी (एक्स) क्यू (एक्स) = 0 → पी (एक्स) = 0 → ड्रॉपआउट आर ओ एन डी ई आर ओ ओ एन एस

उदाहरण 12

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण x x + 1 = 1 x + 1 को हल कीजिए।

फेसला

आइए समीकरण x x + 1 - 1 x + 1 = 0 पर चलते हैं। आइए समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को p (x) q (x) के रूप में रूपांतरित करें।

ऐसा करने के लिए, हमें परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना होगा और व्यंजक को सरल बनाना होगा:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 एक्स - 1 एक्स (एक्स + 1)

समीकरण - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए हमें समीकरण को हल करना होगा − 2 x − 1 = 0. हमें एक जड़ मिलती है एक्स = - 1 2.

किसी भी तरीके से जांच करना हमारे लिए बाकी है। आइए उन दोनों पर विचार करें।

परिणामी मान को मूल समीकरण में रखें। हमें - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 प्राप्त होता है। हम सही संख्यात्मक समानता पर आए हैं − 1 = − 1 . इसका मतलब है कि एक्स = - 1 2मूल समीकरण का मूल है।

अब हम ODZ के माध्यम से जांच करेंगे। आइए चर x के लिए स्वीकार्य मानों का क्षेत्र निर्धारित करें। यह − 1 और 0 (जब x = -1 और x = 0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं) को छोड़कर, संख्याओं का पूरा सेट होगा। हमें जो जड़ मिली है एक्स = - 1 2 ODZ के अंतर्गत आता है। इसका मतलब है कि यह मूल समीकरण की जड़ है।

जवाब: − 1 2 .

उदाहरण 13

समीकरण x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। इसलिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

आइए विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x।

हम समीकरण पर आते हैं एक्स = 0. इस समीकरण का मूल शून्य है।

आइए देखें कि मूल समीकरण के लिए यह मूल विदेशी है या नहीं। मूल समीकरण में मान रखें: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 । जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी समीकरण का कोई मतलब नहीं है। इसका अर्थ है कि 0 एक बाह्य मूल है, और मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का कोई मूल नहीं है।

जवाब:कोई जड़ नहीं।

यदि हमने एल्गोरिथम में अन्य समकक्ष परिवर्तनों को शामिल नहीं किया है, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। एल्गोरिथ्म सार्वभौमिक है, लेकिन इसे मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, सीमित करने के लिए नहीं।

उदाहरण 14

समीकरण को हल करें 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

फेसला

एल्गोरिथम के अनुसार दिए गए भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का सबसे आसान तरीका है। लेकिन एक और तरीका है। आइए इस पर विचार करें।

दाएं और बाएं भाग 7 से घटाएं, हमें मिलता है: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बायीं ओर के हर में व्यंजक दायीं ओर से संख्या के व्युत्क्रम की संख्या के बराबर होना चाहिए, अर्थात 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7।

दोनों भागों से घटाएँ 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 । सादृश्य 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3 से, जहां से 1 5 - x 2 \u003d 1 3, और आगे 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

आइए यह स्थापित करने के लिए जांचें कि क्या पाया गया मूल मूल समीकरण की जड़ें हैं।

जवाब:एक्स = ± 2

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भिन्नों वाले समीकरण स्वयं कठिन और बहुत रोचक नहीं होते हैं। भिन्नात्मक समीकरणों के प्रकार और उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार करें।

अंश के साथ समीकरणों को कैसे हल करें - अंश में x

यदि एक भिन्नात्मक समीकरण दिया जाता है, जहां अंश में अज्ञात है, तो समाधान के लिए अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता नहीं होती है और इसे बिना किसी परेशानी के हल किया जाता है। ऐसे समीकरण का सामान्य रूप x/a + b = c है, जहां x अज्ञात है, a, b और c साधारण संख्याएं हैं।

एक्स: एक्स/5 + 10 = 70 खोजें।

समीकरण को हल करने के लिए, आपको भिन्नों से छुटकारा पाना होगा। समीकरण के प्रत्येक पद को 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 से गुणा करें। 5x और 5 को घटाया जाता है, 10 और 70 को 5 से गुणा किया जाता है और हमें प्राप्त होता है: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300।

एक्स: एक्स/5 + एक्स/10 = 90 खोजें।

यह उदाहरण पहले का थोड़ा अधिक जटिल संस्करण है। यहां दो समाधान हैं।

• विकल्प 1: समीकरण के सभी पदों को एक बड़े हर से गुणा करके भिन्नों से छुटकारा पाएं, यानी 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• विकल्प 2: समीकरण के बाईं ओर जोड़ें। x/5 + x/10 = 90. सामान्य हर 10 है। 10 को 5 से विभाजित करें, x से गुणा करें, हमें 2x मिलता है। 10 को 10 से भाग देने पर, x से गुणा करने पर हमें x: 2x+x/10 = 90 मिलता है। इसलिए 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300।

अक्सर ऐसे भिन्नात्मक समीकरण होते हैं जिनमें x समान चिह्न के विपरीत पक्षों पर होते हैं। ऐसी स्थिति में, x के साथ सभी भिन्नों को एक दिशा में और संख्याओं को दूसरी दिशा में स्थानांतरित करना आवश्यक है।

• एक्स खोजें: 3x/5 = 130 - 2x/5।
• विपरीत चिन्ह के साथ 2x/5 को दाईं ओर ले जाएँ: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130।
• हम 5x/5 घटाते हैं और प्राप्त करते हैं: x = 130।

भिन्नों वाले समीकरण को कैसे हल करें - x हर में

इस प्रकार के भिन्नात्मक समीकरणों के लिए अतिरिक्त शर्तें लिखने की आवश्यकता होती है। इन शर्तों का संकेत सही निर्णय का अनिवार्य और अभिन्न अंग है। उन्हें जिम्मेदार न देकर, आप जोखिम उठाते हैं, क्योंकि उत्तर (भले ही वह सही हो) की गणना नहीं की जा सकती है।

भिन्नात्मक समीकरणों का सामान्य रूप, जहाँ x हर में है, है: a/x + b = c, जहाँ x एक अज्ञात है, a, b, c साधारण संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि x कोई संख्या नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, x शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते। यह ठीक अतिरिक्त शर्त है जिसे हमें निर्दिष्ट करना होगा। इसे स्वीकार्य मूल्यों की सीमा कहा जाता है, संक्षिप्त - ODZ।

एक्स: 15/एक्स + 18 = 21 खोजें।

हम तुरंत ODZ को x: x 0 के लिए लिखते हैं। अब जब ODZ इंगित किया गया है, तो हम भिन्नों से छुटकारा पाकर, मानक योजना के अनुसार समीकरण को हल करते हैं। हम समीकरण के सभी पदों को x से गुणा करते हैं। 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जहाँ हर में न केवल x होता है, बल्कि इसके साथ कुछ अन्य संक्रियाएँ भी होती हैं, जैसे जोड़ या घटाव।

x: 15/(x-3) + 18 = 21 खोजें।

हम पहले से ही जानते हैं कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है x-3 0। हम -3 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जबकि "-" चिह्न को "+" में बदलते हैं और हमें वह x 3 मिलता है। ODZ है संकेत दिया।

समीकरण को हल करें, सभी को x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63 से गुणा करें।

x को दाईं ओर, संख्याओं को बाईं ओर ले जाएँ: 24 = 3x => x = 8।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45
एक्स=45-20=25

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण, सबसे अधिक बार, एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यहाँ इस तरह की अवधारणा लागू होती है जैसे कि अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र (ODZ) - ये समीकरण की जड़ों के मान हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

उत्तर: एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

उत्तर: एक्स = 2.

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

सीधे शब्दों में कहें, ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें हर में एक चर के साथ कम से कम एक होता है।

उदाहरण के लिए:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नहींभिन्नात्मक परिमेय समीकरण:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के बारे में याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आपको उनमें लिखने की आवश्यकता है। और जड़ों को खोजने के बाद, उन्हें स्वीकार्यता के लिए जांचना सुनिश्चित करें। अन्यथा, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और पूरे समाधान को गलत माना जाएगा।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

ODZ लिखें और "हल करें"।

समीकरण में प्रत्येक पद को एक सामान्य हर से गुणा करें और परिणामी भिन्नों को कम करें। भाजक गायब हो जाएंगे।

कोष्ठक खोले बिना समीकरण लिखिए।

परिणामी समीकरण को हल करें।

ओडीजेड के साथ मिली जड़ों की जांच करें।

चरण 7 में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले मूलों के उत्तर में लिखिए।

एल्गोरिथ्म को याद न करें, 3-5 हल किए गए समीकरण - और यह अपने आप याद हो जाएगा।

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हल करें \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

फेसला:

जवाब: \(3\).

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(=0\)

फेसला:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ओडीजेड: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(डी=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		हम ODZ लिखते हैं और "हल" करते हैं। सूत्र में \(x^2+7x+10\) का विस्तार करें: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)। सौभाग्य से \(x_1\) और \(x_2\) हम पहले ही पा चुके हैं।
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		जाहिर है, भिन्नों का सामान्य हर: \((x+2)(x+5)\)। हम इससे पूरे समीकरण को गुणा करते हैं।
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		हम भिन्नों को कम करते हैं
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		कोष्ठक खोलना
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		हम समान शर्तें देते हैं
\(2x^2+9x-5=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		जड़ों में से एक ओडीजेड के तहत फिट नहीं होता है, इसलिए प्रतिक्रिया में हम केवल दूसरी जड़ लिखते हैं।

जवाब: \(\frac(1)(2)\).

हम पहले ही सीख चुके हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। आइए अब हम अध्ययन की गई विधियों को परिमेय समीकरणों तक विस्तारित करते हैं।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति क्या है? हम पहले ही इस अवधारणा का सामना कर चुके हैं। तर्कसंगत अभिव्यक्तिसंख्याओं, चरों, उनकी डिग्री और गणितीय संक्रियाओं के संकेतों से बने व्यंजक कहलाते हैं।

तदनुसार, परिमेय समीकरण इस रूप के समीकरण हैं: , जहाँ - तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

पहले, हमने केवल उन परिमेय समीकरणों पर विचार किया था जो रैखिक समीकरणों को घटाते हैं। अब आइए उन परिमेय समीकरणों पर विचार करें जिन्हें द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है।

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

एक भिन्न 0 होती है यदि और केवल यदि इसका अंश 0 है और इसका हर 0 नहीं है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

प्रणाली का पहला समीकरण द्विघात समीकरण है। इसे हल करने से पहले, हम इसके सभी गुणांकों को 3 से विभाजित करते हैं।

हमें दो जड़ें मिलती हैं: ; .

चूंकि 2 कभी भी 0 के बराबर नहीं होता है, इसलिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: . चूंकि ऊपर प्राप्त समीकरण की जड़ों में से कोई भी चर के अमान्य मानों से मेल नहीं खाता है, जो दूसरी असमानता को हल करते समय प्राप्त हुए थे, वे दोनों इस समीकरण के समाधान हैं।

जवाब:.

तो, आइए तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें:

1. सभी पदों को बायीं ओर खिसकाएं ताकि दायीं ओर 0 प्राप्त हो।

2. बाईं ओर को रूपांतरित और सरल करें, सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं।

3. निम्न एल्गोरिथम के अनुसार परिणामी भिन्न को 0 से बराबर करें: .

4. उन मूलों को लिखिए जो पहले समीकरण में प्राप्त होते हैं और प्रत्युत्तर में दूसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं।

आइए एक और उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

प्रश्न हल करें: .

फेसला

बहुत शुरुआत में, हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं ताकि 0 दाईं ओर रहे।

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:

यह समीकरण सिस्टम के बराबर है:

प्रणाली का पहला समीकरण द्विघात समीकरण है।

इस समीकरण के गुणांक:। हम विवेचक की गणना करते हैं:

हमें दो जड़ें मिलती हैं: ; .

अब हम दूसरी असमानता को हल करते हैं: कारकों का गुणनफल 0 के बराबर नहीं है यदि और केवल यदि कोई भी कारक 0 के बराबर नहीं है।

दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: . हम पाते हैं कि पहले समीकरण की दो जड़ों में से केवल एक ही उपयुक्त है - 3.

जवाब:.

इस पाठ में, हमने याद किया कि एक परिमेय व्यंजक क्या है, और यह भी सीखा कि परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जो द्विघात समीकरणों में कम हो जाते हैं।

अगले पाठ में हम परिमेय समीकरणों को वास्तविक स्थितियों के मॉडल के रूप में मानेंगे और गति समस्याओं पर भी विचार करेंगे।

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम.आई. बीजगणित, आठवीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।
2. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल बीजगणित, 8. 5वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।
3. निकोल्स्की एस.एम., पोतापोव एम.ए., रेशेतनिकोव एन.एन., शेवकिन ए.वी. बीजगणित, आठवीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम .: शिक्षा, 2006।

1. शैक्षणिक विचारों का त्योहार "ओपन लेसन" ()।
2. स्कूल.xvatit.com ()।
3. Rudocs.exdat.com ()।

गृहकार्य