प्रसंस्करण की विभिन्न समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए और, उनका गणितीय सूत्रीकरण आवश्यक है, जिसमें मुख्य रूप से एक गणितीय विवरण शामिल है, अर्थात, अध्ययन की वस्तु के रूप में AND का एक मॉडल। आज तक, ऐसे कई मॉडल विकसित किए गए हैं, जिनमें से कुछ की चर्चा इस अध्याय में की गई है।

1.1. यादृच्छिक क्षेत्र

वर्तमान में सबसे आम सूचना परिसर हैं, जिनमें स्थानिक सेंसर सिस्टम और डिजिटल कंप्यूटर शामिल हैं। इसलिए, हम मुख्य रूप से असतत स्थानिक और लौकिक चर के साथ एमआई पर विचार करेंगे। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान लेंगे कि एमपी एक इकाई चरण के साथ बहुआयामी आयताकार ग्रिड पर दिए गए हैं। अंजीर पर। 1.1a और 1.1b द्वि-आयामी और त्रि-आयामी ग्रिड दिखाते हैं। सामान्य स्थिति में, AND को n-आयामी ग्रिड के नोड्स पर दिया जाता है।

भौतिक प्रकृति के आधार पर, और के मान अदिश (उदाहरण के लिए, एक मोनोक्रोमैटिक छवि की चमक), वेक्टर (वेग क्षेत्र, रंग छवियां, विस्थापन क्षेत्र) और अधिक जटिल-मूल्यवान (उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स) हो सकते हैं। यदि मान द्वारा और नोड (पिक्सेल) में दर्शाया जाता है, तो AND ग्रिड पर इन मानों की समग्रता है: .

यदि डेटा ANDs का समय अनुक्रम है, तो कभी-कभी इस क्रम को एक AND के रूप में मानना ​​सुविधाजनक होता है, जिससे ग्रिड आयाम एक से बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, फ्लैट ANDs (चित्र। 1.1, a) के अनुक्रम को एक त्रि-आयामी और (चित्र। 2.1, b) के रूप में माना जा सकता है।

यदि आप किसी अस्थायी चर को विशेष रूप से हाइलाइट करना चाहते हैं, तो हम इसे ऊपर से लिखेंगे: . यह AND ग्रिड और I के प्रत्यक्ष उत्पाद पर दिया जाता है, जहाँ I समय सूचकांक के मानों का समुच्चय है। अनुप्रस्थ काट , अर्थात। रीडिंग का सेट और समय सूचकांक i के एक निश्चित मान के लिए, कहा जाता है आई-वें फ्रेम और. प्रत्येक फ्रेम एक ग्रिड पर सेट है। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 1.1b तीन द्वि-आयामी फ़्रेम दिखाता है।

इस प्रकार, एमआई को एक बहुआयामी ग्रिड पर परिभाषित कुछ फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है। तत्वों का मूल्य और पहले से सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है (अन्यथा अवलोकन प्रणाली की आवश्यकता नहीं होगी), इसलिए संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के तंत्र का उपयोग करके इन मूल्यों को यादृच्छिक चर (सीवी) के रूप में मानना ​​​​स्वाभाविक है। तो, हम एमआई के मुख्य मॉडल पर आते हैं - एक बहुआयामी ग्रिड पर दिए गए एसवी की प्रणाली। ऐसी प्रणालियों को असतत यादृच्छिक क्षेत्र (आरएस) या कई चर के यादृच्छिक कार्य कहा जाता है।

एसपी का वर्णन करने के लिए, किसी भी अन्य वीएस सिस्टम की तरह, आप इसके तत्वों के संयुक्त संभाव्यता वितरण समारोह (डीएफ) या संयुक्त संभाव्यता वितरण घनत्व (पीडीडी) सेट कर सकते हैं। . हालांकि, मैं आमतौर पर बहुत बड़ी संख्या में तत्व (हजारों और लाखों) होते हैं, इसलिए डीएफ (या पीडीएफ) इतने सारे चर के साथ असीम हो जाता है और एसपी का वर्णन करने के लिए अन्य, कम बोझिल तरीकों की आवश्यकता होती है।

परिचय

भौतिक संसार की वस्तुएं जटिल और विविध हैं। निर्मित, अध्ययन और उपयोग की गई छवियों में उनके सभी गुणों का प्रतिबिंब बहुत कठिन है, और आवश्यक नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि वस्तु की छवि में वे विशेषताएं हों जो इसके उपयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। मॉडलिंग विधि मूल वस्तु को एक स्थानापन्न वस्तु से बदल देती है जिसमें मूल वस्तु के बारे में नई जानकारी प्राप्त करने के लिए एक निश्चित समानता होती है। मूल। एक मॉडल मूल वस्तु का एक स्थानापन्न वस्तु है, जिसे मूल के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

गणितीय मॉडल प्रतीकात्मक मॉडल को संदर्भित करते हैं और गणितीय प्रतीकों, सूत्रों, अभिव्यक्तियों के रूप में वस्तुओं के विवरण का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि पर्याप्त रूप से सटीक गणितीय मॉडल उपलब्ध है, तो गणितीय गणनाओं के माध्यम से, विभिन्न परिस्थितियों में किसी वस्तु के कामकाज के परिणामों की भविष्यवाणी करना संभव है, विभिन्न संभावित विकल्पों में से सबसे अच्छा परिणाम देने वाले को चुनना।

यह पत्र गणितीय मॉडलिंग विधियों के वर्गीकरण के प्रकार प्रस्तुत करता है और कुछ विधियों का वर्णन करता है:

रैखिक प्रोग्रामिंग एक गणितीय मॉडलिंग तकनीक है जो प्रतिस्पर्धी नौकरियों के बीच सीमित संसाधनों को आवंटित करने के लिए सबसे अच्छा विकल्प खोजने का काम करती है।

सिमुलेशन मॉडलिंग। सिमुलेशन मॉडलिंग का उद्देश्य अध्ययन के तहत सिस्टम के व्यवहार को उसके तत्वों के बीच सबसे महत्वपूर्ण संबंधों के विश्लेषण के परिणामों के आधार पर पुन: पेश करना है, या दूसरे शब्दों में, विभिन्न प्रयोगों के संचालन के लिए अध्ययन किए गए विषय क्षेत्र का एक सिम्युलेटर विकसित करना है।

गणितीय मॉडलिंग विधियों का वर्गीकरण

अनुप्रयुक्त गणितीय मॉडलों की विविधता के कारण, उनका सामान्य वर्गीकरण कठिन है। साहित्य में आमतौर पर वर्गीकरण दिए जाते हैं, जो विभिन्न दृष्टिकोणों और सिद्धांतों पर आधारित होते हैं।

एक श्रेणीबद्ध स्तर से संबंधित होने सेगणितीय मॉडल को माइक्रो-लेवल, मैक्रो-लेवल, मेटा-लेवल मॉडल में विभाजित किया गया है। प्रक्रिया के सूक्ष्म स्तर पर गणितीय मॉडल होने वाली भौतिक प्रक्रियाओं को दर्शाते हैं, उदाहरण के लिए, धातुओं को काटते समय। वे संक्रमण (मार्ग) स्तर पर प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं।

प्रक्रिया के मैक्रो स्तर पर गणितीय मॉडल तकनीकी प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं।

प्रक्रिया के मेटा-स्तर पर गणितीय मॉडल तकनीकी प्रणालियों (अनुभागों, कार्यशालाओं, समग्र रूप से उद्यम) का वर्णन करते हैं।

प्रदर्शित वस्तु गुणों की प्रकृति सेमॉडल को संरचनात्मक और कार्यात्मक में वर्गीकृत किया जा सकता है

मॉडल संरचनात्मक है, अगर इसे डेटा संरचना या डेटा संरचनाओं और उनके बीच संबंधों द्वारा दर्शाया जा सकता है। बदले में, एक संरचनात्मक मॉडल पदानुक्रमित या नेटवर्क हो सकता है।

मॉडल पदानुक्रमित (पेड़ जैसा) है, - यदि इसे कुछ पदानुक्रमित संरचना (पेड़) द्वारा दर्शाया जाता है; उदाहरण के लिए, खोज ट्री में मार्ग खोजने की समस्या को हल करने के लिए, आप चित्र 1 में दिखाया गया ट्री मॉडल बना सकते हैं।

चित्र 1 - श्रेणीबद्ध संरचना का मॉडल।

मॉडल नेटवर्क है, अगर इसे कुछ नेटवर्क संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक नए घर के निर्माण में विभिन्न ऑपरेशन शामिल हैं जिन्हें चित्र 2 में दिखाए गए नेटवर्क मॉडल में दर्शाया जा सकता है।

चित्र 2 - नेटवर्क संरचना मॉडल।

मॉडल कार्यात्मक है, अगर इसे कार्यात्मक संबंधों की प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, न्यूटन का नियम और वस्तुओं के उत्पादन का मॉडल कार्यात्मक है।

वैसे वस्तु गुणों का प्रतिनिधित्व किया जाता हैमॉडल विश्लेषणात्मक, संख्यात्मक, एल्गोरिथम और सिमुलेशन में विभाजित हैं।

विश्लेषणात्मक गणितीय मॉडल इनपुट और आंतरिक मापदंडों के कार्यों के रूप में आउटपुट मापदंडों के स्पष्ट गणितीय अभिव्यक्ति हैं और किसी भी प्रारंभिक स्थितियों के लिए अद्वितीय समाधान हैं। उदाहरण के लिए, अभिनय बलों के संदर्भ में काटने (मोड़ने) की प्रक्रिया एक विश्लेषणात्मक मॉडल है। इसके अलावा, एक द्विघात समीकरण जिसमें एक या अधिक समाधान होते हैं, एक विश्लेषणात्मक मॉडल होगा। मॉडल संख्यात्मक होगा यदि उसके पास विशिष्ट प्रारंभिक स्थितियों (अंतर, अभिन्न समीकरण) के तहत समाधान हैं।

मॉडल एल्गोरिथम है यदि इसे किसी एल्गोरिथम या एल्गोरिदम के एक सेट द्वारा वर्णित किया गया है जो इसके कामकाज और विकास को निर्धारित करता है। इस प्रकार के मॉडल की शुरूआत (वास्तव में, ऐसा लगता है कि किसी भी मॉडल को इसके अध्ययन के लिए एक एल्गोरिथ्म द्वारा दर्शाया जा सकता है) काफी उचित है, क्योंकि सभी मॉडलों का अध्ययन या एल्गोरिथम रूप से लागू नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्याओं की अनंत घटती श्रृंखला के योग की गणना के लिए एक मॉडल एक निश्चित निर्दिष्ट डिग्री सटीकता तक एक श्रृंखला के परिमित योग की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म हो सकता है। एक प्रसिद्ध आवर्तक सूत्र का उपयोग करके इसके अनुमानित, मनमाने ढंग से सटीक मान की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म एक संख्या X के वर्गमूल के लिए एक एल्गोरिथम मॉडल के रूप में काम कर सकता है।

एक सिमुलेशन मॉडल, यदि इसका उद्देश्य मॉडल के कुछ या सभी मापदंडों को अलग करके किसी वस्तु के विकास और व्यवहार के संभावित तरीकों का परीक्षण या अध्ययन करना है, उदाहरण के लिए, दो प्रकार के सामानों के उत्पादन के लिए एक आर्थिक प्रणाली का एक मॉडल। . इस तरह के एक मॉडल का उपयोग उत्पादित माल की मात्रा के कुछ मूल्यों के आधार पर कुल लागत को निर्धारित करने और बदलने के लिए एक सिमुलेशन के रूप में किया जा सकता है।

प्राप्त करने के माध्यम सेमॉडल सैद्धांतिक और अनुभवजन्य में विभाजित हैं सैद्धांतिक स्तर पर वस्तुओं (प्रक्रियाओं) के अध्ययन के परिणामस्वरूप सैद्धांतिक गणितीय मॉडल बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक नियमों के सामान्यीकरण के आधार पर प्राप्त बलों को काटने के लिए भाव हैं। लेकिन वे व्यावहारिक उपयोग के लिए अस्वीकार्य हैं, क्योंकि वे बहुत बोझिल हैं और वास्तविक प्रक्रियाओं के अनुकूल नहीं हैं। अनुभवजन्य गणितीय मॉडल प्रयोगों के परिणामस्वरूप बनाए जाते हैं (इनपुट और आउटपुट पर इसके मापदंडों को मापकर किसी वस्तु के गुणों की बाहरी अभिव्यक्तियों का अध्ययन करना) और गणितीय सांख्यिकी विधियों का उपयोग करके उनके परिणामों को संसाधित करना।

वस्तु के रूप के अनुसार गुण प्रतिनिधित्वमॉडल तार्किक, सेट-सैद्धांतिक और ग्राफ में विभाजित हैं। मॉडल तार्किक है, अगर इसे विधेय, तार्किक कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दो तार्किक कार्यों का एक सेट एकल-अंक योजक के गणितीय मॉडल के रूप में काम कर सकता है। एक मॉडल सेट-सैद्धांतिक है यदि इसे कुछ सेटों और उनसे संबंधित संबंधों और उनके बीच के संबंधों की सहायता से दर्शाया जा सकता है। एक ग्राफ मॉडल तब होता है जब इसे ग्राफ या ग्राफ और उनके बीच संबंधों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

स्थिरता की डिग्री के अनुसार. मॉडल को स्थिर और अस्थिर में विभाजित किया जा सकता है। एक स्थिर प्रणाली वह है, जो अपनी प्रारंभिक अवस्था से हटाकर, उसकी ओर प्रवृत्त होती है। यह कुछ समय के लिए प्रारंभिक बिंदु के आसपास दोलन कर सकता है, जैसे गति में स्थापित एक सामान्य पेंडुलम, लेकिन इसमें गड़बड़ी फीकी पड़ जाती है और समय के साथ गायब हो जाती है।

बाहरी कारकों के संबंध मेंमॉडल को खुले और बंद में विभाजित किया जा सकता है। एक बंद मॉडल एक ऐसा मॉडल है जो बाहरी (बहिर्जात) चर के स्वतंत्र रूप से संचालित होता है। एक बंद मॉडल में, समय के साथ चर के मूल्यों में परिवर्तन स्वयं चर के आंतरिक संपर्क द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक बंद मॉडल एक बाहरी चर को पेश किए बिना एक प्रणाली के व्यवहार को प्रकट कर सकता है। उदाहरण: फीडबैक वाली सूचना प्रणालियाँ बंद प्रणालियाँ हैं। वे स्व-समायोजन प्रणाली हैं, और उनकी विशेषताएं आंतरिक संरचना और अंतःक्रियाओं से प्राप्त होती हैं जो बाहरी जानकारी से इनपुट को दर्शाती हैं। बाहरी (बहिर्जात) चर से जुड़े मॉडल को खुला कहा जाता है।

समय कारक के संबंध मेंमॉडल को गतिशील और स्थिर में विभाजित किया जाता है एक मॉडल को स्थिर कहा जाता है यदि इसके विवरण में शामिल मापदंडों के बीच कोई समय पैरामीटर नहीं है। एक मॉडल को डायनेमिक मॉडल कहा जाता है यदि इसके मापदंडों में से एक समय पैरामीटर है, अर्थात यह सिस्टम (सिस्टम में प्रक्रियाओं) को समय पर प्रदर्शित करता है। इसके साथ ही।

रैखिक प्रोग्रामिंग

गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं में, सबसे सरल (और सबसे अच्छी तरह से अध्ययन की गई) तथाकथित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याएं हैं। उनके लिए विशेषता यह है कि:

ए) प्रदर्शन संकेतक (उद्देश्य समारोह) डब्ल्यू रैखिक रूप से समाधान तत्वों x 1, x 2, ....., x p और पर निर्भर करता है

बी) समाधान के तत्वों पर लगाए गए प्रतिबंधों में x 1, x 2, ..., x p के संबंध में रैखिक समानताएं या असमानताएं होती हैं

इस तरह के कार्य व्यवहार में काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, संसाधनों के आवंटन, उत्पादन योजना, परिवहन के संगठन आदि से संबंधित समस्याओं को हल करते समय। यह स्वाभाविक है, क्योंकि अभ्यास की कई समस्याओं में "लागत" और "आय" रैखिक रूप से निर्भर करते हैं खरीदे गए या निपटाए गए धन की राशि (उदाहरण के लिए, माल की एक खेप की कुल लागत रैखिक रूप से खरीदी गई इकाइयों की संख्या पर निर्भर करती है; परिवहन के लिए भुगतान परिवहन किए गए माल के वजन के अनुपात में किया जाता है, आदि)।

किसी भी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को एक मानक रूप में कम किया जा सकता है, तथाकथित "मूल रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या" (बीएलआई), जिसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: चर x 1, x 2, .. के गैर-ऋणात्मक मान खोजें। ।, x n जो समानता की शर्तों (एक) को संतुष्ट करेगा।

वह मामला जब f को अधिकतम नहीं, बल्कि चालू किया जाना चाहिए। न्यूनतम को आसानी से पिछले एक में घटाया जा सकता है यदि आप केवल f (अधिकतम f नहीं, बल्कि f" = - f) के संकेत को उलट देते हैं। इसके अलावा, आप किसी भी असमानता की स्थिति से समानता की स्थिति में जा सकते हैं, नई शुरुआत की कीमत पर अतिरिक्त चर।

उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाओं के प्रकार के आधार पर, कई प्रकार की रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं या रैखिक मॉडल को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: एक सामान्य रैखिक समस्या, एक परिवहन समस्या और एक असाइनमेंट समस्या।

परिवहन समस्या (मोंगे-कांटोरोविच समस्या) यात्रा लागत को कम करने के साथ संचायक से रिसीवर तक सजातीय वस्तुओं के इष्टतम वितरण को खोजने के बारे में एक विशेष प्रकार के रैखिक प्रोग्रामिंग की गणितीय समस्या है। समझने में आसानी के लिए, इसे न्यूनतम परिवहन लागत के साथ, प्रस्थान के बिंदुओं से उपभोग के बिंदुओं तक माल के परिवहन के लिए इष्टतम योजना की समस्या के रूप में माना जाता है।

असाइनमेंट समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है:

एक निश्चित संख्या में काम और एक निश्चित संख्या में कलाकार होते हैं। किसी भी ठेकेदार को कोई भी (लेकिन केवल एक) काम करने के लिए सौंपा जा सकता है, लेकिन अलग-अलग लागतों पर। कार्य का वितरण करना आवश्यक है ताकि न्यूनतम लागत पर कार्य पूर्ण किया जा सके। यदि कार्य और निष्पादक की संख्या समान है, तो समस्या को रेखीय समनुदेशन समस्या कहा जाता है।

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के कई तरीके हैं, विशेष रूप से ग्राफिकल विधि और सरल विधि। ग्राफिकल विधि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या की ज्यामितीय व्याख्या पर आधारित है और इसका उपयोग द्वि-आयामी अंतरिक्ष में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष की समस्याएं बहुत कम ही हल होती हैं, क्योंकि। उनके समाधान का निर्माण असुविधाजनक और दृश्य से रहित है। द्वि-आयामी समस्या के उदाहरण पर विधि पर विचार करें।

एक समाधान खोजें X \u003d (x 1, x 2), असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करना (3)

(3)

6x1 +7x2 42

जिस पर उद्देश्य फलन का मान F = 2x 1 x 2 अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है।

आइए कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली x 1 ऑक्स 2 में विमान पर समस्या के व्यवहार्य समाधान के क्षेत्र का निर्माण करें।

प्रत्येक निर्मित रेखा विमान को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है। एक अर्ध-तल के बिंदुओं के निर्देशांक मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं, जबकि दूसरा नहीं। वांछित अर्ध-तल का निर्धारण करने के लिए, आपको कुछ बिंदु लेने की आवश्यकता है जो अर्ध-तलों में से एक से संबंधित है और जाँच करें कि क्या इसके निर्देशांक इस असमानता को संतुष्ट करते हैं। यदि किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक इस असमानता को संतुष्ट करते हैं, तो वांछित अर्ध-तल वह होता है जिससे यह बिंदु संबंधित होता है। अन्यथा, एक और आधा विमान।

आइए असमानता x 1 -x 2 ≥-3 द्वारा परिभाषित अर्ध-तल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, एक सीधी रेखा (I) x 1 -x 2 \u003d-3 का निर्माण करते हुए, हम कुछ बिंदु लेते हैं जो प्राप्त दो अर्ध-विमानों में से एक से संबंधित है, उदाहरण के लिए, बिंदु O (0,0)। इस बिंदु के निर्देशांक असमानता x 1 -x 2 ≥-3 को संतुष्ट करते हैं। इसका अर्थ यह है कि जिस अर्ध-तल से बिंदु O(0,0) संबंधित है, वह असमानता x 1 -x 2 ≥-3 द्वारा निर्धारित होता है।

आइए अब असमानता 6x1+7x 2 ≤42 द्वारा परिभाषित अर्ध-तल ज्ञात करें।

हम एक लाइन II 6x 1 +7x 2 =42 बनाते हैं। बिंदु O(0,0) के निर्देशांक 6x 1 +7x 2 ≤42 की असमानता को संतुष्ट करते हैं, जिसका अर्थ है कि दूसरा आधा तल वांछित होगा।

अब हम असमानता 2 x 1 -3 x 2 ≤6 के लिए एक अर्ध-तल की तलाश कर रहे हैं। बिंदु O(0,0) के निर्देशांक असमानताओं 2 x 1 -3 x 2 ≤6 को संतुष्ट करते हैं। इसलिए, अर्ध-तल, जिससे बिंदु O(0,0) संबंधित है, असमानता 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (रेखा III) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

और असमानता x 1 + x 2 ≥4 के लिए एक अर्ध-तल। बिंदु O(0,0) के निर्देशांक असमानता x 1 + x 2 ≥4 (रेखा IV) को संतुष्ट करते हैं। अतः रेखा x 1 + x 2 =4 प्रथम अर्ध-तल द्वारा निर्धारित होती है।

असमानताओं x 1 ≥0 और x 2 ≥0 का अर्थ है कि समाधान क्षेत्र कोटि के दाईं ओर और भुज के ऊपर स्थित होगा। इस प्रकार, चित्रा 3 में छायांकित क्षेत्र एबीसीडी, समस्या की बाधाओं द्वारा परिभाषित व्यवहार्य समाधान का क्षेत्र होगा। उद्देश्य फलन आकृति ABCD के किसी एक शीर्ष पर अपना अधिकतम मान लेता है। इस शीर्ष को निर्धारित करने के लिए, हम एक सदिश C (2; -1) और एक रेखा 2x 1 -x 2 =p का निर्माण करते हैं, जहाँ p कुछ अचर है कि रेखा 2x 1 -x 2 =p में हल बहुभुज के साथ उभयनिष्ठ बिंदु हैं . आइए, उदाहरण के लिए, p=1/2 रखें और एक सीधी रेखा 2 x 1 -x 2 =1/2 बनाएं। इसके अलावा, हम निर्मित सीधी रेखा को वेक्टर की दिशा में तब तक आगे बढ़ाएंगे जब तक कि यह समाधान बहुभुज के साथ अपने अंतिम सामान्य बिंदु से न गुजर जाए। निर्दिष्ट बिंदु के निर्देशांक इस कार्य के लिए इष्टतम योजना निर्धारित करते हैं।

चित्र 3 से पता चलता है कि समाधान के बहुभुज के साथ पंक्ति 2x 1 -x 2 \u003d p का अंतिम सामान्य बिंदु बिंदु A है। यह बिंदु रेखाओं II और III का प्रतिच्छेदन है, इसलिए इसके निर्देशांक सिस्टम के समाधान के रूप में पाए जाते हैं इन पंक्तियों को परिभाषित करने वाले समीकरणों की संख्या:

(4)

6x1 +7x2 =42

इस मामले में, उद्देश्य फ़ंक्शन का मान F \u003d 2 x 1 -x 2 \u003d 2 * 5.25 - 1 * 1.5 \u003d 9.

प्वाइंट बी समस्या का इष्टतम समाधान होगा एक्स ऑप्ट = (एक्स 1 ऑप्ट, एक्स 2 ऑप्ट) और इसके निर्देशांक x 1 ऑप्ट = 5.25, x 2 ऑप्ट = 1.5 होंगे।

चित्र 3 - समस्या के स्वीकार्य समाधान का क्षेत्र

सिंप्लेक्स - विधि

यह विधि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के संदर्भ समाधानों की उद्देश्यपूर्ण गणना की एक विधि है। यह या तो इष्टतम समाधान खोजने के लिए या यह स्थापित करने के लिए कि कोई इष्टतम समाधान नहीं है, चरणों की एक सीमित संख्या की अनुमति देता है।

1) इष्टतम संदर्भ समाधान खोजने के लिए विधि निर्दिष्ट करें।

2) एक संदर्भ समाधान से दूसरे में संक्रमण की विधि निर्दिष्ट करें, जिस पर उद्देश्य फ़ंक्शन का मान इष्टतम के करीब होगा, अर्थात। संदर्भ समाधान में सुधार करने का एक तरीका इंगित करें।

3) मानदंड निर्धारित करें जो आपको इष्टतम समाधान पर संदर्भ समाधानों की गणना को समय पर रोकने या इष्टतम समाधान की अनुपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है।

सरल विधि द्वारा समस्या को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) समस्या को विहित रूप में लाएं।

2) "इकाई आधार" के साथ प्रारंभिक संदर्भ समाधान खोजें (यदि कोई संदर्भ समाधान नहीं है, तो बाधाओं की प्रणाली की असंगतता के कारण समस्या का कोई समाधान नहीं है)।

3) संदर्भ समाधान के आधार पर वेक्टर विस्तार के अनुमानों की गणना करें और सरल विधि की तालिका भरें।

4) यदि इष्टतम समाधान की विशिष्टता की कसौटी संतुष्ट हो जाती है, तो समस्या का समाधान समाप्त हो जाता है। यदि इष्टतम समाधानों के एक सेट के अस्तित्व की शर्त संतुष्ट है, तो सरल गणना द्वारा, सभी इष्टतम समाधान पाए जाते हैं।

गणितीय विधियों की कम्प्यूटेशनल दक्षता का अनुमान आमतौर पर दो मापदंडों का उपयोग करके लगाया जाता है:

1) समाधान प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या;

2) मशीन समय की लागत।

संख्यात्मक प्रयोगों के परिणामस्वरूप, सरल विधि के लिए निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए:

1) मानक रूप में बाधाओं और चरों के साथ रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने में पुनरावृत्तियों की संख्या और के बीच है। पुनरावृत्तियों की औसत संख्या। पुनरावृत्तियों की संख्या पर ऊपरी सीमा है।

2) आवश्यक मशीन समय के समानुपाती होता है।

प्रतिबंधों की संख्या चर की संख्या से अधिक कम्प्यूटेशनल दक्षता को प्रभावित करती है, इसलिए, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को तैयार करते समय, किसी को भी प्रतिबंधों की संख्या को कम करने का प्रयास करना चाहिए, भले ही चर की संख्या में वृद्धि हो।

सिमुलेशन विधि की मूल अवधारणाएं।

शब्द "सिमुलेशन मॉडलिंग" ("सिमुलेशन मॉडल") का अर्थ आमतौर पर एक प्रक्रिया की कुछ विशेषताओं के मूल्यों की गणना है जो समय के साथ अपने गणितीय मॉडल का उपयोग करके कंप्यूटर पर इस प्रक्रिया के पाठ्यक्रम को पुन: प्रस्तुत करके विकसित होती है, और यह या तो असंभव है या अन्य तरीकों से आवश्यक परिणाम प्राप्त करना बेहद मुश्किल है। एक गणितीय मॉडल का उपयोग करके कंप्यूटर पर प्रक्रिया प्रवाह के पुनरुत्पादन को आमतौर पर सिमुलेशन प्रयोग कहा जाता है।

सिमुलेशन मॉडल उन मॉडलों के वर्ग से संबंधित हैं जो वर्णित प्रक्रिया की विशेषताओं के बीच संबंधों की एक प्रणाली हैं। इन विशेषताओं को आंतरिक ("अंतर्जात", "चरण चर") और बाहरी ("बहिर्जात", "पैरामीटर") में विभाजित किया गया है। लगभग आंतरिक विशेषताएं वे हैं जिनके मूल्यों को गणितीय मॉडलिंग टूल का उपयोग करके जाना जाता है; बाहरी - वे जिन पर आंतरिक विशेषताएं महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करती हैं, लेकिन उलटा संबंध (व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य सटीकता के साथ) नहीं होता है।

आंतरिक विशेषताओं के मूल्यों की भविष्यवाणी करने में सक्षम मॉडल को बंद किया जाना चाहिए ("बंद मॉडल"), इस अर्थ में कि इसके संबंध ज्ञात बाहरी लोगों के साथ आंतरिक विशेषताओं की गणना करने की अनुमति देते हैं। मॉडल की बाहरी विशेषताओं को निर्धारित करने की प्रक्रिया को इसकी पहचान या अंशांकन कहा जाता है। वर्णित वर्ग के गणितीय मॉडल (उनमें सिमुलेशन मॉडल शामिल हैं) एक मानचित्रण को परिभाषित करते हैं जो बाहरी विशेषताओं के ज्ञात मूल्यों से आंतरिक मूल्यों को प्राप्त करना संभव बनाता है। इसके बाद, इस मैपिंग को मॉडल से जुड़ी मैपिंग कहा जाएगा।

विचाराधीन वर्ग के मॉडल आंतरिक विशेषताओं से बाहरी विशेषताओं की स्वतंत्रता के अभिधारणा पर आधारित हैं, और मॉडल के संबंध इससे जुड़े मानचित्रण को रिकॉर्ड करने का एक रूप हैं। जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है, शोधकर्ता सिमुलेशन प्रक्रिया में चार मुख्य तत्वों से संबंधित है:

वास्तविक प्रणाली;

मॉडल की जा रही वस्तु का तर्क-गणितीय मॉडल;

सिमुलेशन (मशीन) मॉडल;

जिस कंप्यूटर पर सिमुलेशन किया जाता है वह एक निर्देशित कम्प्यूटेशनल प्रयोग है।

शोधकर्ता वास्तविक प्रणाली का अध्ययन करता है, वास्तविक प्रणाली का तार्किक और गणितीय मॉडल विकसित करता है। अध्ययन की अनुकरण प्रकृति का तात्पर्य तार्किक या तार्किक-गणितीय मॉडल की उपस्थिति से है जो अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करते हैं। ऊपर, एक वास्तविक प्रणाली को समय पर कार्य करने वाले अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में परिभाषित किया गया था। एक जटिल प्रणाली की समग्र प्रकृति तीन सेटों के रूप में अपने मॉडल के प्रतिनिधित्व का वर्णन करती है: ए, एस, टी, जहां
ए तत्वों का एक समूह है (बाहरी वातावरण सहित);
एस तत्वों (मॉडल संरचना) के बीच स्वीकार्य कनेक्शन का सेट है;
T समय के विचारित क्षणों का समुच्चय है।

चित्र 4 सिमुलेशन प्रक्रिया

सिमुलेशन मॉडलिंग की एक विशेषता यह है कि सिमुलेशन मॉडल आपको नकली वस्तुओं को पुन: पेश करने की अनुमति देता है:

उनकी तार्किक संरचना के संरक्षण के साथ;

व्यवहारिक गुणों के संरक्षण के साथ (प्रणाली में होने वाली घटनाओं के समय में प्रत्यावर्तन का क्रम), अर्थात्। बातचीत की गतिशीलता।

सिमुलेशन मॉडलिंग में, सिम्युलेटेड सिस्टम की संरचना को मॉडल में पर्याप्त रूप से प्रदर्शित किया जाता है, और इसके कामकाज की प्रक्रियाओं को निर्मित मॉडल पर चलाया (सिम्युलेटेड) किया जाता है। इसलिए, एक सिमुलेशन मॉडल के निर्माण में सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट या सिस्टम की संरचना और कार्यप्रणाली का वर्णन करना शामिल है।

सिमुलेशन मॉडल हैं:

निरंतर;

असतत;

निरंतर - असतत।

निरंतर सिमुलेशन मॉडल में, चर लगातार बदलते हैं, सिम्युलेटेड सिस्टम की स्थिति समय के निरंतर कार्य के रूप में बदलती है, और, एक नियम के रूप में, यह परिवर्तन अंतर समीकरणों की प्रणालियों द्वारा वर्णित है। तदनुसार, मॉडल समय की प्रगति अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर निर्भर करती है। असतत सिमुलेशन मॉडल में, सिमुलेशन समय (घटनाओं की घटना) के कुछ क्षणों में चर अलग-अलग रूप से बदलते हैं।

असतत मॉडल की गतिशीलता अगली घटना के क्षण से अगले घटना के क्षण तक संक्रमण की एक प्रक्रिया है। चूंकि वास्तविक प्रणालियों में निरंतर और असतत प्रक्रियाओं को अक्सर अलग नहीं किया जा सकता है, निरंतर-असतत मॉडल विकसित किए गए हैं जो इन दो प्रक्रियाओं की विशेषता वाले समय उन्नति तंत्र को जोड़ते हैं।

सिमुलेशन मॉडलिंग की विधि उच्च जटिलता की समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है, बड़ी संख्या में तत्वों के साथ जटिल और विविध प्रक्रियाओं की नकल प्रदान करती है। ऐसे मॉडलों में अलग कार्यात्मक निर्भरता को बोझिल गणितीय संबंधों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए जटिल संरचना वाले अध्ययन प्रणालियों की समस्याओं में सिमुलेशन मॉडलिंग का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जाता है। सिमुलेशन मॉडल में निरंतर और असतत कार्रवाई के तत्व होते हैं, इसलिए, इसका उपयोग गतिशील प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जब बाधाओं के विश्लेषण की आवश्यकता होती है, कार्यप्रणाली की गतिशीलता का अध्ययन, जब अनुकरण पर प्रक्रिया के पाठ्यक्रम का निरीक्षण करना वांछनीय होता है। एक निश्चित समय के लिए मॉडल।

सिमुलेशन मॉडलिंग स्टोकेस्टिक सिस्टम के अध्ययन के लिए एक प्रभावी उपकरण है, जब अध्ययन के तहत सिस्टम एक जटिल प्रकृति के कई यादृच्छिक कारकों से प्रभावित हो सकता है। अधूरे और गलत डेटा के साथ अनिश्चितता की स्थिति में अनुसंधान करना संभव है। सिमुलेशन मॉडलिंग निर्णय समर्थन प्रणालियों में एक महत्वपूर्ण कारक है, क्योंकि आपको बड़ी संख्या में विकल्पों (समाधानों) का पता लगाने, किसी भी इनपुट के लिए विभिन्न परिदृश्यों को चलाने की अनुमति देता है।

सिमुलेशन मॉडलिंग का मुख्य लाभ यह है कि शोधकर्ता, नई रणनीतियों का परीक्षण करने और निर्णय लेने के लिए, संभावित स्थितियों का अध्ययन करते समय, हमेशा "क्या होगा?" प्रश्न का उत्तर प्राप्त कर सकता है। सिमुलेशन मॉडल से यह अनुमान लगाना संभव हो जाता है कि जब किसी सिस्टम को डिजाइन किया जा रहा है या विकास प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जा रहा है (यानी, ऐसे मामलों में जहां एक वास्तविक प्रणाली अभी तक मौजूद नहीं है)। सिमुलेशन मॉडल में, सिम्युलेटेड प्रक्रियाओं के उच्च स्तर के विवरण सहित विभिन्न प्रदान किए जा सकते हैं। इस मामले में, मॉडल क्रमिक रूप से चरणों में बनाया गया है।

ग्रंथ सूची

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स्थानीयकरण की वस्तु के वर्गीकरण की प्रमुख विशेषताओं को निर्धारित करें और चेहरे की अभिव्यक्ति छवियों के विश्लेषण के लिए गणितीय मॉडल विकसित करें।

कार्य

चेहरे के स्थानीयकरण के तरीकों की खोज और विश्लेषण, प्रमुख वर्गीकरण सुविधाओं का निर्धारण, एक गणितीय मॉडल का विकास जो चेहरे के भावों की गति को पहचानने के कार्य के लिए इष्टतम है।

विषय

किसी दिए गए छवि वर्ग पर प्रमुख वस्तुओं के निर्माण के लिए इष्टतम रंग स्थान निर्धारित करने के अलावा, जो अध्ययन के पिछले चरण में किया गया था, वर्गीकरण की प्रमुख विशेषताओं का निर्धारण और चेहरे की अभिव्यक्ति छवियों के गणितीय मॉडल का विकास भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

इस समस्या को हल करने के लिए, सबसे पहले, सिस्टम में एक वीडियो कैमरा द्वारा चेहरे का पता लगाने के कार्य को संशोधित करने की सुविधाओं को सेट करना और फिर होंठों की गति का स्थानीयकरण करना आवश्यक है।

पहले कार्य के लिए, उनमें से दो प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए:
चेहरा स्थानीयकरण;
चेहरे पर नज़र रखने।
चूंकि हमें चेहरे के भावों को पहचानने के लिए एक एल्गोरिथ्म विकसित करने के कार्य का सामना करना पड़ रहा है, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि इस प्रणाली का उपयोग एक उपयोगकर्ता द्वारा किया जाएगा जो अपने सिर को बहुत सक्रिय रूप से नहीं हिलाएगा। इसलिए, लिप मूवमेंट रिकग्निशन टेक्नोलॉजी को लागू करने के लिए, डिटेक्शन प्रॉब्लम के सरलीकृत संस्करण को आधार के रूप में लेना आवश्यक है, जहां छवि में एक और केवल एक ही चेहरा है।

और इसका मतलब है कि चेहरे की खोज अपेक्षाकृत कम ही की जा सकती है (लगभग 10 फ्रेम / सेकंड या उससे भी कम)। उसी समय, बातचीत के दौरान वक्ता के होठों की हरकतें काफी सक्रिय होती हैं, और इसलिए, उनके समोच्च का अधिक तीव्रता से मूल्यांकन किया जाना चाहिए।

छवि में चेहरा खोजने का कार्य मौजूदा तरीकों से हल किया जा सकता है। आज, छवि में किसी चेहरे का पता लगाने और उसका स्थानीयकरण करने के कई तरीके हैं, जिन्हें 2 श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
1. अनुभवजन्य मान्यता;
2. चेहरे की छवि मॉडलिंग। .

पहली श्रेणी में चेहरे की छवियों की अपरिवर्तनीय विशेषताओं के आधार पर टॉप-डाउन पहचान विधियां शामिल हैं, इस धारणा के आधार पर कि छवि में चेहरों की उपस्थिति के कुछ संकेत हैं जो शूटिंग स्थितियों के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं। इन विधियों को 2 उपश्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
1.1. चेहरे की छवि (किनारों, चमक, रंग, चेहरे की विशेषताओं की विशेषता आकार, आदि) की विशेषता वाले तत्वों और विशेषताओं (सुविधाओं) का पता लगाना, ।;
1.2. पहचानी गई विशेषताओं का विश्लेषण, चेहरों की संख्या और स्थान पर निर्णय लेना (एक अनुभवजन्य एल्गोरिथ्म, सुविधाओं की सापेक्ष स्थिति पर आंकड़े, दृश्य छवि प्रक्रियाओं का मॉडलिंग, कठोर और विकृत टेम्पलेट्स का उपयोग, आदि), ।

एल्गोरिथ्म के सही संचालन के लिए, बाद के परीक्षण के साथ चेहरे की विशेषताओं का एक डेटाबेस बनाना आवश्यक है। अनुभवजन्य विधियों के अधिक सटीक कार्यान्वयन के लिए, मॉडल का उपयोग किया जा सकता है जो चेहरे के परिवर्तन की संभावनाओं को ध्यान में रखते हैं, और इसलिए, या तो पहचान के लिए बुनियादी डेटा का एक विस्तारित सेट है, या एक तंत्र जो मूल तत्वों पर परिवर्तन को मॉडलिंग की अनुमति देता है। . व्यक्तिगत विशेषताओं, चेहरे की विशेषताओं आदि वाले उपयोगकर्ताओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर केंद्रित क्लासिफायर डेटाबेस बनाने में कठिनाइयाँ, इस पद्धति की पहचान सटीकता में कमी में योगदान करती हैं।

दूसरी श्रेणी में गणितीय सांख्यिकी और मशीन लर्निंग के तरीके शामिल हैं। इस श्रेणी में विधियाँ छवि पहचान उपकरण पर आधारित हैं, चेहरे की पहचान की समस्या को पहचान समस्या का एक विशेष मामला मानते हुए। छवि को एक निश्चित फीचर वेक्टर सौंपा गया है, जिसका उपयोग छवियों को दो वर्गों में वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है: चेहरा/गैर-चेहरा। फीचर वेक्टर प्राप्त करने का सबसे आम तरीका छवि का उपयोग करना है: प्रत्येक पिक्सेल वेक्टर का एक घटक बन जाता है, n×m छवि को स्पेस वेक्टर R^(n×m) में बदल देता है, जहां n और m सकारात्मक पूर्णांक होते हैं . . इस प्रतिनिधित्व का नुकसान फीचर स्पेस का अत्यधिक उच्च आयाम है। इस पद्धति का लाभ मानव भागीदारी के एक क्लासिफायरियर के निर्माण की पूरी प्रक्रिया से बहिष्करण है, साथ ही एक विशिष्ट उपयोगकर्ता के लिए सिस्टम को स्वयं प्रशिक्षित करने की संभावना है। इसलिए, चेहरे के स्थानीयकरण का गणितीय मॉडल बनाने के लिए छवि मॉडलिंग विधियों का उपयोग हमारी समस्या को हल करने के लिए इष्टतम है।

जहां तक ​​फेस प्रोफाइल को विभाजित करने और फ्रेम के क्रम में होंठ बिंदुओं की स्थिति को ट्रैक करने के लिए, इस समस्या को हल करने के लिए गणितीय मॉडलिंग विधियों का भी उपयोग किया जाना चाहिए। चेहरे के भावों की गति को निर्धारित करने के कई तरीके हैं, उनमें से सबसे प्रसिद्ध सक्रिय समोच्च मॉडल पर आधारित गणितीय मॉडल का उपयोग है:

सक्रिय समोच्च मॉडल के गणितीय मॉडल के आधार पर चेहरे के भाव के क्षेत्र का स्थानीयकरण

एक सक्रिय समोच्च (सांप) एक विकृत मॉडल है जिसका टेम्पलेट एक पैरामीट्रिक वक्र के रूप में सेट किया गया है, इनपुट छवि में खुले या बंद वक्र पर स्थित नियंत्रण बिंदुओं के एक सेट द्वारा मैन्युअल रूप से प्रारंभ किया गया है।

चेहरे के भावों की छवि के लिए सक्रिय समोच्च को अनुकूलित करने के लिए, अध्ययन के तहत वस्तु का उपयुक्त द्विभाजन करना आवश्यक है, अर्थात, एक प्रकार की डिजिटल रेखापुंज छवियों में इसका परिवर्तन, और फिर मापदंडों का एक उपयुक्त मूल्यांकन सक्रिय समोच्च और फीचर वेक्टर की गणना की जानी चाहिए।

सक्रिय समोच्च मॉडल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
अंक का सेट एन;
ब्याज की ऊर्जा के आंतरिक क्षेत्र (आंतरिक लोचदार ऊर्जा अवधि);
ब्याज की ऊर्जा के बाहरी क्षेत्र (बाहरी किनारे आधारित ऊर्जा शब्द)।

मान्यता की गुणवत्ता में सुधार के लिए, दो रंग वर्गों को प्रतिष्ठित किया जाता है - त्वचा और होंठ। रंग वर्ग सदस्यता फ़ंक्शन का मान 0 से 1 के बीच होता है।

सक्रिय समोच्च मॉडल (साँप) के समीकरण को व्यक्त सूत्र v(s) द्वारा दर्शाया गया है:

जहां ई सांप की ऊर्जा है (सक्रिय समोच्च मॉडल)। पहले दो शब्द सक्रिय समोच्च मॉडल (सांप) की नियमितता ऊर्जा का वर्णन करते हैं। हमारे ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में, v(s) = , s 0 से 1 तक है। तीसरा पद छवि से प्राप्त बाहरी बल से संबंधित ऊर्जा है, चौथा दबाव बल है।

बाहरी बल ऊपर वर्णित विशेषताओं के आधार पर निर्धारित किया जाता है। यह नियंत्रण बिंदुओं को कुछ तीव्रता मान में स्थानांतरित करने में सक्षम है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

ढाल गुणक (व्युत्पन्न) की गणना संबंधित रेडियल रेखा के साथ सर्पिन बिंदुओं पर की जाती है। यदि ढाल ऋणात्मक है तो बल बढ़ता है और अन्यथा घटता है। ढाल से पहले का गुणांक एक भार कारक है जो छवि की टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। संपीड़ित बल सिर्फ एक स्थिर है, न्यूनतम भार कारक का ½ उपयोग किया जाता है। एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद ऊर्जा कार्यात्मक को कम करके सबसे अच्छा साँप आकार प्राप्त किया जाता है।

आइए बुनियादी छवि प्रसंस्करण कार्यों पर अधिक विस्तार से विचार करें। सादगी के लिए, मान लें कि हमने पहले ही स्पीकर के मुंह के क्षेत्र को किसी तरह से चुन लिया है। इस मामले में, परिणामी छवि को संसाधित करने के लिए मुख्य संचालन, जिसे हमें करने की आवश्यकता है, अंजीर में दिखाया गया है। 3.

निष्कर्ष

शोध कार्य के दौरान छवि वर्गीकरण की प्रमुख विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, एक वीडियो कैमरा द्वारा चेहरे का पता लगाने के कार्य को संशोधित करने की विशेषताओं की पहचान की गई। चेहरे के स्थानीयकरण और चेहरे के भाव के अध्ययन क्षेत्र का पता लगाने के सभी तरीकों में, मोबाइल उपकरणों के लिए एक सार्वभौमिक पहचान प्रणाली बनाने के कार्यों के लिए सबसे उपयुक्त चेहरे की छवि को मॉडलिंग करने के तरीके हैं।
चेहरे के भावों की गति की छवियों के गणितीय मॉडल का विकास अध्ययन के तहत वस्तु के द्विपदीकरण के सक्रिय समोच्च मॉडल की एक प्रणाली पर आधारित है। चूंकि यह गणितीय मॉडल आरजीबी से वाईसीबीसीआर रंग मॉडल में रंग स्थान को बदलने के बाद, रुचि की वस्तु को प्रभावी ढंग से बदलने के लिए, सक्रिय समोच्च मॉडल के आधार पर इसके बाद के विश्लेषण के लिए और छवि के उपयुक्त पुनरावृत्तियों के बाद चेहरे की अभिव्यक्तियों की स्पष्ट सीमाओं की पहचान करने की अनुमति देता है।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

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जारी रहती है

गणितीयमोडलिंग- वास्तविक के साथ अनुपालन स्थापित करने की प्रक्रिया प्रणाली एस मॉडल एम की चटाई और इस मॉडल का अध्ययन, जो वास्तविक प्रणाली की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है। आवेदन पत्र मैट मॉडलिंग आपको वस्तुओं, वास्तविक प्रयोगों का अध्ययन करने की अनुमति देता है जिन पर कठिन या असंभव है।

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग- तत्वों के कार्य की प्रक्रियाएं गणितीय संबंधों (बीजगणित, अभिन्न, भिन्न, तार्किक, आदि) के रूप में लिखी जाती हैं। चटाई। मॉडल में स्पष्ट रूप से आवश्यक मात्राएँ बिल्कुल भी नहीं हो सकती हैं। इसे वांछित मात्रा के सापेक्ष अनुपात की एक प्रणाली में परिवर्तित किया जाना चाहिए, जिससे वांछित परिणाम विशुद्ध रूप से विश्लेषण विधियों द्वारा प्राप्त किया जा सके। इससे हमारा तात्पर्य प्रपत्र के स्पष्ट सूत्र प्राप्त करना है

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, या ज्ञात रूप के समीकरण प्राप्त करना, जिसका समाधान भी ज्ञात है। कुछ मामलों में यह संभव है गुणवत्ताएक मॉडल का अध्ययन जिसमें समाधान के केवल कुछ गुण स्पष्ट रूप से पाए जा सकते हैं।

संख्यात्मक मोड-ई गणित की गणना के तरीकों का उपयोग करता है और आपको केवल अनुमानित समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता है। गुदा-एम मोड की तुलना में समस्या का समाधान कम पूर्ण है। चयनित संख्यात्मक पद्धति के ऑटो-वें कार्यान्वयन में संख्यात्मक mod-I zakl-Xia का मूलभूत नुकसान। मॉडलिंग एल्गोरिथम संख्यात्मक पद्धति को मॉडल की विशेषताओं की तुलना में अधिक हद तक दर्शाता है। इसलिए, संख्यात्मक पद्धति को बदलते समय, सिमुलेशन एल्गोरिथ्म को फिर से काम करना आवश्यक है।

सिमुलेशन मोड- वास्तविक घटनाओं के तार्किक और लौकिक अनुक्रम के अनुपालन में अध्ययन के तहत सिस्टम के कार्य की प्रक्रिया के कंप्यूटर (नकल) पर प्रजनन। इमिट-मॉड-आई के लिए विशेष रूप से घटना प्लेबैकसिस्टम में होने वाली (मॉडल द्वारा वर्णित) उनके तार्किक संरचनाऔर समय अनुक्रम. यह आपको निश्चित समय पर सिस्टम या उसके व्यक्तिगत तत्वों की स्थिति के बारे में डेटा का पता लगाने की अनुमति देता है। सिमुलेशन मॉडलिंग एक वास्तविक वस्तु पर प्रक्रियाओं के प्रयोगात्मक अध्ययन के समान है, अर्थात। स्थान पर।

12. व्युत्क्रम फलनों की विधि द्वारा एक मनमाना वितरण नियम के साथ यादृच्छिक संख्याएँ प्राप्त करना।किसी दिए गए कानून का पालन करने वाली संख्याएँ प्राप्त करने के लिए Md arr f-th सबसे सामान्य और सार्वभौमिक तरीका है। मानक मॉडलिंग पद्धति इस तथ्य पर आधारित है कि संचयी वितरण कार्य
किसी भी सतत यादृच्छिक चर का अंतराल (0; 1) में समान रूप से वितरित किया जाता है, अर्थात। किसी भी यादृच्छिक चर के लिए एक्स वितरण घनत्व के साथ एफ(एक्स) यादृच्छिक चर समान रूप से अंतराल (0;1) पर वितरित किया जाता है।

फिर एक यादृच्छिक चर एक्स एक मनमाना वितरण घनत्व के साथ एफ(एक्स) निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार गणना की जा सकती है: 1. अंतराल (0;1) में समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर r (यादृच्छिक चर R का मान) उत्पन्न करना आवश्यक है। 2. उत्पन्न यादृच्छिक संख्या को ज्ञात वितरण फ़ंक्शन के बराबर करें एफ(एक्स ) और समीकरण प्राप्त करें
. 3. समीकरण X=F -1 (r) को हल करने पर हमें वांछित मान X प्राप्त होता है

ग्राफिक समाधान

.

प्रश्न 11 के अलावा।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें जो माना जाने वाले प्रकार के मॉडलिंग के बीच अंतर को दर्शाता है।

एक प्रणाली है जिसमें तीन ब्लॉक होते हैं।

सिस्टम सामान्य रूप से कार्य करता है यदि ब्लॉक 1 और 2 में से कम से कम एक अच्छी स्थिति में है, साथ ही ब्लॉक 3 अच्छे क्रम में है। ब्लॉक f1(t), f2(t), f3(t) के अपटाइम के वितरण कार्य ज्ञात हैं। समय t पर सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना का पता लगाना आवश्यक है।

समतुल्य तर्क सर्किट

इसका मतलब है कि सिस्टम की विफलता तब होती है जब सर्किट टूट जाता है। यह निम्नलिखित मामलों में होता है:

ब्लॉक 1 और 2 विफल, ब्लॉक 3 सेवा योग्य है;

ब्लॉक 3 विफल रहा, ब्लॉक 1 और 2 में से कम से कम एक चालू है।

सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

यह सूत्र प्रणाली के गणितीय मॉडल का आधार है।

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग।यह केवल इस शर्त के तहत संभव है कि सभी अभिन्न प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। आइए मान लें कि

फिर
=
=
.

इसे ध्यान में रखते हुए, मॉडल (1) रूप लेता है

वांछित संभावना के लिए यह स्पष्ट विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है; यह केवल की गई धारणाओं के तहत मान्य है।

संख्यात्मक अनुकरण. इसकी आवश्यकता उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, जब यह स्थापित हो जाता है कि इंटीग्रल परिभाषित नहीं हैं (अर्थात प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है)। इसकी आवश्यकता उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, जब यह स्थापित हो जाता है कि वितरण f1(t), f2(t), f3(t) गॉस नियम (सामान्य) का पालन करते हैं:
. सूत्र के अनुसार गणना के लिए P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = प्रत्येक मान के लिए उन्हें संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, ट्रेपेज़ोइड्स, सिम्पसन, गॉस या अन्य तरीकों की विधि द्वारा। टी के प्रत्येक मान के लिए, गणना फिर से की जाती है।

आयत विधि, समलम्बाकार विधि, परवलय विधि। आयत विधि के साथ, एक त्रुटि होती है - गणना की अशुद्धि। लेकिन इसे 2 या अधिक अंतरालों में विभाजित किया जा सकता है। बहुत सारे इंटीग्रल दिखाई देते हैं, लेकिन यहां एक गोल त्रुटि पहले से ही होती है।

गॉस विधि

मोंटे कार्लो विधि

सिमुलेशन मॉडलिंग।नकल प्रणाली में होने वाली घटनाओं का पुनरुत्पादन है, अर्थात। प्रत्येक तत्व का सही संचालन या विफलता। यदि सिस्टम संचालन का समय t है, और ti संख्या i के साथ तत्व के विफलता-मुक्त संचालन का समय है, तो: घटना ti>t का अर्थ है समय के दौरान तत्व का सही संचालन (0; t];

घटना<=t означает отказ элемента к моменту t.

ध्यान दें कि ti नियम fi(t) के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है, जिसे स्थिति से जाना जाता है।

एक यादृच्छिक घटना का अनुकरण "समय के दौरान k-वें तत्व का सही संचालन (0; t]" है:

1) कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक संख्या ti प्राप्त करने में fi(t);

2) तार्किक अभिव्यक्ति ti>t की सच्चाई की जाँच में। यदि यह सत्य है, तो i-th तत्व कार्य कर रहा है, यदि यह असत्य है, तो यह विफल हो गया है।

सिमुलेशन एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. एन = 0, के = 0 रखो। यहाँ n यादृच्छिक प्रक्रिया की प्राप्ति (पुनरावृत्ति) की संख्या का काउंटर है; k "सफलताओं" की संख्या का काउंटर है।

2. तीन यादृच्छिक संख्याएँ t1,t2,t3, f1(t),f2(t), f3(t) के नियमों के अनुसार वितरित करें।

3. तार्किक व्यंजक L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2) की सच्चाई की जांच करें<=t)∩ (t3>टी)] वी [(t1<=t)∩ (t2>टी)∩ (टी3>टी)]

यदि L=true है, तो k=k+1 डालें और चरण 4 पर जाएँ, अन्यथा चरण 4 पर जाएँ।

4. n=n+1 लगाएं।

5.अगर नहीं<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

हम एक बार फिर जोर देते हैं: वांछित मान P(t) के सांख्यिकीय अनुमान की विश्वसनीयता के बारे में दी गई सटीकता सुनिश्चित करने के कारणों के लिए N का मान अग्रिम रूप से निर्धारित किया जाता है।

याल्टा एजुकेशनल कॉम्प्लेक्स "स्कूल-लिसेयुम नंबर 9"

जल संसाधन प्रबंधन के लिए उप निदेशकरोमानोवा ए.एन.

"प्राथमिक विद्यालय में गणित के पाठों में मॉडलिंग"

कार्यशाला

स्कूल में गणित पढ़ाना चाहिए

एक लक्ष्य के रूप में भी खड़े हो जाओ ताकि ज्ञान,

जो यहाँ मिलेगा

सामान्य के लिए पर्याप्त

जीवन में जरूरत है।

एम. लोबचेव्स्की

रिपोर्ट योजना

गणितीय शिक्षा में नए दिशानिर्देश।

मॉडलिंग के पद्धतिगत आधार। गणित का मॉडल।

प्राथमिक विद्यालय में गणित के पाठों में मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करना।

छात्रों को गणितीय मॉडलिंग की तकनीकों से परिचित कराना।

समीकरणों को हल करने में मॉडलिंग का अनुप्रयोग।

पाठ समस्याओं को हल करते हुए मॉडलिंग।

अंकन के अध्ययन में मॉडलिंग का उपयोग, संख्याओं के जोड़ और घटाव के तरीकों के साथ-साथ लंबाई की इकाइयों पर काम करने में।

गणितीय शिक्षा में नए दिशानिर्देश। (5 मिनट)

यह सर्वविदित है कि मॉडल गणित की भाषा है, और मॉडलिंग उनका भाषण है। गणित में महारत हासिल करने की सफलता सबसे पहले इस बात से निर्धारित होती है कि बच्चे ने अपनी भाषा कितनी अच्छी तरह सीखी है। यह न केवल वैज्ञानिक और संज्ञानात्मक कार्यों को हल करने में छात्र की अकादमिक सफलता से निर्धारित होता है, बल्कि व्यक्ति के जीवन की सफलता से काफी हद तक निर्धारित होता है - धन्यवादआवेदन करने की क्षमता व्यावहारिक, वास्तविक जीवन के कार्यों को हल करने के लिए गणितीय तरीके जिनकी आवश्यकता होती है। सहमत हूँ, यह भी स्कूल में गणित पढ़ाने का एक अच्छा परिणाम है।

क्या हम अपने छात्रों को गणितीय भाषण पढ़ाते हैं? या शायद हम इसे प्राथमिक विद्यालय के लिए एक कठिन कार्य मानते हैं? या क्या हम केवल यह आशा करते हैं कि दैनिक उदाहरणों और समस्याओं को हल करने के क्रम में बच्चे स्वयं धीरे-धीरे इसका उपयोग करना सीखेंगे?

कीव में स्कूलों में निगरानी डेटा के साथ-साथ सभी-यूक्रेनी निगरानी के डेटा के अनुसार, अधिकांश छात्र (क्रमशः 60% और 53%) नहीं जानते कि तैयार ग्राफिक मॉडल के साथ कैसे काम करना है, रचनात्मक कार्य करना है, और समस्याओं को हल करने के लिए नई परिस्थितियों में अपने ज्ञान को लागू करें।

गणितीय शिक्षा की इस स्थिति ने स्कूली बच्चों को गणित पढ़ाने के लिए राज्य की आवश्यकताओं के महत्वपूर्ण संशोधन की आवश्यकता को जन्म दिया है। "राज्य मानक ..." का नया संस्करण, जो इस वर्ष लागू हुआ। व्यक्तित्व-उन्मुख और योग्यता-आधारित दृष्टिकोण के दृष्टिकोण से, यह वास्तव में शिक्षक की गतिविधि को पुन: पेश करता है।योग्यता - किसी दिए गए विषय क्षेत्र में प्रभावी गतिविधि के लिए आवश्यक ज्ञान और अनुभव की उपलब्धता . आइए तुलना करें . स्थिर मेंवर्तमान राज्य मानक कहता है: "प्राथमिक विद्यालय में गणित का अध्ययन छात्रों को गणित और अन्य विषयों के आगे के अध्ययन के लिए आवश्यक ज्ञान, कौशल और क्षमता प्रदान करता है ... गणित का अध्ययन युवा छात्रों की संज्ञानात्मक क्षमताओं के विकास में योगदान देता है - स्मृति तार्किक और रचनात्मक सोच, कल्पना, गणितीय भाषण।"राज्य मानक के नए संस्करण में शैक्षिक क्षेत्र में लक्ष्य "गणित" को पहले से ही "एक तेजी से बदलती दुनिया में छात्रों के आत्म-साक्षात्कार के लिए आवश्यक विषय गणितीय और प्रमुख दक्षताओं के गठन" के रूप में परिभाषित किया गया है। विषय गणितीय क्षमता को "एक व्यक्तिगत शिक्षा के रूप में माना जाता है जो शैक्षिक, संज्ञानात्मक और व्यावहारिक रूप से उन्मुख समस्याओं को हल करते हुए गणितीय गतिविधि के अनुभव को लागू करने के लिए, आसपास की दुनिया की प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल बनाने के लिए एक छात्र (छात्र) की क्षमता की विशेषता है।"

इसलिए, गणितीय भाषण में महारत हासिल करना - गणितीय मॉडल बनाने की क्षमता - गणित पढ़ाने का मुख्य लक्ष्य बन जाता है, जिसे छात्रों के "गणितीय शब्दावली, संकेत और ग्राफिक जानकारी का उपयोग करने की क्षमता" के गठन के माध्यम से महसूस किया जाता है।

डी.बी. द्वारा विकासात्मक शिक्षा की प्रणाली द्वारा संचित मॉडलिंग (और न केवल गणित के पाठों में) छात्रों को पढ़ाने का सकारात्मक अनुभव। एल्कोनिन - वी.वी. डेविडोव, जिसका उद्देश्य छात्रों के लिए एक पूर्ण सीखने की गतिविधि विकसित करना है, जिनमें से एक मॉडलिंग है।

छात्रों की मॉडल करने की क्षमता का निर्माण विकासात्मक शिक्षा के लक्ष्यों में से एक है, और बच्चे जो मॉडल बनाते हैं और उनका उपयोग करते हैं, सबसे पहले, सीखने के कौशल बनाने के तरीकों में से एक है (और न केवल विज़ुअलाइज़ेशन का एक तरीका)।

आज की हमारी संगोष्ठी का कार्य मॉडलिंग के मुद्दों को समझना है, यह दिखाना है कि कैसे मॉडल का उपयोग युवा छात्रों को समीकरणों और समस्याओं, गणितीय गुणों, संख्याओं को जोड़ने और घटाने के तरीकों को हल करने के लिए सिखाने के लिए किया जा सकता है।

2. मॉडलिंग के पद्धतिगत आधार। (8 मिनट)

मॉडलिंग वास्तविकता की अनुभूति के साधनों में से एक है। मॉडल का उपयोग विभिन्न समस्याओं को हल करने और नई जानकारी प्राप्त करने के लिए किसी भी वस्तु (घटना, प्रक्रियाओं) का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसलिए, एक मॉडल एक निश्चित वस्तु (प्रणाली) है, जिसका उपयोग किसी अन्य वस्तु (मूल) के बारे में ज्ञान प्राप्त करने का कार्य करता है।

सिमुलेशन के उपयोग को दो पहलुओं में माना जाता है:

सबसे पहले, मॉडलिंग उस सामग्री के रूप में कार्य करता है जिसे बच्चों द्वारा शैक्षणिक प्रक्रिया के परिणामस्वरूप सीखा जाना चाहिए;

दूसरे, मॉडलिंग एक शैक्षिक क्रिया और साधन है जिसके बिना पूर्ण रूप से सीखना असंभव है।

मॉडल की दृश्यता निम्नलिखित महत्वपूर्ण नियमितता पर आधारित है: एक मॉडल का निर्माण एक मानसिक मॉडल के प्रारंभिक निर्माण पर आधारित है - मॉडलिंग की जा रही वस्तुओं की दृश्य छवियां, अर्थात विषय इस वस्तु की एक मानसिक छवि बनाता है, और तब (बच्चों के साथ) एक सामग्री या आलंकारिक मॉडल (दृश्य) बनाता है। मानसिक मॉडल वयस्कों द्वारा बनाए जाते हैं और कुछ व्यावहारिक क्रियाओं (जिसमें बच्चे भी भाग ले सकते हैं) की मदद से दृश्य मॉडल में तब्दील किए जा सकते हैं, बच्चे पहले से बनाए गए दृश्य मॉडल के साथ भी काम कर सकते हैं।

बच्चों के साथ काम करने में, आप वस्तुओं के प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं: प्रतीक और संकेत, प्लानर मॉडल (योजनाएं, नक्शे, चित्र, आरेख, रेखांकन), त्रि-आयामी मॉडल, लेआउट।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने से बहुत महत्वपूर्ण कार्यों के एक सेट को हल करने में मदद मिलती है:

बच्चों की उत्पादक रचनात्मकता का विकास;

आलंकारिक सोच के उच्च रूपों का विकास;

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में पहले अर्जित ज्ञान का अनुप्रयोग;

पहले बच्चों द्वारा अर्जित गणितीय ज्ञान का समेकन;

व्यावसायिक सहयोग के लिए परिस्थितियों का निर्माण;

बच्चों की गणितीय शब्दावली की सक्रियता;

हाथ के ठीक मोटर कौशल का विकास;

काम की प्रक्रिया में नए विचार और कौशल प्राप्त करना;

काम के सिद्धांतों और मॉडल की मदद से मूल की संरचना के बारे में बच्चों द्वारा गहरी समझ।

मॉडल हमें न केवल मॉडल की गई वस्तु की एक दृश्य छवि बनाने का अवसर देता है, यह हमें मॉडल में परिलक्षित इसके सबसे महत्वपूर्ण गुणों की एक छवि बनाने की अनुमति देता है। मॉडल विकसित करते समय अन्य सभी गैर-आवश्यक गुणों को त्याग दिया जाता है। इस प्रकार, हम प्रतिरूपित वस्तु की एक सामान्यीकृत दृश्य छवि बनाते हैं।

मॉडलिंग का वैज्ञानिक आधार सादृश्य का सिद्धांत है, जिसमें मुख्य अवधारणा है - सादृश्य की अवधारणा - उनकी गुणात्मक और मात्रात्मक विशेषताओं के संदर्भ में वस्तुओं की समानता। ये सभी प्रकार सामान्यीकृत सादृश्य - अमूर्तता की अवधारणा से एकजुट हैं। सादृश्य मॉडल और मूल के बीच तुलना की गई वस्तुओं के बीच एक विशेष प्रकार के पत्राचार को व्यक्त करता है।

मॉडलिंग बहुक्रियाशील है, अर्थात अनुसंधान या परिवर्तन के विभिन्न स्तरों (चरणों) पर विभिन्न उद्देश्यों के लिए इसका उपयोग विभिन्न तरीकों से किया जाता है। इस संबंध में, मॉडलों का उपयोग करने की सदियों पुरानी प्रथा ने मॉडलों के रूपों और प्रकारों की बहुतायत को जन्म दिया है।

एल एम फ्रिडमैन द्वारा प्रस्तावित वर्गीकरण पर विचार करें। स्पष्टता की डिग्री के दृष्टिकोण से, वह सभी मॉडलों को दो वर्गों में विभाजित करता है:

चरण 1. 1-2

· सामग्री (वास्तविक, वास्तविक);

· आदर्श।

सामग्री के लिए मॉडल में वे शामिल हैं जो किसी भी भौतिक वस्तुओं से निर्मित होते हैं।

चरण 2

सामग्री मॉडल, बदले में, में विभाजित किया जा सकता हैस्थिर (निश्चित) औरगतिशील (ऑपरेटिंग)।

चरण 3

अगले प्रकार के गतिशील मॉडल हैंएनालॉग और सिमुलेटिंग , जो इस या उस घटना को दूसरे की मदद से पुन: पेश करते हैं, कुछ अर्थों में अधिक सुविधाजनक. उदाहरण के लिए, ऐसा मॉडल - एक कृत्रिम किडनी - एक प्राकृतिक (जीवित) किडनी की तरह ही कार्य करता है, शरीर से विषाक्त पदार्थों और अन्य चयापचय उत्पादों को हटाता है, लेकिन निश्चित रूप से, यह एक जीवित किडनी की तुलना में पूरी तरह से अलग तरीके से व्यवस्थित होता है।

आदर्श मॉडल आमतौर पर तीन प्रकारों में विभाजित होते हैं:

चरण 4

· आलंकारिक (प्रतिष्ठित);

· प्रतिष्ठित (संकेत-प्रतीकात्मक);

· मानसिक (मानसिक)।

मॉडलों का वर्गीकरण विभिन्न मानदंडों के अनुसार किया जा सकता है:

1) मॉडलों की प्रकृति से (अर्थात, मॉडलिंग टूल द्वारा);

2) नकली वस्तुओं की प्रकृति से;

3) मॉडलिंग के आवेदन के क्षेत्रों द्वारा (इंजीनियरिंग में मॉडलिंग, भौतिक विज्ञान में, रसायन विज्ञान में, जीवित प्रक्रियाओं का मॉडलिंग, मानस का मॉडलिंग, आदि)

4) मॉडलिंग के स्तरों ("गहराई") द्वारा।

सबसे प्रसिद्ध isमॉडलों की प्रकृति द्वारा वर्गीकरण .

चरण 5

इसके अनुसार निम्नलिखितमॉडलिंग के प्रकार :

चरण 6

1. ऑब्जेक्ट मॉडलिंग , जिसमें मॉडल वस्तु की ज्यामितीय, भौतिक, गतिशील या कार्यात्मक विशेषताओं को पुन: पेश करता है। उदाहरण के लिए, एक पुल का एक मॉडल, एक बांध, एक हवाई जहाज के पंख का एक मॉडल, आदि।

चरण 7

2. एनालॉग सिमुलेशन , जिसमें एक ही गणितीय संबंध द्वारा मॉडल और मूल का वर्णन किया गया है। एक उदाहरण यांत्रिक, हाइड्रोडायनामिक और ध्वनिक घटनाओं का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विद्युत मॉडल हैं।

चरण 8

3. प्रतिष्ठित मॉडलिंग , जिसमें मॉडल किसी भी प्रकार के साइन फॉर्मेशन होते हैं: आरेख, ग्राफ़, आरेखण, सूत्र, ग्राफ़, शब्द और वाक्य।

चरण 9

4. प्रतिष्ठित के साथ निकटता से जुड़ा हुआ हैमानसिक मॉडलिंग , जिसमें मॉडल मानसिक रूप से दृश्य चरित्र प्राप्त करते हैं।

चरण 10

5. नकली प्रयोग - एक विशेष प्रकार का मॉडलिंग जहां स्वयं वस्तु का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि उसके मॉडल का उपयोग किया जाता है।

मॉडलिंग का मुख्य उद्देश्य अपने अध्ययन के लिए विषय में सबसे सामान्य संबंधों की पहचान करना और उन्हें ठीक करना है।

मॉडलिंग विधि एक जटिल, एकीकृत गठन है। उपचारात्मक विधियों के वर्गीकरण के अनुसार एन.जी. कज़ान्स्की और टी.एस. नाज़रोवा, मॉडलिंग पद्धति में तीन-घटक संरचना है

चरण 11(आरेख देखें)। इस प्रकार, मॉडलिंग पद्धति की संरचना मेंबाहर की ओर यह शिक्षक और छात्रों के बीच बातचीत का एक ठोस रूप है।अंदर की तरफ - यह सामान्य शैक्षिक तकनीकों (विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण, आदि) और शैक्षिक कार्य के तरीकों का एक सेट है।तकनीकी पक्ष - यह इस पद्धति की विशिष्ट तकनीकों का एक सेट है (प्रारंभिक विश्लेषण, एक मॉडल का निर्माण, इसके साथ काम करना, मॉडल से जानकारी को वांछित वस्तु में स्थानांतरित करना - मूल)।

मॉडलिंग विधि

बाहर की ओर

अंदर की तरफ

तकनीकी पक्ष

प्रपत्र:

प्रदर्शनी

बातचीत

स्वतंत्र काम

मनोवैज्ञानिक सार:

शैक्षिक कार्य का हठधर्मी तरीका;

शैक्षिक कार्य की अनुमानी पद्धति

शैक्षिक कार्य की अनुसंधान विधि

तार्किक इकाई:

विश्लेषणात्मक;

कृत्रिम;

आगमनात्मक;

निगमनात्मक;

विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक

एक मॉडल बनाने की तकनीक;

मॉडल परिवर्तन तकनीक;

मॉडल विनिर्देश तकनीक

गणित का मॉडल। गणितीय मॉडलिंग।

गणितीय मॉडल गणितीय प्रतीकों का उपयोग करते हुए बाहरी दुनिया की घटनाओं के कुछ वर्ग का एक अनुमानित विवरण है। उदाहरण के लिए, तत्वों ए, बी, सी के बीच संबंध सूत्र ए + बी = सी - एक गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त किया जाता है।

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया, अर्थात्। गणितीय मॉडलों का उपयोग करके परिघटनाओं के अध्ययन को चार चरणों में विभाजित किया जा सकता है।

चरण 12

प्रथम चरण - वस्तु की आवश्यक विशेषताओं को अलग करना।

13.

दूसरा चरण - प्रतिरूप निर्माण।

14 .

तीसरा चरण - मॉडल अनुसंधान।

15 .

चौथा चरण -मॉडल पर प्राप्त जानकारी को अध्ययन के तहत वस्तु पर स्थानांतरित करना।

मॉडलिंग की ख़ासियत यह है कि दृश्यता प्राकृतिक वस्तुओं का एक साधारण प्रदर्शन नहीं है, बल्कि बच्चों की स्वतंत्र व्यावहारिक गतिविधि को उत्तेजित करती है।. मॉडल के साथ काम करने के लिए छात्रों की क्षमता, अध्ययन की जा रही अवधारणाओं के सामान्य गुणों का अध्ययन करने के लिए इसका परिवर्तन सभी विषय क्षेत्रों में शिक्षण के मुख्य कार्यों में से एक है।

मॉडलिंग के लिए विभिन्न मॉडलों का उपयोग किया जाता है।गणितीय वस्तुएँ: संख्यात्मक सूत्र, संख्यात्मक तालिकाएं, शाब्दिक सूत्र, कार्य, बीजीय समीकरण, श्रृंखला, ज्यामितीय आंकड़े, विभिन्न आरेख, यूलर-वेन आरेख, ग्राफ़।

3. प्राथमिक विद्यालय में गणित के पाठों में मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करना। (1.5 मिनट)

सीखने की प्रक्रिया में अनुभूति की एक विधि के रूप में मॉडलिंग पद्धति में महारत हासिल करने के लिए युवा छात्रों की आवश्यकता को विभिन्न पदों से उचित ठहराया जा सकता है।

चरण 16

सबसे पहले , यह एक द्वंद्वात्मक-भौतिकवादी विश्वदृष्टि के निर्माण में योगदान देता है।

17.

दूसरे जैसा कि प्रयोगों से पता चलता है, शिक्षा की सामग्री में मॉडल और मॉडलिंग की अवधारणाओं की शुरूआत छात्रों के विषय के प्रति दृष्टिकोण को महत्वपूर्ण रूप से बदल देती है, उनकी सीखने की गतिविधियों को अधिक सार्थक और अधिक उत्पादक बनाती है।

18.

तीसरे मॉडलिंग पद्धति में उद्देश्यपूर्ण और व्यवस्थित प्रशिक्षण युवा छात्रों को वैज्ञानिक ज्ञान के तरीकों के करीब लाता है, उनके बौद्धिक विकास को सुनिश्चित करता है। अनुभूति के एक तरीके के रूप में मॉडलिंग के साथ छात्रों को "हाथ" करने के लिए, एक शिक्षक के लिए उन्हें विभिन्न वैज्ञानिक मॉडल दिखाने और व्यक्तिगत घटनाओं के मॉडलिंग की प्रक्रिया को दिखाने के लिए पर्याप्त नहीं है। यह आवश्यक है कि स्कूली बच्चे स्वयं मॉडलिंग की मदद से मॉडल का निर्माण करें, किसी भी वस्तु, घटना का अध्ययन करें। जब छात्र, एक व्यावहारिक गणितीय (प्लॉट) समस्या को हल करते हुए, यह समझते हैं कि यह किसी वास्तविक स्थिति का एक प्रतीकात्मक मॉडल है, तो इसके विभिन्न मॉडलों का एक क्रम बनाते हैं, फिर इन मॉडलों का अध्ययन (हल) करते हैं और अंत में, परिणामी समाधान का अनुवाद करते हैं। मूल समस्या की भाषा, तो अधिकांश स्कूली बच्चे मॉडलिंग पद्धति में महारत हासिल करते हैं।

छात्रों को गणितीय मॉडलिंग की तकनीकों से परिचित कराना। (10 मिनटों)

प्रसिद्ध मनोवैज्ञानिक पी। गैल्परिन और उनके सहयोगियों ने मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन का एक सिद्धांत विकसित किया। इस सिद्धांत के अनुसार, सीखने की प्रक्रिया को मानसिक क्रियाओं की एक प्रणाली में बच्चे की महारत के रूप में देखा जाता है, जो आंतरिककरण (अंदर संक्रमण) की प्रक्रिया में होती है और बाहरी व्यावहारिक गतिविधि से मेल खाती है।

बच्चा वस्तुओं के साथ व्यावहारिक क्रियाएं करता है (पहले वास्तविक के साथ, और फिर काल्पनिक के साथ) - वस्तुनिष्ठ क्रियाएं। उनमें से, पहले एक कॉपी ड्राइंग पर और फिर ऑब्जेक्ट मॉडल पर भरोसा करते हुए, वह ग्राफिक मॉडल पर आगे बढ़ता है। गणितीय चिह्नों, मात्राओं को निर्दिष्ट करने के लिए अक्षरों के परिचय के बाद, छात्र क्रियाओं का वर्णन करने के लिए सूत्रों का उपयोग करता है, अर्थात। प्रतीकात्मक-अक्षर मॉडल, और फिर मौखिक मॉडल (परिभाषाएं, नियम)।

उदाहरण के लिए, बच्चों को एक विशिष्ट व्यावहारिक कार्य दिया जाता है, जिसके लिए उन्हें एक ही आयतन के दो बर्तन (आकार में भिन्न) खोजने की आवश्यकता होती है।फोटो चरण 19

उसके बाद, बच्चे (और शिक्षक नहीं) व्यावहारिक क्रियाएं करते हैं: एक जार में पानी डालें, दूसरे में डालें। यदि पहले का सारा पानी दूसरे घड़े में चला जाए, तो इन घड़ों का आयतन बराबर होगा। बच्चों को ऐसी दो स्ट्रिप्स लेने की पेशकश करने की सलाह दी जाती है, जिसके साथ आप वॉल्यूम, आकृतियों के बीच के संबंध के बारे में बता सकते हैं - वे समान या भिन्न हैं। यदि जार का आयतन समान है, तो बच्चों को समान लंबाई की दो पट्टियाँ उठानी चाहिए, और यदि वे भिन्न हैं, तो वे लंबाई में भिन्न हैं।एक तस्वीर

चरण 20

बच्चों को एक ग्राफिकल मॉडल के उपयोग के लिए लाने के लिए, एक विशिष्ट व्यावहारिक कार्य निर्धारित करना आवश्यक है: एक ड्राइंग की मदद से यह दिखाएं कि एक जार का आयतन दूसरे से बड़ा है। अनुभव से पता चलता है कि बच्चे डिब्बे का आकार बनाना शुरू करते हैं, अर्थात। एक कॉपी ड्राइंग बनाएं, या धारियां बनाएं, जिसके साथ उन्होंने डिब्बे की मात्रा का अनुपात दिखाया।

चित्र पर चर्चा करने के बाद, हम निष्कर्ष निकालते हैं: डिब्बे खींचना एक असफल तरीका है (गलत चित्र, डिब्बे की मात्रा का अनुपात नहीं दिखाया गया है, काम में बहुत समय लगता है)। लेकिन बच्चों में धारियां चौड़ाई और लंबाई में भी भिन्न होती हैं, इसमें भी काफी समय लगता है।

नतीजतन, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि पट्टी की चौड़ाई को बिल्कुल भी नहीं खींचना अधिक सुविधाजनक है, बल्कि केवल पट्टी की लंबाई (यानी, खंड) खींचना है। यदि मात्राएँ (लंबाई, क्षेत्रफल, द्रव्यमान, आयतन, आदि) समान हैं, तो उनके पास समान लंबाई के खंड हैं, और यदि वे समान नहीं हैं, तो उनकी लंबाई अलग होनी चाहिए।एक नोटबुक में फोटो। चरण 21.

इस प्रकार, खंडों का उपयोग करके मात्राओं का प्रतिनिधित्व पेश किया जाता है। बच्चे मात्राओं को योजनाबद्ध रूप से निर्दिष्ट करना सीखते हैं, और फिर ग्राफिकल (रैखिक) मॉडल बनाते हैं।

पहली कक्षा में "संपूर्ण" और "भाग" की अवधारणाओं को पेश करना और इन अवधारणाओं के बीच संबंध स्थापित करने के लिए छात्रों के कौशल को विकसित करना भी समीचीन है। गणित की भाषा में कैसे लिखें कि, उदाहरण के लिए, एक सेब में अलग-अलग हिस्से होते हैं? यदि सेब पूरा है, तो हम इसे एक सर्कल के साथ निरूपित करेंगे, और हम सेब के ढेर को त्रिकोण के साथ निरूपित करेंगे, और हमें ऐसा ग्राफिकल मॉडल मिलेगा।

चरण 22स्लाइड 7

+ + + =

सरलीकृत करें और एक मूल मॉडल रखें:

चरण 23. + =

संपूर्ण और भाग सापेक्ष अवधारणाएं हैं। इस संबंध के मुख्य गुण (प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर): पूर्ण भाग से छोटा नहीं हो सकता, और भाग पूर्ण से बड़ा नहीं हो सकता; संपूर्ण भागों के योग के बराबर है, और भाग पूरे और दूसरे भाग के बीच के अंतर के बराबर है

चरण 24 = -

हर कोई उन किरणों से अच्छी तरह वाकिफ है जो परंपरागत रूप से किसी संख्या की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती हैं।चरण 25स्लाइड 8

तो भागों और पूरे के बीच संबंध को साइन-ग्राफिक नोटेशन का उपयोग करके दिखाया जा सकता है:

साथ मेंचरण 26

ए |____________|________________|

बी ए बी

आरेख जो जोड़ की क्रिया का वर्णन करता है, उसी समय विपरीत क्रिया का वर्णन करता है - घटाव:

चरण 27स्लाइड 9

अंश और पूर्ण की अवधारणा मात्राओं के योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों का परिचय देना संभव बनाती है।स्लाइड 10, 11 (2 चरण), 12

चरण 28, 29, 30

जोड़ और घटाव की तरह, आप गुणा और भाग सीखने के लिए सिमुलेशन का भी उपयोग कर सकते हैं।

परंपरागत रूप से, गुणन को समान शब्दों के योग के रूप में माना जाता है। मान लीजिए A का मान B बार जोड़ा जाता है:स्लाइड 13.

चरण 31.ए+ए+ए+ए+ए = एक्सबी

सूत्र ए एक्स बी इस तरह पढ़ता है: "बी समय के लिए ए लें" या "ए के लिए एक समय",

चरण 32जहाँ A वह भाग (माप) है, जिसे ma त्रिभुज द्वारा निरूपित किया गया था।

बी - बराबर भागों की संख्या (माप की संख्या), हम इसे एक वर्ग के साथ निरूपित कर सकते हैं।

संपूर्ण को निरूपित करने के लिए, हम एक ही चिह्न - एक वृत्त का उपयोग करते हैं।

संपूर्ण को ए और बी संख्याओं को गुणा करने के अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणाम के रूप में वर्णित किया गया है।

एक्स \u003d ए एक्स बी \u003d सी योजना जो इस क्रिया का वर्णन करती है:

|____|_А______|_____________|

यह स्पष्ट है कि जब हम विभाजन को सामग्री के अनुसार या समान भागों में विभाजित करने के उद्देश्य से एक उद्देश्यपूर्ण क्रिया के रूप में मानते हैं, तो गुणा और भाग के बीच संबंध स्थापित करना संभव होगा। अब, गुणन सूत्र के अतिरिक्तचरण 33आह बी \u003d सी, हमें दो व्युत्क्रम विभाजन मिलते हैंचरण 34.सी: ए = बी औरचरण 35. सी: बी \u003d ए (ज्यामितीय आकृतियों के साथ)। इसका मतलब है कि एक गुणन सर्किट एक डिवीजन सर्किट है।

समीकरणों को हल करने में मॉडलिंग का अनुप्रयोग। (10 मिनटों)

समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि के सही चुनाव के लिए, पूरे और भाग के संबंध को खोजने में सक्षम होना आवश्यक है। जब यह अवधारणा बनती है, तो बच्चे पूरे को भागों और भागों के माध्यम से व्यक्त करने की क्षमता प्राप्त करते हैं। एक भाग और एक पूर्ण की अवधारणा के आधार पर मात्राओं के जोड़ और घटाव के बीच संबंध स्थापित करना, योग और घटा के साथ पूरे की तुलना करना संभव बनाता है, भागों या घटाए गए और अंतर के साथ और विभिन्न क्रियाओं को देखना संभव बनाता है: ए + B \u003d C, C-A \u003d B, या C-B=A - मात्राओं के बीच समान संबंध को दर्शाता है।

समीकरणों को हल करते समय अज्ञात का पता लगाना न केवल नियमों में मदद करता है, बल्कि एक चित्रमय मॉडल के रूप में प्रस्तुत भागों और संपूर्ण के बीच के संबंध को भी मदद करता है।स्लाइड 14 चरण 36.

समीकरणों को हल करने के लिए सीखने के लिए कार्य एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

हम समीकरण की योजना बनाते हैं। एक्स +5 = 12चरण 37.

हम पूरे और भागों को पहले आरेख में पाते हैं, फिर समीकरण में (रेखांकित)

हम अज्ञात घटक का नाम देते हैं। हमें पता चलता है कि यह क्या है: एक संपूर्ण या एक भाग।

हम विश्लेषण करते हैं कि हम अज्ञात मूल्य कैसे प्राप्त करेंगे।

हम ढूंढेएक्स। चरण 38, 39

घटाव समीकरण को हल करते समय निर्मित योजना का उपयोग किया जा सकता है। 12 - x \u003d 5, चूंकि परिपथ जो जोड़ की क्रिया का वर्णन करता है, उसी समय घटाव के लिए एक परिपथ है. नोटबुक से फ़ोटो के उदाहरण

स्लाइड 15,16 (+1 कदम ), 17, 18.

चरण, 40, 41, 41-ए, 42.43

कार्य इन समीकरणों को आरेखों में फैलाना और एक व्यंजक बनाना है

स्लाइड 19 चरण 44, 45. 44-ए, 45-बी

अज्ञात कारक, भाजक और लाभांश खोजने के लिए समीकरणों को हल करते समय सिमुलेशन का समान रूप से उपयोग किया जाता है।

स्लाइड 20( 8 कदम ) चरण 46।

यह सलाह दी जाती है कि गुणा और भाग के बीच संबंध को ठीक करते समय, क्षेत्र की अवधारणा को पेश करने के लिए, एक आयत के क्षेत्र को खोजने और अज्ञात पक्ष खोजने का सूत्र।स्लाइड 21 (1 कदम)

समीकरण उदाहरण. स्लाइड 22 ( 4 कदम)

समीकरण को हल करने के लिए एगोरिथमस्लाइड 23 .

चूंकि गुणन परिपथ एक विभाजन परिपथ है, इसलिए एक समीकरण से दो विभाजन समीकरण बनाए जा सकते हैं। क्षेत्रफल संपूर्ण है, और भुजाओं की लंबाई और चौड़ाई भाग हैं।

इसके अलावा, मॉडलिंग समीकरणों पर रचनात्मक कार्य में विविधता लाने का अवसर प्रदान करता है। तो, शिक्षक निम्नलिखित प्रकार के कार्यों की पेशकश कर सकता है:

स्लाइड 24

आरेख की सहायता से समीकरण लिखिए और हल कीजिए।चरण 48

स्लाइड 25 ( मेहमानों के साथ निर्णय लें )

(कई समीकरण और एक आरेख दिया गया है) यह आरेख किस समीकरण में फिट बैठता है? खोजें और निर्णय लें।चरण 49

स्लाइड 26, 27. 28, 29.

गिनते समय समीकरण हल करें. चरण 50, 51, 52.53

स्लाइड 30 (10 कदम), 31

समीकरण की योजना के अनुसार समस्या की स्थितियाँ बनाना।

नई प्रस्तुति। (कार्यशाला 2)

पाठ समस्याओं को हल करते हुए मॉडलिंग (18 मिनट)

स्लाइड 1

कोई इस राय से सहमत नहीं हो सकता है कि आधुनिक शिक्षा एक भौतिक विज्ञानी, रसायनज्ञ, इतिहासकार, भूगोलवेत्ता की स्थिति से वास्तविक, जीवन की स्थिति को देखने की क्षमता है, इस क्षेत्र में शोधकर्ता बनने के लिए बिल्कुल नहीं, लेकिन बाद में विशिष्ट जीवन स्थितियों में समाधान खोजने के लिए।

छोटे छात्रों को गणित पढ़ाते समय एक कनिष्ठ छात्र शब्द समस्याओं को हल करके एक वास्तविक शोधकर्ता बन सकता है।

एक इनमें से एक दृष्टिकोण छात्रों में एक निश्चित प्रकार की समस्याओं को हल करने की क्षमता का निर्माण है (उदाहरण के लिए, अंतर तुलना के लिए समस्याओं को हल करना, आदि, जब एक निश्चित प्रकार की समस्या पर काम किया जा रहा हो)।एक और पाठ समस्याओं के अर्थ और गणितीय विश्लेषण के उपयोग पर आधारित है, जब समस्या का विश्लेषण डेटा से लक्ष्य (सिंथेटिक विधि) और लक्ष्य से डेटा (विश्लेषणात्मक) तक किया जाता है।तीसरा दृष्टिकोण शैक्षिक समस्याओं को हल करने की विधि के आधार पर। मॉडलिंग क्रिया का गठन पाठ समस्याओं को हल करने की क्षमता के गुणात्मक रूप से भिन्न गठन का तात्पर्य है।

साहित्य में अंकगणित और बीजगणितीय समस्याओं को प्लॉट समस्या भी कहा जाता है, क्योंकि। उनके पास हमेशा किसी न किसी घटना, घटना, क्रिया, प्रक्रिया का मौखिक विवरण होता है। किसी भी प्लॉट कार्य के पाठ को एक अलग तरीके से बनाया जा सकता है (वस्तुनिष्ठ रूप से, ग्राफिक रूप से, तालिकाओं, सूत्रों आदि का उपयोग करके), और यह मौखिक मॉडलिंग से मॉडलिंग के अन्य रूपों में संक्रमण है। इसलिए, समस्याओं पर काम करते समय, हम योजनाबद्ध और प्रतीकात्मक मॉडल के निर्माण के साथ-साथ खंडों के साथ काम करने की क्षमता पर बहुत ध्यान देते हैं, उनकी मदद से एक पाठ समस्या को रेखांकन करते हैं, एक प्रश्न उठाते हैं, समाधान एल्गोरिथ्म निर्धारित करते हैं और खोजते हैं एक जवाब। जैसा कि आप जानते हैं, छोटे छात्र के पास पर्याप्त स्तर की अमूर्त सोच नहीं होती है। और हमारा काम ठीक-ठीक उसे एक प्रतीकात्मक मॉडल के रूप में विशिष्ट वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उत्तरोत्तर सिखाना है, ताकि उसे यह सीखने में मदद मिल सके कि किसी पाठ समस्या का गणितीय भाषा में अनुवाद कैसे किया जाए। हम मानते हैं कि यह एक पाठ समस्या का ग्राफिकल मॉडलिंग है और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इसे हल करने के लिए एल्गोरिदम को दृष्टि से देखने और निर्धारित करने का एक वास्तविक अवसर मिलता है, ताकि पूर्ण कार्य का एक स्वतंत्र प्रतिबिंब हो सके।

लेकिन हर प्रविष्टि एक कार्य मॉडल नहीं होगी। एक मॉडल बनाने के लिए, इसके आगे के परिवर्तन के लिए, कार्य में चयन करना आवश्यक हैलक्ष्य, दिए गए मान, सभी अनुपात, ताकि, इस मॉडल के आधार पर, आप विश्लेषण जारी रख सकें, जिससे आप समाधान में आगे बढ़ सकें और इष्टतम समाधान ढूंढ सकें। अंकगणितीय तरीके से किसी भी समस्या का समाधान एक अंकगणितीय ऑपरेशन की पसंद से जुड़ा होता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रश्न का उत्तर देना संभव होता है। गणितीय मॉडल की खोज को सुविधाजनक बनाने के लिए, एक सहायक मॉडल का उपयोग करना आवश्यक है।स्लाइड 2 (ग्रेड 1 में घटकों के साथ परिचित)।

समस्या की स्थिति में स्थिति को फिर से बनाने के लिए, आप एक योजनाबद्ध ड्राइंग का उपयोग कर सकते हैं जो समस्या के पाठ से संख्याओं पर एक निश्चित अंकगणितीय ऑपरेशन के सहसंबंध के लिए एक संक्रमण प्रदान करेगा, जो एक सचेत और मजबूत आत्मसात के गठन में योगदान देता है। समस्या पर काम करने की सामान्य विधि के बारे में। यह मॉडल छात्र को यह समझाने की क्षमता बनाने की अनुमति देता है कि उसे समस्या के प्रश्न का उत्तर कैसे मिला। लेकिन एक योजनाबद्ध मॉडल तभी प्रभावी होता है जब यह प्रत्येक छात्र के लिए समझ में आता है और मौखिक मॉडल को आरेख की भाषा में अनुवाद करने के कौशल विकसित किए गए हैं। जोड़ और घटाव की सरल समस्याओं को हल करना सीखते समय, अवधारणाओं को पेश किया जाता है: संपूर्ण, भाग और उनका अनुपात।स्लाइड 3. (2 कदम)

एक भाग को खोजने के लिए, आपको दूसरे भाग को पूर्ण में से घटाना होगा।

पूरे को खोजने के लिए, आपको भागों को जोड़ना होगा।

सरल गुणन और विभाजन की समस्याओं को हल करना सीखते समय, एक योजना और संबंधित नियम पेश किए जाते हैं:

पूरे को खोजने के लिए, आपको उपायों की संख्या से माप को गुणा करना होगा।

माप खोजने के लिए, आपको पूर्णांक को मापों की संख्या से विभाजित करना होगा।

उपायों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको पूर्णांक को माप से विभाजित करना होगा।

स्लाइड 4. (3 कदम)

सीखने के लिए यह दृष्टिकोण आपको सरल कार्यों के पुराने वर्गीकरण से दूर जाने की अनुमति देता है। डेटा और क्या मांगा जा रहा है, को इस तरह से चित्रित करना महत्वपूर्ण है कि मात्राओं के बीच निर्भरता पर्याप्त रूप से स्पष्ट हो। समस्या, और उनके संबंधों में विचार किया।

एक उदाहरण के रूप में, मैं ग्राफिक मॉडल का उपयोग करके कई पाठ समस्याएं और उनके समाधान दूंगा।

कार्य 1स्लाइड 5. (5 कदम)

एक्वेरियम में 4 बड़ी और 5 छोटी मछलियां होती हैं। एक्वेरियम में कितनी मछलियाँ हैं?

चित्रों से समस्याओं और भावों को संकलित करने के लिए अभ्यास (उलटा समस्याएं)स्लाइड 6. ( 8 कदम)स्लाइड 7.

टास्क 2स्लाइड 8

लीना के पास 5 नाशपाती हैं। और मीशा के पास लीना से 4 अधिक हैं। मीशा के पास कितने नाशपाती हैं?

चित्र से कार्यों को संकलित करने और समाधान रिकॉर्ड करने के लिए कार्य का एक उदाहरण।स्लाइड 9.

टास्क 3स्लाइड 10. (5 कदम)

लीना के पास 10 नाशपाती हैं। यह आड़ू से 3 अधिक है। लीना के पास कितने आड़ू हैं?

कार्य 4.स्लाइड 11 (4 कदम)।

साशा ने 8 रिव्निया के लिए 5 नोटबुक और 33 रिव्निया के लिए ड्राइंग के लिए एक एल्बम खरीदा। साशा ने खरीदारी के लिए कितने पैसे दिए?

एक नोटबुक की कीमत 8 UAH है - यह एक एकल खंड (माप) है। एकल खंडों की संख्या (5) नोटबुक की संख्या को इंगित करती है। खंड का दूसरा भाग कीमत (UAH 33) और एल्बमों की संख्या (1) को दर्शाता है।

कार्य 5.स्लाइड 12 (7 कदम)।साजिश करने के दो तरीके। दो समाधान

संयंत्र को 90 श्रमिकों की आवश्यकता है: 50 टर्नर, 10 ताला बनाने वाले, बाकी लोडर हैं। कितने मूवर्स की जरूरत है?

स्लाइड 13 (3 कदम)प्रतिलोम समस्या की रचना करना। रुकना

कार्यों पर काम करने के तरीके।

परिचित होने के चरण में मैं निम्नलिखित विधियों का उपयोग करता हूं:

मॉडल के प्रत्येक घटक भाग की व्याख्या।

मॉडल बनाने के निर्देश

प्रमुख प्रश्नों पर मॉडलिंग और योजना के चरणबद्ध कार्यान्वयन।

एक योजनाबद्ध ड्राइंग को समझने के चरण में, मैं निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग करता हूं:

प्रस्तावित भूखंड और खंडीय योजना के अनुसार कार्य का पाठ तैयार करना।

योजना और संख्यात्मक अभिव्यक्ति का सहसंबंध।

योजना भरना - कार्य डेटा के साथ रिक्त स्थान।

डायग्राम भरने में गलतियाँ ढूँढना।

कार्य के लिए एक योजना का चयन करना।

योजना के लिए एक कार्य का चयन।

समस्या की शर्तों का जोड़।

स्कीमा परिवर्तन।

कार्य की शर्तों को बदलना।

कार्य पाठ बदलना।

एक योजनाबद्ध चित्र बनाना और समझना सीखने का परिणाम छात्रों द्वारा कार्यों का स्वतंत्र मॉडलिंग है।

पाठ की समस्याओं को हल करते समय, हम मॉडलिंग की क्रिया के गठन पर काम कर रहे हैं, और इसके विपरीत, बच्चा मॉडलिंग की क्रिया में जितना बेहतर महारत हासिल करता है, उसके लिए समस्याओं को हल करना उतना ही आसान होता है।

पाठ्य समस्याओं को हल करने के लिए छात्रों को विभिन्न तरीकों से परिचित कराया जाना चाहिए: अंकगणित, बीजीय, ज्यामितीय, तार्किक और व्यावहारिक; प्रत्येक विधि में अंतर्निहित विभिन्न प्रकार के गणितीय मॉडल के साथ; साथ ही चुने हुए तरीके के ढांचे के भीतर विभिन्न समाधानों के साथ। पाठ्य समस्याओं का समाधान छात्रों के विकास और शिक्षा के लिए समृद्ध सामग्री प्रदान करता है। पाठ्य समस्याओं की स्थितियों के संक्षिप्त नोट्स गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में प्रयुक्त मॉडलों के उदाहरण हैं। गणितीय मॉडलिंग की विधि आपको स्कूली बच्चों को पढ़ाने की अनुमति देती है:

ए) विश्लेषण (समस्या को समझने और समाधान को लागू करने का तरीका चुनने के चरण में);

बी) समस्या की वस्तुओं के बीच संबंध स्थापित करना, सबसे उपयुक्त समाधान योजना बनाना;

ग) मूल समस्या के लिए प्राप्त समाधान की व्याख्या;

d) तैयार किए गए मॉडल आदि के अनुसार कार्य तैयार करना।

कार्यों पर प्रस्तुति कार्यस्लाइड्स15-22 .

कक्षा 1 . के मॉडल पर संयोजन

ग्रेड 2

संख्याओं 4, 6, 8 को विभिन्न प्रकार से व्यवस्थित कीजिए:

ग्रेड 3-4 . में

पेड़ (36 रात्रिभोज)

नोटबुक से फोटो

नंबरिंग सीखने के लिए सिमुलेशन का उपयोग करना, संख्याओं को जोड़ना और घटाना, और लंबाई की इकाइयों पर काम करना (5 मिनट)

संख्याओं को खाते की इकाइयों और माप की इकाइयों में बदलने की क्षमता अक्सर कुछ कठिनाइयों का कारण बनती है। और यहां मदद के लिए मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। "दस" संकेंद्रित का अध्ययन करते हुए, बच्चे डॉट्स का उपयोग करके इकाइयों को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करना सीखते हैं।स्लाइड 25. मॉडल पर जोड़ना और घटाना सीखें।स्लाइड 26. (7 कदम)स्लाइड 27.

"सौ" का अध्ययन करने वाले बच्चे छोटे त्रिभुजों की सहायता से दहाई का प्रतिनिधित्व करते हैं। वे संख्याओं को गिनती इकाइयों (दशमलव और इकाइयों) में बदलना सीखते हैं और इसके समानांतर बच्चे सेंटीमीटर और डेसीमीटर से परिचित होते हैं। यह आपको लंबाई की इकाइयों के रूपांतरण में एक सादृश्य बनाने की अनुमति देता है। वे संख्यात्मक आरेखों पर दो अंकों की संख्याओं को जोड़ना भी सीखते हैं।स्लाइड 28

"हजार" का अध्ययन करने वाले बच्चे सीखेंगे कि हम सशर्त रूप से 10 त्रिकोण (दहाई) को एक बड़े त्रिकोण (एक सौ) के रूप में चित्रित करेंगे। समानांतर में, बच्चे लंबाई की एक नई इकाई सीखते हैं - मीटर। संख्याओं को गिनने वाली इकाइयों में परिवर्तित करके, हम लंबाई की इकाइयों के साथ एक समान कार्य करते हैं।स्लाइड 29, संख्या 342 . के लिए उदाहरणस्लाइड 30 (5 कदम)

संख्या 320 . के लिए उदाहरणस्लाइड 31 (6 कदम)

संख्या 302 . के लिए उदाहरणस्लाइड 32 (8 कदम)

एल्गोरिदम।स्लाइड्स 33 और 34(7 कदम)

गणित के पाठों में मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने के लिए सिफारिशें (3 मिनट)

यह समझा जाना चाहिए कि शिक्षण में मॉडलिंग वांछनीय नहीं है, लेकिन आवश्यक है, क्योंकि यह छात्रों द्वारा अनुभूति के तरीकों और सीखने की गतिविधि के तरीकों की पूर्ण और मजबूत महारत के लिए स्थितियां बनाता है।

पाठ में मॉडलिंग के मुख्य उद्देश्य हैं:

चीजों को करने के एक नए तरीके के निर्माण के तरीके के रूप में एक मॉडल का निर्माण।

सिद्धांतों के विश्लेषण, इसके निर्माण के तरीकों के आधार पर एक मॉडल बनाना सीखना।

याद रखें कि मॉडलिंग से संबंधित पहला पाठ, वास्तव में, प्रशिक्षण और व्यावहारिक कार्य निर्धारित करने के पाठ हैं। बच्चों के लिए समस्या यह है कि उनके पास सामान्य दृष्टिकोण प्रदर्शित करने के पर्याप्त तरीके नहीं हैं। हर बार जब कोई नई व्यावहारिक स्थिति सामने आती है, तो बच्चे नए रिश्तों को परिभाषित करते हैं - और फिर सवाल उठता है कि इसे ग्राफिक रूप से कैसे व्यक्त किया जाए।

इस तरह के "अमूर्त कार्य" जैसे कि एक सूत्र के अनुसार आरेख बनाना, मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करना जो कई सूत्रों का हिस्सा हैं, आदि। प्रस्ताव जब संबंध की जांच, जागरूक और संकेतों, आरेखों में बार-बार प्रदर्शित किया जाता है। मॉडल के पीछे, प्रत्येक बच्चे को वास्तविक वस्तुओं के साथ कार्य करना चाहिए जो वह अब अपनी कल्पना (मानसिक क्रियाओं) में करने में सक्षम है।

कार्य के आधार पर बच्चे के लिए मॉडल का स्थान निर्धारित किया जाता है

एक मॉडल के साथ एक क्रिया हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि विधि का निर्माण मॉडल पर करना आसान है, तो पाठ कार्य पर काम के चरण के रूप में (मात्राओं के बीच संबंध पढ़ने के दौरान योजनाबद्ध रूप से प्रदर्शित होते हैं)।

कार्रवाई पूरी होने के बाद मॉडल बनाया गया है। निष्पादित क्रिया को साकार करने के लिए, एक अलग संबंध का आरेख बनाना आवश्यक है। योजना का निर्माण इस तरह के प्रश्नों से प्रेरित है: "आपने यह कैसे किया?", "आप दूसरों को ऐसे कार्यों को करने के लिए कैसे सिखाएंगे?

और कुछ और टिप्स।

आपको विशेष साहित्य के अध्ययन से शुरुआत करनी होगी। उदाहरण के लिए, यह ई. अलेक्जेंड्रोवा, एल. पीटरसन द्वारा प्राथमिक ग्रेड और पाठ्यपुस्तकों में गणित पढ़ाने की एक पद्धति है।

अभिभावक-शिक्षक बैठकों में, माता-पिता को अपने बच्चों को पढ़ाने के तरीके से परिचित कराना सुनिश्चित करें। आपकी सलाह और निर्देश काम आ सकते हैं।

गणितीय मॉडलिंग में मास्टर कक्षाओं में प्रतिभागी बनने के लिए हर अवसर का उपयोग करें।

मैं आपको कहाँ आमंत्रित करता हूँ?