वास्तविक संख्या II
§ 46 वास्तविक संख्याओं का योग
अभी तक हम केवल परिमेय संख्याओं को एक दूसरे से जोड़ सकते हैं। जैसा कि हम जानते हैं,
लेकिन दो संख्याओं के योग का क्या अर्थ है, जिनमें से कम से कम एक अपरिमेय है, हम अभी भी यह नहीं जानते हैं। अब हमें यह परिभाषित करना होगा कि योग का क्या अर्थ है α + β दो मनमानी वास्तविक संख्या α और β .
उदाहरण के लिए, संख्या 1 / 3 और 2 पर विचार करें। आइए इन्हें अनंत दशमलव भिन्नों के रूप में निरूपित करें
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
सबसे पहले, हम इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन को एक नुकसान के साथ जोड़ते हैं। ये सन्निकटन, जैसा कि पिछले खंड के अंत में उल्लेख किया गया है, हैं विवेकीसंख्याएं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसी संख्याओं को कैसे जोड़ना है:
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
फिर हम इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन को एक अतिरिक्त के साथ जोड़ते हैं:
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
यह सिद्ध किया जा सकता है* कि वहाँ मौजूद है, इसके अलावा, एक अद्वितीय वास्तविक संख्या γ , जो एक नुकसान के साथ संख्या 1 / 3 और √2 के दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से अधिक है, लेकिन इन संख्याओं के दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से कम है:
* इस तथ्य का एक कठोर प्रमाण हमारे कार्यक्रम के दायरे से बाहर है और इसलिए यहाँ नहीं दिया गया है।
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
परिभाषा के अनुसार, यह संख्या γ और इसे 1/3 और 2 की संख्या के योग के रूप में लिया जाता है:
γ = 1 / 3 + √2
जाहिर सी बात है γ = 1,7475....
किसी भी अन्य सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का योग, जिनमें से कम से कम एक अपरिमेय है, को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है। मामले का सार नहीं बदलेगा, भले ही शर्तों में से एक, और शायद दोनों नकारात्मक हों।
इसलिए, अगर संख्या α और β परिमेय हैं, तो उनका योग परिमेय संख्याओं के योग के नियम द्वारा ज्ञात किया जाता है(देखें 36)।
यदि उनमें से कम से कम एक अपरिमेय है, तो योग α + β एक वास्तविक संख्या कहलाती है जो नुकसान के साथ इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से अधिक होती है, लेकिन इन संख्याओं के संगत दशमलव सन्निकटन के सभी योगों से कम होती है।.
इस प्रकार परिभाषित जोड़ की क्रिया निम्नलिखित दो कानूनों का पालन करती है:
1) कम्यूटेटिव कानून:
α + β = β + α
2) एसोसिएशन कानून:
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
हम इसे साबित नहीं करेंगे। छात्र इसे स्वयं कर सकते हैं। हम केवल इस बात पर ध्यान देते हैं कि प्रमाण में हमें पहले से ज्ञात तथ्य का उपयोग करना होगा: परिमेय संख्याओं का जोड़ कम्यूटेटिव और साहचर्य कानूनों के अधीन है (देखें 36)।
अभ्यास
327. इन राशियों को दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें, जो व्यस्तता के बाद कम से कम तीन सही अंकों को दर्शाता है:
क) 2 + √3 ; डी) √2 + (- √3) जी) 3/4 + (-√5);
बी) 2 + 5/8; ई) (- 1/3) + √5 एच) 1/3 + √2 + √3।
ग) (-√2) + 3; च) 11/9 + (- 5);
328. वास्तविक संख्याओं के लिए पहले कुछ दशमलव सन्निकटन (अतिरिक्त के साथ और बिना) खोजें:
ए) 1/2 + √7 बी) √3 + √7 सी) √3 + (-√7)
329. वास्तविक संख्याओं के योग की परिभाषा के आधार पर सिद्ध कीजिए कि किसी भी संख्या के लिए α
α + (- α ) = 0.
330. क्या दो अनंत गैर-आवधिक भिन्नों का योग हमेशा एक गैर-आवधिक भिन्न होता है? उदाहरण सहित उत्तर स्पष्ट कीजिए।
परिभाषा
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का मिलन है। पत्र आरविचाराधीन सेट के लिए संकेतन है। गुच्छा आरफॉर्म के अंतराल (- ∞ ; + ∞) द्वारा दर्शाया गया है।
टिप्पणी
यह ध्यान देने योग्य है कि कोई भी परिमेय संख्या हमेशा एक अनंत दशमलव आवधिक अंश का रूप ले सकती है, पूर्वगामी के आधार पर अनंत दशमलव गैर-आवधिक अंश की कोई भी अपरिमेय संख्या, यह इस प्रकार है कि सेट जिसमें परिमित और अनंत आवधिक और गैर शामिल हैं -आवधिक दशमलव भिन्न समुच्चय के अंतर्गत आता है आर.
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
वास्तविक संख्याओं का ज्यामितीय मॉडल
निर्देशांक रेखा सीधे समुच्चय का एक ज्यामितीय मॉडल है आर. इसलिए, निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक बिंदु को हमेशा किसी न किसी वास्तविक संख्या से जोड़ा जा सकता है।
वास्तविक संख्याओं की तुलना
वास्तविक संख्याओं की तुलना या तो एक ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करके की जा सकती है, या उनकी विश्लेषणात्मक रूप से तुलना की जा सकती है। आइए दोनों तुलनाओं को देखें। दो संख्याओं को एक निर्देशांक रेखा पर यादृच्छया रखा जाता है। यह निर्धारित करना कि कौन सा अधिक है, काफी सरल है। बड़ी संख्या हमेशा दूसरे के दायीं ओर होती है।
विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित करें कि कौन सी संख्या किसी भी संख्या से बड़ी या कम है, इसके लिए इन संख्याओं का अंतर ज्ञात करना और फिर इसकी तुलना शून्य से करना पर्याप्त है। यदि परिणामी अंतर का धनात्मक चिह्न होगा, तो पहली संख्या (अंतर से घटाई गई) दूसरी संख्या (अंतर से घटाई गई) से बड़ी होगी; यदि अंतर में ऋणात्मक चिह्न है, तो पहली संख्या (अंतर से घटाई गई) दूसरी संख्या (अंतर से घटाई गई) से कम होगी।
नीचे हम तुलना के दोनों तरीकों को प्रदर्शित करने वाले उदाहरणों पर विचार करेंगे:
उदाहरण 1
संख्याओं f r a c 185 और 4 की तुलना करें।
फेसला
इन संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम इन संख्याओं के बीच का अंतर पाते हैं।
f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 इस संक्रिया को करने के बाद, हम देखते हैं कि इस उदाहरण में हर 5 है। उसके बाद, समान हर के साथ भिन्नों को घटाने के नियम के आधार पर, हम पहले भिन्न के अंश से दूसरी भिन्न के अंश को घटाते हैं, और छोड़ देते हैं एक ही भाजक। ध्यान दें कि दी गई संख्याओं के बीच का अंतर ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि पहली संख्या (घटी हुई) दूसरी संख्या (घटाई) से कम है, अर्थात f r a c 185< 4 .
उदाहरण 2
निर्देशांक रेखा का उपयोग करके संख्याओं f r a c 185 और 4 की तुलना करें।
फेसला
इन संख्याओं की तुलना करने के लिए, आपको निर्देशांक रेखा पर इन संख्याओं के बिंदुओं का स्थान निर्धारित करना चाहिए। वे। तुलना की जा रही वास्तविक संख्याएँ निर्देशांक रेखा पर कुछ निर्देशांकों के अनुरूप होंगी, अर्थात् संख्याएँ f r a c 185 और 4 । सबसे पहले, आइए अनुचित भिन्न frac185 को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करें, अर्थात। हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं, इसलिए, हमें 3 f r a c 35 मिलता है।
इसके बाद, निर्देशांक रेखा पर उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनके निर्देशांक 3 f r a c 35 और 4 के बराबर होंगे। f r a c 185 में 3 पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि यह संख्या 4 के बाईं ओर स्थित है। जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, छोटी संख्या बाईं ओर स्थित है, इसके आधार पर, निष्कर्ष स्वयं ही बताता है कि f r a c 185< 4 .
यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि, वास्तविक संख्याओं की तुलना की उपस्थिति की परवाह किए बिना, सभी अंकगणितीय संचालन, अर्थात् जोड़, घटाव, गुणा और भाग, को लागू किया जा सकता है। हालांकि, वास्तविक संख्याओं के साथ संचालन करने से पहले, इन संख्याओं के प्रारंभिक संकेतों को ध्यान में रखना चाहिए, अर्थात। निर्धारित करें कि प्रत्येक संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक।
वास्तविक संख्याओं का जोड़
एक ही चिह्न के साथ दो वास्तविक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको पहले उनके मॉड्यूल जोड़ना होगा और फिर उनके सामान्य चिह्न को योग के सामने रखना होगा। उदाहरण के लिए:
(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .
अलग-अलग चिन्हों वाली दो वास्तविक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको पहले संख्या के चिन्ह पर ध्यान देना चाहिए, यदि किसी एक संख्या का चिन्ह ऋणात्मक है, तो इस संख्या को दूसरे से घटाया जाना चाहिए, यदि सकारात्मक हो - तो दूसरे में जोड़ें। इसके बाद, आपको इन नंबरों को जोड़ना या घटाना होगा और बड़े मॉड्यूल का चिह्न लगाना होगा। उदाहरण के लिए
(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .
वास्तविक संख्याओं का घटाव
वास्तविक संख्याओं के घटाव को जोड़ के रूप में दर्शाया जा सकता है: a - b \u003d a + (- b), यानी संख्या b को संख्या a से घटाने के लिए, संख्या के विपरीत संख्या को जोड़ने के लिए पर्याप्त है जिसे घटाया जा रहा है उसे घटा दिया गया है।
उदाहरण के लिए: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2।
वास्तविक संख्याओं का गुणन
दो वास्तविक संख्याओं को गुणा (विभाजित) करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा (विभाजित) करना होगा। और फिर नीचे दी गई तालिका में दिए गए संकेतों के नियम के अनुसार परिणाम के सामने एक चिन्ह लगाएं।
वास्तविक संख्याओं को गुणा और विभाजित करते समय, कहावत को याद रखना उचित है: "मेरे मित्र का मित्र मेरा मित्र है, मेरे शत्रु का शत्रु मेरा मित्र है, मेरे शत्रु का मित्र मेरा शत्रु है, मेरे मित्र का शत्रु मेरा मित्र है। दुश्मन।"
उदाहरण के लिए:
(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;
वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं के गुण (बीजगणित के मूल नियम)
बीजगणित में, बीजगणित के तथाकथित बुनियादी नियम हैं। उन्हें लगभग हमेशा सत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है (इन कानूनों के मिथ्या होने के मामलों पर विचार नहीं किया जाता है) और निम्नलिखित गुण-पहचान के रूप में तैयार किए जाते हैं:
- ए + बी = बी + ए;
- (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी);
- ए + 0 = ए;
- ए + (- ए) = 0;
- ए बी = बी ए;
- (ए बी) सी = ए (बी सी);
- ए (बी + सी) = ए बी + ए सी;
- ए 1 = ए;
- ए 0 = 0;
- ए 1 ए = 1, (ए 0)।
गुण 1 और 5 क्रमशः योग और गुणन के क्रमविनिमेय नियम (क्रमपरिवर्तनीयता) को व्यक्त कर सकेंगे;
गुण 2 और 6 सहयोगी कानून (सहयोगिता) व्यक्त करें;
संपत्ति 7 - जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण कानून (वितरण);
गुण 3 और 8 क्रमशः जोड़ और गुणा के लिए एक तटस्थ तत्व की उपस्थिति का संकेत दें;
गुण 4 और 10 - क्रमशः एक तटस्थ तत्व की उपस्थिति के लिए।
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यदि संख्या α को एक अपरिमेय अंश $$\frac(p)(q)$$ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो इसे अपरिमेय कहा जाता है।
एक अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।
अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व के तथ्य को एक उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाएगा।
उदाहरण 1.4.1।सिद्ध कीजिए कि ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 हो।
फेसला।मान लीजिए कि एक अपरिवर्तनीय अंश मौजूद है $$\frac(p)(q)$$ जैसे कि $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
या $$p^(2)=2q^(2)$$। यह इस प्रकार है कि $$p^(2)$$ 2 का गुणज है, और इसलिए p 2 का गुणज है। अन्यथा, यदि p 2 से विभाज्य नहीं है, अर्थात, $$p=2k-1$$, फिर $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ 2 से भी विभाज्य नहीं है। इसलिए, $ $p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ राइटएरो$$ $$q^(2)=2k^(2)$$।
चूँकि $$q^(2)$$ 2 का गुणज है, तो q भी 2 का गुणज है, अर्थात। $$q=2m$$।
तो, संख्या p और q का एक सामान्य गुणनखंड है - संख्या 2, जिसका अर्थ है कि अंश $$\frac(p)(q)$$ कम हो गया है।
इस विरोधाभास का अर्थ है कि की गई धारणा असत्य है, इस प्रकार कथन सिद्ध होता है।
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहते हैं।
वास्तविक संख्याओं के सेट में, जोड़ और गुणा के संचालन को स्वयंसिद्ध रूप से पेश किया जाता है: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b को संख्या $$a+b$$ और उत्पाद $$a\cdot b$$ निर्दिष्ट किया जाता है।
इसके अलावा, इस सेट में "से बड़ा", "से कम" और समानता के संबंध पेश किए गए हैं:
$$a>b$$ यदि और केवल यदि a - b एक धनात्मक संख्या है;
$$ए
आइए संख्यात्मक असमानताओं के मुख्य गुणों की सूची बनाएं।
1. अगर $$a>b$$ और $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$।
2. अगर $$a>b$$ और $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$।
3. यदि $$a>b$$ और $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. यदि a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं जैसे $$a>b$$ और $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$।
परिणाम। यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$।
6. अगर $$a>b$$ और $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$।
7. अगर $$a>0$$, $$b>0$$ और $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
वास्तविक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या।
आइए एक सीधी रेखा लें मैं, अंजीर देखें। 1.4.1, और उस पर एक बिंदु 0 तय करें - मूल।
बिंदु O रेखा को दो भागों में विभाजित करता है - किरणें। दायीं ओर निर्देशित किरण धनात्मक किरण कहलाती है, और बाईं ओर निर्देशित किरण ऋणात्मक किरण कहलाती है। सीधी रेखा पर, हम लंबाई की एक इकाई के रूप में लिए गए खंड को चिह्नित करते हैं, अर्थात। पैमाना दर्ज करें।
चावल। 1.4.1. वास्तविक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या।
चयनित मूल, धनात्मक दिशा और पैमाने वाली एक सीधी रेखा को संख्या रेखा कहा जाता है।
निम्नलिखित नियम के अनुसार संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु को वास्तविक संख्या से जोड़ा जा सकता है:
- बिंदु O को शून्य दिया जाएगा;
- धनात्मक किरण पर प्रत्येक बिंदु N को एक धनात्मक संख्या a निर्दिष्ट किया जाता है, जहाँ a खंड की लंबाई ON है;
- ऋणात्मक किरण पर प्रत्येक बिंदु M को एक ऋणात्मक संख्या b नियत की जाती है, जहाँ $$b=-\left | OM \right |$$ (ऋण चिह्न के साथ लिया गया खंड OM की लंबाई)।
इस प्रकार, वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित होता है, अर्थात्। :
1) संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु को एक और केवल एक वास्तविक संख्या दी गई है;
2) अलग-अलग अंक अलग-अलग नंबर दिए गए हैं;
3) ऐसी कोई भी वास्तविक संख्या नहीं है जो संख्या रेखा के किसी भी बिंदु से मेल न खाती हो।
उदाहरण 1.4.2।संख्या रेखा पर संख्याओं के संगत बिन्दुओं को अंकित कीजिए।
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
फेसला। 1) भिन्नात्मक संख्या $$\frac(12)(7)$$ को चिह्नित करने के लिए, आपको $$\frac(12)(7)$$ के अनुरूप एक बिंदु बनाने की आवश्यकता है।
ऐसा करने के लिए, आपको लंबाई 1 के एक खंड को 7 बराबर भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है। हम इस समस्या को इस तरह से हल करते हैं।
हम t.O से एक मनमाना किरण खींचते हैं और इस किरण पर 7 बराबर खंड अलग करते हैं। पाना
खंड OA, और बिंदु A से हम 1 के साथ प्रतिच्छेदन के लिए एक सीधी रेखा खींचते हैं।
चावल। 1.4.2. एक खंड का 7 बराबर भागों में विभाजन।
निर्धारित खंडों के सिरों के माध्यम से सीधी रेखा A1 के समानांतर खींची गई सीधी रेखाएं इकाई लंबाई के खंड को 7 बराबर भागों में विभाजित करती हैं (चित्र 1.4.2)। इससे $$1\frac(5)(7)$$ (चित्र 1.4.3) संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु का निर्माण संभव हो जाता है।
चावल। 1.4.3. संख्या अक्ष पर एक बिंदु संख्या $$1\frac(5)(7)$$ के अनुरूप।
2) संख्या $$\sqrt(2)$$ इस तरह प्राप्त की जा सकती है। हम इकाई पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। तब कर्ण की लंबाई है $$\sqrt(2)$$; यह खंड O से संख्या रेखा पर अलग रखा गया है (चित्र 1.4.4)।
3) $$\sqrt(3)$$ (दाईं ओर) की दूरी पर PO से एक बिंदु रिमोट बनाने के लिए, लंबाई 1 और $$\sqrt(2) के पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाना आवश्यक है $$। फिर इसके कर्ण की लंबाई $$\sqrt(2)$$ है, जो आपको वास्तविक अक्ष पर वांछित बिंदु निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है।
वास्तविक संख्याओं के लिए, एक मॉड्यूल (या निरपेक्ष मान) की अवधारणा को परिभाषित किया गया है।
चावल। 1.4.4. संख्या $$\sqrt(2)$$ के अनुरूप संख्या अक्ष पर बिंदु।
वास्तविक संख्या a का मापांक कहलाता है:
संख्या ही है, अगर एएक सकारात्मक संख्या है;
- शून्य अगर ए- शून्य;
– -ए, अगर ए- एक नकारात्मक संख्या।
किसी संख्या का निरपेक्ष मान ए$$\बाएं | . द्वारा निरूपित एक \ सही | $$।
मॉड्यूल की परिभाषा (या निरपेक्ष मान) को इस प्रकार लिखा जा सकता है
| $$\बाएं | ए \राइट |=\बाएं\(\begin(मैट्रिक्स)ए, ए\geq0\\-ए, ए<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
ज्यामितीय रूप से, संख्या के मॉड्यूल का अर्थ है संख्या रेखा पर मूल O से संख्या के संगत बिंदु तक की दूरी ए.
हम मॉड्यूल के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।
1. किसी भी संख्या के लिए एसमानता $$\बाएं | ए \दाएं |=\बाएं | -ए \ सही | $$।
2. किसी भी संख्या के लिए एऔर बीसमानताएं सच हैं
$$\बाएं | एबी \दाएं |=\बाएं | एक \दाएं |\cdot \बाएं | बी \ सही | $$; $$\बाएं | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \right |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\बाएं | a \right |^(2)=a^(2)$$।
3. किसी भी संख्या के लिए एअसमानता $$\बाएं | एक \ सही |\geq 0$$।
4. किसी भी संख्या के लिए एअसमानता $$-\बाएं | a\दाएं |\leq a\leq \बाएं | एक \ सही | $$।
5. किसी भी संख्या के लिए एऔर बीअसमानता
$$\बाएं | ए+बी \दाएं |\leq \बाएं | ए \दाएं |+\बाएं | बी \दाएं |$$
निम्नलिखित संख्यात्मक सेटों पर विचार करें।
अगर $$a
2) अंतराल (ए; बी) सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है α
, जिनमें से प्रत्येक सत्य है: $$a<\alpha
इसी तरह, आप आधे अंतराल में प्रवेश कर सकते हैं।
कुछ मामलों में, कोई "अंतराल" की बात करता है, जिसका अर्थ है या तो एक किरण, या एक खंड, या एक अंतराल, या आधा अंतराल।
गुच्छा आरसभी वास्तविक संख्याओं को निम्नानुसार दर्शाया गया है: $$(-\infty; \infty)$$।
किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं एन, अर्थात्
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ और $$a^(1)=a$$।
रहने दो एकोई गैर-शून्य संख्या है, तो परिभाषा के अनुसार $$a^(0)=1$$।
शून्य की शून्य शक्ति परिभाषित नहीं है।
रहने दो ए- कोई भी गैर-शून्य संख्या, एमकोई पूर्णांक है। फिर संख्या $$a^(m)$$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:
$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$
जिसमें हूँपूर्णांक घातांक वाली घात कहलाती है।
एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करने से पहले, हम एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा का परिचय देते हैं।
अंकगणित मूल डिग्री एन (एन नहीं, एन > 2) गैर-ऋणात्मक संख्या एएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहा जाता है बीऐसा है कि बी एन = ए. संख्या बी$$b\sqrt[n](a)$$ के रूप में दर्शाया गया है।
अंकगणितीय जड़ों के गुण ( ए > 0, बी > 0, एन, एम, के- पूर्णांक।)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(ए)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\बाएं | एक \सही |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\बाएं | एक \सही |$$ |
रहने दो ए< 0
, ए एन 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है। यदि एनएक सम संख्या है, तो समानता बी एन = एकिसी भी वास्तविक मूल्य के लिए धारण नहीं करता है बी. इसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में ऋणात्मक संख्या से सम अंश का मूल ज्ञात करना असंभव है। अगर एनएक विषम संख्या है, तो केवल एक वास्तविक संख्या होती है बीऐसा है कि बी एन = ए. इस संख्या को n a से दर्शाया जाता है और इसे ऋणात्मक संख्या का विषम मूल कहते हैं।
एक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाने की परिभाषा और एक अंकगणितीय मूल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा देते हैं।
रहने दो एएक धनात्मक संख्या है और $$r=\frac(p)(q)$$ एक परिमेय संख्या है, और क्यू- प्राकृतिक संख्या।
सकारात्मक संख्या
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
घातांक r के साथ a की घात कहलाती है और इसे के रूप में दर्शाया जाता है
$$b=a^(r)$$, या $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, यहां $$q\in N $$, $$q\geq2$$।
एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के मूल गुणों पर विचार करें।
रहने दो एऔर बीकोई धनात्मक संख्याएँ हैं, r 1 और r 2 कोई परिमेय संख्याएँ हैं। तब निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. अगर $$a>1$$ और $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. अगर $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\दायां तीर 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. अगर $$a>1$$ और $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. यदि $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
किसी भी वास्तविक घातांक के लिए एक सकारात्मक संख्या की डिग्री की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जाता है α
.
वास्तविक घातांक के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात ज्ञात करना α
.
1. अगर $$\alpha > 0$$ और
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\ Underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, जहां पीऔर क्यू- प्राकृतिक संख्या $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α एक अपरिमेय संख्या है, तो
ए) यदि ए> 1, तो एक α- संख्या r i से बड़ी और से कम एक आर को, कहाँ पे मैं α
नुकसान के साथ आरके- किसी संख्या का कोई तर्कसंगत सन्निकटन α
अधिक मात्रा में;
बी) अगर 0< ए< 1, то एक α- से बड़ी संख्या एक आर कोऔर इससे कम एक आर मैं;
सी) अगर ए= 1, फिर एक α = 1।
2. अगर $$\alpha=0$$, तो एक α = 1।
3. अगर $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
संख्या एक αडिग्री कहा जाता है, संख्या ए डिग्री का आधार है, संख्या α
- प्रतिपादक।
एक वास्तविक घातांक के साथ एक सकारात्मक संख्या की शक्ति में एक परिमेय घातांक वाली शक्ति के समान गुण होते हैं।
उदाहरण 1.4.3।$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$ की गणना करें।
फेसला।आइए रूट प्रॉपर्टी का उपयोग करें:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
जवाब। 6.
उदाहरण 1.4.4।$$6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$ . की गणना करें
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
1. एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा। अनंत दशमलव गैर-आवधिक अंश। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
2. वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ। जोड़ और गुणा के नियम।
3. वास्तविक धनात्मक संख्याओं का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक विस्तार। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के गुण।
4. अनुमानित संख्याएँ। वास्तविक संख्याओं और क्रियाओं को अनुमानित संख्याओं के साथ पूर्णांकित करने के नियम। एक माइक्रोकैलकुलेटर की मदद से गणना।
5. प्रमुख निष्कर्ष
वास्तविक संख्या
दशमलव अंशों के प्रकट होने के स्रोतों में से एक प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन है, दूसरा मात्राओं का माप है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि किसी खंड की लंबाई मापते समय दशमलव भिन्न कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं।
रहने दो एक्स- वह खंड जिसकी लंबाई मापी जानी है, इ- सिंगल कट। लंबाई में कटौती एक्सपत्र द्वारा निरूपित करें एक्स, और खंड की लंबाई इ- पत्र इ. चलो खंड एक्सके होते हैं एनके बराबर खंड इऔर कट एक्स, जो खंड . से छोटा है इ(चित्र 130), अर्थात्। एन ∙इ < एक्स < (एन + 1) ∙इ. नंबर एनऔर एन+1 खंड की लंबाई के अनुमानित मान हैं एक्सइकाई लंबाई पर इकमी के साथ और 1 तक की अधिकता के साथ।
अधिक सटीकता के साथ उत्तर पाने के लिए, खंड लें इ₁ खंड e का दसवां हिस्सा है और हम इसे खंड में रखेंगे एक्स. इस मामले में, दो मामले संभव हैं।
1) खंड ई₁ खंड में फिट बैठता है एक्सठीक एनएक बार। फिर लंबाई एनखंड एक्सअंतिम दशमलव के रूप में व्यक्त किया गया: एक्स = (एन+एन₁\10) ∙ई = एन, एन₁∙इ।उदाहरण के लिए, एक्स= 3.4∙ई।
2) कट एक्ससे मिलकर बनता है एनके बराबर खंड इ, और एक खंड एक्स, जो खंड . से छोटा है इ. फिर एन,एन₁∙इ < एक्स < एन,एन₁एन₁′∙ इ, कहाँ पे एन,एनऔर एन,एन₁एन- खंड की लंबाई के अनुमानित मान एक्सकमी के साथ और 0.1 की सटीकता के साथ अधिकता के साथ।
यह स्पष्ट है कि दूसरे मामले में एक खंड की लंबाई मापने की प्रक्रिया एक्सआप एक नया इकाई खंड लेकर जारी रख सकते हैं इ₂ - खंड का सौवां इ.
व्यवहार में, किसी खंड की लंबाई मापने की यह प्रक्रिया किसी न किसी स्तर पर समाप्त हो जाएगी। और फिर खंड की लंबाई को मापने का परिणाम या तो एक प्राकृतिक संख्या या अंतिम दशमलव अंश होगा। यदि हम एक खंड की लंबाई को आदर्श रूप से मापने की इस प्रक्रिया की कल्पना करते हैं (जैसा कि वे गणित में करते हैं), तो दो परिणाम संभव हैं:
1) k-वें चरण पर, मापन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। फिर खंडों की लंबाई को फॉर्म के अंतिम दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाएगा एन,एन₁… एनक।
2) एक खंड की लंबाई मापने के लिए वर्णित प्रक्रिया एक्सअनिश्चित काल तक जारी है। तब इसके बारे में रिपोर्ट को प्रतीक द्वारा दर्शाया जा सकता है एन,एन₁… एन k..., जिसे अपरिमित दशमलव कहते हैं।
दूसरे परिणाम की संभावना के बारे में कैसे सुनिश्चित किया जाए? ऐसा करने के लिए, ऐसे खंड की लंबाई को मापने के लिए पर्याप्त है, जिसके लिए यह ज्ञात है कि इसकी लंबाई व्यक्त की जाती है, उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या 5 द्वारा। यदि यह पता चला कि इस तरह के खंड की लंबाई को मापने के परिणामस्वरूप, एक अंतिम दशमलव अंश प्राप्त होता है, तो इसका मतलब यह होगा कि संख्या 5 को अंतिम दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो असंभव है: 5 \u003d 5.666 । ...
इसलिए, खंडों की लंबाई को मापते समय, अनंत दशमलव अंश प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन क्या ये भिन्न हमेशा आवधिक होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर नकारात्मक है: ऐसे खंड हैं जिनकी लंबाई एक अनंत आवधिक अंश (अर्थात, एक सकारात्मक परिमेय संख्या) द्वारा लंबाई की चुनी गई इकाई के साथ व्यक्त नहीं की जा सकती है। यह गणित में सबसे महत्वपूर्ण खोज थी, जिससे यह पता चला कि परिमेय संख्याएँ खंडों की लंबाई को मापने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।
प्रमेय. यदि लंबाई का मात्रक एक वर्ग की भुजा की लंबाई है, तो इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई को धनात्मक परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
प्रमाण. मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई को संख्या 1 से व्यक्त किया जाता है। मान लीजिए कि जो साबित करने की आवश्यकता है, उसके विपरीत है, अर्थात, वर्ग ABCB के विकर्ण AC की लंबाई को एक अपरिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, समानता कायम रहेगी
1²+ 1² = . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि m² = 2n²। तो, m² एक सम संख्या है, तो संख्या m सम है (एक विषम संख्या का वर्ग सम नहीं हो सकता)। तो, एम = 2p। समीकरण m² = 2n² में संख्या m को 2p से बदलने पर, हम पाते हैं कि 4p² = 2n², अर्थात। 2p² = n²। यह इस प्रकार है कि n सम है, इसलिए n एक सम संख्या है। इस प्रकार, संख्याएँ m और n सम हैं, जिसका अर्थ है कि भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है, जो इस धारणा का खंडन करता है कि यह अपरिवर्तनीय है। स्थापित अंतर्विरोध यह साबित करता है कि यदि लंबाई का मात्रक एक वर्ग की भुजा की लंबाई है, तो इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई को परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
यह सिद्ध प्रमेय का अनुसरण करता है कि ऐसे खंड हैं जिनकी लंबाई एक सकारात्मक संख्या (लंबाई की चुनी गई इकाई के साथ) द्वारा व्यक्त नहीं की जा सकती है, या, दूसरे शब्दों में, अनंत आवधिक अंश के रूप में नहीं लिखी जा सकती है। इसका मतलब यह है कि खंडों की लंबाई को मापने से प्राप्त अनंत दशमलव अंश गैर-आवधिक हो सकते हैं।
यह माना जाता है कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश नई संख्याओं का रिकॉर्ड हैं - सकारात्मक तर्कहीनसंख्याएं। चूंकि किसी संख्या और उसके रिकॉर्ड की अवधारणाओं की अक्सर पहचान की जाती है, वे कहते हैं कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश सकारात्मक अपरिमेय संख्याएं हैं।
हम खंडों की लंबाई मापने की प्रक्रिया के माध्यम से एक सकारात्मक अपरिमेय संख्या की अवधारणा पर पहुंचे। लेकिन कुछ परिमेय संख्याओं से मूल निकालकर भी अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। अतः √2, √7, √24 अपरिमेय संख्याएँ हैं। अपरिमेय भी हैं lg 5, sin 31, संख्याएँ = 3.14..., इ= 2.7828... और अन्य।
धनात्मक अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक J+ द्वारा दर्शाया जाता है।
संख्याओं के दो समुच्चयों का मिलन: धनात्मक परिमेय और धनात्मक अपरिमेय, धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक R+ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, क्यू+ जे + = आर+। यूलर वृत्तों की सहायता से इन समुच्चयों को चित्र 131 में दर्शाया गया है।
किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जा सकता है - आवधिक (यदि यह तर्कसंगत है) या गैर-आवधिक (यदि यह अपरिमेय है)।
धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर क्रियाएँ धनात्मक परिमेय संख्याओं पर क्रियाओं में सिमट जाती हैं।
धनात्मक वास्तविक संख्याओं के जोड़ और गुणन में क्रमपरिवर्तन और साहचर्यता के गुण होते हैं, और गुणन जोड़ और घटाव के संबंध में वितरणात्मक होते हैं।
धनात्मक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, आप किसी भी अदिश राशि को मापने के परिणाम को व्यक्त कर सकते हैं: लंबाई, क्षेत्रफल, द्रव्यमान, आदि। लेकिन व्यवहार में, यह अक्सर एक संख्या के साथ व्यक्त करना आवश्यक होता है, न कि किसी मात्रा को मापने के परिणाम के रूप में, बल्कि उसके परिवर्तन के रूप में। इसके अलावा, इसका परिवर्तन अलग-अलग तरीकों से हो सकता है - यह बढ़ सकता है, घट सकता है या अपरिवर्तित रह सकता है। इसलिए परिमाण में परिवर्तन को व्यक्त करने के लिए धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त अन्य संख्याओं की आवश्यकता होती है और इसके लिए इसमें 0 (शून्य) और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़कर समुच्चय R+ का विस्तार करना आवश्यक है।
धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और शून्य से मिलन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होता है।
वास्तविक संख्याओं और उन पर संचालन की तुलना स्कूल गणित पाठ्यक्रम से हमें ज्ञात नियमों के अनुसार की जाती है।
अभ्यास
1. किसी खंड की लंबाई मापने की प्रक्रिया का वर्णन करें, यदि उस पर रिपोर्ट को भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया जाता है:
क) 3.46; बी) 3,(7); ग) 3.2(6)।
2. एकल खंड का सातवां भाग खंड में 13 बार फिट बैठता है। क्या इस खंड की लंबाई को एक परिमित या अनंत भिन्न द्वारा दर्शाया जाएगा? आवधिक या गैर-आवधिक?
3. एक सेट दिया गया है: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136)।
क्या इसे दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: तर्कसंगत और तर्कहीन?
4. यह ज्ञात है कि किसी भी संख्या को निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है। क्या परिमेय निर्देशांक वाले बिंदु संपूर्ण समन्वय रेखा को समाप्त कर देते हैं? वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में क्या?
99. मुख्य निष्कर्ष § 19
इस पैराग्राफ की सामग्री का अध्ययन करते हुए, हमने गणित के स्कूली पाठ्यक्रम से ज्ञात कई अवधारणाओं को स्पष्ट किया है, उन्हें एक खंड की लंबाई के माप के साथ जोड़ा है। ये अवधारणाएं हैं जैसे:
अंश (सही और गलत);
समान भिन्न;
अपरिवर्तनीय अंश;
सकारात्मक तर्कसंगत संख्या;
सकारात्मक परिमेय संख्याओं की समानता;
मिश्रित अंश;
अनंत आवधिक दशमलव;
अनंत गैर-आवधिक दशमलव;
अपरिमेय संख्या;
वास्तविक संख्या।
हमने पाया कि भिन्नों की समानता का संबंध एक तुल्यता संबंध है और इसका लाभ उठाते हुए, एक सकारात्मक परिमेय संख्या की अवधारणा को परिभाषित किया। हमने यह भी पाया कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का योग और गुणन किस प्रकार खण्डों की लंबाई मापने और उनका योग और गुणनफल ज्ञात करने के सूत्र प्राप्त करने से जुड़ा है।
सेट क्यू + पर "से कम" संबंध की परिभाषा ने इसके मुख्य गुणों को नाम देना संभव बना दिया: यह आदेश दिया गया है, घना है, इसमें सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या नहीं है।
हमने सिद्ध किया है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q+ उन सभी शर्तों को पूरा करता है जो इसे प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N का विस्तार मानने की अनुमति देती हैं।
दशमलव भिन्नों का परिचय देकर, हमने सिद्ध किया कि किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है।
अनंत गैर-आवधिक अंशों को अपरिमेय संख्याओं का रिकॉर्ड माना जाता है।
यदि हम धनात्मक परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को जोड़ते हैं, तो हमें धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है: Q+ J + = R+।
यदि धनात्मक वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं और शून्य को जोड़ दिया जाए, तो हमें सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R प्राप्त होता है।
जूनियर हाई स्कूल की पुनरावृत्ति
अभिन्न
यौगिक
निकायों की मात्रा
क्रांति के ठोस
अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि
आयताकार समन्वय प्रणाली। वेक्टर निर्देशांक और बिंदु निर्देशांक के बीच संबंध। निर्देशांक में सबसे सरल समस्याएं। वैक्टर का अदिश उत्पाद।
एक सिलेंडर की अवधारणा। एक सिलेंडर का सतह क्षेत्र। शंकु की अवधारणा।
एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल। गोला और गेंद। गोले का क्षेत्रफल। गोले और तल की पारस्परिक व्यवस्था।
मात्रा की अवधारणा। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन। एक सीधे प्रिज्म का आयतन, बेलन। पिरामिड और शंकु का आयतन। गेंद की मात्रा।
खंड III। गणितीय विश्लेषण की शुरुआत
व्युत्पन्न। एक शक्ति समारोह का व्युत्पन्न। विभेदन नियम। कुछ प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।
कार्यों के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोगबढ़ते और घटते कार्य। समारोह का चरम। रेखांकन की साजिश रचने के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा, सबसे छोटा मान।
प्राचीन। आदिम खोजने के नियम। एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज और अभिन्न का क्षेत्र। इंटीग्रल की गणना। इंटीग्रल का उपयोग कर क्षेत्रों की गणना।
परीक्षा के लिए प्रशिक्षण कार्य
खंड I. बीजगणित
संख्या एक अमूर्त है जिसका उपयोग वस्तुओं को मापने के लिए किया जाता है। आदिम समाज में वस्तुओं को गिनने के लिए लोगों की आवश्यकता के संबंध में संख्याएँ उत्पन्न हुईं। समय के साथ, विज्ञान के विकास के साथ, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा बन गई है।
समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, यह समझना अत्यंत आवश्यक है कि संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं। मुख्य प्रकार की संख्याओं में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।
प्राकृतिक संख्याएँ - वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती से प्राप्त संख्याएँ, या बल्कि उनकी संख्या ("पहला", "दूसरा", "तीसरा" ...) द्वारा प्राप्त की जाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर N (आप अंग्रेजी शब्द प्राकृतिक के आधार पर याद कर सकते हैं) द्वारा निरूपित किया जाता है। हम कह सकते हैं कि एन =(1,2,3,....)
प्राकृतिक संख्याओं को शून्य और ऋणात्मक संख्याओं (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत ᴛ.ᴇ. संख्या) के साथ पूरक करके, प्राकृतिक संख्याओं के सेट को पूर्णांक के सेट तक विस्तारित किया जाता है।
पूर्णांक - सेट से संख्याएं (0, 1, -1, 2, -2, ....) इस समुच्चय में तीन भाग होते हैं - प्राकृत संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। पूर्णांकों को लैटिन अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है। हम कह सकते हैं कि Z=(1,2,3,....) परिमेय संख्याएँ संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है।
उदाहरण के लिए, ऐसी परिमेय संख्याएँ हैं जिन्हें परिमित दशमलव अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, आप एक कोने को विभाजित करने के लिए प्रसिद्ध एल्गोरिथ्म का उपयोग करके दशमलव अंश के रूप में एक संख्या लिखने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक अनंत दशमलव अंश मिलेगा। अनंत दशमलव कहलाता है नियत कालीन,दोहराव संख्या 3 - उसका अवधि।एक आवर्त भिन्न को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है: 0, (3); पढ़ता है: "शून्य पूर्णांक और आवर्त में तीन।"
सामान्य तौर पर, एक आवधिक अंश ϶ᴛᴏ एक अनंत दशमलव अंश होता है, जिसमें, एक निश्चित दशमलव स्थान से शुरू होकर, एक ही अंक या कई अंक दोहराए जाते हैं - अंश की अवधि।
उदाहरण के लिए, एक दशमलव अंश 56 की अवधि के साथ आवधिक है; पढ़ता है "23 पूर्णांक, 14 सौवां और 56 अवधि में।"
अत: प्रत्येक परिमेय संख्या को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।
विलोम कथन भी सत्य है: प्रत्येक अनंत आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां एक पूर्णांक है, एक प्राकृतिक संख्या है।
वास्तविक (वास्तविक) संख्याएँ - संख्याएँ, का उपयोग निरंतर मात्राओं को मापने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अपरिमेय संख्याएँ - संख्याएँ जो परिमेय संख्याओं के साथ विभिन्न संक्रियाएँ करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होती हैं (उदाहरण के लिए, एक रूट निकालना, लघुगणक की गणना करना), लेकिन परिमेय नहीं हैं। अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।
किसी भी वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है:
ऊपर सूचीबद्ध संख्याओं के समुच्चय के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य है: प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के समुच्चय में शामिल किया जाता है, पूर्णांकों के समुच्चय को परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल किया जाता है, और परिमेय संख्याओं के समुच्चय को इसमें शामिल किया जाता है। वास्तविक संख्याओं का समूह। इस कथन को यूलर सर्कल का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है।
आत्म-समाधान के लिए व्यायाम
