गैलेवा एकातेरिना, MAOU माध्यमिक विद्यालय नंबर 149, निज़नी नोवगोरोड की 11 वीं कक्षा की छात्रा

कार्य प्रकृति में अनुप्रयुक्त और अनुसंधान दोनों है। पूर्णता के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार किया गया:

- समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय किसी फ़ंक्शन के गुण कैसे परिलक्षित होते हैं?

- परिभाषा के क्षेत्र, मूल्यों के सेट, अपरिवर्तनीयता के गुणों की परिभाषा के माध्यम से कौन से समीकरण और असमानताओं को हल किया जाता है?

- समाधान एल्गोरिदम क्या है?

- परीक्षा की तैयारी में किम सामग्री में प्रस्तावित पैरामीटर वाले कार्यों पर विचार किया गया।

अपने काम में, एकातेरिना ने कार्यों की एक विस्तृत श्रृंखला की खोज की और उन्हें उनकी उपस्थिति के अनुसार व्यवस्थित किया।

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असमानता को हल करें समाधान। फलन f (x) = संपूर्ण वास्तविक रेखा पर नीरस रूप से बढ़ता है, और फलन g (x) = परिभाषा के पूरे क्षेत्र में नीरस रूप से घटता है। इसलिए, असमानता f (x)> g (x) संतुष्ट है यदि x>

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समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय फ़ंक्शन गुणों का अनुप्रयोग कार्य पूरा किया: मोस्कोवस्की जिले के गैलेवा एकातेरिना एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय संख्या 149 11 "ए" कक्षा के विद्यार्थियों के पर्यवेक्षक: फादेवा आई। ए। गणित शिक्षक

मुख्य दिशाएँ: एक फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन: एकरसता, सीमा, परिभाषा का डोमेन और अपरिवर्तनीयता मुख्य कथन सीखें जो अक्सर समीकरणों, असमानताओं और प्रणालियों को हल करने में उपयोग किए जाते हैं परीक्षा की तैयारी के लिए KIM सामग्री से समस्याओं को हल करना

मोनोटोनिसिटी एक फ़ंक्शन बढ़ता है यदि तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है। फ़ंक्शन कम हो रहा है यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है। f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

कथन 1. यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) मोनोटोन है, तो समीकरण f (x) \u003d c में अधिकतम एक मूल है। x =2 f(x) = - नीरस रूप से घट रहा है, इसलिए कोई अन्य समाधान नहीं हैं। उत्तर: x=2

कथन 2। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) नीरस रूप से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d g (x) नीरस रूप से घट रहा है, तो समीकरण f (x) \u003d g (x) में अधिकतम एक जड़ है। 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x नीरस रूप से घट रहा है, और फ़ंक्शन f (x) \u003d lg (x + 11) + 1 डोमेन में नीरस रूप से बढ़ रहा है, जिसका अर्थ है कि समीकरण f (x) = g (x) का अधिकतम एक मूल है। चयन करके, हम निर्धारित करते हैं कि x \u003d -1। उपरोक्त कथन समाधान की विशिष्टता की पुष्टि करता है।

ए) एफ (एक्स) जी (एक्स) अगर और केवल अगर एक्स ϵ (- ∞; एक्स 0]; बी) एफ (एक्स) ≥ जी (एक्स) अगर और केवल अगर एक्स ϵ [एक्स 0; +∞). इस कथन का दृश्य अर्थ स्पष्ट है। कथन 3. यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर नीरस रूप से बढ़ रहा है, तो फ़ंक्शन y \u003d g (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर नीरस रूप से घट रहा है और f (x 0) \u003d g (x 0), तो निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

असमानता को हल करें समाधान। फलन f (x) = संपूर्ण वास्तविक रेखा पर नीरस रूप से बढ़ता है, और फलन g (x) = परिभाषा के पूरे क्षेत्र में नीरस रूप से घटता है। इसलिए, असमानता f (x)> g (x) संतुष्ट है यदि x> 2। आइए असमानता का डोमेन जोड़ें। इस प्रकार, हमें सिस्टम मिलता है उत्तर: (2; 5)।

कथन 4। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) नीरस रूप से बढ़ रहा है, तो समीकरण f (x) \u003d x और f (f (x)) \u003d x में जड़ों का एक ही सेट है, चाहे संख्या की परवाह किए बिना निवेश। परिणाम। यदि n एक प्राकृतिक संख्या है, और फ़ंक्शन y \u003d f (x) नीरस रूप से बढ़ रहा है, तो समीकरण f (x) \u003d x और n बार में जड़ों का एक ही सेट होता है।

प्रश्न हल करें। उत्तर: निर्णय। x 1 के लिए, समीकरण का दाहिना पक्ष 1 से कम नहीं है, और बायां पक्ष 1 से कम है। इसलिए, यदि समीकरण की जड़ें हैं, तो उनमें से कोई भी 1 से कम है। x ≤0 के लिए, दाईं ओर समीकरण का पक्ष गैर-धनात्मक है, और बायां पक्ष धनात्मक है, इस तथ्य के कारण कि . इस प्रकार, इस समीकरण का कोई भी मूल अंतराल (0; 1) के अंतर्गत आता है, इस समीकरण के दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर, और बाईं ओर के अंश और हर को x से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ =। t से निरूपित करने पर, जहाँ t 0, हमें समीकरण = t प्राप्त होता है। एक फलन पर विचार करें f (t)= 1+ इसकी परिभाषा के क्षेत्र में बढ़ रहा है। परिणामी समीकरण को f (f (f (f (t)))) = t के रूप में लिखा जा सकता है, और कथन 4 के उपफल के अनुसार, इसका समाधान समीकरण f (t)= t के समान है, अर्थात। समीकरण 1 + = टी, कहाँ से। इस द्विघात समीकरण का एकमात्र धनात्मक मूल है। तो, कहाँ, अर्थात्। , या। जवाब:

कथन 1. यदि अधिकतम f (x) = c और न्यूनतम g (x) = c, तो समीकरण f (x) = g (x) में समाधान का वही सेट है जो सिस्टम बाउंडेडनेस बाईं ओर का अधिकतम मान है 1 और दाईं ओर न्यूनतम मान 1, जिसका अर्थ है कि समीकरण के समाधान को समीकरणों की प्रणाली में कम किया जा सकता है: दूसरे समीकरण से हम एक संभावित उम्मीदवार x=0 पाते हैं, और हम सुनिश्चित करते हैं कि यह एक है पहले समीकरण का हल। उत्तर: एक्स = 1।

समीकरण हल करें। चूँकि sin3x≤1 और cos4x≤1, इस समीकरण का बायाँ भाग 7 से अधिक नहीं है। यह 7 के बराबर हो सकता है यदि और केवल यदि जहाँ k , n ϵ Z । यह स्थापित करना बाकी है कि क्या ऐसे पूर्णांक k और n मौजूद हैं जिनके लिए बाद वाली प्रणाली के समाधान हैं। उत्तर: Z

अज्ञात x और पैरामीटर a के साथ समस्याओं में, परिभाषा के क्षेत्र को सभी क्रमित संख्याओं (x; a) के सेट के रूप में समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक ऐसा है कि x और a के संगत मानों को सभी संबंधों में प्रतिस्थापित करने के बाद समस्या में शामिल हैं, उन्हें निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण 1. पैरामीटर a के प्रत्येक मान के लिए, असमानता हल करें। आइए हम इस असमानता की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। जिससे साफ है कि व्यवस्था के पास कोई समाधान नहीं है। इसका अर्थ यह है कि असमानता की परिभाषा के क्षेत्र में संख्या x और a का कोई युग्म नहीं है, और इसलिए असमानता का कोई समाधान नहीं है। दायरा उत्तर:

इनवेरिएंस, यानी। इस चर के कुछ बीजीय व्यंजक द्वारा एक चर के प्रतिस्थापन के संबंध में एक समीकरण या असमानता का अपरिवर्तनीय परिवर्तन। अपरिवर्तनशीलता का सबसे सरल उदाहरण समता है: यदि एक सम फलन है, तो समीकरण x और - x के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, क्योंकि = 0.

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए। फेसला। ध्यान दें कि जोड़ी प्रतिस्थापन के तहत अपरिवर्तनीय है। समानता में प्रतिस्थापित, हम प्राप्त करते हैं। इस समानता के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर और परिणामी समानता में से पद द्वारा समानता पद को घटाने पर, हम 3 पाते हैं, जहां से। अब समीकरण को हल करना बाकी है, जहाँ से समीकरण के मूल संख्याएँ हैं। जवाब: ।

a के सभी मान ज्ञात कीजिए जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण के तीन से अधिक भिन्न-भिन्न हल हैं। मोनोटोनिसिटी प्रॉपर्टी पैरामीटर के साथ समस्याओं का समाधान

|x|= सकारात्मक X= |x|= दो जड़ों के अस्तित्व के लिए, अंश सकारात्मक होना चाहिए। इसलिए, जब पहले और दूसरे समीकरणों की जड़ें मिलती हैं, जो शर्त की आवश्यकता को पूरा नहीं करती हैं: तीन से अधिक जड़ों की उपस्थिति। जवाब: ।

a के सभी मान ज्ञात कीजिए जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण के दो मूल हैं। आइए समीकरण को रूप में बदलें और फ़ंक्शन f(x)= परिभाषित और संपूर्ण वास्तविक रेखा पर निरंतर पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक टूटी हुई रेखा है, जिसमें रेखा खंड और किरणें शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक लिंक y= kt+l रूप की एक सीधी रेखा का हिस्सा है। f(x)= पहली अभिव्यक्ति के मॉड्यूल के किसी भी विस्तार के लिए, k 8 से अधिक नहीं होता है, इसलिए फ़ंक्शन f(x) की वृद्धि और कमी दूसरे मॉड्यूल के विस्तार पर निर्भर करेगी। x पर, f(x) घटेगा, और x पर, यह बढ़ेगा। अर्थात्, x=3 पर फ़ंक्शन सबसे बड़ा मान लेगा। समीकरण के दो मूल होने के लिए, यह आवश्यक है कि f(3) एकरसता गुण

च(3)=12- |9-| 3+ए || | 9-| 3+ए || 9- | 3+ए | - | 3+ए | | 3+ए | | 3+ए | 3+a उत्तर: a

पैरामीटर a के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए, किसी भी वास्तविक मान x के लिए, असमानता संतुष्ट है आइए हम असमानता को फॉर्म में फिर से लिखें, एक नया चर t = पेश करें और फ़ंक्शन f (t) = पर विचार करें, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित और निरंतर। इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक टूटी हुई रेखा है, जिसमें रेखा खंड और किरणें शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक लिंक एक सीधी रेखा का हिस्सा है, जहां

तब से, टी [-1; एक]। फ़ंक्शन y = f (t) की एकरसता में कमी के कारण, यह इस खंड के बाएं किनारे की जांच करने के लिए पर्याप्त है। Z. A सत्य है इसका अर्थ है कि यह तभी संभव है जब संख्या u और v का चिन्ह समान हो या उनमें से कोई भी शून्य के बराबर हो। , = () () 0. वर्ग त्रिपदों का गुणनखंडन करने पर, हम असमानता प्राप्त करते हैं (, जिससे हम पाते हैं कि a (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞) उत्तर: (-∞) ; -1]यू(2)यू)