विविधता श्रृंखलाएक विशेषता के संख्यात्मक मूल्यों की एक श्रृंखला है।

विविधता श्रृंखला की मुख्य विशेषताएं: वी - संस्करण, पी - इसकी घटना की आवृत्ति।

विविधता श्रृंखला के प्रकार:

वेरिएंट की आवृत्ति के अनुसार: सरल - वेरिएंट एक बार होता है, भारित - वेरिएंट दो या अधिक बार होता है;

स्थान के अनुसार विकल्प: रैंक - विकल्पों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, बिना रैंक के - विकल्प किसी विशेष क्रम में नहीं लिखे जाते हैं;

विकल्प को समूहों में समूहित करके: समूहीकृत - विकल्प समूहों में संयुक्त होते हैं, असमूहीकृत - विकल्प समूहीकृत नहीं होते हैं;

मूल्य विकल्पों द्वारा: निरंतर - विकल्प एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, असतत - विकल्प एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जटिल - विकल्प एक सापेक्ष या औसत मूल्य द्वारा दर्शाए जाते हैं।

औसत मूल्यों की गणना के लिए एक विविधता श्रृंखला संकलित और तैयार की जाती है।

विविधता श्रृंखला संकेतन प्रपत्र:

8. औसत मूल्य, प्रकार, गणना पद्धति, स्वास्थ्य देखभाल में आवेदन

औसत मान- मात्रात्मक विशेषताओं की कुल सामान्यीकरण विशेषता। औसत का अनुप्रयोग:

1. चिकित्सा संस्थानों के काम के संगठन को चिह्नित करना और उनकी गतिविधियों का मूल्यांकन करना:

ए) पॉलीक्लिनिक में: डॉक्टरों के कार्यभार के संकेतक, यात्राओं की औसत संख्या, क्षेत्र में निवासियों की औसत संख्या;

बी) एक अस्पताल में: प्रति वर्ष बिस्तर के दिनों की औसत संख्या; अस्पताल में रहने की औसत अवधि;

ग) स्वच्छता, महामारी विज्ञान और सार्वजनिक स्वास्थ्य के केंद्र में: प्रति व्यक्ति औसत क्षेत्र (या घन क्षमता), औसत पोषण मानक (प्रोटीन, वसा, कार्बोहाइड्रेट, विटामिन, खनिज लवण, कैलोरी), स्वच्छता मानदंड और मानक, आदि। ;

2. शारीरिक विकास को चिह्नित करने के लिए (रूपात्मक और कार्यात्मक की मुख्य मानवशास्त्रीय विशेषताएं);

3. नैदानिक ​​और प्रायोगिक अध्ययनों में सामान्य और रोग स्थितियों में शरीर के चिकित्सा और शारीरिक मापदंडों का निर्धारण करना।

4. विशेष वैज्ञानिक अनुसंधान में।

औसत मूल्यों और संकेतकों के बीच का अंतर:

1. गुणांक एक वैकल्पिक विशेषता की विशेषता है जो केवल सांख्यिकीय टीम के कुछ हिस्से में होती है, जो हो भी सकती है और नहीं भी।

औसत मूल्य टीम के सभी सदस्यों में निहित संकेतों को कवर करते हैं, लेकिन अलग-अलग डिग्री (वजन, ऊंचाई, अस्पताल में उपचार के दिन) तक।

2. गुणात्मक विशेषताओं को मापने के लिए गुणांक का उपयोग किया जाता है। औसत मूल्य अलग-अलग मात्रात्मक लक्षणों के लिए हैं।

औसत के प्रकार:

समांतर माध्य, इसकी विशेषताएँ - मानक विचलन और औसत त्रुटि

मोड और माध्यिका। फैशन (मो)- इस आबादी में सबसे अधिक बार पाए जाने वाले गुण के मूल्य से मेल खाती है। माध्यिका (मी)- विशेषता का मूल्य, जो इस आबादी में औसत मूल्य रखता है। यह प्रेक्षणों की संख्या के अनुसार श्रृंखला को 2 बराबर भागों में विभाजित करता है। अंकगणित माध्य मान (एम)- बहुलक और माध्यिका के विपरीत, यह किए गए सभी अवलोकनों पर निर्भर करता है, इसलिए यह संपूर्ण वितरण के लिए एक महत्वपूर्ण विशेषता है।

अन्य प्रकार के औसत जो विशेष अध्ययनों में उपयोग किए जाते हैं: मूल माध्य वर्ग, घन, हार्मोनिक, ज्यामितीय, प्रगतिशील।

अंकगणित औसतसांख्यिकीय जनसंख्या के औसत स्तर की विशेषता है।

एक साधारण श्रृंखला के लिए जहाँ

v - योग विकल्प,

n प्रेक्षणों की संख्या है।

भारित श्रृंखला के लिए, जहां

vr प्रत्येक विकल्प के गुणनफल और उसके घटित होने की आवृत्ति का योग है

n प्रेक्षणों की संख्या है।

मानक विचलनअंकगणित माध्य या सिग्मा (σ) विशेषता की विविधता को दर्शाता है

- एक साधारण पंक्ति के लिए

d 2 - अंकगणित माध्य और प्रत्येक विकल्प के बीच अंतर के वर्गों का योग (d = M-V│)

n प्रेक्षणों की संख्या है

- भारित श्रृंखला के लिए

d 2 p अंकगणित माध्य और प्रत्येक विकल्प के बीच के अंतर के वर्गों के गुणनफल और इसके घटित होने की आवृत्ति का योग है,

n प्रेक्षणों की संख्या है।

विविधता की डिग्री को भिन्नता के गुणांक के मूल्य से आंका जा सकता है
. 20% से अधिक - मजबूत विविधता, 10-20% - मध्यम विविधता, 10% से कम - कमजोर विविधता।

यदि एक सिग्मा (एम ± 1σ) को अंकगणित माध्य में जोड़ा और घटाया जाता है, तो सामान्य वितरण के साथ, सभी प्रकार (अवलोकन) का कम से कम 68.3% इन सीमाओं के भीतर होगा, जिसे अध्ययन के तहत घटना के लिए आदर्श माना जाता है। . यदि k 2 ± 2σ, तो सभी प्रेक्षणों का 95.5% इन सीमाओं के भीतर होगा, और यदि k M ± 3σ, तो सभी प्रेक्षणों का 99.7% इन सीमाओं के भीतर होगा। इस प्रकार, मानक विचलन मानक विचलन है, जो अध्ययन के तहत विशेषता के ऐसे मूल्य की घटना की संभावना की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, जो निर्दिष्ट सीमा के भीतर है।

अंकगणित माध्य की औसत त्रुटिया प्रतिनिधित्व त्रुटि। सरल, भारित श्रृंखला के लिए और क्षणों के नियम के अनुसार:

.

औसत मूल्यों की गणना करने के लिए, यह आवश्यक है: सामग्री की एकरूपता, पर्याप्त संख्या में अवलोकन। यदि प्रेक्षणों की संख्या 30 से कम है, तो और m की गणना के लिए सूत्रों में n-1 का उपयोग किया जाता है।

औसत त्रुटि के आकार से प्राप्त परिणाम का मूल्यांकन करते समय, एक आत्मविश्वास गुणांक का उपयोग किया जाता है, जो एक सही उत्तर की संभावना को निर्धारित करना संभव बनाता है, अर्थात यह इंगित करता है कि नमूना त्रुटि का प्राप्त मूल्य इससे अधिक नहीं होगा निरंतर अवलोकन के परिणामस्वरूप की गई वास्तविक त्रुटि। नतीजतन, आत्मविश्वास की संभावना में वृद्धि के साथ, विश्वास अंतराल की चौड़ाई बढ़ जाती है, जो बदले में, निर्णय के विश्वास को बढ़ाता है, प्राप्त परिणाम का समर्थन करता है।

सांख्यिकीय विश्लेषण में एक विशेष स्थान अध्ययन की गई विशेषता या घटना के औसत स्तर के निर्धारण से संबंधित है। किसी विशेषता का औसत स्तर औसत मानों से मापा जाता है।

औसत मूल्य अध्ययन की गई विशेषता के सामान्य मात्रात्मक स्तर की विशेषता है और यह सांख्यिकीय आबादी की एक समूह संपत्ति है। यह एक दिशा या किसी अन्य में व्यक्तिगत टिप्पणियों के यादृच्छिक विचलन को समतल करता है, कमजोर करता है और अध्ययन के तहत विशेषता की मुख्य, विशिष्ट संपत्ति पर प्रकाश डालता है।

औसत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं:

1. जनसंख्या के स्वास्थ्य की स्थिति का आकलन करने के लिए: शारीरिक विकास की विशेषताएं (ऊंचाई, वजन, छाती की परिधि, आदि), विभिन्न रोगों की व्यापकता और अवधि की पहचान करना, जनसांख्यिकीय संकेतकों का विश्लेषण (प्राकृतिक जनसंख्या आंदोलन, औसत जीवन प्रत्याशा, जनसंख्या प्रजनन) , औसत जनसंख्या और आदि)।

2. चिकित्सा संस्थानों, चिकित्सा कर्मियों की गतिविधियों का अध्ययन करने और उनके काम की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए, विभिन्न प्रकार की चिकित्सा देखभाल में जनसंख्या की जरूरतों का निर्धारण और निर्धारण करने के लिए (प्रति व्यक्ति प्रति वर्ष अनुरोधों या यात्राओं की औसत संख्या, ठहरने की औसत लंबाई एक अस्पताल में एक रोगी की, परीक्षा के रोगी की औसत अवधि, डॉक्टरों के साथ औसत प्रावधान, बिस्तर, आदि)।

3. स्वच्छता और महामारी विज्ञान की स्थिति (कार्यशाला में हवा की औसत धूल, प्रति व्यक्ति औसत क्षेत्र, प्रोटीन, वसा और कार्बोहाइड्रेट की औसत खपत, आदि) की विशेषता के लिए।

4. प्रयोगशाला डेटा के प्रसंस्करण में मानदंड और विकृति विज्ञान में चिकित्सा और शारीरिक मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, सामाजिक-स्वच्छ, नैदानिक, प्रयोगात्मक अध्ययनों में एक चयनात्मक अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता स्थापित करने के लिए।

औसत मूल्यों की गणना भिन्नता श्रृंखला के आधार पर की जाती है। विविधता श्रृंखला- यह एक गुणात्मक रूप से सजातीय सांख्यिकीय सेट है, जिसकी व्यक्तिगत इकाइयाँ अध्ययन की गई विशेषता या घटना के मात्रात्मक अंतर को दर्शाती हैं।

मात्रात्मक भिन्नता दो प्रकार की हो सकती है: असंतत (असतत) और निरंतर।

एक असंतत (असतत) संकेत केवल एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसमें कोई मध्यवर्ती मान नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, विज़िट की संख्या, साइट की जनसंख्या, परिवार में बच्चों की संख्या, अंकों में रोग की गंभीरता , आदि।)।

एक निरंतर संकेत कुछ सीमाओं के भीतर किसी भी मूल्य पर ले सकता है, जिसमें भिन्नात्मक भी शामिल हैं, और केवल लगभग व्यक्त किया जाता है (उदाहरण के लिए, वजन - वयस्कों के लिए यह किलोग्राम तक सीमित हो सकता है, और नवजात शिशुओं के लिए - ग्राम; ऊंचाई, रक्तचाप, समय) एक रोगी, और आदि को देखने पर खर्च किया गया)।

भिन्नता श्रृंखला में शामिल प्रत्येक व्यक्तिगत विशेषता या घटना के डिजिटल मूल्य को एक प्रकार कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है वी . गणितीय साहित्य में अन्य संकेतन भी हैं, उदाहरण के लिए एक्स या वाई

एक परिवर्तनशील श्रृंखला, जहाँ प्रत्येक विकल्प को एक बार इंगित किया जाता है, सरल कहलाती है।कंप्यूटर डेटा प्रोसेसिंग के मामले में अधिकांश सांख्यिकीय समस्याओं में ऐसी श्रृंखला का उपयोग किया जाता है।

टिप्पणियों की संख्या में वृद्धि के साथ, एक नियम के रूप में, वेरिएंट के बार-बार मूल्य होते हैं। इस मामले में, यह बनाता है समूहीकृत भिन्नता श्रृंखला, जहां दोहराव की संख्या इंगित की गई है (आवृत्ति, अक्षर द्वारा निरूपित " आर »).

रैंक की गई विविधता श्रृंखलाआरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित विकल्पों के होते हैं। रैंकिंग के साथ सरल और समूहीकृत दोनों श्रृंखलाओं की रचना की जा सकती है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखलाकंप्यूटर का उपयोग किए बिना, बहुत बड़ी संख्या में अवलोकन इकाइयों (1000 से अधिक) के साथ, बाद की गणनाओं को सरल बनाने के लिए बनाए गए हैं।

निरंतर भिन्नता श्रृंखलाभिन्न मान शामिल हैं, जो कोई भी मान हो सकता है।

यदि भिन्नता श्रृंखला में विशेषता के मान (विकल्प) अलग-अलग विशिष्ट संख्याओं के रूप में दिए जाते हैं, तो ऐसी श्रृंखला कहलाती है अलग.

विविधता श्रृंखला में परिलक्षित विशेषता के मूल्यों की सामान्य विशेषताएं औसत मूल्य हैं। उनमें से, सबसे अधिक उपयोग किया जाता है: अंकगणितीय माध्य एम,पहनावा एमओऔर माध्यिका मुझे।इनमें से प्रत्येक विशेषता अद्वितीय है। वे एक दूसरे को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं, और केवल समग्र रूप से, पूरी तरह से और संक्षिप्त रूप में, परिवर्तनशील श्रृंखला की विशेषताएं हैं।

पहनावा (मो) सबसे अधिक बार होने वाले विकल्पों के मान को नाम दें।

मंझला (मुझे) श्रेणीबद्ध विविधता श्रृंखला को आधे में विभाजित करने वाले प्रकार का मान है (माध्यिका के प्रत्येक पक्ष पर प्रकार का आधा भाग होता है)। दुर्लभ मामलों में, जब एक सममित भिन्नता श्रृंखला होती है, तो बहुलक और माध्यिका एक दूसरे के बराबर होते हैं और अंकगणितीय माध्य के मान के साथ मेल खाते हैं।

भिन्न मूल्यों की सबसे विशिष्ट विशेषता है अंकगणित औसतमूल्य( एम ) गणितीय साहित्य में, इसे निरूपित किया जाता है .

अंकगणित औसत (एम, ) अध्ययन की गई घटना की एक निश्चित विशेषता की एक सामान्य मात्रात्मक विशेषता है, जो गुणात्मक रूप से सजातीय सांख्यिकीय सेट बनाती है। सरल अंकगणितीय माध्य और भारित माध्य में अंतर स्पष्ट कीजिए। सरल अंकगणितीय माध्य की गणना सभी विकल्पों का योग करके और इस योग को इस परिवर्तनशील श्रृंखला में शामिल विकल्पों की कुल संख्या से विभाजित करके एक साधारण परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए की जाती है। गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

,

कहाँ पे: एम - सरल अंकगणितीय माध्य;

Σ वी - राशि विकल्प;

एन- अवलोकनों की संख्या।

समूहीकृत भिन्नता श्रृंखला में, एक भारित अंकगणितीय माध्य निर्धारित किया जाता है। इसकी गणना का सूत्र:

,

कहाँ पे: एम - अंकगणित भारित औसत;

Σ वीपी - उनकी आवृत्तियों पर एक प्रकार के उत्पादों का योग;

एन- अवलोकनों की संख्या।

मैनुअल गणना के मामले में बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, क्षणों की विधि का उपयोग किया जा सकता है।

अंकगणितीय माध्य में निम्नलिखित गुण होते हैं:

माध्य से भिन्न के विचलन का योग ( Σ डी ) शून्य के बराबर है (तालिका 15 देखें);

जब सभी विकल्पों को एक ही कारक (भाजक) से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य को उसी कारक (विभाजक) से गुणा (विभाजित) किया जाता है;

यदि आप सभी विकल्पों में एक ही संख्या को जोड़ते हैं (घटते हैं), तो अंकगणितीय माध्य उसी संख्या से बढ़ता (घटता) है।

अंकगणितीय औसत, स्वयं द्वारा लिया गया, उस श्रृंखला की परिवर्तनशीलता को ध्यान में रखे बिना, जिससे उनकी गणना की जाती है, हो सकता है कि भिन्नता श्रृंखला के गुणों को पूरी तरह से प्रतिबिंबित न करें, खासकर जब अन्य औसत के साथ तुलना आवश्यक हो। मूल्य के करीब औसत मूल्य श्रृंखला से बिखरने की विभिन्न डिग्री के साथ प्राप्त किया जा सकता है। व्यक्तिगत विकल्प अपनी मात्रात्मक विशेषताओं के संदर्भ में एक दूसरे के जितने करीब होंगे, उतना ही कम बिखराव (उतार-चढ़ाव, परिवर्तनशीलता)श्रृंखला, अधिक विशिष्ट इसका औसत।

मुख्य पैरामीटर जो किसी विशेषता की परिवर्तनशीलता का आकलन करने की अनुमति देते हैं:

· दायरा;

आयाम;

· मानक विचलन;

· भिन्नता का गुणांक।

लगभग, किसी विशेषता के उतार-चढ़ाव को भिन्नता श्रृंखला के दायरे और आयाम से आंका जा सकता है। श्रेणी श्रृंखला में अधिकतम (वी अधिकतम) और न्यूनतम (वी मिनट) विकल्पों को इंगित करती है। आयाम (ए एम) इन विकल्पों के बीच का अंतर है: ए एम = वी अधिकतम - वी मिनट।

परिवर्तनीय श्रृंखला के उतार-चढ़ाव के मुख्य, आम तौर पर स्वीकृत उपाय हैं फैलाव (डी ) लेकिन अधिक सुविधाजनक पैरामीटर का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, जिसकी गणना विचरण के आधार पर की जाती है - मानक विचलन ( σ ) यह विचलन मान को ध्यान में रखता है ( डी ) इसके अंकगणितीय माध्य से भिन्नता श्रृंखला के प्रत्येक प्रकार का ( डी = वी - एम ).

चूंकि माध्य से भिन्नता का विचलन सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है, जब योग किया जाता है तो वे "0" (एस) मान देते हैं डी = 0) इससे बचने के लिए विचलन मान ( डी) दूसरी शक्ति तक बढ़ाए जाते हैं और औसत होते हैं। इस प्रकार, परिवर्तनशील श्रृंखला का प्रसरण अंकगणित माध्य से भिन्न के विचलन का औसत वर्ग है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

.

यह परिवर्तनशीलता की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है और इसका उपयोग कई सांख्यिकीय परीक्षणों की गणना के लिए किया जाता है।

क्योंकि विचरण को विचलनों के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जाता है, इसके मान का उपयोग अंकगणितीय माध्य की तुलना में नहीं किया जा सकता है। इन उद्देश्यों के लिए, इसका उपयोग किया जाता है मानक विचलन, जिसे "सिग्मा" चिह्न द्वारा दर्शाया गया है ( σ ) यह एक ही इकाइयों में अंकगणितीय माध्य से भिन्नता श्रृंखला के सभी रूपों के औसत विचलन की विशेषता है, इसलिए उन्हें एक साथ उपयोग किया जा सकता है।

मानक विचलन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यह सूत्र प्रेक्षणों की संख्या के लिए लागू होता है ( एन ) 30 से बड़ा है। छोटी संख्या के साथ एन मानक विचलन के मान में गणितीय पूर्वाग्रह से जुड़ी एक त्रुटि होगी ( एन - एक)। इस संबंध में, मानक विचलन की गणना के लिए सूत्र में इस तरह के पूर्वाग्रह को ध्यान में रखते हुए अधिक सटीक परिणाम प्राप्त किया जा सकता है:

मानक विचलन (एस ) यादृच्छिक चर के मानक विचलन का एक अनुमान है एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष।

मूल्यों के लिए एन > 30 मानक विचलन ( σ ) और मानक विचलन ( एस ) एक ही हो जाएगा ( =एस ). इसलिए, अधिकांश व्यावहारिक मैनुअल में, इन मानदंडों को अलग-अलग अर्थ माना जाता है।एक्सेल में, मानक विचलन की गणना फ़ंक्शन = एसटीडीईवी (रेंज) के साथ की जा सकती है। और मानक विचलन की गणना करने के लिए, आपको एक उपयुक्त सूत्र बनाने की आवश्यकता है।

मूल माध्य वर्ग या मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी विशेषता के मान माध्य मान से कितने भिन्न हो सकते हैं। मान लीजिए गर्मियों में एक ही औसत दैनिक तापमान वाले दो शहर हैं। इनमें से एक शहर तट पर स्थित है, और दूसरा महाद्वीप पर। यह ज्ञात है कि तट पर स्थित शहरों में अंतर्देशीय स्थित शहरों की तुलना में दिन के तापमान में अंतर कम होता है। इसलिए, तटीय शहर के पास दिन के तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा। व्यवहार में, इसका मतलब है कि महाद्वीप पर स्थित एक शहर में प्रत्येक विशेष दिन का औसत हवा का तापमान तट पर एक शहर की तुलना में औसत से अधिक भिन्न होगा। इसके अलावा, मानक विचलन औसत से संभावित तापमान विचलन का अनुमान लगाने के लिए आवश्यक स्तर की संभावना के साथ संभव बनाता है।

संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य वितरण कानून का पालन करने वाली घटनाओं में, अंकगणितीय माध्य, मानक विचलन और विकल्पों के मूल्यों के बीच एक सख्त संबंध है ( तीन सिग्मा नियम) उदाहरण के लिए, एक चर विशेषता के 68.3% मान M ± 1 . के भीतर हैं σ , 95.5% - एम ± 2 . के भीतर σ और 99.7% - एम ± 3 . के भीतर σ .

मानक विचलन का मान भिन्नता श्रृंखला और अध्ययन के तहत समूह की एकरूपता की प्रकृति का न्याय करना संभव बनाता है। यदि मानक विचलन का मान छोटा है, तो यह अध्ययन के तहत घटना की पर्याप्त उच्च समरूपता को इंगित करता है। इस मामले में अंकगणितीय माध्य को इस परिवर्तनशील श्रृंखला की काफी विशेषता के रूप में पहचाना जाना चाहिए। हालांकि, एक बहुत छोटा सिग्मा अवलोकनों के कृत्रिम चयन के बारे में सोचता है। एक बहुत बड़े सिग्मा के साथ, अंकगणितीय माध्य भिन्नता श्रृंखला को कुछ हद तक दर्शाता है, जो अध्ययन किए गए गुण या घटना या अध्ययन समूह की विविधता की महत्वपूर्ण परिवर्तनशीलता को इंगित करता है। हालांकि, मानक विचलन के मूल्य की तुलना केवल उसी आयाम के संकेतों के लिए संभव है। वास्तव में, यदि हम नवजात शिशुओं और वयस्कों के वजन की विविधता की तुलना करते हैं, तो हमें वयस्कों में हमेशा उच्च सिग्मा मान प्राप्त होंगे।

विभिन्न आयामों की विशेषताओं की परिवर्तनशीलता की तुलना का उपयोग करके किया जा सकता है गुणांक का परिवर्तन. यह विविधता को माध्य के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करता है, जो विभिन्न लक्षणों की तुलना की अनुमति देता है। चिकित्सा साहित्य में भिन्नता का गुणांक संकेत द्वारा दर्शाया गया है " साथ में ", और गणितीय में" वी» और सूत्र द्वारा परिकलित:

.

10% से कम भिन्नता के गुणांक के मान एक छोटे से बिखरने का संकेत देते हैं, 10 से 20% तक - औसत के बारे में, 20% से अधिक - अंकगणितीय माध्य के आसपास एक मजबूत प्रकीर्णन के बारे में।

अंकगणित माध्य की गणना आमतौर पर नमूना डेटा के आधार पर की जाती है। यादृच्छिक घटनाओं के प्रभाव में बार-बार अध्ययन के साथ, अंकगणितीय माध्य बदल सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि, एक नियम के रूप में, अवलोकन की संभावित इकाइयों का केवल एक हिस्सा, यानी नमूना आबादी की जांच की जाती है। अध्ययन के तहत घटना का प्रतिनिधित्व करने वाली सभी संभावित इकाइयों के बारे में जानकारी पूरी सामान्य आबादी का अध्ययन करके प्राप्त की जा सकती है, जो हमेशा संभव नहीं होती है। इसी समय, प्रयोगात्मक डेटा को सामान्य बनाने के लिए, सामान्य जनसंख्या में औसत का मूल्य रुचि का है। इसलिए, अध्ययन के तहत घटना के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष तैयार करने के लिए, नमूना आबादी के आधार पर प्राप्त परिणामों को सांख्यिकीय विधियों द्वारा सामान्य आबादी में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

नमूना अध्ययन और सामान्य आबादी के बीच समझौते की डिग्री निर्धारित करने के लिए, नमूना अवलोकन के दौरान अनिवार्य रूप से उत्पन्न होने वाली त्रुटि की मात्रा का अनुमान लगाना आवश्यक है। ऐसी त्रुटि कहलाती है प्रतिनिधित्व त्रुटि"या" अंकगणित माध्य की माध्य त्रुटि"। यह वास्तव में, चयनात्मक सांख्यिकीय अवलोकन से प्राप्त औसत और समान मूल्यों के बीच का अंतर है जो एक ही वस्तु के निरंतर अध्ययन से प्राप्त होगा, अर्थात। सामान्य जनसंख्या का अध्ययन करते समय। चूंकि नमूना माध्य एक यादृच्छिक चर है, इसलिए ऐसा पूर्वानुमान शोधकर्ता के लिए स्वीकार्य स्तर की संभावना के साथ किया जाता है। चिकित्सा अनुसंधान में, यह कम से कम 95% है।

प्रतिनिधित्व त्रुटि को पंजीकरण त्रुटियों या ध्यान संबंधी त्रुटियों (गलत छापों, गलत गणनाओं, गलत छापों, आदि) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसे प्रयोग में उपयोग की जाने वाली पर्याप्त कार्यप्रणाली और उपकरणों द्वारा कम से कम किया जाना चाहिए।

प्रतिनिधित्व की त्रुटि का परिमाण नमूना आकार और विशेषता की परिवर्तनशीलता दोनों पर निर्भर करता है। प्रेक्षणों की संख्या जितनी अधिक होगी, प्रतिदर्श सामान्य जनसंख्या के जितना निकट होगा और त्रुटि उतनी ही कम होगी। विशेषता जितनी अधिक परिवर्तनशील होगी, सांख्यिकीय त्रुटि उतनी ही अधिक होगी।

व्यवहार में, परिवर्तनशील श्रृंखला में प्रतिनिधित्व त्रुटि को निर्धारित करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

,

कहाँ पे: एम - प्रतिनिधित्व त्रुटि;

σ - मानक विचलन;

एननमूने में अवलोकनों की संख्या है।

यह सूत्र से देखा जा सकता है कि औसत त्रुटि का आकार सीधे मानक विचलन के समानुपाती होता है, अर्थात, अध्ययन के तहत विशेषता की परिवर्तनशीलता, और अवलोकनों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

सापेक्ष मूल्यों की गणना के आधार पर सांख्यिकीय विश्लेषण करते समय, भिन्नता श्रृंखला का निर्माण अनिवार्य नहीं है। इस मामले में, सापेक्ष संकेतकों के लिए औसत त्रुटि का निर्धारण एक सरलीकृत सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है:

,

कहाँ पे: आर- सापेक्ष संकेतक का मान, प्रतिशत, पीपीएम, आदि के रूप में व्यक्त किया जाता है;

क्यू- पी का पारस्परिक और (1-पी), (100-पी), (1000-पी), आदि के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसके आधार पर संकेतक की गणना की जाती है;

एननमूने में अवलोकनों की संख्या है।

हालांकि, सापेक्ष मूल्यों के लिए प्रतिनिधित्व त्रुटि की गणना के लिए संकेतित सूत्र केवल तभी लागू किया जा सकता है जब संकेतक का मूल्य उसके आधार से कम हो। गहन संकेतकों की गणना के कई मामलों में, यह शर्त पूरी नहीं होती है, और संकेतक को 100% या 1000% से अधिक की संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ऐसी स्थिति में, एक भिन्नता श्रृंखला का निर्माण किया जाता है और मानक विचलन के आधार पर औसत मूल्यों के सूत्र का उपयोग करके प्रतिनिधित्व त्रुटि की गणना की जाती है।

सामान्य जनसंख्या में अंकगणितीय माध्य के मूल्य का पूर्वानुमान दो मूल्यों के संकेत के साथ किया जाता है - न्यूनतम और अधिकतम। संभावित विचलन के ये चरम मूल्य, जिसके भीतर सामान्य जनसंख्या के वांछित औसत मूल्य में उतार-चढ़ाव हो सकता है, कहलाते हैं " आत्मविश्वास की सीमा».

संभाव्यता सिद्धांत के अभिधारणाओं ने साबित किया कि 99.7% की संभावना के साथ एक विशेषता के सामान्य वितरण के साथ, माध्य के विचलन के चरम मूल्य प्रतिनिधित्व की ट्रिपल त्रुटि के मूल्य से अधिक नहीं होंगे ( एम ± 3 एम ); 95.5% में - औसत मूल्य की दोगुनी औसत त्रुटि के मूल्य से अधिक नहीं ( एम ±2 एम ); 68.3% में - एक औसत त्रुटि के मूल्य से अधिक नहीं ( एम ± 1 एम ) (चित्र 9)।

पी%

चावल। 9. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व।

ध्यान दें कि उपरोक्त कथन केवल उस विशेषता के लिए सत्य है जो सामान्य गाऊसी वितरण कानून का पालन करता है।

चिकित्सा के क्षेत्र में उन सहित अधिकांश प्रायोगिक अध्ययन, माप से जुड़े होते हैं, जिसके परिणाम किसी दिए गए अंतराल में लगभग कोई भी मूल्य ले सकते हैं, इसलिए, एक नियम के रूप में, उन्हें निरंतर यादृच्छिक चर के एक मॉडल द्वारा वर्णित किया जाता है। इस संबंध में, अधिकांश सांख्यिकीय विधियां निरंतर वितरण पर विचार करती हैं। इनमें से एक वितरण, जो गणितीय आँकड़ों में मौलिक भूमिका निभाता है, है सामान्य, या गाऊसी, वितरण.

यह कई कारणों से है।

1. सबसे पहले, सामान्य वितरण का उपयोग करके कई प्रयोगात्मक अवलोकनों का सफलतापूर्वक वर्णन किया जा सकता है। यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि अनुभवजन्य डेटा का कोई वितरण नहीं है जो बिल्कुल सामान्य होगा, क्योंकि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर से सीमा में है, जो व्यवहार में कभी नहीं होता है। हालांकि, सामान्य वितरण अक्सर एक अच्छा सन्निकटन होता है।

क्या मानव शरीर के वजन, ऊंचाई और अन्य शारीरिक मापदंडों का मापन किया जाता है - हर जगह बहुत बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारक (प्राकृतिक कारण और माप त्रुटियां) परिणामों को प्रभावित करते हैं। और, एक नियम के रूप में, इनमें से प्रत्येक कारक का प्रभाव नगण्य है। अनुभव से पता चलता है कि ऐसे मामलों में परिणाम लगभग सामान्य रूप से वितरित किए जाएंगे।

2. एक यादृच्छिक नमूने से जुड़े कई वितरण, बाद की मात्रा में वृद्धि के साथ, सामान्य हो जाते हैं।

3. सामान्य वितरण अन्य निरंतर वितरण (उदाहरण के लिए, असममित वाले) के अनुमानित विवरण के रूप में उपयुक्त है।

4. सामान्य वितरण में कई अनुकूल गणितीय गुण होते हैं, जो बड़े पैमाने पर आंकड़ों में इसके व्यापक उपयोग को सुनिश्चित करते हैं।

साथ ही, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि चिकित्सा डेटा में कई प्रयोगात्मक वितरण होते हैं जिन्हें सामान्य वितरण मॉडल द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आँकड़ों ने ऐसी विधियाँ विकसित की हैं जिन्हें आमतौर पर "गैर-पैरामीट्रिक" कहा जाता है।

किसी विशेष प्रयोग के डेटा को संसाधित करने के लिए उपयुक्त सांख्यिकीय पद्धति का चुनाव इस आधार पर किया जाना चाहिए कि प्राप्त डेटा सामान्य वितरण कानून से संबंधित है या नहीं। सामान्य वितरण कानून के लिए एक संकेत के अधीनता के लिए परिकल्पना परीक्षण आवृत्ति वितरण (ग्राफ) के हिस्टोग्राम के साथ-साथ कई सांख्यिकीय मानदंडों का उपयोग करके किया जाता है। उनमें से:

विषमता मानदंड ( बी );

कुर्टोसिस की जांच के लिए मानदंड ( जी );

शापिरो-विल्क्स मानदंड ( वू ) .

प्रत्येक पैरामीटर के लिए डेटा के वितरण की प्रकृति का विश्लेषण (इसे वितरण की सामान्यता के लिए एक परीक्षण भी कहा जाता है) किया जाता है। सामान्य कानून के साथ पैरामीटर वितरण के अनुपालन का आत्मविश्वास से न्याय करने के लिए, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में अवलोकन इकाइयों (कम से कम 30 मान) की आवश्यकता होती है।

एक सामान्य वितरण के लिए, तिरछापन और कर्टोसिस मानदंड 0 का मान लेते हैं। यदि वितरण को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है बी > 0 (सकारात्मक विषमता), के साथ बी < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона जी = 0। पर जी > 0 वितरण वक्र तेज है यदि जी < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

शापिरो-विल्क्स परीक्षण का उपयोग करके सामान्यता के परीक्षण के लिए, सांख्यिकीय तालिकाओं का उपयोग करके इस मानदंड के मूल्य को आवश्यक स्तर पर और अवलोकन की इकाइयों की संख्या (स्वतंत्रता की डिग्री) के आधार पर खोजना आवश्यक है। परिशिष्ट 1. इस मानदंड के छोटे मूल्यों के लिए सामान्यता की परिकल्पना को एक नियम के रूप में, के लिए खारिज कर दिया जाता है वू <0,8.

एक भिन्नता श्रृंखला की अवधारणा।सांख्यिकीय अवलोकन की सामग्री को व्यवस्थित करने में पहला कदम उन इकाइयों की संख्या की गणना करना है जिनमें एक या दूसरी विशेषता है। इकाइयों को उनकी मात्रात्मक विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने और विशेषता के विशिष्ट मूल्य के साथ इकाइयों की संख्या की गणना करने के बाद, हम एक भिन्नता श्रृंखला प्राप्त करते हैं। भिन्नता श्रृंखला कुछ मात्रात्मक विशेषता के अनुसार एक निश्चित सांख्यिकीय आबादी की इकाइयों के वितरण की विशेषता है।

भिन्नता श्रृंखला में दो कॉलम होते हैं, बाएं कॉलम में वैरिएबल विशेषता के मान होते हैं, जिन्हें वेरिएंट कहा जाता है और (x) द्वारा दर्शाया जाता है, और दाएं कॉलम में पूर्ण संख्याएं होती हैं जो दर्शाती हैं कि प्रत्येक प्रकार कितनी बार होता है। इस कॉलम के मानों को फ़्रीक्वेंसी कहा जाता है और इन्हें (f) द्वारा दर्शाया जाता है।

योजनाबद्ध रूप से, भिन्नता श्रृंखला को तालिका 5.1 के रूप में दर्शाया जा सकता है:

तालिका 5.1

विविधता श्रृंखला का प्रकार

विकल्प (एक्स)	आवृत्तियों (एफ)

दाएं कॉलम में, आवृत्तियों की कुल मात्रा में अलग-अलग वेरिएंट की आवृत्ति के अनुपात को दर्शाने वाले सापेक्ष संकेतकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इन सापेक्ष संकेतकों को बारंबारता कहा जाता है और इन्हें पारंपरिक रूप से दर्शाया जाता है, अर्थात। . सभी आवृत्तियों का योग एक के बराबर होता है। आवृत्तियों को प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, और फिर उनका योग 100% के बराबर होगा।

चर संकेत एक अलग प्रकृति के हो सकते हैं। कुछ चिह्नों के प्रकार पूर्णांकों में व्यक्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, एक अपार्टमेंट में कमरों की संख्या, प्रकाशित पुस्तकों की संख्या आदि। इन संकेतों को असंतत, या असतत कहा जाता है। अन्य राशियों के वेरिएंट किसी भी मूल्य को कुछ सीमाओं के भीतर ले सकते हैं, जैसे कि नियोजित लक्ष्यों की पूर्ति, मजदूरी आदि। इन संकेतों को निरंतर कहा जाता है।

असतत भिन्नता श्रृंखला।यदि परिवर्तनशील श्रृंखला के रूपों को असतत मूल्यों के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला को असतत कहा जाता है, इसकी उपस्थिति तालिका में प्रस्तुत की जाती है। 5.2:

तालिका 5.2

परीक्षा में प्राप्त ग्रेड द्वारा छात्रों का वितरण

रेटिंग (एक्स)	छात्रों की संख्या (एफ)	कुल के% में ()

असतत श्रृंखला में वितरण की प्रकृति को एक वितरण बहुभुज के रूप में रेखांकन द्वारा दर्शाया गया है, चित्र 5.1।

चावल। 5.1. परीक्षा में प्राप्त ग्रेड द्वारा छात्रों का वितरण।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला।निरंतर सुविधाओं के लिए, भिन्नता श्रृंखला का निर्माण अंतराल श्रृंखला के रूप में किया जाता है, अर्थात। उनमें विशेषता मान "से और से" अंतराल के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। इस मामले में, ऐसे अंतराल में किसी विशेषता के न्यूनतम मान को अंतराल की निचली सीमा कहा जाता है, और अधिकतम मान को अंतराल की ऊपरी सीमा कहा जाता है।

इंटरवल वेरिएबल सीरीज़ का निर्माण असंतत विशेषताओं (असतत) और बड़ी रेंज में भिन्नता वाले दोनों के लिए किया जाता है। अंतराल पंक्तियाँ समान और असमान अंतरालों के साथ हो सकती हैं। आर्थिक व्यवहार में, अधिकांश भाग के लिए, असमान अंतरालों का उपयोग किया जाता है, जो उत्तरोत्तर बढ़ते या घटते हैं। ऐसी आवश्यकता विशेष रूप से उन मामलों में उत्पन्न होती है जहां संकेत का उतार-चढ़ाव असमान रूप से और बड़ी सीमा के भीतर किया जाता है।

समान अंतराल वाली अंतराल श्रृंखला के प्रकार पर विचार करें, तालिका। 5.3:

तालिका 5.3

आउटपुट द्वारा श्रमिकों का वितरण

आउटपुट, ट्र। (एक्स)	श्रमिकों की संख्या (एफ)	संचयी आवृत्ति (f´)

अंतराल वितरण श्रृंखला को एक हिस्टोग्राम के रूप में ग्राफिक रूप से दर्शाया गया है, चित्र 5.2।

चित्र 5.2. आउटपुट द्वारा श्रमिकों का वितरण

संचित (संचयी) आवृत्ति।व्यवहार में, वितरण श्रृंखला को में बदलने की आवश्यकता है संचयी पंक्तियाँ,संचित आवृत्तियों पर निर्मित। उनका उपयोग संरचनात्मक औसत को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो वितरण श्रृंखला डेटा के विश्लेषण की सुविधा प्रदान करता है।

संचयी आवृत्तियों को वितरण श्रृंखला के बाद के समूहों के इन संकेतकों के पहले समूह की आवृत्तियों (या आवृत्तियों) में क्रमिक रूप से जोड़कर निर्धारित किया जाता है। वितरण श्रृंखला को चित्रित करने के लिए संचयी और तोरण का उपयोग किया जाता है। उन्हें बनाने के लिए, एक असतत विशेषता (या अंतराल के सिरों) के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर चिह्नित किया जाता है, और आवृत्तियों के बढ़ते योग (क्यूम्युलेट) को ऑर्डिनेट अक्ष, Fig.5.3 पर चिह्नित किया जाता है।

चावल। 5.3. विकास द्वारा श्रमिकों का संचयी वितरण

यदि आवृत्तियों और वेरिएंट के पैमाने को आपस में बदल दिया जाता है, अर्थात। एब्सिस्सा अक्ष पर संचित आवृत्तियों को प्रतिबिंबित करते हैं, और कोऑर्डिनेट अक्ष पर विकल्पों के मूल्यों को दर्शाते हैं, फिर समूह से समूह में आवृत्तियों में परिवर्तन को दर्शाने वाले वक्र को वितरण तोरण कहा जाएगा, चित्र 5.4।

चावल। 5.4. उत्पादन के लिए श्रमिकों का ओजीवा वितरण

समान अंतराल वाली विविधता श्रृंखला सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकताओं में से एक प्रदान करती है, जिससे समय और स्थान में उनकी तुलना सुनिश्चित होती है।

वितरण घनत्व।हालांकि, इन श्रृंखलाओं में अलग-अलग असमान अंतरालों की आवृत्तियां सीधे तुलनीय नहीं हैं। ऐसे मामलों में, आवश्यक तुलना सुनिश्चित करने के लिए, वितरण घनत्व की गणना की जाती है, अर्थात। निर्धारित करें कि प्रत्येक समूह में कितनी इकाइयाँ अंतराल मान की प्रति इकाई हैं।

असमान अंतराल के साथ एक परिवर्तनशील श्रृंखला के वितरण के ग्राफ का निर्माण करते समय, आयतों की ऊंचाई आवृत्तियों के अनुपात में निर्धारित की जाती है, लेकिन संबंधित अंतराल में अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों के वितरण घनत्व के संकेतकों के लिए निर्धारित की जाती है। .

एक परिवर्तनशील श्रृंखला का संकलन और उसका चित्रमय प्रतिनिधित्व प्रारंभिक डेटा के प्रसंस्करण में पहला कदम है और अध्ययन की गई आबादी के विश्लेषण में पहला कदम है। परिवर्तनशील श्रृंखला के विश्लेषण में अगला कदम मुख्य सामान्यीकरण संकेतकों का निर्धारण है, जिन्हें श्रृंखला की विशेषताएं कहा जाता है। इन विशेषताओं से जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के औसत मूल्य का अंदाजा लगाना चाहिए।

औसत मूल्य. औसत मूल्य अध्ययन की गई जनसंख्या में अध्ययन की गई विशेषता की एक सामान्यीकृत विशेषता है, जो स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में प्रति जनसंख्या इकाई के विशिष्ट स्तर को दर्शाती है।

औसत मूल्य हमेशा नामित होता है, जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषता के समान आयाम होता है।

औसत मूल्यों की गणना करने से पहले, गुणात्मक रूप से सजातीय समूहों को उजागर करते हुए, अध्ययन की गई आबादी की इकाइयों को समूहित करना आवश्यक है।

समग्र रूप से जनसंख्या के लिए गणना की गई औसत को सामान्य औसत कहा जाता है, और प्रत्येक समूह के लिए - समूह औसत।

औसत दो प्रकार के होते हैं: शक्ति (अंकगणितीय औसत, हार्मोनिक औसत, ज्यामितीय औसत, मूल माध्य द्विघात); संरचनात्मक (मोड, माध्यिका, चतुर्थक, दशमांश)।

गणना के लिए औसत का चुनाव उद्देश्य पर निर्भर करता है।

शक्ति औसत के प्रकार और उनकी गणना के तरीके।एकत्रित सामग्री के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के अभ्यास में, विभिन्न समस्याएं उत्पन्न होती हैं, जिनके समाधान के लिए विभिन्न औसत की आवश्यकता होती है।

गणितीय आँकड़े घात माध्य सूत्रों से विभिन्न साधन प्राप्त करते हैं:

औसत मूल्य कहां है; एक्स - व्यक्तिगत विकल्प (सुविधा मान); z - घातांक (z = 1 पर - अंकगणितीय माध्य, z = 0 ज्यामितीय माध्य, z = - 1 - हार्मोनिक माध्य, z = 2 - माध्य द्विघात)।

हालांकि, प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में किस प्रकार का औसत लागू किया जाना चाहिए, इस सवाल का समाधान अध्ययन के तहत आबादी के विशिष्ट विश्लेषण द्वारा किया जाता है।

आँकड़ों में सबसे सामान्य प्रकार का औसत है अंकगणित औसत. इसकी गणना उन मामलों में की जाती है जब अध्ययन की गई सांख्यिकीय आबादी की व्यक्तिगत इकाइयों के लिए औसत विशेषता का आयतन इसके मूल्यों के योग के रूप में बनता है।

प्रारंभिक डेटा की प्रकृति के आधार पर, अंकगणितीय माध्य विभिन्न तरीकों से निर्धारित किया जाता है:

यदि डेटा असमूहीकृत है, तो गणना एक साधारण औसत मान के सूत्र के अनुसार की जाती है

एक असतत श्रृंखला में अंकगणितीय माध्य की गणनासूत्र 3.4 के अनुसार होता है।

अंतराल श्रृंखला में अंकगणितीय माध्य की गणना।एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, जहां अंतराल के मध्य को सशर्त रूप से प्रत्येक समूह में एक विशेषता के मान के रूप में लिया जाता है, अंकगणितीय माध्य अवर्गीकृत डेटा से परिकलित माध्य से भिन्न हो सकता है। इसके अलावा, समूहों में अंतराल जितना बड़ा होगा, समूहित डेटा से परिकलित औसत का संभावित विचलन अवर्गीकृत डेटा से परिकलित औसत से उतना ही अधिक होगा।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए औसत की गणना करते समय, आवश्यक गणना करने के लिए, एक अंतराल से उनके मध्य बिंदुओं तक जाता है। और फिर अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र द्वारा औसत मान की गणना करें।

अंकगणित माध्य के गुण।अंकगणित माध्य में कुछ गुण होते हैं जो हमें गणनाओं को सरल बनाने की अनुमति देते हैं, आइए उन पर विचार करें।

1. अचर संख्याओं का समांतर माध्य इस अचर संख्या के बराबर होता है।

अगर एक्स = ए। फिर .

2. यदि सभी विकल्पों के भारों को आनुपातिक रूप से बदल दिया जाता है, अर्थात। समान संख्या में गुणा या वृद्धि करें, तो नई श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य इससे नहीं बदलेगा।

यदि सभी भार f को k गुना कम कर दिया जाए, तो .

3. औसत से अलग-अलग विकल्पों के सकारात्मक और नकारात्मक विचलन का योग, भार से गुणा, शून्य के बराबर है, अर्थात।

तो अगर । यहां से।

यदि सभी विकल्पों को किसी संख्या से घटाया या बढ़ाया जाता है, तो नई श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य उसी राशि से घटेगा या बढ़ेगा।

सभी विकल्पों को कम करें एक्सपर ए, अर्थात। एक्स´ = एक्स– ए।

फिर

प्रारंभिक श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य को घटाए गए माध्य में जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है जो पहले वेरिएंट से घटाया गया था ए, अर्थात। .

5. यदि सभी विकल्पों को घटाया या बढ़ाया जाए कबार, तो नई श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य उसी राशि से घटेगा या बढ़ेगा, अर्थात। में कएक बार।

चलो फिर .

इसलिए, यानी। मूल श्रृंखला का औसत प्राप्त करने के लिए, नई श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य (घटाए गए विकल्पों के साथ) को द्वारा बढ़ाया जाना चाहिए कएक बार।

औसत हार्मोनिक।हार्मोनिक माध्य अंकगणित माध्य का व्युत्क्रम है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब सांख्यिकीय जानकारी में व्यक्तिगत जनसंख्या विकल्पों के लिए आवृत्तियाँ नहीं होती हैं, लेकिन उनके उत्पाद (M = xf) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। हार्मोनिक माध्य की गणना सूत्र 3.5 . का उपयोग करके की जाएगी

हार्मोनिक माध्य का व्यावहारिक अनुप्रयोग कुछ सूचकांकों की गणना करना है, विशेष रूप से, मूल्य सूचकांक।

जियोमेट्रिक माध्य।ज्यामितीय माध्य का उपयोग करते समय, विशेषता के व्यक्तिगत मान, एक नियम के रूप में, डायनामिक्स के सापेक्ष मान, श्रृंखला मानों के रूप में निर्मित, डायनामिक्स श्रृंखला में प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के अनुपात के रूप में होते हैं। . औसत इस प्रकार औसत विकास दर की विशेषता है।

गुण के अधिकतम और न्यूनतम मानों से समदूरस्थ मान निर्धारित करने के लिए ज्यामितीय माध्य का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीमा कंपनी ऑटो बीमा सेवाओं के प्रावधान के लिए अनुबंध करती है। विशिष्ट बीमित घटना के आधार पर, बीमा भुगतान प्रति वर्ष 10,000 से 100,000 डॉलर तक भिन्न हो सकता है। औसत बीमा भुगतान यूएस$ है।

ज्यामितीय माध्य अनुपात के औसत के रूप में या वितरण श्रृंखला में उपयोग किया जाने वाला मान है, जिसे ज्यामितीय प्रगति के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जब z = 0। यह औसत उपयोग करने के लिए सुविधाजनक होता है जब ध्यान पूर्ण अंतर पर नहीं, बल्कि अनुपात के अनुपात पर दिया जाता है। दो नंबर।

गणना के सूत्र इस प्रकार हैं

औसत फीचर के वेरिएंट कहां हैं; - विकल्पों का उत्पाद; एफ- विकल्पों की आवृत्ति।

औसत वार्षिक वृद्धि दर की गणना में ज्यामितीय माध्य का उपयोग किया जाता है।

वर्ग मतलब।मूल माध्य वर्ग सूत्र का उपयोग वितरण श्रृंखला में अंकगणित माध्य के आसपास किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के उतार-चढ़ाव की डिग्री को मापने के लिए किया जाता है। इसलिए, भिन्नता के संकेतकों की गणना करते समय, औसत की गणना अंकगणितीय माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के वर्गों से की जाती है।

माध्य वर्ग मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

आर्थिक अनुसंधान में, मूल माध्य वर्ग का संशोधित रूप व्यापक रूप से एक विशेषता की भिन्नता के संकेतकों की गणना में उपयोग किया जाता है, जैसे कि विचरण, मानक विचलन।

बहुमत नियम।पावर-लॉ औसत के बीच निम्नलिखित संबंध है - जितना बड़ा घातांक, उतना ही अधिक औसत का मूल्य, तालिका 5.4:

तालिका 5.4

औसत के बीच संबंध

जेड मान
औसत के बीच का अनुपात

इस संबंध को प्रमुखता का नियम कहा जाता है।

संरचनात्मक औसत।जनसंख्या की संरचना को चिह्नित करने के लिए, विशेष संकेतकों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें संरचनात्मक औसत कहा जा सकता है। इन उपायों में बहुलक, माध्यिका, चतुर्थक और दशमांश शामिल हैं।

पहनावा।मोड (Mo) जनसंख्या इकाइयों में एक विशेषता का सबसे अधिक बार होने वाला मान है। मोड उस विशेषता का मान है जो सैद्धांतिक वितरण वक्र के अधिकतम बिंदु से मेल खाता है।

उपभोक्ता मांग (कपड़ों और जूतों के आकार का निर्धारण करते समय जो बहुत मांग में हैं), मूल्य पंजीकरण के अध्ययन में व्यावसायिक व्यवहार में फैशन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुल मिलाकर कई मोड हो सकते हैं।

एक असतत श्रृंखला में मोड गणना।असतत श्रृंखला में, मोड उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण है। एक असतत श्रृंखला में एक मोड खोजने पर विचार करें।

एक अंतराल श्रृंखला में फैशन की गणना।अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, मोडल अंतराल के केंद्रीय संस्करण को लगभग एक मोड माना जाता है, अर्थात। उच्चतम आवृत्ति (आवृत्ति) वाला अंतराल। अंतराल के भीतर, विशेषता का मान ज्ञात करना आवश्यक है, जो कि बहुलक है। अंतराल श्रृंखला के लिए, बहुलक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा

मोडल अंतराल की निचली सीमा कहाँ है; मोडल अंतराल का मान है; मोडल अंतराल के अनुरूप आवृत्ति है; मोडल अंतराल से पहले की आवृत्ति है; मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति है।

माध्यिका।माध्यिका () रैंक की गई श्रृंखला की मध्य इकाई में विशेषता का मान है। एक क्रमबद्ध श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें विशेषता मान आरोही या अवरोही क्रम में लिखे जाते हैं। या माध्यिका एक ऐसा मान है जो एक क्रमबद्ध विविधता श्रृंखला की संख्या को दो बराबर भागों में विभाजित करता है: एक भाग में एक चर विशेषता का मान होता है जो औसत प्रकार से कम होता है, और दूसरा बड़ा होता है।

माध्यिका ज्ञात करने के लिए सबसे पहले इसका क्रमांक ज्ञात किया जाता है। ऐसा करने के लिए, विषम संख्या में इकाइयों के साथ, सभी आवृत्तियों के योग में एक जोड़ा जाता है और सब कुछ दो से विभाजित किया जाता है। इकाइयों की एक सम संख्या के साथ, माध्यिका को इकाई की विशेषता के मान के रूप में पाया जाता है, जिसकी क्रम संख्या दो से विभाजित आवृत्तियों के कुल योग से निर्धारित होती है। माध्यिका की क्रमिक संख्या जानने के बाद, संचित आवृत्तियों से इसका मान ज्ञात करना आसान है।

एक असतत श्रृंखला में माध्यिका की गणना।नमूना सर्वेक्षण के अनुसार, बच्चों की संख्या के आधार पर परिवारों के वितरण पर डेटा प्राप्त किया गया था, तालिका। 5.5. माध्यिका ज्ञात करने के लिए, पहले उसकी क्रमसूचक संख्या ज्ञात कीजिए

इन परिवारों में बच्चों की संख्या 2 है, इसलिए = 2. इस प्रकार, 50% परिवारों में बच्चों की संख्या 2 से अधिक नहीं होती है।

-माध्य अंतराल से पहले संचित आवृत्ति;

एक ओर, यह एक बहुत ही सकारात्मक संपत्ति है। इस मामले में, अध्ययन के तहत जनसंख्या की सभी इकाइयों को प्रभावित करने वाले सभी कारणों के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। दूसरी ओर, यहां तक ​​​​कि एक अवलोकन जो गलती से प्रारंभिक डेटा में शामिल हो गया था, विचाराधीन आबादी में अध्ययन किए गए गुण के विकास के स्तर के विचार को महत्वपूर्ण रूप से विकृत कर सकता है (विशेषकर लघु श्रृंखला में)।

चतुर्थक और दशमांश।परिवर्तनशील श्रृंखला में माध्यिका ज्ञात करने की सादृश्यता से, किसी भी श्रेणीबद्ध श्रृंखला इकाई में किसी विशेषता का मान क्रम से ज्ञात किया जा सकता है। इसलिए, विशेष रूप से, श्रृंखला को 4 बराबर भागों में 10, आदि में विभाजित करने वाली इकाइयों के लिए एक विशेषता का मान ज्ञात कर सकते हैं।

चतुर्थक।श्रेणीबद्ध श्रेणी को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले वेरियंट को चतुर्थक कहते हैं।

उसी समय, निम्नलिखित प्रतिष्ठित हैं: निचला (या पहला) चतुर्थक (Q1) - रैंक की गई श्रृंखला की इकाई की विशेषता का मूल्य, जनसंख्या को से के अनुपात में विभाजित करना और ऊपरी (या तीसरा) ) चतुर्थक (Q3) - श्रेणीबद्ध श्रृंखला की इकाई की विशेषता का मान, जनसंख्या को से के अनुपात में विभाजित करता है।

- चतुर्थक अंतरालों की आवृत्तियाँ (निचला और ऊपरी)

Q1 और Q3 वाले अंतराल संचित आवृत्तियों (या आवृत्तियों) से निर्धारित होते हैं।

दशमांश।चतुर्थक के अलावा, दशमलव की गणना की जाती है - विकल्प जो रैंक की गई श्रृंखला को 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

उन्हें D द्वारा दर्शाया जाता है, पहला डेसाइल D1 श्रृंखला को 1/10 और 9/10 के अनुपात में विभाजित करता है, दूसरा D2 - 2/10 और 8/10, आदि। उनकी गणना उसी तरह की जाती है जैसे माध्यिका और चतुर्थक।

माध्यिका और चतुर्थक और दशमक दोनों तथाकथित क्रमसूचक आँकड़ों से संबंधित हैं, जिसे एक प्रकार के रूप में समझा जाता है जो एक क्रमबद्ध श्रृंखला में एक निश्चित क्रमिक स्थान रखता है।

विविधता श्रृंखला - एक श्रृंखला जिसमें उनकी तुलना की जाती है (आरोही या अवरोही क्रम में) विकल्पऔर उनके संबंधित आवृत्तियों

वेरिएंट एक विशेषता के अलग मात्रात्मक अभिव्यक्ति हैं। एक लैटिन अक्षर के साथ नामित वी . शब्द "संस्करण" की शास्त्रीय समझ यह मानती है कि किसी विशेषता के प्रत्येक अद्वितीय मान को एक प्रकार कहा जाता है, चाहे दोहराव की संख्या कुछ भी हो।

उदाहरण के लिए, दस रोगियों में मापा गया सिस्टोलिक रक्तचाप के संकेतकों की एक भिन्न श्रृंखला में:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

केवल 6 मान विकल्प हैं:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

फ़्रिक्वेंसी एक संख्या है जो दर्शाती है कि कोई विकल्प कितनी बार दोहराया जाता है। एक लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित पी . सभी आवृत्तियों का योग (जो, निश्चित रूप से, सभी अध्ययन की संख्या के बराबर है) को इस प्रकार दर्शाया गया है एन.

हमारे उदाहरण में, फ़्रीक्वेंसी निम्नलिखित मानों पर आधारित होगी:
• वैरिएंट 110 फ़्रीक्वेंसी P = 1 के लिए (मान 110 एक मरीज़ में होता है),
• वैरिएंट 120 फ़्रीक्वेंसी P = 2 के लिए (मान 120 दो रोगियों में होता है),
• वैरिएंट के लिए 130 आवृत्ति पी = 3 (मूल्य 130 तीन रोगियों में होता है),
• वैरिएंट 140 फ़्रीक्वेंसी P = 2 के लिए (मान 140 दो रोगियों में होता है),
• संस्करण के लिए 160 आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 160 एक रोगी में होता है),
• संस्करण के लिए 170 आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 170 एक रोगी में होता है),

विविधता श्रृंखला के प्रकार:

1. सरल- यह एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक विकल्प केवल एक बार होता है (सभी आवृत्तियाँ 1 के बराबर होती हैं);
2. निलंबित- एक श्रृंखला जिसमें एक या अधिक विकल्प बार-बार आते हैं।

विविधता श्रृंखला का उपयोग संख्याओं के बड़े सरणियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है; यह इस रूप में है कि अधिकांश चिकित्सा अध्ययनों के एकत्रित डेटा को शुरू में प्रस्तुत किया जाता है। भिन्नता श्रृंखला को चिह्नित करने के लिए, विशेष संकेतकों की गणना की जाती है, जिसमें औसत मूल्य, परिवर्तनशीलता के संकेतक (तथाकथित फैलाव), नमूना डेटा की प्रतिनिधित्वशीलता के संकेतक शामिल हैं।

विविधता श्रृंखला संकेतक

1) अंकगणित माध्य एक सामान्यीकरण संकेतक है जो अध्ययन किए गए गुण के आकार को दर्शाता है। अंकगणित माध्य को के रूप में दर्शाया गया है एम , औसत का सबसे सामान्य प्रकार है। अंकगणित माध्य की गणना अवलोकन की सभी इकाइयों के संकेतकों के मूल्यों के योग के अनुपात के रूप में की जाती है, जो सभी की जांच की जाती है। एक साधारण और भारित भिन्नता श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करने की विधि भिन्न होती है।

गणना के लिए सूत्र सरल अंकगणित माध्य:

गणना के लिए सूत्र भारित अंकगणित माध्य:

एम = (वी * पी) / एन

2) मोड - विविधता श्रृंखला का एक और औसत मूल्य, सबसे अधिक बार-बार दोहराए जाने वाले संस्करण के अनुरूप। या, इसे अलग तरीके से रखने के लिए, यह वह विकल्प है जो उच्चतम आवृत्ति से मेल खाता है। के रूप में नामित एमओ . बहुलक की गणना केवल भारित श्रृंखला के लिए की जाती है, क्योंकि साधारण श्रृंखला में कोई भी विकल्प दोहराया नहीं जाता है और सभी आवृत्तियाँ एक के बराबर होती हैं।

उदाहरण के लिए, हृदय गति मानों की विविधता श्रृंखला में:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

मोड का मान 86 है, क्योंकि यह वैरिएंट 3 बार आता है, इसलिए इसकी आवृत्ति सबसे अधिक है।

​

3) माध्यिका - विकल्प का मान, भिन्नता श्रृंखला को आधे में विभाजित करना: इसके दोनों ओर समान संख्या में विकल्प होते हैं। माध्यिका, साथ ही अंकगणितीय माध्य और बहुलक, औसत मानों को संदर्भित करता है। के रूप में नामित मैं

4) मानक विचलन (समानार्थी शब्द: मानक विचलन, सिग्मा विचलन, सिग्मा) - भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का एक उपाय। यह एक अभिन्न संकेतक है जो एक प्रकार के विचलन के सभी मामलों को माध्य से जोड़ता है। वास्तव में, यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: अंकगणित माध्य से विकल्प कितनी दूर और कितनी बार फैलते हैं। एक ग्रीक अक्षर द्वारा निरूपित σ ("सिग्मा").

जब जनसंख्या का आकार 30 इकाइयों से अधिक होता है, तो मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छोटी आबादी के लिए - 30 अवलोकन इकाइयां या उससे कम - मानक विचलन की गणना एक अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

(एक परिवर्तनशील श्रृंखला की परिभाषा; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के घटक; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के तीन रूप; एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण की समीचीनता; निष्कर्ष जो निर्मित श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं)

एक परिवर्तनशील श्रृंखला गैर-घटते क्रम में व्यवस्थित नमूने के सभी तत्वों का एक क्रम है। वही तत्व दोहराए जाते हैं

भिन्नात्मक - ये मात्रात्मक आधार पर निर्मित श्रृंखलाएँ हैं।

विभिन्न वितरण श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: रूपांतर और आवृत्तियां:

वेरिएंट वितरण की विविधता श्रृंखला में मात्रात्मक विशेषता के संख्यात्मक मान हैं। वे सकारात्मक या नकारात्मक, निरपेक्ष या सापेक्ष हो सकते हैं। इसलिए, जब उद्यमों को आर्थिक गतिविधि के परिणामों के अनुसार समूहीकृत किया जाता है, तो विकल्प सकारात्मक होते हैं - यह लाभ है, और नकारात्मक संख्या - यह एक नुकसान है।

फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ निश्चित विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है और यह संपूर्ण जनसंख्या के तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है।

फ़्रीक्वेंसी वे फ़्रीक्वेंसी हैं जिन्हें सापेक्ष मूल्यों (इकाइयों या प्रतिशत के अंश) के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का योग एक या 100% के बराबर होता है। बारंबारताओं को बारंबारताओं से बदलने से विभिन्न संख्याओं के प्रेक्षणों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला की तुलना करना संभव हो जाता है।

विविधता श्रृंखला के तीन रूप हैं:क्रमबद्ध श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला।

एक क्रमबद्ध श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग मात्रात्मक डेटा को समूहों में विभाजित करना आसान बनाता है, तुरंत एक विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का पता लगाता है, और उन मूल्यों को उजागर करता है जो सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।

विविधता श्रृंखला के अन्य रूप अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों में भिन्नता की प्रकृति के अनुसार संकलित समूह सारणी हैं। भिन्नता की प्रकृति से, असतत (असंतत) और निरंतर संकेत प्रतिष्ठित हैं।

एक असतत श्रृंखला एक ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला है, जिसका निर्माण एक असंतत परिवर्तन (असतत संकेत) वाले संकेतों पर आधारित होता है। उत्तरार्द्ध में टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि शामिल हैं। ये संकेत केवल कुछ निश्चित मानों की सीमित संख्या ले सकते हैं।

एक असतत विविधता श्रृंखला एक तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं। पहला कॉलम विशेषता के विशिष्ट मूल्य को इंगित करता है, और दूसरा - विशेषता के विशिष्ट मूल्य के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या।

यदि किसी चिन्ह में निरंतर परिवर्तन होता है (आय की राशि, कार्य अनुभव, किसी उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत, आदि, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मूल्य ले सकता है), तो इस संकेत के लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाई जानी चाहिए।

यहां समूह तालिका में भी दो स्तंभ हैं। पहला अंतराल "से - से" (विकल्प) में सुविधा के मूल्य को इंगित करता है, दूसरा - अंतराल (आवृत्ति) में शामिल इकाइयों की संख्या।

आवृत्ति (पुनरावृत्ति आवृत्ति) - विशेषता मानों के एक विशेष प्रकार के दोहराव की संख्या, निरूपित फाई, और अध्ययन की गई आबादी के आयतन के बराबर आवृत्तियों का योग, निरूपित

जहाँ k विशेषता मान विकल्पों की संख्या है

बहुत बार, तालिका को एक स्तंभ के साथ पूरक किया जाता है जिसमें संचित आवृत्तियों एस की गणना की जाती है, जो दर्शाती है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का एक विशेषता मान इस मान से अधिक नहीं है।

एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूह एक विशेषता के अनुसार बनाए जाते हैं जो अलग-अलग होते हैं और केवल पूर्णांक मान लेते हैं।

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूहीकरण विशेषता, जो समूहीकरण का आधार बनती है, एक निश्चित अंतराल में भिन्नात्मक सहित कोई भी मान ले सकती है।

एक अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की भिन्नता के अंतराल का एक क्रमबद्ध सेट है जिसमें उनमें से प्रत्येक में गिरने वाली मात्रा के मूल्यों की संबंधित आवृत्तियों या आवृत्तियों के साथ होता है।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना समीचीन है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक असतत भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला में प्रकट होती है, अर्थात। असतत सुविधा के लिए विकल्पों की संख्या काफी बड़ी है।

इस श्रृंखला से पहले ही कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक परिवर्तनशील श्रृंखला (माध्यिका) का औसत तत्व माप के सबसे संभावित परिणाम का अनुमान हो सकता है। भिन्नता श्रृंखला का पहला और अंतिम तत्व (अर्थात नमूने का न्यूनतम और अधिकतम तत्व) नमूने के तत्वों के प्रसार को दर्शाता है। कभी-कभी, यदि पहला या अंतिम तत्व बाकी नमूने से बहुत अलग होता है, तो उन्हें माप परिणामों से बाहर रखा जाता है, यह देखते हुए कि ये मान किसी प्रकार की सकल विफलता के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए थे, उदाहरण के लिए, प्रौद्योगिकी।