परिचय

गणित और प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लिए इसके अनुप्रयोगों में, घातीय कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह, विशेष रूप से, इस तथ्य से समझाया गया है कि प्राकृतिक विज्ञान में अध्ययन की जाने वाली कई घटनाएं जैविक विकास की तथाकथित प्रक्रियाओं में से हैं, जिसमें उनमें भाग लेने वाले कार्यों के परिवर्तन की दर कार्यों के मूल्यों के समानुपाती होती है। खुद।

यदि किसी फलन और तर्क द्वारा निरूपित किया जाता है, तो जैविक वृद्धि की प्रक्रिया के अवकल नियम को उस रूप में लिखा जा सकता है जहाँ आनुपातिकता का कुछ स्थिर गुणांक है।

इस समीकरण का एकीकरण एक घातीय फलन के रूप में सामान्य समाधान की ओर ले जाता है

यदि आप प्रारंभिक शर्त सेट करते हैं, तो आप एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित कर सकते हैं और इस प्रकार, एक विशेष समाधान ढूंढ सकते हैं, जो विचाराधीन प्रक्रिया का एक अभिन्न नियम है।

कार्बनिक विकास की प्रक्रियाओं में शामिल हैं, कुछ सरल मान्यताओं के तहत, जैसे कि, उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह से ऊपर की ऊंचाई के आधार पर वायुमंडलीय दबाव में परिवर्तन, रेडियोधर्मी क्षय, स्थिर तापमान के वातावरण में शरीर का ठंडा या गर्म होना, ए गैर-आणविक रासायनिक प्रतिक्रिया (उदाहरण के लिए, पानी में किसी पदार्थ का विघटन), जिसमें सामूहिक क्रिया का नियम होता है (प्रतिक्रिया दर अभिकारक की मात्रा के समानुपाती होती है), सूक्ष्मजीवों का प्रजनन, और कई अन्य।

उस पर चक्रवृद्धि ब्याज (ब्याज पर ब्याज) के उपार्जन के कारण धन की मात्रा में वृद्धि भी जैविक विकास की एक प्रक्रिया है।

इन उदाहरणों को जारी रखा जा सकता है।

गणित और उसके अनुप्रयोगों में अलग-अलग घातांकीय फलनों के साथ, घातांकीय फलनों के विभिन्न संयोजनों का उपयोग किया जाता है, जिनमें से कुछ रेखीय और रैखिक-आंशिक कार्यों के संयोजन और तथाकथित अतिपरवलयिक फलनों का विशेष महत्व है। इनमें से छह कार्य हैं, उनके लिए निम्नलिखित विशेष नाम और पदनाम पेश किए गए हैं:

(हाइपरबोलिक साइन),

(हाइपरबोलिक कोसाइन),

(अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा),

(हाइपरबोलिक कोटैंजेंट),

(हाइपरबोलिक सेकेंट),

(हाइपरबोलिक सेकेंट)।

प्रश्न उठता है कि वास्तव में ऐसे नाम क्यों दिए गए हैं, और यहाँ एक अतिशयोक्ति है और त्रिकोणमिति से ज्ञात कार्यों के नाम: साइन, कोसाइन, आदि? यह पता चला है कि त्रिकोणमितीय कार्यों को इकाई त्रिज्या के एक वृत्त के बिंदुओं के निर्देशांक के साथ जोड़ने वाले संबंध हाइपरबोलिक कार्यों को एक इकाई अर्ध-अक्ष के साथ एक समबाहु अतिपरवलय के बिंदुओं के निर्देशांक के साथ जोड़ने वाले संबंधों के समान हैं। यह अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के नाम को सही ठहराता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

सूत्रों द्वारा दिए गए कार्यों को क्रमशः अतिपरवलयिक कोज्या और अतिपरवलयिक ज्या कहा जाता है।

ये फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर हैं, और यह एक समान फ़ंक्शन है और एक विषम फ़ंक्शन है।

चित्र 1.1 - कार्यों के रेखांकन

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की परिभाषा से यह निम्नानुसार है:

त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप, अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा और कोटांगेंट को क्रमशः सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जाता है

एक फ़ंक्शन को परिभाषित और निरंतर चालू किया जाता है, और एक फ़ंक्शन को एक पंचर बिंदु के साथ सेट पर परिभाषित और निरंतर किया जाता है; दोनों फलन विषम हैं, उनके आलेख नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

चित्र 1.2 - फलन का ग्राफ

चित्र 1.3 - फलन का आलेख

यह दिखाया जा सकता है कि कार्य सख्ती से बढ़ रहे हैं, जबकि कार्य सख्ती से घट रहा है। इसलिए, ये कार्य प्रतिवर्ती हैं। उनके विपरीत कार्यों को क्रमशः द्वारा निरूपित करें।

किसी फ़ंक्शन के विपरीत फ़ंक्शन पर विचार करें, अर्थात। समारोह। हम इसे प्राथमिक के रूप में व्यक्त करते हैं। के संबंध में समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं क्योंकि, तब, जहां से

हाइपरबोलिक ज्या के व्युत्क्रम फलन के सूत्र को साथ और से प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं।

त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों के बीच संबंध के साथ-साथ हमने जटिल डोमेन (यूलर सूत्र) में खोजा

जटिल डोमेन में त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के बीच एक बहुत ही सरल संबंध है।

याद रखें कि, परिभाषा के अनुसार:

यदि सर्वसमिका (3) में हम प्रतिस्थापित करते हैं तो दायीं ओर से हमें वही व्यंजक प्राप्त होता है जो सर्वसमिका के दायीं ओर होता है, जिससे बायीं ओर की समानता का अनुसरण होता है। वही पहचान (4) और (2) के लिए है।

पहचान के दोनों हिस्सों (6) को पहचान के संबंधित भागों (5) और इसके विपरीत (5) को (6) से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं:

पहचान (1) और (2) में एक समान प्रतिस्थापन और पहचान (3) और (4) के साथ तुलना देता है:

अंत में, सर्वसमिकाओं (9) और (10) से हम पाते हैं:

यदि हम सर्वसमिकाएँ (5) - (12) रखते हैं, जहाँ x एक वास्तविक संख्या है, अर्थात्, तर्क को विशुद्ध रूप से काल्पनिक मानें, तो हमें विशुद्ध रूप से काल्पनिक तर्क के त्रिकोणमितीय फलनों और वास्तविक के संगत अतिपरवलयिक फलनों के बीच आठ और सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं। तर्क, साथ ही एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक काल्पनिक तर्क के अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों और वास्तविक तर्क के संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच:

प्राप्त संबंध त्रिकोणमितीय कार्यों से हाइपरबोलिक वाले और से पारित करना संभव बनाते हैं

वास्तविक तर्क द्वारा काल्पनिक तर्क के प्रतिस्थापन के साथ त्रिकोणमितीय लोगों के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य। उन्हें निम्नलिखित नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है:

एक काल्पनिक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से अतिपरवलयिक लोगों तक जाने के लिए या, इसके विपरीत, एक काल्पनिक तर्क के अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों से त्रिकोणमितीय लोगों तक, किसी को साइन और स्पर्शरेखा के लिए काल्पनिक इकाई को फ़ंक्शन के संकेत से बाहर निकालना चाहिए, और इसे पूरी तरह से त्यागना चाहिए कोसाइन के लिए।

स्थापित कनेक्शन उल्लेखनीय है, विशेष रूप से, यह हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस के बीच सभी संबंधों को हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस द्वारा बाद वाले को बदलकर त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच ज्ञात संबंधों से प्राप्त करना संभव बनाता है।

आइए दिखाते हैं कि यह कैसा है। किया जा रहा है।

उदाहरण के लिए मूल त्रिकोणमितीय पहचान लें

और उसमें डालें जहां x एक वास्तविक संख्या है; हम पाते हैं:

यदि इस सर्वसमिका में हम ज्या और कोज्या को सूत्रों के अनुसार अतिपरवलयिक ज्या और कोज्या द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं या और यह पहले से व्युत्पन्न एक अलग तरीके से मूल पहचान है।

इसी तरह, आप योग के अतिपरवलयिक कार्यों के लिए सूत्र और तर्कों के अंतर, दोहरे और आधे तर्क आदि सहित अन्य सभी सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, इस प्रकार, सामान्य त्रिकोणमिति से, "हाइपरबोलिक त्रिकोणमिति" प्राप्त करें।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य- अतिपरवलयिक ज्या (sh x) और कोज्या (ch x) को निम्नलिखित समानताओं द्वारा परिभाषित किया गया है:

हाइपरबोलिक टेंगेंट और कोटैंजेंट को त्रिकोणमितीय टेंगेंट और कोटेंजेंट के समानता से परिभाषित किया जाता है:

अतिपरवलयिक secant और cosecant को समान रूप से परिभाषित किया गया है:

सूत्र हैं:

अतिपरवलयिक फलनों के गुण कई प्रकार से गुणों के समान होते हैं (देखें)। समीकरण x=cos t, y=sin t वृत्त x²+y² = 1 निर्धारित करते हैं; समीकरण x=сh t, y=sh t अतिपरवलय x² - y²=1 को परिभाषित करते हैं। चूंकि त्रिकोणमितीय फलन इकाई त्रिज्या के एक वृत्त से निर्धारित होते हैं, इसलिए अतिपरवलयिक फलन एक समद्विबाहु अतिपरवलय x² - y² = 1 से निर्धारित होते हैं। तर्क t छायांकित वक्रीय त्रिभुज OME (चित्र। 48) का दोहरा क्षेत्र है, इसी तरह इस तथ्य के लिए कि वृत्ताकार (त्रिकोणमितीय) कार्यों के लिए तर्क t संख्यात्मक रूप से वक्रीय त्रिभुज OKE के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर है ( अंजीर। 49):

सर्कल के लिए

अतिशयोक्ति के लिए

अतिपरवलयिक फलनों के योग प्रमेय त्रिकोणमितीय फलनों के योग प्रमेयों के समान हैं:

इन उपमाओं को आसानी से देखा जा सकता है यदि जटिल चर r को तर्क x के रूप में लिया जाता है। हाइपरबोलिक फ़ंक्शन निम्न सूत्रों द्वारा त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित हैं: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, जहां i में से एक है जड़ का मान √-1. अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य sh x, साथ ही ch x: त्रिकोणमितीय कार्यों के विपरीत कोई भी बड़ा मान (इसलिए, निश्चित रूप से, बड़ी इकाइयाँ) ले सकते हैं sin x, cos x, जो वास्तविक मूल्यों के लिए नहीं हो सकता निरपेक्ष मूल्य में एक से अधिक हो।
लोबचेव्स्की की ज्यामिति (देखें) में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य एक भूमिका निभाते हैं, विद्युत इंजीनियरिंग और ज्ञान की अन्य शाखाओं में सामग्री के प्रतिरोध के अध्ययन में उपयोग किया जाता है। साहित्य में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के पदनाम भी हैं जैसे sinh x; कोष एक्स; टीजीएचएक्स