1. आसन्न कोने।

यदि हम किसी कोण की भुजा को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोण प्राप्त होते हैं (आकृति 72): ABC और ∠CBD, जिसमें BC की एक भुजा उभयनिष्ठ है, और अन्य दो, AB और BD, एक सीधी रेखा बनाते हैं। .

दो कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हैं, आसन्न कोण कहलाते हैं।

आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु से एक किरण खींचते हैं (दी गई सीधी रेखा पर स्थित नहीं है), तो हमें आसन्न कोण मिलते हैं।

उदाहरण के लिए, ADF और FDВ आसन्न कोण हैं (चित्र 73)।

आसन्न कोनों में विभिन्न प्रकार के स्थान हो सकते हैं (चित्र 74)।

आसन्न कोण एक सीधे कोण में जुड़ते हैं, इसलिए दो आसन्न कोणों का योग 180° . होता है

इसलिए, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आसन्न कोणों में से एक का मान जानने के बाद, हम दूसरे आसन्न कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक का कोण 54° है, तो दूसरा कोण होगा:

180° - 54° = l26°।

2. लंबवत कोण।

यदि हम किसी कोण की भुजाओं को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोण प्राप्त होते हैं। चित्र 75 में, कोण EOF और AOC लंबवत हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों।

माना ∠1 = \(\frac(7)(8)\) 90° (चित्र 76)। इसके निकट 2 180° - \(\frac(7)(8)\) 90°, यानी 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° के बराबर होगा।

इसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि 3 और ∠4 क्या हैं।

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) 90° = 1\(\frac(1)(8)\) 90° (चित्र 77)।

हम देखते हैं कि 1 = ∠3 और ∠2 = 4।

आप समान समस्याओं में से कई को हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलता है: लंबवत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

उर्ध्वाधर कोणों के गुणधर्म की वैधता को प्रमाण द्वारा सत्यापित करना आवश्यक है।

प्रमाण निम्नानुसार किया जा सकता है (चित्र। 78):

∠ए +∠सी= 180°;

∠बी +∠सी= 180°;

(क्योंकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है)।

∠ए +∠सी = ∠बी +∠सी

(चूंकि इस समानता का बायां भाग 180° है, और इसका दाहिना भाग भी 180° है)।

इस समानता में एक ही कोण शामिल है साथ.

यदि हम समान मानों में से समान रूप से घटाते हैं, तो यह समान रूप से रहेगा। परिणाम होगा: ∠ए = ∠बी, यानी, ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर हैं।

3. एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले कोणों का योग।

आरेखण में 79, 1, ∠2, 3 और 4 रेखा के एक ही ओर स्थित हैं और इस रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक सीधा कोण बनाते हैं, अर्थात।

1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°।

रेखाचित्र 80 1, ∠2, ∠3, ∠4 और 5 में एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। ये कोण एक पूर्ण कोण बनाते हैं, अर्थात ∠1 + 2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°।

अन्य सामग्री

ज्यामिति एक बहुत ही बहुआयामी विज्ञान है। यह तर्क, कल्पना और बुद्धि विकसित करता है। बेशक, इसकी जटिलता और बड़ी संख्या में प्रमेयों और स्वयंसिद्धों के कारण, स्कूली बच्चे हमेशा इसे पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता है।

आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोण ज्यामिति का एक अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें इस कारण से प्यार करते हैं कि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान हैं।

कोनों का गठन

कोई भी कोण दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन या एक बिंदु से दो किरणें खींचकर बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो क्रमिक रूप से कोने के निर्माण के बिंदुओं को निर्दिष्ट करते हैं।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है और (उनके मूल्य के आधार पर) अलग तरीके से कहा जा सकता है। तो, एक समकोण, न्यूनकोण, अधिक कोण और तैनात है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

न्यून कोण वह कोण होता है जिसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

अधिक कोण 90 डिग्री से अधिक का कोण होता है।

एक कोण को समकोण कहा जाता है जब उसका माप 90 होता है।

उस स्थिति में जब यह एक सतत सीधी रेखा से बनता है, और इसकी डिग्री माप 180 है, इसे तैनात कहा जाता है।

ऐसे कोण जिनका एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है, जिसका दूसरा पक्ष एक दूसरे को जारी रखता है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोण बनाता है। उनके गुण इस प्रकार हैं:

1. ऐसे कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (इसे साबित करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है यदि दूसरा ज्ञात हो।
2. पहले बिंदु से यह निष्कर्ष निकलता है कि आसन्न कोण दो अधिक या दो न्यून कोणों से नहीं बन सकते हैं।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, कोई हमेशा किसी अन्य कोण के मान या कम से कम उनके बीच के अनुपात को देखते हुए कोण के डिग्री माप की गणना कर सकता है।

लंब कोण

कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे की निरंतरता होती हैं, लंबवत कहलाती हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। लंबवत कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वे तब बनते हैं जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। उनके साथ, आसन्न कोने हमेशा मौजूद होते हैं। एक कोण एक के लिए आसन्न और दूसरे के लिए लंबवत दोनों हो सकता है।

एक मनमानी रेखा को पार करते समय, कई और प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। ऐसी रेखा को एक छेदक कहा जाता है, और यह संबंधित, एकतरफा और क्रॉस-झूठ वाले कोण बनाती है। वे एक दूसरे के बराबर हैं। उन्हें उन गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है जो लंबवत और आसन्न कोण हैं।

इस प्रकार, कोनों का विषय काफी सरल और समझने योग्य लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और सिद्ध करना आसान है। समस्याओं को हल करना तब तक मुश्किल नहीं है जब तक कि कोण एक संख्यात्मक मान के अनुरूप हों। पहले से ही, जब पाप और कारण का अध्ययन शुरू होता है, तो आपको कई जटिल सूत्रों, उनके निष्कर्षों और परिणामों को याद रखना होगा। तब तक, आप केवल आसान पहेलियों का आनंद ले सकते हैं जिसमें आपको आसन्न कोनों को खोजने की आवश्यकता होती है।

2) 2 रेखाओं में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं?
3) समझाइए कि एक खंड क्या है?
4) बताएं कि किरण क्या है।किरणों को कैसे नामित किया जाता है?
5) किस आकृति को कोण कहते हैं? समझाइए कि एक कोण का शीर्ष और भुजाएँ क्या होती हैं?
6) किस कोण को परिनियोजित कहा जाता है?
7) कौन से अंक समान कहलाते हैं?
8) समझाएं कि 2 खंडों की तुलना कैसे करें
9) किस बिंदु को खंड का मध्य बिंदु कहा जाता है?
10) 2 कोणों की तुलना करने का तरीका बताएं।
11) कोण समद्विभाजक किसे कहते हैं?
12) बिंदु C खंड AB को 2 खंडों में विभाजित करता है। खंड AB की लंबाई कैसे ज्ञात करें यदि खंड AC और CB की लंबाई ज्ञात हो?
13) दूरियों को मापने के लिए किन उपकरणों का उपयोग किया जाता है?
14) कोण का डिग्री माप क्या है?
15) रे OS कोण AOB को 2 कोणों में विभाजित करता है। कोण AOB की डिग्री माप कैसे ज्ञात करें यदि कोण AOC और COB के डिग्री माप ज्ञात हैं?
16) किस कोण को न्यूनकोण कहा जाता है?सही?अधिक?
17) किन कोणों को आसन्न कहा जाता है आसन्न कोणों का योग क्या है?
18) किन कोणों को लंबवत कहा जाता है? लंबवत कोणों में क्या गुण होते हैं?
19) किन रेखाओं को लंबवत कहा जाता है?
20) समझाइए कि 2 रेखाएँ 3 के लम्बवत प्रतिच्छेद क्यों नहीं करतीं?
21) जमीन पर समकोण बनाने के लिए किन उपकरणों का उपयोग किया जाता है?

दो बिंदुओं से कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

दो रेखाओं में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं?
3 समझाएं कि एक खंड क्या है
4स्पष्ट करें कि किरण क्या है। किरणों को कैसे नामित किया जाता है?
कोण किसे कहते हैं? समझाइए कि एक कोण का शीर्ष और भुजाएँ क्या होती हैं
6किस कोण को खुला हुआ कोण कहा जाता है
7 किस अंक को समान कहा जाता है
8स्पष्ट करें कि दो खंडों की तुलना कैसे करें
किसी खण्ड का मध्यबिंदु किस बिंदु को कहते हैं
10स्पष्ट करें कि दो कोणों की तुलना कैसे करें
11 किस किरण को कोण समद्विभाजक कहा जाता है
12बिंदु c खंड ab को दो खंडों में विभाजित करता है। खंड ab की लंबाई कैसे ज्ञात करें यदि खंड ac और sb की लंबाई ज्ञात हो
13दूरी मापने के लिए किस उपकरण का उपयोग किया जाता है
14 कोण का डिग्री माप क्या है
रे os कोण aob को दो कोणों में विभाजित करता है। कोण aos के माप यदि कोण aob के डिग्री माप को कैसे प्राप्त करें
किस कोण को न्यून कहा जाता है?, सही?, अधिक?.
17 कौन से कोण आसन्न कहलाते हैं आसन्न कोणों का योग क्या है?
18किस प्रकार के कोणों को उर्ध्वाधर कहा जाता है? उर्ध्वाधर कोणों में क्या गुण होते हैं
19 किन रेखाओं को लंबवत कहा जाता है
20स्पष्ट करें कि एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएं प्रतिच्छेद क्यों नहीं करती हैं
21जमीन पर समकोण बनाने के लिए किन उपकरणों का उपयोग किया जाता है?

1) कोण की डिग्री माप क्या है? 2) किन आकृतियों को बराबर कहा जाता है 3) किन कोणों को आसन्न कहा जाता है, आसन्न कोणों का योग क्या होता है 4) कोणों को क्या कहते हैं

लम्बवत कोणों में कौन-सा गुण होता है 5)

कृपया मदद करें !! कृपया=**

7. सिद्ध कीजिए कि यदि दो समान्तर रेखाएँ एक तीसरी रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो अन्तः अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं, और एक तरफा अंतः कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

8. सिद्ध कीजिए कि तीसरी के लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं। यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत है।

9. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

10. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज में कम से कम दो न्यून कोण होते हैं।

11. त्रिभुज का बाह्य कोण कितना होता है?

12. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज का बहिष्कोण दो अंतः कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं।

13. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज का बाह्य कोण किसी ऐसे आंतरिक कोण से बड़ा होता है जो उससे सटा नहीं होता है।

14. किस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है?

15. एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग कितना होता है?

16. एक समकोण त्रिभुज की कौन-सी भुजा कर्ण कहलाती है? किन भुजाओं को पैर कहते हैं?

17. कर्ण और टांग के अनुदिश समकोण त्रिभुजों की समानता का चिन्ह बनाइए।

18. सिद्ध कीजिए कि किसी भी बिंदु से जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, इस रेखा पर एक लंब गिरा सकता है, और केवल एक।

19. एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को क्या कहते हैं?

20. बताएं कि समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी क्या है।

आसन्न कोण क्या है

इंजेक्शन- यह एक ज्यामितीय आकृति (चित्र 1) है, जो दो किरणों OA और OB (कोण पक्षों) द्वारा बनाई गई है, जो एक बिंदु O (कोने के शीर्ष) से ​​निकलती है।

आसन्न कोनोंदो कोण हैं जिनका योग 180° है। इनमें से प्रत्येक कोण दूसरे को पूर्ण कोण पर पूरक करता है।

आसन्न कोने- (एगल्स एडजेक्ट्स) जिनका एक सामान्य शीर्ष और एक सामान्य पक्ष होता है। मुख्य रूप से, यह नाम ऐसे कोणों को संदर्भित करता है, जिनमें से अन्य दो पक्ष एक सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित होते हैं।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की अन्य भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

चावल। 2

चित्र 2 में, कोण a1b और a2b आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा b है, और भुजाएँ a1, a2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।

चावल। 3

चित्र 3 रेखा AB को दर्शाता है, बिंदु C बिंदु A और B के बीच स्थित है। बिंदु D एक बिंदु है जो रेखा AB पर नहीं है। यह पता चला है कि कोण बीसीडी और एसीडी आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा CD है, और भुजाएँ CA और CB रेखा AB की अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं, क्योंकि बिंदु A, B प्रारंभिक बिंदु C द्वारा अलग किए गए हैं।

आसन्न कोण प्रमेय

प्रमेय:आसन्न कोणों का योग 180° . होता है

प्रमाण:
कोण a1b और a2b आसन्न हैं (चित्र 2 देखें) बीम b एक सीधे कोण के पक्षों a1 और a2 के बीच से गुजरता है। इसलिए, कोणों a1b और a2b का योग सीधे कोण के बराबर होता है, अर्थात 180°। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

90° के बराबर कोण को समकोण कहते हैं। आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक समकोण का आसन्न कोण भी एक समकोण होता है। 90° से कम के कोण को न्यूनकोण तथा 90° से अधिक के कोण को अधिक कोण कहते हैं। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है, इसलिए न्यून कोण से लगा हुआ कोण अधिक कोण होता है। अधिक कोण से लगा हुआ कोण न्यून कोण होता है।

आसन्न कोने- एक उभयनिष्ठ शीर्ष के साथ दो कोण, जिनमें से एक भुजा उभयनिष्ठ है, और शेष भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं (संयोग नहीं)। आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

परिभाषा 1.कोण एक समतल का वह भाग होता है जो एक समान मूल वाली दो किरणों से घिरा होता है।

परिभाषा 1.1.कोण एक ऐसी आकृति है जिसमें एक बिंदु होता है - कोण का शीर्ष - और इस बिंदु से निकलने वाली दो अलग-अलग अर्ध-रेखाएँ - कोण की भुजाएँ।
उदाहरण के लिए, अंजीर में बीओएस कोण। 1 पहले दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं पर विचार करें। जब वे प्रतिच्छेद करती हैं, तो रेखाएँ कोण बनाती हैं। विशेष मामले हैं:

परिभाषा 2.यदि किसी कोण की भुजाएँ एक सीधी रेखा की पूरक अर्ध-रेखाएँ हों, तो वह कोण एक सरल कोण कहलाता है।

परिभाषा 3.एक समकोण 90 डिग्री का कोण होता है।

परिभाषा 4. 90 डिग्री से कम के कोण को न्यून कोण कहा जाता है।

परिभाषा 5. 90 डिग्री से अधिक और 180 डिग्री से कम के कोण को अधिक कोण कहा जाता है।
प्रतिच्छेदन रेखाएँ।

परिभाषा 6.दो कोण, जिनमें से एक भुजा उभयनिष्ठ है और दूसरी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, आसन्न कहलाते हैं।

परिभाषा 7.वे कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे का विस्तार करती हैं, उर्ध्वाधर कोण कहलाते हैं।
आकृति 1:
आसन्न: 1 और 2; 2 और 3; 3 और 4; 4 और 1
लंबवत: 1 और 3; 2 और 4
प्रमेय 1.आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।
प्रमाण के लिए, अंजीर पर विचार करें। 4 आसन्न कोने AOB और BOS। उनका योग विकसित कोण AOC है। इसलिए, इन आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।

चावल। 4

गणित और संगीत के बीच संबंध

"कला और विज्ञान के बारे में सोचते हुए, उनके पारस्परिक संबंधों और अंतर्विरोधों के बारे में सोचते हुए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि गणित और संगीत मानव आत्मा के चरम ध्रुवों पर हैं, कि ये दो प्रतिपद एक व्यक्ति की सभी रचनात्मक आध्यात्मिक गतिविधियों को सीमित और निर्धारित करते हैं, और कि सब कुछ उनके बीच रखा गया है, जिसे मानव जाति ने विज्ञान और कला के क्षेत्र में बनाया है।"
जी. नेहौस
ऐसा लगता है कि कला गणित से एक बहुत ही अमूर्त क्षेत्र है। हालांकि, गणित और संगीत के बीच संबंध ऐतिहासिक और आंतरिक दोनों तरह से वातानुकूलित है, इस तथ्य के बावजूद कि गणित विज्ञान का सबसे सार है, और संगीत सबसे अमूर्त कला रूप है।
व्यंजन एक तार की ध्वनि को निर्धारित करता है जो कान को भाता है।
यह संगीत प्रणाली दो नियमों पर आधारित थी, जिन पर दो महान वैज्ञानिकों - पाइथागोरस और आर्किटास के नाम हैं। ये हैं कानून:
1. दो बजने वाले तार एकरूपता का निर्धारण करते हैं यदि उनकी लंबाई एक त्रिभुज संख्या 10=1+2+3+4 बनाने वाले पूर्णांकों के रूप में संबंधित है, अर्थात। जैसे 1:2, 2:3, 3:4। इसके अलावा, n:(n+1) (n=1,2,3) के संबंध में संख्या n जितनी छोटी होगी, परिणामी अंतराल उतना ही अधिक व्यंजन होगा।
2. किसी ध्वनि डोरी की दोलन आवृत्ति w उसकी लंबाई l के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
डब्ल्यू = ए: एल,
जहां ए स्ट्रिंग के भौतिक गुणों को दर्शाने वाला एक गुणांक है।

मैं आपका ध्यान दो गणितज्ञों के बीच विवाद के बारे में एक अजीब पैरोडी भी पेश करूंगा =)

हमारे चारों ओर ज्यामिति

ज्यामिति हमारे जीवन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस तथ्य के कारण कि जब आप चारों ओर देखते हैं, तो यह नोटिस करना मुश्किल नहीं होगा कि हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों से घिरे हुए हैं। हम हर जगह उनका सामना करते हैं: सड़क पर, कक्षा में, घर में, पार्क में, जिम में, स्कूल कैफेटेरिया में, सिद्धांत रूप में, हम जहाँ भी हैं। लेकिन आज के पाठ का विषय आसन्न अंगार है। तो आइए चारों ओर देखें और इस माहौल में कोनों को खोजने का प्रयास करें। यदि आप खिड़की से बाहर ध्यान से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि पेड़ की कुछ शाखाएं आसन्न कोनों का निर्माण करती हैं, और आप गेट पर विभाजन में कई लंबवत कोनों को देख सकते हैं। अपने आस-पास के कोणों के उदाहरण दें जो आप पर्यावरण में देखते हैं।

अभ्यास 1।

1. टेबल पर एक बुक स्टैंड पर एक किताब है। यह किस कोण का निर्माण करता है?
2. लेकिन छात्र लैपटॉप पर काम कर रहा है। आप यहाँ क्या कोण देखते हैं?
3. स्टैंड पर फोटो फ्रेम का कोण क्या है?
4. क्या आप सोचते हैं कि दो आसन्न कोणों का बराबर होना संभव है?

कार्य 2.

आपके सामने एक ज्यामितीय आकृति है। यह आंकड़ा क्या है, इसका नाम बताएं? अब सभी आसन्न कोणों को नाम दें जो आप इस ज्यामितीय आकृति पर देख सकते हैं।

कार्य 3.

यहाँ एक चित्र और एक चित्र की एक छवि है। उन्हें ध्यान से देखें और बताएं कि आप चित्र में किस प्रकार के कैच देख रहे हैं, और चित्र में कौन से कोण हैं।

समस्या को सुलझाना

1) दो कोण दिए गए हैं, जो एक दूसरे से संबंधित हैं, 1:2 के रूप में, और उनके आसन्न - 7:5 के रूप में। आपको इन कोणों को खोजने की आवश्यकता है।
2) यह ज्ञात है कि आसन्न कोणों में से एक दूसरे से 4 गुना बड़ा है। आसन्न कोण क्या हैं?
3) आसन्न कोणों को खोजना आवश्यक है, बशर्ते कि उनमें से एक दूसरे से 10 डिग्री अधिक हो।

पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति के लिए गणितीय श्रुतलेख

1) एक चित्र बनाएं: रेखाएं ए आई बी बिंदु ए पर प्रतिच्छेद करती हैं। गठित कोनों में से सबसे छोटे को संख्या 1 के साथ चिह्नित करें, और शेष कोण - क्रमिक रूप से संख्या 2,3,4 के साथ; रेखा की पूरक किरणें a - a1 और a2 से होकर जाती हैं, और रेखा b - b1 और b2 से होकर जाती हैं।
2) पूर्ण ड्राइंग का उपयोग करके, पाठ में अंतराल में आवश्यक मान और स्पष्टीकरण दर्ज करें:
ए) कोण 1 और कोण .... संबंधित क्योंकि...
बी) कोण 1 और कोण .... लंबवत क्योंकि...
ग) यदि कोण 1 = 60°, तो कोण 2 = ..., क्योंकि ...
d) यदि कोण 1 = 60°, तो कोण 3 = ..., क्योंकि ...

समस्याओं का समाधान:

1. क्या 2 रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले 3 कोणों का योग 100° के बराबर हो सकता है? 370°?
2. आकृति में, आसन्न कोनों के सभी जोड़े खोजें। और अब ऊर्ध्वाधर कोने। इन कोणों के नाम बताइए।

3. आपको एक कोण खोजने की जरूरत है, जब वह उसके आसन्न कोण से तीन गुना बड़ा हो।
4. दो रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं। इस चौराहे के परिणामस्वरूप, चार कोनों का निर्माण हुआ। उनमें से किसी का मूल्य निर्धारित करें, बशर्ते कि:

क) चार 84 ° में से 2 कोणों का योग;
b) उनके 2 कोणों का अंतर 45° है;
ग) एक कोण दूसरे से 4 गुना कम है;
d) इन तीनों कोणों का योग 290° है।

पाठ सारांश

1. 2 रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोणों के नाम बताइए?
2. आकृति में कोणों के सभी संभावित युग्मों के नाम लिखिए और उनके प्रकार का निर्धारण कीजिए।

गृहकार्य:

1. आसन्न कोणों के डिग्री मापों का अनुपात ज्ञात कीजिए, जब उनमें से एक दूसरे से 54° अधिक हो।
2. 2 रेखाएं प्रतिच्छेद करने पर बनने वाले कोणों को ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इनमें से एक कोण इसके आसन्न 2 अन्य कोणों के योग के बराबर हो।
3. आसन्न कोणों को खोजना आवश्यक है जब उनमें से एक का द्विभाजक दूसरे के पक्ष के साथ एक कोण बनाता है, जो दूसरे कोण से 60 ° अधिक है।
4. 2 आसन्न कोणों का अंतर इन दोनों कोणों के योग के एक तिहाई के बराबर है। 2 आसन्न कोणों के मान निर्धारित करें।
5. अंतर और 2 आसन्न कोणों का योग क्रमशः 1:5 से संबंधित है। आसन्न कोनों का पता लगाएं।
6. दो आसन्न लोगों के बीच का अंतर उनके योग का 25% है। 2 आसन्न कोणों के मान कैसे संबंधित हैं? 2 आसन्न कोणों के मान निर्धारित करें।

प्रशन:

1. एक कोण क्या है?
2. कोने कितने प्रकार के होते हैं?
3. आसन्न कोनों की विशेषता क्या है?

विषय > गणित > गणित ग्रेड 7

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक किरणें हों। आकृति 20 में, कोण AOB और BOC आसन्न हैं।

आसन्न कोणों का योग 180° . होता है

प्रमेय 1. आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

प्रमाण। OB बीम (चित्र 1 देखें) विकसित कोण की भुजाओं के बीच से गुजरता है। इसलिए एओबी + ∠ बीओसी = 180°.

प्रमेय 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण बराबर होते हैं।

लंबवत कोण बराबर होते हैं

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक किरणें हों। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बने कोण AOB और COD, BOD और AOC लंबवत हैं (चित्र 2)।

प्रमेय 2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।

प्रमाण। ऊर्ध्वाधर कोणों AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोण BOD प्रत्येक कोण AOB और COD के निकट है। प्रमेय 1 से, AOB + ∠ BOD = 180°, COD + ∠ BOD = 180°।

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि AOB = COD।

उपफल 1. समकोण से लगा हुआ कोण समकोण होता है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AC और BD पर विचार कीजिए (चित्र 3)। वे चार कोनों का निर्माण करते हैं। यदि उनमें से एक समकोण है (चित्र 3 में कोण 1), तो अन्य कोण भी समकोण हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 लंबवत हैं)। इस मामले में, इन रेखाओं को समकोण पर प्रतिच्छेद करने के लिए कहा जाता है और इन्हें लंबवत (या परस्पर लंबवत) कहा जाता है। AC और BD की लंबता को निम्नानुसार दर्शाया गया है: AC BD।

एक खंड का लंब समद्विभाजक इस खंड के लंबवत और उसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।

एएन - रेखा के लंबवत

एक रेखा a और एक बिंदु A पर विचार करें जो उस पर नहीं है (चित्र 4)। बिंदु A को एक खंड के साथ बिंदु H से एक सीधी रेखा a से कनेक्ट करें। एक खंड AH को बिंदु A से रेखा a पर खींचा गया लंब कहा जाता है यदि रेखाएँ AN और a लंबवत हैं। बिंदु H को लंब का आधार कहा जाता है।

ड्राइंग स्क्वायर

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3. किसी भी बिंदु से जो एक रेखा पर स्थित नहीं है, कोई इस रेखा पर एक लंब खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

चित्र में एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर एक लंब खींचने के लिए, एक आरेखण वर्ग का उपयोग किया जाता है (चित्र 5)।

टिप्पणी। प्रमेय के कथन में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक भाग क्या दिया जाता है के बारे में बात करता है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहते हैं। दूसरा भाग इस बारे में बात करता है कि क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहते हैं। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की शर्त ऊर्ध्वाधर कोण है; निष्कर्ष - ये कोण बराबर हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है ताकि उसकी स्थिति "अगर" शब्द से शुरू हो, और निष्कर्ष "तब" शब्द के साथ शुरू हो। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को इस प्रकार विस्तार से बताया जा सकता है: "यदि दो कोण लंबवत हैं, तो वे बराबर हैं।"

उदाहरण 1आसन्न कोणों में से एक 44° का है। दूसरा किसके बराबर है?

फेसला। दूसरे कोण के घात माप को x से निरूपित करें, फिर प्रमेय 1 के अनुसार।
44° + x = 180°।
परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं कि x \u003d 136 °। अत: दूसरा कोण 136° है।

उदाहरण 2मान लीजिए चित्र 21 में COD कोण 45° है। कोण AOB और AOC क्या होते हैं?

फेसला। कोण COD और AOB लंबवत हैं, इसलिए प्रमेय 1.2 के अनुसार वे बराबर हैं, अर्थात ZAOB = 45°। कोण AOC कोण COD के निकट है, इसलिए प्रमेय 1 के अनुसार।
AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°।

उदाहरण 3आसन्न कोण खोजें यदि उनमें से एक दूसरे से 3 गुना है।

फेसला। छोटे कोण की डिग्री माप को x से निरूपित करें। तब बड़े कोण का घात माप Zx होगा। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° (प्रमेय 1) है, तो x + 3x = 180°, जहाँ से x = 45° है।
अतः आसन्न कोण 45° और 135° हैं।

उदाहरण 4दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100° होता है। चारों कोणों में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला। मान लीजिए आकृति 2 समस्या की स्थिति के अनुरूप है। COD से AOB तक के लंबवत कोण बराबर हैं (प्रमेय 2), जिसका अर्थ है कि उनके डिग्री माप भी बराबर हैं। इसलिए, COD = AOB = 50° (उनका योग शर्त के अनुसार 100° है)। कोण बीओडी (कोण एओसी भी) कोण सीओडी के निकट है, और इसलिए, प्रमेय 1 द्वारा
बीओडी = ∠ एओसी = 180° - 50° = 130°।