जो एक डिग्री या किसी अन्य से आप परिचित थे। वहां यह भी नोट किया गया था कि फ़ंक्शन गुणों का भंडार धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस खंड में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।

परिभाषा 1.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को तब भी कहा जाता है, भले ही सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d f (x) सत्य हो।

परिभाषा 2.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को विषम कहा जाता है यदि सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d -f (x) सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।

फेसला। हमारे पास है: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. लेकिन (-x) 4 = x 4। इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) = f (x), अर्थात्। समारोह सम है।

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 सम हैं।

सिद्ध कीजिए कि y = x 3 एक विषम फलन है।

फेसला। हमारे पास है: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. परंतु (-x) 3 = -x 3 । इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) \u003d -f (x), अर्थात्। समारोह विषम है।

इसी तरह, यह साबित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम हैं।

आपने और मैंने बार-बार खुद को आश्वस्त किया है कि गणित में नए शब्दों का अक्सर "सांसारिक" मूल होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है। यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों के लिए मामला है। देखें: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम कार्य हैं, जबकि y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 सम कार्य हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म के किसी भी फ़ंक्शन के लिए y \u003d x "(नीचे हम विशेष रूप से इन कार्यों का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन y \u003d x " अजीब है; यदि n एक सम संख्या है, तो फलन y = xn सम है।

ऐसे कार्य भी हैं जो न तो सम और न ही विषम हैं। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 है। दरअसल, f (1) \u003d 5, और f (-1) \u003d 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, यहाँ इसलिए, न तो पहचान f (-x) ) \u003d f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x)।

तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या न तो हो सकता है।

किसी दिए गए फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन आमतौर पर समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।

परिभाषाएँ 1 और 2, x और -x बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों से संबंधित हैं। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x उसी समय फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है जिस समय बिंदु x है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X के प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव -x हो, तो X सममित समुच्चय कहलाता है। मान लीजिए (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित समुच्चय हैं, जबकि : let एक्स 1ए;बी, ए एक्स 2ए;बी .

चर y की चर x पर निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फलन कहलाता है। संकेतन y=f(x) है। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे कि एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।

समता गुण पर अधिक विस्तार से विचार करें।

एक फलन y=f(x) कहा जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:

2. फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्न समानता f (x) \u003d f (-x) सत्य होना चाहिए।

एक सम फलन का ग्राफ

यदि आप किसी सम फलन का आलेख बनाते हैं, तो यह y-अक्ष के प्रति सममित होगा।

उदाहरण के लिए, फलन y=x^2 सम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

एक मनमाना x=3 लें। f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. इसलिए, f(x) = f(-x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फलन सम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^2 का एक ग्राफ है।

चित्र से पता चलता है कि ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है।

विषम फलन का ग्राफ

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होना चाहिए।

2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्नलिखित समानता f (x) \u003d -f (x) संतुष्ट होनी चाहिए।

एक विषम फलन का ग्राफ बिंदु O - मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। उदाहरण के लिए, फलन y=x^3 विषम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

एक मनमाना x=2 लें। f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. इसलिए f(x) = -f(x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन विषम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^3 का एक ग्राफ है।

आकृति स्पष्ट रूप से दिखाती है कि विषम फलन y=x^3 मूल के संबंध में सममित है।