बिंदुओं के निर्देशांकों द्वारा दिए गए तलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। दो तलों के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें

प्रमेय

विमानों के बीच का कोण काटने वाले विमान की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

प्रमाण।

मान लीजिए कि दो समतल α और β हैं जो रेखा c के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। विमान को रेखा c के लंबवत खींचें। तब तल γ, समतलों α और β को क्रमशः रेखाओं a और b के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। समतल α और β के बीच का कोण रेखाओं a और b के बीच के कोण के बराबर होता है।
एक और काटने वाला विमान लें , c के लंबवत। फिर विमान विमानों को α और β लाइनों के साथ काटेगा a तथा b क्रमशः।
समानांतर अनुवाद के साथ, रेखा c के साथ समतल γ का प्रतिच्छेदन बिंदु समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु पर जाएगा ` रेखा c के साथ। इस मामले में, समानांतर अनुवाद की संपत्ति से, लाइन a लाइन a`, b - लाइन b` पर जाएगी। इसलिए रेखाओं a और b, a और b के बीच के कोण बराबर हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यह लेख विमानों के बीच के कोण और इसे खोजने के तरीके के बारे में है। सबसे पहले, दो तलों के बीच के कोण की परिभाषा दी गई है और एक ग्राफिक चित्रण दिया गया है। उसके बाद, समन्वय विधि द्वारा दो प्रतिच्छेदन विमानों के बीच के कोण को खोजने के सिद्धांत का विश्लेषण किया गया था, एक सूत्र प्राप्त किया गया था जो इन विमानों के सामान्य वैक्टर के ज्ञात निर्देशांक का उपयोग करके प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण की गणना करने की अनुमति देता है। अंत में, विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान दिखाए गए हैं।

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विमानों के बीच का कोण - परिभाषा।

सामग्री प्रस्तुत करते समय, हम लेख में दी गई परिभाषाओं और अवधारणाओं का उपयोग अंतरिक्ष में समतल और अंतरिक्ष में सीधी रेखा में करेंगे।

आइए हम ऐसे तर्क दें जो हमें दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण की परिभाषा पर धीरे-धीरे पहुंचने की अनुमति दें।

आइए हमें दो प्रतिच्छेदी तल दिए जाएं और . ये तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम अक्षर से निरूपित करते हैं सी. बिंदु से गुजरने वाले एक विमान का निर्माण करें एमसीधा सीऔर रेखा के लंबवत सी. इस मामले में, विमान विमानों को काटेगा और . हम उस रेखा को निरूपित करते हैं जिस पर तल प्रतिच्छेद करते हैं और जैसे ए, लेकिन सीधी रेखा जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और कैसे बी. स्पष्ट रूप से प्रत्यक्ष। एऔर बीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना एम.

यह दिखाना आसान है कि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीबिंदु के स्थान पर निर्भर नहीं करता एमएक सीधी रेखा पर सीजिससे प्लेन गुजरता है।

रेखा के लंबवत एक विमान का निर्माण करें सीऔर विमान से अलग। यह तल समतलों द्वारा और सीधी रेखाओं में प्रतिच्छेदित है, जिसे हम निरूपित करते हैं एक 1और ख 1क्रमश।

यह विमानों के निर्माण की विधि से निम्नानुसार है कि रेखाएं एऔर बीरेखा के लंबवत सी, और प्रत्यक्ष एक 1और ख 1रेखा के लंबवत सी. चूंकि सीधे एऔर एक 1 सी, तो वे समानांतर हैं। इसी तरह, सीधे बीऔर ख 1एक ही तल में झूठ बोलते हैं और रेखा के लंबवत होते हैं सीइसलिए वे समानांतर हैं। इस प्रकार, विमान के समानांतर स्थानांतरण को विमान में करना संभव है, जिसमें सीधी रेखा एक 1रेखा के साथ मेल खाता है ए, और सीधी रेखा बीएक सीधी रेखा के साथ ख 1. अत: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण एक 1और ख 1प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण के बराबर एऔर बी.

इससे सिद्ध होता है कि प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीप्रतिच्छेद करने वाले तलों में झूठ बोलना और यह बिंदु के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है एमजिससे प्लेन गुजरता है। इसलिए, इस कोण को दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण के रूप में लेना तर्कसंगत है।

अब आप दो प्रतिच्छेदित तलों और के बीच के कोण की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं।

परिभाषा।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण सीविमान औरदो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण है एऔर बी, जिसके साथ विमान और रेखा के लंबवत विमान के साथ प्रतिच्छेद करते हैं सी.

दो तलों के बीच के कोण की परिभाषा को थोड़ा अलग तरीके से दिया जा सकता है। यदि एक सीधी रेखा में साथ, जिसके साथ विमान और प्रतिच्छेद करते हैं, एक बिंदु को चिह्नित करते हैं एमऔर इसके माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचे एऔर बी, रेखा के लंबवत सीऔर विमानों में और क्रमशः झूठ बोलना, फिर रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीविमानों के बीच का कोण है और . आमतौर पर, व्यवहार में, ऐसे निर्माण विमानों के बीच के कोण को प्राप्त करने के लिए किए जाते हैं।

चूंकि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण अधिक नहीं होता है, यह ध्वनि की परिभाषा से यह अनुसरण करता है कि दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण का डिग्री माप अंतराल से एक वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस मामले में, प्रतिच्छेद करने वाले विमानों को कहा जाता है सीधायदि उनके बीच का कोण नब्बे डिग्री है। समानांतर विमानों के बीच का कोण या तो बिल्कुल निर्धारित नहीं होता है, या इसे शून्य के बराबर माना जाता है।

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दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण ज्ञात करना।

आमतौर पर, दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण का पता लगाते समय, आपको पहले इंटरसेक्टिंग लाइनों को देखने के लिए अतिरिक्त निर्माण करना पड़ता है, जिसके बीच का कोण वांछित कोण के बराबर होता है, और फिर इस कोण को समान संकेतों का उपयोग करके मूल डेटा से कनेक्ट करें, समानता के संकेत, कोसाइन प्रमेय या साइन, कोसाइन और कोण की स्पर्शरेखा की परिभाषाएँ। हाई स्कूल के ज्योमेट्री कोर्स में भी ऐसी ही समस्याएं हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 2012 के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 का समाधान दें (स्थिति जानबूझकर बदली गई है, लेकिन यह समाधान के सिद्धांत को प्रभावित नहीं करती है)। इसमें बस दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक था।

एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1, जिसमें एबी = 3, एडी = 2, एए 1 =7और डॉट इपक्ष विभाजित करता है एए 1रिश्ते में 4 को 3 , बिंदु से गिनती लेकिन एबीसीऔर बिस्तर 1.

सबसे पहले, आइए एक ड्राइंग बनाएं।

आइए विमानों के बीच के कोण को "देखने" के लिए अतिरिक्त निर्माण करें।

सबसे पहले, हम एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं एबीसीऔर बिस्तर 1. दूरसंचार विभाग परउनके सामान्य बिंदुओं में से एक है। इन तलों का दूसरा उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात कीजिए। सीधे डीएऔर डी 1 ईएक ही विमान में लेट जाओ जोड़ें 1, और वे समानांतर नहीं हैं, और इसलिए, प्रतिच्छेद करते हैं। दूसरी ओर, सीधे डीएविमान में है एबीसी, और सीधी रेखा डी 1 ई- प्लेन में बिस्तर 1, इसलिए रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु डीएऔर डी 1 ईविमानों का एक सामान्य बिंदु होगा एबीसीऔर बिस्तर 1. तो चलिए सीधे चलते हैं डीएऔर डी 1 ईउनके प्रतिच्छेद करने से पहले, हम उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर से निरूपित करते हैं एफ. फिर BF के- एक रेखा जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं एबीसीऔर बिस्तर 1.

यह विमानों में पड़ी दो सीधी रेखाओं का निर्माण करना बाकी है एबीसीऔर बिस्तर 1क्रमशः रेखा पर एक बिंदु से गुजरते हुए BF केऔर रेखा के लंबवत BF के, - इन रेखाओं के बीच का कोण, परिभाषा के अनुसार, तलों के बीच वांछित कोण के बराबर होगा एबीसीऔर बिस्तर 1. हो जाए।

दूरसंचार विभाग लेकिनबिंदु का प्रक्षेपण है इविमान के लिए एबीसी. एक रेखा खींचिए जो रेखा को समकोण पर काटती है बीएफबिंदु पर एम. फिर रेखा हूँएक सीधी रेखा का प्रक्षेपण है खाना खा लोविमान के लिए एबीसी, और तीन लंबवत प्रमेय द्वारा।

अत: तलों के बीच वांछित कोण एबीसीऔर बिस्तर 1के बराबर है ।

इस कोण की साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा (और इसलिए स्वयं कोण) हम एक समकोण त्रिभुज से निर्धारित कर सकते हैं एईएमयदि हम इसकी दोनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं। शर्त से लंबाई ज्ञात करना आसान है ऐ: डॉट के बाद से इपक्ष विभाजित करता है एए 1रिश्ते में 4 को 3 , बिंदु से गिनती लेकिन, और पक्ष की लंबाई एए 1के बराबर है 7 , तब एई = 4. आइए एक और लंबाई खोजें हूँ.

ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें एबीएफसमकोण लेकिन, कहाँ पे हूँऊंचाई है। शर्त के अनुसार एबी = 2. किनारे की लंबाई ए एफहम समकोण त्रिभुजों की समानता से ज्ञात कर सकते हैं डीडी 1Fऔर एईएफ:

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक त्रिभुज से एबीएफपाना । लंबाई हूँत्रिभुज के क्षेत्रफल के माध्यम से खोजें एबीएफ: एक तरफ त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीएफदूसरी ओर, के बराबर है, जहां से।

तो एक समकोण त्रिभुज से एईएमअपने पास ।

तब तलों के बीच वांछित कोण एबीसीऔर बिस्तर 1बराबर (ध्यान दें कि)।

कुछ मामलों में, दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली स्थापित करना सुविधाजनक होता है ऑक्सीज़ीऔर समन्वय विधि का उपयोग करें। आइए इस पर रुकें।

आइए कार्य निर्धारित करें: दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए और . आइए वांछित कोण को निरूपित करें।

हम मानते हैं कि किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में ऑक्सीज़ीहम प्रतिच्छेद करने वाले तलों के सामान्य सदिशों के निर्देशांकों को जानते हैं और या उन्हें खोजने का अवसर प्राप्त करते हैं। आज्ञा देना विमान का एक सामान्य वेक्टर हो, और विमान का एक सामान्य वेक्टर हो। आइए हम दिखाते हैं कि प्रतिच्छेद करने वाले तलों के बीच का कोण और इन तलों के अभिलंब सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से कैसे पता लगाया जाए।

आइए हम उस रेखा को निरूपित करें जिस पर तल प्रतिच्छेद करते हैं और जैसे सी. डॉट के माध्यम से एमएक सीधी रेखा पर सीरेखा के लंबवत एक विमान बनाएं सी. विमान समतल और सीधी रेखाओं को काटता है एऔर बीक्रमशः, प्रत्यक्ष एऔर बीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना एम. परिभाषा के अनुसार, प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण और प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है एऔर बी.

बिंदु से अलग सेट करें एमविमान में सामान्य वैक्टर और विमानों के होते हैं और। वेक्टर उस रेखा पर स्थित है जो रेखा के लंबवत है ए, और वेक्टर एक रेखा पर है जो रेखा के लंबवत है बी. अत: तल में, सदिश रेखा का अभिलंब सदिश है ए, - सामान्य रेखा वेक्टर बी.

लेख में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाना, हमने एक सूत्र प्राप्त किया जो आपको सामान्य वैक्टर के निर्देशांक का उपयोग करके प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण के कोसाइन की गणना करने की अनुमति देता है। अतः रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या एऔर बी, और इसके परिणामस्वरूप, प्रतिच्छेद करने वाले तलों के बीच के कोण की कोज्याऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है, जहां और विमानों के सामान्य वैक्टर हैं और, क्रमशः। फिर प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच का कोणके रूप में गणना की जाती है।

आइए निर्देशांक विधि का उपयोग करके पिछले उदाहरण को हल करें।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1, जिसमें एबी = 3, एडी = 2, एए 1 =7और डॉट इपक्ष विभाजित करता है एए 1रिश्ते में 4 को 3 , बिंदु से गिनती लेकिन. समतलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए एबीसीऔर बिस्तर 1.

चूंकि एक शीर्ष पर एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज की भुजाएँ जोड़ीदार लंबवत होती हैं, इसलिए एक आयताकार समन्वय प्रणाली शुरू करना सुविधाजनक होता है ऑक्सीज़ीइस तरह: शीर्ष के साथ गठबंधन करना शुरू करें साथ में, और निर्देशांक अक्ष बैल, ओएऔर आउंसचारों ओर भेजो सीडी, सीबीऔर सीसी 1क्रमश।

विमानों के बीच का कोण एबीसीऔर बिस्तर 1इन विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से सूत्र द्वारा पाया जा सकता है, जहां और विमानों के सामान्य वैक्टर हैं एबीसीऔर बिस्तर 1क्रमश। आइए हम सामान्य वैक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें।

विमान के बाद से एबीसीसमन्वय विमान के साथ मेल खाता है ऑक्सी, तो इसका सामान्य सदिश निर्देशांक सदिश है, अर्थात।

एक सामान्य विमान वेक्टर के रूप में बिस्तर 1हम वैक्टर के क्रॉस उत्पाद ले सकते हैं और बदले में, वैक्टर के निर्देशांक और बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से पाया जा सकता है पर, इऔर डी1(जो लेख में वेक्टर के निर्देशांक इसकी शुरुआत और अंत के बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से लिखा गया है), और बिंदुओं के निर्देशांक पर, इऔर डी1शुरू की गई समन्वय प्रणाली में, हम समस्या की स्थिति से निर्धारित करते हैं।

स्पष्टतः, । चूँकि , तब हम बिंदुओं के निर्देशांकों द्वारा पाते हैं (यदि आवश्यक हो, तो दिए गए अनुपात में किसी खंड का आलेख विभाजन देखें)। तब और ऑक्सीज समीकरण हैं और .

जब हमने एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का अध्ययन किया, तो हमने पाया कि गुणांक लेकिन, परऔर साथ मेंविमान के सामान्य वेक्टर के संगत निर्देशांक हैं। इस प्रकार, और क्रमशः विमानों के सामान्य सदिश और हैं।

हम दो प्रतिच्छेदी विमानों के बीच के कोण की गणना के लिए विमानों के सामान्य सदिशों के निर्देशांक को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

फिर । चूँकि दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण अधिक नहीं है, इसलिए मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके हम कोण की ज्या ज्ञात करते हैं।

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विमानों के बीच का कोण - परिभाषा।

आइए हमें दो प्रतिच्छेदी तल दिए जाएं और . ये तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम अक्षर c से निरूपित करते हैं। आइए रेखा c के बिंदु M से होकर रेखा c पर लंबवत एक समतल का निर्माण करें। इस मामले में, विमान विमानों को काटेगा और . उस रेखा को निरूपित करें जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और a के रूप में, और वह रेखा जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और b के रूप में। जाहिर है, रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यह दिखाना आसान है कि प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोणए और बी लाइन सी पर बिंदु एम के स्थान पर निर्भर नहीं करता है जिसके माध्यम से विमान गुजरता है।

आइए हम रेखा c के लंबवत और समतल से भिन्न एक समतल की रचना करें। यह तल समतलों द्वारा और सीधी रेखाओं के अनुदिश प्रतिच्छेदित है, जिसे हम क्रमशः a 1 और b 1 से निरूपित करते हैं।

विमानों के निर्माण की विधि से और यह निम्नानुसार है कि रेखाएँ a और b रेखा c के लंबवत हैं, और रेखाएँ a 1 और b 1 रेखा c के लंबवत हैं। चूँकि रेखाएँ a और a 1 एक ही तल में स्थित हैं और रेखा c के लंबवत हैं, वे समानांतर हैं। इसी प्रकार, रेखाएँ b और b 1 एक ही तल में स्थित हैं और रेखा c के लंबवत हैं, इसलिए वे समानांतर हैं। इस प्रकार, विमान के समानांतर स्थानांतरण को विमान में करना संभव है, जिसमें लाइन ए 1 लाइन ए के साथ मेल खाती है, और लाइन बी लाइन बी 1 के साथ मेल खाती है। इसलिए, दो प्रतिच्छेदी रेखाओं a 1 और b 1 के बीच का कोण प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच के कोण के बराबर है।

इससे सिद्ध होता है कि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच का कोण प्रतिच्छेद करने वाले तलों में स्थित है और यह उस बिंदु M के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है जिससे होकर तल गुजरता है। इसलिए, इस कोण को दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण के रूप में लेना तर्कसंगत है।

अब आप दो प्रतिच्छेदित तलों और के बीच के कोण की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं।

परिभाषा।

एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करने वाले दो तलों के बीच का कोण तथादो प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच का कोण है, जिसके अनुदिश तल और रेखा c के लंबवत तल के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

दो तलों के बीच के कोण की परिभाषा को थोड़ा अलग तरीके से दिया जा सकता है। यदि रेखा c पर, जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं, बिंदु M को चिह्नित करें और इसके माध्यम से a और b रेखाएँ खींचें, जो रेखा c के लंबवत हों और क्रमशः समतल में स्थित हों, तो रेखाओं a और b के बीच का कोण है विमानों और के बीच का कोण। आमतौर पर, व्यवहार में, ऐसे निर्माण विमानों के बीच के कोण को प्राप्त करने के लिए किए जाते हैं।

दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण ज्ञात करना।

उदाहरण।

फेसला।

सबसे पहले, आइए एक ड्राइंग बनाएं।

आइए विमानों के बीच के कोण को "देखने" के लिए अतिरिक्त निर्माण करें।

सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा को परिभाषित करें जिसके साथ समतल ABC और BED 1 प्रतिच्छेद करते हैं। प्वाइंट बी उनके सामान्य बिंदुओं में से एक है। इन तलों का दूसरा उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात कीजिए। रेखाएँ DA और D 1 E एक ही तल ADD 1 में स्थित हैं, और वे समानांतर नहीं हैं, और इसलिए, प्रतिच्छेद करते हैं। दूसरी ओर, रेखा DA समतल ABC में स्थित है, और रेखा D 1 E समतल BED 1 में स्थित है, इसलिए, DA और D 1 E रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समतल ABC का एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा और बिस्तर 1. इसलिए, हम लाइनों DA और D 1 E को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि वे प्रतिच्छेद न करें, हम उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को F अक्षर से निरूपित करते हैं। तब BF वह सीधी रेखा है जिसके साथ समतल ABC और BED 1 प्रतिच्छेद करते हैं।

यह समतल ABC और BED 1 में पड़ी दो रेखाओं का निर्माण करने के लिए बनी हुई है, जो रेखा BF पर एक बिंदु से गुजरती है और रेखा BF के लंबवत है - इन रेखाओं के बीच का कोण, परिभाषा के अनुसार, के बीच वांछित कोण के बराबर होगा विमान ABC और BED 1 . हो जाए।

दूरसंचार विभाग A, बिंदु E का समतल ABC पर प्रक्षेपण है। एक रेखा खींचिए जो एक समकोण पर रेखा BF को बिंदु M पर काटती है। तब रेखा AM समतल ABC पर रेखा EM का प्रक्षेपण है, और तीन लंबवत प्रमेय द्वारा।

अत: समतल ABC और BED 1 के बीच का वांछित कोण है।

हम एक समकोण त्रिभुज AEM से इस कोण की ज्या, कोज्या या स्पर्शरेखा (और इसलिए स्वयं कोण) निर्धारित कर सकते हैं यदि हम इसकी दोनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं। स्थिति से लंबाई AE को खोजना आसान है: चूंकि बिंदु E, AA 1 को 4 से 3 के संबंध में विभाजित करता है, बिंदु A से गिना जाता है, और AA 1 की लंबाई 7 है, फिर AE \u003d 4। आइए AM की लंबाई ज्ञात करें।

ऐसा करने के लिए, समकोण A के साथ एक समकोण त्रिभुज ABF पर विचार करें, जहाँ AM ऊँचाई है। शर्त के अनुसार AB=2. हम समकोण त्रिभुज DD 1 F और AEF की समानता से भुजा AF की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय से, त्रिभुज ABF से हम पाते हैं। हम त्रिभुज ABF के क्षेत्रफल से होकर AM की लंबाई ज्ञात करते हैं: एक ओर त्रिभुज ABF का क्षेत्रफल बराबर होता है , दूसरी ओर , कहाँ पे .

इस प्रकार, समकोण त्रिभुज AEM से हमें प्राप्त होता है .

तब समतल ABC और BED 1 के बीच वांछित कोण है (ध्यान दें कि ).

जवाब:

कुछ मामलों में, दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए, ऑक्सीज़ को निर्दिष्ट करना और समन्वय विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए इस पर रुकें।

हम मान लेंगे कि किसी दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सीज़ में हम प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक जानते हैं और या उन्हें खोजना संभव है। रहने दो - विमान सामान्य वेक्टर, ए विमान का सामान्य वेक्टर है। आइए हम दिखाते हैं कि प्रतिच्छेद करने वाले तलों के बीच का कोण और इन तलों के अभिलंब सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से कैसे पता लगाया जाए।

आइए हम उस रेखा को निरूपित करें जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और c के रूप में। रेखा c पर बिंदु M से होकर हम रेखा c पर लंबवत एक समतल खींचते हैं। तल समतलों को प्रतिच्छेद करता है और क्रमशः a और b रेखाओं के अनुदिश, रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं। परिभाषा के अनुसार, प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण और प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच के कोण के बराबर होता है।

आइए हम बिंदु M से समतल में सामान्य सदिशों और तलों और . इस मामले में, वेक्टर एक रेखा पर स्थित होता है जो लाइन ए के लंबवत होता है, और वेक्टर एक लाइन पर होता है जो लाइन बी के लंबवत होता है। अत: समतल सदिश में - सामान्य वेक्टर सीधे a , लाइन b का सामान्य वेक्टर है।

लेख में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करनाहमने एक सूत्र प्राप्त किया है जो हमें सामान्य सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या की गणना करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, रेखाओं a और b के बीच के कोण की कोज्या, और, फलस्वरूप, और प्रतिच्छेद करने वाले तलों के बीच के कोण की कोज्याऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है, जहां और विमानों के सामान्य वैक्टर हैं और क्रमशः। फिर इसकी गणना के रूप में की जाती है .

आइए निर्देशांक विधि का उपयोग करके पिछले उदाहरण को हल करें।

उदाहरण।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है, जिसमें AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 और बिंदु E, AA 1 को 4 से 3 के अनुपात में विभाजित करता है, बिंदु A से गिना जाता है . समतल ABC और BED 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

फेसला।

चूंकि एक शीर्ष पर एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के किनारे जोड़ीदार लंबवत होते हैं, इसलिए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ को निम्नानुसार पेश करना सुविधाजनक होता है: शुरुआत शीर्ष सी के साथ गठबंधन होती है, और समन्वय अक्ष ऑक्स, ओए और ओज़ पक्षों के साथ निर्देशित होते हैं सीडी, सीबी और सीसी 1, क्रमशः।

विमानों ABC और BED 1 के बीच के कोण को सूत्र का उपयोग करके इन विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से पाया जा सकता है, जहां और क्रमशः ABC और BED 1 विमानों के सामान्य वैक्टर हैं। आइए हम सामान्य वैक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें।

\(\blacktriangleright\) एक डायहेड्रल कोण दो अर्ध-तलों और सीधी रेखा \(a\) द्वारा निर्मित कोण है, जो उनकी सामान्य सीमा है।

\(\blacktriangleright\) विमानों \(\xi\) और \(\pi\) के बीच के कोण को खोजने के लिए, आपको रैखिक कोण खोजने की जरूरत है मसालेदारया सीधा) विमानों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण का \(\xi\) तथा \(\pi\) :

चरण 1: चलो \(\xi\cap\pi=a\) (विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा)। समतल \(\xi\) में हम एक मनमाना बिंदु \(F\) चिह्नित करते हैं और \(FA\perp a\) खींचते हैं;

चरण 2: ड्रा \(FG\perp \pi\);

चरण 3: टीटीपी के अनुसार (\(FG\) - लंबवत, \(FA\) - तिरछा, \(AG\) - प्रक्षेपण) हमारे पास है: \(AG\perp a\) ;

चरण 4: कोण \(\angle FAG\) को विमानों \(\xi\) और \(\pi\) द्वारा बनाए गए डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

ध्यान दें कि त्रिभुज \(AG\) एक समकोण त्रिभुज है।
यह भी ध्यान दें कि इस तरह से निर्मित विमान \(AFG\) दोनों विमानों \(\xi\) और \(\pi\) के लंबवत है। इसलिए, इसे दूसरे तरीके से कहा जा सकता है: विमानों के बीच का कोण\(\xi\) और \(\pi\) दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं \(c\in \xi\) और \(b\in\pi\) के बीच का कोण है, जो \(\xi\ के लिए एक समतल बनाता है। ) , और \(\pi\) ।

टास्क 1 #2875

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

एक चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है, जिसके सभी किनारे समान हैं, और आधार एक वर्ग है। खोजें \(6\cos \alpha\) , जहां \(\alpha\) इसके आसन्न पक्षों के बीच का कोण है।

मान लीजिए \(SABCD\) एक दिया हुआ पिरामिड है (\(S\) एक शीर्ष है) जिसके किनारे \(a\) के बराबर हैं। इसलिए, सभी पक्ष फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं। फलकों \(SAD\) और \(SCD\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए \(CH\perp SD\) ड्रा करें। जैसा \(\triangle SAD=\triangle SCD\), तो \(AH\) भी \(\triangle SAD\) की ऊंचाई होगी। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(\angle AHC=\alpha\) फलकों \(SAD\) और \(SCD\) के बीच रैखिक द्विफलकीय कोण है।
चूँकि आधार एक वर्ग है, तो \(AC=a\sqrt2\) । यह भी ध्यान दें कि \(CH=AH\) एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई है जिसकी भुजा \(a\) है, इसलिए \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) ।
फिर \(\triangle AHC\) से कोज्या प्रमेय द्वारा: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

उत्तर: -2

टास्क 2 #2876

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

विमान \(\pi_1\) और \(\pi_2\) एक कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं जिसका कोज्या \(0,2\) के बराबर है। विमान \(\pi_2\) और \(\pi_3\) एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा \(\pi_1\) और \(\pi_2\) के चौराहे की रेखा के समानांतर है विमान \(\pi_2\) और \(\ pi_3\) । विमानों \(\pi_1\) और \(\pi_3\) के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

\(\pi_1\) और \(\pi_2\) के प्रतिच्छेदन की रेखा को \(a\) होने दें, \(\pi_2\) और \(\pi_3\) के प्रतिच्छेदन की रेखा रेखा हो \ (b\) , और प्रतिच्छेदन की रेखा \(\pi_3\) और \(\pi_1\) सीधी रेखा \(c\) हैं। चूंकि \(a\parallel b\) , तब \(c\parallel a\parallel b\) (सैद्धांतिक संदर्भ "अंतरिक्ष में ज्यामिति" के खंड से प्रमेय के अनुसार \(\rightarrow\) "स्टीरियोमेट्री का परिचय, समानता")।

बिंदुओं को चिह्नित करें \(A\in a, B\in b\) ताकि \(AB\perp a, AB\perp b\) (यह संभव है क्योंकि \(a\parallel b\) )। नोट \(C\in c\) ताकि \(BC\perp c\) , इसलिए \(BC\perp b\) । फिर \(AC\perp c\) और \(AC\perp a\) ।
वास्तव में, चूंकि \(AB\perp b, BC\perp b\) , तो \(b\) समतल \(ABC\) के लंबवत है। चूंकि \(c\parallel a\parallel b\) , तो रेखाएं \(a\) और \(c\) भी समतल \(ABC\) के लंबवत हैं, और इसलिए इस विमान से किसी भी रेखा के लिए, विशेष रूप से , लाइन तक \ (AC\) ।

इसलिए यह इस प्रकार है कि \(\कोण बीएसी=\कोण (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\कोण बीसीए=\कोण (\pi_3, \pi_1)\). यह पता चला है कि \(\triangle ABC\) आयताकार है, जिसका अर्थ है \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

उत्तर: 0.2

टास्क 3 #2877

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

दी गई रेखाएँ \(a, b, c\) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और उनमें से किन्हीं दो के बीच का कोण \(60^\circ\) के बराबर है। खोजें \(\cos^(-1)\alpha\) , जहां \(\alpha\) \(a\) और \(c\) और रेखाओं द्वारा गठित विमान के बीच का कोण है \(बी\ ) और \(सी\) । अपना उत्तर अंशों में दें।

मान लीजिए कि रेखाएं \(O\) बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि उनमें से किन्हीं दो के बीच का कोण \(60^\circ\) के बराबर है, तो तीनों रेखाएँ एक ही तल में नहीं हो सकती हैं। आइए हम रेखा \(a\) पर एक बिंदु \(A\) चिह्नित करें और \(AB\perp b\) और \(AC\perp c\) ड्रा करें। फिर \(\triangle AOB=\triangle AOC\)कर्ण और न्यून कोण में आयताकार के रूप में। इसलिए \(OB=OC\) और \(AB=AC\) ।
आइए \(AH\perp (BOC)\) करते हैं। फिर तीन लंबवत प्रमेय द्वारा \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) । चूंकि \(AB=AC\) , तो \(\triangle AHB=\triangle AHC\)कर्ण और पैर के साथ आयताकार के रूप में। इसलिए, \(HB=HC\) । इसलिए, \(OH\) कोण का समद्विभाजक है \(BOC\) (क्योंकि बिंदु \(H\) कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है)।

ध्यान दें कि इस तरह से हमने रेखाओं \(a\) और \(c\) से बनने वाले तल और \(b\) और \( द्वारा बनने वाले तल से बनने वाले डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का भी निर्माण किया है। सी\) । यह कोण \(ACH\) है।

आइए इस कोने को खोजें। चूँकि हमने बिंदु \(A\) को मनमाने ढंग से चुना है, तो चलिए इसे चुनते हैं ताकि \(OA=2\) । फिर आयताकार में \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]चूँकि \(OH\) एक समद्विभाजक है, तो \(\angle HOC=30^\circ\) , इसलिए, एक आयताकार \(\triangle HOC\) में: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]फिर आयताकार से \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

उत्तर: 3

टास्क 4 #2910

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

विमान \(\pi_1\) और \(\pi_2\) रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं \(l\) , जिसमें बिंदु \(M\) और \(N\) हैं। खंड \(MA\) और \(MB\) रेखा \(l\) के लंबवत हैं और विमानों \(\pi_1\) और \(\pi_2\) में क्रमशः स्थित हैं, और \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) । \(3\cos\alpha\) खोजें, जहां \(\alpha\) विमानों \(\pi_1\) और \(\pi_2\) के बीच का कोण है।

त्रिभुज \(AMN\) समकोण है, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , जहां से \ त्रिभुज \(BMN\) समकोण है, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , जहां से \ हम त्रिभुज \(AMB\) के लिए कोसाइन प्रमेय लिखते हैं: \ फिर \ चूँकि तलों के बीच का कोण \(\alpha\) एक न्यून कोण है, और \(\angle AMB\) अधिक कोण निकला, तो \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) । फिर \

उत्तर: 1.25

टास्क 5 #2911

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) एक समानांतर चतुर्भुज है, \(ABCD\) एक वर्ग है जिसकी भुजा \(a\) है, बिंदु \(M\) बिंदु \(A_1\) से समतल पर गिराए गए लंब का आधार है \ ((ABCD)\) , इसके अलावा, \(M\) वर्ग \(ABCD\) के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ह ज्ञात है कि \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). विमानों \((ABCD)\) और \((AA_1B_1B)\) के बीच के कोण का पता लगाएं। अपना उत्तर अंशों में दें।

हम \(MN\) की रचना करते हैं जो \(AB\) के लंबवत है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

चूँकि \(ABCD\) भुजा \(a\) और \(MN\perp AB\) और \(BC\perp AB\) के साथ एक वर्ग है, तो \(MN\parallel BC\) । चूँकि \(M\) वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो \(M\) \(AC\) का मध्यबिंदु है, इसलिए, \(MN\) मध्य रेखा है और \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) विमान पर \(A_1N\) का प्रक्षेपण है \((ABCD)\) , और \(MN\) \(AB\) के लंबवत है, फिर, तीन लंबवत प्रमेय द्वारा, \( A_1N\) \(AB \) के लंबवत है और विमानों \((ABCD)\) और \((AA_1B_1B)\) के बीच का कोण \(\angle A_1NM\) है।
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

उत्तर: 60

टास्क 6 #1854

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

वर्ग में \(ABCD\) : \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है; \(S\) वर्ग के तल में नहीं है, \(SO \perp ABC\) । समतल \(ASD\) और \(ABC\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि \(SO = 5\) और \(AB = 10\) ।

समकोण त्रिभुज \(\triangle SAO\) और \(\triangle SDO\) दो भुजाओं में बराबर हैं और उनके बीच का कोण (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\कोण SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , क्योंकि \(O\) वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(SO\) उभयनिष्ठ भुजा है) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) समद्विबाहु है। बिंदु \(K\) \(AD\) का मध्यबिंदु है, फिर \(SK\) त्रिभुज में ऊंचाई है \(\triangle ASD\) , और \(OK\) त्रिभुज में ऊंचाई है \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) समतल \(SOK\) विमानों के लंबवत है \(ASD\) और \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) बराबर एक रैखिक कोण है आवश्यक डायहेड्रल कोण के लिए।

\(\triangle SKO\) में: \(ठीक = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) ।

उत्तर: 45

टास्क 7 #1855

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

वर्ग में \(ABCD\) : \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है; \(S\) वर्ग के तल में नहीं है, \(SO \perp ABC\) । समतल \(ASD\) और \(BSC\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि \(SO = 5\) और \(AB = 10\) ।

समकोण त्रिभुज \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) और \(\triangle SOC\) दो पक्षों में बराबर हैं और उनके बीच का कोण (\(SO \perp ABC) \) \(\दायां तीर\) \(\कोण SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), क्योंकि \(O\) वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(SO\) उभयनिष्ठ भुजा है) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) और \(\triangle BSC\) समद्विबाहु हैं। बिंदु \(K\) \(AD\) का मध्यबिंदु है, फिर \(SK\) त्रिभुज में ऊंचाई है \(\triangle ASD\) , और \(OK\) त्रिभुज में ऊंचाई है \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) प्लेन \(SOK\) प्लेन \(ASD\) के लंबवत है। बिंदु \(L\) \(BC\) का मध्यबिंदु है, फिर \(SL\) त्रिभुज में ऊंचाई है \(\triangle BSC\) , और \(OL\) त्रिभुज में ऊंचाई है \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) प्लेन \(SOL\) (उर्फ प्लेन \(SOK\) ) प्लेन \(BSC\) के लंबवत है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं कि \(\angle KSL\) वांछित डायहेड्रल कोण के बराबर एक रैखिक कोण है।

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) - समान समद्विबाहु त्रिभुजों में ऊँचाई, जिसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). यह देखा जा सकता है \(एसके^2 + एसएल^2 = 50 + 50 = 100 = केएल^2\)\(\Rightarrow\) एक त्रिभुज \(\triangle KSL\) के लिए व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय धारण करता है \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) एक समकोण त्रिभुज है \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ सर्किल\)।

उत्तर: 90

गणित में परीक्षा के लिए छात्रों को तैयार करना, एक नियम के रूप में, बुनियादी सूत्रों की पुनरावृत्ति के साथ शुरू होता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जो आपको विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ज्यामिति के इस खंड को स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर पर्याप्त विवरण में शामिल किया गया है, कई स्नातकों को मूल सामग्री को दोहराने की आवश्यकता होती है। विमानों के बीच के कोण का पता लगाने के तरीके को समझते हुए, हाई स्कूल के छात्र समस्या को हल करने के दौरान सही उत्तर की गणना करने में सक्षम होंगे और एकीकृत राज्य परीक्षा के आधार पर अच्छे अंक प्राप्त करने पर भरोसा करेंगे।

मुख्य बारीकियां

ताकि डायहेड्रल कोण को खोजने का प्रश्न कठिनाइयों का कारण न बने, हम अनुशंसा करते हैं कि आप समाधान एल्गोरिथ्म का पालन करें जो आपको परीक्षा के कार्यों से निपटने में मदद करेगा।

पहले आपको उस रेखा को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं।

फिर इस रेखा पर आपको एक बिंदु चुनने और उस पर दो लंबवत खींचने की आवश्यकता है।

अगला कदम डायहेड्रल कोण के त्रिकोणमितीय कार्य को खोजना है, जो लंबवत द्वारा बनता है। परिणामी त्रिभुज की मदद से ऐसा करना सबसे सुविधाजनक है, जिसमें से कोना एक हिस्सा है।

उत्तर कोण या उसके त्रिकोणमितीय फलन का मान होगा।

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परीक्षा उत्तीर्ण करने की पूर्व संध्या पर अध्ययन की प्रक्रिया में, कई छात्रों को परिभाषाओं और सूत्रों को खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है जो आपको 2 विमानों के बीच के कोण की गणना करने की अनुमति देते हैं। एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा ठीक उसी समय हाथ में नहीं होती जब इसकी आवश्यकता होती है। और ऑनलाइन इंटरनेट पर विमानों के बीच के कोण को खोजने सहित, उनके सही आवेदन के आवश्यक सूत्र और उदाहरण खोजने के लिए, कभी-कभी आपको बहुत समय बिताने की आवश्यकता होती है।

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उन समस्याओं को हल करने का अभ्यास जिसमें दो विमानों के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता होती है, छात्रों के पास किसी भी कार्य को ऑनलाइन "पसंदीदा" में सहेजने का अवसर होता है। इसके लिए धन्यवाद, वे उसके पास आवश्यक संख्या में वापस आ सकेंगे और स्कूल शिक्षक या ट्यूटर के साथ उसके समाधान की प्रगति पर चर्चा कर सकेंगे।

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

विमानों के बीच का कोण - परिभाषा।

दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण ज्ञात करना।

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