2-स्पिनर विधियों के सबसे प्रभावी अनुप्रयोग के क्षेत्रों में से एक सापेक्षता के सिद्धांत में स्पर्शोन्मुख समस्याओं का अध्ययन था। इस तरह की समस्याओं का एक महत्वपूर्ण उदाहरण स्पर्शोन्मुख रूप से समतल अंतरिक्ष-समय और गुरुत्वाकर्षण विकिरण में निहित कुल ऊर्जा-गति का निर्धारण है। इस मामले में, स्पिनर विधियां विशेष रूप से उस विधि के संयोजन में प्रभावी होती हैं जिसमें मीट्रिक के अनुरूप परिवर्तन द्वारा "अनंत को सीमित किया जाता है"। इस पद्धति के साथ, हम मूल भौतिक मीट्रिक को एक नए, "गैर-भौतिक" मीट्रिक के साथ संगत रूप से संबंधित करके स्पेस-टाइम मीट्रिक को बदल देते हैं

मीट्रिक टेंसर पर परिभाषित एक पर्याप्त रूप से चिकनी और हर जगह सकारात्मक फ़ंक्शन कहां है और इसके व्युत्क्रम टेंसर को सूत्रों द्वारा बदल दिया जाता है

यदि इसकी एक उपयुक्त स्पर्शोन्मुख संरचना है और एक उपयुक्त अनुरूप कारक चुना जाता है, तो कुछ सीमा सतह 3 को "संलग्न" किया जा सकता है [यह संकेतन "किनारे" पढ़ता है - "स्क्रिप्ट I" का एक संक्षिप्त नाम]। इस सतह को इस तरह से पेश किया गया है कि "गैर-भौतिक" मीट्रिक को बिना अध: पतन के और एक निश्चित डिग्री की चिकनाई के साथ सीमा पर पड़े नए बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है। फ़ंक्शन J को उचित स्तर की चिकनाई के साथ भी बढ़ाया जा सकता है, लेकिन यह सतह पर गायब हो जाता है। इसका मतलब है कि भौतिक मीट्रिक अनंत की सीमा Y पर होनी चाहिए, और इसलिए इसे विस्तारित नहीं किया जा सकता है। तो भौतिक मेट्रिक्स के संदर्भ में, नए बिंदु (अर्थात्, सतह पर बिंदु अनंत रूप से दूर हैं .)

उनके बगल के बिंदु। भौतिकी में, यह "अनंत पर अंक" से मेल खाता है।

इस तरह के अंतरिक्ष-समय के लिए एक सतह को जोड़ने से हमें सीमा के साथ एक चिकनी कई गुना मिलता है, जिसे हम प्रतीक द्वारा निरूपित करेंगे और

सीमा का प्रतीक, कई गुना आंतरिक क्षेत्र का प्रतीक है)। प्रस्तावित दृष्टिकोण का लाभ यह है कि अब विभेदक ज्यामिति और स्पिनर बीजगणित के शक्तिशाली स्थानीय तरीकों पर लागू करना संभव है, जो अंतरिक्ष-समय एसिम्प्टोटिक्स के बारे में जानकारी प्रदान करेगा। एसिम्प्टोटिक रूप से फ्लैट स्पेस-टाइम में, जटिल मार्ग की कोई आवश्यकता नहीं है सीमा तक। और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में स्पर्शोन्मुख यूक्लिडियन की परिभाषा अब एक सुविधाजनक "समन्वय-मुक्त" रूप में दी जा सकती है। सामान्य कारण के लिए सापेक्षता के सिद्धांत के लिए अनुरूप विधियां बहुत उपयुक्त हैं क्योंकि इसका अधिकांश भाग अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय है: एक द्रव्यमान रहित क्षेत्र के लिए समीकरण, अनुरूप वेइल टेंसर, आइसोट्रोपिक जियोडेसिक्स, आइसोट्रोपिक हाइपरसर्फेस, सापेक्षतावादी कारण, और (विशेषकर के मामले में) मिंकोव्स्की स्पेस) ट्विस्टर थ्योरी। प्रस्तावित विधि जटिल विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली विधि के समान है, जहां एक "अनंत पर बिंदु" को एक रीमैनियन क्षेत्र प्राप्त करने के लिए अरगंड विमान (अध्याय 1, § 2) में जोड़ा जाता है, साथ ही साथ प्रक्षेप्य ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली विधि के लिए।

स्पष्ट समन्वय रूप में विवरण

सबसे पहले, मिंकोव्स्की अंतरिक्ष एम के लिए एक अनुरूप अनंत के निर्माण की प्रक्रिया पर विचार करें। इस मामले में, गोलाकार निर्देशांक में भौतिक मीट्रिक का रूप है

सुविधा के लिए, हम दो समय पैरामीटर पेश करते हैं: मंद और उन्नत। हम प्राप्त करते हैं

एक अनुरूप कारक चुनने की स्वतंत्रता काफी बड़ी है। हालाँकि, सामान्य विचारों से हमारे यहाँ (अर्थात्, स्पर्शोन्मुख रूप से सरल) रुचि के स्थान-समय के मामले में [देखें। सूत्र (9.7.22)] के बाद का पाठ, फ़ंक्शन को चुना जाना चाहिए ताकि यह किसी भी किरण के साथ शून्य हो जाए (अतीत और भविष्य दोनों में) किरण ए के एफ़िन पैरामीटर के पारस्परिक के रूप में, (यानी, जब किरण के साथ)। कोई भी हाइपरसर्फेस भविष्य का एक हल्का शंकु होता है, जो किरणों (आइसोट्रोपिक सीधी रेखाओं) से निर्मित होता है, जिसके लिए मान 0 और स्थिर भी रहते हैं। निर्देशांक इन रेडियल किरणों में से प्रत्येक के भविष्य के एफाइन पैरामीटर की भूमिका निभाता है। इसी तरह, निर्देशांक इन किरणों के अतीत के एफाइन पैरामीटर के रूप में कार्य करता है। इसलिए, यह आवश्यक है कि किरण के लिए और किरण पर शर्तों को संतुष्ट किया जाए।

(कारक 2 सुविधा के लिए निम्नलिखित में पेश किया गया है), और फिर

फ़ंक्शन के कई अन्य रूप संभव हैं, लेकिन यह, जैसा कि हम जल्द ही देखेंगे, विशेष रूप से सुविधाजनक है।

निर्देशांक के अंतिम मूल्यों के अनुरूप हमारे "अनंत पर अंक" के लिए, दोनों और ओ को पैरामीटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए जैसे कि

चर की भिन्नता की सीमाएं और अंजीर में दिखाई गई हैं। 9.1, जहां प्रत्येक बिंदु त्रिज्या के 2-गोले का प्रतिनिधित्व करता है ऊर्ध्वाधर रेखा स्थानिक मूल से मेल खाती है और केवल एक समन्वय विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करती है। इस लाइन (और हर जगह) पर एक ही स्पेस-टाइम, निश्चित रूप से गैर-एकवचन है। तिरछी रेखाएँ मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के (आइसोट्रोपिक) अनंत (क्रमशः प्रतीकों द्वारा निरूपित) का प्रतिनिधित्व करती हैं (क्योंकि ये रेखाएँ मानों के अनुरूप हैं लेकिन मीट्रिक (9.1.5) स्पष्ट रूप से इन पंक्तियों पर आदर्श रूप से नियमित है। हम उम्मीद कर सकते हैं कि अंतरिक्ष-समय

चावल। 9.1. अंतरिक्ष एम के अनुरूप अंतरिक्ष का क्षेत्र। सीधी रेखा का मतलब है, और गोलाकार समरूपता की धुरी है।

और इसका मीट्रिक इन क्षेत्रों के बाहर भी गैर-एकवचन होगा। ऊर्ध्वाधर रेखा भी सीधी रेखा के समान ही एक समन्वय विलक्षणता है। संपूर्ण ऊर्ध्वाधर पट्टी का उपयोग अंतरिक्ष-समय को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जिसकी वैश्विक संरचना एक अंतरिक्ष-जैसे 3-गोले और एक अनंत समयरेखा रेखा के उत्पाद से मेल खाती है (" आइंस्टीन का स्थिर ब्रह्मांड")। इसे सत्यापित करने के लिए, हम नए निर्देशांक चुनते हैं

घुंघराले कोष्ठक में संलग्न इस मीट्रिक का हिस्सा इकाई 3-गोलाकार का मीट्रिक है।

मूल मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के अनुरूप अंतरिक्ष-समय के हिस्से को बिंदुओं के प्रकाश शंकुओं के बीच संलग्न स्थान के रूप में माना जा सकता है। बिंदु में निर्देशांक होते हैं और बिंदु के निर्देशांक होते हैं।

चावल। 9.2. आइंस्टीन सिलेंडर पर अंतरिक्ष एम के अनुरूप क्षेत्र।

और निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर "पीछे" पक्ष पर बंद हो जाता है। ध्यान दें कि बिंदु पर, इसका मतलब है कि बिंदु को एक बिंदु के रूप में माना जाना चाहिए, न कि 2-गोला। विचाराधीन स्थिति को अंजीर में दिखाया गया है। 9.2, जहां दो आयाम गिराए गए हैं। दो-मिन्कोव्स्की स्थान वर्ग के आंतरिक भाग के अनुरूप है (45° पर झुका हुआ दिखाया गया है)। यह वर्ग एक सिलेंडर के चारों ओर लपेटता है, जो आइंस्टीन के स्थिर ब्रह्मांड का द्वि-आयामी संस्करण है। लापता माप के लिए लेखांकन कुछ भी महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलता है। बिंदु के पास, रुचि का क्षेत्र बिंदु से जुड़े भविष्य के प्रकाश शंकु के भीतर स्थित है। यह प्रकाश शंकु (यानी, बिंदु से भविष्य तक जाने वाली किरणों द्वारा "बहने वाला बिंदु") पीछे की ओर केंद्रित है आइंस्टीन ब्रह्मांड के एक बिंदु पर (जो अंतरिक्ष में बिंदु के बिल्कुल विपरीत संबंध में रुचि के बिंदु के पास; हमें क्षेत्र (मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष) भविष्य के प्रकाश शंकु से अंतरिक्ष की तरह दिशाओं में विस्तारित होता है, बिंदु के लिए फिर से एक बिंदु पर केंद्रित होता है स्थानिक स्थिति

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि यूक्लिडियन विमान के विपरीत, प्रक्षेपी विमान में अनंत विस्तार नहीं होता है। आइए जानें कि उनमें क्या अंतर है, और दूसरी ओर, वे कैसे संबंधित हैं? ऐसा करने के लिए, आइए स्पष्ट करें कि प्रक्षेपी ज्यामिति में यूक्लिडियन विमान की किन स्थितियों का उपयोग किया जाता है। प्रक्षेपी ज्यामिति स्वयंसिद्धों की अपनी प्रणाली पर आधारित है। और यद्यपि एक स्वयंसिद्ध नींव पर तार्किक निर्माण गणितीय पद्धति का एक अद्भुत उदाहरण है, हालांकि, यूक्लिडियन ज्यामिति से तलाकशुदा होने के कारण, प्रक्षेपी ज्यामिति की ऐसी प्रस्तुति बहुत सारगर्भित है। इसलिए, अधिक संक्षिप्तता और स्पष्टता के लिए, यूक्लिडियन विमान के मॉडल से आगे बढ़ना उचित है।

यह ज्ञात है कि यूक्लिडियन तल पर एक सीधी रेखा दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक चलती है और सीधी रेखा के बिंदुओं और सभी वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है, जिसमें बिंदुओं का प्राकृतिक क्रम सीधी रेखा उनके परिमाण में संख्याओं के क्रम से मेल खाती है।

आइए अब हम उसी सशर्त बिंदु के साथ "बाएं और दाएं" सीधी रेखा को पूरक करें, जिसे हम अनंत पर बिंदु कहेंगे।

यह स्पष्ट है कि एक संदेह उत्पन्न होता है - क्या अस्तित्वहीन बिंदुओं की वास्तविकता के बारे में बोलना संभव है? हालांकि, आधुनिक सिद्धांतों में यह अक्सर होता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, हालांकि वास्तविक संख्याओं के बीच कोई असीम रूप से बड़ी संख्या नहीं है, गणितीय विश्लेषण में प्रतीक सत्य का उपयोग संख्या के रूप में नहीं, बल्कि असीमित वृद्धि को दर्शाने के लिए किया जाता है। (इसी अर्थ में, त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध में प्रतीक का उपयोग किया जाता है।) एक साधारण सीधी रेखा में एक असीम रूप से दूर बिंदु जोड़ने के बाद, "पूर्ण" सीधी रेखा बंद हो जाती है। आइए अब इसमें जोड़ें: अनंत पर एक बिंदु के साथ प्रत्येक साधारण रेखा, और हम मानते हैं कि जब रेखाएं समानांतर होती हैं, तो उनके साथ जोड़े गए बिंदु मिलते हैं, जब रेखाएं समानांतर नहीं होती हैं, तो अनंत पर उनके बिंदु भिन्न होते हैं।

यूक्लिडियन तल में प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाएँ एक साधारण बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और इन रेखाओं की अनंतता पर बिंदु संपाती नहीं होते हैं। इसलिए, इस नई ज्यामिति में कोई समानांतर रेखाएँ नहीं हैं, हर दो रेखाएँ होनी चाहिए

एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना। साधारण ज्यामिति में एक-दूसरे के समानांतर रेखाओं के परिवार में अनंत पर एक सामान्य बिंदु होता है, जबकि विपरीत दिशाओं में रेखाओं के अनंत पर अलग-अलग बिंदु होते हैं। इस संबंध में, अनंत पर अपरिमित रूप से कई बिंदु हैं।

अनंत पर इन बिंदुओं का सेट, फिर से परिभाषा के अनुसार, अनंत पर एक तथाकथित रेखा का गठन करता है

इस प्रकार हम एक ज्यामिति प्राप्त करते हैं जिसमें यूक्लिडियन तल में अनंत पर एक रेखा जोड़ दी जाती है।

संक्षेप में, यह ज्यामिति अभी तक यूक्लिडियन ज्यामिति से बहुत अलग नहीं है। दो रेखाओं की समानता के बारे में बयान के बजाय, एक असीम रूप से दूर के बिंदु पर उनके चौराहे के बारे में बयान पेश किया जाता है।

प्रक्षेप्य ज्यामिति में स्वीकृत मूल अभिगृहीत कहते हैं कि दो बिंदु एक रेखा को परिभाषित करते हैं (यदि दोनों बिंदु अनंत पर हैं, तो वे अनंत पर एक रेखा को परिभाषित करते हैं और यह कि दो रेखाएं हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। और हालांकि इन दो स्वयंसिद्धों के प्रावधान बहुत महत्वपूर्ण हैं , लेकिन जब तक हम आवंटित करते हैं

कुछ बिंदु अनंत पर एक पंक्ति में, हम व्यावहारिक रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति के सार को नहीं बदलते हैं और ज्यामिति में कुछ भी नया परिचय नहीं देते हैं।

- (अंग्रेजी संयोजन बिंदु) गूढ़ विचारक और रहस्यवादी कार्लोस कास्टानेडा द्वारा अपनी पुस्तकों में उपयोग की जाने वाली मूलभूत अवधारणाओं में से एक। मानव स्वभाव की सबसे नाटकीय विशेषताओं में से एक के बीच भयानक संबंध है ... विकिपीडिया

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यहाँ अंक। एकवचन बिंदु (अंतर समीकरण) भी देखें। गणित में एक विशेषता या विलक्षणता एक ऐसा बिंदु है जिस पर गणितीय वस्तु (आमतौर पर एक फ़ंक्शन) परिभाषित नहीं होती है या अनियमित व्यवहार होता है (उदाहरण के लिए, एक बिंदु जिस पर ... विकिपीडिया

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तापमान (लगभग 2.17 K) जिसके नीचे तरल हीलियम (हीलियम I) सुपरफ्लुइडिटी (हीलियम II) की स्थिति में जाता है। अधिक सटीक होने के लिए, एक निचला लैम्ब्डा बिंदु (2.172 के और 0.0497 एटीएम पर) और एक ऊपरी लैम्ब्डा बिंदु (1.76 के और 29.8 एटीएम पर) है। ... ... विकिपीडिया

1) क्रम का एक क्वांटम बिंदु ऐसा जटिल तल का एक ऐसा बिंदु होता है जिसमें फलन f(z) नियमित है, और इसके अवकलज f(z) का क्रम m का शून्य है, जहां m एक प्राकृत संख्या है। दूसरे शब्दों में, K. t. शर्तों द्वारा निर्धारित किया जाता है: असीम रूप से दूरस्थ K. t. ... ... गणितीय विश्वकोश

एक विश्लेषणात्मक कार्य एक ऐसा बिंदु है जिस पर विश्लेषणात्मकता की शर्तों का उल्लंघन होता है। यदि एक विश्लेषणात्मक कार्य f(z) को बिंदु z0 के कुछ पड़ोस में हर जगह परिभाषित किया गया है ... भौतिक विश्वकोश

जटिल समय के साथ अंतर समीकरणों के सिद्धांत में, एक बिंदु को एक रैखिक अंतर समीकरण का फ्यूचियन एकवचन बिंदु कहा जाता है यदि सिस्टम मैट्रिक्स ए (टी) में पहले-क्रम का ध्रुव होता है। यह सबसे आसान संभव विशेषता है ... ... विकिपीडिया

अनुचित काठी बिंदु, प्रक्षेपवक्र स्थान प्रकार गतिशील। सिस्टम वे कहते हैं कि यह गतिशील है। सिस्टम ft (या, दूसरे शब्दों में, f (, p), देखें ), पर दिया गया, S. b में है, यदि ऐसे बिंदु और संख्याएँ हैं जो अनुक्रम अभिसरण करते हैं, और ... गणितीय विश्वकोश

अपोलोनियस का कार्य कम्पास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके दिए गए तीन वृत्तों की स्पर्शरेखा का निर्माण करना है। किंवदंती के अनुसार, समस्या को 220 ईसा पूर्व के आसपास पेर्गा के अपोलोनियस द्वारा तैयार किया गया था। इ। "टच" पुस्तक में, जो खो गया था ... विकिपीडिया

पुस्तकें

• , डेविड ड्यूश। Quote "... प्रगति का अंत होना जरूरी नहीं है, लेकिन इसका हमेशा एक प्रारंभिक बिंदु होता है - जिस कारण से यह शुरू हुआ, वह घटना जिसने इसमें योगदान दिया, या आवश्यक ...
• अनंत की शुरुआत। स्पष्टीकरण जो दुनिया को बदलते हैं, डेविड डिक्शन। Quote `... प्रगति का अंत होना जरूरी नहीं है, लेकिन इसका हमेशा एक शुरुआती बिंदु होता है - इसके शुरू होने का कारण, इसमें योगदान देने वाली घटना, या आवश्यक ...

यदि कोई अनुक्रम एक परिमित संख्या a में परिवर्तित होता है, तो हम लिखते हैं
.
इससे पहले, हमने असीम रूप से बड़े अनुक्रमों को ध्यान में रखा था। हमने स्वीकार किया कि वे अभिसरण हैं और प्रतीकों और द्वारा अपनी सीमाओं को निरूपित करते हैं। ये प्रतीक का प्रतिनिधित्व करते हैं अनंत पर अंक. वे वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं हैं। लेकिन एक सीमा की अवधारणा किसी को ऐसे बिंदुओं को पेश करने की अनुमति देती है और वास्तविक संख्याओं की सहायता से उनके गुणों का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है।

परिभाषा
अनंत का बिंदु, या अहस्ताक्षरित अनंत, वह सीमा है जिसकी ओर एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम जाता है।
अनंत प्लस अनंत पर बिंदु, वह सीमा है जिसकी ओर धनात्मक पदों वाला एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम प्रवृत्त होता है।
अनंत पर बिंदु माइनस इन्फिनिटी, वह सीमा है जिसकी ओर ऋणात्मक पदों वाला एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम प्रवृत्त होता है।

किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं:
;
.

वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हुए, हमने अवधारणा की शुरुआत की अनंत पर एक बिंदु का पड़ोस.
एक बिंदु का पड़ोस समुच्चय है।
अंत में, बिंदु का पड़ोस समुच्चय है।
यहाँ M एक मनमाना, मनमाने ढंग से बड़ी वास्तविक संख्या है।

इस प्रकार, हमने वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में नए तत्वों को शामिल करके उसका विस्तार किया है। इस संबंध में, निम्नलिखित परिभाषा होती है:

विस्तारित संख्या रेखाया वास्तविक संख्याओं का विस्तारित सेटतत्वों द्वारा पूरित वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहलाता है और :
.

सबसे पहले, हम उन गुणों को लिखते हैं जो अंक और हैं। अगला, हम इन बिंदुओं के लिए संचालन की एक कठोर गणितीय परिभाषा और इन गुणों के प्रमाण पर विचार करते हैं।

अनंत पर बिंदुओं के गुण

योग और अंतर.
; ;
; ;

काम और निजी.
; ; ;
;
;
; ; .

वास्तविक संख्याओं के साथ संबंध.
मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है। फिर
; ;
; ; ; .
चलो एक > 0 . फिर
; ; .
चलो एक < 0 . फिर
; .

अपरिभाषित संचालन.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

अनंत पर बिंदुओं के गुणों के प्रमाण

गणितीय संचालन की परिभाषा

हम पहले ही अनंत पर बिंदुओं की परिभाषा दे चुके हैं। अब हमें उनके लिए गणितीय संक्रियाओं को परिभाषित करना होगा। चूंकि हमने इन बिंदुओं को अनुक्रमों के रूप में परिभाषित किया है, इसलिए इन बिंदुओं पर संचालन को अनुक्रमों के संदर्भ में भी परिभाषित किया जाना चाहिए।

इसलिए, दो बिंदुओं का योग
सी = ए + बी
वास्तविक संख्याओं के विस्तारित सेट से संबंधित,
,
हम सीमा को बुलाएंगे
,
जहाँ और मनमाने क्रम हैं जिनकी सीमाएँ हैं
और ।

घटाव, गुणा और भाग के संचालन को एक समान तरीके से परिभाषित किया गया है। केवल, विभाजन के मामले में, भिन्न के हर के तत्व शून्य के बराबर नहीं होने चाहिए।
फिर दो बिंदुओं का अंतर:
सीमा है:।
डॉट उत्पाद:
सीमा है:।
निजी:
सीमा है:।
यहाँ और मनमाने क्रम हैं जिनकी सीमाएँ क्रमशः a और b हैं। बाद वाले मामले में, ।

संपत्ति प्रमाण

अनंत पर बिंदुओं के गुणों को सिद्ध करने के लिए, हमें अपरिमित रूप से बड़े अनुक्रमों के गुणों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

एक संपत्ति पर विचार करें:
.
इसे सिद्ध करने के लिए हमें यह दिखाना होगा कि
,

दूसरे शब्दों में, हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि दो अनुक्रमों का योग जो प्लस इन्फिनिटी में परिवर्तित होता है, प्लस इन्फिनिटी में परिवर्तित हो जाता है।

1 निम्नलिखित असमानताएँ धारण करती हैं:
;
.
तब के लिए और हमारे पास है:
.
होने देना । फिर
पर ,
कहाँ पे ।
इस का मतलब है कि ।

इसी प्रकार अन्य गुण सिद्ध होते हैं। उदाहरण के तौर पर हम एक और सबूत पेश करते हैं।

आइए साबित करें कि:
.
ऐसा करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि
,
जहां और मनमाने क्रम हैं, सीमा के साथ और .

अर्थात्, हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि दो अपरिमित रूप से बड़े अनुक्रमों का गुणनफल एक अपरिमित रूप से बड़ा अनुक्रम होता है।

आइए इसे साबित करें। चूँकि तथा , तब कुछ फलन होते हैं और , ताकि किसी धनात्मक संख्या M . के लिए 1 निम्नलिखित असमानताएँ धारण करती हैं:
;
.
तब के लिए और हमारे पास है:
.
होने देना । फिर
पर ,
कहाँ पे ।
इस का मतलब है कि ।

अपरिभाषित संचालन

अनंत पर बिंदुओं वाली कुछ गणितीय संक्रियाओं को परिभाषित नहीं किया गया है। उनकी अनिश्चितता दिखाने के लिए, हमें कुछ विशेष मामले देने होंगे जब ऑपरेशन का परिणाम उनमें शामिल अनुक्रमों की पसंद पर निर्भर करता है।

इस ऑपरेशन पर विचार करें:
.
यह दिखाना आसान है कि यदि और, तो अनुक्रमों के योग की सीमा अनुक्रमों की पसंद पर निर्भर करती है।

दरअसल, आइए लेते हैं। इन अनुक्रमों की सीमाएँ समान हैं। राशि सीमा

अनंत के बराबर है।

अब चलो लेते हैं। इन अनुक्रमों की सीमाएँ भी समान हैं। लेकिन उनके योग की सीमा

शून्य के बराबर।

यही है, बशर्ते कि और, योग सीमा का मान अलग-अलग मान ले सकता है। इसलिए, ऑपरेशन परिभाषित नहीं है।

इसी तरह, ऊपर प्रस्तुत शेष कार्यों की अनिश्चितता को दिखाया जा सकता है।

परिभाषा
परिणाम को (βn) अनंत क्रम कहलाता है, यदि किसी मनमाने ढंग से बड़ी संख्या एम के लिए, एम के आधार पर एक प्राकृतिक संख्या एन एम मौजूद है, जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए n> एन एम, असमानता
|β एन | > एम.
इस मामले में, लिखें
.
या कि ।
वे कहते हैं कि यह अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, या अनंत में परिवर्तित हो जाता है.

यदि , किसी संख्या N . से प्रारंभ करते हुए 0 , तब
( प्लस इन्फिनिटी में परिवर्तित हो जाता है).
तो अगर
( माइनस इन्फिनिटी में परिवर्तित हो जाता है).

हम इन परिभाषाओं को अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखते हैं:
(1) .
(2) .
(3) .

सीमा के साथ अनुक्रम (2) और (3) एक असीम रूप से बड़े अनुक्रम (1) के विशेष मामले हैं। इन परिभाषाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि किसी अनुक्रम की सीमा प्लस या माइनस अनंत है, तो वह भी अनंत के बराबर है:
.
रिवर्स, ज़ाहिर है, सच नहीं है। अनुक्रम सदस्यों में वैकल्पिक वर्ण हो सकते हैं। इस मामले में, सीमा अनंत के बराबर हो सकती है, लेकिन एक निश्चित संकेत के बिना।

यह भी ध्यान दें कि यदि एक निश्चित संपत्ति अनंत के बराबर सीमा के साथ एक मनमाना अनुक्रम के लिए रखती है, तो वही संपत्ति एक अनुक्रम के लिए रखती है जिसकी सीमा प्लस या माइनस अनंत है।

कई कैलकुलस पाठ्यपुस्तकों में, एक असीम रूप से बड़े अनुक्रम की परिभाषा में कहा गया है कि संख्या M धनात्मक है: M > 0 . हालाँकि, यह आवश्यकता बेमानी है। अगर इसे रद्द कर दिया जाता है, तो कोई विरोधाभास पैदा नहीं होता है। बस छोटे या नकारात्मक मूल्य हमारे लिए कोई दिलचस्पी नहीं रखते हैं। हम एम के मनमाने ढंग से बड़े सकारात्मक मूल्यों के अनुक्रम के व्यवहार में रुचि रखते हैं। इसलिए, यदि आवश्यकता होती है, तो M को नीचे से किसी भी संख्या a द्वारा सीमित किया जा सकता है, अर्थात मान लें कि M> a।

जब हमने ε को परिभाषित किया - अंत बिंदु का पड़ोस, तो आवश्यकता ε > 0 एक महत्वपूर्ण है। नकारात्मक मूल्यों के लिए, असमानता बिल्कुल भी नहीं रह सकती है।

अनंत पर बिंदुओं के पड़ोस

जब हमने परिमित सीमाओं पर विचार किया, तो हमने एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा पेश की। याद रखें कि एक अंत बिंदु का पड़ोस इस बिंदु से युक्त एक खुला अंतराल है। हम अनंत पर बिंदुओं के पड़ोस की अवधारणा को भी पेश कर सकते हैं।

मान लीजिए M एक मनमाना संख्या है।
बिंदु "अनंत" का पड़ोस, , सेट कहलाता है।
बिंदु "प्लस इनफिनिटी" का पड़ोस, , सेट कहलाता है।
बिंदु "माइनस इनफिनिटी" का पड़ोस, , सेट कहलाता है।

कड़ाई से बोलते हुए, बिंदु "अनंत" का पड़ोस सेट है
(4) ,
जहां एम 1 और एम 2 मनमानी सकारात्मक संख्याएं हैं। हम पहली परिभाषा का उपयोग करेंगे, क्योंकि यह सरल है। हालाँकि, परिभाषा (4) का उपयोग करते समय नीचे दी गई सभी बातें भी सत्य हैं।

अब हम एक अनुक्रम की सीमा की एक एकीकृत परिभाषा दे सकते हैं जो परिमित और अनंत दोनों सीमाओं पर लागू होती है।

अनुक्रम सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा.
एक बिंदु ए (परिमित या अनंत पर) एक अनुक्रम की सीमा है यदि इस बिंदु के किसी भी पड़ोस के लिए एक प्राकृतिक संख्या एन मौजूद है जैसे कि संख्याओं के साथ अनुक्रम के सभी तत्व इस पड़ोस से संबंधित हैं।

इस प्रकार, यदि सीमा मौजूद है, तो बिंदु के पड़ोस के बाहर केवल अनुक्रम के सदस्यों की एक सीमित संख्या या एक खाली सेट हो सकता है। यह शर्त आवश्यक और पर्याप्त है। इस गुण का प्रमाण बिल्कुल परिमित सीमाओं के समान है।

एक अभिसरण अनुक्रम की पड़ोस संपत्ति
बिंदु a (परिमित या अनंत पर) अनुक्रम की सीमा होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस बिंदु के किसी भी पड़ोस के बाहर अनुक्रम के सदस्यों की एक सीमित संख्या या एक खाली सेट हो।
प्रमाण ।

इसके अलावा, की अवधारणाएं - असीम रूप से दूर के बिंदुओं के पड़ोस कभी-कभी पेश किए जाते हैं।
याद रखें कि अंतिम बिंदु a का -पड़ोस समुच्चय है।
आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें। आज्ञा देना - एक बिंदु के पड़ोस को दर्शाता है। फिर अंतिम बिंदु के लिए,
.
अनंत पर बिंदुओं के लिए:
;
;
.
-पड़ोस की अवधारणाओं का उपयोग करते हुए, अनुक्रम की सीमा की एक और सार्वभौमिक परिभाषा दी जा सकती है:

एक बिंदु a (परिमित या अनंत पर) एक अनुक्रम की सीमा है यदि किसी सकारात्मक संख्या के लिए > 0 के आधार पर एक प्राकृत संख्या N इस प्रकार है कि सभी संख्याओं के लिए n > N पद x n बिंदु a के पड़ोस से संबंधित हैं:
.

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
.

असीम रूप से बड़े अनुक्रमों के उदाहरण

हम पहले तीन समान समान उदाहरणों पर विचार करेंगे, और फिर एक अधिक जटिल उदाहरण को हल करेंगे।

उदाहरण 1

.

.
हम एक असीम रूप से बड़े अनुक्रम की परिभाषा लिखते हैं:
(1) .
हमारे मामले में
.

हम संख्याओं का परिचय देते हैं और उन्हें असमानताओं से जोड़ते हैं:
.
असमानताओं के गुणों के अनुसार, यदि और, तो
.
ध्यान दें कि जब यह असमानता किसी भी n के लिए होती है। तो आप इस तरह चुन सकते हैं:
पर ;
पर ।

इसलिए, कोई भी एक प्राकृतिक संख्या ज्ञात कर सकता है जो असमानता को संतुष्ट करती है। फिर सभी के लिए
.
इसका मतलब है कि । यानी यह क्रम असीम रूप से बड़ा है।

उदाहरण 2

एक अपरिमित रूप से बड़े अनुक्रम की परिभाषा का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि
.

(2) .
दिए गए अनुक्रम के सामान्य पद का रूप है:
.

नंबर दर्ज करें और:
.
.

तब कोई भी एक प्राकृतिक संख्या ज्ञात कर सकता है जो असमानता को संतुष्ट करती है, ताकि सभी के लिए,
.
इसका मतलब है कि ।

.

उदाहरण 3

एक अपरिमित रूप से बड़े अनुक्रम की परिभाषा का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि
.

आइए माइनस इनफिनिटी के बराबर अनुक्रम की सीमा की परिभाषा लिखें:
(3) .
दिए गए अनुक्रम के सामान्य पद का रूप है:
.

नंबर दर्ज करें और:
.
इससे पता चलता है कि यदि और , तो
.

चूँकि किसी के लिए एक प्राकृत संख्या ज्ञात की जा सकती है जो असमानता को संतुष्ट करती है, तो
.

दिया गया है, N के रूप में, आप कोई भी प्राकृत संख्या ले सकते हैं जो निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करती है:
.

उदाहरण 4

एक अपरिमित रूप से बड़े अनुक्रम की परिभाषा का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि
.

आइए अनुक्रम का सामान्य शब्द लिखें:
.
आइए हम प्लस इन्फिनिटी के बराबर अनुक्रम की सीमा की परिभाषा लिखें:
(2) .

चूँकि n एक प्राकृत संख्या है, n = 1, 2, 3, ... , तब
;
;
.

हम संख्याओं और M का परिचय देते हैं, उन्हें असमानताओं से जोड़ते हैं:
.
इससे पता चलता है कि यदि और , तो
.

तो, किसी भी संख्या M के लिए, आप एक प्राकृत संख्या ज्ञात कर सकते हैं जो असमानता को संतुष्ट करती है। फिर सभी के लिए
.
इसका मतलब है कि ।

सन्दर्भ:
एल.डी. कुद्रियात्सेव। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। खंड 1. मॉस्को, 2003।
से। मी। निकोल्स्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। खंड 1. मॉस्को, 1983।