मान लें कि T ऊपरी अर्ध-तल में स्थित एक वक्रीय समलम्बाकार के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा निर्मित क्रांति का पिंड है और भुज अक्ष, सीधी रेखाओं x=a और x=b और एक सतत फलन y से घिरा हुआ है। = एफ (एक्स)।

आइए साबित करें कि यह क्रांति का पिंड क्यूबेबल है और इसका आयतन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,।

सबसे पहले, हम यह साबित करते हैं कि क्रांति का यह निकाय नियमित है यदि हम विमान ओयज़ को क्रांति की धुरी के लंबवत लेते हैं। ध्यान दें कि Oyz तल से x दूरी पर स्थित खंड त्रिज्या f(x) का एक वृत्त है और इसका क्षेत्रफल S(x) \pi f^2(x) (चित्र 46) है। इसलिए, f(x) की निरंतरता के कारण फलन S(x) निरंतर है। अगला, अगर एस(x_1)\leqslant एस(x_2), तो इसका मतलब है कि। लेकिन विमान Oyz पर वर्गों के अनुमान त्रिज्या के वृत्त हैं f(x_1) तथा f(x_2) केंद्र के साथ O , और से f(x_1)\leqslant f(x_2)यह इस प्रकार है कि त्रिज्या f(x_1) का वृत्त त्रिज्या f(x_2) के वृत्त में समाहित है।

तो, रोटेशन का शरीर नियमित है। इसलिए, यह घनीय है और इसके आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,।

यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज नीचे और ऊपर से दोनों वक्रों से घिरा हुआ था y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , तो

वी= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,।

उस स्थिति में जब घूर्णन आकृति की सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती है, उस स्थिति में परिक्रमण निकाय के आयतन की गणना के लिए सूत्र (3) का भी उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, किसी को निश्चित अभिन्न चिह्न के तहत चर के परिवर्तन का उपयोग करना होगा।

कुछ मामलों में क्रांति के निकायों को सीधे गोलाकार सिलेंडरों में नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के आंकड़ों में विघटित करना सुविधाजनक हो जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें y-अक्ष के चारों ओर एक वक्रीय समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन. सबसे पहले, आइए एक आयत को y# की ऊँचाई के साथ घुमाकर प्राप्त आयतन ज्ञात करें, जिसके आधार पर खंड स्थित है। यह आयतन दो सीधे वृत्ताकार बेलनों के आयतनों के बीच के अंतर के बराबर है

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\बड़ा)।

लेकिन अब यह स्पष्ट है कि वांछित मात्रा का अनुमान ऊपर और नीचे से इस प्रकार है:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,।

इससे यह आसानी से अनुसरण करता है y-अक्ष के चारों ओर परिक्रमण पिंड के आयतन के लिए सूत्र:

वी=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,।

उदाहरण 4त्रिज्या R की एक गेंद का आयतन ज्ञात कीजिए।

फेसला।व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मूल पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त पर विचार करेंगे। यह वृत्त, ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमता है, एक गेंद बनाता है। वृत्त समीकरण x^2+y^2=R^2 है, इसलिए y^2=R^2-x^2 । y-अक्ष के परितः वृत्त की सममिति को देखते हुए, हम पहले वांछित आयतन का आधा पाते हैं

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \बाएं।(\pi\!\बाएं(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\बाएं(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

इसलिए, पूरे गोले का आयतन है \frac(4)(3)\pi R^3.

उदाहरण 5एक शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई h है और आधार की त्रिज्या r है।

फेसला।हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि ऑक्स अक्ष ऊंचाई एच (छवि 47) के साथ मेल खाता हो, और हम शंकु के शीर्ष को मूल के रूप में लेते हैं। तब रेखा OA के समीकरण को y=\frac(r)(h)\,x के रूप में लिखा जा सकता है।

सूत्र (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वी=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \बाएं।(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ फ़्रैक(\pi)(3)\,r^2h\,.

उदाहरण 6एस्ट्रोइड के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए \begin(मामलों)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,\end(मामलों)(चित्र 48)।

फेसला।आइए एक क्षुद्रग्रह का निर्माण करें। y-अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थित क्षुद्रग्रह के ऊपरी भाग के आधे भाग पर विचार करें। सूत्र (3) का उपयोग करके और निश्चित अभिन्न चिह्न के तहत चर को बदलते हुए, हम नए चर t के लिए एकीकरण सीमा पाते हैं।

अगर x=a\cos^3t=0 , फिर t=\frac(\pi)(2) , और अगर x=a\cos^3t=a , तो t=0 । दिया है कि y^2=a^2\sin^6t and dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, हम पाते हैं:

वी=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

एस्ट्रोइड के घूमने से बनने वाले पूरे पिंड का आयतन होगा \frac(32\pi)(105)\,a^3.

उदाहरण 7एब्सिस्सा अक्ष और साइक्लोइड के पहले चाप से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार के कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए। \begin(मामलों)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(मामलों).

फेसला।हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं: वी=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, और वेरिएबल को इंटीग्रल साइन के तहत बदलें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि साइक्लोइड का पहला आर्क तब बनता है जब वेरिएबल t 0 से 2\pi में बदल जाता है। इस प्रकार,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\बाएं(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \ अंत (गठबंधन)

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गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!

क्रांति के ठोसों के आयतन ज्ञात करने के लिए समाकलकों का उपयोग करना

गणित की व्यावहारिक उपयोगिता इस तथ्य के कारण है कि बिना

विशिष्ट गणितीय ज्ञान से उपकरण के सिद्धांतों और आधुनिक तकनीक के उपयोग को समझना मुश्किल हो जाता है। अपने जीवन में प्रत्येक व्यक्ति को जटिल गणनाएँ करनी होती हैं, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले उपकरणों का उपयोग करना होता है, संदर्भ पुस्तकों में आवश्यक सूत्र खोजना होता है और समस्याओं को हल करने के लिए सरल एल्गोरिदम की रचना करनी होती है। आधुनिक समाज में, उच्च स्तर की शिक्षा की आवश्यकता वाले अधिक से अधिक विशिष्टताओं को गणित के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से जोड़ा जाता है। इस प्रकार, एक स्कूली बच्चे के लिए, गणित एक व्यावसायिक रूप से महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। एल्गोरिथम सोच के निर्माण में गणित की अग्रणी भूमिका होती है, यह किसी दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करने और नए एल्गोरिदम को डिजाइन करने की क्षमता लाता है।

क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना के लिए इंटीग्रल का उपयोग करने के विषय का अध्ययन करते हुए, मेरा सुझाव है कि वैकल्पिक कक्षाओं के छात्र इस विषय पर विचार करें: "इंटीग्रल्स का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा।" इस विषय से निपटने के लिए यहां कुछ दिशानिर्देश दिए गए हैं:

1. समतल आकृति का क्षेत्रफल।

बीजगणित के पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि व्यावहारिक समस्याओं ने एक निश्चित समाकलन की अवधारणा को जन्म दिया..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

एक टूटी हुई रेखा y=f(x), ऑक्स अक्ष, सीधी रेखाओं x=a और x=b से घिरी हुई ऑक्स अक्ष के चारों ओर एक वक्रीय समलम्बाकार के घूर्णन द्वारा गठित क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं सूत्र द्वारा

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. सिलेंडर का आयतन।

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">एक समकोण त्रिभुज ABC(C=90) को ऑक्स अक्ष के चारों ओर घुमाकर शंकु प्राप्त किया जाता है, जिस पर टांग AC स्थित है।

खंड AB रेखा y=kx+c पर स्थित है, जहां https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

चलो a=0, b=H (H शंकु की ऊंचाई है), फिर Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">।

5. एक काटे गए शंकु का आयतन।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD (CDOx) को ऑक्स अक्ष के चारों ओर घुमाकर एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है।

खंड AB रेखा y=kx+c पर स्थित है, जहां , सी = आर।

चूँकि रेखा बिंदु A (0; r) से होकर गुजरती है।

इस प्रकार, सीधी रेखा https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> जैसी दिखती है

मान लीजिए a=0, b=H (H काटे गए शंकु की ऊंचाई है), फिर https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. गेंद का आयतन।

गेंद को x-अक्ष के चारों ओर केंद्र (0;0) वाले वृत्त को घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है। x-अक्ष के ऊपर स्थित अर्धवृत्त समीकरण द्वारा दिया गया है

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. क्रांति के निकायों की मात्रा। G. M. Fikhtengol'ts* की पाठ्यपुस्तक के अनुसार अध्याय XII, p°p° 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * p° 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. दीर्घवृत्त के घूर्णन द्वारा x-अक्ष के चारों ओर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस प्रकार,

530. साइनसॉइड y \u003d sin x के बिंदु X \u003d 0 से बिंदु X \u003d के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले एक शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

532. द्वारा गठित सतह क्षेत्र की गणना करें

क्षुद्रग्रह x3 -) - y* - a3 का x-अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. x-अक्ष के चारों ओर वक्र 18 y-x(6-x)r के लूप के व्युत्क्रमण द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

534. वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के x-अक्ष के चारों ओर घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह का पता लगाएं।

535. वृत्त के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें X = एक लागत, y = ऑक्स अक्ष के चारों ओर असिंट।

536. वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के अक्ष के चारों ओर लूप के घूमने से बनने वाले सतह के क्षेत्र की गणना करें।

537. वक्र x = e * sint, y = el अक्ष के चारों ओर चाप के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टी = 0 से टी = -।

538. दिखाएँ कि ओए अक्ष के चारों ओर चक्रज x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) के चाप के घूमने से उत्पन्न सतह 16 u2 o2 के बराबर है।

539. कार्डियोइड को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह का पता लगाएं।

540. लेमनिसकेट के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर।

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल

541. एक वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष ओह।

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

543. पहले चतुर्थांश में स्थित और वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिए

एल समन्वय अक्ष।

544. के भीतर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

546. लूप के अंदर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधे और वक्र

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें
एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करना?

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं, एक निश्चित अभिन्न की मदद से, आप आकृति के क्षेत्र, रोटेशन के शरीर की मात्रा, चाप की लंबाई की गणना कर सकते हैं, घूर्णन का सतह क्षेत्र, और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना कीजिए। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास;
- y-अक्ष के चारों ओर।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और आपको बताते हैं कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ-साथ क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। इतना बोनस भी नहीं जितना कि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

फेसला: क्षेत्र की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्र के साथ शुरू होता है. यही है, विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। चित्रों को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणऔर । यह एक चीनी अनुस्मारक है और मैं इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ ड्राइंग बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया जाता है, और यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमता है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक में कुछ निर्दिष्ट करना बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में, पूर्णांक से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा है।

एकीकरण "ए" और "बी" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। समतल आकृति ऊपर से परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: , इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

जवाब:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका सामना अक्सर व्यवहार में भी किया जाता है।

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

फेसलारेखाएँ

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा का अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस काटे गए शंकु के आयतन को इस रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में परिक्रमा करती है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी प्राप्त होगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

जवाब:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (एक अन्य) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति के अक्ष के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिण्ड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ ।

यह स्वयं का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, रेडीमेड इंटीग्रेशन लिमिट्स वास्तव में दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन को सही ढंग से बनाएं, मैं आपको पाठ की सामग्री के बारे में याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकृत करके, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों में मेरे शिक्षक ने मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे सभी को पढ़ने की सलाह देता हूं, यहां तक ​​कि पूर्ण डमी भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ की आत्मसात सामग्री दोहरे अभिन्नों की गणना में अमूल्य मदद होगी.

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए , , .

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले वाले को पहले पढ़ना सुनिश्चित करें!

फेसला: कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है, जो "अपनी तरफ है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिसे पाठ में माना गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, समाकल के अंतर्गत जड़ें, और समाकल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में कोई भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को उठाया।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें उलटा कार्यों में संक्रमण और अक्ष के साथ एकीकरण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास करें? मोटे तौर पर, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदला है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी: अक्ष के साथ एकीकरण सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेंगे:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

जवाब:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। पहले हमें व्युत्क्रम कार्यों पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्राओं के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है 4 शक्ति के लिए प्रारंभिक रूप से एकीकृत और बढ़ाने की तुलना में।

जवाब:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन का निकलेगा।

रेखाओं और अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए।

1) इनवर्स फंक्शन्स पर जाएँ और वेरिएबल के ऊपर इंटीग्रेट करके इन लाइनों से घिरे एक फ्लैट फिगर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं का उदाहरण है। जो लोग चाहते हैं वे "सामान्य" तरीके से आकृति का क्षेत्र भी पा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 का परीक्षण पूरा हो जाएगा)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में कार्य के दो प्रस्तावित मदों का संपूर्ण समाधान।

ओह, और रोटेशन निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

मैं चाहता था, यह पहले से ही, लेख को समाप्त करने के लिए था, लेकिन आज वे y- अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा को खोजने के लिए एक दिलचस्प उदाहरण लाए। ताज़ा:

वक्रों से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

फेसला: आइए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के रेखांकन से परिचित होते हैं। सम फलन का ऐसा रोचक आलेख....