त्रिभुजों की समानता के लक्षण

समान त्रिभुज वे होते हैं जिनकी संगत भुजाएँ बराबर होती हैं।

प्रमेय (त्रिभुजों की समानता के लिए पहला मानदंड)।
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय (त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड)।
यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः एक अन्य त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय (त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड)।
यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि कोण समान हों और समान भुजाएँ समानुपाती हों: , जहां समानता गुणांक है।

मैं त्रिकोणों की समानता का संकेत देता हूं।यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

त्रिभुजों की समानता का II चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के समानुपाती हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

त्रिभुजों की समानता का III चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

के लिए कार्य पासा संभावनासिक्का उछालने की समस्या से कम लोकप्रिय नहीं। इस तरह की समस्या की स्थिति आमतौर पर इस तरह लगती है: एक या एक से अधिक पासे (2 या 3) फेंकते समय, क्या संभावना है कि अंकों का योग 10 होगा, या अंकों की संख्या 4 होगी, या उत्पाद का गुणनफल अंकों की संख्या, या 2 से विभाज्य, अंकों की संख्या और आदि का गुणनफल।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने की मुख्य विधि शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का अनुप्रयोग है।

एक मरना, संभावना।

एक पासा के साथ स्थिति काफी सरल है। सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: P=m/n, जहां m घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, और n पासे या पासे को उछालने के प्रयोग के सभी समान रूप से संभव परिणामों की संख्या है।

समस्या 1. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। सम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

चूंकि पासा एक घन है (या इसे नियमित पासा भी कहा जाता है, घन सभी चेहरों पर समान संभावना के साथ गिरेगा, क्योंकि यह संतुलित है), पासे के 6 फलक हैं (1 से 6 तक अंकों की संख्या, जो आमतौर पर डॉट्स द्वारा इंगित किया जाता है), जिसका अर्थ है कि कार्य में परिणामों की कुल संख्या: n=6। घटना केवल उन परिणामों के पक्ष में है जिसमें ऐसे फलकों के घन के लिए 2,4 और 6 अंक वाला एक चेहरा गिर जाता है: एम = 3। अब हम एक पासे की वांछित प्रायिकता निर्धारित कर सकते हैं: P=3/6=1/2=0.5।

टास्क 2. एक पासा एक बार फेंका जाता है। कम से कम 5 अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

इस तरह की समस्या को ऊपर बताए गए उदाहरण के साथ सादृश्य द्वारा हल किया जाता है। एक पासा फेंकते समय, समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या है: n=6, और समस्या की स्थिति को संतुष्ट करें (कम से कम 5 अंक गिर गए, यानी 5 या 6 अंक गिर गए) केवल 2 परिणाम, जिसका अर्थ है मी = 2. इसके बाद, हम वांछित संभावना पाते हैं: P=2/6=1/3=0.333।

दो पासे, संभावना।

2 पासे फेंकने की समस्याओं को हल करते समय, एक विशेष स्कोर तालिका का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है। इस पर, पहले पासे पर गिरने वाले बिंदुओं की संख्या क्षैतिज रूप से प्लॉट की जाती है, और दूसरे पासे पर गिरने वाले बिंदुओं की संख्या लंबवत रूप से प्लॉट की जाती है। वर्कपीस इस तरह दिखता है:

लेकिन सवाल उठता है कि टेबल के खाली सेल में क्या होगा? यह हल किए जाने वाले कार्य पर निर्भर करता है। यदि कार्य अंकों के योग के बारे में है, तो वहां योग लिखा जाता है, और यदि अंतर के बारे में है, तो अंतर लिखा जाता है, और इसी तरह।

समस्या 3. एक ही समय में 2 पासे फेंके जाते हैं। 5 अंक से कम का योग प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

सबसे पहले आपको यह पता लगाना होगा कि प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या क्या होगी। एक पासे को फेंकते समय सब कुछ स्पष्ट था। पासे के 6 फलक - प्रयोग के 6 परिणाम। लेकिन जब पहले से ही दो पासे हैं, तो संभावित परिणामों को फॉर्म (x, y) के क्रमित जोड़े के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां x दिखाता है कि पहले पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक), और y - दूसरे पासे पर कितने अंक गिरे (1 से 6 तक)। कुल मिलाकर ऐसे संख्यात्मक जोड़े होंगे: n=6*6=36 (36 सेल परिणामों की तालिका में उनके अनुरूप हैं)।

अब आप तालिका भर सकते हैं, इसके लिए प्रत्येक कक्ष में पहले और दूसरे पासे पर गिरने वाले अंकों के योग की संख्या दर्ज की जाती है। पूर्ण तालिका इस तरह दिखती है:

तालिका के लिए धन्यवाद, हम उन परिणामों की संख्या निर्धारित करेंगे जो घटना के पक्ष में हैं "कुल 5 अंकों से कम हो जाती है"। आइए कोशिकाओं की संख्या गिनें, योग का मान जिसमें संख्या 5 से कम होगा (ये 2, 3 और 4 हैं)। सुविधा के लिए, हम ऐसी कोशिकाओं पर पेंट करते हैं, वे m = 6 होंगे:

तालिका डेटा को देखते हुए, पासा संभावनाबराबर: पी=6/36=1/6.

समस्या 4. दो पासे फेंके गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंकों की संख्या का गुणनफल 3 से विभाज्य होगा।

समस्या को हल करने के लिए, हम पहले और दूसरे पासे पर गिरने वाले अंकों के उत्पादों की एक तालिका बनाएंगे। इसमें, हम तुरंत उन संख्याओं का चयन करते हैं जो 3 के गुणज हैं:

हम प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या n=36 (तर्क पिछली समस्या के समान है) और अनुकूल परिणामों की संख्या (तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) m=20 लिखते हैं। किसी घटना की प्रायिकता है: P=20/36=5/9।

समस्या 5. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। क्या प्रायिकता है कि पहले और दूसरे पासे पर अंकों की संख्या का अंतर 2 और 5 के बीच होगा?

इरादा करना पासा संभावनाआइए स्कोर अंतर की तालिका लिखें और उसमें उन कक्षों का चयन करें, जिनमें अंतर का मान 2 और 5 के बीच होगा:

अनुकूल परिणामों की संख्या (तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) m=10 के बराबर है, समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या n=36 होगी। किसी घटना की प्रायिकता निर्धारित करता है: P=10/36=5/18।

एक साधारण घटना के मामले में और 2 पासे फेंकते समय, आपको एक तालिका बनाने की आवश्यकता होती है, फिर उसमें आवश्यक कोशिकाओं का चयन करें और उनकी संख्या को 36 से विभाजित करें, इसे एक संभावना माना जाएगा।

समस्या को हल करने के सिद्धांत की व्याख्या करें। एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 अंक से कम प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? और सबसे अच्छा जवाब मिला

डाइवर्जेंट से उत्तर [गुरु]
50 प्रतिशत
सिद्धांत अत्यंत सरल है। कुल परिणाम 6: 1,2,3,4,5,6
इनमें से तीन शर्त को पूरा करते हैं: 1,2,3, और तीन संतुष्ट नहीं हैं: 4,5,6। इसलिए, संभावना है 3/6=1/2=0.5=50%

उत्तर से मैं सुपरमैन हूँ[गुरु]
कुल छह विकल्प बाहर हो सकते हैं (1,2,3,4,5,6)
और इन विकल्पों में से 1, 2, और 3 चार से कम हैं
तो 6 में से 3 उत्तर
संभाव्यता की गणना करने के लिए, हम अनुकूल संरेखण को हर चीज से विभाजित करते हैं, अर्थात 3 से 6 \u003d 0.5 या 50%

उत्तर से यूरी डोवबीशो[सक्रिय]
50%
पासे पर संख्याओं की संख्या से 100% भाग दें,
और फिर प्राप्त प्रतिशत को उस राशि से गुणा करें जो आपको ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात 3 से)

उत्तर से इवान पैनिन[गुरु]
मैं निश्चित रूप से नहीं जानता, मैं जीआईए की तैयारी कर रहा हूं, लेकिन शिक्षक ने मुझे आज कुछ बताया, केवल कारों की संभावना के बारे में, क्योंकि मैं समझ गया था कि अनुपात अंश के रूप में दिखाया गया है, ऊपर से संख्या अनुकूल है , लेकिन नीचे से, मेरी राय में, यह आम तौर पर सामान्य है, ठीक है, हमारे पास इस तरह की कारों के बारे में था: टैक्सी कंपनी के पास वर्तमान में 3 काली, 3 पीली और 14 हरी कारें उपलब्ध हैं। कारों में से एक ग्राहक के लिए रवाना हुई। एक पीली टैक्सी के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। तो, 3 पीली टैक्सियाँ हैं और कारों की कुल संख्या में से उनमें से 3 हैं, यह पता चला है कि हम अंश के ऊपर 3 लिखते हैं, क्योंकि यह कारों की एक अनुकूल संख्या है, और हम नीचे 20 लिखते हैं , क्योंकि टैक्सी बेड़े में 20 कारें हैं, इसलिए हमें प्रायिकता 3 से 20 या 3/20 अंश मिलते हैं, ठीक है, मैंने इसे इस तरह समझा .... हड्डियों के लिए, मैं निश्चित रूप से नहीं जानता, लेकिन शायद इसने किसी तरह मदद की ...

उत्तर से 3 उत्तर[गुरु]

अरे! यहां आपके प्रश्न के उत्तर के साथ विषयों का चयन किया गया है: समस्या को हल करने के सिद्धांत की व्याख्या करें। एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 अंक से कम प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)

ओलेआ, डेनिस, वाइटा, अर्तुर और रीटा ने बहुत सारे कास्ट किए - किसे खेल शुरू करना चाहिए। रीता के खेल शुरू करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला

कुल मिलाकर, 5 लोग खेल शुरू कर सकते हैं।

उत्तर : 0.2.

समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)

मीशा की जेब में चार मिठाइयाँ थीं - ग्रिलेज, मास्क, गिलहरी और लिटिल रेड राइडिंग हूड, साथ ही अपार्टमेंट की चाबी भी। चाबियां निकालते हुए मिशा ने गलती से एक कैंडी गिरा दी। कैंडी "मास्क" के खो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला

कुल 4 विकल्प हैं।

संभावना है कि मिशा ने "मास्क" कैंडी गिरा दी है

उत्तर: 0.25।

समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)

एक पासा (पासा) को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि लुढ़की हुई संख्या 3 से कम न हो?

फेसला

कुल मिलाकर, पासे पर अंक छोड़ने के लिए 6 अलग-अलग विकल्प हैं।

अंकों की संख्या, 3 से कम नहीं, हो सकती है: 3,4,5,6 - यानी 4 विकल्प।

तो संभावना है पी = 4/6 = 2/3।

उत्तर: 2/3।

समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)

दादी ने अपने पोते इलुशा को सड़क के लिए कुछ बेतरतीब ढंग से चुने गए फल देने का फैसला किया। उसके पास 3 हरे सेब, 3 हरे नाशपाती और 2 पीले केले थे। इलुषा को अपनी दादी से हरा फल मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला

3+3+2 = 8 - कुल फल। इनमें से हरा - 6 (3 सेब और 3 नाशपाती)।

तब इलुषा को अपनी दादी से हरा फल मिलने की प्रायिकता है

पी=6/8=3/4=0.75.

उत्तर: 0.75।

समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। 3 से बड़ी संख्या के दोनों बार लुढ़कने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला

6 * 6 = 36 - एक पासे की दो बार उछालने के दौरान गिरने वाली संख्याओं की कुल संख्या।

हमारे पास इसके लिए विकल्प हैं:

कुल 9 विकल्प हैं।

अतः दोनों बार 3 से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है

पी = 9/36 = 1/4 = 0.25।

उत्तर: 0.25।

समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)

एक पासे (पासा) को 2 बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 3 से बड़ी संख्या को एक बार और 3 से छोटी संख्या को दूसरी बार घुमाया जाता है।

फेसला

कुल विकल्प: 6 * 6 = 36।

हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं: