न्यूनतम वर्ग विधि (एलएसएम) अध्ययन के तहत डेटा से चयनित फ़ंक्शन के वर्ग विचलन के योग को कम करने पर आधारित है। इस लेख में, हम एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करके उपलब्ध डेटा का अनुमान लगाते हैंआप = ए एक्स + बी .

कम से कम वर्ग विधि(अंग्रेज़ी) साधारण कम से कम वर्गों , ओएलएस) अज्ञात मापदंडों के आकलन के संदर्भ में प्रतिगमन विश्लेषण के बुनियादी तरीकों में से एक है प्रतिगमन मॉडलनमूना डेटा के अनुसार।

केवल एक चर के आधार पर कार्यों द्वारा सन्निकटन पर विचार करें:

• रैखिक: y=ax+b (यह लेख)
• : y=a*Ln(x)+b
• : वाई = ए * एक्स एम
• : y=a*EXP(b*x)+c
• : y=कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी

टिप्पणी: इस लेख में तीसरी से छठी डिग्री तक बहुपद द्वारा सन्निकटन के मामलों पर विचार किया गया है। एक त्रिकोणमितीय बहुपद द्वारा सन्निकटन यहाँ माना जाता है।

रैखिक निर्भरता

हम 2 चरों के संबंध में रुचि रखते हैं एक्सऔर आप. एक धारणा है कि आपपर निर्भर करता है एक्सरैखिक नियम के अनुसार आप = कुल्हाड़ी + बी. इस संबंध के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, शोधकर्ता ने अवलोकन किए: x i के प्रत्येक मान के लिए, y i का माप किया गया था (उदाहरण फ़ाइल देखें)। तदनुसार, मान के 20 जोड़े हों (х i ; y i)।

टिप्पणी:यदि परिवर्तन कदम एक्स स्थिर है, तो निर्माण करने के लिए तितर बितर भूखंडोंउपयोग किया जा सकता है, यदि नहीं, तो आपको चार्ट प्रकार का उपयोग करने की आवश्यकता है छितराया हुआ .

आरेख से स्पष्ट है कि चरों के बीच संबंध रैखिक के निकट है। यह समझने के लिए कि कौन सी सीधी रेखाएँ चरों के बीच संबंध का सबसे अधिक "सही" वर्णन करती हैं, उस मानदंड को निर्धारित करना आवश्यक है जिसके द्वारा रेखाओं की तुलना की जाएगी।

इस तरह के मानदंड के रूप में, हम अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं:

कहाँ पे ŷ मैं = ए * एक्स मैं + बी ; n - मानों के जोड़े की संख्या (हमारे मामले में n=20)

उपरोक्त व्यंजक y i और i के प्रेक्षित मानों के बीच की चुकता दूरी का योग है और इसे अक्सर SSE के रूप में दर्शाया जाता है ( जोड़ का वर्ग त्रुटियाँ (बच गया), चुकता त्रुटियों का योग (अवशिष्ट)) .

कम से कम वर्ग विधिऐसी लाइन का चयन करना है ŷ = कुल्हाड़ी + बी, जिसके लिए उपरोक्त व्यंजक न्यूनतम मान लेता है।

टिप्पणी:द्वि-आयामी अंतरिक्ष में कोई भी रेखा विशिष्ट रूप से 2 मापदंडों के मूल्यों से निर्धारित होती है: ए (ढलान) और बी (खिसक जाना)।

यह माना जाता है कि वर्ग दूरी का योग जितना छोटा होगा, उतनी ही बेहतर संगत रेखा उपलब्ध डेटा का अनुमान लगाती है और आगे चर x से y के मानों की भविष्यवाणी करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि भले ही वास्तव में चरों के बीच कोई संबंध नहीं है या संबंध अरेखीय है, फिर भी सबसे छोटा वर्ग "सर्वश्रेष्ठ" रेखा का चयन करेगा। इस प्रकार, एलएसएम चर के वास्तविक संबंध की उपस्थिति के बारे में कुछ नहीं कहता है, विधि बस आपको ऐसे फ़ंक्शन पैरामीटर चुनने की अनुमति देती है ए और बी , जिसके लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति न्यूनतम है।

बहुत जटिल गणितीय संक्रियाओं को न करने के बाद (अधिक विवरण के लिए देखें), आप मापदंडों की गणना कर सकते हैं ए और बी :

जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, पैरामीटर ए सहप्रसरण का अनुपात है और , इसलिए MS EXCEL में पैरामीटर की गणना करने के लिए ए आप निम्न सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं (देखें उदाहरण फ़ाइल शीट रैखिक):

= COVAR(B26:B45;C26:C45)/VAR.G(B26:B45)या

= COVARIATION.B(B26:B45;C26:C45)/VAR.B(B26:B45)

पैरामीटर की गणना करने के लिए भी ए आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं = ढलान (C26:C45;B26:B45). पैरामीटर के लिए बी सूत्र का प्रयोग करें = इंटरकट (C26:C45;B26:B45) .

और अंत में, LINEST() फ़ंक्शन आपको एक ही बार में दोनों मापदंडों की गणना करने की अनुमति देता है। सूत्र दर्ज करने के लिए लाइनस्ट (C26:C45;B26:B45)एक पंक्ति में 2 सेल चुनें और दबाएं CTRL + खिसक जाना + प्रवेश(के बारे में लेख देखें)। बायाँ सेल मान लौटाएगा ए , दायीं तरफ बी .

टिप्पणी: इनपुट के साथ खिलवाड़ नहीं करने के लिए सरणी सूत्रआपको अतिरिक्त रूप से INDEX() फ़ंक्शन का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। सूत्र = इंडेक्स (लाइनस्ट (सी 26: सी 45, बी 26: बी 45), 1)या बस = लाइनस्ट (C26:C45;B26:B45)लाइन के ढलान के लिए जिम्मेदार पैरामीटर लौटाएगा, यानी। ए . सूत्र = इंडेक्स (लाइनस्ट (सी 26: सी 45, बी 26: बी 45), 2)वाई अक्ष के साथ लाइन के चौराहे के लिए जिम्मेदार पैरामीटर वापस कर देगा, यानी। बी .

मापदंडों की गणना के बाद, स्कैटर प्लॉटरेखा खींची जा सकती है।

कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके सीधी रेखा खींचने का दूसरा तरीका चार्ट टूल है प्रवृत्ति रेखा. ऐसा करने के लिए, आरेख का चयन करें, मेनू से चयन करें लेआउट टैब, में समूह विश्लेषणक्लिक प्रवृत्ति रेखा, तब रैखिक सन्निकटन .

संवाद बॉक्स में "आरेख में समीकरण दिखाएं" बॉक्स को चेक करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि ऊपर पाए गए पैरामीटर आरेख में मानों से मेल खाते हैं।

टिप्पणी: पैरामीटर मिलान करने के लिए, चार्ट प्रकार होना चाहिए। तथ्य यह है कि आरेख का निर्माण करते समय अनुसूचीएक्स-अक्ष मान उपयोगकर्ता द्वारा सेट नहीं किया जा सकता है (उपयोगकर्ता केवल उन लेबलों को निर्दिष्ट कर सकता है जो बिंदुओं के स्थान को प्रभावित नहीं करते हैं)। X मानों के बजाय, अनुक्रम 1 का उपयोग किया जाता है; 2; 3; ... (श्रेणी क्रमांकन के लिए)। इसलिए, यदि भवन प्रवृत्ति रेखाप्रकार आरेख पर अनुसूची, तो एक्स के वास्तविक मूल्यों के बजाय इस अनुक्रम के मूल्यों का उपयोग किया जाएगा, जिससे गलत परिणाम होगा (जब तक कि निश्चित रूप से, एक्स के वास्तविक मान अनुक्रम 1 से मेल नहीं खाते; 2 ; 3; ...)

खैर, काम पर उन्होंने निरीक्षण की सूचना दी, लेख सम्मेलन के लिए घर पर लिखा गया था - अब आप ब्लॉग में लिख सकते हैं। जब मैं अपना डेटा संसाधित कर रहा था, मुझे एहसास हुआ कि मैं मदद नहीं कर सकता लेकिन एक्सेल में एक बहुत ही शांत और आवश्यक ऐड-इन के बारे में लिख सकता हूं, जिसे . तो लेख इस विशेष ऐड-इन के लिए समर्पित होगा, और मैं आपको इसके बारे में उपयोग करने के एक उदाहरण का उपयोग करके बताऊंगा कम से कम वर्ग विधि(एलएसएम) प्रयोगात्मक डेटा के विवरण में समीकरण के अज्ञात गुणांक की खोज करने के लिए।

ऐड-ऑन "समाधान की खोज" को कैसे सक्षम करें

सबसे पहले, आइए जानें कि इस ऐड-ऑन को कैसे सक्षम किया जाए।

1. "फ़ाइल" मेनू पर जाएं और "एक्सेल विकल्प" चुनें

2. दिखाई देने वाली विंडो में, "समाधान खोजें" चुनें और "जाओ" पर क्लिक करें।

3. अगली विंडो में, "समाधान की खोज करें" आइटम के सामने एक चेकमार्क लगाएं और "ओके" पर क्लिक करें।

4. ऐड-इन सक्रिय है - अब इसे "डेटा" मेनू आइटम में पाया जा सकता है।

कम से कम वर्ग विधि

अब संक्षेप में कम से कम वर्ग विधि (LSM) और जहां इसे लागू किया जा सकता है।

मान लें कि हमारे पास कुछ प्रयोग करने के बाद डेटा सेट है जहां हमने वाई मान पर एक्स मान के प्रभावों का अध्ययन किया है।

हम इस प्रभाव का गणितीय रूप से वर्णन करना चाहते हैं, ताकि बाद में हम इस सूत्र का उपयोग कर सकें और जान सकें कि यदि हम X के मान को इतना बदल दें, तो हमें Y का मान ऐसा और ऐसा मिल जाएगा ...

आइए एक सुपर-सरल उदाहरण लें (चित्र देखें)।

कोई दिमाग नहीं है कि बिंदु एक के बाद एक सीधी रेखा में स्थित हैं, और इसलिए हम सुरक्षित रूप से मानते हैं कि हमारी निर्भरता एक रैखिक फ़ंक्शन y=kx+b द्वारा वर्णित है। साथ ही हमें यकीन है कि जब X शून्य के बराबर होता है, तो Y का मान भी शून्य के बराबर होता है. इसका मतलब है कि निर्भरता का वर्णन करने वाला कार्य और भी सरल होगा: y=kx (स्कूल पाठ्यक्रम याद रखें)।

सामान्य तौर पर, हमें गुणांक k ज्ञात करना होता है। यही हम साथ करेंगे बहुराष्ट्रीय कंपनी "समाधान की खोज" ऐड-ऑन का उपयोग करना।

विधि है (यहां - ध्यान: आपको इसके बारे में सोचने की ज़रूरत है) प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त और संबंधित गणना मूल्यों के बीच वर्ग अंतर का योग न्यूनतम था। यानी, जब X1=1 वास्तविक मापा मान Y1=4.6, और परिकलित y1=f (x1) 4 है, तो अंतर का वर्ग होगा (y1-Y1)^2=(4-4.6)^2= 0.36। निम्नलिखित के साथ ही: जब X2=2, वास्तविक मापा मान Y2=8.1, और परिकलित y2 8 है, तो अंतर का वर्ग (y2-Y2)^2=(8-8.1)^2=0.01 होगा। और इन सभी वर्गों का योग जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए।

तो, आइए एलएसएम के उपयोग पर प्रशिक्षण शुरू करें और एक्सेल ऐड-इन्स "समाधान के लिए खोजें" .

ऐड-इन फाइंड सॉल्यूशन का अनुप्रयोग

1. यदि आपने "समाधान की खोज" ऐड-ऑन सक्षम नहीं किया है, तो चरण पर वापस लौटें ऐड-ऑन "समाधान की खोज" को कैसे सक्षम करें और सक्षम करें 🙂

2. सेल A1 में, "1" मान दर्ज करें। यह इकाई हमारी कार्यात्मक निर्भरता y=kx के गुणांक (k) के वास्तविक मान का पहला सन्निकटन होगी।

3. कॉलम बी में हमारे पास पैरामीटर एक्स के मान हैं, कॉलम सी में - पैरामीटर वाई के मान। कॉलम डी की कोशिकाओं में हम सूत्र दर्ज करते हैं: "फैक्टर के एक्स के मूल्य का गुणा"। उदाहरण के लिए, सेल D1 में, सेल D2 में "=A1*B1" दर्ज करें, "=A1*B2" दर्ज करें, और इसी तरह।

4. हम मानते हैं कि गुणांक k एक के बराबर है और फलन f (x) \u003d y \u003d 1 * x हमारे समाधान का पहला सन्निकटन है। हम Y के मापा मानों और सूत्र y=1*x का उपयोग करके गणना किए गए मानों के बीच वर्ग अंतर के योग की गणना कर सकते हैं। हम यह सब मैन्युअल रूप से सूत्र में उपयुक्त सेल संदर्भ चलाकर कर सकते हैं: "=(D2-C2)^2+(D3-C3)^2+(D4-C4)^2... आदि। अंत में हम गलत हैं और समझते हैं कि हमने बहुत समय खो दिया है। एक्सेल में, वर्ग अंतरों के योग की गणना के लिए, एक विशेष सूत्र है, "SUMQDIFF", जो हमारे लिए सब कुछ करेगा। इसे सेल A2 में दर्ज करें और सेट करें प्रारंभिक डेटा: मापा मूल्यों की सीमा वाई (स्तंभ सी) और परिकलित वाई मूल्यों की सीमा (स्तंभ डी)।

4. वर्गों के अंतर के योग की गणना की गई - अब "डेटा" टैब पर जाएं और "समाधान के लिए खोजें" चुनें।

5. दिखाई देने वाले मेनू में, सेल A1 को बदलने के लिए सेल के रूप में चुनें (एक गुणांक k वाला)।

6. लक्ष्य के रूप में, सेल A2 का चयन करें और "न्यूनतम मान के बराबर सेट करें" शर्त सेट करें। याद रखें कि यह वह सेल है जहां हम परिकलित और मापे गए मानों के बीच के वर्ग अंतर के योग की गणना करते हैं, और यह राशि न्यूनतम होनी चाहिए। हम "निष्पादित" दबाते हैं।

7. गुणांक k का चयन किया जाता है। अब यह देखा जा सकता है कि परिकलित मान अब मापे गए मान के बहुत करीब हैं।

पी.एस.

सामान्य तौर पर, निश्चित रूप से, एक्सेल में प्रायोगिक डेटा के सन्निकटन के लिए, विशेष उपकरण हैं जो आपको एक रैखिक, घातीय, शक्ति और बहुपद फ़ंक्शन का उपयोग करके डेटा का वर्णन करने की अनुमति देते हैं, इसलिए आप अक्सर बिना कर सकते हैं ऐड-ऑन "समाधान के लिए खोजें". मैंने अपने लेख में सन्निकटन के इन सभी तरीकों के बारे में बात की है, इसलिए यदि आप रुचि रखते हैं, तो एक नज़र डालें। लेकिन जब बात किसी विदेशी समारोह की आती है एक अज्ञात गुणांक के साथया अनुकूलन समस्याएं, तो यहाँ सुपरस्ट्रक्चरजितना मुमकिन हो।

ऐड-इन "समाधान की खोज करें"अन्य कार्यों के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, मुख्य बात सार को समझना है: एक सेल है जहां हम एक मूल्य का चयन करते हैं, और एक लक्ष्य सेल है जिसमें एक अज्ञात पैरामीटर का चयन करने के लिए एक शर्त निर्धारित की जाती है।
बस इतना ही! अगले लेख में मैं एक छुट्टी के बारे में एक परी कथा बताऊंगा, ताकि लेख के विमोचन को याद न किया जा सके,

4.1. अंतर्निहित कार्यों का उपयोग करना

हिसाब प्रतिगमन गुणांकफ़ंक्शन का उपयोग करके किया गया

लाइनस्ट(Values_y; मान_x; कॉन्स्टो; आंकड़े),

Values_y- y मानों की सरणी,

मान_x- मूल्यों की वैकल्पिक सरणी एक्सअगर सरणी एक्सछोड़े गए, यह माना जाता है कि यह एक समान आकार की एक सरणी (1;2;3;...) है Values_y,

कॉन्स्टो- एक बूलियन मान जो इंगित करता है कि क्या स्थिरांक की आवश्यकता है बी 0 के बराबर था। अगर कॉन्स्टोअर्थ है सचया छोड़ा गया, तो बीसामान्य तरीके से गणना की जाती है। अगर तर्क कॉन्स्टो FALSE है, तो बी 0 माना जाता है और मान एइसलिए चुना जाता है कि संबंध वाई = कुल्हाड़ी।

आंकड़े- एक बूलियन मान जो इंगित करता है कि अतिरिक्त प्रतिगमन आँकड़े वापस करने की आवश्यकता है या नहीं। अगर तर्क आंकड़ेअर्थ है सच, फिर समारोह लाइनस्टअतिरिक्त प्रतिगमन आँकड़े देता है। अगर तर्क आंकड़ेअर्थ है झूठाया छोड़ा गया, फिर फ़ंक्शन लाइनस्टकेवल गुणांक देता है एऔर स्थायी बी.

यह याद रखना चाहिए कि कार्यों का परिणाम लाइनस्ट ()मूल्यों का एक सेट है - एक सरणी।

गणना के लिए सहसंबंध गुणांकफ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है

कोरेली(सरणी1;Array2),

सहसंबंध गुणांक का मान लौटाना, जहाँ सरणी1- मूल्यों की सरणी आप, Array2- मूल्यों की सरणी एक्स. सरणी1और Array2एक ही आकार होना चाहिए।

उदाहरण 1. लत आप(एक्स) तालिका में प्रस्तुत किया गया है। निर्माण बढतीरेखाऔर गणना करें सहसंबंध गुणांक.

आप		0.5		1.5		2.5		3.5
एक्स		2.39	2.81	3.25	3.75	4.11	4.45	4.85	5.25

आइए एमएस एक्सेल शीट में मूल्यों की एक तालिका दर्ज करें और एक स्कैटर प्लॉट बनाएं। वर्कशीट अंजीर में दिखाया गया फॉर्म लेगा। 2.

प्रतिगमन गुणांक के मूल्यों की गणना करने के लिए एऔर बीसेल चुनें ए7:बी7,आइए फ़ंक्शन विज़ार्ड और श्रेणी में मुड़ें सांख्यिकीयएक समारोह चुनें लाइनस्ट. जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, डायलॉग बॉक्स भरें। 3 और दबाएं ठीक है.

परिणामस्वरूप, परिकलित मान केवल सेल में दिखाई देगा ए6(चित्र 4)। सेल में किसी मान के प्रकट होने के लिए बी -6आपको संपादन मोड दर्ज करना होगा (कुंजी F2)और फिर कुंजी संयोजन दबाएं CTRL+SHIFT+ENTER.

प्रति सेल सहसंबंध गुणांक के मान की गणना करने के लिए सी 6निम्नलिखित सूत्र पेश किया गया था:

C7=CORREL(B3:J3;B2:J2).

प्रतिगमन गुणांक जानना एऔर बीफ़ंक्शन के मानों की गणना करें आप=कुल्हाड़ी+बीमाफ़ कर दिया एक्स. ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का परिचय देते हैं

B5=$A$7*B2+$B$7

और इसे सीमा में कॉपी करें 5:जे5(चित्र 5)।

आइए आरेख पर प्रतिगमन रेखा को प्लॉट करें। चार्ट पर प्रयोगात्मक बिंदुओं का चयन करें, राइट-क्लिक करें और कमांड का चयन करें आरंभिक डेटा. दिखाई देने वाले डायलॉग बॉक्स में (चित्र 5), टैब चुनें पंक्तिऔर बटन पर क्लिक करें जोड़ें. इनपुट फ़ील्ड भरें, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 6 और बटन दबाएं ठीक है. प्रायोगिक डेटा प्लॉट में एक प्रतिगमन रेखा जोड़ी जाएगी। डिफ़ॉल्ट रूप से, इसका ग्राफ़ उन बिंदुओं के रूप में प्रदर्शित होगा जो चौरसाई लाइनों से जुड़े नहीं हैं।

प्रतीपगमन रेखा का स्वरूप बदलने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें। लाइन ग्राफ को दर्शाने वाले बिंदुओं पर राइट-क्लिक करें, कमांड चुनें चार्ट प्रकारऔर स्कैटर प्लॉट का प्रकार सेट करें, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 7.

लाइन के प्रकार, रंग और मोटाई को निम्नानुसार बदला जा सकता है। आरेख पर रेखा का चयन करें, दायां माउस बटन दबाएं और संदर्भ मेनू में कमांड का चयन करें डेटा श्रृंखला प्रारूप…अगला, सेटिंग्स बनाएं, उदाहरण के लिए, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। आठ।

सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें एक ग्राफिक क्षेत्र में प्रयोगात्मक डेटा और एक प्रतिगमन रेखा का एक ग्राफ मिलता है (चित्र 9)।

4.2. एक ट्रेंड लाइन का उपयोग करना।

एमएस एक्सेल में विभिन्न अनुमानित निर्भरताओं का निर्माण चार्ट संपत्ति के रूप में कार्यान्वित किया जाता है - प्रवृत्ति रेखा.

उदाहरण 2. प्रयोग के परिणामस्वरूप, कुछ सारणीबद्ध निर्भरता निर्धारित की गई थी।

0.15	0.16	0.17	0.18	0.19	0.20
4.4817	4.4930	5.4739	6.0496	6.6859	7.3891

एक अनुमानित निर्भरता का चयन करें और उसका निर्माण करें। सारणीबद्ध और सज्जित विश्लेषणात्मक निर्भरता के रेखांकन बनाएँ।

समस्या के समाधान को निम्नलिखित चरणों में विभाजित किया जा सकता है: प्रारंभिक डेटा का इनपुट, स्कैटर प्लॉट का निर्माण और इस प्लॉट में एक ट्रेंड लाइन का जोड़।

आइए इस प्रक्रिया पर विस्तार से विचार करें। आइए प्रारंभिक डेटा को वर्कशीट में दर्ज करें और प्रयोगात्मक डेटा को प्लॉट करें। इसके बाद, चार्ट पर प्रयोगात्मक बिंदुओं का चयन करें, राइट-क्लिक करें और कमांड का उपयोग करें जोड़ेंमैं प्रवृत्ति रेखा(चित्र 10)।

प्रकट होने वाला संवाद बॉक्स आपको एक अनुमानित निर्भरता बनाने की अनुमति देता है।

इस विंडो का पहला टैब (चित्र 11) अनुमानित निर्भरता के प्रकार को दर्शाता है।

दूसरा (चित्र 12) निर्माण मापदंडों को परिभाषित करता है:

अनुमानित निर्भरता का नाम;

पूर्वानुमान आगे (पिछड़ा) चालू एनइकाइयाँ (यह पैरामीटर निर्धारित करता है कि ट्रेंड लाइन का विस्तार करने के लिए कितनी इकाइयाँ आगे (पीछे) आवश्यक हैं);

क्या रेखा के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु को दिखाना है वाई = स्थिरांक;

आरेख पर सन्निकटन फलन दिखाना है या नहीं (आरेख पैरामीटर पर समीकरण दिखाएं);

मानक विचलन का मान आरेख पर रखना है या नहीं (पैरामीटर आरेख पर सन्निकटन विश्वसनीयता का मान रखता है)।

आइए हम दूसरी डिग्री के एक बहुपद को एक सन्निकटन निर्भरता के रूप में चुनें (चित्र 11) और ग्राफ पर इस बहुपद का वर्णन करने वाला एक समीकरण प्राप्त करें (चित्र 12)। परिणामी आरेख अंजीर में दिखाया गया है। तेरह।

इसी तरह, के साथ प्रवृत्ति रेखाएंआप इस तरह की निर्भरता के मापदंडों को चुन सकते हैं:

रैखिक आप=अक्स+बी,

लघुगणक आप=एक ln(एक्स)+बी,

घातीय आप=असेब,

शक्ति आप=एक एक्स बी,

बहुपद आप=अक्स 2 +बक्स+सी, आप=अक्स 3 +बक्स 2 +c∙x+dऔर इसी तरह, 6 ठी डिग्री बहुपद तक और सहित,

रैखिक फ़िल्टरिंग।

4.3. विकल्प टूल के विश्लेषण का उपयोग करना: समाधान खोजना।

एमएस एक्सेल में विकल्प विश्लेषण उपकरण का उपयोग करके कम से कम वर्ग विधि द्वारा कार्यात्मक निर्भरता के मापदंडों के चयन के कार्यान्वयन में काफी रुचि है: समाधान के लिए खोजें। यह तकनीक आपको किसी भी प्रकार के फ़ंक्शन के पैरामीटर चुनने की अनुमति देती है। आइए निम्नलिखित समस्या के उदाहरण पर इस संभावना पर विचार करें।

उदाहरण 3. प्रयोग के परिणामस्वरूप, तालिका में प्रस्तुत निर्भरता z(t)

0,66	0,9	1,17	1,47	1,7	1,74	2,08	2,63	3,12
38,9	68,8	64,4	66,5	64,95	59,36	82,6	90,63	113,5

निर्भरता गुणांक चुनें जेड (टी) = 4 + बीटी 3 + सीटी 2 + डीटी + के . परकम से कम वर्ग विधि द्वारा।

यह समस्या पाँच चरों के एक फलन का न्यूनतम ज्ञात करने की समस्या के तुल्य है

अनुकूलन समस्या को हल करने की प्रक्रिया पर विचार करें (चित्र 14)।

मान दें लेकिन, पर, साथ में, डीऔर सेवाकोशिकाओं में संग्रहित ए7:ई7. फ़ंक्शन के सैद्धांतिक मूल्यों की गणना करें जेड(टी)=एटी4+बीटी3+सीटी2+डीटी+केमाफ़ कर दिया टी(बी2:जे2). ऐसा करने के लिए, सेल में बी 4पहले बिंदु पर फ़ंक्शन का मान दर्ज करें (सेल .) बी2):

B4=$A$7*B2^4+$B$7*B2^3+$C$7*B2^2+$D$7*B2+$E$7.

इस फॉर्मूले को रेंज में कॉपी करें 4:जे4और उन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का अपेक्षित मान प्राप्त करें, जिनमें से एब्सिसास कोशिकाओं में जमा हो जाते हैं बी2:जे2.

सेल के लिए बी5हम एक सूत्र पेश करते हैं जो प्रयोगात्मक और परिकलित बिंदुओं के बीच के अंतर के वर्ग की गणना करता है:

बी5=(बी4-बी3)^2,

और इसे सीमा में कॉपी करें 5:जे5. एक सेल में F7हम कुल द्विघात त्रुटि (10) को संग्रहीत करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र पेश करते हैं:

F7 = SUM (B5:J5).

आइए कमांड का उपयोग करें Service®समाधान के लिए खोजेंऔर बाधाओं के बिना अनुकूलन समस्या को हल करें। अंजीर में दिखाए गए डायलॉग बॉक्स में उपयुक्त इनपुट फ़ील्ड भरें। 14 और बटन दबाएं Daud. यदि कोई समाधान मिल जाता है, तो अंजीर में दिखाई गई खिड़की। पंद्रह।

निर्णय ब्लॉक का परिणाम कोशिकाओं के लिए आउटपुट होगा ए7:ई7पैरामीटर मानकार्यों जेड(टी)=एटी4+बीटी3+सीटी2+डीटी+के. कोशिकाओं में बी4:जे4हम पाते हैं अपेक्षित फ़ंक्शन मानशुरुआती बिंदुओं पर। एक सेल में F7रखा जाएगा कुल चुकता त्रुटि.

यदि आप श्रेणी का चयन करते हैं तो आप एक ही ग्राफिक क्षेत्र में प्रयोगात्मक बिंदुओं और फिट की गई रेखा को प्रदर्शित कर सकते हैं बी2:जे4, बुलाना चार्ट विज़ार्ड, और फिर परिणामी ग्राफ़ के स्वरूप को स्वरूपित करें।

चावल। 17 गणना करने के बाद एमएस एक्सेल वर्कशीट प्रदर्शित करता है।

जो विज्ञान और अभ्यास के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक आवेदन पाता है। यह भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान आदि हो सकता है। भाग्य की इच्छा से, मुझे अक्सर अर्थव्यवस्था से निपटना पड़ता है, और इसलिए आज मैं आपके लिए एक अद्भुत देश के टिकट की व्यवस्था करूंगा जिसे कहा जाता है अर्थमिति=) ... आप ऐसा कैसे नहीं चाहते?! यह वहां बहुत अच्छा है - आपको बस फैसला करना है! ...लेकिन आप जो निश्चित रूप से चाहते हैं वह यह है कि समस्याओं को हल करना सीखना है कम से कम वर्गों. और विशेष रूप से मेहनती पाठक उन्हें न केवल सटीक रूप से हल करना सीखेंगे, बल्कि बहुत तेज़ ;-) लेकिन पहले समस्या का सामान्य विवरण+ संबंधित उदाहरण:

कुछ विषय क्षेत्र में संकेतकों का अध्ययन करने दें जिनकी मात्रात्मक अभिव्यक्ति है। साथ ही, यह मानने का हर कारण है कि संकेतक संकेतक पर निर्भर करता है। यह धारणा वैज्ञानिक परिकल्पना और प्राथमिक सामान्य ज्ञान दोनों पर आधारित हो सकती है। आइए विज्ञान को एक तरफ छोड़ दें, और अधिक स्वादिष्ट क्षेत्रों का पता लगाएं - अर्थात्, किराना स्टोर। द्वारा निरूपित करें:

- किराने की दुकान का खुदरा स्थान, वर्गमीटर,
- किराने की दुकान का वार्षिक कारोबार, मिलियन रूबल।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि स्टोर का क्षेत्रफल जितना बड़ा होगा, ज्यादातर मामलों में उसका कारोबार उतना ही अधिक होगा।

मान लीजिए कि एक डफ के साथ अवलोकन / प्रयोग / गणना / नृत्य करने के बाद, हमारे पास हमारे निपटान में संख्यात्मक डेटा है:

किराने की दुकानों के साथ, मुझे लगता है कि सब कुछ स्पष्ट है: - यह पहली दुकान का क्षेत्र है, - इसका वार्षिक कारोबार, - दूसरे स्टोर का क्षेत्र, - इसका वार्षिक कारोबार, आदि। वैसे, वर्गीकृत सामग्रियों तक पहुंच होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - इसका उपयोग करके टर्नओवर का काफी सटीक मूल्यांकन प्राप्त किया जा सकता है गणितीय सांख्यिकी. हालांकि, विचलित न हों, वाणिज्यिक जासूसी का कोर्स पहले ही भुगतान किया जा चुका है =)

सारणीबद्ध डेटा को बिंदुओं के रूप में भी लिखा जा सकता है और हमारे लिए सामान्य तरीके से दर्शाया जा सकता है। कार्तीय प्रणाली .

आइए एक महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर दें: गुणात्मक अध्ययन के लिए कितने अंक चाहिए?

जितना बड़ा उतना अच्छा। न्यूनतम स्वीकार्य सेट में 5-6 अंक होते हैं। इसके अलावा, डेटा की एक छोटी मात्रा के साथ, "असामान्य" परिणामों को नमूने में शामिल नहीं किया जाना चाहिए। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक छोटा संभ्रांत स्टोर "उनके सहयोगियों" से अधिक परिमाण के आदेशों में मदद कर सकता है, जिससे सामान्य पैटर्न को विकृत करने की आवश्यकता होती है!

यदि यह काफी सरल है, तो हमें एक फ़ंक्शन चुनना होगा, अनुसूचीजो जितना संभव हो उतना करीब से गुजरता है . इस तरह के एक समारोह कहा जाता है अनुमान करने वाले (सन्निकटन - सन्निकटन)या सैद्धांतिक कार्य . सामान्यतया, यहाँ तुरंत एक स्पष्ट "दिखावा" दिखाई देता है - उच्च डिग्री का एक बहुपद, जिसका ग्राफ सभी बिंदुओं से होकर गुजरता है। लेकिन यह विकल्प जटिल है, और अक्सर बस गलत है। (क्योंकि चार्ट हर समय "हवा" देगा और मुख्य प्रवृत्ति को खराब रूप से प्रतिबिंबित करेगा).

इस प्रकार, वांछित कार्य पर्याप्त रूप से सरल होना चाहिए और साथ ही साथ निर्भरता को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करना चाहिए। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, ऐसे कार्यों को खोजने के तरीकों में से एक को कहा जाता है कम से कम वर्गों. सबसे पहले, आइए इसके सार का सामान्य तरीके से विश्लेषण करें। कुछ फ़ंक्शन को प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान लगाने दें:


इस सन्निकटन की सटीकता का मूल्यांकन कैसे करें? आइए हम प्रयोगात्मक और कार्यात्मक मूल्यों के बीच अंतर (विचलन) की गणना करें (हम ड्राइंग का अध्ययन करते हैं). पहला विचार जो दिमाग में आता है वह यह है कि यह अनुमान लगाया जाए कि राशि कितनी बड़ी है, लेकिन समस्या यह है कि मतभेद नकारात्मक हो सकते हैं। (उदाहरण के लिए, ) और इस तरह के योग के परिणामस्वरूप विचलन एक दूसरे को रद्द कर देंगे। इसलिए, सन्निकटन की सटीकता के अनुमान के रूप में, यह खुद को योग लेने का सुझाव देता है मॉड्यूलविचलन:

या मुड़े हुए रूप में: (अचानक, कौन नहीं जानता: योग आइकन है, और एक सहायक चर है- "काउंटर", जो 1 से मान लेता है).

विभिन्न कार्यों के साथ प्रयोगात्मक बिंदुओं को अनुमानित करके, हम अलग-अलग मान प्राप्त करेंगे, और यह स्पष्ट है कि जहां यह योग छोटा है, वह कार्य अधिक सटीक है।

ऐसी विधि मौजूद है और कहा जाता है कम से कम मापांक विधि. हालाँकि, व्यवहार में यह बहुत अधिक व्यापक हो गया है। कम से कम वर्ग विधि, जिसमें संभावित नकारात्मक मूल्यों को मापांक द्वारा समाप्त नहीं किया जाता है, लेकिन विचलन को चुकता करके:

, जिसके बाद प्रयासों को ऐसे फ़ंक्शन के चयन के लिए निर्देशित किया जाता है कि वर्ग विचलन का योग जितना संभव हो उतना छोटा था। दरअसल, इसलिए विधि का नाम।

और अब हम एक और महत्वपूर्ण बिंदु पर लौटते हैं: जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, चयनित फ़ंक्शन काफी सरल होना चाहिए - लेकिन ऐसे कई कार्य भी हैं: रैखिक , अतिपरवलिक, घातीय, लघुगणक, द्विघात आदि। और, ज़ाहिर है, यहाँ मैं तुरंत "गतिविधि के क्षेत्र को कम करना" चाहूंगा। अनुसंधान के लिए किस वर्ग के कार्यों का चयन करना है? आदिम लेकिन प्रभावी तकनीक:

- अंक आकर्षित करने का सबसे आसान तरीका ड्राइंग पर और उनके स्थान का विश्लेषण करें। यदि वे एक सीधी रेखा में होते हैं, तो आपको देखना चाहिए सीधी रेखा समीकरण इष्टतम मूल्यों के साथ और . दूसरे शब्दों में, कार्य ऐसे गुणांकों को खोजना है - ताकि वर्ग विचलनों का योग सबसे छोटा हो।

यदि बिंदु स्थित हैं, उदाहरण के लिए, साथ में अतिशयोक्ति, तो यह स्पष्ट है कि रैखिक फलन खराब सन्निकटन देगा। इस मामले में, हम हाइपरबोला समीकरण के लिए सबसे "अनुकूल" गुणांक की तलाश कर रहे हैं - वे जो वर्गों का न्यूनतम योग देते हैं .

अब ध्यान दें कि दोनों ही मामलों में हम बात कर रहे हैं दो चर के कार्य, जिनके तर्क हैं खोज निर्भरता विकल्प:

और संक्षेप में, हमें एक मानक समस्या को हल करने की आवश्यकता है - खोजने के लिए दो चर के एक समारोह का न्यूनतम.

हमारे उदाहरण को याद करें: मान लीजिए कि "दुकान" बिंदु एक सीधी रेखा में स्थित हैं और उपस्थिति पर विश्वास करने का हर कारण है रैखिक निर्भरताव्यापार क्षेत्र से कारोबार। आइए ऐसे गुणांक "ए" और "बी" खोजें ताकि वर्ग विचलन का योग हो सबसे छोटा था। सब कुछ हमेशा की तरह - पहले 1 क्रम के आंशिक व्युत्पन्न. इसके अनुसार रैखिकता नियमआप योग आइकन के ठीक नीचे अंतर कर सकते हैं:

यदि आप इस जानकारी का उपयोग निबंध या शोध कार्य के लिए करना चाहते हैं, तो मैं स्रोतों की सूची में लिंक के लिए बहुत आभारी रहूंगा, आपको ऐसी विस्तृत गणना कहीं नहीं मिलेगी:

आइए एक मानक प्रणाली बनाएं:

हम प्रत्येक समीकरण को "दो" से कम करते हैं और, इसके अलावा, "अलग" रकम:

टिप्पणी : स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें कि "ए" और "बी" को योग आइकन से क्यों निकाला जा सकता है। वैसे, औपचारिक रूप से यह योग के साथ किया जा सकता है

आइए सिस्टम को "लागू" रूप में फिर से लिखें:

जिसके बाद हमारी समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम तैयार करना शुरू होता है:

क्या हम बिंदुओं के निर्देशांक जानते हैं? हम लोग जान। रकम क्या हम ढूंढ सकते हैं? सरलता। हम सबसे सरल रचना करते हैं दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली("ए" और "बीएच")। हम सिस्टम को हल करते हैं, उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि, जिसके परिणामस्वरूप एक स्थिर बिंदु होता है। चेकिंग एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति, हम सत्यापित कर सकते हैं कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन ठीक पहुँचता है न्यूनतम. सत्यापन अतिरिक्त गणनाओं से जुड़ा है और इसलिए हम इसे पर्दे के पीछे छोड़ देंगे। (यदि आवश्यक हो, लापता फ्रेम देखा जा सकता है). हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं:

समारोह सबसे अच्छा तरीका (कम से कम किसी अन्य रैखिक कार्य की तुलना में)प्रयोगात्मक बिंदुओं को करीब लाता है . मोटे तौर पर, इसका ग्राफ इन बिंदुओं के जितना करीब हो सके गुजरता है। परंपरा में अर्थमितिपरिणामी सन्निकटन फलन को भी कहा जाता है युग्मित रैखिक समाश्रयण समीकरण .

विचाराधीन समस्या बहुत व्यावहारिक महत्व की है। हमारे उदाहरण के साथ स्थिति में, समीकरण आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देता है कि किस प्रकार का टर्नओवर ("यिग")बिक्री क्षेत्र के एक या दूसरे मूल्य के साथ स्टोर पर होगा ("एक्स" का एक या दूसरा अर्थ). हां, परिणामी पूर्वानुमान केवल एक पूर्वानुमान होगा, लेकिन कई मामलों में यह काफी सटीक साबित होगा।

मैं "वास्तविक" संख्याओं के साथ केवल एक समस्या का विश्लेषण करूंगा, क्योंकि इसमें कोई कठिनाइयां नहीं हैं - सभी गणनाएं 7-8 ग्रेड में स्कूली पाठ्यक्रम के स्तर पर हैं। 95 प्रतिशत मामलों में, आपको केवल एक रैखिक फ़ंक्शन खोजने के लिए कहा जाएगा, लेकिन लेख के अंत में मैं दिखाऊंगा कि इष्टतम हाइपरबोला, घातांक और कुछ अन्य कार्यों के लिए समीकरणों को खोजना अधिक कठिन नहीं है।

वास्तव में, यह वादा किए गए उपहारों को वितरित करने के लिए बनी हुई है - ताकि आप सीखें कि ऐसे उदाहरणों को न केवल सटीक रूप से हल करना है, बल्कि जल्दी से भी। हम मानक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं:

काम

दो संकेतकों के बीच संबंध का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, संख्याओं के निम्नलिखित जोड़े प्राप्त हुए:

कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करते हुए, उस रैखिक फ़ंक्शन को खोजें जो अनुभवजन्य का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है (अनुभव)जानकारी। एक ऐसा चित्र बनाइए जिस पर कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में प्रायोगिक बिंदुओं को आलेखित करें और सन्निकट फलन का आलेख तैयार करें। . अनुभवजन्य और सैद्धांतिक मूल्यों के बीच वर्ग विचलन का योग ज्ञात कीजिए। पता करें कि क्या फ़ंक्शन बेहतर है (न्यूनतम वर्ग विधि के संदर्भ में)अनुमानित प्रयोगात्मक बिंदु।

ध्यान दें कि "x" मान प्राकृतिक मूल्य हैं, और इसका एक विशिष्ट अर्थपूर्ण अर्थ है, जिसके बारे में मैं थोड़ी देर बाद बात करूंगा; लेकिन वे, निश्चित रूप से, भिन्नात्मक हो सकते हैं। इसके अलावा, किसी विशेष कार्य की सामग्री के आधार पर, "X" और "G" दोनों मान पूर्ण या आंशिक रूप से नकारात्मक हो सकते हैं। खैर, हमें एक "फेसलेस" टास्क दिया गया है, और हम इसे शुरू करते हैं फेसला:

हम सिस्टम के समाधान के रूप में इष्टतम फ़ंक्शन के गुणांक पाते हैं:

अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन के प्रयोजनों के लिए, "काउंटर" चर को छोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि योग 1 से .

सारणीबद्ध रूप में आवश्यक राशियों की गणना करना अधिक सुविधाजनक है:


गणना एक माइक्रोकैलकुलेटर पर की जा सकती है, लेकिन एक्सेल का उपयोग करना बहुत बेहतर है - दोनों तेज और त्रुटियों के बिना; एक छोटा वीडियो देखें:

इस प्रकार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं: प्रणाली:

यहां आप दूसरे समीकरण को 3 और . से गुणा कर सकते हैं पहले समीकरण पद से दूसरे को पद द्वारा घटाएं. लेकिन यह भाग्य है - व्यवहार में, सिस्टम अक्सर उपहार में नहीं होते हैं, और ऐसे मामलों में यह बचाता है क्रैमर की विधि:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

चलो एक चेक करते हैं। मैं समझता हूं कि मैं नहीं करना चाहता, लेकिन गलतियों को क्यों छोड़ें जहां आप उन्हें बिल्कुल याद नहीं कर सकते? सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करें:

संबंधित समीकरणों के सही हिस्से प्राप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है।

इस प्रकार, वांछित सन्निकटन फलन:- from सभी रैखिक कार्यप्रयोगात्मक डेटा इसके द्वारा सबसे अच्छा अनुमानित है।

भिन्न सीधा अपने क्षेत्र पर स्टोर के कारोबार की निर्भरता, मिली निर्भरता है उल्टा (सिद्धांत "अधिक - कम"), और यह तथ्य तुरंत नकारात्मक द्वारा प्रकट होता है कोणीय गुणांक. समारोह हमें सूचित करता है कि एक निश्चित संकेतक में 1 इकाई की वृद्धि के साथ, आश्रित संकेतक का मूल्य घट जाता है औसत 0.65 इकाइयों द्वारा। जैसा कि वे कहते हैं, एक प्रकार का अनाज की कीमत जितनी अधिक होगी, उतना ही कम बेचा जाएगा।

सन्निकटन फलन को आलेखित करने के लिए, हमें इसके दो मान मिलते हैं:

और ड्राइंग निष्पादित करें:


निर्मित रेखा कहलाती है प्रवृत्ति रेखा (अर्थात्, एक रेखीय प्रवृत्ति रेखा, अर्थात सामान्य स्थिति में, एक प्रवृत्ति आवश्यक रूप से एक सीधी रेखा नहीं होती है). हर कोई "प्रवृत्ति में होना" अभिव्यक्ति से परिचित है, और मुझे लगता है कि इस शब्द को अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है।

वर्ग विचलन के योग की गणना करें अनुभवजन्य और सैद्धांतिक मूल्यों के बीच। ज्यामितीय रूप से, यह "क्रिमसन" खंडों की लंबाई के वर्गों का योग है (जिनमें से दो इतने छोटे हैं कि आप उन्हें देख भी नहीं सकते).

आइए एक तालिका में गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करें:


उन्हें फिर से मैन्युअल रूप से किया जा सकता है, बस अगर मैं पहले बिंदु के लिए एक उदाहरण दूंगा:

लेकिन यह पहले से ज्ञात तरीके से करने के लिए और अधिक कुशल है:

आइए दोहराएं: परिणाम का अर्थ क्या है?से सभी रैखिक कार्यसमारोह घातांक सबसे छोटा है, अर्थात यह अपने परिवार में सबसे अच्छा सन्निकटन है। और यहाँ, वैसे, समस्या का अंतिम प्रश्न आकस्मिक नहीं है: क्या होगा यदि प्रस्तावित घातीय कार्य क्या प्रायोगिक बिंदुओं का अनुमान लगाना बेहतर होगा?

आइए वर्ग विचलन के संगत योग का पता लगाएं - उन्हें अलग करने के लिए, मैं उन्हें "एप्सिलॉन" अक्षर से नामित करूंगा। तकनीक बिल्कुल समान है:


और फिर से 1 बिंदु के लिए हर आग की गणना के लिए:

एक्सेल में, हम मानक फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं ऍक्स्प (सिंटेक्स एक्सेल सहायता में पाया जा सकता है).

निष्कर्ष: , इसलिए घातांकीय फलन सीधी रेखा से भी बदतर प्रयोगात्मक बिंदुओं का अनुमान लगाता है .

लेकिन यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि "बदतर" है इसका मतलब अभी तक नहीं है, गलत क्या है। अब मैंने इस एक्सपोनेंशियल फंक्शन का एक ग्राफ बनाया - और यह पॉइंट्स के करीब भी जाता है - इतना अधिक कि एक विश्लेषणात्मक अध्ययन के बिना यह कहना मुश्किल है कि कौन सा कार्य अधिक सटीक है।

यह समाधान को पूरा करता है, और मैं तर्क के प्राकृतिक मूल्यों के प्रश्न पर लौटता हूं। विभिन्न अध्ययनों में, एक नियम के रूप में, आर्थिक या सामाजिक, महीनों, वर्षों या अन्य समान समय अंतरालों को प्राकृतिक "X" के साथ गिना जाता है। उदाहरण के लिए, ऐसी समस्या पर विचार करें।

कम से कम वर्ग विधि एक रैखिक समीकरण के निर्माण के लिए एक गणितीय प्रक्रिया है जो संख्याओं की दो श्रृंखलाओं के एक सेट से सबसे अधिक निकटता से मेल खाती है। इस पद्धति का उद्देश्य कुल चुकता त्रुटि को कम करना है। एक्सेल में ऐसे उपकरण हैं जिनका उपयोग गणनाओं में इस पद्धति को लागू करने के लिए किया जा सकता है। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

एक्सेल में विधि का उपयोग करना

o सॉल्वर ऐड-ऑन को सक्षम करना

ओ कार्य शर्तें

ओ निर्णय

एक्सेल में एक विधि का उपयोग करना

कम से कम वर्गों की विधि (एलएसएम) एक चर की दूसरे पर निर्भरता का गणितीय विवरण है। इसका उपयोग पूर्वानुमान के लिए किया जा सकता है।

सॉल्वर ऐड-इन सक्षम करें

एक्सेल में ओएलएस का उपयोग करने के लिए, आपको ऐड-इन सक्षम करने की आवश्यकता है "समाधान खोजें", जो डिफ़ॉल्ट रूप से अक्षम है।

1. टैब पर जाएं "फ़ाइल".

2. सेक्शन के नाम पर क्लिक करें "विकल्प".

3. खुलने वाली विंडो में, उपखंड पर चयन को रोकें "ऐड-ऑन".

4. ब्लॉक में "नियंत्रण", जो खिड़की के नीचे स्थित है, स्विच को स्थिति पर सेट करें "एक्सेल ऐड-इन्स"(यदि इसका कोई भिन्न मान है) और बटन पर क्लिक करें "जाना...".

5. एक छोटी सी खिड़की खुलती है। विकल्प के आगे सही का निशान लगाएं "समाधान खोजें". बटन पर क्लिक करें ठीक है.

अब समारोह समाधान खोजनाएक्सेल में सक्रिय है, और इसके उपकरण रिबन पर दिखाई देते हैं।

पाठ:एक्सेल में समाधान ढूँढना

समस्या की शर्तें

आइए हम एक विशिष्ट उदाहरण पर एलएसएम के अनुप्रयोग का वर्णन करें। हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं एक्सऔर आपजिसका क्रम नीचे इमेज में दिखाया गया है।

इस निर्भरता को फ़ंक्शन द्वारा सबसे सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:

उसी समय, यह ज्ञात है कि एक्स = 0 वाईभी बराबर 0 . इसलिए, इस समीकरण को निर्भरता द्वारा वर्णित किया जा सकता है वाई = एनएक्स.

हमें अंतर के वर्गों का न्यूनतम योग ज्ञात करना होगा।

फेसला

आइए हम विधि के प्रत्यक्ष आवेदन के विवरण के लिए आगे बढ़ें।

1. पहले मान के बाईं ओर एक्सएक नंबर डाल दो 1 . यह गुणांक के पहले मान का अनुमानित मान होगा एन.

2. कॉलम के दाईं ओर आपएक और कॉलम जोड़ें एनएक्स. इस कॉलम के पहले सेल में हम गुणांक को गुणा करने का सूत्र लिखते हैं एनपहले चर के सेल के लिए एक्स. उसी समय, हम गुणांक के साथ फ़ील्ड का लिंक निरपेक्ष बनाते हैं, क्योंकि यह मान नहीं बदलेगा। हम बटन पर क्लिक करते हैं दर्ज.

3. भरण हैंडल का उपयोग करके, इस सूत्र को नीचे के कॉलम में तालिका की संपूर्ण श्रेणी में कॉपी करें।

4. एक अलग सेल में, हम मानों के वर्गों के अंतर के योग की गणना करते हैं आपऔर एनएक्स. ऐसा करने के लिए, बटन पर क्लिक करें "फ़ंक्शन डालें".

5. खुले में "फ़ंक्शन विज़ार्ड"एक प्रविष्टि की तलाश में "सुम्मकव्रजन". इसे चुनें और बटन पर क्लिक करें ठीक है.

6. तर्क विंडो खुलती है। खेत मेँ "ऐरे_एक्स" आप. खेत मेँ "Array_y"स्तंभ कक्षों की श्रेणी दर्ज करें एनएक्स. मान दर्ज करने के लिए, बस कर्सर को फ़ील्ड में रखें और शीट पर उपयुक्त श्रेणी का चयन करें। दर्ज करने के बाद, बटन पर क्लिक करें ठीक है.

7. टैब पर जाएं "जानकारी". टूलबॉक्स में रिबन पर "विश्लेषण"बटन पर क्लिक करें "समाधान खोजें".

8. टूल की पैरामीटर विंडो खुलती है। खेत मेँ "उद्देश्य समारोह अनुकूलित करें"सूत्र के साथ सेल का पता निर्दिष्ट करें "सुम्मकव्रजन". पैरामीटर में "पहले"स्विच को स्थिति में सेट करना सुनिश्चित करें "न्यूनतम". खेत मेँ "चेंजिंग सेल"गुणांक के मान के साथ पता निर्दिष्ट करें एन. बटन पर क्लिक करें "समाधान ढूंढें".

9. समाधान गुणांक सेल में प्रदर्शित किया जाएगा एन. यह वह मान है जो फ़ंक्शन का सबसे छोटा वर्ग होगा। यदि परिणाम उपयोगकर्ता को संतुष्ट करता है, तो बटन पर क्लिक करें ठीक हैएक अतिरिक्त विंडो में।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कम से कम वर्ग विधि का अनुप्रयोग एक जटिल गणितीय प्रक्रिया है। हमने इसे सबसे सरल उदाहरण के साथ कार्रवाई में दिखाया है, लेकिन बहुत अधिक जटिल मामले हैं। हालाँकि, Microsoft Excel टूलकिट को यथासंभव गणनाओं को सरल बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

http://multitest.semico.ru/mnk.htm

सामान्य प्रावधान

निरपेक्ष मान में संख्या जितनी छोटी होगी, उतनी ही बेहतर सीधी रेखा (2) चुनी जाएगी। एक सीधी रेखा (2) के चयन की सटीकता की विशेषता के रूप में, हम वर्गों का योग ले सकते हैं

S के लिए न्यूनतम शर्तें होंगी

	(6)
	(7)

समीकरण (6) और (7) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

	(8)
	(9)

समीकरण (8) और (9) से प्रयोगात्मक मानों x i और y i से a और b को खोजना आसान है। समीकरण (8) और (9) द्वारा परिभाषित रेखा (2) सबसे छोटी वर्ग विधि द्वारा प्राप्त रेखा कहलाती है (यह नाम इस बात पर जोर देता है कि वर्गों का योग न्यूनतम होता है)। समीकरण (8) और (9), जिनसे सीधी रेखा (2) निर्धारित होती है, सामान्य समीकरण कहलाते हैं।

सामान्य समीकरणों को संकलित करने का एक सरल और सामान्य तरीका इंगित करना संभव है। प्रयोगात्मक बिंदुओं (1) और समीकरण (2) का उपयोग करके, हम समीकरणों की प्रणाली को a और b . के लिए लिख सकते हैं

वाई 1 \u003d कुल्हाड़ी 1 + बी,
y2=ax2+b,...		(10)
वाईएन = एक्सएन + बी,

इनमें से प्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को पहले अज्ञात a (यानी x 1, x 2, ..., x n) के गुणांक से गुणा करें और परिणामी समीकरणों को जोड़ें, जिसके परिणामस्वरूप पहला सामान्य समीकरण (8) होता है।

हम इनमें से प्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को दूसरे अज्ञात b के गुणांक से गुणा करते हैं, अर्थात। 1 से, और परिणामी समीकरण जोड़ें, जिसके परिणामस्वरूप दूसरा सामान्य समीकरण (9) होता है।

सामान्य समीकरण प्राप्त करने की यह विधि सामान्य है: यह उपयुक्त है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए

एक स्थिर मान है और इसे प्रयोगात्मक डेटा (1) से निर्धारित किया जाना चाहिए।

k के समीकरणों की प्रणाली को लिखा जा सकता है:

न्यूनतम वर्ग विधि का प्रयोग करके रेखा (2) ज्ञात कीजिए।

फेसला।हम ढूंढे:

X i =21, y i =46.3, x i 2 =91, x i y i = 179.1।

हम समीकरण (8) और (9)91a+21b=179.1 लिखते हैं,

21a+6b=46.3, यहाँ से हम पाते हैं
ए = 0.98 बी = 4.3।