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विषय पर सिद्धांत: "ब्याज के लिए समस्या समाधान।"

टाइप 1: प्रतिशत को दशमलव में बदलें। प्रतिशत  अंश A%  A को 100 से विभाजित कार्य: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... तालिका में 1% 5% भरें 10% 20% 25% 50% 75% 100%

टाइप 2: भिन्न को प्रतिशत में बदलना। संख्या  प्रतिशत ए  ए गुणा 100% भिन्नों को प्रतिशत में बदलें: 3/4; 0.07; 2.4. (जीआईए, विषयगत कार्य) उन अंशों का मिलान करें जो एक निश्चित मूल्य के शेयरों को व्यक्त करते हैं, और उनके अनुरूप प्रतिशत। ए.1/4; बी) 3/5; सी) 0.5; डी) 0.05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% उत्तर: ए बी सी डी

टाइप 3: किसी संख्या का प्रतिशत ढूँढना। A का X% 1) X% को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है 2) संख्या A को दशमलव भिन्न से गुणा किया जाता है। कार्य एक उदाहरण है। कंपनी ने एक महीने में 500 डिवाइस तैयार किए। निर्मित उपकरणों का 20% गुणवत्ता नियंत्रण पारित करने में विफल रहा। कितने उपकरण गुणवत्ता नियंत्रण में विफल रहे? फेसला। आपको विनिर्मित उपकरणों (500) की कुल संख्या का 20% खोजने की आवश्यकता है। 20% = 0.2। 500 * 0.2 = 100। निर्मित उपकरणों की कुल संख्या में से 100 ने गुणवत्ता नियंत्रण पारित नहीं किया।

टाइप 4: किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करें। और यह है X%: 1) X% को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है 2) A को दशमलव भिन्न से विभाजित किया जाता है। कार्य एक उदाहरण है। परीक्षा की तैयारी करते हुए, छात्र ने स्व-अध्ययन के लिए मैनुअल से 38 कार्यों को हल किया। जो मैनुअल में सभी कार्यों की संख्या का 25% है। इस स्व-अध्ययन पुस्तिका में कितने कार्य एकत्रित किए गए हैं? फेसला। हम नहीं जानते कि मैनुअल में कितने कार्य हैं। लेकिन दूसरी ओर, हम जानते हैं कि 38 कार्य उनकी कुल संख्या का 25% है। 25%=0.25 38/0.25 = 152. इस संग्रह में 152 समस्याएं हैं।

प्रकार 5: दो संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात कीजिए। ए और बी नंबर। A का B कितना % है? 1) बी / ए 2) परिणामी भागफल को 100% से गुणा करें कार्य एक नमूना है। कक्षा में 30 छात्र हैं। इनमें 15 लड़कियां हैं। कक्षा में लड़कियों का प्रतिशत कितना है? फेसला। यह पता लगाने के लिए कि एक संख्या दूसरे से कितना प्रतिशत है, आपको उस संख्या की आवश्यकता है जिसे आप खोजना चाहते हैं, कुल संख्या से विभाजित करें और 100% से गुणा करें। तो, 1) 15/30 = 0.5 2) 0.5 * 100% = 50% कार्य एक नमूना है। 1 घंटे के लिए, स्वचालित मशीन ने 240 भागों का उत्पादन किया। इस मशीन के पुनर्निर्माण के बाद, उन्होंने प्रति घंटे समान भागों के 288 का उत्पादन शुरू किया। मशीन की उत्पादकता में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? फेसला। मशीन की उत्पादकता में 288-240=48 भाग प्रति घंटा की वृद्धि हुई है। आपको यह पता लगाना है कि 240 भागों में से कितने प्रतिशत 48 भाग हैं। यह पता लगाने के लिए कि संख्या 48 का कितना प्रतिशत संख्या 240 से है, आपको संख्या 48 को 240 से विभाजित करना होगा और परिणाम को 100% से गुणा करना होगा। 48/240 *100% =20% उत्तर: मशीन उत्पादकता में 20% की वृद्धि हुई

टाइप 6: संख्या को प्रतिशत बढ़ाएँ। संख्या को प्रतिशत घटाएं। ए एक संख्या है; X% की वृद्धि, फिर यह (1 + x / 100) गुना बढ़ गया है। : 1) संख्या A को 2) से गुणा किया जाता है (1 + x / 100)। कार्य एक उदाहरण है। . पिछले साल की गणित की परीक्षा में हाई स्कूल के 140 छात्रों को ए मिला था। इस साल उत्कृष्ट छात्रों की संख्या में 15% की वृद्धि हुई है। इस वर्ष गणित की परीक्षा में कितने लोगों ने A प्राप्त किया? फेसला। 140 * (1 + 15/100) = 161. ए - संख्या; हम X% की कमी करते हैं, फिर यह (1 - x / 100) गुना कम हो जाता है। : 1) संख्या A को 2) से गुणा किया जाता है (1 - x / 100)। कार्य एक उदाहरण है। एक साल पहले 100 बच्चों ने स्कूल से स्नातक किया था। और इस साल 25% कम स्नातक हैं। इस साल कितने स्नातक? फेसला। 100*(1 - 25/100) = 75।

टाइप 7: समाधान एकाग्रता। कार्य एक उदाहरण है। 9 लीटर पानी में एक किलोग्राम नमक घोला गया। परिणामी घोल की सांद्रता क्या है? (1 लीटर पानी का द्रव्यमान 1 किलो है) (पीटरसन 6 सेल) समाधान 1) विलेय का द्रव्यमान 1 किग्रा है 2) संपूर्ण घोल का द्रव्यमान 1 + 9 \u003d 10 (किलो) 9 किग्रा द्रव्यमान है घोल में पानी की मात्रा (समाधान के कुल द्रव्यमान के साथ भ्रमित नहीं होना) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - घोल की सघनता

टाइप 8: मिश्र धातु में धातु का प्रतिशत। कार्य - नमूना 1. तांबे और टिन के मिश्र धातु का एक टुकड़ा 12 किलो के कुल द्रव्यमान के साथ होता है, जिसमें 45% तांबा होता है। मिश्र धातु के इस टुकड़े में कितना शुद्ध टिन मिलाया जाना चाहिए ताकि परिणामी मिश्र धातु में 40% तांबा हो? समाधान.1)12। 0.45= 5.4 (किलो) - पहले मिश्र धातु में शुद्ध तांबा; 2) 5.4: 0.4= 13.5 (किलो) - नए मिश्र धातु का वजन; 3) 13.5- 12 = 1.5 (किलो) टिन। उत्तर: आपको 1.5 किलो टिन चाहिए।

कार्य - नमूना 2. तांबे, जस्ता और टिन से मिलकर दो मिश्र धातुएं हैं। यह ज्ञात है कि पहले मिश्र धातु में 40% टिन होता है, और दूसरे में - 26% तांबा। पहली और दूसरी मिश्रधातु में जिंक का प्रतिशत समान होता है। पहली मिश्रधातु का 150 किग्रा और दूसरे का 250 किग्रा पिघलाने पर एक नई मिश्रधातु प्राप्त हुई, जिसमें 30% जस्ता निकला। निर्धारित करें कि परिणामी नए मिश्र धातु में कितने किलोग्राम टिन है। चूँकि पहली और दूसरी मिश्रधातु में जस्ता का प्रतिशत समान है और तीसरे मिश्र धातु में यह 30% निकला, तो पहली और दूसरी मिश्र धातुओं में जस्ता का प्रतिशत 30% है। 250 * 0.3 \u003d 75 (किलो) - दूसरे मिश्र धातु में जस्ता; 250 * 0.26 \u003d 65 (किलो) - दूसरे मिश्र धातु में तांबा; 250-(75+65)= 110 (किलो) टिन दूसरे मिश्र धातु में; 150. 0.4= 60 (किलो) - पहले मिश्र धातु में टिन; 110 + 60 = 170 (किलो) - तीसरे मिश्र धातु में टिन। उत्तर: 170 किग्रा. 1 मिश्र धातु 2 मिश्र धातु नई मिश्र धातु (3) कॉपर 26% जिंक 30% 30% 30% टिन 40%? किग्रा वजन 150 किग्रा 250 किग्रा 150 + 250 = 400

टाइप 9: "शुष्क पदार्थ" पर। लगभग कोई भी उत्पाद - सेब, तरबूज, मशरूम, आलू, अनाज, ब्रेड, आदि। पानी और शुष्क पदार्थ से मिलकर बनता है। इसके अलावा, ताजे और सूखे दोनों खाद्य पदार्थों में पानी होता है। सुखाने की प्रक्रिया के दौरान, केवल पानी वाष्पित होता है, और शुष्क पदार्थ का द्रव्यमान नहीं बदलता है। ए.जी. मोर्दकोविच "गणित 6" समस्या संख्या 362 समस्या एक नमूना है। ताजे मशरूम में 90% पानी होता है, और सूखे - 15%। 17 किलो ताजे मशरूम से कितने सूखे मशरूम प्राप्त होंगे? 3.4 किलो सूखे मशरूम लेने के लिए आपको कितने ताजे मशरूम लेने होंगे? फेसला। आइए एक तालिका बनाएं: समस्या का 1 भाग: पदार्थ पदार्थ का द्रव्यमान (किलो) पानी का प्रतिशत शुष्क पदार्थ का प्रतिशत शुष्क पदार्थ का द्रव्यमान (किलो) ताजा मशरूम 17kg 90% 10% 17*0.1=1.7 सूखे मशरूम X किलो 15% 85% X * o.85 \u003d 0.85x चूंकि सूखे और ताजे मशरूम में शुष्क पदार्थ का द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है, हमें समीकरण मिलता है: 0.85x \u003d 1.7, x \u003d 1.7: 0.85, x \u003d 2.

समस्या का भाग 2: पदार्थ का द्रव्यमान (किलो) पानी का प्रतिशत पानी का प्रतिशत शुष्क पदार्थ का द्रव्यमान (किलो) ताजा मशरूम 90% 10% 0.1х सूखे मशरूम 3.4 15% 85% 3.4 * 0.85 = 2 .89 0.1x = 2.89, x = 2.89: 0.1, x = 28.9। उत्तर: 17 किलो ताजे मशरूम से आपको 2 किलो सूखे मशरूम मिलते हैं; 3.4 किलो सूखे मशरूम पाने के लिए, आपको 28.9 किलो ताजे मशरूम लेने होंगे।

आज हम मानक लघुगणक, अभिन्न, त्रिकोणमिति, आदि से थोड़ा पीछे हटेंगे, और साथ में हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से एक अधिक महत्वपूर्ण कार्य पर विचार करेंगे, जो सीधे हमारी पिछड़ी रूसी संसाधन-आधारित अर्थव्यवस्था से संबंधित है। और सटीक होने के लिए, हम जमा, ब्याज और ऋण की समस्या पर विचार करेंगे। क्योंकि यह हाल ही में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के दूसरे भाग में प्रतिशत वाले कार्यों को जोड़ा गया है। मैं तुरंत एक आरक्षण कर दूंगा कि इस समस्या को हल करने के लिए, एकीकृत राज्य परीक्षा की विशिष्टताओं के अनुसार, तीन प्राथमिक बिंदु एक साथ पेश किए जाते हैं, अर्थात परीक्षक इस कार्य को सबसे कठिन में से एक मानते हैं।

साथ ही, गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा से इनमें से किसी भी कार्य को हल करने के लिए, आपको केवल दो सूत्रों को जानना होगा, जिनमें से प्रत्येक स्कूल के स्नातक के लिए काफी सुलभ है, हालांकि, जिन कारणों से मुझे समझ में नहीं आता है, ये सूत्र हैं परीक्षा की तैयारी के लिए स्कूल के शिक्षकों और विभिन्न कार्यों के संकलनकर्ताओं द्वारा पूरी तरह से अनदेखा किया गया। इसलिए, आज मैं आपको केवल यह नहीं बताऊंगा कि ये सूत्र क्या हैं और उन्हें कैसे लागू किया जाए, बल्कि मैं गणित में खुले यूएसई बैंक से आधार कार्यों को लेते हुए, इनमें से प्रत्येक सूत्र को आपकी आंखों के सामने शाब्दिक रूप से घटाऊंगा।

इसलिए, पाठ काफी बड़ा, काफी सार्थक निकला, इसलिए अपने आप को सहज बनाएं, और हम शुरू करते हैं।

बैंक में पैसा डालना

सबसे पहले मैं वित्त, बैंक, ऋण और जमा से संबंधित एक छोटा गीतात्मक विषयांतर करना चाहूंगा, जिसके आधार पर हमें वे सूत्र मिलेंगे जिनका उपयोग हम इस समस्या को हल करने के लिए करेंगे। तो, आइए परीक्षाओं से, आने वाली स्कूल की समस्याओं से थोड़ा हटकर भविष्य की ओर देखें।

मान लीजिए कि आप बड़े हो गए हैं और एक अपार्टमेंट खरीदने जा रहे हैं। मान लीजिए कि आप बाहरी इलाके में कुछ खराब अपार्टमेंट नहीं खरीदने जा रहे हैं, बल्कि 20 मिलियन रूबल के लिए एक अच्छी गुणवत्ता वाला अपार्टमेंट खरीदने जा रहे हैं। साथ ही, यह भी मान लेते हैं कि आपको कमोबेश सामान्य नौकरी मिल गई और आप एक महीने में 300 हजार रूबल कमाते हैं। इस मामले में, आप प्रति वर्ष लगभग तीन मिलियन रूबल बचा सकते हैं। बेशक, एक महीने में 300 हजार रूबल की कमाई, साल के लिए आपको थोड़ी बड़ी राशि मिलेगी - 3,600,000 - लेकिन इन 600,000 को भोजन, कपड़े और अन्य दैनिक घरेलू खुशियों पर खर्च करने दें। कुल इनपुट डेटा इस प्रकार है: बीस मिलियन रूबल अर्जित करना आवश्यक है, जबकि हमारे पास प्रति वर्ष केवल तीन मिलियन रूबल हैं। एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: इन बीस मिलियन को प्राप्त करने के लिए हमें कितने वर्षों में तीन मिलियन अलग रखने की आवश्यकता है। इसे प्राथमिक माना जाता है:

\[\frac(20)(3)=6,...\to 7\]

हालांकि, जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, आप एक महीने में 300 हजार रूबल कमाते हैं, जिसका अर्थ है कि आप स्मार्ट लोग हैं और "तकिए के नीचे" पैसे नहीं बचाएंगे, लेकिन इसे बैंक में ले जाएं। और, इसलिए, उन जमाराशियों पर जो आप बैंक में लाते हैं, वार्षिक ब्याज लिया जाएगा। मान लीजिए कि आप एक विश्वसनीय, लेकिन साथ ही कम या ज्यादा लाभदायक बैंक चुनते हैं, और इसलिए आपकी जमा राशि सालाना 15% सालाना बढ़ेगी। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि आपके खातों में राशि हर साल 1.15 गुना बढ़ जाएगी। मैं आपको सूत्र याद दिलाता हूं:

आइए गणना करें कि प्रत्येक वर्ष के बाद आपके खातों में कितना पैसा आएगा:

पहले वर्ष में, जब आप केवल पैसा बचाना शुरू करते हैं, तो कोई ब्याज जमा नहीं होगा, अर्थात वर्ष के अंत में आप तीन मिलियन रूबल बचाएंगे:

दूसरे वर्ष के अंत में, उन तीन मिलियन रूबल पर पहले से ही ब्याज अर्जित किया जाएगा जो पहले वर्ष से बने हुए हैं, अर्थात। हमें 1.15 से गुणा करना होगा। हालाँकि, दूसरे वर्ष के दौरान, आपने अन्य तीन मिलियन रूबल की भी सूचना दी। बेशक, इन तीन मिलियन ने अभी तक ब्याज अर्जित नहीं किया था, क्योंकि दूसरे वर्ष के अंत तक, ये तीन मिलियन केवल खाते में दिखाई दिए थे:

तो, तीसरा वर्ष। तीसरे वर्ष के अंत में, इस राशि पर ब्याज अर्जित किया जाएगा, अर्थात इस पूरी राशि को 1.15 से गुणा करना आवश्यक है। और फिर, पूरे साल आपने कड़ी मेहनत की और तीन मिलियन रूबल अलग रखे:

\[\बाएं(3मी\cdot 1.15+3मी \दाएं)\cdot 1.15+3m\]

आइए एक और चौथे वर्ष की गणना करें। फिर से, तीसरे वर्ष के अंत में हमारे पास जो पूरी राशि थी, उसे 1.15 से गुणा किया जाता है, अर्थात। पूरी राशि पर ब्याज लगेगा। इसमें ब्याज पर ब्याज भी शामिल है। और इस राशि में तीन मिलियन और जुड़ जाते हैं, क्योंकि चौथे वर्ष के दौरान आपने काम भी किया और पैसा भी बचाया:

\[\बाएं(\बाएं(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

और अब हम कोष्ठक खोलते हैं और देखते हैं कि पैसे बचाने के चौथे वर्ष के अंत तक हमारे पास कितनी राशि होगी:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और \बाएं(\बाएं(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\बाएं( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \दाएं) \\\अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, कोष्ठक में हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति के तत्व हैं, अर्थात हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति के तत्वों का योग है।

मैं आपको याद दिला दूं कि यदि ज्यामितीय प्रगति तत्व $((b)_(1))$, साथ ही हर $q$ द्वारा दी गई है, तो तत्वों के योग की गणना निम्न सूत्र के अनुसार की जाएगी:

यह सूत्र ज्ञात और स्पष्ट रूप से लागू होना चाहिए।

कृपया ध्यान दें: सूत्र एनवें तत्व इस तरह लगता है:

\[((बी)_(एन))=((बी)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

इस डिग्री के कारण कई छात्र भ्रमित हैं। कुल मिलाकर, हमारे पास बस एनराशि के लिए एन-तत्व, और एन-वें तत्व की डिग्री $n-1$ है। दूसरे शब्दों में, यदि हम अब एक ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो हमें निम्नलिखित पर विचार करने की आवश्यकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((बी)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\अंत (संरेखित करें)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

आइए अंश की गणना अलग से करें:

\[((1,15)^(4))=((\ left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1.74900625\लगभग 1.75\]

कुल मिलाकर, ज्यामितीय प्रगति के योग पर लौटने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

नतीजतन, हमें मिलता है कि चार साल की बचत में, हमारी शुरुआती राशि चार गुना नहीं बढ़ेगी, जैसे कि हमने बैंक में पैसा नहीं जमा किया था, बल्कि पांच गुना, यानी पंद्रह मिलियन। आइए इसे अलग से लिखें:

4 साल → 5 बार

आगे देखते हुए, मैं कहूंगा कि अगर हम चार साल से नहीं, बल्कि पांच साल से बचत कर रहे थे, तो परिणामस्वरूप, हमारी बचत की राशि 6.7 गुना बढ़ गई होगी:

5 साल → 6.7 गुना

दूसरे शब्दों में, पांचवें वर्ष के अंत तक, हमारे खाते में निम्नलिखित राशि होगी:

यही है, बचत के पांचवें वर्ष के अंत तक, जमा पर ब्याज को ध्यान में रखते हुए, हम पहले ही बीस मिलियन रूबल प्राप्त कर चुके होंगे। इस प्रकार, बैंक ब्याज से कुल बचत खाता लगभग सात वर्ष से घटकर पाँच वर्ष हो जाएगा, अर्थात लगभग दो वर्ष।

इस प्रकार, इस तथ्य के बावजूद कि बैंक हमारी जमा राशि (15%) पर काफी कम ब्याज लेता है, पांच वर्षों के बाद ये वही 15% हमारी वार्षिक आय से काफी अधिक वृद्धि देते हैं। साथ ही, मुख्य गुणक प्रभाव हाल के वर्षों में और यहां तक ​​कि बचत के अंतिम वर्ष में भी होता है।

मैंने यह सब क्यों लिखा? बेशक, बैंक में पैसे ले जाने के लिए आपको उत्तेजित करने के लिए नहीं। क्योंकि यदि आप वास्तव में अपनी बचत बढ़ाना चाहते हैं, तो आपको उन्हें बैंक में नहीं, बल्कि एक वास्तविक व्यवसाय में निवेश करने की आवश्यकता है, जहां ये समान प्रतिशत, यानी रूसी अर्थव्यवस्था की स्थितियों में लाभप्रदता, शायद ही कभी 30% से नीचे, यानी दो बार गिरती है। जितना बैंक जमा।

लेकिन इस सब तर्क में जो वास्तव में उपयोगी है वह एक सूत्र है जो हमें वार्षिक भुगतान की राशि के साथ-साथ बैंक द्वारा वसूले जाने वाले ब्याज के माध्यम से जमा की अंतिम राशि का पता लगाने की अनुमति देता है। तो चलिए लिखते हैं:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

स्वयं द्वारा,% की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

इस फॉर्मूले को भी जानने की जरूरत है, साथ ही योगदान की राशि का मूल फॉर्मूला भी। और, बदले में, मुख्य सूत्र प्रतिशत के साथ उन समस्याओं में गणना को काफी कम कर सकता है जहां योगदान की गणना करना आवश्यक है।

टेबल के बजाय फ़ार्मुलों का उपयोग क्यों करें?

कई लोगों के मन में शायद यह सवाल होगा कि ये सभी कठिनाइयाँ क्यों हैं, क्या हर साल एक टैबलेट पर लिखना संभव है, जैसा कि वे कई पाठ्यपुस्तकों में करते हैं, प्रत्येक वर्ष अलग से गणना करते हैं, और फिर योगदान की कुल राशि की गणना करते हैं? बेशक, आप आम तौर पर एक ज्यामितीय प्रगति के योग के बारे में भूल सकते हैं और क्लासिक टैबलेट का उपयोग करके सब कुछ गिन सकते हैं - यह परीक्षा की तैयारी के लिए अधिकांश संग्रहों में किया जाता है। हालांकि, सबसे पहले, गणना की मात्रा में तेजी से वृद्धि होती है, और दूसरी बात, परिणामस्वरूप त्रुटि होने की संभावना बढ़ जाती है।

और सामान्य तौर पर, इस अद्भुत सूत्र के बजाय तालिकाओं का उपयोग करना एक निर्माण स्थल पर अपने हाथों से खाइयों को खोदने के समान है, बजाय इसके कि पास में खड़े और पूरी तरह से काम करने वाले उत्खनन का उपयोग करें।

ठीक है, या पांच को दस से गुणा करने जैसा ही है, गुणन तालिका का उपयोग नहीं करते हुए, लेकिन एक पंक्ति में पांच को दस बार जोड़ना। हालांकि, मैं पहले ही पचा चुका हूं, इसलिए मैं एक बार फिर सबसे महत्वपूर्ण विचार दोहराऊंगा: यदि गणनाओं को सरल और छोटा करने का कोई तरीका है, तो यह उपयोग करने का तरीका है।

ऋण पर ब्याज

हमने जमाराशियों का पता लगा लिया, इसलिए हम अगले विषय पर चलते हैं, अर्थात् ऋणों पर ब्याज।

इसलिए, जब आप पैसे बचा रहे हैं, ध्यान से अपने बजट की योजना बना रहे हैं, अपने भविष्य के अपार्टमेंट, अपने सहपाठी और अब एक साधारण बेरोजगार व्यक्ति के बारे में सोचते हुए, आज के लिए जीने का फैसला किया और बस एक ऋण लिया। उसी समय, वह अभी भी आपको चिढ़ाएगा और हंसेगा, वे कहते हैं, उसके पास एक क्रेडिट फोन और एक पुरानी कार है, जिसे क्रेडिट पर लिया गया है, और आप अभी भी मेट्रो की सवारी करते हैं और एक पुराने पुश-बटन टेलीफोन का उपयोग करते हैं। बेशक, इन सभी सस्ते "शो-ऑफ" के लिए आपके पूर्व सहपाठी को महंगा भुगतान करना होगा। कितना महंगा - यह हम अभी गणना करेंगे।

सबसे पहले, एक संक्षिप्त परिचय। मान लीजिए कि आपके पूर्व सहपाठी ने क्रेडिट पर दो मिलियन रूबल लिए। उसी समय, अनुबंध के अनुसार, उसे प्रति माह x रूबल का भुगतान करना होगा। बता दें कि उन्होंने 20 फीसदी सालाना की दर से कर्ज लिया था, जो मौजूदा हालात में काफी अच्छा लग रहा है. साथ ही, मान लें कि ऋण अवधि केवल तीन महीने है। आइए इन सभी राशियों को एक सूत्र में जोड़ने का प्रयास करें।

तो, शुरुआत में, जैसे ही आपके पूर्व सहपाठी ने बैंक छोड़ा, उसकी जेब में दो मिलियन हैं, और यह उसका कर्ज है। उसी समय, एक साल नहीं हुआ, और एक महीना नहीं, लेकिन यह केवल शुरुआत है:

फिर, एक महीने के बाद, बकाया राशि पर ब्याज मिलेगा। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, ब्याज की गणना करने के लिए, मूल ऋण को एक गुणांक से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जिसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

हमारे मामले में, हम प्रति वर्ष 20% की दर के बारे में बात कर रहे हैं, अर्थात हम लिख सकते हैं:

यह उस राशि का अनुपात है जिस पर प्रति वर्ष शुल्क लगाया जाएगा। हालाँकि, हमारा सहपाठी बहुत स्मार्ट नहीं है और उसने अनुबंध नहीं पढ़ा है, और वास्तव में उसे प्रति वर्ष 20% नहीं, बल्कि 20% प्रति माह पर ऋण दिया गया था। और पहले महीने के अंत तक, इस राशि पर ब्याज अर्जित किया जाएगा, और यह 1.2 गुना बढ़ जाएगा। उसके तुरंत बाद, व्यक्ति को सहमत राशि का भुगतान करना होगा, अर्थात प्रति माह x रूबल:

\[\बाएं(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

और फिर, हमारा लड़का $x$ रूबल की राशि का भुगतान करता है।

फिर, तीसरे महीने के अंत तक, उसके कर्ज की राशि फिर से 20% बढ़ जाती है:

\[\बाएं(\बाएं(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

और तीन महीने की शर्त के अनुसार उसे पूरा भुगतान करना होगा, अर्थात अंतिम तीसरा भुगतान करने के बाद, उसके ऋण की राशि शून्य के बराबर होनी चाहिए। हम इस समीकरण को लिख सकते हैं:

\[\बाएं(\बाएं(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

आइए तय करें:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\बाएं ((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

हमारे सामने फिर से एक ज्यामितीय प्रगति है, या बल्कि, एक ज्यामितीय प्रगति के तीन तत्वों का योग है। आइए इसे तत्वों के आरोही क्रम में फिर से लिखें:

अब हमें ज्यामितीय प्रगति के तीन तत्वों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। चलो लिखते है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((बी)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\अंत (संरेखित करें)\]

आइए अब ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात करें:

\[((एस)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

यह याद किया जाना चाहिए कि इस तरह के पैरामीटर $\left(((b)_(1));q \right)$ के साथ एक ज्यामितीय प्रगति का योग सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

यह वह सूत्र है जिसका हमने अभी उपयोग किया है। इस सूत्र को हमारे व्यंजक में रखें:

आगे की गणना के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि $((1,2)^(3))$ किसके बराबर है। दुर्भाग्य से, इस मामले में, हम अब पिछली बार के रूप में डबल स्क्वायर के रूप में पेंट नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम इस तरह की गणना कर सकते हैं:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

हम अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं:

यह एक क्लासिक रैखिक अभिव्यक्ति है। आइए अगले सूत्र पर वापस जाएं:

वास्तव में, यदि हम इसे सामान्यीकृत करते हैं, तो हमें ब्याज, ऋण, भुगतान और शर्तों को जोड़ने वाला एक सूत्र मिलेगा। सूत्र इस प्रकार है:

यहाँ यह है, आज के वीडियो पाठ का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र, जिसकी सहायता से दूसरे भाग में गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा से सभी आर्थिक कार्यों का कम से कम 80% माना जाता है।

अक्सर, वास्तविक कार्यों में, आपसे भुगतान के लिए कहा जाएगा, या ऋण के लिए थोड़ा कम बार, यानी भुगतान की शुरुआत में हमारे सहपाठी के पास कुल ऋण की राशि होगी। अधिक जटिल कार्यों में, आपको एक प्रतिशत खोजने के लिए कहा जाएगा, लेकिन बहुत जटिल कार्यों के लिए, जिसका हम एक अलग वीडियो पाठ में विश्लेषण करेंगे, आपको उस समय सीमा को खोजने के लिए कहा जाएगा, जिसके दौरान दिए गए ऋण और भुगतान मापदंडों के साथ, हमारे बेरोजगार सहपाठी बैंक को पूरी तरह से भुगतान करने में सक्षम होंगे।

शायद अब कोई यह सोचेगा कि मैं सामान्य रूप से ऋण, वित्त और बैंकिंग प्रणाली का घोर विरोधी हूं। तो, ऐसा कुछ नहीं! इसके विपरीत, मेरा मानना ​​है कि ऋण साधन हमारी अर्थव्यवस्था के लिए बहुत उपयोगी और आवश्यक हैं, लेकिन केवल इस शर्त पर कि व्यवसाय विकास के लिए ऋण लिया जाता है। चरम मामलों में, आप एक घर खरीदने के लिए ऋण ले सकते हैं, अर्थात्, एक बंधक या आपातकालीन चिकित्सा उपचार के लिए - बस, ऋण लेने के लिए कोई अन्य कारण नहीं हैं। और सभी प्रकार के बेरोजगार लोग जो "शो-ऑफ" खरीदने के लिए ऋण लेते हैं और साथ ही अंत में परिणामों के बारे में बिल्कुल नहीं सोचते हैं और हमारी अर्थव्यवस्था में संकटों और समस्याओं का कारण बनते हैं।

आज के पाठ के विषय पर लौटते हुए, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि इस सूत्र को जानना भी आवश्यक है जो ऋण, भुगतान और ब्याज के साथ-साथ एक ज्यामितीय प्रगति की राशि को जोड़ता है। इन सूत्रों की सहायता से गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से वास्तविक आर्थिक समस्याओं का समाधान किया जाता है। खैर, अब जब आप यह सब अच्छी तरह से जानते हैं, जब आप समझते हैं कि ऋण क्या है और आपको इसे क्यों नहीं लेना चाहिए, तो आइए गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा से वास्तविक आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

हम गणित में परीक्षा से वास्तविक समस्याओं को हल करते हैं

उदाहरण 1

तो पहला कार्य है:

31 दिसंबर 2014 को, एलेक्सी ने बैंक से 10% प्रति वर्ष की दर से 9,282,000 रूबल का ऋण लिया। ऋण चुकौती योजना इस प्रकार है: प्रत्येक अगले वर्ष 31 दिसंबर को, बैंक ऋण की शेष राशि पर ब्याज अर्जित करता है (अर्थात, ऋण में 10% की वृद्धि होती है), फिर एलेक्सी बैंक को एक्स रूबल स्थानांतरित करता है। एलेक्सी के लिए चार समान भुगतानों (यानी चार साल के लिए) में कर्ज चुकाने के लिए कितनी राशि होनी चाहिए?

तो, यह एक ऋण के बारे में एक समस्या है, इसलिए हम तुरंत अपना सूत्र लिखते हैं:

हम ऋण जानते हैं - 9,282,000 रूबल।

हम अब प्रतिशत से निपटेंगे। हम 10% समस्या के बारे में बात कर रहे हैं। इसलिए, हम उनका अनुवाद कर सकते हैं:

हम एक समीकरण बना सकते हैं:

हमने $x$ के संबंध में एक साधारण रैखिक समीकरण प्राप्त किया है, हालांकि काफी दुर्जेय गुणांक के साथ। आइए इसे हल करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए व्यंजक $((1,1)^(4))$ खोजें:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

अब समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

यही है, प्रतिशत के साथ हमारी समस्या हल हो गई है।

बेशक, गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के प्रतिशत के साथ यह केवल सबसे सरल कार्य था। एक वास्तविक परीक्षा में, सबसे अधिक संभावना है कि ऐसा कोई कार्य नहीं होगा। और अगर ऐसा होता है, तो अपने आप को बहुत भाग्यशाली समझें। खैर, उन लोगों के लिए जो गिनना पसंद करते हैं और जोखिम लेना पसंद नहीं करते हैं, आइए अगले अधिक कठिन कार्यों पर चलते हैं।

उदाहरण #2

31 दिसंबर 2014 को, Stepan ने एक बैंक से 20% प्रति वर्ष की दर से 4,004,000 रूबल उधार लिए। ऋण चुकौती योजना इस प्रकार है: प्रत्येक अगले वर्ष 31 दिसंबर को, बैंक ऋण की शेष राशि पर ब्याज अर्जित करता है (अर्थात, ऋण में 20% की वृद्धि करता है), फिर Stepan बैंक को भुगतान करता है। Stepan ने 3 समान भुगतानों में पूरे कर्ज का भुगतान किया। अगर वह 2 बराबर भुगतानों में कर्ज चुका सकता है तो वह बैंक को कितने रूबल कम देगा।

हमारे सामने ऋण की समस्या है, इसलिए हम अपना सूत्र लिखते हैं:

\[\]\

हम क्या जानते हैं? सबसे पहले, हम कुल क्रेडिट जानते हैं। हम प्रतिशत भी जानते हैं। आइए अनुपात ज्ञात करें:

जहां तक ​​$n$ का सवाल है, आपको समस्या की स्थिति को ध्यान से पढ़ने की जरूरत है। अर्थात्, पहले हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि उसने तीन वर्षों के लिए कितना भुगतान किया, अर्थात $n=3$, और फिर उसी चरण को फिर से करें लेकिन दो वर्षों के लिए भुगतानों की गणना करें। आइए उस मामले के लिए एक समीकरण लिखें जहां भुगतान तीन साल के लिए किया जाता है:

आइए इस समीकरण को हल करें। लेकिन पहले, आइए व्यंजक $((1,2)^(3))$ खोजें:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

हम अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

कुल मिलाकर, हमारा भुगतान 1900800 रूबल होगा। हालाँकि, ध्यान दें: कार्य में, हमें मासिक भुगतान नहीं खोजने की आवश्यकता थी, लेकिन कुल तीन समान भुगतानों के लिए, यानी ऋण का उपयोग करने की पूरी अवधि के लिए स्टीफन कितना भुगतान करेगा। इसलिए, परिणामी मूल्य को फिर से तीन से गुणा किया जाना चाहिए। आइये गिनते हैं:

कुल मिलाकर, स्टीफन तीन समान भुगतानों के लिए 5,702,400 रूबल का भुगतान करेगा। तीन साल के लिए ऋण का उपयोग करने के लिए उसे कितना खर्च करना होगा।

अब दूसरी स्थिति पर विचार करें, जब स्टीफन ने खुद को एक साथ खींच लिया, तैयार हो गया और पूरे ऋण का भुगतान तीन में नहीं, बल्कि दो समान भुगतानों में किया। हम अपना एक ही सूत्र लिखते हैं:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

लेकिन इतना ही नहीं, क्योंकि अब हमने दो भुगतानों में से केवल एक की गणना की है, इसलिए कुल मिलाकर Stepan दोगुना भुगतान करेगा:

बढ़िया, अब हम अंतिम उत्तर के करीब हैं। लेकिन ध्यान दें: किसी भी मामले में हमें अभी तक अंतिम उत्तर नहीं मिला है, क्योंकि तीन साल के भुगतान के लिए स्टीफन 5,702,400 रूबल का भुगतान करेगा, और दो साल के भुगतान के लिए वह 5,241,600 रूबल का भुगतान करेगा, यानी थोड़ा कम। कितना कम? यह पता लगाने के लिए, आपको पहली भुगतान राशि से दूसरी भुगतान राशि घटानी होगी:

कुल अंतिम उत्तर 460,800 रूबल है। यदि वह तीन साल नहीं, बल्कि दो साल का भुगतान करता है, तो वास्तव में स्टीफन कितना बचाएगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ब्याज, शर्तों और भुगतानों को जोड़ने वाला सूत्र शास्त्रीय तालिकाओं की तुलना में गणना को बहुत सरल करता है, और, दुर्भाग्य से, अज्ञात कारणों से, अधिकांश समस्या संग्रह में तालिकाओं का उपयोग अभी भी किया जाता है।

अलग से, मैं आपका ध्यान उस अवधि की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जिसके लिए ऋण लिया गया था, और मासिक भुगतान की राशि। तथ्य यह है कि यह संबंध हमारे द्वारा लिखे गए सूत्रों से प्रत्यक्ष रूप से दिखाई नहीं देता है, लेकिन परीक्षा में वास्तविक समस्याओं के त्वरित और प्रभावी समाधान के लिए इसकी समझ आवश्यक है। वास्तव में, यह संबंध बहुत सरल है: जितना अधिक समय तक ऋण लिया जाएगा, मासिक भुगतान में राशि उतनी ही कम होगी, लेकिन ऋण का उपयोग करने की पूरी अवधि में राशि जितनी अधिक होगी। और इसके विपरीत: अवधि जितनी कम होगी, मासिक भुगतान उतना ही अधिक होगा, लेकिन अंतिम ओवरपेमेंट कम होगा और ऋण की कुल लागत कम होगी।

बेशक, ये सभी स्टेटमेंट केवल इस शर्त पर समान होंगे कि दोनों मामलों में ऋण की राशि और ब्याज दर समान है। सामान्य तौर पर, अभी के लिए, बस इस तथ्य को याद रखें - इसका उपयोग इस विषय पर सबसे कठिन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाएगा, लेकिन अभी के लिए हम एक सरल समस्या का विश्लेषण करेंगे, जहां आपको मूल ऋण की कुल राशि का पता लगाने की आवश्यकता है।

उदाहरण #3

तो, एक ऋण के लिए एक और कार्य और, संयोजन में, आज के वीडियो ट्यूटोरियल में अंतिम कार्य।

31 दिसंबर 2014 को, वसीली ने बैंक से 13% प्रति वर्ष की दर से एक निश्चित राशि क्रेडिट पर निकाली। ऋण चुकौती योजना इस प्रकार है: प्रत्येक अगले वर्ष 31 दिसंबर को, बैंक ऋण की शेष राशि पर ब्याज अर्जित करता है (अर्थात, यह ऋण को 13% बढ़ाता है), फिर वसीली बैंक को 5,107,600 रूबल स्थानांतरित करता है। वसीली ने बैंक से कितनी राशि उधार ली यदि उसने दो समान किश्तों (दो साल के लिए) में कर्ज चुकाया?

तो, सबसे पहले, यह समस्या फिर से ऋण के बारे में है, इसलिए हम अपना अद्भुत सूत्र लिखते हैं:

आइए देखें कि समस्या की स्थिति से हम क्या जानते हैं। सबसे पहले, भुगतान - यह प्रति वर्ष 5,107,600 रूबल के बराबर है। दूसरे, प्रतिशत, इसलिए हम अनुपात पा सकते हैं:

इसके अलावा, समस्या की स्थिति के अनुसार, वसीली ने बैंक से दो साल के लिए ऋण लिया, अर्थात। दो समान किश्तों में भुगतान किया गया, इसलिए $n=2$। आइए सब कुछ प्रतिस्थापित करें और यह भी ध्यान दें कि ऋण हमारे लिए अज्ञात है, अर्थात। वह राशि जो उसने ली, और चलिए इसे $x$ के रूप में निरूपित करते हैं। हम पाते हैं:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अपने समीकरण को फिर से लिखें:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

बस इतना ही, यह अंतिम उत्तर है। यह वह राशि थी जिसे वसीली ने शुरुआत में ही क्रेडिट कर लिया था।

अब यह स्पष्ट है कि इस समस्या में हमें केवल दो वर्षों के लिए ऋण लेने के लिए क्यों कहा जाता है, क्योंकि दोहरे अंकों की ब्याज दरें यहां दिखाई देती हैं, अर्थात् 13%, जो कि चुकता है, पहले से ही एक "क्रूर" संख्या देता है। लेकिन यह सीमा नहीं है - अगले अलग पाठ में, हम अधिक जटिल कार्यों पर विचार करेंगे जहां ऋण अवधि खोजने की आवश्यकता होगी, और दर एक, दो या तीन प्रतिशत होगी।

सामान्य तौर पर, जमा और ऋण के लिए समस्याओं को हल करना सीखें, परीक्षा की तैयारी करें और उन्हें "उत्कृष्ट" पास करें। और अगर आज के वीडियो पाठ की सामग्री में कुछ स्पष्ट नहीं है, तो संकोच न करें - लिखें, कॉल करें, और मैं आपकी मदद करने की कोशिश करूंगा।

ब्याज की बुनियादी अवधारणाओं के अनुप्रयोग पर गणित में समस्याओं को हल करना।

प्रतिशत के साथ समस्याओं को 5 वीं कक्षा से हल करना सिखाया जाता है।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करना तीन एल्गोरिदम से निकटता से संबंधित है:

1. किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना
2. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना,
3. एक प्रतिशत ढूँढना।

छात्रों के साथ पाठ में, वे समझते हैं कि एक मीटर का सौवां हिस्सा एक सेंटीमीटर है, एक रूबल का सौवां हिस्सा एक पैसा है, एक सौवां हिस्सा एक किलोग्राम है। लोगों ने लंबे समय से देखा है कि सौवां मूल्य व्यवहार में सुविधाजनक है। इसलिए, उनके लिए एक विशेष नाम गढ़ा गया - प्रतिशत।

तो एक पैसा एक रूबल का एक प्रतिशत है, और एक सेंटीमीटर एक मीटर का एक प्रतिशत है।

एक प्रतिशत एक संख्या का सौवां हिस्सा है। गणितीय रूप से एक प्रतिशत को इस प्रकार लिखा जाता है: 1%।

एक प्रतिशत की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है: 1% \u003d 0.01। ए

5% = 0.05, 23% = 0.23, 130% = 1.3 आदि।

किसी संख्या का 1% कैसे ज्ञात करें?

चूंकि 1% एक सौवां है, इसलिए आपको संख्या को 100 से विभाजित करने की आवश्यकता है। 100 से भाग देने पर 0.01 से गुणा किया जा सकता है। इसलिए, किसी दी गई संख्या का 1% ज्ञात करने के लिए, आपको इसे 0.01 से गुणा करना होगा। और यदि आपको संख्या का 5% ज्ञात करना है, तो इस संख्या को 0.05 से गुणा करें, आदि।

उदाहरण। खोजें: 120 का 25%।

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

नियम 1। किसी संख्या के प्रतिशतों की दी गई संख्या को खोजने के लिए, आपको प्रतिशत को दशमलव भिन्न के रूप में लिखना होगा, और फिर संख्या को इस दशमलव अंश से गुणा करना होगा।

उदाहरण। टर्नर एक घंटे में 40 भाग घूम गया। मजबूत स्टील से बने कटर का उपयोग करके, उसने प्रति घंटे 10 और भागों को चालू करना शुरू कर दिया। श्रम उत्पादकता में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि 40 में से 10 भाग कितने प्रतिशत हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले यह पता लगाते हैं कि संख्या 40 से 10 कौन सा भाग है। हम जानते हैं कि हमें 10 को 40 से विभाजित करने की आवश्यकता है। 0.25 निकले। अब इसे प्रतिशत के रूप में लिखते हैं - 25%।

उत्तर: टर्नर उत्पादकता में 25% की वृद्धि हुई।

नियम 2। यह पता लगाने के लिए कि एक संख्या दूसरे से कितने प्रतिशत है, आपको पहली संख्या को दूसरे से विभाजित करने और परिणामी अंश को प्रतिशत के रूप में लिखने की आवश्यकता है।

उदाहरण। प्रति दिन 60 वाहनों के नियोजित लक्ष्य के साथ, संयंत्र ने 66 वाहनों का उत्पादन किया। संयंत्र ने योजना को कितने प्रतिशत तक पूरा किया?

66: 60 \u003d 1.1 - यह हिस्सा योजना के अनुसार कारों की संख्या से निर्मित कारों से बना है। आइए प्रतिशत = 110% में लिखें।

उत्तर: 110%।

उदाहरण। कांस्य टिन और तांबे का मिश्र धातु है। कांसे के एक टुकड़े में मिश्र धातु का कितना प्रतिशत हिस्सा है, जिसमें 6 किलो टिन और 34 किलो तांबा है?

1. 6+ 34 \u003d 40 (किलो) - पूरे मिश्र धातु का द्रव्यमान।
2. 34: 40 = 0.85 = 85 (%) - मिश्र धातु तांबा है।

उत्तर: 85%।

उदाहरण। हाथी का बच्चा वसंत ऋतु में 20% खो देता है, फिर गर्मियों में 30% प्राप्त करता है, फिर से पतझड़ में 20% खो देता है, और सर्दियों में 10% प्राप्त करता है। क्या इस साल उनका वजन वही रहा? यदि बदला गया है, तो कितने प्रतिशत और किस दिशा में?

1. 100 - 20 = 80 (%) - वसंत के बाद।
2. 80 + 80। 0.3 = 104 (%) - गर्मी के बाद।
3. 104-104. 0.2 = 83.2 (%) - शरद ऋतु के बाद।
4. 83.2 + 83.2. 0.1 = 91.52 (%) - सर्दियों के बाद।

उत्तर: 8.48% वजन कम हुआ।

उदाहरण। हम 20 किलो आंवले के भंडारण के लिए रवाना हुए, जिनमें से जामुन में 99% पानी होता है। जामुन में पानी की मात्रा घटकर 98% हो गई है। कितने आंवले का परिणाम होगा?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0.01 - पहले आंवले में शुष्क पदार्थ का अनुपात।
2. 20. 0.01 \u003d 0.2 (किलो) - शुष्क पदार्थ।
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0.02 - भंडारण के बाद आंवले में शुष्क पदार्थ का अनुपात।
4. 0.2: 0.02 \u003d 10 (किलो) - आंवला बन गया।

उत्तर : 10 किग्रा.

उदाहरण। किसी उत्पाद की कीमत का क्या होता है यदि इसे पहले 25% बढ़ाया जाता है और फिर 25% कम किया जाता है?

मान लें कि उत्पाद की कीमत x रूबल है, फिर वृद्धि के बाद उत्पाद की लागत पिछली कीमत का 125% है, अर्थात। 1.25x, और 25% की कमी के बाद, इसका मूल्य बढ़े हुए मूल्य का 75% या 0.75 है, अर्थात।

0.75 .1.25x = 0.9375x,

तब माल की कीमत 6.25% कम हो गई।

एक्स - 0.9375x = 0.0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

उत्तर: उत्पाद की मूल कीमत में 6.25% की कमी आई है।

नियम 3. दो संख्याओं A और B का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, आपको इन संख्याओं के अनुपात को 100% से गुणा करना होगा, अर्थात गणना (A: B) करनी होगी। 100%।

उदाहरण। एक संख्या ज्ञात कीजिए यदि उसका 15% 30 है।

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x एक दी गई संख्या है;
0.15। एक्स = 300;
एक्स = 200।

उत्तर: 200.

उदाहरण। कच्चा कपास 24% फाइबर पैदा करता है। 480 किलो फाइबर प्राप्त करने के लिए कितना कच्चा कपास लेना चाहिए?

आइए 24% को 0.24 के दशमलव भिन्न के रूप में लिखते हैं और इसके ज्ञात भाग (अंश) से एक संख्या ज्ञात करने की समस्या प्राप्त करते हैं।
480: 0.24= 2000 किग्रा = 2 टी

उत्तर: 2 टी।

उदाहरण। 1 किलो सूखे मशरूम प्राप्त करने के लिए कितने किलो पोर्सिनी मशरूम काटा जाना चाहिए, यदि उनके द्रव्यमान का 50% ताजा मशरूम के प्रसंस्करण के दौरान रहता है, और संसाधित मशरूम के द्रव्यमान का 10% सुखाने के दौरान रहता है?

1 किलो सूखे मशरूम प्रसंस्कृत का 10% या 0.01 भाग है, अर्थात।
1 किग्रा: 0.1=10 किग्रा प्रसंस्कृत मशरूम, जो कटे हुए मशरूम का 50% या 0.5 है, अर्थात।
10 किग्रा: 0.05=20 किग्रा।

उत्तर : 20 किग्रा.

उदाहरण। ताजे मशरूम में वजन के हिसाब से 90% और सूखे 12% पानी होता है। 22 किलो ताजे मशरूम से कितने सूखे मशरूम प्राप्त होंगे?

1. 22. 0.1 = 2.2 (किलो) - ताजे मशरूम में वजन के अनुसार मशरूम; (0.1 10% शुष्क पदार्थ है);
2. 2.2: 0.88 \u003d 2.5 (किलो) - ताजे से प्राप्त सूखे मशरूम (सूखे पदार्थ की मात्रा नहीं बदली है, लेकिन मशरूम में इसका प्रतिशत बदल गया है और अब 2.2 किलो 88% या 0.88 सूखे मशरूम हैं)।

उत्तर : 2.5 किग्रा.

नियम 4. किसी संख्या को उसके प्रतिशत के रूप में खोजने के लिए, आपको प्रतिशत को भिन्न के रूप में व्यक्त करना होगा, और फिर प्रतिशत मान को इस भिन्न से विभाजित करना होगा।

बैंक गणनाओं की समस्याओं में साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज सामान्यतः पाया जाता है। साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज वृद्धि में क्या अंतर है? साधारण वृद्धि के साथ, प्रतिशत की गणना हर बार प्रारंभिक मूल्य के आधार पर की जाती है, और जटिल वृद्धि के साथ, इसकी गणना पिछले मूल्य से की जाती है। साधारण वृद्धि के साथ, 100% प्रारंभिक राशि है, और जटिल वृद्धि के साथ, 100% हर बार नया है और पिछले मूल्य के बराबर है।

उदाहरण। बैंक जमा राशि से 4% प्रति माह की आय का भुगतान करता है। खाते में 300 हजार रूबल डाले गए, हर महीने आय अर्जित की जाती है। 3 महीने के बाद योगदान के मूल्य की गणना करें।

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1.04 - पिछले महीने की तुलना में जमा में वृद्धि का हिस्सा।
2. 300. 1.04 \u003d 312 (हजार रूबल) - 1 महीने के बाद योगदान की राशि।
3. 312. 1.04 \u003d 324.48 (हजार रूबल) - 2 महीने के बाद योगदान की राशि।
4. 324.48. 1.04 = 337.4592 (हजार आर) = 337 459.2 (आर) - 3 महीने के बाद योगदान का मूल्य।

या आप बच्चों के साथ डिग्री की अवधारणा को दोहराते हुए पैराग्राफ 2-4 को एक के साथ बदल सकते हैं: 300.1.043 \u003d 337.4592 (हजार रूबल) \u003d 337,459.2 (आर) - 3 महीने के बाद योगदान की राशि।

उत्तर: 337,459.2 रूबल

उदाहरण। वास्या ने अखबार में पढ़ा कि पिछले 3 महीनों में, खाद्य कीमतों में औसतन 10% प्रति माह की वृद्धि हुई है। 3 महीने में कीमतों में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

उदाहरण। एक प्रसिद्ध कंपनी के शेयरों में निवेश किया गया पैसा सालाना आय का 20% लाता है। कितने वर्षों में निवेश दोगुना हो जाएगा?

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए एक समान कार्य योजना पर विचार करें।

उदाहरण। (विकल्प 1 नंबर 16। OGE-2016। गणित। विशिष्ट परीक्षण कार्य_एड। यशचेंको_2016 -80s)

स्पोर्ट्स स्टोर प्रचार चला रहा है. किसी भी जम्पर की कीमत 400 रूबल है। दो जंपर्स खरीदते समय - दूसरे जम्पर पर 75% की छूट। पदोन्नति अवधि के दौरान दो जंपर्स की खरीद के लिए मुझे कितने रूबल का भुगतान करना होगा?

समस्या की स्थिति के अनुसार, यह पता चलता है कि पहला जम्पर अपनी मूल लागत के 100% पर खरीदा जाता है, और दूसरा 100 - 75 = 25 (%), यानी। कुल मिलाकर, खरीदार को मूल लागत का 100 + 25 = 125 (%) का भुगतान करना होगा। समाधान को फिर तीन तरीकों से माना जा सकता है।

1 रास्ता।

हम 400 रूबल को 100% के रूप में स्वीकार करते हैं। फिर 1% में 400: 100 = 4 (रूबल) और 125% होता है
4. 125 = 500 (रूबल)

2 रास्ते।

किसी संख्या का प्रतिशत प्रतिशत के अनुरूप भिन्न से गुणा करके या दिए गए प्रतिशत से संख्या को गुणा करके और 100 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
400. 1.25 = 500 या 400। 125/100 = 500।

3 रास्ता।

अनुपात संपत्ति को लागू करना:
400 रगड़। - 100%
एक्स रगड़। - 125%, हमें x \u003d 125 मिलता है। 400/100 = 500 (रूबल)

उत्तर: 500 रूबल।

उदाहरण। (विकल्प 4 नंबर 16। OGE-2016। गणित। विशिष्ट परीक्षण कार्य_एड। यशचेंको_2016 -80s)

गोशा के समान उम्र के लड़कों का औसत वजन 57 किलो है। गोशा का वजन औसत वजन का 150% है। गोशा का वजन कितने किलोग्राम है?

इसी तरह ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के लिए, आप एक अनुपात बना सकते हैं:

57 किग्रा - 100%
x किग्रा - 150%, हमें x \u003d 57 मिलता है। 150/100 = 85.5 (किलो)

उत्तर : 85.5 किग्रा.

उदाहरण। (विकल्प 7 नंबर 16। ओजीई-2016। गणित। विशिष्ट परीक्षण कार्य_एड। यशचेंको_2016 - 80 के दशक)

टीवी के मार्कडाउन के बाद इसकी नई कीमत पुराने वाले की 0.52 थी। मार्कडाउन के परिणामस्वरूप कीमत में कितने प्रतिशत की कमी आई?

1 रास्ता।

आइए पहले मूल्य में कमी का हिस्सा ज्ञात करें। यदि मूल मूल्य को 1 के रूप में लिया जाता है, तो 1 - 0.52 = 0.48 मूल्य में कमी का हिस्सा है। तब हमें 0.48 प्राप्त होता है। 100% = 48%। वे। मार्कडाउन के परिणामस्वरूप कीमत में 48% की कमी आई।

2 रास्ते।

अगर शुरुआती कीमत को ए के तौर पर लिया जाए तो मार्कडाउन के बाद टीवी की नई कीमत 0.52ए यानी 0.52ए हो जाएगी। यह A - 0.52A = 0.48A से घट जाएगा।

आइए एक अनुपात बनाएं:
ए - 100%
0.48A - x%, हमें x = 0.48A मिलता है। 100 / ए = 48 (%)।

उत्तर: मार्कडाउन के परिणामस्वरूप कीमत में 48% की कमी आई।

उदाहरण। (विकल्प 9 नंबर 16। ओजीई-2016। गणित। विशिष्ट परीक्षण कार्य_एड। यशचेंको_2016 - 80 के दशक)

बिक्री पर उत्पाद 15% कम हो गया, जबकि इसकी लागत 680 रूबल होने लगी। बिक्री से पहले वस्तु की कीमत कितनी थी?

कीमत में कमी से पहले, उत्पाद की कीमत 100% थी। बिक्री के बाद उत्पाद की कीमत में 15% की कमी आई, यानी। 100 - 15 = 85 (%) बन गया, रूबल में यह मान 680 रूबल के बराबर है।

1 रास्ता।

680: 85 = 8 (रूबल) - 1% में
आठ । 100 \u003d 800 (रूबल) - बिक्री से पहले माल की लागत।

2 रास्ते।

यह किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करने की समस्या है, इसे संख्या को संगत प्रतिशत से विभाजित करके और परिणामी अंश को प्रतिशत में परिवर्तित करके, 100 से गुणा करके, या प्रतिशत से परिवर्तित करके प्राप्त अंश से विभाजित करके हल किया जाता है।
680:85. 100 \u003d 800 (रूबल) या 680: 0.85 \u003d 800 (रूबल)

3 रास्ता।

अनुपात के साथ:
680 रगड़। - 85%
एक्स रगड़। - 100%, हमें x = 680 मिलता है। 100/85 = 800 (रूबल)

उत्तर: बिक्री से पहले सामान की कीमत 800 रूबल है।

"प्रतिशत", "एकाग्रता", "% समाधान" की अवधारणाओं का उपयोग करके मिश्रण और मिश्र धातुओं के लिए समस्याओं को हल करना।

इस प्रकार के सबसे सरल कार्य नीचे सूचीबद्ध हैं।

उदाहरण। नमक का प्रतिशत 15% है तो 10 किलो खारे पानी में कितने किलो नमक है।

दस । 0.15 = 1.5 (किलो) नमक।

उत्तर: 1.5 किग्रा.

किसी घोल में किसी पदार्थ का प्रतिशत (जैसे 15%), जिसे कभी-कभी % घोल (जैसे 15% खारा घोल) कहा जाता है।

उदाहरण। मिश्र धातु में 10 किलो टिन और 15 किलो जस्ता होता है। मिश्रधातु में टिन और जिंक का प्रतिशत कितना है?

किसी मिश्रधातु में किसी पदार्थ का प्रतिशत वह भाग होता है जो किसी दिए गए पदार्थ का भार संपूर्ण मिश्रधातु के भार से बनता है।

1. 10 + 15 = 25 (किलो) - मिश्र धातु;
2. 10:25 पूर्वाह्न 100% = 40% - मिश्र धातु में टिन का प्रतिशत;
3. 15:25. 100% = 60% - मिश्र धातु में जिंक का प्रतिशत।

उत्तर: 40%, 60%।

इस प्रकार के कार्यों में, "एकाग्रता" की अवधारणा मुख्य है। यह क्या है?

उदाहरण के लिए, पानी में एक एसिड के घोल पर विचार करें।

मान लीजिए बर्तन में 10 लीटर घोल है, जिसमें 3 लीटर एसिड और 7 लीटर पानी है। फिर समाधान में सापेक्ष (संपूर्ण मात्रा के संबंध में) एसिड सामग्री बराबर होती है। यह संख्या घोल में अम्ल की सांद्रता को निर्धारित करती है। कभी-कभी वे घोल में एसिड के प्रतिशत के बारे में बात करते हैं। दिए गए उदाहरण में, प्रतिशत इस प्रकार होगा: . जैसा कि आप देख सकते हैं, एकाग्रता से प्रतिशत और इसके विपरीत संक्रमण बहुत सरल है।

तो, मान लें कि M द्रव्यमान के मिश्रण में द्रव्यमान m का कोई पदार्थ है।

• मिश्रण (मिश्र धातु) में दिए गए पदार्थ की सांद्रता एक मात्रा है;
• किसी दिए गए पदार्थ का प्रतिशत c × 100% कहलाता है;

यह अंतिम सूत्र से निम्नानुसार है कि किसी पदार्थ की ज्ञात सांद्रता और मिश्रण (मिश्र धातु) के कुल द्रव्यमान पर, दिए गए पदार्थ का द्रव्यमान सूत्र m=c×M द्वारा निर्धारित किया जाता है।

मिश्रण (मिश्र धातु) पर समस्याओं को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

1. उदाहरण के लिए, दो मिश्रण (मिश्र धातु) जिनका द्रव्यमान m1 और m2 है और उनमें क्रमशः c1 और c2 के बराबर किसी पदार्थ की सांद्रता दी गई है। मिश्रण (मिश्र धातु) को सूखा (फ्यूज्ड) किया जाता है। इस पदार्थ के द्रव्यमान को एक नए मिश्रण (मिश्र धातु) और इसकी नई एकाग्रता में निर्धारित करना आवश्यक है। यह स्पष्ट है कि नए मिश्रण (मिश्र धातु) में दिए गए पदार्थ का द्रव्यमान c1m1+c2m2 और सांद्रता के बराबर है।
2. मिश्रण (मिश्र धातु) की एक निश्चित मात्रा निर्धारित की जाती है, और इस मात्रा से वे मिश्रण (मिश्र धातु) की एक निश्चित मात्रा में डालना (निकालना) शुरू करते हैं, और फिर मिश्रण (मिश्र धातु) की समान या दूसरी मात्रा में जोड़ते हैं (जोड़ते हैं) इस पदार्थ की समान सांद्रता के साथ या एक अलग सांद्रता के साथ। यह ऑपरेशन कई बार किया जाता है।

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, किसी दिए गए पदार्थ की मात्रा और प्रत्येक ईबीबी पर इसकी एकाग्रता के साथ-साथ मिश्रण के प्रत्येक जोड़ पर नियंत्रण स्थापित करना आवश्यक है। इस तरह के नियंत्रण के परिणामस्वरूप, हमें एक हल करने वाला समीकरण प्राप्त होता है। आइए विशिष्ट कार्यों पर विचार करें।

यदि किसी यौगिक में द्रव्यमान द्वारा किसी पदार्थ की सांद्रता P% है, तो इसका अर्थ है कि इस पदार्थ का द्रव्यमान पूरे यौगिक के द्रव्यमान का P% है।

उदाहरण। 300 ग्राम मिश्र धातु में चांदी की सांद्रता 87% है। इसका मतलब है कि मिश्र धातु में शुद्ध चांदी 261 ग्राम है।

300. 0.87 = 261 (जी)।

इस उदाहरण में, किसी पदार्थ की सांद्रता को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

मिश्रण के कुल आयतन के घोल में शुद्ध घटक के आयतन के अनुपात को इस घटक का आयतन सांद्रण कहा जाता है।

मिश्रण बनाने वाले सभी घटकों की सांद्रता का योग 1 है।

यदि किसी पदार्थ का प्रतिशत ज्ञात हो, तो उसकी सांद्रता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:
कश्मीर \u003d पी / 100%,
जहां K पदार्थ की सांद्रता है;
P पदार्थ का प्रतिशत (प्रतिशत में) है।

उदाहरण। (विकल्प 8 नंबर 22। ओजीई-2016। गणित। विशिष्ट परीक्षण कार्य_एड। यशचेंको_2016 - 80 के दशक)

ताजे फलों में 75% पानी होता है, जबकि सूखे मेवों में 25% पानी होता है। 45 किलो सूखे मेवे तैयार करने के लिए कितने ताजे फल की आवश्यकता होती है?

यदि ताजे फलों में 75% जल हो, तो शुष्क पदार्थ 100 - 75 = 25 (%) तथा शुष्क - 25% होगा, तो उनमें शुष्क पदार्थ 100 - 25 = 75 (%) होगा।

किसी समस्या को हल करते समय, आप तालिका का उपयोग कर सकते हैं:

ताजे फल x 25% = 0.25 0.25। एक्स

सूखे मेवे 45 75% = 0.75 0.75। 45 = 33.75

क्योंकि ताजे और सूखे मेवों के लिए शुष्क पदार्थ का द्रव्यमान नहीं बदलता है, हमें समीकरण मिलता है:

0.25। एक्स = 33.75;
एक्स = 33.75: 0.25;
x = 135 (किलो) - ताजे फल की आवश्यकता होती है।

उत्तर : 135 किग्रा.

उदाहरण। (विकल्प 8 नंबर 11। एकीकृत राज्य परीक्षा-2016। गणित। विशिष्ट। टेस्ट। कार्य। एड। यशचेंको 2016 -56 एस)

70% और 60% एसिड के घोल को मिलाकर 2 किलो शुद्ध पानी मिलाने से 50% एसिड घोल प्राप्त होता है। यदि 2 किग्रा जल के स्थान पर उसी अम्ल के 90% विलयन में 2 किग्रा जल मिला दिया जाए, तो अम्ल का 70% विलयन प्राप्त हो जाता है। मिश्रण बनाने के लिए 70% घोल के कितने किलोग्राम का उपयोग किया गया था?

कुल वजन, किलो | शुष्क पदार्थ एकाग्रता | शुष्क पदार्थ द्रव्यमान
मैं x 70% \u003d 0.7 0.7. एक्स
60% में II = 0.6 0.6। पर
पानी 2 - -
I + II + पानी x + y + 2 50% \u003d 0.5 0.5। (एक्स + वाई + 2)
III 2 90% = 0.9 0.9। 2 = 1.8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0.7 0.7। (एक्स + वाई + 2)

तालिका के अंतिम कॉलम का उपयोग करके, हम 2 समीकरण बनाएँगे:

0.7. एक्स + 0.6। वाई = 0.5। (एक्स + वाई + 2) और 0.7। एक्स + 0.6। वाई + 1.8 = 0.7। (एक्स + वाई + 2)।

उन्हें एक प्रणाली में मिलाकर, और इसे हल करने पर, हमें x = 3 किलो मिलता है।

उत्तर: मिश्रण प्राप्त करने के लिए 70% घोल के 3 किलोग्राम का उपयोग किया गया था।

उदाहरण। (विकल्प 2 नंबर 11. एकीकृत राज्य परीक्षा-2016। गणित। विशिष्ट। टेस्ट। असाइनमेंट। एड। यशचेंको 2016 -56s)

तीन किलोग्राम चेरी की कीमत पांच किलोग्राम चेरी के बराबर होती है, और तीन किलोग्राम चेरी की कीमत दो किलोग्राम स्ट्रॉबेरी के बराबर होती है। एक किलोग्राम स्ट्रॉबेरी एक किलोग्राम चेरी से कितने प्रतिशत सस्ता है?

समस्या के पहले वाक्य से, हम निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त करते हैं:

3एच = 5वी,
3वी = 2k।
जिससे हम व्यक्त कर सकते हैं: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2।

इस प्रकार, आप एक अनुपात बना सकते हैं:
5वी/3 - 100%
3v / 2 - x%, हमें x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c) मिलता है, x \u003d 90% एक किलोग्राम स्ट्रॉबेरी की एक किलोग्राम की लागत से लागत है चेरी।

तो, 100 - 90 = 10 (%) - एक किलोग्राम स्ट्रॉबेरी एक किलोग्राम चेरी से सस्ता है।

उत्तर: एक किलोग्राम स्ट्रॉबेरी एक किलोग्राम चेरी की तुलना में 10 प्रतिशत सस्ता है।

वृद्धि (कमी) गुणांक की अवधारणा का उपयोग करके "यौगिक" ब्याज के लिए समस्याओं को हल करना।

धनात्मक संख्या A को p प्रतिशत से बढ़ाने के लिए, संख्या A को वृद्धि कारक K = (1 + 0.01p) से गुणा करें।

धनात्मक संख्या A को p प्रतिशत से कम करने के लिए, संख्या A को कमी कारक K = (1 - 0.01p) से गुणा करें।

उदाहरण। (विकल्प 29 नंबर 22। OGE-2015। गणित। विशिष्ट परीक्षा विकल्प: 36 विकल्प / यशचेंको द्वारा संपादित, 2015 - 224c)

एक वस्तु की कीमत उसी प्रतिशत से दो बार कम की गई थी। यदि माल की प्रारंभिक लागत 5,000 रूबल थी और अंतिम लागत 4,050 रूबल थी, तो प्रत्येक बार माल की कीमत में कितने प्रतिशत की कमी आई?

1 रास्ता।

क्योंकि एक वस्तु की कीमत में% की समान संख्या में कमी आई है, आइए% की संख्या को x के रूप में निरूपित करें। मान लें कि उत्पाद की कीमत पहली और दूसरी बार x% कम है, फिर पहली कमी के बाद उत्पाद की कीमत (100 - x)% हो गई है।

आइए अनुपात बनाते हैं
5000 रगड़। - 100%
रगड़ पर। - (100 - x)%, हमें y \u003d 5000 मिलता है। (100 - x) / 100 = 50। (100 - x) रूबल - पहली कमी के बाद माल की लागत।

आइए नई कीमत के लिए एक नया अनुपात बनाएं:
पचास । (100 - एक्स) रगड़। - 100%
जेड रगड़। - (100 - x)%, हमें z \u003d 50 मिलता है। (100 - एक्स) (100 - एक्स) / 100 = 0.5। (100 - x) 2 रूबल - दूसरी कमी के बाद माल की लागत।

हमें समीकरण 0.5 मिलता है। (100 - x) 2 \u003d 4050। इसे हल करने के बाद, हमें वह x \u003d 10% मिलता है।

2 रास्ते।

क्योंकि एक वस्तु की कीमत में% की समान संख्या में कमी आई है, आइए हम% की संख्या को x, x% = 0.01 x के रूप में निरूपित करें।

कमी कारक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम तुरंत समीकरण प्राप्त करते हैं:
5000 (1 - 0.01x) 2 = 4050।

उत्तर: माल की कीमत में हर बार 10% की कमी आई।

उदाहरण। (विकल्प 30 नंबर 22। OGE-2015। गणित। विशिष्ट परीक्षा विकल्प: 36 विकल्प / यशचेंको द्वारा संपादित, 2015 - 224c)

एक वस्तु की कीमत में समान प्रतिशत की दो बार वृद्धि की गई। यदि माल की प्रारंभिक लागत 3,000 रूबल थी और अंतिम लागत 3,630 रूबल थी, तो प्रत्येक बार माल की कीमत में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

क्योंकि एक वस्तु की कीमत में% की समान संख्या में वृद्धि हुई है, आइए हम% की संख्या को x, x% = 0.01 x से निरूपित करें।

आवर्धन कारक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम तुरंत समीकरण प्राप्त करते हैं:
3000. (1 + 0.01x) 2 = 3630।

इसे हल करने पर हमें x = 10% प्राप्त होता है।

उत्तर: वस्तुओं की कीमत में हर बार 10% की वृद्धि।

उदाहरण। (विकल्प 4 नंबर 11। एकीकृत राज्य परीक्षा-2016। गणित। विशिष्ट। टेस्ट। एस। एड। यशचेंको 2016 -56)

गुरुवार को, कंपनी के शेयरों की कीमत में एक निश्चित प्रतिशत की वृद्धि हुई, और शुक्रवार को वे समान प्रतिशत की कीमत में गिर गए। नतीजतन, गुरुवार को कारोबार के उद्घाटन की तुलना में वे 9% सस्ते होने लगे। गुरुवार को कंपनी के शेयरों की कीमत में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

मान लें कि कंपनी के शेयरों की कीमत में x%, x% = 0.01 x की वृद्धि और गिरावट है, और शेयरों का प्रारंभिक मूल्य A था। समस्या की सभी स्थितियों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण प्राप्त करते हैं:

(1 + 0.01 x) (1 - 0.01 x) ए \u003d (1 - 0.09) ए,
1 - (0.01 x) 2 \u003d 0.91,
(0.01 x)2 = (0.3)2,
0.01 x \u003d 0.3,
एक्स = 30%।

उत्तर गुरुवार को कंपनी के शेयरों में 30 फीसदी की तेजी आई।

गणित में USE-2016 के नए संस्करण में "बैंकिंग" समस्याओं का समाधान।

उदाहरण। (विकल्प 2 संख्या 17। एकीकृत राज्य परीक्षा-2016। गणित। 50 प्रकार। संशोधित संस्करण। यशचेंको 2016)

15 जनवरी को बैंक से 15 महीने के लिए कर्ज लेने की योजना है। इसकी वापसी की शर्तें इस प्रकार हैं:

यह ज्ञात है कि आठवें भुगतान की राशि 108 हजार रूबल थी। पूरी ऋण अवधि के दौरान बैंक को कितनी राशि चुकानी होगी?

2 से 14 तारीख तक A/15 +0.01A का भुगतान किया जाता है।

उसके बाद, ऋण की राशि 1.01A - A / 15 - 0.01A \u003d 14A / 15 होगी।

2 महीने के बाद हमें मिलता है: 1.01। 14ए/15.

दूसरा भुगतान ए/15 + 0.01। 14ए/15.

फिर दूसरे भुगतान के बाद का कर्ज 13A/15 है।

इसी तरह, हम पाते हैं कि आठवां भुगतान इस तरह दिखेगा:

ए/15 + 0.01। 8ए/15 = ए/15। (1 + 0.08) = 1.08ए / 15।

और शर्त के अनुसार यह 108 हजार रूबल के बराबर है। तो, हम समीकरण लिख और हल कर सकते हैं:

1.08ए / 15 \u003d 108,

ए = 1500 (हजार रूबल) - ऋण की प्रारंभिक राशि।

2) पूरी ऋण अवधि के दौरान बैंक को चुकाई जाने वाली राशि का पता लगाने के लिए, हमें ऋण पर सभी भुगतानों की राशि का पता लगाना चाहिए।

ऋण पर सभी भुगतानों का योग इस तरह दिखेगा:

(ए / 15 + 0.01 ए) + (ए / 15 + 0.01। 14 ए / 15) + (ए / 15 + 0.01. 13 ए / 15) + ... + (ए / 15 + 0.01। ए /15) \u003d ए + 0.01 ए / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d ए + (0.01. 120 ए)/15 = 1.08 ए।

तो 1.08. 1500 \u003d 1620 (हजार रूबल) \u003d 1620000 रूबल पूरी ऋण अवधि के दौरान बैंक को वापस करना होगा।

उत्तर: 1620000 रूबल।

उदाहरण। (विकल्प 6 नंबर 17। एकीकृत राज्य परीक्षा-2016। गणित। 50 प्रकार। संशोधित संस्करण। यशचेंको 2016)

15 जनवरी को बैंक से 24 महीने के लिए कर्ज लेने की योजना है। इसकी वापसी की शर्तें इस प्रकार हैं:

• प्रत्येक महीने की पहली तारीख को, पिछले महीने के अंत की तुलना में ऋण 1% बढ़ जाता है;
• हर महीने की 2 से 14 तारीख तक, कर्ज के हिस्से का भुगतान किया जाना चाहिए;
• प्रत्येक महीने के 15 वें दिन, ऋण पिछले महीने के 15 वें दिन ऋण से कम होना चाहिए।

यह ज्ञात है कि पहले 12 महीनों के लिए बैंक को 177.75 हजार रूबल का भुगतान करना आवश्यक है। आप कितना उधार लेने की योजना बना रहे हैं?

1) मान लें कि A ऋण राशि है, 1% = 0.01।

फिर पहले महीने के बाद 1.01A कर्ज।

2 से 14 तारीख तक, A/24 +0.01A का भुगतान किया जाता है।

उसके बाद, ऋण की राशि 1.01A - A / 24 - 0.01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24 होगी।

इस योजना के तहत पिछले महीने के 15वें दिन कर्ज से उतनी ही कम राशि हो जाती है।

2 महीने के बाद हमें मिलता है: 1.01। 23ए/24.

दूसरा भुगतान ए/24 + 0.01। 23ए/24.

फिर दूसरे भुगतान के बाद का कर्ज 1.01 है। 23ए/24 - ए/24 - 0.01। 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1.01 - 0.01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24।

इस प्रकार, हम पाते हैं कि पहले 12 महीनों के लिए आपको बैंक को निम्नलिखित राशि का भुगतान करना होगा:
ए/24 +0.01ए। 24/24 + ए/24 + 0.01। 23ए/24 + ए/24 + 0.01। 22ए/24 + ... + ए/24 + 0.01। 13A/24 = 12A/24 + 0.01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 ।

और शर्त के अनुसार यह 177.375 हजार रूबल के बराबर है। तो, हम समीकरण लिख और हल कर सकते हैं:
711ए / 1200 \u003d 177.75,
ए = 300 (हजार रूबल) = 300,000 रूबल - यह ऋण लेने की योजना है।

उत्तर: 300,000 रूबल।

प्रतिशत के साथ पाठ की समस्याओं को सही ढंग से और जल्दी से हल करने में सक्षम होने के लिए न केवल उन छात्रों के लिए आवश्यक है जो बुनियादी या विशेष स्तर पर गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले हैं, बल्कि सभी वयस्कों के लिए भी आवश्यक हैं, क्योंकि ऐसे कार्यों का सामना रोज़मर्रा की जिंदगी में लगातार होता है। कीमतें बढ़ाना, परिवार के बजट की योजना बनाना, धन का लाभदायक निवेश और कई अन्य मुद्दों को इन कौशलों के बिना हल नहीं किया जा सकता है। प्रमाणन परीक्षा उत्तीर्ण करने की तैयारी में, प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करने के तरीके को दोहराना अनिवार्य है: गणित में यूएसई में, वे बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर दोनों में पाए जाते हैं।

याद रखने की जरूरत है

एक प्रतिशत किसी संख्या का \(\frac(1)(100)\) भाग है। संपूर्ण के संबंध में किसी चीज के अनुपात को दर्शाता है। लिखित वर्ण \(\%\) है। "ब्याज" विषय पर एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय, मास्को और रूसी संघ के अन्य हिस्सों में स्कूली बच्चों को निम्नलिखित सूत्र याद रखना चाहिए:

\

इसे कैसे लागू करें?

गणित की परीक्षा में प्रतिशत के साथ एक सरल कार्य को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

1. दी गई संख्या को \(100\) से भाग दें।
2. परिणामी मान को मिलने वाली राशि \(\%\) से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, संख्या \(300\) से \(10\%\) की गणना करने के लिए, आपको \(300:100=3\) को विभाजित करके \(1\) प्रतिशत ज्ञात करना होगा। और पिछली क्रिया से प्राप्त संख्या \(3\cdot10=30\) । उत्तर: \(30\)।

ये सबसे सरल कार्य हैं। परीक्षा में 11 वीं कक्षा के छात्रों को प्रतिशत के साथ जटिल समस्याओं को हल करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। एक नियम के रूप में, वे बैंक जमा या भुगतान के बारे में बात कर रहे हैं। आप "सैद्धांतिक संदर्भ" अनुभाग में जाकर सूत्रों और उनके आवेदन के नियमों से परिचित हो सकते हैं। यहां आप न केवल मूल परिभाषाओं को दोहरा सकते हैं, बल्कि बैंक ऋण पर ब्याज की जटिल समस्याओं को हल करने के विकल्पों के साथ-साथ बीजगणित के अन्य वर्गों के अभ्यासों से भी परिचित हो सकते हैं, उदाहरण के लिए,

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

ऐलेना ने बैंक में 5500 रूबल की राशि जमा की। जमा पर ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है और इसे वर्तमान जमा राशि में जोड़ा जाता है। एक साल बाद, नतालिया ने उसी बैंक में और समान शर्तों पर समान राशि जमा की। एक साल बाद, ऐलेना और नताल्या ने एक साथ अपनी जमा राशि बंद कर दी और पैसे ले लिए। नतीजतन, ऐलेना को नताल्या की तुलना में 739.2 रूबल अधिक मिले। बैंक द्वारा जमाराशियों पर प्रतिवर्ष कितना प्रतिशत प्रभारित किया जाता है?

समाधान दिखाएं

फेसला

मान लीजिए प्रतिशत प्रतिवर्ष x है, तो एक वर्ष के बाद ऐलेना का योगदान था:

5500 + 0.01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0.01x)रूबल, और एक साल बाद - 5500(1 + 0.01x)^2 रूबल। नतालिया की जमा राशि केवल एक वर्ष के लिए बैंक में थी, इसलिए यह 5500(1 + 0.01x) रूबल के बराबर है। और ऐलेना और नतालिया के परिणामी योगदान के बीच का अंतर 739.2 रूबल था।

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

5500(1+0.01x)^2-5500(1+0.01x)= 739,2,

(1+0.01x)^2-(1+0.01x)=0.1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

बैंक सालाना 12 फीसदी चार्ज करता है।

जवाब

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

उद्यमी पेट्रोव ने 2005 में 12,000 रूबल का लाभ कमाया। प्रत्येक बाद के वर्ष, उसके लाभ में पिछले वर्ष की तुलना में 110% की वृद्धि हुई। 2008 में पेट्रोव ने कितने रूबल कमाए?

समाधान दिखाएं

फेसला

2005 में, लाभ 12\,000 रूबल था, प्रत्येक अगले वर्ष इसमें 110\% की वृद्धि हुई, अर्थात यह पिछले वर्ष से 210\% \u003d 2.1 हो गया। तीन साल में होगा 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132रूबल

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

दो मिश्र हैं। पहले मिश्र धातु में 12% लोहा होता है, दूसरे में - 28% लोहा। दूसरी मिश्रधातु का द्रव्यमान पहले मिश्रधातु के द्रव्यमान से 2 किग्रा अधिक है। इन दो मिश्र धातुओं से, एक तीसरा मिश्र धातु 21% लोहे की सामग्री के साथ बनाया गया था। तीसरे मिश्र धातु का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर किलोग्राम में दें।

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फेसला

आइए हम पहले मिश्र धातु के द्रव्यमान को x किग्रा के रूप में निरूपित करें। तब दूसरी मिश्रधातु का द्रव्यमान (x + 2) kg है। पहले मिश्र धातु में लौह सामग्री 0.12x किग्रा है, दूसरे मिश्र धातु में - 0.28(x + 2) किग्रा। तीसरे मिश्र धातु का द्रव्यमान x + x + 2 = 2x + 2 (kg) है, और इसकी लौह सामग्री है 2(x + 1) \cdot 0.21 = 0.42(x + 1)किलोग्राम।

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

0.12x+ 0.28(x + 2) = 0.42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

एक्स = 7.

तीसरे मिश्रधातु का द्रव्यमान 2 \cdot 7 + 2 = 16 (kg) है।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

स्टोर में टीवी सेट की कीमत त्रैमासिक (एक चौथाई - तीन महीने में) पिछली कीमत से समान प्रतिशत कम हो जाती है। यह ज्ञात है कि 50,000 रूबल की कीमत का एक टीवी दो तिमाहियों बाद 41,405 रूबल में बेचा गया था। टीवी की लागत में तिमाही कमी का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

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फेसला

टीवी की कीमत मूल रूप से 50,000 रूबल थी। एक चौथाई बाद में वह बन गई 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0.01x)रूबल, जहां x वह प्रतिशत है जिससे टीवी की कीमत त्रैमासिक कम हो जाती है। दो तिमाहियों के बाद इसकी कीमत हो गई

50\,000(1-0.01x)(1-0.01x)=50\,000(1-0.01x)^2।

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

50\,000(1-0.01x)^2=41\,405,

(1-0.01x)^2=0.8281,

1-0.01x = 0.91,

एक्स = 9।

तो, टीवी की कीमत तिमाही में 9 प्रतिशत घट गई।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

2005 में, गांव में 55,000 लोग रहते थे। 2006 में, नए घरों के निर्माण के परिणामस्वरूप, निवासियों की संख्या में 6% की वृद्धि हुई, और 2007 में - 2006 की तुलना में 10% की वृद्धि हुई। 2007 में गांव के निवासियों की संख्या पाएं।

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फेसला

2006 में, गाँव के निवासियों की संख्या में 6% की वृद्धि हुई, अर्थात्। 106% हो गया, जो 55\,000 \cdot 1.06 = 58\,300 (निवासियों) के बराबर है। 2006 में, गाँव के निवासियों की संख्या 2006 की तुलना में 10% (110% हो गई) बढ़ गई, अर्थात। गांव के निवासियों की संख्या 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 लोग हो गए।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

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फेसला

14% जलीय घोल के 3 लीटर में 3 \ cdot0.14 \u003d 0.42 लीटर होता है। कुछ पदार्थ। 4 लीटर पानी मिलाने पर यह 7 लीटर घोल बन गया। इन 7 लीटर नए घोल में - किसी पदार्थ का 0.42 लीटर। आइए नए समाधान की एकाग्रता का पता लगाएं: 0.42:7\cdot100=6%।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 11
विषय: प्रतिशत के लिए कार्य

स्थिति

निर्माण कंपनियों ने 150 मिलियन रूबल की अधिकृत पूंजी के साथ एक कंपनी की स्थापना की। पहली फर्म ने अधिकृत पूंजी का 20% योगदान दिया, दूसरी फर्म - 22.5 मिलियन रूबल, तीसरी - अधिकृत पूंजी का 0.3, चौथी फर्म ने बाकी का योगदान दिया।