वीडियो पाठ्यक्रम "गेट एन ए" में 60-65 अंकों के साथ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। गणित में प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षा के सभी कार्य 1-13 पूर्णतः। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत. एकीकृत राज्य परीक्षा के त्वरित समाधान, नुकसान और रहस्य। FIPI टास्क बैंक से भाग 1 के सभी मौजूदा कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति. सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की स्पष्ट व्याख्या. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

सबूत:

• दिया गया त्रिभुज ABC.
• शीर्ष B से होकर हम आधार AC के समांतर एक सीधी रेखा DK खींचते हैं।
• \कोण सीबीके= \कोण सी आंतरिक क्रॉसवाइज के रूप में समानांतर डीके और एसी, और छेदक बीसी के साथ स्थित है।
• \कोण डीबीए = \कोण ए आंतरिक क्रॉसवर्ड डीके के साथ स्थित है \समानांतर एसी और छेदक एबी। कोण DBK उलटा और बराबर है
• \कोण डीबीके = \कोण डीबीए + \कोण बी + \कोण सीबीके
• चूँकि खुला हुआ कोण 180 ^\circ के बराबर है, और \कोण CBK = \कोण C और \कोण DBA = \कोण A, हमें मिलता है 180 ^\circ = \कोण A + \कोण B + \कोण C.

प्रमेय सिद्ध है

त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय से परिणाम:

1. एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोणों का योग बराबर होता है 90°.
2. एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में प्रत्येक न्यूनकोण बराबर होता है 45°.
3. समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण बराबर होता है 60°.
4. किसी भी त्रिभुज में, या तो सभी कोण न्यूनकोण होते हैं, या दो कोण न्यूनकोण होते हैं, और तीसरा अधिककोण या समकोण होता है।
5. किसी त्रिभुज का एक बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो इसके आसन्न नहीं होते हैं।

त्रिभुज बाह्य कोण प्रमेय

किसी त्रिभुज का एक बाह्य कोण त्रिभुज के उन दो शेष कोणों के योग के बराबर होता है जो इस बाह्य कोण के आसन्न नहीं होते हैं

सबूत:

• एक त्रिभुज ABC दिया गया है, जहाँ BCD बाह्य कोण है।
• \कोण बीएसी + \कोण एबीसी +\कोण बीसीए = 180^0
• समानता से कोण \कोण बीसीडी + \कोण बीसीए = 180^0
• हम पाते हैं \कोण बीसीडी = \कोण बीएसी+\कोण एबीसी.

प्रारंभिक जानकारी

सबसे पहले, आइए सीधे त्रिभुज की अवधारणा को देखें।

परिभाषा 1

हम त्रिभुज को एक ज्यामितीय आकृति कहेंगे जो खंडों द्वारा एक दूसरे से जुड़े तीन बिंदुओं से बनी होती है (चित्र 1)।

परिभाषा 2

परिभाषा 1 के ढांचे के भीतर, हम बिंदुओं को त्रिभुज के शीर्ष कहेंगे।

परिभाषा 3

परिभाषा 1 के ढांचे के भीतर, खंडों को त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाएगा।

जाहिर है, किसी भी त्रिभुज में 3 शीर्ष होंगे, साथ ही तीन भुजाएँ भी होंगी।

त्रिभुज में कोणों के योग पर प्रमेय

आइए हम त्रिभुजों से संबंधित एक मुख्य प्रमेय का परिचय दें और उसे सिद्ध करें, अर्थात् त्रिभुज में कोणों के योग पर प्रमेय।

प्रमेय 1

किसी भी मनमाने त्रिभुज में कोणों का योग $180^\circ$ होता है।

सबूत।

त्रिभुज $EGF$ पर विचार करें। आइए हम सिद्ध करें कि इस त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ के बराबर है। आइए एक अतिरिक्त निर्माण करें: सीधी रेखा $XY||EG$ खींचें (चित्र 2)

चूँकि रेखाएँ $XY$ और $EG$ समानांतर हैं, तो $∠E=∠XFE$ छेदक रेखा $FE$ पर क्रॉसवाइज होती हैं, और $∠G=∠YFG$ छेदक रेखा $FG$ पर क्रॉसवाइज होती हैं

कोण $XFY$ उलट जाएगा और इसलिए $180^\circ$ के बराबर होगा।

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

इस तरह

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज बाह्य कोण प्रमेय

किसी त्रिभुज के कोणों के योग पर एक अन्य प्रमेय को बाह्य कोण पर प्रमेय माना जा सकता है। सबसे पहले, आइए इस अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 4

हम त्रिभुज के बाह्य कोण को वह कोण कहेंगे जो त्रिभुज के किसी भी कोण के समीप होता है (चित्र 3)।

आइए अब सीधे प्रमेय पर विचार करें।

प्रमेय 2

किसी त्रिभुज का एक बाह्य कोण त्रिभुज के दो कोणों के योग के बराबर होता है जो इसके समीप नहीं हैं।

सबूत।

एक मनमाना त्रिभुज $EFG$ पर विचार करें। मान लीजिए कि इसका एक बाहरी कोण त्रिभुज $FGQ$ है (चित्र 3)।

प्रमेय 1 के अनुसार, हमारे पास $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ होगा, इसलिए,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

चूँकि कोण $FGQ$ बाहरी है, इसलिए यह कोण $∠G$ के निकट है

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

नमूना कार्य

उदाहरण 1

यदि कोई त्रिभुज समबाहु है तो उसके सभी कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए इसमें सभी कोण भी एक-दूसरे के बराबर होते हैं। आइए हम उनके डिग्री माप को $α$ से निरूपित करें।

फिर, प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है

$α+α+α=180^\circ$

उत्तर: सभी कोण $60^\circ$ के बराबर होते हैं।

उदाहरण 2

एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करें यदि इसका एक कोण $100^\circ$ के बराबर है।

आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज में कोणों के लिए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

चूँकि हमें शर्त में यह नहीं बताया गया है कि $100^\circ$ किस कोण के बराबर है, तो दो स्थितियाँ संभव हैं:

$100^\circ$ के बराबर का कोण त्रिभुज के आधार पर बना कोण है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों पर प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$∠2=∠3=100^\circ$

लेकिन तभी उनका योग $180^\circ$ से अधिक होगा, जो प्रमेय 1 की शर्तों का खंडन करता है। इसका मतलब है कि यह मामला घटित नहीं होता है।

$100^\circ$ के बराबर का कोण समान भुजाओं के बीच का कोण होता है, अर्थात

कल से आगे:

आइए एक ज्यामिति परी कथा पर आधारित मोज़ेक के साथ खेलें:

एक समय की बात है, त्रिकोण हुआ करते थे। इतने समान कि वे एक-दूसरे की प्रतिलिपियाँ मात्र हैं।
वे किसी तरह एक सीधी रेखा में पास-पास खड़े हो गये। और चूँकि वे सभी एक ही ऊँचाई के थे -
तब उनके शीर्ष शासक के अधीन एक ही स्तर पर थे:



ट्राइएंगल्स को गिरना और अपने सिर के बल खड़ा होना पसंद था। वे शीर्ष पंक्ति पर चढ़ गए और कलाबाज़ों की तरह कोने पर खड़े हो गए।
और हम पहले से ही जानते हैं - जब वे अपने शीर्षों को बिल्कुल एक पंक्ति में रखकर खड़े होते हैं,
फिर उनके तलवे भी एक शासक का अनुसरण करते हैं - क्योंकि यदि कोई एक ही ऊंचाई का है, तो वे भी एक ही ऊंचाई के उलटे हैं!



वे हर चीज़ में एक जैसे थे - एक जैसी ऊंचाई, एक जैसे तलवे,
और किनारों पर स्लाइड - एक खड़ी, दूसरी चपटी - लंबाई में समान हैं
और उनका ढलान समान है। खैर, सिर्फ जुड़वाँ बच्चे! (केवल अलग-अलग कपड़ों में, प्रत्येक के पास पहेली का अपना टुकड़ा है).



- त्रिभुजों की भुजाएँ समान कहाँ होती हैं? कोने कहाँ एक जैसे हैं?

त्रिकोण अपने सिर के बल खड़े हो गए, वहीं खड़े हो गए, और नीचे की पंक्ति में खिसकने और लेटने का फैसला किया।
वे फिसलते हुए एक पहाड़ी से नीचे गिरे; लेकिन उनकी स्लाइडें एक जैसी हैं!
इसलिए वे बिल्कुल निचले त्रिकोणों के बीच फिट होते हैं, बिना अंतराल के, और किसी ने किसी को एक तरफ नहीं धकेला।



हमने त्रिभुजों के चारों ओर देखा और एक दिलचस्प विशेषता देखी।
जहां भी उनके कोण एक साथ आएंगे, तीनों कोण निश्चित रूप से मिलेंगे:
सबसे बड़ा "हेड एंगल", सबसे न्यून कोण और तीसरा, मध्यम सबसे बड़ा कोण है।
उन्होंने रंगीन रिबन भी बांधे ताकि यह तुरंत स्पष्ट हो जाए कि कौन सा रिबन है।

और यह पता चला कि त्रिभुज के तीन कोण, यदि आप उन्हें जोड़ते हैं -
एक बड़ा कोण बनाएं, एक "खुला कोना" - एक खुली किताब के कवर की तरह,

______________________ओ ____________________

इसे घुमा हुआ कोण कहा जाता है।

कोई भी त्रिभुज पासपोर्ट की तरह होता है: तीन कोण मिलकर खुले हुए कोण के बराबर होते हैं।
कोई आपके दरवाजे पर दस्तक देता है:- ठक-ठक, मैं त्रिकोण हूं, मुझे रात गुजारने दो!
और तुम उससे कहो - मुझे कोणों का योग विस्तारित रूप में दिखाओ!
और यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि क्या यह एक वास्तविक त्रिकोण है या कोई धोखेबाज़ है।
विफल सत्यापन - एक सौ अस्सी डिग्री घूमो और घर जाओ!



जब वे कहते हैं "180° घूमें" तो इसका अर्थ है पीछे की ओर घूमना
विपरीत दिशा में जाओ.

यही बात अधिक परिचित अभिव्यक्तियों में, बिना "वंस अपॉन ए टाइम" के:



आइए हम OX अक्ष के अनुदिश त्रिभुज ABC का समानांतर अनुवाद करें
वेक्टर के लिए अबआधार AB की लंबाई के बराबर।
रेखा DF त्रिभुजों के शीर्ष C और C 1 से होकर गुजरती है
OX अक्ष के समानांतर, इस तथ्य के कारण कि OX अक्ष के लंबवत
खंड h और h 1 (समान त्रिभुजों की ऊंचाई) बराबर हैं।
इस प्रकार, त्रिभुज A 2 B 2 C 2 का आधार आधार AB के समानांतर है
और लंबाई में इसके बराबर (चूंकि शीर्ष C 1 एबी के योग से C के सापेक्ष स्थानांतरित हो जाता है)।
त्रिभुज A 2 B 2 C 2 और ABC तीन तरफ बराबर हैं।
इसलिए, एक सीधा कोण बनाने वाले कोण ∠A 1 ∠B ∠C 2 त्रिभुज ABC के कोणों के बराबर हैं।
=> एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है

आंदोलनों के साथ - "अनुवाद", तथाकथित प्रमाण छोटा और स्पष्ट है,
यहां तक ​​कि एक बच्चा भी मोज़ेक के टुकड़ों को समझ सकता है।

लेकिन पारंपरिक स्कूल:



समानांतर रेखाओं पर काटे गए आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोणों की समानता के आधार पर



मूल्यवान इसमें है कि यह एक विचार देता है कि ऐसा क्यों है,
क्योंकिसी त्रिभुज के कोणों का योग विपरीत कोण के बराबर होता है?

क्योंकि अन्यथा समानांतर रेखाओं में हमारी दुनिया से परिचित गुण नहीं होते।

प्रमेय दोनों तरह से काम करते हैं। यह समांतर रेखाओं के अभिगृहीत से अनुसरण करता है
आड़े और ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता, और उनसे - त्रिभुज के कोणों का योग।

लेकिन इसका विपरीत भी सत्य है: जब तक किसी त्रिभुज के कोण 180° होते हैं, तब तक समानांतर रेखाएँ होती हैं
(जैसे कि किसी रेखा पर न पड़े एक बिंदु से होकर कोई दी गई रेखा की एक अद्वितीय रेखा खींच सकता है ||)।
यदि किसी दिन संसार में कोई ऐसा त्रिभुज प्रकट हो जिसके कोणों का योग खुले हुए कोण के बराबर न हो -
तब समानांतर वाले समानांतर नहीं रह जाएंगे, सारा संसार झुका और तिरछा हो जाएगा।

यदि त्रिभुज पैटर्न वाली धारियों को एक के ऊपर एक रखा जाए -
आप पूरे क्षेत्र को दोहराए जाने वाले पैटर्न से कवर कर सकते हैं, जैसे टाइल्स वाला फर्श:




आप ऐसे ग्रिड पर विभिन्न आकृतियों का पता लगा सकते हैं - षट्भुज, समचतुर्भुज,
स्टार बहुभुज और विभिन्न प्रकार के लकड़ी के छत प्राप्त करें






एक विमान को लकड़ी की छत से टाइल करना न केवल एक मनोरंजक खेल है, बल्कि एक प्रासंगिक गणितीय समस्या भी है:



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चूँकि प्रत्येक चतुर्भुज एक आयत, वर्ग, समचतुर्भुज, आदि है,
दो त्रिभुजों से बन सकता है,
क्रमशः, चतुर्भुज के कोणों का योग: 180° + 180° = 360°


समान समद्विबाहु त्रिभुजों को अलग-अलग तरीकों से वर्गों में मोड़ा जाता है।
2 भागों का एक छोटा वर्ग। 4 का औसत. और 8 में से सबसे बड़ा.
चित्र में 6 त्रिभुजों से बनी कितनी आकृतियाँ हैं?