6. घुमावदार आंदोलन। कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और शरीर का त्वरण। शरीर की वक्रीय गति के दौरान पथ और विस्थापन।

वक्रीय गति- यह एक आंदोलन है जिसका प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय, एक परवलय)। वक्रीय गति का एक उदाहरण ग्रहों की गति, डायल पर घड़ी की सुई का अंत आदि है। सामान्य रूप में घुमावदार गतिआकार और दिशा में परिवर्तन।

भौतिक बिंदु की वक्रीय गतिएकसमान गति मानी जाती है यदि मॉड्यूल रफ़्तार स्थिर (उदाहरण के लिए, एक सर्कल में एक समान गति), और समान रूप से त्वरित अगर मॉड्यूल और दिशा रफ़्तार परिवर्तन (उदाहरण के लिए, एक कोण पर क्षितिज पर फेंके गए शरीर की गति)।

चावल। 1.19. वक्रीय गति में प्रक्षेपवक्र और विस्थापन वेक्टर।

घुमावदार रास्ते पर चलते समय विस्थापन वेक्टर जीवा के अनुदिश निर्देशित (चित्र 1.19), और मैं- लंबाई प्रक्षेप पथ . शरीर की तात्कालिक गति (अर्थात, प्रक्षेपवक्र में दिए गए बिंदु पर शरीर की गति) उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र में निर्देशित होती है जहां गतिमान पिंड वर्तमान में स्थित है (चित्र। 1.20)।

चावल। 1.20. वक्रीय गति में तात्क्षणिक वेग।

वक्रीय गति हमेशा त्वरित गति होती है। अर्थात वक्रीय त्वरणहमेशा मौजूद रहता है, भले ही गति का मापांक नहीं बदलता है, लेकिन केवल गति की दिशा बदल जाती है। समय की प्रति इकाई गति में परिवर्तन है स्पर्शरेखा त्वरण :

या

कहाँ वी τ , वी 0 समय के समय गति हैं टी 0 + tऔर टी 0 क्रमश।

स्पर्शरेखा त्वरण प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर, दिशा शरीर के वेग की दिशा के साथ मेल खाती है या इसके विपरीत होती है।

सामान्य त्वरण समय की प्रति इकाई दिशा में गति में परिवर्तन है:

सामान्य त्वरणप्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या के साथ निर्देशित (घूर्णन की धुरी की ओर)। सामान्य त्वरण वेग की दिशा के लंबवत होता है।

केन्द्राभिमुख त्वरणएकसमान वृत्तीय गति के लिए सामान्य त्वरण है।

शरीर के समान रूप से परिवर्तनशील वक्रता गति के साथ पूर्ण त्वरणबराबर:

एक वक्रीय प्रक्षेप पथ के साथ एक पिंड की गति को लगभग कुछ वृत्तों के चापों के साथ गति के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1.21)।

चावल। 1.21. वक्रीय गति के दौरान शरीर की गति।

वक्रीय गति

वक्रीय गति- गति, जिसके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएँ हैं। ग्रह और नदी जल वक्राकार पथों के साथ चलते हैं।

वक्रीय गति हमेशा त्वरण के साथ गति होती है, भले ही गति का निरपेक्ष मान स्थिर हो। निरंतर त्वरण के साथ वक्रीय गति हमेशा उस तल में होती है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। समतल में निरंतर त्वरण के साथ वक्रीय गति के मामले में xOyअनुमानों वी एक्सऔर वी आपअक्ष पर इसकी गति बैलऔर ओएऔर निर्देशांक एक्सऔर आपकिसी भी समय अंक टीसूत्रों द्वारा निर्धारित

वक्रीय गति का एक विशेष मामला वृत्तीय गति है। परिपत्र गति, यहां तक ​​कि एकसमान, हमेशा त्वरित गति होती है: वेग मापांक हमेशा प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है, लगातार दिशा बदल रहा है, इसलिए परिपत्र गति हमेशा अभिकेंद्री त्वरण के साथ होती है जहां आरवृत्त की त्रिज्या है।

वृत्त के अनुदिश गति करते समय त्वरण सदिश वृत्त के केंद्र की ओर और वेग सदिश के लंबवत निर्देशित होता है।

वक्रीय गति में, त्वरण को सामान्य और स्पर्शरेखा घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सामान्य (केन्द्रापसारक) त्वरण प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है और दिशा में गति में परिवर्तन की विशेषता है:

वीतत्काल गति, आरकिसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या है।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण को प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है और गति मोडुलो में परिवर्तन की विशेषता है।

कुल त्वरण जिसके साथ एक भौतिक बिंदु चलता है, बराबर होता है:

अभिकेंद्रीय त्वरण के अलावा, एक वृत्त में एकसमान गति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएँ क्रांति की अवधि और आवृत्ति हैं।

संचलन की अवधिशरीर को एक चक्कर पूरा करने में लगने वाला समय है .

अवधि को पत्र द्वारा दर्शाया गया है टी(सी) और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ पे टी- बदलाव का समय पी- इस दौरान की गई क्रांतियों की संख्या।

परिसंचरण की आवृत्ति- यह संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में किए गए क्रांतियों की संख्या के बराबर है।

आवृत्ति को ग्रीक अक्षर (nu) द्वारा निरूपित किया जाता है और सूत्र द्वारा पाया जाता है:

आवृत्ति 1/s में मापी जाती है।

अवधि और आवृत्ति परस्पर प्रतिलोम मात्राएँ हैं:

यदि कोई पिंड एक वृत्त में गति के साथ घूम रहा है वी,एक चक्कर लगाता है, तो इस शरीर द्वारा तय किया गया रास्ता गति को गुणा करके पाया जा सकता है वीएक मोड़ के लिए:

एल = वीटी।दूसरी ओर, यह पथ परिधि 2π . के बराबर है आर. इसलिए

वीटी = 2π आर,

कहाँ पे वू(1 से) - कोणीय गति।

क्रांति की निरंतर आवृत्ति पर, अभिकेन्द्र त्वरण गतिमान कण से घूर्णन के केंद्र तक की दूरी के समानुपाती होता है।

कोणीय गति (वू) त्रिज्या के रोटेशन के कोण के अनुपात के बराबर एक मान है जिस पर घूर्णन बिंदु उस समय अंतराल के लिए स्थित है जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ:

.

रैखिक और कोणीय गति के बीच संबंध:

किसी पिंड की गति को तभी जाना जा सकता है जब यह ज्ञात हो कि उसका प्रत्येक बिंदु कैसे चलता है। कठोर पिंडों की सबसे सरल गति अनुवादकीय होती है। अनुवादकीयकठोर पिंड की गति कहलाती है, जिसमें इस पिंड में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपने आप समानांतर चलती है।

हम जानते हैं कि कोई भी वक्रीय गति वेग के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत होती है। वृत्त में एकसमान गति की स्थिति में यह कोण समकोण होगा। दरअसल, उदाहरण के लिए, यदि हम रस्सी से बंधी गेंद को घुमाते हैं, तो किसी भी समय गेंद के वेग की दिशा रस्सी के लंबवत होती है।

गेंद को वृत्त पर पकड़े हुए रस्सी का तनाव बल, रस्सी के साथ घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, यह बल शरीर को उसी दिशा में गति देगा। रोटेशन के केंद्र की ओर त्रिज्या के साथ निर्देशित त्वरण को कहा जाता है केन्द्राभिमुख त्वरण .

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि एक सर्कल में आंदोलन एक जटिल आंदोलन है। अभिकेन्द्रीय बल की क्रिया के तहत, पिंड घूर्णन के केंद्र की ओर गति करता है और साथ ही, जड़ता द्वारा, इस केंद्र से वृत्त की स्पर्शरेखा के साथ दूर चला जाता है।

मान लीजिए कि शरीर, गति v के साथ समान रूप से चलते हुए, समय t में D से E की ओर बढ़ता है। मान लीजिए कि जिस समय शरीर बिंदु D पर था, उस समय अभिकेंद्री बल उस पर कार्य करना बंद कर देगा। फिर, t समय में, यह स्पर्शरेखा DL पर स्थित एक बिंदु K पर चला जाएगा। यदि प्रारंभिक क्षण में शरीर केवल एक अभिकेन्द्रीय बल (यह जड़त्व से गति नहीं करता) की कार्रवाई के तहत होगा, तो यह समय t में समान रूप से त्वरित होकर सीधी रेखा DC पर स्थित बिंदु F तक जाएगा। समय t में इन दोनों गतियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप चाप DE के अनुदिश परिणामी गति प्राप्त होती है।

केन्द्राभिमुख शक्ति

वह बल जो एक घूर्णन पिंड को एक वृत्त पर रखता है और घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, कहलाता है केन्द्राभिमुख शक्ति .

अभिकेंद्रीय बल के परिमाण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करना चाहिए, जो किसी भी वक्रता गति पर लागू होता है।

सूत्र F \u003d ma में अभिकेंद्र त्वरण का मान a \u003d v 2 / R में प्रतिस्थापित करने पर, हम अभिकेन्द्र बल के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

एफ = एमवी 2 / आर

अभिकेन्द्र बल का परिमाण पिंड के द्रव्यमान और रेखीय वेग के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे त्रिज्या से विभाजित किया जाता है.

यदि पिंड का कोणीय वेग दिया गया हो, तो अभिकेन्द्र बल की गणना सूत्र द्वारा करना अधिक सुविधाजनक है: F = m? 2आर कहाँ? 2 आर - अभिकेन्द्र त्वरण।

पहले सूत्र से यह देखा जा सकता है कि समान गति से वृत्त की त्रिज्या जितनी छोटी होगी, अभिकेन्द्र बल उतना ही अधिक होगा। तो, सड़क के कोनों पर, एक गतिमान पिंड (ट्रेन, कार, साइकिल) को वक्रता के केंद्र की ओर कार्य करना चाहिए, जितना अधिक बल होगा, मोड़ उतना ही तेज होगा, यानी वक्रता की त्रिज्या जितनी छोटी होगी।

अभिकेन्द्र बल रैखिक गति पर निर्भर करता है: बढ़ती गति के साथ, यह बढ़ता है। यह सभी स्केटिंगर्स, स्कीयर और साइकिल चालकों के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है: जितनी तेज़ी से आप आगे बढ़ते हैं, उतना ही मुश्किल होता है। वाहन चालक अच्छी तरह जानते हैं कि तेज गति से कार को तेज गति से मोड़ना कितना खतरनाक होता है।

लाइन की गति

केन्द्रापसारक तंत्र

क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति

आइए हम किसी पिंड को क्षितिज के कोण पर फेंकें। इसकी गति के बाद, हम देखेंगे कि शरीर पहले ऊपर उठता है, एक वक्र के साथ आगे बढ़ता है, फिर वक्र के साथ नीचे भी गिरता है।

यदि आप क्षितिज के लिए विभिन्न कोणों पर पानी के जेट को निर्देशित करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि पहले, कोण में वृद्धि के साथ, जेट आगे और आगे हिट करता है। क्षितिज से 45 ° के कोण पर (यदि आप वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखते हैं), तो सीमा सबसे बड़ी है। जैसे-जैसे कोण आगे बढ़ता है, सीमा घटती जाती है।

क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए शरीर के प्रक्षेपवक्र का निर्माण करने के लिए, हम एक क्षैतिज रेखा OA और एक रेखा OS एक दिए गए कोण पर खींचते हैं।

ओएस लाइन पर चयनित पैमाने पर, हम फेंकने की दिशा में यात्रा किए गए पथों के बराबर संख्यात्मक रूप से खंडों को प्लॉट करते हैं (0–1, 1–2, 2–3, 3–4)। बिंदु 1, 2, 3, आदि से, हम OA पर लंबों को कम करते हैं और 1 सेकंड (1–I), 2 सेकंड (2–II) के लिए स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पिंड द्वारा तय किए गए पथों के बराबर संख्यात्मक रूप से खंडों को अलग करते हैं। 3 सेकंड (3-III), आदि। हम बिंदु 0, I, II, III, IV, आदि को एक चिकने वक्र से जोड़ते हैं।

बिंदु IV से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में शरीर का प्रक्षेपवक्र सममित है।

वायु प्रतिरोध उड़ान सीमा और उच्चतम उड़ान ऊंचाई दोनों को कम करता है, और प्रक्षेपवक्र विषम हो जाता है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य और गोलियों के प्रक्षेपवक्र हैं। आकृति में, ठोस वक्र हवा में प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र को योजनाबद्ध रूप से दिखाता है, और बिंदीदार वक्र इसे वायुहीन स्थान में दिखाता है। निम्नलिखित उदाहरण से देखा जा सकता है कि उड़ान सीमा में वायु प्रतिरोध में कितना परिवर्तन होता है। वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, क्षितिज से 20 ° के कोण पर दागी गई 76 मिमी की बंदूक प्रक्षेप्य 24 किमी की उड़ान भरेगी। हवा में यह प्रक्षेप्य लगभग 7 किमी तक उड़ता है।

न्यूटन का तीसरा नियम

क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की गति

आंदोलनों की स्वतंत्रता

कोई भी घुमावदार गति एक जटिल गति है, जिसमें शरीर की गति के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत जड़ता और गति द्वारा गति होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया जा सकता है।

मान लें कि गेंद टेबल पर एकसमान और एक सीधी रेखा में चलती है। जब गेंद टेबल से लुढ़कती है, तो उसका वजन टेबल के दबाव के बल से संतुलित नहीं रह जाता है और जड़ता से, एक समान और सीधी गति को बनाए रखते हुए, यह एक साथ गिरना शुरू हो जाता है। गतियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप - जड़ता द्वारा एकसमान सीधा और गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत समान रूप से त्वरित - गेंद एक घुमावदार रेखा के साथ चलती है।

यह प्रयोगात्मक रूप से दिखाया जा सकता है कि ये आंदोलन एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

चित्र में एक स्प्रिंग दिखाया गया है, जो एक हथौड़े के प्रभाव में झुकते हुए, एक गेंद को क्षैतिज दिशा में गति में सेट कर सकता है और साथ ही दूसरी गेंद को छोड़ सकता है, ताकि दोनों एक ही क्षण में चलना शुरू कर दें। : पहला एक वक्र के साथ, दूसरा एक लंबवत नीचे। दोनों गेंदें एक ही समय पर फर्श पर लगेंगी; अतः दोनों गेंदों के गिरने का समय समान है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत गेंद की गति इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि गेंद प्रारंभिक क्षण में आराम पर थी या क्षैतिज दिशा में चली गई थी।

यह अनुभव यांत्रिकी में एक बहुत ही महत्वपूर्ण सिद्धांत को दर्शाता है जिसे कहा जाता है आंदोलन की स्वतंत्रता का सिद्धांत.

एकसमान वृत्तीय गति

वक्रीय गति के सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकारों में से एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति है। एक वृत्त में, उदाहरण के लिए, चक्का के हिस्से चलते हैं, पृथ्वी की सतह पर पृथ्वी के दैनिक घूर्णन के दौरान बिंदु, आदि।

आइए हम इस आंदोलन की विशेषता वाली मात्राओं का परिचय दें। आइए ड्राइंग की ओर मुड़ें। मान लीजिए, पिंड के घूमने के दौरान, समय t में इसका एक बिंदु A से B तक जाता है। क्या वृत्त के केंद्र के साथ बिंदु A को जोड़ने वाली त्रिज्या एक ही समय में एक कोण से घूमती है? (ग्रीक "फाई")। किसी बिंदु के घूर्णन की गति को कोण के अनुपात के मान से पहचाना जा सकता है? समय t, यानी ? /टी।

कोणीय गति

घूर्णन के केंद्र के साथ गतिमान बिंदु को जोड़ने वाले त्रिज्या के घूर्णन कोण के अनुपात को उस समय अंतराल से कहा जाता है जिसके दौरान यह घूर्णन होता है कोणीय गति.

ग्रीक अक्षर से कोणीय वेग को निरूपित करना? ("ओमेगा"), आप लिख सकते हैं:

? = ? /टी

कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में घूर्णन कोण के बराबर होता है।

एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, कोणीय वेग एक स्थिर मान होता है।

कोणीय वेग की गणना करते समय, रोटेशन के कोण को आमतौर पर रेडियन में मापा जाता है। रेडियन एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई उस चाप की त्रिज्या के बराबर होती है।

गति के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत निकायों की गति

सरल रेखीय गति पर विचार करने पर यह ज्ञात हुआ कि यदि गति की दिशा में कोई बल किसी पिंड पर कार्य करता है, तो पिंड की गति सीधी बनी रहेगी। केवल गति बदलेगी। इसके अलावा, यदि बल की दिशा वेग की दिशा के साथ मेल खाती है, तो गति सीधी और त्वरित होगी। बल की विपरीत दिशा के मामले में, गति सीधी और धीमी होगी। ऐसे, उदाहरण के लिए, लंबवत नीचे की ओर फेंके गए पिंड की गति और लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई पिंड की गति है।

आइए अब हम विचार करें कि एक कोण पर वेग की दिशा में निर्देशित बल की क्रिया के तहत शरीर कैसे आगे बढ़ेगा।

आइए पहले अनुभव देखें। आइए चुंबक के चारों ओर स्टील की गेंद का एक प्रक्षेपवक्र बनाएं। हम तुरंत देखते हैं कि चुंबक से दूर गेंद एक सीधी रेखा में चली गई, चुंबक के पास पहुंचते समय, गेंद का प्रक्षेपवक्र घुमावदार था और गेंद एक वक्र के साथ चली गई। इसकी गति की दिशा लगातार बदल रही थी। इसका कारण गेंद पर चुम्बक की क्रिया थी।

हम एक सीधी रेखा में गतिमान किसी पिंड को वक्र के अनुदिश गतिमान बना सकते हैं यदि हम उसे धक्का देते हैं, उससे जुड़े धागे को खींचते हैं, और इसी तरह, जब तक कि बल को पिंड की गति के कोण पर निर्देशित किया जाता है।

तो, शरीर की वक्रता गति शरीर के वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत होती है।

शरीर पर कार्य करने वाले बल की दिशा और परिमाण के आधार पर, वक्रीय गतियाँ बहुत विविध हो सकती हैं। सबसे सरल प्रकार की वक्रीय गतियाँ वृत्ताकार, परवलयिक और दीर्घवृत्त गतियाँ हैं।

अभिकेन्द्र बल की क्रिया के उदाहरण

कुछ मामलों में, अभिकेन्द्र बल एक वृत्त में गतिमान पिंड पर कार्य करने वाले दो बलों का परिणाम होता है।

आइए ऐसे ही कुछ उदाहरण देखें।

1. एक कार अवतल पुल के साथ गति v के साथ चलती है, कार का द्रव्यमान m है, पुल की वक्रता की त्रिज्या R है। पुल पर कार द्वारा अपने निम्नतम बिंदु पर उत्पन्न दबाव का बल क्या है?

आइए पहले यह स्थापित करें कि कार पर कौन से बल कार्य करते हैं। ऐसे दो बल हैं: कार का भार और कार पर पुल का दबाव बल। (हम इसमें और बाद के सभी पुरस्कार विजेताओं में घर्षण बल को विचार से बाहर करते हैं)।

जब कार स्थिर होती है, तो ये बल परिमाण में समान होते हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं, एक दूसरे को संतुलित करते हैं।

जब कार पुल के साथ चलती है, तो यह, एक सर्कल में घूमने वाले किसी भी शरीर की तरह, एक अभिकेन्द्रीय बल से प्रभावित होती है। इस शक्ति का स्रोत क्या है? इस बल का स्रोत कार पर पुल की क्रिया ही हो सकता है। बल क्यू, जिसके साथ पुल एक चलती कार पर दबाव डालता है, न केवल कार पी के वजन को संतुलित करना चाहिए, बल्कि इसे एक सर्कल में स्थानांतरित करने के लिए भी मजबूर करना चाहिए, इसके लिए आवश्यक सेंट्रिपेटल फोर्स एफ बनाना चाहिए। बल एफ केवल हो सकता है पी और क्यू बलों का परिणाम, क्योंकि यह एक चलती कार और एक पुल की बातचीत का परिणाम है।

इस पाठ की सहायता से आप स्वतंत्र रूप से "रेक्टिलिनियर और कर्विलिनियर मोशन" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होंगे। एक स्थिर मॉड्यूलो वेग के साथ एक सर्कल में एक पिंड की गति। सबसे पहले, हम इस प्रकार की गति में, वेग वेक्टर और शरीर पर लागू बल कैसे संबंधित हैं, इस पर विचार करके हम रेक्टिलिनियर और वक्रीय गति की विशेषता बताते हैं। अगला, हम एक विशेष मामले पर विचार करते हैं जब शरीर एक स्थिर मॉड्यूलो गति के साथ एक वृत्त के साथ चलता है।

पिछले पाठ में, हमने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से संबंधित मुद्दों पर विचार किया। आज के पाठ का विषय इस नियम से निकटता से संबंधित है, हम एक वृत्त में एक पिंड की एकसमान गति की ओर मुड़ेंगे।

पहले हमने कहा था कि गति -यह समय के साथ अन्य पिंडों के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक पिंड की स्थिति में बदलाव है। गति और गति की दिशा, अन्य बातों के अलावा, गति से होती है। गति में परिवर्तन और गति का प्रकार ही बल की क्रिया से जुड़ा होता है। यदि किसी पिंड पर कोई बल कार्य करता है, तो शरीर अपनी गति बदल देता है।

यदि बल को शरीर की गति के समानांतर निर्देशित किया जाए, तो ऐसी गति होगी सीधा(चित्र .1)।

चावल। 1. आयताकार गति

वक्रीयऐसी गति होगी जब शरीर की गति और इस शरीर पर लागू बल एक निश्चित कोण पर एक दूसरे के सापेक्ष निर्देशित होते हैं (चित्र 2)। इस मामले में, गति अपनी दिशा बदल देगी।

चावल। 2. वक्रीय गति

तो, अत सीधा गतिवेग वेक्टर उसी दिशा में निर्देशित होता है जिस दिशा में शरीर पर लगाया गया बल होता है। लेकिन वक्रीय गतिएक ऐसी गति है जब वेग वेक्टर और शरीर पर लागू बल एक दूसरे से किसी कोण पर स्थित होते हैं।

वक्रीय गति के एक विशेष मामले पर विचार करें, जब पिंड निरपेक्ष मान में एक स्थिर गति के साथ एक वृत्त में गति करता है। जब कोई पिंड निरंतर गति से एक वृत्त में चलता है, तो केवल गति की दिशा बदल जाती है। मोडुलो यह स्थिर रहता है, लेकिन वेग की दिशा बदल जाती है। गति में इस तरह के बदलाव से शरीर में एक त्वरण की उपस्थिति होती है, जिसे कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला.

चावल। 6. घुमावदार रास्ते पर चलना

यदि शरीर की गति का प्रक्षेपवक्र एक वक्र है, तो इसे वृत्तों के चापों के अनुदिश गतियों के समुच्चय के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 6.

अंजीर पर। 7 दिखाता है कि वेग वेक्टर की दिशा कैसे बदलती है। इस तरह की गति के दौरान गति को उस वृत्त के साथ स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है जिसके साथ शरीर चलता है। इस प्रकार, इसकी दिशा लगातार बदल रही है। भले ही मोडुलो गति स्थिर रहती है, गति में बदलाव से त्वरण होता है:

इस मामले में त्वरणसर्कल के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाएगा। इसलिए इसे अभिकेंद्री कहते हैं।

अभिकेन्द्र त्वरण को केंद्र की ओर क्यों निर्देशित किया जाता है?

याद रखें कि यदि कोई पिंड घुमावदार पथ पर चलता है, तो उसका वेग स्पर्शरेखा होता है। वेग एक सदिश राशि है। एक वेक्टर का एक संख्यात्मक मान और एक दिशा होती है। जिस गति से शरीर चलता है वह लगातार अपनी दिशा बदलता है। अर्थात्, समय में विभिन्न बिंदुओं पर गति का अंतर एक रेक्टिलिनियर एकसमान गति के विपरीत शून्य () के बराबर नहीं होगा।

इसलिए, हमारे पास एक निश्चित अवधि में गति में परिवर्तन होता है। त्वरण का संबंध है। हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि, भले ही गति निरपेक्ष मान में परिवर्तित न हो, एक पिंड जो एक वृत्त में एकसमान गति करता है, उसका त्वरण होता है।

यह त्वरण कहाँ निर्देशित है? अंजीर पर विचार करें। 3. कुछ पिंड वक्रीय रूप से (एक चाप में) गति करते हैं। बिंदु 1 और 2 पर शरीर की गति स्पर्शरेखा है। शरीर समान रूप से चलता है, अर्थात वेगों के मॉड्यूल समान हैं: लेकिन वेगों की दिशाएँ मेल नहीं खाती हैं।

चावल। 3. एक वृत्त में शरीर की गति

से गति घटाएं और वेक्टर प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों वैक्टरों की शुरुआत को जोड़ने की जरूरत है। समानांतर में, हम वेक्टर को वेक्टर की शुरुआत में ले जाते हैं। हम एक त्रिकोण तक बनाते हैं। त्रिभुज की तीसरी भुजा वेग अंतर सदिश होगी (चित्र 4)।

चावल। 4. वेग अंतर वेक्टर

वेक्टर को सर्कल की ओर निर्देशित किया जाता है।

वेग सदिशों और अंतर सदिश द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वेग सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज

यह त्रिभुज समद्विबाहु है (वेग मॉड्यूल बराबर हैं)। अतः आधार पर कोण बराबर होते हैं। आइए त्रिभुज के कोणों के योग के लिए समीकरण लिखें:

पता लगाएं कि प्रक्षेपवक्र के दिए गए बिंदु पर त्वरण को निर्देशित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु 2 को बिंदु 1 के करीब लाना शुरू करते हैं। इस तरह के असीमित परिश्रम के साथ, कोण 0 की ओर होगा, और कोण - से। वेग परिवर्तन सदिश और वेग सदिश के बीच का कोण स्वयं है। गति को स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है, और वेग परिवर्तन वेक्टर को वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है। इसका मतलब है कि त्वरण भी वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसलिए इस त्वरण को कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला.

अभिकेन्द्र त्वरण कैसे ज्ञात करें?

उस प्रक्षेपवक्र पर विचार करें जिसके साथ शरीर चलता है। इस स्थिति में, यह एक वृत्त का चाप है (चित्र 8)।

चावल। 8. एक वृत्त में शरीर की गति

यह आंकड़ा दो त्रिभुजों को दिखाता है: एक त्रिभुज जो वेगों से बनता है, और एक त्रिभुज जो त्रिज्या और विस्थापन वेक्टर द्वारा बनता है। यदि बिंदु 1 और 2 बहुत निकट हैं, तो विस्थापन सदिश पथ सदिश के समान होगा। दोनों त्रिभुज एक ही शीर्ष कोण वाले समद्विबाहु हैं। तो त्रिभुज समान हैं। इसका अर्थ है कि त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं:

विस्थापन गति और समय के गुणनफल के बराबर होता है: . इस सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर, आप अभिकेन्द्र त्वरण के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं:

कोणीय गतिग्रीक अक्षर ओमेगा (ω) द्वारा निरूपित, यह इंगित करता है कि प्रति इकाई समय में शरीर किस कोण पर घूमता है (चित्र 9)। यह चाप का परिमाण है, डिग्री में, कुछ समय में शरीर द्वारा पार किया गया।

चावल। 9. कोणीय गति

ध्यान दें कि यदि कोई कठोर पिंड घूमता है, तो इस पिंड के किसी भी बिंदु के लिए कोणीय वेग एक स्थिर मान होगा। बिंदु रोटेशन के केंद्र के करीब या आगे है - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, यानी यह त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।

इस मामले में माप की इकाई या तो डिग्री प्रति सेकंड (), या रेडियन प्रति सेकंड () होगी। अक्सर "रेडियन" शब्द लिखा नहीं जाता है, बल्कि बस लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि पृथ्वी का कोणीय वेग क्या है। पृथ्वी एक घंटे में एक पूर्ण चक्कर लगाती है, और इस मामले में हम कह सकते हैं कि कोणीय वेग बराबर है:

कोणीय और रैखिक वेगों के बीच संबंधों पर भी ध्यान दें:

रैखिक गति त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है। त्रिज्या जितनी बड़ी होगी, रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। इस प्रकार, घूर्णन के केंद्र से दूर जाने पर, हम अपनी रैखिक गति बढ़ाते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक स्थिर गति से एक सर्कल में गति गति का एक विशेष मामला है। हालाँकि, वृत्ताकार गति असमान भी हो सकती है। गति न केवल दिशा में बदल सकती है और निरपेक्ष मान में समान रह सकती है, बल्कि इसके मूल्य में भी परिवर्तन हो सकता है, अर्थात, दिशा बदलने के अलावा, गति मॉड्यूल में भी परिवर्तन होता है। इस मामले में, हम तथाकथित त्वरित परिपत्र गति के बारे में बात कर रहे हैं।

एक रेडियन क्या है?

कोणों को मापने के लिए दो इकाइयाँ हैं: डिग्री और रेडियन। भौतिकी में, एक नियम के रूप में, कोण का रेडियन माप मुख्य है।

आइए एक केंद्रीय कोण का निर्माण करें, जो लंबाई के चाप पर निर्भर करता है।

रेक्टिलिनियर मोशन के साथ, हमने कमोबेश पिछले पाठों में काम करना सीखा, अर्थात् इस प्रकार की गति के लिए यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल करना।

हालांकि, यह स्पष्ट है कि वास्तविक दुनिया में हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह के आंदोलन के उदाहरण क्षितिज के कोण पर फेंके गए शरीर का प्रक्षेपवक्र, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति और यहां तक ​​​​कि आपकी आंखों का प्रक्षेपवक्र भी हैं, जो अब इस सार का अनुसरण कर रहे हैं।

यह पाठ इस सवाल के लिए समर्पित होगा कि वक्रता गति के मामले में यांत्रिकी की मुख्य समस्या को कैसे हल किया जाता है।

शुरू करने के लिए, आइए यह निर्धारित करें कि वक्राकार गति (चित्र 1) में रेक्टिलिनियर के सापेक्ष कौन से मूलभूत अंतर हैं, और इन अंतरों से क्या होता है।

चावल। 1. वक्रीय गति का प्रक्षेप पथ

आइए इस बारे में बात करें कि वक्रीय गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करना किस प्रकार सुविधाजनक है।

आप आंदोलन को अलग-अलग वर्गों में तोड़ सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर आंदोलन को सीधा माना जा सकता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वक्रीय गति का अनुवादीय गतियों में विभाजन

हालांकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। हम इस गति को वृत्तों के चापों के अनुदिश कई गतियों के समुच्चय के रूप में निरूपित करेंगे (चित्र 3 देखें)। ध्यान दें कि पिछले मामले की तुलना में इस तरह के कम विभाजन हैं, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन घुमावदार है। इसके अलावा, प्रकृति में एक सर्कल में आंदोलन के उदाहरण बहुत आम हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वक्रीय गति का वर्णन करने के लिए, किसी को एक वृत्त के साथ गति का वर्णन करना सीखना चाहिए, और फिर वृत्तों के चापों के साथ गतियों के एक सेट के रूप में एक मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।

चावल। 3. वक्रीय गति का वृत्तों के चापों के अनुदिश गतियों में विभाजन

तो, आइए एक वृत्त में एकसमान गति के अध्ययन के साथ वक्रीय गति का अध्ययन प्रारंभ करें। आइए देखें कि वक्रता और रेक्टिलिनियर गति के बीच मूलभूत अंतर क्या हैं। शुरू करने के लिए, याद रखें कि नौवीं कक्षा में हमने इस तथ्य का अध्ययन किया था कि एक वृत्त के साथ चलते समय एक पिंड की गति प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होती है। वैसे, आप इस तथ्य को व्यवहार में देख सकते हैं यदि आप देखते हैं कि ग्राइंडस्टोन का उपयोग करते समय चिंगारी कैसे चलती है।

एक वृत्त में पिंड की गति पर विचार करें (चित्र 4)।

चावल। 4. एक वृत्त में चलते समय शरीर की गति

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में, बिंदु A पर शरीर के वेग का मापांक बिंदु B पर शरीर के वेग के मापांक के बराबर है।

हालांकि, वेक्टर वेक्टर के बराबर नहीं है। तो, हमारे पास वेग अंतर वेक्टर है (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5. बिंदु A और B पर वेग अंतर।

इसके अलावा, गति में परिवर्तन थोड़ी देर बाद हुआ। इस प्रकार, हमें परिचित संयोजन मिलता है:

,

यह समय की अवधि में गति में बदलाव या शरीर के त्वरण से ज्यादा कुछ नहीं है। हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

घुमावदार पथ के साथ गति तेज हो जाती है। इस त्वरण की प्रकृति वेग वेक्टर की दिशा में निरंतर परिवर्तन है।

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि भले ही यह कहा जाए कि शरीर एक समान रूप से एक सर्कल में चलता है, इसका मतलब है कि शरीर के वेग का मापांक नहीं बदलता है, लेकिन इस तरह की गति हमेशा तेज होती है, क्योंकि वेग की दिशा बदल जाती है।

नौवीं कक्षा में, आपने पढ़ा कि यह त्वरण क्या है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है (चित्र 6 देखें)। अभिकेंद्री त्वरण हमेशा उस वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है जिसके साथ शरीर गति कर रहा है।

चावल। 6. अभिकेंद्री त्वरण

अभिकेंद्री त्वरण के मॉड्यूल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

हम एक वृत्त में पिंड की एकसमान गति के विवरण की ओर मुड़ते हैं। मान लीजिए कि आपने अनुवाद गति का वर्णन करते समय जिस गति का उपयोग किया था, उसे अब रैखिक गति कहा जाएगा। और रैखिक गति से हम एक घूर्णन पिंड के प्रक्षेपवक्र के बिंदु पर तात्कालिक गति को समझेंगे।

चावल। 7. डिस्क बिंदुओं का संचलन

एक डिस्क पर विचार करें, जो निश्चितता के लिए दक्षिणावर्त घूमती है। इसकी त्रिज्या पर हम दो बिंदु A और B अंकित करते हैं और उनकी गति पर विचार करते हैं। कुछ समय बाद, ये बिंदु वृत्त के चापों के अनुदिश चलेंगे और बिंदु A' और B' बन जाएंगे। जाहिर है, बिंदु A, बिंदु B से अधिक चला गया है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु रोटेशन की धुरी से जितना दूर होगा, उतनी ही अधिक रैखिक गति होगी।

हालांकि, यदि आप बिंदु ए और बी को करीब से देखते हैं, तो आप कह सकते हैं कि जिस कोण से वे रोटेशन की धुरी के सापेक्ष बदल गए थे वह अपरिवर्तित रहा। यह कोणीय विशेषता है जिसका उपयोग हम एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए करेंगे। ध्यान दें कि वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं कोनाविशेषताएँ। सबसे पहले, हम कोणों के रेडियन माप की अवधारणा को याद करते हैं।

1 रेडियन का कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

इस प्रकार, यह देखना आसान है कि, उदाहरण के लिए, कोण रेडियन के बराबर है। और, तदनुसार, आप डिग्री में दिए गए किसी भी कोण को गुणा और भाग देकर रेडियन में बदल सकते हैं। घूर्णी गति में घूर्णन का कोण स्थानांतरीय गति के समान होता है। ध्यान दें कि रेडियन एक आयामहीन मात्रा है:

इसलिए पदनाम "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है।

आइए सबसे सरल मामले के साथ एक सर्कल में गति पर विचार शुरू करें - एक सर्कल में एक समान गति। याद रखें कि एकसमान स्थानांतरीय गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान समय अंतराल के लिए समान विस्थापन करता है। वैसे ही,

एक वृत्त में एकसमान गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर समान कोणों से किसी भी समान समय अंतराल के लिए घूमता है।

इसी तरह रैखिक वेग की अवधारणा के लिए, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की जाती है।

कोणीय वेग एक भौतिक मात्रा है जो उस कोण के अनुपात के बराबर होती है जिसके माध्यम से शरीर उस समय में बदल जाता है जिसके दौरान यह मोड़ हुआ।

कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड या केवल पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है।

आइए एक बिंदु के कोणीय वेग और इस बिंदु के रैखिक वेग के बीच संबंध खोजें।

चावल। 9. कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

बिंदु A लंबाई S के एक चाप से घूमता है, उसी समय कोण से घूमता है। कोण के रेडियन माप की परिभाषा से, हम लिख सकते हैं कि

हम समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को समय अंतराल से विभाजित करते हैं, जिसके लिए आंदोलन किया गया था, फिर हम कोणीय और रैखिक वेग की परिभाषा का उपयोग करते हैं

.

ध्यान दें कि बिंदु रोटेशन की धुरी से जितना दूर होगा, उसका कोणीय और रैखिक वेग उतना ही अधिक होगा। और घूर्णन की धुरी पर स्थित बिंदु निश्चित हैं। इसका एक उदाहरण हिंडोला है: आप हिंडोला के केंद्र के जितने करीब होंगे, आपके लिए उस पर बने रहना उतना ही आसान होगा।

याद कीजिए कि इससे पहले हमने आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति की अवधारणाओं का परिचय दिया था।

रोटेशन की अवधि एक पूर्ण क्रांति का समय है।रोटेशन की अवधि एक अक्षर द्वारा इंगित की जाती है और SI प्रणाली में सेकंड में मापी जाती है:

घूर्णन आवृत्ति - समय की प्रति इकाई क्रांतियों की संख्या।आवृत्ति एक अक्षर द्वारा इंगित की जाती है और इसे पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है:

वे इससे संबंधित हैं:

कोणीय वेग और शरीर के घूमने की आवृत्ति के बीच एक संबंध है। अगर हम याद रखें कि एक पूर्ण क्रांति है, तो यह देखना आसान है कि कोणीय वेग है:

इसके अलावा, यदि हम याद करते हैं कि हमने रेडियन की अवधारणा को कैसे परिभाषित किया है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि किसी पिंड के रैखिक वेग को कोणीय से कैसे जोड़ा जाए:

.

आइए हम अभिकेंद्रीय त्वरण और इन राशियों के बीच संबंध को भी लिखें:

.

इस प्रकार, हम एक वृत्त में एकसमान गति की सभी विशेषताओं के बीच संबंध को जानते हैं।

आइए संक्षेप करते हैं। इस पाठ में, हमने वक्रीय गति का वर्णन करना शुरू किया। हमने समझा कि वक्रीय गति को वृत्तीय गति से कैसे जोड़ा जाता है। परिपत्र गति हमेशा तेज होती है, और त्वरण की उपस्थिति इस तथ्य का कारण बनती है कि गति हमेशा अपनी दिशा बदलती है। ऐसे त्वरण को अभिकेन्द्रक कहते हैं। अंत में, हमने वृत्तीय गति (रैखिक वेग, कोणीय वेग, आवर्त और घूर्णन आवृत्ति) की कुछ विशेषताओं को याद किया और उनके बीच संबंध पाया।

ग्रंथ सूची:

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1. विश्वकोश (को0) ।
2. अयप.रु ()।
3. विकिपीडिया ()।

गृहकार्य:

इस पाठ के कार्यों को हल करके, आप GIA के प्रश्न 1 और एकीकृत राज्य परीक्षा के प्रश्न A1, A2 की तैयारी करने में सक्षम होंगे।

1. समस्याएं 92, 94, 98, 106, 110 एसबी। समस्याएँ ए. पी. रिमकेविच एड। दस ()
2. घड़ी के मिनट, सेकंड और घंटे के हाथों के कोणीय वेग की गणना करें। इन तीरों की युक्तियों पर अभिनय करने वाले अभिकेंद्रीय त्वरण की गणना करें यदि उनमें से प्रत्येक की त्रिज्या एक मीटर है।
3. निम्नलिखित प्रश्नों और उनके उत्तरों पर विचार करें:

प्रश्न:क्या पृथ्वी की सतह पर ऐसे बिंदु हैं जिन पर पृथ्वी के दैनिक घूर्णन से जुड़ा कोणीय वेग शून्य है?

जवाब:वहाँ है। ये बिंदु पृथ्वी के भौगोलिक ध्रुव हैं। इन बिंदुओं पर गति शून्य है, क्योंकि इन बिंदुओं पर आप घूर्णन के अक्ष पर होंगे।

प्रक्षेपवक्र के आकार के आधार पर, आंदोलन को सीधा और वक्रता में विभाजित किया जाता है। वास्तविक दुनिया में, हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह के आंदोलन के उदाहरण क्षितिज के कोण पर फेंके गए शरीर का प्रक्षेपवक्र, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, ग्रहों की गति, डायल पर घड़ी की सुई का अंत आदि हैं।

चित्रा 1. वक्रता गति में प्रक्षेपवक्र और विस्थापन

परिभाषा

वक्रीय गति एक गति है जिसका प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय, एक परवलय)। वक्रीय पथ के अनुदिश चलते समय, विस्थापन सदिश $\overrightarrow(s)$ जीवा के अनुदिश निर्देशित होता है (चित्र 1), और l प्रक्षेप पथ की लंबाई है। शरीर की तात्कालिक गति (अर्थात, प्रक्षेपवक्र के दिए गए बिंदु पर शरीर की गति) प्रक्षेपवक्र के उस बिंदु पर स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित होती है जहां गतिमान पिंड वर्तमान में स्थित है (चित्र 2)।

चित्रा 2. वक्रीय गति के दौरान तात्कालिक वेग

हालांकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। आप इस गति की कल्पना वृत्तों के चापों के साथ कई गतियों के संयोजन के रूप में कर सकते हैं (चित्र 4 देखें)। पिछले मामले की तुलना में इस तरह के कम विभाजन होंगे, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन स्वयं घुमावदार है।

चित्र 4. वक्रीय गति को वृत्तों के चापों के अनुदिश गतियों में विभाजित करना

निष्कर्ष

वक्रीय गति का वर्णन करने के लिए, किसी को एक वृत्त के साथ गति का वर्णन करना सीखना चाहिए, और फिर वृत्तों के चापों के साथ गतियों के एक सेट के रूप में एक मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।

एक भौतिक बिंदु की वक्रीय गति का अध्ययन करने का कार्य एक गतिज समीकरण को संकलित करना है जो इस गति का वर्णन करता है और इस गति की सभी विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुसार अनुमति देता है।