इसकी परिभाषा से व्युत्पन्न। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव के संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सऔर आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग a x+ लॉग a y= लॉग a (x y);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = लॉग एक्स 1 + लॉग एक्स 2 + लॉग एक्स 3 + ... + लॉग ए x k.

से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1= 0, इसलिए,

लॉग ए 1 /बी= लॉग ए 1 - लॉग एक बी= -लॉग एक बी.

तो एक समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लघुगणक 3 9= - लघुगणक 3 1/9 ; लॉग 5 1 / 125 = -लॉग 5 125।

लघुगणक अभिव्यक्ति, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में, हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का सवाल उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना बेहद जरूरी है। यूएसई के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करने, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जो आपको हमेशा याद रखने चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।

* * *

* डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

* * *

*नए आधार पर संक्रमण

* * *

अधिक गुण:

* * *

संगणना लघुगणक घातांक के गुणों के उपयोग से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

इस संपत्ति का सार यह है कि अंश को हर में स्थानांतरित करते समय और इसके विपरीत, घातांक का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, आधार वही रहता है, लेकिन घातांक गुणा किया जाता है।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा सरल है। मुख्य बात यह है कि अच्छे अभ्यास की आवश्यकता होती है, जो एक निश्चित कौशल देता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल नहीं बनता है, तो सरल कार्यों को हल करते समय, कोई भी आसानी से गलती कर सकता है।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम से सरलतम उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल होते हैं, परीक्षा में ऐसे कोई नहीं होंगे, लेकिन वे रुचि के हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

और लघुगणक निकट से संबंधित हैं। और वास्तव में, परिभाषा का गणितीय संकेतन है लोगारित्म. आइए हम विस्तार से विश्लेषण करें कि लघुगणक क्या है, यह कहां से आया है।

एक बीजीय क्रिया पर विचार करें - घातांक की गणना एक्सदिए गए विशिष्ट मूल्यों के अनुसार डिग्री बीऔर नींव ए. यह कार्य मूल रूप से समीकरण को हल करना एक एक्स = बी, कहाँ पे एऔर बीकुछ दिए गए मान हैं, एक्स - अज्ञात मूल्य। ध्यान दें कि इस समस्या का हमेशा समाधान नहीं होता है।

जब, उदाहरण के लिए, समीकरण में एक एक्स = बी संख्याएसकारात्मक, और संख्या बी नकारात्मक, तो इस समीकरण का कोई मूल नहीं है। लेकिन अगर केवल एऔर बीसकारात्मक हैं और 1, तो निश्चित रूप से इसमें केवल एक अद्वितीय है जड़. यह एक सर्वविदित तथ्य है कि घातीय फ़ंक्शन ग्राफ वाई = एक एक्सनिश्चित रूप से के साथ प्रतिच्छेद करता है सीधा वाई = बीऔर केवल एक बिंदु पर। चौराहे के बिंदु और इच्छा का भुज समीकरण की जड़.

तय करने के लिए समीकरण की जड़ एक एक्स = बीयह लॉग ए बी का उपयोग करने के लिए प्रथागत है (हम कहते हैं: संख्या बी से आधार ए का लघुगणक)।

लोगारित्मनंबर बीवजह से एयह प्रतिपादक, जिसमें आप संख्या बढ़ाना चाहते हैं एनंबर पाने के लिए बीऔर ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0.

परिभाषा के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं बुनियादी लघुगणकीय पहचान :

उदाहरण:

परिणाम बुनियादी लघुगणकीय पहचाननिम्नलखित में से कोई नियम.

दो की समानता से वास्तविक लघुगणकहमें समानता मिलती है लघुगणकभाव।

वास्तव में, जब log a b = log a c, तब , कहाँ पे, बी = सी.

विचार करें कि क्यों लघुगणकीय पहचानप्रतिबंध लगाए गए हैं ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0 .

पहली शर्त एक 1.

यह सर्वविदित है कि किसी भी इकाई में डिग्रीएकता होगी, और समानता x = log a b केवल के लिए मौजूद हो सकती है बी = 1, लेकिन साथ ही लॉग 1 1कोई भी होगा वास्तविक संख्या. इस अस्पष्टता से बचने के लिए, यह स्वीकार किया जाता है एक 1.

शर्त की आवश्यकता का औचित्य साबित करें ए > 0.

पर ए = 0पर लघुगणक की परिभाषाकेवल तभी मौजूद हो सकता है जब बी = 0. और इसलिए लॉग 0 0शून्य के अलावा कुछ भी हो सकता है वास्तविक संख्या, क्योंकि शून्य के अलावा किसी भी घात के लिए शून्य शून्य है। इस अस्पष्टता को रोकने के लिए, शर्त एक 0. और जब ए< 0 हमें पार्सिंग छोड़ना होगा विवेकीऔर तर्कहीनलघुगणक मान, क्योंकि डिग्रीतर्कसंगत और के साथ तर्कहीन संकेतककेवल सकारात्मक कारणों से परिभाषित किया गया है। यही कारण है कि स्थिति ए > 0.

और अंतिम शर्त बी > 0असमानता का परिणाम है ए > 0, चूँकि x = log a b, और धनात्मक आधार के साथ घात का मान एहमेशा सकारात्मक।

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। यह नाम ग्रीक भाषा से "संख्या" या "डिग्री" शब्द से आया है और इसका अर्थ है कि अंतिम संख्या खोजने के लिए आधार पर संख्या को बढ़ाने के लिए आवश्यक डिग्री।

लघुगणक के प्रकार

• लॉग ए बी संख्या बी का आधार ए (ए> 0, ए 1, बी> 0) का लॉगरिदम है;
• एलजी बी - दशमलव लघुगणक (लघुगणक आधार 10, ए = 10);
• एलएन बी - प्राकृतिक लॉगरिदम (लघुगणक आधार ई, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार a से संख्या b का लघुगणक एक घातांक है, जिसके लिए आधार a को संख्या b तक बढ़ाना आवश्यक है। परिणाम इस तरह उच्चारित किया जाता है: "बी का लॉगरिदम टू बेस ए"। लॉगरिदमिक समस्याओं का समाधान यह है कि आपको दी गई डिग्री को निर्दिष्ट संख्याओं द्वारा संख्याओं द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ संकेतन को बदलने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। उनका उपयोग करके, लॉगरिदमिक समीकरण हल किए जाते हैं, व्युत्पन्न पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूल रूप से, लघुगणक का समाधान ही इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मुख्य सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a 1 और किसी भी x के लिए; वाई> 0।

• a log a b = b मूल लघुगणकीय पहचान है
• लॉग ए 1 = 0
• लॉग ए = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• लॉग a x/ y = लॉग a x – लॉग a y
• लॉग ए 1/x = -लॉग ए x
• लॉग a x p = p लॉग a x
• लॉग a k x = 1/k लॉग a x , k 0 . के लिए
• लॉग a x = लॉग a c x c
• लॉग ए एक्स \u003d लॉग बी एक्स / लॉग बी ए - एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र
• लॉग एक्स = 1/लॉग एक्स ए

लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण दर चरण निर्देश

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो रिकॉर्ड छोटा हो जाता है, एक दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। यदि कोई प्राकृतिक संख्या ई है, तो हम एक प्राकृतिक लघुगणक को कम करते हुए लिखते हैं। इसका अर्थ है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाया जाता है।

सीधे तौर पर, समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक के साथ हल करने से पहले, इसे नियम के अनुसार सरल बनाना चाहिए, अर्थात सूत्रों का उपयोग करना। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं के साथ लेकिन एक ही आधार के साथ लॉगरिदम जोड़ते और घटाते समय, क्रमशः बी और सी के उत्पाद या विभाजन के साथ एकल लॉगरिदम के साथ प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, आप संक्रमण सूत्र को दूसरे आधार पर लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए व्यंजकों का उपयोग कर रहे हैं, तो कुछ सीमाएँ हैं जिनके बारे में पता होना चाहिए। और वह है: लघुगणक का आधार केवल एक धनात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, जैसे a, शून्य से बड़ी होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद, आप संख्यात्मक रूप में लघुगणक की गणना करने में सक्षम नहीं होंगे। ऐसा होता है कि इस तरह की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई डिग्री अपरिमेय संख्याएं हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की शक्ति को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।

लघुगणक के मुख्य गुण, लघुगणक का आलेख, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का समुच्चय, मूल सूत्र, वृद्धि और ह्रास दिए गए हैं। लघुगणक का व्युत्पन्न ढूँढना माना जाता है। साथ ही अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।

लघुगणक की परिभाषा

आधार a . के साथ लघुगणकवाई फ़ंक्शन है (एक्स) = लॉग एक्स, आधार a: x . के साथ घातांकीय फलन के व्युत्क्रम (वाई) = एक वाई.

दशमलव लघुगणकसंख्या के आधार का लघुगणक है 10 : लॉग एक्स लॉग 10 एक्स.

प्राकृतिकई के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स ≡ लॉग ई एक्स.

2,718281828459045... ;
.

लघुगणक का ग्राफ घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ से सीधी रेखा y \u003d x के बारे में दर्पण प्रतिबिंब द्वारा प्राप्त किया जाता है। बाईं ओर फ़ंक्शन y . के ग्राफ़ हैं (एक्स) = लॉग एक्सचार मूल्यों के लिए लघुगणक के आधार:ए= 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . ग्राफ दर्शाता है कि a > . के लिए 1 लघुगणक नीरस रूप से बढ़ रहा है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, वृद्धि काफी धीमी हो जाती है। पर 0 < a < 1 लघुगणक नीरस रूप से घट रहा है।

लघुगणक के गुण

डोमेन, मानों का सेट, आरोही, अवरोही

लॉगरिदम एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

कार्यक्षेत्र	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
एक लय	एकरसता से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
शून्य, y= 0	एक्स = 1	एक्स = 1
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	नहीं	नहीं
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

निजी मूल्य

आधार 10 लघुगणक कहलाता है दशमलव लघुगणकऔर इस तरह चिह्नित किया गया है:

आधार लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक:

मूल लघुगणक सूत्र

व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नलिखित लघुगणक के गुण:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

लोगारित्मलघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लॉगरिदम लेते समय, कारकों के उत्पादों को शर्तों के योग में बदल दिया जाता है।

क्षमतालॉगरिदम के विपरीत गणितीय ऑपरेशन है। पोटेंशियेटिंग करते समय, दिए गए आधार को उस अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस मामले में, शर्तों के योग कारकों के उत्पादों में परिवर्तित हो जाते हैं।

लघुगणक के मूल सूत्रों का प्रमाण

लघुगणक से संबंधित सूत्र घातीय कार्यों के लिए सूत्रों से और व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति पर विचार करें
.
फिर
.
घातांक फ़ंक्शन की संपत्ति लागू करें
:
.

आइए हम आधार परिवर्तन सूत्र को सिद्ध करें।
;
.
c = b सेट करना, हमारे पास है:

उलटा काम करना

आधार लघुगणक a का व्युत्क्रम घातांक a के साथ घातांकीय फलन है।

तो अगर

तो अगर

लघुगणक का व्युत्पन्न

लघुगणक मॉड्यूल x का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक लघुगणक के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, इसे आधार तक घटाया जाना चाहिए इ.
;
.

अभिन्न

लघुगणक के समाकलन की गणना भागों द्वारा समाकलन करके की जाती है : .
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
.
आइए एक सम्मिश्र संख्या व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
फिर, लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या

हालांकि, तर्क φ स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न के लिए समान संख्या होगी एन.

इसलिए, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में लघुगणक, एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।