ट्रेपेज़ॉइड विधि का उपयोग करके एक निश्चित इंटीग्रल खोजने के लिए, एक वक्रीय समलम्बाकार के क्षेत्र को n आयताकार ट्रेपोज़ॉइड में भी विभाजित किया जाता है जिसकी ऊँचाई h और आधार y 1, y 2, y 3,..y n है, जहाँ n की संख्या है। आयताकार ट्रेपोजॉइड। समाकलन संख्यात्मक रूप से आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा (चित्र 4)।

चावल। 4

n - विभाजन की संख्या

समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि का अनुमान संख्या द्वारा लगाया जाता है

समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि आयत सूत्र की त्रुटि की तुलना में वृद्धि के साथ तेजी से घटती है। इसलिए, समलम्बाकार सूत्र आपको आयत विधि की तुलना में अधिक सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देता है।

सिम्पसन फॉर्मूला

यदि खंडों की प्रत्येक जोड़ी के लिए हम दूसरी डिग्री के बहुपद का निर्माण करते हैं, तो इसे खंड पर एकीकृत करते हैं और अभिन्न के योगात्मक गुण का उपयोग करते हैं, तो हम सिम्पसन सूत्र प्राप्त करते हैं।

निश्चित समाकलन की गणना के लिए सिम्पसन की विधि में, संपूर्ण समाकलन अंतराल को समान लंबाई h=(b-a)/n के उप-अंतरालों में विभाजित किया गया है। विभाजन खंडों की संख्या एक सम संख्या है। फिर, आसन्न सबइंटरवल के प्रत्येक जोड़े पर, सबइंटीग्रल फ़ंक्शन f(x) को दूसरी डिग्री के लैग्रेंज बहुपद से बदल दिया जाता है (चित्र 5)।

चावल। 5 फलन y=f(x) खंड पर एक दूसरे क्रम बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है

अंतराल पर समाकलन पर विचार करें। आइए हम इस समाकलन को बिंदुओं पर y= के साथ मेल खाने वाले एक द्वितीय-डिग्री लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद के साथ प्रतिस्थापित करें:

आइए अंतराल पर एकीकृत करें:

हम चर के परिवर्तन का परिचय देते हैं:

प्रतिस्थापन सूत्रों को देखते हुए,

एकीकरण के बाद, हमें सिम्पसन सूत्र मिलता है:

इंटीग्रल के लिए प्राप्त मूल्य एक अक्ष, सीधी रेखाओं और बिंदुओं से गुजरने वाले एक परवलय से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के साथ मेल खाता है। एक खंड पर, सिम्पसन का सूत्र इस तरह दिखेगा:

परवलय सूत्र में, विषम विभाजन बिंदुओं x 1, x 3, ..., x 2n-1 पर फलन f (x) का मान सम बिंदुओं पर 4 का गुणांक है x 2, x 4, ... , x 2n-2 - गुणांक 2 और दो सीमा बिंदुओं पर x 0 =a, x n =b - गुणांक 1।

सिम्पसन के सूत्र का ज्यामितीय अर्थ: एक खंड पर फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ के तहत एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्र लगभग परवलय के नीचे स्थित आंकड़ों के क्षेत्रों के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यदि फलन f(x) में चौथे क्रम का एक सतत अवकलज है, तो सिम्पसन सूत्र की त्रुटि का निरपेक्ष मान इससे अधिक नहीं है

जहां एम खंड पर सबसे बड़ा मूल्य है। चूँकि n 4, n 2 की तुलना में तेजी से बढ़ता है, ट्रैपेज़ॉइड सूत्र की त्रुटि की तुलना में n बहुत तेज़ी से बढ़ने के साथ सिम्पसन के सूत्र की त्रुटि कम हो जाती है।

हम अभिन्न की गणना करते हैं

यह अभिन्न गणना करना आसान है:

आइए 10 के बराबर n लें, h=0.1, विभाजन बिंदुओं पर इंटीग्रैंड के मूल्यों की गणना करें, साथ ही साथ अर्ध-पूर्णांक बिंदु भी।

मध्य आयतों के सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं I सीधा = 0.785606 (त्रुटि 0.027% है), समलम्बाकार सूत्र I जाल के अनुसार = 0.784981 (त्रुटि लगभग 0.054 है। दाएँ और बाएँ आयतों की विधि का उपयोग करते समय, त्रुटि 3% से अधिक है।

अनुमानित सूत्रों की सटीकता की तुलना करने के लिए, हम एक बार फिर से इंटीग्रल की गणना करते हैं

लेकिन अब सिम्पसन सूत्र द्वारा n=4 के लिए। हम खंड को चार बराबर भागों में x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 के साथ विभाजित करते हैं और लगभग मानों की गणना करते हैं फ़ंक्शन का f (x) \u003d 1 / ( 1+x) इन बिंदुओं पर: y 0 = 1.0000, y 1 = 0.8000, y 2 = 0.6667, y 3 = 0.5714, y 4 = 0.5000।

सिम्पसन के सूत्र से, हम प्राप्त करते हैं

आइए हम प्राप्त परिणाम की त्रुटि का अनुमान लगाएं। एकीकृत f(x)=1/(1+x) के लिए हमारे पास है: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , जहां से यह खंड पर अनुसरण करता है। इसलिए, हम एम = 24 ले सकते हैं, और परिणाम त्रुटि 24/(2880 4 4) = 0.0004 से अधिक नहीं है। सटीक मान के साथ अनुमानित मान की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिम्पसन सूत्र द्वारा प्राप्त परिणाम की पूर्ण त्रुटि 0.00011 से कम है। यह ऊपर दिए गए त्रुटि अनुमान के अनुसार है और, इसके अलावा, यह दर्शाता है कि सिम्पसन सूत्र समलम्बाकार सूत्र की तुलना में बहुत अधिक सटीक है। इसलिए, निश्चित समाकलों की अनुमानित गणना के लिए सिम्पसन सूत्र का उपयोग समलम्बाकार सूत्र की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

समस्या एक निश्चित समाकल की संख्यात्मक गणना से उत्पन्न होती है, जिसे चतुर्भुज नामक सूत्रों की सहायता से हल किया जाता है।

संख्यात्मक एकीकरण के सबसे सरल सूत्रों को याद करें।

आइए हम के अनुमानित संख्यात्मक मान की गणना करें। हम अंको को विभाजित करके एकीकरण अंतराल [а, b] को n बराबर भागों में विभाजित करते हैं
, चतुर्भुज सूत्र के नोड कहलाते हैं। नोड्स में मान ज्ञात होने दें
:

मूल्य

समाकलन अंतराल या चरण कहलाता है। ध्यान दें कि -गणना के अभ्यास में, संख्या को छोटा चुना जाता है, आमतौर पर यह 10-20 से अधिक नहीं होता है। आंशिक अंतराल पर

इंटीग्रैंड को इंटरपोलेशन बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है

जो विचाराधीन अंतराल पर फलन f(x) को लगभग निरूपित करता है।

a) प्रक्षेप बहुपद में केवल एक प्रथम पद रखें, तब

परिणामी द्विघात सूत्र

आयतों का सूत्र कहते हैं।

b) पहले दो पदों को प्रक्षेप बहुपद में रखें, फिर

(2)

सूत्र (2) को समलम्ब सूत्र कहते हैं।

ग) एकीकरण अंतराल
हम 2n बराबर भागों की एक सम संख्या में विभाजित करते हैं, जबकि एकीकरण चरण h के बराबर होगा . अंतराल पर
लंबाई 2h का, हम समाकलन को दूसरी डिग्री के एक प्रक्षेप बहुपद से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात, हम पहले तीन पदों को बहुपद में रखते हैं:

परिणामी चतुर्भुज सूत्र को सिम्पसन का सूत्र कहा जाता है

(3)

सूत्र (1), (2) और (3) का एक सरल ज्यामितीय अर्थ है। आयतों के सूत्र में, अंतराल पर समाकलन f(x)
एक सीधी रेखा खंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है y \u003d uk, x-अक्ष के समानांतर, और समलम्बाकार सूत्र में - एक सीधी रेखा खंड द्वारा
और एक आयत और एक रेक्टिलिनियर ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना क्रमशः की जाती है, जिसे बाद में सारांशित किया जाता है। सिम्पसन के सूत्र में, अंतराल पर फलन f(x)
लंबाई 2h को एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है - एक परवलय
एक वक्रीय परवलयिक समलम्ब के क्षेत्र की गणना की जाती है, फिर क्षेत्रों का योग किया जाता है।

निष्कर्ष

अंत में, मैं ऊपर चर्चा की गई विधियों के आवेदन की कई विशेषताओं पर ध्यान देना चाहूंगा। एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित समाधान के लिए प्रत्येक विधि के अपने फायदे और नुकसान हैं, कार्य के आधार पर, विशिष्ट तरीकों का उपयोग किया जाना चाहिए।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधिअनिश्चित समाकलों की गणना के लिए मुख्य विधियों में से एक है। यहां तक ​​​​कि जब हम किसी अन्य विधि से एकीकृत करते हैं, तो हमें अक्सर मध्यवर्ती गणनाओं में चर के परिवर्तन का सहारा लेना पड़ता है। समाकलन की सफलता काफी हद तक इस बात पर निर्भर करती है कि क्या हम चरों का इतना अच्छा परिवर्तन पा सकते हैं जो दिए गए समाकलन को सरल बना सके।

संक्षेप में, एकीकरण विधियों का अध्ययन यह पता लगाने के लिए नीचे आता है कि एक रूप या किसी अन्य इंटीग्रैंड के लिए किस प्रकार का परिवर्तन किया जाना चाहिए।

इस प्रकार, प्रत्येक तर्कसंगत अंश का एकीकरणएक बहुपद और कुछ साधारण भिन्नों को समाकलित करने के लिए कम कर देता है।

किसी भी परिमेय फलन के समाकलन को प्राथमिक फलनों के रूप में अंतिम रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात्:

लघुगणक के माध्यम से - प्रकार 1 के सरलतम अंशों के मामलों में;

परिमेय फलनों के माध्यम से - प्रकार 2 . के साधारण भिन्नों के मामले में

लघुगणक और चाप स्पर्शरेखा के माध्यम से - प्रकार 3 . के साधारण अंशों के मामले में

परिमेय फलनों और चाप स्पर्शरेखाओं के माध्यम से - प्रकार 4 के सरलतम भिन्नों के मामले में। सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन हमेशा एकीकृत को युक्तिसंगत बनाता है, लेकिन अक्सर यह बहुत बोझिल तर्कसंगत अंशों की ओर जाता है, जिसके लिए, विशेष रूप से, हर की जड़ों को खोजना व्यावहारिक रूप से असंभव है। इसलिए, यदि संभव हो तो, आंशिक प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है, जो एकीकृत को भी तर्कसंगत बनाता है और कम जटिल अंशों को जन्म देता है।

न्यूटन-लीबनिज सूत्रनिश्चित समाकलों को खोजने का एक सामान्य तरीका है।

जहां तक ​​निश्चित समाकलों की गणना की विधियों का संबंध है, वे व्यावहारिक रूप से उन सभी विधियों और विधियों से भिन्न नहीं हैं।

यही बात लागू होती है प्रतिस्थापन के तरीके(चर का परिवर्तन), भागों द्वारा एकीकरण की विधि, त्रिकोणमितीय, अपरिमेय और अनुवांशिक कार्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव खोजने के समान तरीके। एकमात्र ख़ासियत यह है कि इन तकनीकों को लागू करते समय, न केवल उप-अभिन्न कार्य करने के लिए, बल्कि एकीकरण की सीमा तक भी परिवर्तन का विस्तार करना आवश्यक है। एकीकरण चर बदलते समय, एकीकरण सीमा को तदनुसार बदलना याद रखें।

कुंआ प्रमेय से, फ़ंक्शन की निरंतरता की स्थितिफ़ंक्शन की अभिन्नता के लिए पर्याप्त शर्त है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि निश्चित अभिन्न केवल निरंतर कार्यों के लिए मौजूद है। अभिन्न कार्यों का वर्ग बहुत व्यापक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कार्यों का एक निश्चित अभिन्न अंग है जिसमें एक सीमित संख्या में असंततता बिंदु होते हैं।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक निरंतर फ़ंक्शन के एक निश्चित अभिन्न की गणना एक एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए कम हो जाती है, जो हमेशा मौजूद होती है, लेकिन हमेशा एक प्राथमिक फ़ंक्शन या फ़ंक्शन नहीं होता है जिसके लिए टेबल संकलित किए जाते हैं जो मूल्य प्राप्त करना संभव बनाते हैं अभिन्न का। कई अनुप्रयोगों में, एक तालिका में एकीकृत कार्य दिया जाता है, और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र सीधे लागू नहीं होता है।

यदि आप सबसे सटीक परिणाम चाहते हैं, तो आदर्श सिम्पसन की विधि.

उपरोक्त अध्ययन से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि भौतिकी, ज्यामिति, गणित और अन्य विज्ञान जैसे विज्ञानों में अभिन्न का उपयोग किया जाता है। समाकलन की सहायता से बल के कार्य की गणना की जाती है, द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक, भौतिक बिंदु द्वारा तय किया गया पथ पाया जाता है। ज्यामिति में, इसका उपयोग किसी पिंड के आयतन की गणना करने, वक्र के चाप की लंबाई ज्ञात करने आदि के लिए किया जाता है।

इस पद्धति में, बिंदुओं से गुजरने वाले परवलय द्वारा आंशिक अंतराल पर समाकलन का अनुमान लगाना प्रस्तावित है
(एक्स जे, एफ(एक्स जे)), कहाँ पे जे = मैं-1; मैं-0.5; मैं, अर्थात्, हम दूसरी डिग्री के लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद द्वारा समाकलन का अनुमान लगाते हैं:

(10.14)

एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(10.15)

यह वही है सिम्पसन का सूत्र या परवलय का सूत्र। खंड पर
[ए, बी] सिम्पसन का सूत्र रूप लेता है

(10.16)

सिम्पसन की विधि का चित्रमय निरूपण अंजीर में दिखाया गया है। 2.4.

चावल। 10.4.सिम्पसन विधि

आइए चरों का नाम बदलकर व्यंजक (2.16) में भिन्नात्मक सूचकांकों से छुटकारा पाएं:

(10.17)

तब सिम्पसन का सूत्र रूप लेता है

(10.18)

सूत्र (2.18) की त्रुटि का अनुमान निम्नलिखित व्यंजक द्वारा लगाया जाता है:

, (10.19)

कहाँ पे एच नहीं = बी ० ए, . इस प्रकार, सिम्पसन के सूत्र की त्रुटि के समानुपाती होती है हे(एच 4).

टिप्पणी।यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिम्पसन सूत्र में, एकीकरण खंड को आवश्यक रूप से विभाजित किया गया है यहाँ तक कीअंतराल की संख्या।

10.5. विधियों द्वारा निश्चित समाकलों की गणना
मौंटे कारलो

पहले चर्चा की गई विधियों को कहा जाता है नियतात्मक , अर्थात् मौका के तत्व से रहित।

मोंटे कार्लो तरीके(एमएमके) यादृच्छिक चर मॉडलिंग करके गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके हैं। MCM संभाव्य प्रक्रियाओं के कारण होने वाली गणितीय समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने की अनुमति देता है। इसके अलावा, उन समस्याओं को हल करते समय जो किसी भी संभावना से संबंधित नहीं हैं, कोई कृत्रिम रूप से एक संभाव्य मॉडल (और एक से अधिक) के साथ आ सकता है जो इन समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। निश्चित अभिन्न की गणना पर विचार करें

(10.20)

आयतों के सूत्र का उपयोग करते हुए इस समाकल की गणना करते समय, अंतराल [ ए, बी] में विभाजित एनसमान अंतराल, जिसके बीच में इंटीग्रैंड के मूल्यों की गणना की गई थी। यादृच्छिक नोड्स पर फ़ंक्शन मानों की गणना करके, आप अधिक सटीक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं:

(10.21)

(10.22)

यहाँ γ i अंतराल पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक संख्या है
. MMK इंटीग्रल ~ की गणना में त्रुटि, जो पहले अध्ययन की गई नियतात्मक विधियों की तुलना में बहुत बड़ी है।

अंजीर पर। 2.5 यादृच्छिक नोड्स (2.21) और (2.22) के साथ एकल इंटीग्रल की गणना के लिए मोंटे कार्लो पद्धति का एक ग्राफिकल कार्यान्वयन दिखाता है।

(2.23)

चावल। 10.6मोंटे कार्लो एकीकरण (दूसरा मामला)

जैसा कि अंजीर में देखा गया है। 2.6, अभिन्न वक्र इकाई वर्ग में स्थित है, और यदि हम अंतराल पर समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याओं के जोड़े प्राप्त कर सकते हैं, तो प्राप्त मूल्यों (γ 1, γ 2) को एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्या किया जा सकता है इकाई वर्ग। फिर, यदि संख्याओं के इन युग्मों में से पर्याप्त हैं, तो हम लगभग मान सकते हैं कि
. यहां एसवक्र के नीचे आने वाले बिंदुओं के जोड़े की संख्या है, और एनसंख्याओं के युग्मों की कुल संख्या है।

उदाहरण 2.1.निम्नलिखित अभिन्न की गणना करें:

समस्या को विभिन्न तरीकों से हल किया गया था। प्राप्त परिणामों को तालिका में संक्षेपित किया गया है। 2.1.

तालिका 2.1

टिप्पणी।टेबल इंटीग्रल की पसंद ने हमें प्रत्येक विधि की त्रुटि की तुलना करने और गणना की सटीकता पर विभाजन की संख्या के प्रभाव का पता लगाने की अनुमति दी।

11 नॉनलाइनियर का अनुमानित समाधान
और पारलौकिक समीकरण

आयतों, समलम्बाकार और सिम्पसन के सूत्र के सूत्रों का उपयोग करके समाकलनों की गणना। त्रुटियों का अनुमान।

विषय 4.1 पर दिशानिर्देश:

आयतों के सूत्रों द्वारा समाकलनों की गणना। त्रुटि अनुमान:

कई तकनीकी समस्याओं का समाधान कुछ इंटीग्रल की गणना के लिए कम हो जाता है, जिसकी सटीक अभिव्यक्ति मुश्किल है, लंबी गणना की आवश्यकता होती है और व्यवहार में हमेशा उचित नहीं होती है। यहां, उनका अनुमानित मूल्य काफी पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आपको उस रेखा से घिरे क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है जिसका समीकरण अज्ञात है, अक्ष एक्सऔर दो निर्देशांक। इस मामले में, आप इस रेखा को एक सरल रेखा से बदल सकते हैं, जिसके लिए समीकरण ज्ञात है। इस प्रकार प्राप्त वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल वांछित समाकलन के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है। ज्यामितीय रूप से, आयतों के सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न की गणना करने की विधि के पीछे का विचार यह है कि एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल ए 1 एबीबी 1एक समान क्षेत्रफल वाले आयत के क्षेत्रफल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ए 1 ए 2 बी 1 बी 2, जो, माध्य मान प्रमेय के अनुसार, के बराबर है

कहाँ च (सी)--- आयत ऊंचाई ए 1 ए 2 बी 1 बी 2,जो किसी मध्यवर्ती बिंदु पर समाकलन का मान है सीए< c

ऐसा मूल्य खोजना व्यावहारिक रूप से कठिन है साथ, जिस पर (बी-ए) एफ (सी)के बिल्कुल बराबर होगा। अधिक सटीक मान प्राप्त करने के लिए, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को विभाजित किया गया है एनआयत जिनकी ऊँचाई बराबर है वाई 0, वाई 1, वाई 2, …, वाई एन -1और नींव।

यदि हम आयतों के उन क्षेत्रों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं जो एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र को एक नुकसान के साथ कवर करते हैं, तो फ़ंक्शन गैर-घटता है, फिर सूत्र के बजाय, सूत्र का उपयोग किया जाता है

अधिक हो तो

मूल्य समानता से पाए जाते हैं। इन सूत्रों को कहा जाता है आयत सूत्रऔर अनुमानित परिणाम दें। वृद्धि के साथ एनपरिणाम अधिक सटीक हो जाता है।

उदाहरण 1 . आयतों के सूत्र से गणना करें

हम एकीकरण के अंतराल को 5 भागों में विभाजित करते हैं। फिर । कैलकुलेटर या टेबल का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड के मान पाते हैं (4 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ):

आयतों के सूत्र के अनुसार (नुकसान के साथ)

दूसरी ओर, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार

आइए आयतों के सूत्र का उपयोग करके सापेक्ष गणना त्रुटि का पता लगाएं:

समलम्बाकार सूत्रों द्वारा समाकलनों की गणना। त्रुटि अनुमान:

इंटीग्रल की अनुमानित गणना के लिए निम्नलिखित विधि का ज्यामितीय अर्थ यह है कि लगभग समान आकार के "रेक्टिलिनियर" ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

क्षेत्र की गणना करना आवश्यक होने दें ए 1 एएमबीबी 1वक्रीय समलम्बाकार, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया।

आइए चाप को बदलें एएमबीतार अबऔर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के बजाय ए 1 एएमबीबी 1ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करें ए 1 एबीबी 1: , कहाँ पे एए 1और बी बी 1 - समलम्बाकार आधार, और ए 1 वी 1 इसकी ऊंचाई है।

निरूपित एफ (ए) = ए 1 ए, एफ (बी) = बी 1 बी।समलंब ऊंचाई ए 1 बी 1 \u003d बी-ए,वर्ग . इसलिये, या

यह तथाकथित छोटा समलम्बाकार सूत्र.

सिम्पसन सूत्र का निर्माण करने के लिए, हम पहले निम्नलिखित समस्या पर विचार करते हैं: परवलय y \u003d Ax 2 + Bx + C के ग्राफ द्वारा ऊपर से बंधे एक वक्रीय समलम्बाकार के क्षेत्र S की गणना करें, बाईं ओर से सीधी रेखा x \u003d - ज, दाईं ओर से सीधी रेखा x \u003d h और नीचे से खंड [-h; एच]। परवलय को तीन बिंदुओं से गुजरने दें (चित्र 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) और F (h; y 2), और x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = एच. इसलिये,

एक्स 1 \u003d एक्स 0 + एच \u003d 0; एक्स 2 = एक्स 0 + 2 एच।

तब क्षेत्र S समाकल के बराबर है:

हम इस क्षेत्रफल को h, y 0 , y 1 और y 2 के पदों में व्यक्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम परवलय A, B, C के गुणांकों की गणना करते हैं। इस शर्त से कि परवलय बिंदु D, E और F से होकर गुजरता है, हमारे पास है:

इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: C = y 1 ; ए =

इन मानों ए और सी को (3) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित क्षेत्र प्राप्त करते हैं

आइए अब हम समाकलन की गणना के लिए सिम्पसन के सूत्र की व्युत्पत्ति की ओर मुड़ें

ऐसा करने के लिए, हम एकीकरण खंड को लंबाई के 2n बराबर भागों में विभाजित करते हैं

विभाजन बिंदुओं पर (चित्र 4)। a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

हम समाकलन f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih के मानों की गणना करते हैं (i = 0, 1, 2,...,2n)।

खंड पर, हम बिंदुओं (x 0; y 0), (x 1; y 1) और (x 2; y 2) से गुजरने वाले परवलय के साथ इंटीग्रैंड को प्रतिस्थापित करते हैं, और x से अभिन्न के अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए 0 से x 2 तक, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। तब (चित्र 4 में छायांकित क्षेत्र):

इसी तरह, हम पाते हैं:

................................................

परिणामी समानता को जोड़ने पर, हमारे पास है:

सूत्र (5) कहलाता है सामान्यीकृत सिम्पसन फॉर्मूलाया परवलय सूत्र, चूंकि इसे प्राप्त करते समय, लंबाई 2h के आंशिक खंड पर इंटीग्रैंड का ग्राफ एक परवलय चाप द्वारा बदल दिया जाता है।

जॉब असाइनमेंट:

1. शिक्षक के निर्देशानुसार या से एक विकल्प के अनुसार टेबलशर्तों को लेने के लिए 4 कार्य (परिशिष्ट देखें) - एकीकृत, एकीकरण की सीमाएं।

2. कार्यक्रम का एक फ़्लोचार्ट और एक प्रोग्राम तैयार करें जो:

एक निश्चित अभिन्न, एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाओं की गणना की सटीकता का अनुरोध करें;

दिए गए समाकलन को विधियों द्वारा परिकलित करें: विकल्पों के लिए 1,4,7, 10… - दाएं, विकल्पों के लिए 2,5,8,… - औसत; विकल्प 2,5,8,… के लिए - आयतों को छोड़ दिया। आउटपुट एकीकरण रेंज के विभाजन की संख्या जिस पर निर्दिष्ट गणना सटीकता प्राप्त की जाती है;

समलम्बाकार विधि (सम विकल्पों के लिए) और सिम्पसन विधि (विषम विकल्पों के लिए) का उपयोग करके दिए गए समाकलन की गणना कीजिए।

आउटपुट एकीकरण रेंज के विभाजन की संख्या जिस पर निर्दिष्ट गणना सटीकता प्राप्त की जाती है;

तर्क के दिए गए मान के लिए नियंत्रण फ़ंक्शन के मानों को आउटपुट करें और इंटीग्रल के परिकलित मानों के साथ तुलना करें। निष्कर्ष निकालना।

परीक्षण प्रश्न

1. एक निश्चित समाकलन क्या है?

2. विश्लेषणात्मक विधियों के साथ-साथ निश्चित समाकलों की गणना के लिए संख्यात्मक विधियों का उपयोग क्यों किया जाता है।

3. निश्चित समाकलों की गणना के लिए मुख्य संख्यात्मक विधियों का सार क्या है।

4. संख्यात्मक विधियों द्वारा एक निश्चित अभिन्न की गणना की सटीकता पर विभाजन की संख्या का प्रभाव।

5. दी गई सटीकता के साथ किसी भी विधि द्वारा इंटीग्रल की गणना कैसे करें?