स्थिर गुणांक के साथ अमानवीय द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण

सामान्य समाधान की संरचना इस प्रकार के एक रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है: कहाँ पे पी, क्यू- स्थिर संख्याएं (जो वास्तविक और जटिल दोनों हो सकती हैं)। ऐसे प्रत्येक समीकरण के लिए, कोई संगत लिख सकता है सजातीय समीकरण: प्रमेय: अमानवीय समीकरण का सामान्य हल, सामान्य हल का योग होता है आप 0 (एक्स) संगत सजातीय समीकरण और एक विशेष समाधान का आप 1 (एक्स) अमानवीय समीकरण का: नीचे हम अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने की दो विधियों पर विचार करते हैं। लगातार भिन्नता विधि यदि सामान्य समाधान आपसंबंधित सजातीय समीकरण का 0 ज्ञात है, तो अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान का उपयोग करके पाया जा सकता है निरंतर भिन्नता विधि. मान लीजिए कि दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है: स्थायी के बजाय सी 1 और सी 2 हम सहायक कार्यों पर विचार करेंगे सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) हम इन कार्यों की तलाश करेंगे जैसे कि समाधान दाहिने हाथ के साथ अमानवीय समीकरण को संतुष्ट करता है एफ(एक्स) अज्ञात विशेषताएं सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) दो समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं: अनिर्धारित गुणांक की विधि दायां भाग एफ(एक्स) एक अमानवीय अंतर समीकरण का अक्सर एक बहुपद, एक घातीय या त्रिकोणमितीय कार्य, या इन कार्यों का कुछ संयोजन होता है। इस मामले में, इसका उपयोग करके समाधान ढूंढना अधिक सुविधाजनक है अनिश्चित गुणांक की विधि. हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह विधि केवल दाईं ओर के कार्यों के सीमित वर्ग के लिए काम करती है, जैसे कि दोनों ही मामलों में, किसी विशेष समाधान का चुनाव अमानवीय अंतर समीकरण के दाईं ओर की संरचना के अनुरूप होना चाहिए। स्थिति 1 में, यदि संख्या α घातीय फलन में अभिलक्षणिक समीकरण के मूल के साथ मेल खाता है, तो विशेष समाधान में एक अतिरिक्त गुणनखंड होगा एक्स एस, कहाँ पे एस- जड़ की बहुलता α विशेषता समीकरण में। स्थिति 2 में, यदि संख्या α + βiअभिलक्षणिक समीकरण के मूल के साथ मेल खाता है, तो विशेष समाधान के व्यंजक में एक अतिरिक्त गुणनखंड होगा एक्स. किसी विशेष हल के लिए प्राप्त व्यंजक को मूल अमानवीय अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करके अज्ञात गुणांकों का निर्धारण किया जा सकता है। सुपरपोजिशन सिद्धांत यदि अमानवीय समीकरण का दाहिना पक्ष है रकमप्रपत्र के कई कार्य तो अवकल समीकरण का विशेष हल भी दाहिनी ओर के प्रत्येक पद के लिए अलग-अलग बनाए गए विशेष हलों का योग होगा।

उदाहरण 1

अंतर समीकरण हल करें y"" + y= पाप(2 एक्स). फेसला। हम पहले संबंधित समांगी समीकरण को हल करते हैं y"" + y= 0. इस मामले में, विशेषता समीकरण की जड़ें पूरी तरह से काल्पनिक हैं: अतः समांगी समीकरण का व्यापक हल द्वारा दिया गया है आइए हम फिर से अमानवीय समीकरण पर लौटते हैं। हम इसका समाधान फॉर्म में तलाशेंगे स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करना। कार्यों सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली से पाया जा सकता है: हम व्युत्पन्न व्यक्त करते हैं सी 1 " (एक्स) पहले समीकरण से: दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम अवकलज पाते हैं सी 2 " (एक्स): इसलिए यह इस प्रकार है कि डेरिवेटिव के लिए अभिव्यक्ति को एकीकृत करना सी 1 " (एक्स) और सी 2 " (एक्स), हम पाते हैं: कहाँ पे ए 1 , ए 2 - एकीकरण स्थिरांक। अब हम पाए गए कार्यों को प्रतिस्थापित करते हैं सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) के लिए सूत्र में आप 1 (एक्स) और अमानवीय समीकरण का सामान्य हल लिखें:

उदाहरण 2

समीकरण का एक सामान्य हल खोजें वाई"" + वाई " −6आप = 36एक्स. फेसला। आइए अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करें। दिए गए समीकरण का दाहिना भाग एक रैखिक फलन है एफ(एक्स)= कुल्हाड़ी + बी. इसलिए, हम फॉर्म में एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे डेरिवेटिव हैं: इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: अंतिम समीकरण एक पहचान है, अर्थात यह सभी के लिए मान्य है एक्स, इसलिए हम समान घात वाले पदों के गुणांकों की बराबरी करते हैं एक्सबाईं और दाईं ओर: परिणामी प्रणाली से हम पाते हैं: ए = −6, बी= -1. नतीजतन, विशेष समाधान के रूप में लिखा जाता है आइए अब समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करें। आइए हम सहायक विशेषता समीकरण की जड़ों की गणना करें: इसलिए, संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है: तो, मूल अमानवीय समीकरण का सामान्य हल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

डीई का सामान्य समाकलन।

अंतर समीकरण हल करें

लेकिन मजेदार बात यह है कि उत्तर पहले से ही ज्ञात है: अधिक सटीक रूप से, हमें एक स्थिरांक भी जोड़ना चाहिए: सामान्य अभिन्न अवकल समीकरण का एक समाधान है।

मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। समाधान उदाहरण

अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। यह पाठ उन छात्रों के लिए अभिप्रेत है जो पहले से ही कमोबेश इस विषय में पारंगत हैं। यदि आप अभी रिमोट कंट्रोल से परिचित होना शुरू कर रहे हैं, अर्थात। यदि आप एक चायदानी हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ से शुरुआत करें: पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण. और यदि आप पहले से ही समाप्त कर रहे हैं, तो कृपया संभावित पूर्वकल्पित धारणा को त्याग दें कि विधि कठिन है। क्योंकि वह सरल है।

किन मामलों में मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है?

1) एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE. चूँकि समीकरण प्रथम कोटि का है, तो अचर (स्थिर) भी एक होता है।

2) कुछ को हल करने के लिए स्वेच्छ अचरों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण. यहां, दो स्थिरांक (स्थिरांक) भिन्न होते हैं।

यह मान लेना तर्कसंगत है कि पाठ में दो पैराग्राफ होंगे .... इसलिए मैंने यह प्रस्ताव लिखा, और लगभग 10 मिनट के लिए मैं दर्द से सोच रहा था कि व्यावहारिक उदाहरणों के लिए एक आसान संक्रमण के लिए अन्य स्मार्ट बकवास क्या जोड़ना है। लेकिन किसी कारण से, छुट्टियों के बाद कोई विचार नहीं है, हालांकि ऐसा लगता है कि मैंने कुछ भी गाली नहीं दी। तो चलिए सीधे पहले पैराग्राफ में आते हैं।

मनमाना लगातार भिन्नता विधि एक रैखिक अमानवीय प्रथम-क्रम समीकरण के लिए

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर विचार करने से पहले, लेख से परिचित होना वांछनीय है पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण. उस पाठ में, हमने अभ्यास किया हल करने का पहला तरीका 1 क्रम का अमानवीय DE। यह पहला उपाय, मैं आपको याद दिलाता हूं, कहा जाता है प्रतिस्थापन विधिया बर्नौली विधि(भ्रमित नहीं होना चाहिए बर्नौली समीकरण!!!)

अब हम विचार करेंगे हल करने का दूसरा तरीका- एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मैं केवल तीन उदाहरण दूंगा, और मैं उन्हें उपरोक्त पाठ से लूंगा। इतना कम क्यों? क्योंकि वास्तव में दूसरे तरीके से समाधान पहले तरीके से समाधान के समान ही होगा। इसके अलावा, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग प्रतिस्थापन विधि की तुलना में कम बार किया जाता है।

उदाहरण 1

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए (पाठ के उदाहरण संख्या 2 से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

फेसला:यह समीकरण रैखिक अमानवीय है और इसका एक परिचित रूप है:

पहले चरण में, एक सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है: यानी, हम मूर्खता से दाईं ओर रीसेट करते हैं - इसके बजाय हम शून्य लिखते हैं। मैं जिस समीकरण को कॉल करूंगा सहायक समीकरण.

इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित सहायक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

हमारे सामने वियोज्य समीकरण, जिसका समाधान (मुझे आशा है) अब आपके लिए कठिन नहीं है:

इस प्रकार: सहायक समीकरण का सामान्य हल है।

दूसरे चरण पर बदलने केकुछ का स्थिरांक अभी तकअज्ञात फ़ंक्शन जो "x" पर निर्भर करता है:

इसलिए विधि का नाम - हम स्थिरांक बदलते हैं। वैकल्पिक रूप से, स्थिरांक कुछ फलन हो सकता है जिसे हमें अभी खोजना है।

पर मूलगैर-सजातीय समीकरण, हम प्रतिस्थापन करेंगे:

समीकरण में स्थानापन्न करें:

नियंत्रण क्षण - बाईं ओर की दो शर्तें रद्द करें. यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको उपरोक्त त्रुटि की तलाश करनी चाहिए।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, वियोज्य चर के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है। चर को अलग करें और एकीकृत करें।

क्या वरदान है, प्रतिपादक भी सिकुड़ रहे हैं:

हम पाए गए फ़ंक्शन में "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं:

अंतिम चरण में, हम अपने प्रतिस्थापन को याद करते हैं:

फ़ंक्शन अभी मिला!

तो सामान्य समाधान है:

जवाब:सामान्य निर्णय:

यदि आप दो समाधानों का प्रिंट आउट लेते हैं, तो आप आसानी से देखेंगे कि दोनों ही मामलों में हमने एक ही समाकलन पाया है। समाधान एल्गोरिथ्म में एकमात्र अंतर है।

अब कुछ और जटिल है, मैं दूसरे उदाहरण पर भी टिप्पणी करूंगा:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए (पाठ के उदाहरण संख्या 8 से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

फेसला:आइए समीकरण को फॉर्म में लाएं:

दाईं ओर को शून्य पर सेट करें और सहायक समीकरण को हल करें:

अलग चर और एकीकृत: सहायक समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापन करेंगे:

उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:

मूल अमानवीय समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

बाईं ओर की दो शर्तें रद्द हो जाती हैं, जिसका अर्थ है कि हम सही रास्ते पर हैं:

हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र से एक स्वादिष्ट पत्र पहले से ही समाधान में शामिल है, इसलिए हम उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, "ए" और "बी" अक्षर:

अंततः:

आइए अब प्रतिस्थापन को देखें:

जवाब:सामान्य निर्णय:

मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम समीकरण के लिए निरंतर गुणांक के साथ

एक राय अक्सर सुनी जाती है कि दूसरे क्रम के समीकरण के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि एक आसान बात नहीं है। लेकिन मैं निम्नलिखित का अनुमान लगाता हूं: सबसे अधिक संभावना है, यह विधि कई लोगों के लिए कठिन लगती है, क्योंकि यह इतना सामान्य नहीं है। लेकिन वास्तव में, कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं - निर्णय की प्रक्रिया स्पष्ट, पारदर्शी और समझने योग्य है। और खूबसूरत।

विधि में महारत हासिल करने के लिए, दाहिनी ओर के रूप के अनुसार एक विशेष समाधान का चयन करके दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना वांछनीय है। इस विधि पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। दूसरे क्रम का अमानवीय DE. हमें याद है कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है:

चयन विधि, जिसे उपरोक्त पाठ में माना गया था, केवल सीमित मामलों में काम करती है, जब बहुपद, घातांक, साइन, कोसाइन दाईं ओर होते हैं। लेकिन क्या करें जब दाईं ओर, उदाहरण के लिए, एक अंश, लघुगणक, स्पर्शरेखा? ऐसी स्थिति में, स्थिरांक की भिन्नता की विधि बचाव में आती है।

उदाहरण 4

द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

फेसला:इस समीकरण के दायीं ओर एक भिन्न है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि किसी विशेष हल को चुनने की विधि काम नहीं करती है। हम स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं।

कुछ भी नहीं एक आंधी को चित्रित करता है, समाधान की शुरुआत काफी सामान्य है:

हमे पता करने दें सामान्य निर्णयतदनुसार सजातीयसमीकरण:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं: - संयुग्म जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

सामान्य समाधान के रिकॉर्ड पर ध्यान दें - यदि कोष्ठक हैं, तो उन्हें खोलें।

अब हम लगभग उसी तरह की चाल करते हैं जैसे पहले क्रम समीकरण के लिए: हम स्थिरांक बदलते हैं, उन्हें अज्ञात कार्यों के साथ बदलते हैं। अर्थात, अमानवीय का सामान्य समाधानहम फॉर्म में समीकरणों की तलाश करेंगे:

कहाँ - अभी तकअज्ञात कार्य।

यह कूड़े के ढेर जैसा दिखता है, लेकिन अब हम सब कुछ छाँट लेंगे।

कार्यों के व्युत्पन्न अज्ञात के रूप में कार्य करते हैं। हमारा लक्ष्य डेरिवेटिव ढूंढना है, और पाया गया डेरिवेटिव सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए।

"खेल" कहाँ से आते हैं? सारस उन्हें लाता है। हम पहले प्राप्त सामान्य समाधान को देखते हैं और लिखते हैं:

आइए डेरिवेटिव खोजें:

बाईं ओर से निपटा। दाईं ओर क्या है?

इस मामले में मूल समीकरण का दाहिना पक्ष है:

यह लेख निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक गैर-सजातीय अंतर समीकरणों को हल करने के प्रश्न को प्रकट करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर विचार किया जाएगा। अतुलनीय शब्दों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।

y "" + p y " + q y \u003d f (x) के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण (एलडीई) पर विचार करें, जहां पी और क्यू मनमानी संख्याएं हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) है एकीकरण अंतराल x पर निरंतर।

आइए हम LIDE के लिए सामान्य समाधान प्रमेय के सूत्रीकरण पर आगे बढ़ें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय

प्रमेय 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक अमानवीय अंतर समीकरण के अंतराल x पर स्थित सामान्य समाधान। . . + f 0 (x) y = f (x) x अंतराल f 0 (x) , f 1 (x) , पर निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ। . . , f n - 1 (x) और एक सतत फलन f (x) सामान्य समाधान y 0 के योग के बराबर है, जो LODE से संबंधित है, और कुछ विशेष समाधान y ~, जहां मूल अमानवीय समीकरण y = y 0 है + वाई ~।

इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के हल का रूप y = y 0 + y ~ होता है। y 0 खोजने के लिए एल्गोरिथ्म पर लेख में निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों पर विचार किया गया है। उसके बाद, किसी को y ~ की परिभाषा के लिए आगे बढ़ना चाहिए।

LIDE के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। इसके लिए, निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

जब f (x) को nवीं डिग्री f (x) = P n (x) का बहुपद माना जाता है, तो यह इस प्रकार है कि LIDE का एक विशेष समाधान y ~ = Q n (x) के रूप के सूत्र द्वारा पाया जाता है। ) x , जहाँ Q n ( x) घात n का बहुपद है, r अभिलक्षणिक समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। y ~ का मान एक विशेष हल y ~ "" + p y ~ "+ q y ~ = f (x) है, तो उपलब्ध गुणांक, जो बहुपद द्वारा परिभाषित होते हैं
Q n (x), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करते हुए पाते हैं।

उदाहरण 1

कौची प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का उपयोग करके परिकलित करें।

फेसला

दूसरे शब्दों में, स्थिर गुणांक y "" - 2 y " = x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान को पारित करना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों को पूरा करेगा y (0) = 2 , y" (0) = 1 4 .

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान उस सामान्य समाधान का योग होता है जो समीकरण y 0 या अमानवीय समीकरण y ~ के एक विशेष समाधान से मेल खाता है, यानी y = y 0 + y ~।

सबसे पहले, आइए एलएनडीई के लिए एक सामान्य समाधान खोजें, और फिर एक विशेष समाधान खोजें।

आइए y 0 खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। विशेषता समीकरण लिखने से जड़ों को खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिलता है

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

हमने पाया कि जड़ें अलग और वास्तविक हैं। इसलिए हम लिखते हैं

वाई 0 \u003d सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स \u003d सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।

आइए y ~ ज्ञात करें। यह देखा जा सकता है कि दिए गए समीकरण का दाहिना पक्ष दूसरी डिग्री का बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। यहाँ से हम पाते हैं कि y ~ के लिए एक विशेष हल होगा

वाई ~ = क्यू 2 (एक्स) एक्स \u003d (ए एक्स 2 + बी एक्स + सी) एक्स \u003d ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स, जहां ए, बी, सी के मान अपरिभाषित गुणांक लें।

आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ "= x 2 + 1 के रूप की समानता से खोजें।

तब हमें वह मिलता है:

वाई ~ "" - 2 वाई ~ "= एक्स 2 + 1 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "" - 2 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "= एक्स 2 + 1 3 ए एक्स 2 + 2 बी एक्स + सी " - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 6 ए एक्स + 2 बी - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1

गुणांकों को समान घातांक x से समीकरण करते हुए, हमें रैखिक व्यंजकों की एक प्रणाली मिलती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी तरह से हल करते समय, हम गुणांक ढूंढते हैं और लिखते हैं: ए \u003d - 1 6, बी \u003d - 1 4, सी \u003d - 3 4 और y ~ \u003d ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x ।

इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के मूल रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो y (0) = 2, y "(0) = 1 4 शर्तों को पूरा करता है, मानों को निर्धारित करना आवश्यक है सी 1और सी2, फॉर्म की समानता के आधार पर y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

हमें वह मिलता है:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

हम फॉर्म सी 1 + सी 2 = 2 2 सी 2 - 3 4 = 1 4 के समीकरणों की परिणामी प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहां सी 1 = 3 2, सी 2 = 1 2।

कॉची प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

जवाब: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

जब फलन f (x) को घात n और एक घातांक f (x) = P n (x) e a x वाले बहुपद के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, तो यहाँ से हम प्राप्त करते हैं कि द्वितीय कोटि LIDE का एक विशेष हल होगा y ~ = e a x Q n ( x) · x के रूप का एक समीकरण, जहां Q n (x) nवीं डिग्री का एक बहुपद है, और r α के बराबर अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों की संख्या है।

Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।

उदाहरण 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

फेसला

सामान्य समीकरण y = y 0 + y ~। संकेतित समीकरण LOD y "" - 2 y " = 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से पता चलता है कि इसकी जड़ें हैं के1 = 0और k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x अभिलक्षणिक समीकरण के अनुसार।

यह देखा जा सकता है कि समीकरण का दाहिना पक्ष x 2 + 1 · e x है। यहाँ से, LNDE y ~ = e a x Q n (x) x के माध्यम से पाया जाता है, जहाँ Q n (x) , जो दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, जहाँ α = 1 और r = 0 है, क्योंकि अभिलक्षणिक समीकरण नहीं है 1 के बराबर एक जड़ है। इसलिए हम पाते हैं कि

वाई ~ = ई ए एक्स क्यू एन (एक्स) एक्स γ = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी एक्स 0 = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी।

ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं, जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।

मिला क्या

वाई ~ "= ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी" = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + बी == ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी वाई ~ " "= ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी" = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + 2 ए + बी = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी

y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) e x e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 ई एक्स ⇔ ई एक्स - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1

हम समान गुणांकों के लिए संकेतकों को समान करते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहाँ से हम A, B, C पाते हैं:

ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3

जवाब:यह देखा जा सकता है कि y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 LIDE का एक विशेष हल है, और y = y 0 + y = सी 1 ई 2 एक्स - ई एक्स · एक्स 2 + 3

जब फलन f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1और पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो y ~ = A cos β x + B sin β x x के रूप का एक समीकरण, जहाँ A और B को अनिश्चित गुणांक माना जाता है, और r विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ों की संख्या के बराबर है ± मैं β। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा की जाती है।

उदाहरण 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

फेसला

अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। फिर

के 2 + 4 \u003d 0 के 2 \u003d - 4 के 1 \u003d 2 आई, के 2 \u003d - 2 मैं

हमारे पास जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

वाई 0 \u003d ई 0 (सी 1 कॉस (2 एक्स) + सी 2 पाप (2 एक्स)) \u003d सी 1 कॉस 2 एक्स + सी 2 पाप (2 एक्स)

अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों को एक संयुग्मी युग्म ± 2 i माना जाता है, फिर f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) । इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात गुणांक ए और बी को y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप की समानता से खोजा जाएगा।

आइए रूपांतरित करें:

y ~ "= ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x)" = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) "= = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी पाप (2 एक्स)) एक्स - 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स) - - 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

तब देखा जाता है कि

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (-4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x -4 एक पाप (2 x) + 4 B cos (2 x) + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

ज्या और कोज्या के गुणांकों की बराबरी करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4

यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x।

जवाब:स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के मूल LIDE का सामान्य हल माना जाता है

y = y 0 + y ~ = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

जब f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , तब y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ हमारे पास यह है कि r अभिलक्षणिक समीकरण से संबंधित जड़ों के सम्मिश्र संयुग्मी युग्मों की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x) , Q k (x) , L m ( एक्स) और एन एम (एक्स)घात n, k, m के बहुपद हैं, जहाँ एम = एम एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एल एम (एक्स)और एन एम (एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर उत्पादित किया जाता है।

उदाहरण 4

सामान्य हल y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ज्ञात कीजिए।

फेसला

इस शर्त से स्पष्ट है कि

α = 3, β = 5, पी एन (एक्स) = - 38 x - 45, क्यू के (एक्स) = - 8 एक्स + 5, एन = 1, के = 1

तब m = m a x (n , k) = 1 । पहले रूप के अभिलक्षणिक समीकरण को लिखकर हम y 0 पाते हैं:

के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। अत: y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के एक अमानवीय समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है

वाई ~ = ई α एक्स (एल एम (एक्स) पाप (β एक्स) + एन एम (एक्स) cos (β एक्स) एक्स γ = = ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

यह ज्ञात है कि ए, बी, सी गुणांक हैं, आर = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्म जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। ये गुणांक परिणामी समानता से पाए जाते हैं:

y ~ "" - 3 y ~ "+ 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 एक्स))) "" - - 3 (ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

व्युत्पन्न और समान पदों को खोजने से प्राप्त होता है

ई 3 एक्स ((15 ए + 23 सी) एक्स पाप (5 एक्स) + + (10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी) पाप (5 एक्स) + + (23 ए - 15 सी) एक्स कॉस (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

गुणांकों की बराबरी करने के बाद, हम फॉर्म की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1

सब से यह इस प्रकार है

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)पाप(5x))

जवाब:अब दिए गए रैखिक समीकरण का सामान्य हल प्राप्त हो गया है:

y = y 0 + y ~ = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

परिभाषा 1

समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार का फ़ंक्शन f (x) समाधान एल्गोरिदम प्रदान करता है:

• संगत रैखिक समांगी समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करना, जहाँ y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2 , जहाँ वाई 1और y2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान हैं, 1 सेऔर 2 . सेमनमाना स्थिरांक माने जाते हैं;
• LIDE y = C 1 (x) y 1 + C 2 (x) y 2 के सामान्य समाधान के रूप में स्वीकृति;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) की प्रणाली के माध्यम से किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , और फलन ज्ञात करना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।

उदाहरण 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम पहले y 0 , y "" + 36 y = 0 लिख कर अभिलक्षणिक समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए लिखें और हल करें:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) y 1 (x) = cos (6 x), वाई 2 (एक्स) = पाप (6 एक्स)

हमारे पास यह है कि दिए गए समीकरण के सामान्य समाधान का रिकॉर्ड y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) का रूप लेगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा को पारित करना आवश्यक है सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स)समीकरणों के साथ प्रणाली के अनुसार:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (पाप (6 x) x)) "= 0 C 1" (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (- 6 sin (6 x) + C 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

के संबंध में निर्णय लेने की आवश्यकता है सी 1 "(एक्स)और सी2" (एक्स)किसी भी विधि का उपयोग करना। तब हम लिखते हैं:

सी 1 "(एक्स) \u003d - 4 पाप 2 (6 एक्स) + 2 पाप (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 6 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) सी 2 "(एक्स) \u003d 4 पाप (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4

यह इस प्रकार है कि सामान्य समाधान का रूप होगा:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)

जवाब: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

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स्थिर गुणांक (पीसी) के साथ दूसरे क्रम (LNDE-2) के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के मूल सिद्धांत

निरंतर गुणांक $p$ और $q$ के साथ एक दूसरे क्रम के CLDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left( x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ दूसरे एलएनडीई के संबंध में निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना विशेष समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का एक सामान्य समाधान (OR) है। तब OR का LNDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, अर्थात $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम LIDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\बाएं(x\दाएं)=f_(1) \बाएं(x\दाएं)+f_(2) \बाएं(x\दाएं) )+। ..+f_(r) \left(x\right)$, फिर पहले आप PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ पा सकते हैं जो प्रत्येक के अनुरूप है कार्यों के $f_( 1) \बाएं(x\दाएं),f_(2) \बाएं(x\दाएं),...,f_(r) \बाएं(x\दाएं)$, और उसके बाद लिखें एलएनडीई-2 पीडी $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में।

पीसी के साथ दूसरे क्रम एलएनडीई का समाधान

जाहिर है, किसी दिए गए LNDE-2 के एक या दूसरे PD $U$ का रूप इसके दाहिने हाथ $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। एलएनडीई-2 के पीडी की खोज के सरलतम मामलों को निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किया गया है।

नियम संख्या 1।

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे a कहा जाता है डिग्री $n$ का बहुपद। फिर इसका PR $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का बहुपद, और $r$ संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (NC) की विधि द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

नियम संख्या 2।

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \बाएं(x\दाएं)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) ) \ left(x\right)$ उसी डिग्री का एक और बहुपद है जो $P_(n) \left(x\right)$ है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\ अल्फा $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NK विधि द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

नियम संख्या 3.

LNDE-2 के दाहिने हिस्से का रूप है $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, जहां $a$, $b$ और $\beta $ ज्ञात संख्याएं हैं। फिर इसके PD $U$ को $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) के रूप में खोजा जाता है )\right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ $i\cdot के बराबर संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है \ बीटा $। गुणांक $A$ और $B$ NDT विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम संख्या 4.

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है डिग्री $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ डिग्री $m$ का बहुपद है। फिर इसके PD $U$ को $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में खोजा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right) $ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ के बहुपद हैं, संख्या $s$ अधिकतम दो संख्याएं $n$ और $m$ है, और $r$ की संख्या है संबंधित LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NK विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके विधि में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए, जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDE-2 के विशेष समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• LNDE-2 के बाएं हिस्से में सामान्य रूप में लिखे गए PD $U$ को प्रतिस्थापित करें;
• LNDE-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें $x$;
• परिणामी पहचान में, समान घात वाले पदों के गुणांकों को बाएँ और दाएँ पक्षों के $x$ के साथ समान करें;
• अज्ञात गुणांक के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। पीआर, $x=0$ के लिए $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ की प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

संबंधित लोडा-2 लिखें: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। विशेषता समीकरण की जड़ें: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। ये जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

इस LNDE-2 के दाहिने हिस्से का रूप $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है। घातांक $\alpha =3$ के घातांक के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक अभिलक्षणिक समीकरण के किसी मूल से मेल नहीं खाता। इसलिए, इस एलएनडीई-2 के पीआर का रूप $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम NK पद्धति का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की तलाश करेंगे।

हम सीआर का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम सीआर का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\बाएं(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए LNDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के बजाय फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ उसी समय, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x) $ शामिल है सभी घटकों में एक कारक के रूप में, तो इसे छोड़ा जा सकता है।

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर कार्य करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनसी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$।

हमारी समस्या के लिए CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $।

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

एक पीडी की खोज करने के लिए जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है, हम व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं या:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में प्रारंभिक शर्तों $y=6$ के लिए $x=0$ और $y"=1$ को $x=0$ के लिए प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

हम इसे हल करते हैं। हम $C_(1) $ क्रैमर के सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं, और $C_(2) $ पहले समीकरण से निर्धारित होता है:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(सरणी)(cc) (1) और (1) \\ (-3) और (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\बाएं(-3\दाएं)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण का पीडी है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $।

व्याख्यान एलएनडीई - रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों से संबंधित है। सामान्य समाधान की संरचना, मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा एलएनडीई का समाधान, निरंतर गुणांक वाले एलएनडीई के समाधान और एक विशेष रूप के दाहिने हाथ पर विचार किया जाता है। विचाराधीन मुद्दों का उपयोग भौतिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और इलेक्ट्रॉनिक्स में मजबूर दोलनों और स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत के अध्ययन में किया जाता है।

1. दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना।

पहले मनमाना क्रम के एक रैखिक अमानवीय समीकरण पर विचार करें:

संकेतन को देखते हुए, हम लिख सकते हैं:

इस मामले में, हम मान लेंगे कि इस समीकरण के गुणांक और दाईं ओर एक निश्चित अंतराल पर निरंतर हैं।

प्रमेय। किसी क्षेत्र में एक रेखीय अमानवीय अवकल समीकरण का सामान्य हल इसके किसी भी हल का योग होता है और संबंधित रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल होता है।

प्रमाण।मान लीजिए Y एक विषम समीकरण का कोई हल है।

फिर, इस समाधान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम सर्वसमिका प्राप्त करते हैं:

रहने दो
- एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली
. तब समांगी समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जा सकता है:

विशेष रूप से, दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के लिए, सामान्य समाधान की संरचना का रूप है:

कहाँ पे
संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और
- अमानवीय समीकरण का कोई विशेष हल।

इस प्रकार, एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण को हल करने के लिए, संबंधित सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है और किसी तरह अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजना आवश्यक है। आमतौर पर यह चयन द्वारा पाया जाता है। निम्नलिखित प्रश्नों में किसी विशेष समाधान के चयन की विधियों पर विचार किया जाएगा।

2. भिन्नता की विधि

व्यवहार में, स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि को लागू करना सुविधाजनक होता है।

ऐसा करने के लिए, पहले फॉर्म में संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजें:

फिर, गुणांक सेट करना सी मैंसे कार्य करता है एक्स, अमानवीय समीकरण का समाधान मांगा गया है:

यह दिखाया जा सकता है कि कार्यों को खोजने के लिए सी मैं (एक्स) आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

उदाहरण।प्रश्न हल करें

हम एक रैखिक सजातीय समीकरण हल करते हैं

अमानवीय समीकरण का हल इस तरह दिखेगा:

हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

आइए इस प्रणाली को हल करें:

संबंध से हम फलन पाते हैं ओह)।

अब हम पाते हैं बी (एक्स)।

हम प्राप्त मूल्यों को अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

आख़री जवाब:

आम तौर पर, किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण के समाधान खोजने के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि उपयुक्त है। लेकिन जबसे संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली को खोजना काफी कठिन कार्य हो सकता है, इस पद्धति का उपयोग मुख्य रूप से स्थिर गुणांक वाले गैर-सजातीय समीकरणों के लिए किया जाता है।

3. एक विशेष रूप के दाईं ओर वाले समीकरण

अमानवीय समीकरण के दाहिने पक्ष के रूप के आधार पर एक विशेष समाधान के रूप का प्रतिनिधित्व करना संभव लगता है।

निम्नलिखित मामले हैं:

I. रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के दाईं ओर का रूप है:

एक डिग्री बहुपद कहाँ है एम.

फिर फॉर्म में एक विशेष समाधान मांगा जाता है:

यहां क्यू(एक्स) के समान घात का बहुपद है पी(एक्स) , लेकिन अपरिभाषित गुणांकों के साथ, और आर- एक संख्या दर्शाती है कि संख्या कितनी बार संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए विशेषता समीकरण की जड़ है।

उदाहरण।प्रश्न हल करें
.

हम इसी सजातीय समीकरण को हल करते हैं:

आइए अब मूल अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल खोजें।

आइए हम ऊपर चर्चा किए गए दाहिने पक्ष के रूप के साथ समीकरण के दाहिने पक्ष की तुलना करें।

हम फॉर्म में एक विशेष समाधान की तलाश कर रहे हैं:
, कहाँ पे

वे।

अब हम अज्ञात गुणांक परिभाषित करते हैं लेकिनऔर पर.

आइए हम एक विशेष समाधान को सामान्य रूप में मूल अमानवीय अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

तो, एक निजी समाधान:

फिर रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

द्वितीय. रेखीय अमानवीय अवकल समीकरण के दाईं ओर का रूप है:

यहां आर 1 (एक्स)और आर 2 (एक्स)डिग्री के बहुपद हैं एम 1 और एम 2 क्रमश।

तब अमानवीय समीकरण के विशेष समाधान का रूप होगा:

जहां संख्या आरदिखाता है कि कितनी बार एक संख्या
समरूप समीकरण के अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है, और क्यू 1 (एक्स) और क्यू 2 (एक्स) - अधिक से अधिक घात वाले बहुपद एम, कहाँ पे एम- डिग्री का सबसे बड़ा एम 1 और एम 2 .

विशिष्ट समाधानों के प्रकारों की सारांश तालिका

विभिन्न प्रकार के सही भागों के लिए

	अवकल समीकरण का दाहिना भाग	विशेषता समीकरण	निजी के प्रकार
		1. संख्या अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है
		2. संख्या अभिलक्षणिक बहुलता समीकरण का मूल है
		1. संख्या विशेषता समीकरण की जड़ नहीं है
		2. संख्या अभिलक्षणिक बहुलता समीकरण का मूल है
		1. अंक
		2. अंक विशेषता बहुलता समीकरण की जड़ें हैं
		1. अंक अभिलक्षणिक बहुलता समीकरण के मूल नहीं हैं
		2. अंक विशेषता बहुलता समीकरण की जड़ें हैं

ध्यान दें कि यदि समीकरण का दाहिना पक्ष ऊपर माने गए रूप के भावों का एक संयोजन है, तो समाधान सहायक समीकरणों के समाधान के संयोजन के रूप में पाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक का संयोजन में शामिल अभिव्यक्ति के अनुरूप एक दाहिना पक्ष होता है।

वे। अगर समीकरण इस तरह दिखता है:
, तो इस समीकरण का एक विशेष हल होगा
कहाँ पे पर 1 और पर 2 सहायक समीकरणों के विशेष हल हैं

और

उदाहरण के लिए, आइए उपरोक्त उदाहरण को एक अलग तरीके से हल करें।

उदाहरण।प्रश्न हल करें

हम अवकल समीकरण के दायीं ओर दो फलनों के योग के रूप में निरूपित करते हैं एफ 1 (एक्स) + एफ 2 (एक्स) = एक्स + (- पाप एक्स).

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:

हमें मिलता है: यानी।

कुल:

वे। वांछित विशेष समाधान का रूप है:

अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

आइए वर्णित विधियों के आवेदन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1..प्रश्न हल करें

आइए हम संगत रैखिक समांगी अवकल समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण की रचना करें:

अब हम इस रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान पाते हैं:

आइए अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करें।

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

विशेष समाधान की तरह दिखता है:

रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान:

उदाहरण।प्रश्न हल करें

विशेषता समीकरण:

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण का विशेष समाधान:
.

हम व्युत्पन्न पाते हैं और उन्हें मूल अमानवीय समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं: