भिन्नात्मक लघुगणकीय असमानताओं को कैसे हल करें I जटिल लघुगणकीय असमानताएँ

उपयोग में लघुगणक असमानताएँ

सेचिन मिखाइल अलेक्जेंड्रोविच

कजाकिस्तान गणराज्य के छात्रों के लिए विज्ञान की लघु अकादमी "साधक"

MBOU "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1", ग्रेड 11, शहर। सोवियत्स्की सोवियत जिला

एमबीओयू "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1" के शिक्षक गुंको ल्यूडमिला दिमित्रिग्ना

सोवियत्स्की जिला

उद्देश्य:गैर-मानक विधियों का उपयोग करके C3 लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन, लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करना।

अध्ययन का विषय:

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट लघुगणक C3 असमानताओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

विषय

परिचय …………………………………………………………………………….4

अध्याय 1. पृष्ठभूमि………………………………………………………5

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह ………………………… 7

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि …………… 7

2.2. युक्तिकरण विधि ………………………………………………… 15

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन ………………………………………………………………………………………………………… 22

2.4. जाल के साथ कार्य …………………………………………… 27

निष्कर्ष………………………………………………………… 30

साहित्य……………………………………………………………………। 31

परिचय

मैं 11वीं कक्षा में हूं और मेरी योजना ऐसे विश्वविद्यालय में प्रवेश करने की है जहां गणित एक मुख्य विषय है। और इसलिए मैं भाग सी के कार्यों के साथ बहुत काम करता हूं। कार्य सी 3 में, आपको गैर-मानक असमानता या असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर लॉगरिदम से जुड़ी होती है। परीक्षा की तैयारी करते समय, मुझे C3 में दी गई परीक्षा लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीकों और तकनीकों की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। इस विषय पर स्कूली पाठ्यक्रम में जिन विधियों का अध्ययन किया जाता है, वे C3 कार्यों को हल करने के लिए आधार प्रदान नहीं करती हैं। गणित के शिक्षक ने सुझाव दिया कि मैं उनके मार्गदर्शन में अपने दम पर C3 असाइनमेंट के साथ काम करता हूं। इसके अलावा, मुझे इस सवाल में दिलचस्पी थी: क्या हमारे जीवन में लघुगणक हैं?

इसे ध्यान में रखते हुए, विषय चुना गया था:

"परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

उद्देश्य:लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करते हुए, गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन।

अध्ययन का विषय:

1) लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों के बारे में आवश्यक जानकारी प्राप्त करें।

2) लघुगणक के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त करें।

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट C3 समस्याओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

व्यावहारिक महत्व C3 की समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र के विस्तार में निहित है। इस सामग्री का उपयोग कुछ पाठों में, गणित में हलकों, वैकल्पिक कक्षाओं के संचालन के लिए किया जा सकता है।

परियोजना उत्पाद "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानताओं" का संग्रह होगा।

अध्याय 1. पृष्ठभूमि

16वीं शताब्दी के दौरान, अनुमानित गणनाओं की संख्या में तेजी से वृद्धि हुई, मुख्यतः खगोल विज्ञान में। उपकरणों में सुधार, ग्रहों की चाल का अध्ययन, और अन्य कार्यों के लिए बहुत अधिक, कभी-कभी कई वर्षों, गणनाओं की आवश्यकता होती है। अधूरी गणनाओं में खगोल विज्ञान के डूबने का वास्तविक खतरा था। अन्य क्षेत्रों में भी कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, उदाहरण के लिए, बीमा व्यवसाय में, विभिन्न प्रतिशत मूल्यों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की तालिकाओं की आवश्यकता थी। मुख्य कठिनाई गुणन, बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय मात्राएँ थीं।

लघुगणक की खोज 16वीं शताब्दी के अंत तक प्रगति के प्रसिद्ध गुणों पर आधारित थी। आर्किमिडीज ने भजन संहिता में ज्यामितीय प्रगति q, q2, q3, ... और उनके संकेतकों 1, 2, 3, ... के अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के बीच संबंध के बारे में बात की। एक और पूर्वापेक्षा थी डिग्री की अवधारणा का नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांकों तक विस्तार। कई लेखकों ने इंगित किया है कि गुणा, भाग, एक शक्ति तक बढ़ाना, और एक जड़ निकालने से अंकगणित में समान रूप से मेल खाता है - उसी क्रम में - जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

यहाँ एक घातांक के रूप में लघुगणक का विचार था।

लघुगणक के सिद्धांत के विकास के इतिहास में, कई चरण बीत चुके हैं।

प्रथम चरण

लॉगरिदम का आविष्कार 1594 के बाद स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश बैरन नेपियर (1550-1617) द्वारा और दस साल बाद स्विस मैकेनिक बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। दोनों अंकगणितीय गणनाओं का एक नया सुविधाजनक साधन प्रदान करना चाहते थे, हालाँकि उन्होंने इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल किया। नेपियर ने कीनेमेटिक रूप से लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को व्यक्त किया और इस प्रकार फ़ंक्शन सिद्धांत के एक नए क्षेत्र में प्रवेश किया। बर्गी असतत प्रगति के विचार के आधार पर बने रहे। हालाँकि, दोनों के लिए लघुगणक की परिभाषा आधुनिक के समान नहीं है। शब्द "लघुगणक" (लघुगणक) नेपियर से संबंधित है। यह ग्रीक शब्दों के संयोजन से उत्पन्न हुआ: लोगो - "रिश्ते" और अरीक्मो - "संख्या", जिसका अर्थ "संबंधों की संख्या" था। प्रारंभ में, नेपियर ने एक अलग शब्द का प्रयोग किया: संख्यात्मक कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", जैसा कि संख्यात्मक प्राकृतिक - "प्राकृतिक संख्या" के विपरीत है।

1615 में, लंदन के ग्रेश कॉलेज में गणित के प्रोफेसर हेनरी ब्रिग्स (1561-1631) के साथ बातचीत में, नेपियर ने एक के लघुगणक के लिए शून्य लेने का सुझाव दिया, और दस के लघुगणक के लिए 100, या, इसके बराबर क्या है? , बस 1. इस तरह दशमलव लघुगणक और प्रथम लघुगणक तालिकाएँ मुद्रित की गईं। बाद में, ब्रिग्स टेबल को डच बुकसेलर और गणितज्ञ एंड्रियन फ्लैक (1600-1667) द्वारा पूरक किया गया। नेपियर और ब्रिग्स, हालांकि वे किसी और से पहले लघुगणक में आए थे, उन्होंने अपनी तालिकाओं को दूसरों की तुलना में बाद में प्रकाशित किया - 1620 में। साइन लॉग और लॉग 1624 में आई. केप्लर द्वारा पेश किए गए थे। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" 1659 में मेंगोली द्वारा पेश किया गया था, उसके बाद 1668 में एन। मर्केटर द्वारा, और लंदन के शिक्षक जॉन स्पैडल ने "न्यू लॉगरिदम" नाम के तहत 1 से 1000 तक की संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रकाशित कीं।

रूसी में, पहली लॉगरिदमिक टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना में त्रुटियां की गईं। पहली त्रुटि-मुक्त तालिकाएँ 1857 में बर्लिन में जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) के प्रसंस्करण में प्रकाशित हुई थीं।

चरण 2

लॉगरिदम के सिद्धांत का आगे विकास विश्लेषणात्मक ज्यामिति और इनफिनिटिमल कैलकुलस के व्यापक अनुप्रयोग से जुड़ा है। उस समय तक, एक समबाहु अतिपरवलय के चतुर्भुज और प्राकृतिक लघुगणक के बीच संबंध स्थापित हो चुका था। इस काल के लघुगणक का सिद्धांत कई गणितज्ञों के नामों से जुड़ा है।

जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और इंजीनियर निकोलस मर्केटर अपने निबंध में

"लॉगरिथमोटेक्निक" (1668) एक श्रृंखला देता है जो एलएन (एक्स + 1) के विस्तार को दर्शाता है

शक्तियां एक्स:

यह अभिव्यक्ति उनके विचार के पाठ्यक्रम से बिल्कुल मेल खाती है, हालांकि, निश्चित रूप से, उन्होंने डी, ..., लेकिन अधिक बोझिल प्रतीकों का उपयोग नहीं किया। लॉगरिदमिक श्रृंखला की खोज के साथ, लॉगरिदम की गणना करने की तकनीक बदल गई: उन्हें अनंत श्रृंखला का उपयोग करके निर्धारित किया जाने लगा। 1907-1908 में पढ़े गए अपने व्याख्यान "एक उच्च बिंदु से प्राथमिक गणित" में, एफ। क्लेन ने लघुगणक के सिद्धांत के निर्माण के लिए सूत्र का उपयोग प्रारंभिक बिंदु के रूप में करने का सुझाव दिया।

चरण 3

व्युत्क्रम के एक समारोह के रूप में एक लघुगणकीय कार्य की परिभाषा

घातीय, लघुगणक किसी दिए गए आधार के घातांक के रूप में

तुरंत तैयार नहीं किया गया था। लियोनहार्ड यूलर का काम (1707-1783)

"इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय" (1748) ने आगे के रूप में कार्य किया

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के सिद्धांत का विकास। इस प्रकार,

लॉगरिदम को पहली बार पेश किए 134 साल बीत चुके हैं

(1614 से गिनती) गणितज्ञों की परिभाषा के साथ आने से पहले

लघुगणक की अवधारणा, जो अब स्कूल पाठ्यक्रम का आधार है।

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि।

समतुल्य संक्रमण

अगर एक> 1

अगर 0 < а < 1

सामान्यीकृत अंतराल विधि

लगभग किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने में यह विधि सबसे सार्वभौमिक है। समाधान योजना इस तरह दिखती है:

1. असमानता को ऐसे रूप में लाएं, जहां फलन बाईं ओर स्थित हो
, और 0 दाईं ओर।

2. फ़ंक्शन का दायरा खोजें
.

3. किसी फलन के शून्यक ज्ञात कीजिए
, अर्थात्, समीकरण को हल करें
(और समीकरण को हल करना आमतौर पर असमानता को हल करने से आसान होता है)।

4. एक वास्तविक रेखा पर परिभाषा का प्रांत और फलन के शून्यक खींचिए।

5. फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करें
प्राप्त अंतराल पर।

6. उन अंतरालों का चयन करें जहां फ़ंक्शन आवश्यक मान लेता है, और उत्तर लिखें।

उदाहरण 1

फेसला:

अंतराल विधि लागू करें

कहाँ पे

इन मानों के लिए, लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक होते हैं।

जवाब:

उदाहरण 2

फेसला:

1 मार्ग . ODZ असमानता से निर्धारित होता है एक्स> 3. ऐसे के लिए लघुगणक लेना एक्सआधार 10 में, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम असमानता को अपघटन नियमों को लागू करके हल किया जा सकता है, अर्थात। कारकों की शून्य से तुलना करना। हालांकि, इस मामले में फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल को निर्धारित करना आसान है

इसलिए अंतराल विधि लागू की जा सकती है।

समारोह एफ(एक्स) = 2एक्स(एक्स- 3.5) एलजीǀ एक्स- 3ǀ निरंतर है एक्स> 3 और बिंदुओं पर गायब हो जाता है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3,5, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 4. इस प्रकार, हम फलन की स्थिरता के अंतरालों को निर्धारित करते हैं एफ(एक्स):

जवाब:

दूसरा रास्ता . आइए हम अंतराल की विधि के विचारों को सीधे मूल असमानता पर लागू करें।

इसके लिए हमें याद है कि व्यंजक एबी- एग और ( ए - 1)(बी- 1) एक चिन्ह है। तब हमारी असमानता एक्स> 3 असमानता के बराबर है

या

अंतिम असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है

जवाब:

उदाहरण 3

फेसला:

अंतराल विधि लागू करें

जवाब:

उदाहरण 4

फेसला:

2 . के बाद से एक्स 2 - 3एक्स+ 3 > 0 सभी वास्तविक के लिए एक्स, तब

दूसरी असमानता को हल करने के लिए, हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं

पहली असमानता में, हम परिवर्तन करते हैं

तब हम असमिका 2y 2 पर पहुँचते हैं - आप - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те आप, जो असमानता को संतुष्ट करता है -0.5< आप < 1.

कहाँ से, क्योंकि

हमें असमानता मिलती है

जिसके साथ किया जाता है एक्स, जिसके लिए 2 एक्स 2 - 3एक्स - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

अब, प्रणाली की दूसरी असमानता के समाधान को ध्यान में रखते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं

जवाब:

उदाहरण 5

फेसला:

असमानता सिस्टम के एक सेट के बराबर है

या

अंतराल विधि लागू करें या

जवाब:

उदाहरण 6

फेसला:

असमानता एक प्रणाली के समान है

रहने दो

तब आप > 0,

और पहली असमानता

सिस्टम रूप लेता है

या, विस्तार

कारकों के लिए वर्ग त्रिपद,

अंतराल विधि को अंतिम असमानता पर लागू करना,

हम देखते हैं कि इसके समाधान स्थिति को संतुष्ट करते हैं आप> 0 सब होगा आप > 4.

इस प्रकार, मूल असमानता प्रणाली के बराबर है:

तो, असमानता के सभी समाधान हैं

2.2. युक्तिकरण विधि।

पहले, असमानता के युक्तिकरण की विधि हल नहीं हुई थी, यह ज्ञात नहीं था। यह "घातीय और लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एक नया आधुनिक प्रभावी तरीका है" (कोलेनिकोवा एस.आई. द्वारा पुस्तक से उद्धरण)
और यहां तक ​​कि अगर शिक्षक उसे जानता था, तो एक डर था - लेकिन क्या यूएसई विशेषज्ञ उसे जानता है, और उसे स्कूल में क्यों नहीं दिया जाता है? ऐसे हालात थे जब शिक्षक ने छात्र से कहा: "कहां से मिला? बैठ जाओ - 2।"
अब हर जगह इस पद्धति का प्रचार किया जा रहा है। और विशेषज्ञों के लिए, इस पद्धति से जुड़े दिशानिर्देश हैं, और समाधान C3 में "प्रकार के प्रकारों का सबसे पूर्ण संस्करण ..." में इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।
तरीका बढ़िया है!

"मैजिक टेबल"


अन्य स्रोतों में

अगर a >1 और b >1, फिर a b >0 और (a -1)(b -1)>0 लॉग करें;

अगर ए> 1 और 0

अगर 0<ए<1 и b >1, फिर एक बी लॉग करें<0 и (a -1)(b -1)<0;

अगर 0<ए<1 и 00 और (ए -1) (बी -1)> 0।

उपरोक्त तर्क सरल है, लेकिन लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को स्पष्ट रूप से सरल करता है।

उदाहरण 4

लॉग एक्स (एक्स 2 -3)<0

फेसला:

उदाहरण 5

लॉग 2 x (2x 2 -4x +6)≤लॉग 2 x (x 2 +x )

फेसला:

जवाब. (0; 0.5) यू।

उदाहरण 6

इस असमानता को हल करने के लिए, हम हर के बजाय (x-1-1) (x-1) और अंश के बजाय गुणन (x-1) (x-3-9 + x) लिखते हैं।


जवाब : (3;6)

उदाहरण 7

उदाहरण 8

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन।

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

उदाहरण 4

उदाहरण 5

उदाहरण 6

उदाहरण 7

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

आइए प्रतिस्थापन करें y=3 x -1; तब यह असमानता रूप लेती है

लॉग 4 लॉग 0.25
.

जैसा लॉग 0.25 = -लॉग 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , फिर हम अंतिम असमानता को 2log 4 y -log 4 2 y के रूप में फिर से लिखते हैं।

आइए एक प्रतिस्थापन करें t =log 4 y और असमानता t 2 -2t +≥0 प्राप्त करें, जिसका समाधान अंतराल है - .

इस प्रकार, y का मान ज्ञात करने के लिए, हमारे पास दो सरल असमानताओं का एक समुच्चय है
इस संग्रह का हल अंतराल 0 . है<у≤2 и 8≤у<+.

इसलिए, मूल असमानता दो घातीय असमानताओं के समुच्चय के बराबर है,
यानी समुच्चय

इस सेट की पहली असमानता का समाधान अंतराल 0 . है<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. इस प्रकार, मूल असमानता 0 . के अंतराल से x के सभी मानों के लिए है<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8

फेसला:

असमानता एक प्रणाली के समान है

दूसरी असमानता का समाधान, जो ODZ निर्धारित करता है, उन का समुच्चय होगा एक्स,

जिसके लिए एक्स > 0.

पहली असमानता को हल करने के लिए, हम परिवर्तन करते हैं

तब हमें असमानता मिलती है

या

अंतिम असमानता के समाधान का सेट विधि द्वारा पाया जाता है

अंतराल: -1< टी < 2. Откуда, возвращаясь к переменной एक्स, हम पाते हैं

या

उनमें से कई एक्स, जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है

ओडीजेड से संबंधित है ( एक्स> 0), इसलिए, सिस्टम का एक समाधान है,

और इसलिए मूल असमानता।

जवाब:

2.4. जाल के साथ कार्य।

उदाहरण 1

.

फेसला।असमानता का ODZ सभी x है जो 0 . की स्थिति को संतुष्ट करता है . अत: अंतराल 0 . से सभी x

उदाहरण 2

लॉग 2 (2x +1-x 2)>लॉग 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? बात यह है कि दूसरी संख्या स्पष्ट रूप से . से बड़ी है

निष्कर्ष

विभिन्न शैक्षिक स्रोतों की एक विशाल विविधता से C3 समस्याओं को हल करने के लिए विशेष तरीके खोजना आसान नहीं था। किए गए कार्य के दौरान, मैं जटिल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों का अध्ययन करने में सक्षम था। ये हैं: समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि, युक्तिकरण की विधि , गैर-मानक प्रतिस्थापन , ODZ पर ट्रैप के साथ कार्य। ये विधियां स्कूली पाठ्यक्रम में अनुपस्थित हैं।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, मैंने USE में भाग C, अर्थात् C3 में दी गई 27 असमानताओं को हल किया। विधियों द्वारा समाधान के साथ इन असमानताओं ने "लॉगरिदमिक सी 3 असमानताओं के साथ समाधान" संग्रह का आधार बनाया, जो मेरी गतिविधि का प्रोजेक्ट उत्पाद बन गया। परियोजना की शुरुआत में मैंने जो परिकल्पना सामने रखी थी, उसकी पुष्टि हो गई थी: यदि इन विधियों को जाना जाए तो C3 समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है।

इसके अलावा, मैंने लघुगणक के बारे में रोचक तथ्य खोजे। मेरे लिए इसे करना दिलचस्प था। मेरे प्रोजेक्ट उत्पाद छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी होंगे।

जाँच - परिणाम:

इस प्रकार, परियोजना का लक्ष्य प्राप्त किया जाता है, समस्या हल हो जाती है। और मुझे काम के सभी चरणों में परियोजना गतिविधियों में सबसे पूर्ण और बहुमुखी अनुभव मिला। परियोजना पर काम करने के दौरान, मेरा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक संचालन से संबंधित गतिविधियों, रचनात्मक क्षमता के विकास, व्यक्तिगत पहल, जिम्मेदारी, दृढ़ता और गतिविधि पर था।

के लिए एक शोध परियोजना बनाते समय सफलता की गारंटी मैं बन गया हूं: महत्वपूर्ण स्कूल अनुभव, विभिन्न स्रोतों से जानकारी निकालने की क्षमता, इसकी विश्वसनीयता की जांच करना, इसे इसके महत्व के अनुसार रैंक करना।

गणित में सीधे विषय ज्ञान के अलावा, उन्होंने कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में अपने व्यावहारिक कौशल का विस्तार किया, मनोविज्ञान के क्षेत्र में नया ज्ञान और अनुभव प्राप्त किया, सहपाठियों के साथ संपर्क स्थापित किया और वयस्कों के साथ सहयोग करना सीखा। परियोजना गतिविधियों के दौरान, संगठनात्मक, बौद्धिक और संचारी सामान्य शैक्षिक कौशल और क्षमताओं का विकास किया गया।

साहित्य

1. कोर्यानोव ए। जी।, प्रोकोफिव ए। ए। एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली (विशिष्ट कार्य C3)।

2. मल्कोवा ए. जी. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।

3. एस. एस. समरोवा, लघुगणकीय असमानताओं का समाधान।

4. गणित। ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यों का संग्रह। सेम्योनोव और आई.वी. यशचेंको। -एम.: एमटीएसएनएमओ, 2009. - 72 पी.-

निर्णय लेते समय लघुगणकीय असमानताएँहम आधार के रूप में लेते हैं लघुगणक कार्यों के गुण. अर्थात्, कि समारोह पर=लॉग एक एक्सपर ए> 1 नीरस रूप से बढ़ रहा होगा, और 0 . पर< ए< 1 - монотонно убывающей.

आइए विश्लेषण करें परिवर्तनोंअसमानता को दूर करने की जरूरत

लॉग 1/5 (एक्स - एल)> - 2।

सबसे पहले आपको संतुलन बनाने की जरूरत है लघुगणक के आधार, इस मामले में, आवश्यक के साथ लघुगणक के रूप में दाईं ओर दिखाएं आधार. आइए रूपांतरित करें -2=-2 लघुगणक 1/5 1/5= लघुगणक 1/5 1/5 -2 = लघुगणक 1/5 25, तो हम फॉर्म में चुनी गई असमानता को इंगित करते हैं:

लॉग 1/5 (x-l) > लॉग 1/5 25.

समारोह पर= लॉग 1/5 एक्सनीरस रूप से घटेगा। यह पता चला है कि इस फ़ंक्शन का बड़ा मान तर्क के छोटे मान से मेल खाता है। और तदनुसार हमारे पास है एक्स—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство एक्स- 1 > 0 इस तथ्य के अनुरूप है कि साइन के तहत लोगारित्मकेवल सकारात्मक हो सकता है। यह पता चला है कि यह असमानता दो रैखिक असमानताओं की प्रणाली के समान है। यह देखते हुए कि लघुगणक का आधार एक से कम है, एक समान प्रणाली में, असमानता का चिन्ह उलट जाता है:

जिसे हल करते हुए हम देखते हैं कि:

1 < х < 26.

यह बहुत महत्वपूर्ण है कि शर्त x-1 > 0 को न भूलें, अन्यथा निष्कर्ष सही नहीं होगा: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.

उनके साथ लॉगरिदम के अंदर हैं।

उदाहरण:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक असमानताओं को कैसे हल करें:

किसी भी लघुगणकीय असमानता को \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) के रूप में कम किया जाना चाहिए (प्रतीक \(˅\) का अर्थ है कोई भी )। यह फ़ॉर्म हमें लघुगणक और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जो कि लघुगणक के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता को पारित करके, \(f(x) g(x)\) के रूप में है।

लेकिन यह परिवर्तन करते समय, एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
\(-\) अगर - एक संख्या और यह 1 से अधिक है - संक्रमण के दौरान असमानता का चिन्ह समान रहता है,
\(-\) यदि आधार 0 से अधिक लेकिन 1 से कम (शून्य और एक के बीच) है, तो असमानता चिन्ह को उलट दिया जाना चाहिए, अर्थात।

उदाहरण:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ओडीजेड: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(एक्स<8\)

फेसला:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
उत्तर: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\)
ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\)
\(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\)

फेसला:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
उत्तर: \((2;5]\)

बहोत महत्वपूर्ण!किसी भी असमानता में, फॉर्म \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) से लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की तुलना करने के लिए संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:


उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log\)\(≤-1\)

फेसला:

\(\लॉग\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

आइए ODZ लिखें।

ओडीजेड: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

हम कोष्ठक खोलते हैं, देते हैं।

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

हम तुलना चिह्न को उलटने के लिए याद करते हुए असमानता को \(-1\) से गुणा करते हैं।

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर \(\frac(7)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) बिंदुओं को चिह्नित करें। ध्यान दें कि असमानता सख्त नहीं है, इस तथ्य के बावजूद हर से बिंदु छिद्रित है। तथ्य यह है कि यह बिंदु समाधान नहीं होगा, क्योंकि असमानता में प्रतिस्थापित करने पर, यह हमें शून्य से विभाजित करने की ओर ले जाएगा।


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर प्लॉट करते हैं और ODZ में आने वाले अंतराल के जवाब में लिखते हैं।


अंतिम उत्तर लिखिए।

जवाब: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

फेसला:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

आइए ODZ लिखें।

ओडीजेड: \(x>0\)

आइए निर्णय पर आते हैं।

समाधान: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

हमसे पहले एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणक असमानता है। क र ते हैं।

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

असमानता के बाईं ओर का विस्तार करें।

\(डी=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((टी+1)(टी-2)>0\)

अब आपको मूल चर - x पर वापस जाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पास करते हैं, जिसका एक ही समाधान है, और रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) टी>2 \\ टी<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

ट्रांसफ़ॉर्म \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)।

\(\बाएं[ \शुरू (एकत्रित) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

आइए तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के आधार \(1\) से बड़े होते हैं, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।

\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आकृति में संयोजित करें।


आइए उत्तर लिखते हैं।

जवाब: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय, हमने मुख्य रूप से फॉर्म की असमानताओं पर विचार किया
लॉग एक x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

असमानता को हल करें lg (x + 1) ≤ 2 (1)।

फेसला.

1) विचाराधीन असमानता का दाहिना पक्ष x के सभी मानों के लिए और बाईं ओर - x + 1 > 0 के लिए समझ में आता है, अर्थात। एक्स> -1 के लिए।

2) अंतराल x\u003e -1 को असमानता की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है (1)। आधार 10 के साथ लघुगणकीय फलन बढ़ रहा है, इसलिए x + 1 > 0 की स्थिति के तहत, असमानता (1) संतुष्ट होती है यदि x + 1 100 (2 = lg 100 के बाद से)। इस प्रकार, असमानता (1) और असमानताओं की व्यवस्था

(एक्स> -1, (2)
(एक्स + 1 100,

समतुल्य हैं, दूसरे शब्दों में, असमानता के समाधान का सेट (1) और असमानताओं की प्रणाली (2) समान हैं।

3) समाधान प्रणाली (2), हम -1 . पाते हैं< х ≤ 99.

जवाब। -एक< х ≤ 99.

असमानता को हल करें लॉग 2 (x - 3) + लॉग 2 (x - 2) ≤ 1 (3)।

फेसला।

1) माना लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का डोमेन तर्क के सकारात्मक मूल्यों का सेट है, इसलिए असमानता के बाईं ओर x - 3> 0 और x - 2> 0 के लिए समझ में आता है।

इसलिए, इस असमानता का क्षेत्र अंतराल x > 3 है।

2) लघुगणक के गुणों के अनुसार, > 3 के लिए असमानता (3) असमानता के बराबर है लॉग 2 (х - 3) (х - 2) ≤ लॉग 2 (4)।

3) आधार 2 लघुगणकीय फलन बढ़ रहा है। इसलिए, х > 3 के लिए, असमानता (4) संतुष्ट है यदि (х - 3) (х - 2) ≤ 2।

4) इस प्रकार, मूल असमानता (3) असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

((एक्स - 3) (एक्स - 2) ≤ 2,
(एक्स> 3.

इस प्रणाली की पहली असमानता को हल करने पर, हमें x 2 - 5x + 4 ≤ 0 मिलता है, जहां से 1 ≤ x 4। इस खंड को अंतराल x> 3 के साथ जोड़ने पर, हमें 3 मिलता है।< х ≤ 4.

जवाब। 3< х ≤ 4.

असमानता को हल करें लॉग 1/2 (x 2 + 2x - 8) -4। (5)

फेसला।

1) असमानता की परिभाषा का क्षेत्र x 2 + 2x - 8 > 0 शर्त से पाया जाता है।

2) असमानता (5) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

लॉग 1/2 (x 2 + 2x - 8) लॉग 1/2 16.

3) चूंकि आधार ½ के साथ लघुगणक फलन घट रहा है, तो असमानता के संपूर्ण क्षेत्र से सभी x के लिए हमें प्राप्त होता है:

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

इस प्रकार, मूल समानता (5) असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

(x 2 + 2x - 8 > 0, या (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

पहली द्विघात असमानता को हल करने पर, हम x . प्राप्त करते हैं< -4, х >2. द्वितीय द्विघात असमानता को हल करने पर, हमें -6 ≤ x 4 प्राप्त होता है। इसलिए, प्रणाली की दोनों असमानताएं -6 x पर एक साथ पूरी होती हैं< -4 и при 2 < х ≤ 4.

जवाब। -6 एक्स< -4; 2 < х ≤ 4.

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क्या आपको लगता है कि परीक्षा से पहले अभी भी समय है, और आपके पास तैयारी के लिए समय होगा? शायद ऐसा ही है। लेकिन किसी भी मामले में, छात्र जितनी जल्दी प्रशिक्षण शुरू करता है, उतनी ही सफलतापूर्वक वह परीक्षा उत्तीर्ण करता है। आज हमने लॉगरिदमिक असमानताओं के लिए एक लेख समर्पित करने का निर्णय लिया। यह उन कार्यों में से एक है, जिसका अर्थ है एक अतिरिक्त अंक प्राप्त करने का अवसर।

क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक (लॉग) क्या है? हम वास्तव में ऐसा आशा करते हैं। लेकिन अगर आपके पास इस सवाल का जवाब नहीं है, तो भी कोई समस्या नहीं है। यह समझना बहुत आसान है कि लघुगणक क्या है।

ठीक 4 क्यों? 81 प्राप्त करने के लिए आपको संख्या 3 को ऐसी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। जब आप सिद्धांत को समझते हैं, तो आप अधिक जटिल गणनाओं के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आप कुछ साल पहले असमानताओं से गुजरे थे। और तब से आप लगातार उनसे गणित में मिलते हैं। यदि आपको असमानताओं को हल करने में समस्या हो रही है, तो उपयुक्त अनुभाग देखें।
अब, जब हम अवधारणाओं से अलग-अलग परिचित हो जाते हैं, तो हम सामान्य रूप से उनके विचार पर विचार करेंगे।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानता।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएं इस उदाहरण तक सीमित नहीं हैं, तीन और हैं, केवल विभिन्न संकेतों के साथ। इसकी आवश्यकता क्यों है? बेहतर ढंग से समझने के लिए कि लघुगणक के साथ असमानता को कैसे हल किया जाए। अब हम एक अधिक लागू उदाहरण देते हैं, फिर भी काफी सरल, हम जटिल लघुगणकीय असमानताओं को बाद के लिए छोड़ देते हैं।

इसे कैसे हल करें? यह सब ODZ से शुरू होता है। यदि आप किसी भी असमानता को हमेशा आसानी से हल करना चाहते हैं तो आपको इसके बारे में और जानना चाहिए।

ODZ क्या है? लॉगरिदमिक असमानताओं के लिए डीपीवी

संक्षिप्त नाम मान्य मानों की श्रेणी के लिए है। परीक्षा के लिए असाइनमेंट में, यह शब्द अक्सर पॉप अप होता है। डीपीवी न केवल लघुगणकीय असमानताओं के मामले में आपके लिए उपयोगी है।

उपरोक्त उदाहरण को फिर से देखें। हम इसके आधार पर ODZ पर विचार करेंगे, ताकि आप सिद्धांत को समझ सकें, और लघुगणकीय असमानताओं के समाधान पर सवाल न उठें। यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि 2x+4 शून्य से बड़ा होना चाहिए। हमारे मामले में, इसका मतलब निम्नलिखित है।

यह संख्या परिभाषा के अनुसार धनात्मक होनी चाहिए। ऊपर प्रस्तुत असमानता को हल करें। यह मौखिक रूप से भी किया जा सकता है, यहाँ यह स्पष्ट है कि X 2 से कम नहीं हो सकता। असमानता का समाधान स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की परिभाषा होगी।
अब आइए सबसे सरल लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

हम असमानता के दोनों भागों से लघुगणक को स्वयं हटा देते हैं। परिणामस्वरूप हमारे लिए क्या बचा है? साधारण असमानता।

इसे हल करना आसान है। X -0.5 से बड़ा होना चाहिए। अब हम दो प्राप्त मूल्यों को सिस्टम में जोड़ते हैं। इस प्रकार,

यह माना लॉगरिदमिक असमानता के लिए स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र होगा।

ODZ की बिल्कुल आवश्यकता क्यों है? यह गलत और असंभव उत्तरों को हटाने का एक अवसर है। यदि उत्तर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में नहीं है, तो उत्तर का कोई मतलब नहीं है। यह लंबे समय तक याद रखने योग्य है, क्योंकि परीक्षा में अक्सर ODZ की खोज करने की आवश्यकता होती है, और यह न केवल लघुगणकीय असमानताओं की चिंता करता है।

लॉगरिदमिक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम

समाधान में कई चरण होते हैं। सबसे पहले, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजना आवश्यक है। ODZ में दो मान होंगे, हमने इसे ऊपर माना है। अगला कदम असमानता को ही हल करना है। समाधान के तरीके इस प्रकार हैं:

  • गुणक प्रतिस्थापन विधि;
  • अपघटन;
  • युक्तिकरण विधि।

स्थिति के आधार पर, उपरोक्त विधियों में से एक का उपयोग किया जाना चाहिए। चलिए सीधे समाधान पर चलते हैं। हम सबसे लोकप्रिय विधि प्रकट करेंगे जो लगभग सभी मामलों में यूएसई कार्यों को हल करने के लिए उपयुक्त है। अगला, हम अपघटन विधि पर विचार करेंगे। यदि आप विशेष रूप से "मुश्किल" असमानता का सामना करते हैं तो यह मदद कर सकता है। तो, लघुगणक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

समाधान उदाहरण :

यह व्यर्थ नहीं है कि हमने ऐसी असमानता को ठीक किया! आधार पर ध्यान दें। याद रखें: यदि यह एक से अधिक है, तो मान्य मानों की सीमा का पता लगाने पर चिह्न वही रहता है; अन्यथा, असमानता के संकेत को बदलना होगा।

परिणामस्वरूप, हमें असमानता मिलती है:

अब हम बायीं ओर को शून्य के बराबर समीकरण के रूप में लाते हैं। "से कम" चिह्न के बजाय, हम "बराबर" डालते हैं, हम समीकरण को हल करते हैं। इस प्रकार, हम ODZ पाएंगे। हम आशा करते हैं कि आपको ऐसे सरल समीकरण को हल करने में कोई समस्या नहीं होगी। उत्तर -4 और -2 हैं। वह सब कुछ नहीं हैं। आपको इन बिंदुओं को चार्ट पर प्रदर्शित करने की आवश्यकता है, "+" और "-" रखें। इसके लिए क्या करने की जरूरत है? अंतराल से व्यंजक में संख्याएँ रखें। जहां मान सकारात्मक हैं, हम वहां "+" डालते हैं।

जवाब: x -4 से बड़ा और -2 से छोटा नहीं हो सकता।

हमने केवल बाईं ओर के लिए मान्य मानों की सीमा पाई, अब हमें दाईं ओर के लिए मान्य मानों की श्रेणी खोजने की आवश्यकता है। यह किसी भी तरह से आसान नहीं है। उत्तर: -2। हम दोनों प्राप्त क्षेत्रों को काटते हैं।

और केवल अब हम असमानता को ही हल करना शुरू करते हैं।

आइए इसे तय करना आसान बनाने के लिए इसे जितना संभव हो उतना सरल करें।

हम समाधान में फिर से अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। आइए गणनाओं को छोड़ दें, उसके साथ पिछले उदाहरण से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। जवाब।

लेकिन यह विधि उपयुक्त है यदि लॉगरिदमिक असमानता के समान आधार हैं।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में एक आधार में प्रारंभिक कमी शामिल है। फिर उपरोक्त विधि का प्रयोग करें। लेकिन एक और पेचीदा मामला भी है। लॉगरिदमिक असमानताओं के सबसे जटिल प्रकारों में से एक पर विचार करें।

चर आधार के साथ लघुगणकीय असमानताएँ

ऐसी विशेषताओं वाली असमानताओं को कैसे हल करें? हां, और ऐसा परीक्षा में पाया जा सकता है। असमानताओं को निम्नलिखित तरीके से हल करने से आपकी शैक्षिक प्रक्रिया पर भी लाभकारी प्रभाव पड़ेगा। आइए इस मुद्दे को विस्तार से देखें। आइए सिद्धांत को एक तरफ रख दें और सीधे अभ्यास पर जाएं। लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए, उदाहरण के साथ खुद को परिचित करना पर्याप्त है।

प्रस्तुत रूप की लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए, समान आधार के साथ लघुगणक के दाईं ओर को कम करना आवश्यक है। सिद्धांत समकक्ष संक्रमण जैसा दिखता है। नतीजतन, असमानता इस तरह दिखेगी।

वास्तव में, यह लघुगणक के बिना असमानताओं की एक प्रणाली बनाने के लिए बनी हुई है। युक्तिकरण विधि का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं की एक समान प्रणाली को पास करते हैं। जब आप उचित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और उनके परिवर्तनों का पालन करते हैं तो आप नियम को स्वयं समझेंगे। प्रणाली में निम्नलिखित असमानताएँ होंगी।

युक्तिकरण विधि का उपयोग करते हुए, असमानताओं को हल करते समय, आपको निम्नलिखित याद रखने की आवश्यकता है: आपको आधार से एक घटाना होगा, x, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, असमानता के दोनों हिस्सों (बाएं से दाएं) से घटाया जाता है, दो व्यंजकों को गुणा किया जाता है और शून्य के सापेक्ष मूल चिह्न के अंतर्गत सेट किया जाता है।

आगे का समाधान अंतराल विधि द्वारा किया जाता है, यहां सब कुछ सरल है। समाधान विधियों में अंतर को समझना आपके लिए महत्वपूर्ण है, फिर सब कुछ आसानी से काम करना शुरू कर देगा।

लॉगरिदमिक असमानताओं में कई बारीकियां हैं। उनमें से सबसे सरल हल करने में काफी आसान हैं। इसे कैसे बनाया जाए ताकि उनमें से प्रत्येक को बिना किसी समस्या के हल किया जा सके? आपको इस लेख में सभी उत्तर पहले ही मिल चुके हैं। अब आपके सामने एक लंबा अभ्यास है। परीक्षा के भीतर विभिन्न समस्याओं को हल करने का लगातार अभ्यास करें और आप उच्चतम अंक प्राप्त करने में सक्षम होंगे। आपके कठिन काम में शुभकामनाएँ!

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