निरपेक्ष संख्याओं के लिए त्रुटि की परिभाषा। मापन त्रुटियां

हमारे युग में, मनुष्य ने विभिन्न माप उपकरणों की एक विशाल विविधता का आविष्कार और उपयोग किया है। लेकिन उनके निर्माण की तकनीक कितनी भी सही क्यों न हो, उन सभी में कम या ज्यादा त्रुटि होती है। यह पैरामीटर, एक नियम के रूप में, उपकरण पर ही इंगित किया जाता है, और निर्धारित किए जा रहे मूल्य की सटीकता का आकलन करने के लिए, किसी को यह समझने में सक्षम होना चाहिए कि अंकन पर इंगित संख्याओं का क्या मतलब है। इसके अलावा, जटिल गणितीय गणनाओं में सापेक्ष और पूर्ण त्रुटियां अनिवार्य रूप से उत्पन्न होती हैं। इसका व्यापक रूप से सांख्यिकी, उद्योग (गुणवत्ता नियंत्रण) और कई अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। इस मूल्य की गणना कैसे की जाती है और इसके मूल्य की व्याख्या कैसे की जाती है - इस लेख में ठीक यही चर्चा की जाएगी।

पूर्ण त्रुटि

आइए हम x द्वारा प्राप्त मात्रा के अनुमानित मूल्य को निरूपित करें, उदाहरण के लिए, एकल माप के माध्यम से, और x 0 द्वारा इसका सटीक मान। अब आइए इन दो संख्याओं के बीच अंतर के मापांक की गणना करें। निरपेक्ष त्रुटि ठीक वह मान है जो हमें इस सरल ऑपरेशन के परिणामस्वरूप मिला है। सूत्रों की भाषा में व्यक्त इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x = | एक्स - एक्स0 |.

रिश्तेदारों की गलती

निरपेक्ष विचलन का एक महत्वपूर्ण दोष है - यह हमें त्रुटि के महत्व की डिग्री का आकलन करने की अनुमति नहीं देता है। उदाहरण के लिए, हम बाजार में 5 किलो आलू खरीदते हैं, और एक बेईमान विक्रेता ने वजन मापते समय अपने पक्ष में 50 ग्राम की गलती की। यानी पूर्ण त्रुटि 50 ग्राम थी। हमारे लिए, इस तरह की चूक एक छोटी सी बात होगी और हम इस पर ध्यान भी नहीं देंगे। कल्पना कीजिए कि अगर दवा बनाने में भी ऐसी ही गलती हो जाए तो क्या होगा? यहां सब कुछ बहुत अधिक गंभीर होगा। और एक मालवाहक कार लोड करते समय, विचलन इस मूल्य से बहुत अधिक होने की संभावना है। इसलिए, पूर्ण त्रुटि ही बहुत जानकारीपूर्ण नहीं है। इसके अलावा, अक्सर, एक सापेक्ष विचलन की अतिरिक्त गणना की जाती है, जो पूर्ण त्रुटि के अनुपात के बराबर संख्या के सटीक मान के बराबर होती है। यह निम्न सूत्र में लिखा गया है: = x / x 0 ।

त्रुटि गुण

मान लीजिए कि हमारे पास दो स्वतंत्र मात्राएँ हैं: x और y। हमें उनके योग के अनुमानित मूल्य के विचलन की गणना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, हम निरपेक्ष त्रुटि की गणना उनमें से प्रत्येक के पूर्व-परिकलित निरपेक्ष विचलन के योग के रूप में कर सकते हैं। कुछ मापों में, ऐसा हो सकता है कि x और y मान निर्धारित करने में त्रुटियाँ एक दूसरे को रद्द कर दें। और यह भी हो सकता है कि जोड़ के परिणामस्वरूप विचलन जितना संभव हो उतना बढ़ जाएगा। इसलिए, कुल पूर्ण त्रुटि की गणना करते समय, सबसे खराब स्थिति को ध्यान में रखा जाना चाहिए। कई मानों के त्रुटि अंतर के लिए भी यही सच है। यह गुण केवल पूर्ण त्रुटि के लिए विशेषता है, और इसे सापेक्ष विचलन पर लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह अनिवार्य रूप से गलत परिणाम देगा। आइए निम्नलिखित उदाहरण में इस स्थिति पर विचार करें।

मान लीजिए कि सिलेंडर के अंदर माप से पता चला है कि आंतरिक त्रिज्या (आर 1) 97 मिमी है, और बाहरी त्रिज्या (आर 2) 100 मिमी है। इसकी दीवार की मोटाई निर्धारित करना आवश्यक है। सबसे पहले, अंतर खोजें: एच \u003d आर 2 - आर 1 \u003d 3 मिमी। यदि कार्य इंगित नहीं करता है कि पूर्ण त्रुटि किसके बराबर है, तो इसे मापने वाले उपकरण के आधे पैमाने के विभाजन के रूप में लिया जाता है। इस प्रकार, (आर 2) \u003d (आर 1) \u003d 0.5 मिमी। कुल निरपेक्ष त्रुटि है: Δ(h) = Δ(R 2) + (R 1) = 1 मिमी। अब हम सभी राशियों के सापेक्ष विचलन की गणना करते हैं:

(आर 1) \u003d 0.5 / 100 \u003d 0.005,

(आर 1) \u003d 0.5 / 97 0.0052,

(एच) = Δ(एच)/एच = 1/3 ≈ 0.3333>> (आर 1)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों त्रिज्याओं को मापने में त्रुटि 5.2% से अधिक नहीं है, और उनके अंतर की गणना में त्रुटि - सिलेंडर की दीवार की मोटाई - जितनी 33.(3)% थी!

निम्नलिखित गुण कहता है: कई संख्याओं के गुणनफल का सापेक्ष विचलन व्यक्तिगत कारकों के सापेक्ष विचलन के योग के लगभग बराबर होता है:

(xy) (x) + (y)।

इसके अलावा, अनुमानित मूल्यों की संख्या की परवाह किए बिना यह नियम सही है। सापेक्ष त्रुटि का तीसरा और अंतिम गुण यह है कि kth डिग्री की संख्या का सापेक्ष अनुमान लगभग | . में होता है कश्मीर | मूल संख्या की सापेक्ष त्रुटि से कई गुना अधिक।

माप कहा जाता है सीधा,यदि मात्राओं का मान सीधे उपकरणों द्वारा निर्धारित किया जाता है (उदाहरण के लिए, एक शासक के साथ लंबाई को मापना, स्टॉपवॉच के साथ समय निर्धारित करना, आदि)। माप कहा जाता है अप्रत्यक्ष, यदि मापी गई मात्रा का मान अन्य मात्राओं के प्रत्यक्ष माप द्वारा निर्धारित किया जाता है जो मापा विशिष्ट संबंध से जुड़े होते हैं।

प्रत्यक्ष माप में यादृच्छिक त्रुटियां

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि।इसे आयोजित होने दें एनएक ही मात्रा का माप एक्सव्यवस्थित त्रुटि के अभाव में। व्यक्तिगत माप परिणाम इस तरह दिखते हैं: एक्स 1 ,एक्स 2 , …,एक्स एन. मापी गई मात्रा का औसत मान सर्वोत्तम के रूप में चुना जाता है:

पूर्ण त्रुटिएकल माप को रूप का अंतर कहा जाता है:

.

औसत पूर्ण त्रुटि एनएकल माप:

(2)

बुलाया औसत पूर्ण त्रुटि.

रिश्तेदारों की गलतीऔसत निरपेक्ष त्रुटि का अनुपात मापा मात्रा के औसत मूल्य से है:

. (3)

प्रत्यक्ष माप में उपकरण त्रुटियाँ

    यदि कोई विशेष निर्देश नहीं हैं, तो उपकरण की त्रुटि उसके विभाजन मूल्य (शासक, बीकर) के आधे के बराबर है।

    वर्नियर से लैस उपकरणों की त्रुटि वर्नियर के विभाजन मान (माइक्रोमीटर - 0.01 मिमी, कैलीपर - 0.1 मिमी) के बराबर होती है।

    सारणीबद्ध मानों की त्रुटि अंतिम अंक की आधी इकाई (आखिरी महत्वपूर्ण अंक के बाद अगले क्रम की पांच इकाई) के बराबर है।

    विद्युत माप उपकरणों की त्रुटि की गणना सटीकता वर्ग के अनुसार की जाती है साथ मेंसाधन पैमाने पर इंगित किया गया:

उदाहरण के लिए:
और
,

कहाँ पे यू मैक्सऔर मैं मैक्स- डिवाइस की माप सीमा।

    डिजिटल इंडिकेशन वाले उपकरणों की त्रुटि इंडिकेशन के अंतिम अंक की इकाई के बराबर होती है।

यादृच्छिक और वाद्य त्रुटियों का आकलन करने के बाद, जिसका मूल्य अधिक होता है, उसे ध्यान में रखा जाता है।

अप्रत्यक्ष माप में त्रुटियों की गणना

अधिकांश माप अप्रत्यक्ष हैं। इस मामले में, वांछित मान X कई चरों का एक फलन है ए,बी, सी… , जिसका मान प्रत्यक्ष माप द्वारा पाया जा सकता है: = f( ए, बी, सी…).

अप्रत्यक्ष माप के परिणाम का अंकगणितीय माध्य इसके बराबर होगा:

X = एफ ( .) ए, बी, सी…).

त्रुटि की गणना करने के तरीकों में से एक फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक को अलग करने का तरीका है X = f( ए, बी, सी...) यदि, उदाहरण के लिए, वांछित मान X, संबंध X = . द्वारा निर्धारित किया जाता है , तो लघुगणक लेने के बाद हम प्राप्त करते हैं: lnX = ln ए+ln बी+ एलएन ( सी+ डी).

इस अभिव्यक्ति का अंतर है:

.

अनुमानित मूल्यों की गणना के संबंध में, इसे फॉर्म में सापेक्ष त्रुटि के लिए लिखा जा सकता है:

 =
. (4)

इस मामले में पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

= (5)

इस प्रकार, अप्रत्यक्ष माप के लिए त्रुटियों की गणना और परिणाम की गणना निम्नलिखित क्रम में की जाती है:

1) अंतिम परिणाम की गणना के लिए मूल सूत्र में शामिल सभी मात्राओं का मापन करें।

2) प्रत्येक मापा मूल्य के अंकगणितीय माध्य मानों और उनकी पूर्ण त्रुटियों की गणना करें।

3) मूल सूत्र में सभी मापा मूल्यों के औसत मूल्यों को प्रतिस्थापित करें और वांछित मूल्य के औसत मूल्य की गणना करें:

X = एफ ( .) ए, बी, सी…).

4) मूल सूत्र X = f का लघुगणक लें। ए, बी, सी...) और सूत्र (4) के रूप में सापेक्ष त्रुटि के लिए व्यंजक लिखिए।

5) सापेक्ष त्रुटि की गणना करें = .

6) सूत्र (5) का उपयोग करके परिणाम की पूर्ण त्रुटि की गणना करें।

7) अंतिम परिणाम इस प्रकार लिखा जाता है:

एक्स \u003d एक्स सीएफ X

सरलतम कार्यों की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियां तालिका में दी गई हैं:

शुद्ध

त्रुटि

रिश्तेदार

त्रुटि

ए+ बी

ए+बी

ए+बी

भौतिक मात्राओं को "त्रुटि सटीकता" की अवधारणा की विशेषता है। एक कहावत है कि माप लेने से ज्ञान हो सकता है। तो यह पता लगाना संभव होगा कि घर की ऊंचाई क्या है या गली की लंबाई, कई अन्य लोगों की तरह।

परिचय

आइए "मूल्य को मापें" की अवधारणा का अर्थ समझें। मापन प्रक्रिया इसकी तुलना सजातीय मात्राओं से करना है, जिन्हें एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

मात्रा निर्धारित करने के लिए लीटर का उपयोग किया जाता है, द्रव्यमान की गणना के लिए ग्राम का उपयोग किया जाता है। गणनाओं को अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, हमने इकाइयों के अंतर्राष्ट्रीय वर्गीकरण की SI प्रणाली की शुरुआत की।

दलदल की लंबाई मापने के लिए मीटर, द्रव्यमान - किलोग्राम, आयतन - घन लीटर, समय - सेकंड, गति - मीटर प्रति सेकंड।

भौतिक मात्राओं की गणना करते समय, पारंपरिक पद्धति का उपयोग करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, यह एक सूत्र का उपयोग करके गणना को लागू करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, औसत गति जैसे संकेतकों की गणना करने के लिए, आपको तय की गई दूरी को सड़क पर बिताए गए समय से विभाजित करना होगा। इस प्रकार औसत गति की गणना की जाती है।

माप की इकाइयों का उपयोग करना जो स्वीकृत माप इकाइयों के संकेतकों से दस, एक सौ, एक हजार गुना अधिक हैं, उन्हें गुणक कहा जाता है।

प्रत्येक उपसर्ग का नाम उसके गुणक संख्या से मेल खाता है:

  1. डेका
  2. हेक्टो।
  3. किलो।
  4. मेगा।
  5. गीगा।
  6. तेरा।

भौतिक विज्ञान में, ऐसे कारकों को लिखने के लिए 10 की शक्ति का उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए, एक मिलियन को 10 6 के रूप में दर्शाया जाता है।

एक साधारण शासक में, लंबाई की माप की एक इकाई होती है - एक सेंटीमीटर। यह एक मीटर से 100 गुना छोटा होता है। एक 15 सेमी रूलर 0.15 मीटर लंबा है।

एक रूलर लंबाई मापने का सबसे सरल प्रकार का मापक यंत्र है। अधिक जटिल उपकरणों को थर्मामीटर द्वारा दर्शाया जाता है - ताकि एक आर्द्रतामापी - आर्द्रता निर्धारित करने के लिए, एक एमीटर - बल के स्तर को मापने के लिए जिसके साथ विद्युत प्रवाह फैलता है।

माप कितने सटीक होंगे?

एक रूलर और एक साधारण पेंसिल लें। हमारा काम इस स्टेशनरी की लंबाई नापना है।

पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि मापने वाले उपकरण के पैमाने पर संकेतित विभाजन मूल्य क्या है। दो डिवीजनों पर, जो पैमाने के निकटतम स्ट्रोक हैं, संख्याएं लिखी जाती हैं, उदाहरण के लिए, "1" और "2"।

इन संख्याओं के अंतराल में कितने भाग संलग्न हैं, इसकी गणना करना आवश्यक है। यदि आप सही ढंग से गिनती करते हैं, तो आपको "10" मिलता है। बड़ी संख्या से घटाएं, जो संख्या कम होगी, और उस संख्या से विभाजित करें जो अंकों के बीच विभाजन बनाती है:

(2-1)/10 = 0.1 (सेमी)

इसलिए हम निर्धारित करते हैं कि स्टेशनरी के विभाजन को निर्धारित करने वाली कीमत 0.1 सेमी या 1 मिमी है। यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि किसी भी माप उपकरण का उपयोग करके विभाजन के लिए मूल्य संकेतक कैसे निर्धारित किया जाता है।

10 सेमी से थोड़ी कम लंबाई वाली एक पेंसिल को मापकर, हम प्राप्त ज्ञान का उपयोग करेंगे। रूलर पर छोटे विभाजनों की अनुपस्थिति में, निष्कर्ष यह होगा कि वस्तु की लंबाई 10 सेमी है। इस अनुमानित मान को माप त्रुटि कहा जाता है। यह अशुद्धि के स्तर को इंगित करता है जिसे माप में सहन किया जा सकता है।

उच्च स्तर की सटीकता के साथ पेंसिल की लंबाई के मापदंडों को निर्दिष्ट करके, एक बड़ा विभाजन मान अधिक माप सटीकता प्राप्त करता है, जो एक छोटी त्रुटि प्रदान करता है।

इस मामले में, बिल्कुल सटीक माप नहीं किया जा सकता है। और संकेतक विभाजन मूल्य के आकार से अधिक नहीं होने चाहिए।

यह स्थापित किया गया है कि माप त्रुटि का आकार मूल्य का आधा है, जो कि आयामों को निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण के स्नातकों पर इंगित किया गया है।

पेंसिल को 9.7 सेमी मापने के बाद, हम इसकी त्रुटि के संकेतक निर्धारित करते हैं। यह 9.65 - 9.85 सेमी का अंतर है।

ऐसी त्रुटि को मापने वाला सूत्र गणना है:

ए = ए ± डी (ए)

ए - प्रक्रियाओं को मापने के लिए मात्रा के रूप में;

ए - माप परिणाम का मूल्य;

डी - पूर्ण त्रुटि का पदनाम।

त्रुटि के साथ मूल्यों को घटाना या जोड़ना, परिणाम त्रुटि संकेतकों के योग के बराबर होगा, जो प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य है।

अवधारणा का परिचय

यदि हम इसे व्यक्त करने के तरीके के आधार पर विचार करें, तो हम निम्नलिखित किस्मों को अलग कर सकते हैं:

  • शुद्ध।
  • रिश्तेदार।
  • दिया गया।

पूर्ण माप त्रुटि बड़े अक्षर "डेल्टा" द्वारा इंगित की जाती है। इस अवधारणा को मापी जा रही भौतिक मात्रा के मापा और वास्तविक मूल्यों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

निरपेक्ष माप त्रुटि की अभिव्यक्ति उस मात्रा की इकाइयाँ हैं जिन्हें मापने की आवश्यकता है।

द्रव्यमान को मापते समय, इसे व्यक्त किया जाएगा, उदाहरण के लिए, किलोग्राम में। यह माप सटीकता मानक नहीं है।

प्रत्यक्ष माप की त्रुटि की गणना कैसे करें?

माप त्रुटियों का प्रतिनिधित्व करने और उनकी गणना करने के तरीके हैं। ऐसा करने के लिए, आवश्यक सटीकता के साथ भौतिक मात्रा निर्धारित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है, यह जानने के लिए कि पूर्ण माप त्रुटि क्या है, कि कोई भी इसे कभी भी नहीं ढूंढ पाएगा। आप केवल इसके सीमा मान की गणना कर सकते हैं।

भले ही यह शब्द सशर्त रूप से उपयोग किया जाता है, यह सटीक रूप से सीमा डेटा को इंगित करता है। निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटियों को समान अक्षरों द्वारा इंगित किया जाता है, अंतर उनकी वर्तनी में है।

लंबाई मापते समय, निरपेक्ष त्रुटि उन इकाइयों में मापी जाएगी जिनमें लंबाई की गणना की जाती है। और सापेक्ष त्रुटि की गणना आयामों के बिना की जाती है, क्योंकि यह माप परिणाम के लिए पूर्ण त्रुटि का अनुपात है। यह मान अक्सर प्रतिशत या भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है।

भौतिक मात्राओं के आधार पर, निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटियों की गणना करने के कई अलग-अलग तरीके हैं।

प्रत्यक्ष माप की अवधारणा

प्रत्यक्ष माप की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि डिवाइस की सटीकता वर्ग और वजन त्रुटि को निर्धारित करने की क्षमता पर निर्भर करती है।

त्रुटि की गणना कैसे की जाती है, इसके बारे में बात करने से पहले, परिभाषाओं को स्पष्ट करना आवश्यक है। एक प्रत्यक्ष माप एक माप है जिसमें परिणाम सीधे उपकरण पैमाने से पढ़ा जाता है।

जब हम थर्मामीटर, रूलर, वोल्टमीटर या एमीटर का उपयोग करते हैं, तो हम हमेशा सीधे माप करते हैं, क्योंकि हम सीधे पैमाने के साथ एक उपकरण का उपयोग करते हैं।

प्रदर्शन को प्रभावित करने वाले दो कारक हैं:

  • उपकरण त्रुटि।
  • संदर्भ प्रणाली की त्रुटि।

प्रत्यक्ष माप के लिए पूर्ण त्रुटि सीमा डिवाइस द्वारा दिखाई गई त्रुटि और पढ़ने की प्रक्रिया के दौरान होने वाली त्रुटि के योग के बराबर होगी।

डी = डी (प्र।) + डी (अनुपस्थित)

चिकित्सा थर्मामीटर उदाहरण

सटीकता मान उपकरण पर ही इंगित किए जाते हैं। मेडिकल थर्मामीटर पर 0.1 डिग्री सेल्सियस की त्रुटि दर्ज की जाती है। पठन त्रुटि आधा भाग मान है।

डी = सी/2

यदि विभाजन मान 0.1 डिग्री है, तो चिकित्सा थर्मामीटर के लिए गणना की जा सकती है:

डी \u003d 0.1 ओ सी + 0.1 ओ सी / 2 \u003d 0.15 ओ सी

एक अन्य थर्मामीटर के पैमाने के पीछे की तरफ एक तकनीकी विनिर्देश होता है और यह इंगित किया जाता है कि सही माप के लिए थर्मामीटर को पूरे पिछले हिस्से में डुबो देना आवश्यक है। निर्दिष्ट नहीं है। केवल शेष त्रुटि मतगणना त्रुटि है।

यदि इस थर्मामीटर के पैमाने का विभाजन मान 2 o C है, तो आप तापमान को 1 o C की सटीकता से माप सकते हैं। ये अनुमेय निरपेक्ष माप त्रुटि की सीमाएँ और निरपेक्ष माप त्रुटि की गणना हैं।

सटीकता की गणना के लिए एक विशेष प्रणाली का उपयोग विद्युत माप उपकरणों में किया जाता है।

विद्युत माप उपकरणों की शुद्धता

ऐसे उपकरणों की सटीकता निर्दिष्ट करने के लिए, सटीकता वर्ग नामक मान का उपयोग किया जाता है। इसके पदनाम के लिए, "गामा" अक्षर का उपयोग किया जाता है। निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटियों को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको डिवाइस की सटीकता वर्ग को जानना होगा, जो कि पैमाने पर इंगित किया गया है।

उदाहरण के लिए, एक एमीटर लें। इसका पैमाना सटीकता वर्ग को इंगित करता है, जो 0.5 की संख्या दर्शाता है। यह प्रत्यक्ष और प्रत्यावर्ती धारा पर माप के लिए उपयुक्त है, विद्युत चुम्बकीय प्रणाली के उपकरणों को संदर्भित करता है।

यह काफी सटीक डिवाइस है। यदि आप इसकी तुलना स्कूल वाल्टमीटर से करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इसकी सटीकता वर्ग 4 है। यह मान आगे की गणना के लिए जाना जाना चाहिए।

ज्ञान का अनुप्रयोग

इस प्रकार, डी सी \u003d सी (अधिकतम) एक्स / 100

इस सूत्र का उपयोग विशिष्ट उदाहरणों के लिए किया जाएगा। आइए एक वाल्टमीटर का उपयोग करें और बैटरी द्वारा दिए जाने वाले वोल्टेज को मापने में त्रुटि का पता लगाएं।

आइए बैटरी को सीधे वाल्टमीटर से कनेक्ट करें, पहले जांच कर लें कि तीर शून्य पर है या नहीं। जब डिवाइस कनेक्ट किया गया था, तीर 4.2 डिवीजनों से विचलित हो गया था। इस अवस्था का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है:

  1. यह देखा जा सकता है कि इस मद के लिए U का अधिकतम मान 6 है।
  2. शुद्धता वर्ग -(γ) = 4.
  3. यू (ओ) = 4.2 वी।
  4. सी = 0.2 वी

इन सूत्र डेटा का उपयोग करते हुए, निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटियों की गणना निम्नानुसार की जाती है:

डी यू \u003d डीयू (उदा।) + सी / 2

डी यू (पीआर।) \u003d यू (अधिकतम) एक्स / 100

डी यू (पीआर।) \u003d 6 वी एक्स 4/100 \u003d 0.24 वी

यह डिवाइस की त्रुटि है।

इस मामले में पूर्ण माप त्रुटि की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

डी यू = 0.24 वी + 0.1 वी = 0.34 वी

सुविचारित सूत्र का उपयोग करके, आप आसानी से पता लगा सकते हैं कि निरपेक्ष माप त्रुटि की गणना कैसे करें।

गोलाई त्रुटियों के लिए एक नियम है। यह आपको पूर्ण त्रुटि सीमा और सापेक्ष एक के बीच औसत खोजने की अनुमति देता है।

तौल त्रुटि का निर्धारण करना सीखना

यह प्रत्यक्ष माप का एक उदाहरण है। एक विशेष स्थान में तौल रहा है। आखिरकार, लीवर स्केल का कोई पैमाना नहीं होता है। आइए जानें कि ऐसी प्रक्रिया की त्रुटि का निर्धारण कैसे करें। बड़े पैमाने पर माप की सटीकता वजन की सटीकता और स्वयं तराजू की पूर्णता से प्रभावित होती है।

हम तराजू के एक सेट के साथ एक संतुलन पैमाने का उपयोग करते हैं जिसे पैमाने के दाईं ओर रखा जाना चाहिए। तौलने के लिए एक रूलर लीजिए।

प्रयोग शुरू करने से पहले, आपको तराजू को संतुलित करना होगा। हमने शासक को बाएं कटोरे पर रखा।

द्रव्यमान स्थापित भार के योग के बराबर होगा। आइए हम इस मात्रा की माप त्रुटि का निर्धारण करें।

डी एम = डी एम (वजन) + डी एम (वजन)

बड़े पैमाने पर माप त्रुटि में तराजू और वजन से जुड़े दो शब्द होते हैं। इन मूल्यों में से प्रत्येक का पता लगाने के लिए, तराजू और वजन के उत्पादन के लिए कारखानों में, उत्पादों को विशेष दस्तावेजों के साथ आपूर्ति की जाती है जो आपको सटीकता की गणना करने की अनुमति देते हैं।

तालिकाओं का अनुप्रयोग

आइए एक मानक तालिका का उपयोग करें। पैमाने की त्रुटि इस बात पर निर्भर करती है कि पैमाने पर कितना द्रव्यमान डाला गया है। यह जितना बड़ा होगा, क्रमशः उतनी ही बड़ी त्रुटि होगी।

बहुत हल्का शरीर भी लगाओ तो भी भूल होगी। यह एक्सल में होने वाली घर्षण की प्रक्रिया के कारण होता है।

दूसरी तालिका वजन के एक सेट को संदर्भित करती है। यह इंगित करता है कि उनमें से प्रत्येक की अपनी सामूहिक त्रुटि है। 10-ग्राम में 1 मिलीग्राम और साथ ही 20-ग्राम की त्रुटि है। हम तालिका से ली गई इनमें से प्रत्येक भार की त्रुटियों के योग की गणना करते हैं।

द्रव्यमान और द्रव्यमान त्रुटि को दो पंक्तियों में लिखना सुविधाजनक है, जो एक के नीचे एक स्थित हैं। वजन जितना छोटा होगा, माप उतना ही सटीक होगा।

परिणाम

माना सामग्री के दौरान, यह स्थापित किया गया था कि पूर्ण त्रुटि का निर्धारण करना असंभव है। आप केवल इसके सीमा संकेतक निर्धारित कर सकते हैं। इसके लिए गणनाओं में ऊपर वर्णित सूत्रों का प्रयोग किया जाता है। यह सामग्री कक्षा 8-9 के छात्रों के लिए स्कूल में अध्ययन के लिए प्रस्तावित है। प्राप्त ज्ञान के आधार पर, निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों को निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करना संभव है।

प्रकृति में होने वाली कई मात्राओं का मापन सटीक नहीं हो सकता। माप एक संख्या देता है जो सटीकता की बदलती डिग्री के साथ एक मूल्य व्यक्त करता है (0.01 सेमी की सटीकता के साथ लंबाई को मापना, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना, आदि की सटीकता के साथ), यानी लगभग, के साथ कुछ त्रुटि। त्रुटि पहले से निर्धारित की जा सकती है, या, इसके विपरीत, इसे खोजने की आवश्यकता है।

त्रुटियों के सिद्धांत में मुख्य रूप से अनुमानित संख्याओं के अध्ययन का उद्देश्य है। के बजाय गणना करते समय आमतौर पर अनुमानित संख्याओं का उपयोग करें: (यदि सटीकता विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है), (यदि सटीकता महत्वपूर्ण है)। अनुमानित संख्याओं के साथ गणना कैसे करें, उनकी त्रुटियों का निर्धारण करें - यह अनुमानित गणना (त्रुटि सिद्धांत) का सिद्धांत है।

भविष्य में, सटीक संख्याओं को बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा, और संबंधित अनुमानित संख्याओं को लोअरकेस अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा।

समस्या को हल करने के एक या दूसरे चरण में उत्पन्न होने वाली त्रुटियों को तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

1) समस्या त्रुटि। घटना के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय इस प्रकार की त्रुटि होती है। अंतिम परिणाम पर सभी कारकों और उनके प्रभाव की डिग्री को ध्यान में रखना हमेशा संभव नहीं होता है। यानी किसी वस्तु का गणितीय मॉडल उसकी सटीक छवि नहीं है, उसका विवरण सटीक नहीं है। ऐसी त्रुटि अपरिहार्य है।

2) विधि त्रुटि। यह त्रुटि मूल गणितीय मॉडल को अधिक सरलीकृत मॉडल से बदलने के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती है, उदाहरण के लिए, सहसंबंध विश्लेषण की कुछ समस्याओं में, एक रैखिक मॉडल स्वीकार्य है। ऐसी त्रुटि हटाने योग्य है, क्योंकि गणना के चरणों में इसे मनमाने ढंग से छोटे मूल्य तक घटाया जा सकता है।

3) कम्प्यूटेशनल ("मशीन") त्रुटि। यह तब होता है जब कोई कंप्यूटर अंकगणितीय ऑपरेशन करता है।

परिभाषा 1.1. मान लीजिए मात्रा (संख्या) का सटीक मान, समान मात्रा का अनुमानित मान () हो। सही निरपेक्ष त्रुटिअनुमानित संख्या सटीक और अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का मापांक है:

. (1.1)

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, = 1/3। एमके पर गणना करते समय, उन्होंने अनुमानित संख्या = 0.33 के रूप में 1 को 3 से विभाजित करने का परिणाम दिया। फिर .

हालाँकि, वास्तव में, ज्यादातर मामलों में, मात्रा का सटीक मूल्य ज्ञात नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि (1.1) लागू नहीं किया जा सकता है, अर्थात वास्तविक निरपेक्ष त्रुटि नहीं मिल सकती है। इसलिए, एक और मूल्य पेश किया जाता है जो कुछ अनुमान (ऊपरी सीमा के लिए) के रूप में कार्य करता है।

परिभाषा 1.2. पूर्ण त्रुटि सीमित करेंएक अज्ञात सटीक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली अनुमानित संख्या, ऐसी संभावित छोटी संख्या कहलाती है, जो वास्तविक निरपेक्ष त्रुटि से अधिक नहीं होती है, अर्थात . (1.2)

असमानता (1.2) को संतुष्ट करने वाली मात्राओं की अनुमानित संख्या के लिए, असीम रूप से कई हैं, लेकिन उनमें से सबसे अधिक मूल्यवान उन सभी में सबसे छोटा होगा। से (1.2), मापांक की परिभाषा के आधार पर, हमारे पास है, या समानता के रूप में संक्षिप्त


. (1.3)

समानता (1.3) उन सीमाओं को निर्धारित करती है जिनके भीतर एक अज्ञात सटीक संख्या स्थित है (वे कहते हैं कि एक अनुमानित संख्या एक सटीक संख्या को सीमित पूर्ण त्रुटि के साथ व्यक्त करती है)। यह देखना आसान है कि ये सीमाएँ जितनी छोटी होती हैं, उतनी ही सटीक रूप से ये सीमाएँ निर्धारित होती हैं।

उदाहरण के लिए, यदि किसी निश्चित मान के मापन ने परिणाम सेमी दिया, जबकि इन मापों की सटीकता 1 सेमी से अधिक नहीं थी, तो सही (सटीक) लंबाई से। मी।

उदाहरण 1.1. एक नंबर दिया। संख्या द्वारा संख्या की सीमित निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात कीजिए।

फेसला: संख्या (=1.243; =0.0005) के लिए समानता (1.3) से हमारे पास दोहरी असमानता है, अर्थात।

फिर समस्या इस प्रकार प्रस्तुत की जाती है: संख्या के लिए असमानता को संतुष्ट करने वाली सीमित पूर्ण त्रुटि को खोजने के लिए . स्थिति (*) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं ((*) में हम असमानता के प्रत्येक भाग से घटाते हैं)

चूंकि हमारे मामले में , तो , कहाँ से =0.0035।

जवाब: =0,0035.

सीमित निरपेक्ष त्रुटि अक्सर माप या गणना की सटीकता का एक खराब विचार देती है। उदाहरण के लिए, एक इमारत की लंबाई को मापने पर =1 मीटर इंगित करेगा कि वे सही तरीके से नहीं किए गए थे, और वही त्रुटि =1 मीटर जब शहरों के बीच की दूरी को मापते हैं तो एक बहुत ही गुणात्मक अनुमान देता है। इसलिए, एक और मूल्य पेश किया गया है।

परिभाषा 1.3. सही सापेक्ष त्रुटिसंख्या, जो कि सटीक संख्या का एक अनुमानित मान है, संख्या की वास्तविक निरपेक्ष त्रुटि का संख्या के मापांक से अनुपात है:

. (1.4)

उदाहरण के लिए, यदि, क्रमशः, सटीक और अनुमानित मान, तो

हालाँकि, यदि संख्या का सटीक मान ज्ञात नहीं है, तो सूत्र (1.4) लागू नहीं होता है। इसलिए, सीमित पूर्ण त्रुटि के अनुरूप, सीमित सापेक्ष त्रुटि पेश की जाती है।

परिभाषा 1.4. सापेक्ष त्रुटि सीमित करनाएक संख्या जो एक अज्ञात सटीक संख्या का सन्निकटन है, सबसे छोटी संभव संख्या कहलाती है , जो वास्तविक सापेक्ष त्रुटि से अधिक नहीं है , अर्थात

. (1.5)

असमानता (1.2) से हमारे पास है ; कहां से, ध्यान में रखते हुए (1.5)

फॉर्मूला (1.6) में (1.5) की तुलना में अधिक व्यावहारिक प्रयोज्यता है, क्योंकि सटीक मान इसमें भाग नहीं लेता है। (1.6) और (1.3) को ध्यान में रखते हुए, कोई उन सीमाओं का पता लगा सकता है जिनमें अज्ञात मात्रा का सटीक मान होता है।

किसी भौतिक राशि का वास्तविक मान बिल्कुल सटीक रूप से निर्धारित करना व्यावहारिक रूप से असंभव है, क्योंकि कोई भी माप संचालन कई त्रुटियों या, अन्यथा, त्रुटियों से जुड़ा होता है। त्रुटियों के कारण बहुत भिन्न हो सकते हैं। उनकी घटना माप उपकरण के निर्माण और समायोजन में अशुद्धियों के कारण हो सकती है, अध्ययन के तहत वस्तु की भौतिक विशेषताओं के कारण (उदाहरण के लिए, जब अमानवीय मोटाई के तार के व्यास को मापते हैं, तो परिणाम यादृच्छिक रूप से पसंद पर निर्भर करता है माप क्षेत्र), यादृच्छिक कारण, आदि।

प्रयोगकर्ता का कार्य परिणाम पर उनके प्रभाव को कम करना है, और यह भी इंगित करना है कि परिणाम सत्य के कितना करीब है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि की अवधारणाएं हैं।

नीचे पूर्ण त्रुटिमाप माप परिणाम और मापी गई मात्रा के सही मूल्य के बीच अंतर को समझेगा:

x i =x i -x और (2)

जहां x i, i-वें माप की पूर्ण त्रुटि है, x i _ i-th माप का परिणाम है, x i मापा मान का सही मान है।

किसी भी भौतिक माप का परिणाम आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

जहां मापी गई मात्रा का अंकगणितीय माध्य मान वास्तविक मान के निकटतम है (x और की वैधता नीचे दिखाई जाएगी), पूर्ण माप त्रुटि है।

समानता (3) को इस प्रकार समझा जाना चाहिए कि मापे गए मान का वास्तविक मान अंतराल [- , + ] में हो।

निरपेक्ष त्रुटि एक आयामी मान है, इसका आयाम मापा मान के समान है।

पूर्ण त्रुटि पूरी तरह से किए गए माप की सटीकता की विशेषता नहीं है। वास्तव में, यदि हम ± 1 मिमी खंड 1 मीटर और 5 मिमी लंबी समान पूर्ण त्रुटि के साथ मापते हैं, तो माप सटीकता अतुलनीय होगी। इसलिए, पूर्ण माप त्रुटि के साथ, सापेक्ष त्रुटि की गणना की जाती है।

रिश्तेदारों की गलतीमापन, मापे गए मान से पूर्ण त्रुटि का अनुपात है:

सापेक्ष त्रुटि एक आयामहीन मात्रा है। इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है:

ऊपर के उदाहरण में, सापेक्ष त्रुटियाँ 0.1% और 20% हैं। वे एक दूसरे से स्पष्ट रूप से भिन्न होते हैं, हालांकि पूर्ण मूल्य समान होते हैं। सापेक्ष त्रुटि सटीकता के बारे में जानकारी देती है

मापन त्रुटियां

अभिव्यक्ति की प्रकृति और त्रुटि की उपस्थिति के कारणों के अनुसार, इसे सशर्त रूप से निम्नलिखित वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: वाद्य, व्यवस्थित, यादृच्छिक, और चूक (सकल त्रुटियां)।

चूक या तो डिवाइस की खराबी के कारण होती है, या कार्यप्रणाली या प्रायोगिक स्थितियों के उल्लंघन के कारण होती है, या व्यक्तिपरक प्रकृति की होती है। व्यवहार में, उन्हें ऐसे परिणामों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दूसरों से बहुत भिन्न होते हैं। उनकी उपस्थिति को खत्म करने के लिए, उपकरणों के साथ काम करने में सटीकता और संपूर्णता का निरीक्षण करना आवश्यक है। चूक वाले परिणामों को विचार (त्याग) से बाहर रखा जाना चाहिए।

वाद्य त्रुटियाँ। यदि मापने वाला उपकरण सेवा योग्य और समायोजित है, तो उस पर सीमित सटीकता के साथ माप लिया जा सकता है, जो उपकरण के प्रकार द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह स्वीकार किया जाता है कि सूचक यंत्र की वाद्य त्रुटि को उसके पैमाने के सबसे छोटे भाग के आधे के बराबर माना जाता है। डिजिटल रीडआउट वाले उपकरणों में, इंस्ट्रूमेंट एरर को इंस्ट्रूमेंट स्केल पर एक सबसे छोटे अंक के मान के बराबर किया जाता है।

व्यवस्थित त्रुटियां वे त्रुटियां हैं जिनका परिमाण और चिन्ह एक ही विधि द्वारा किए गए माप की पूरी श्रृंखला के लिए स्थिर होते हैं और एक ही माप उपकरणों का उपयोग करते हैं।

माप करते समय, न केवल व्यवस्थित त्रुटियों को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है, बल्कि उनके उन्मूलन को प्राप्त करना भी आवश्यक है।

व्यवस्थित त्रुटियों को सशर्त रूप से चार समूहों में विभाजित किया गया है:

1) त्रुटियां, जिनकी प्रकृति ज्ञात है और उनके परिमाण को काफी सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। ऐसी त्रुटि है, उदाहरण के लिए, हवा में मापा द्रव्यमान में परिवर्तन, जो तापमान, आर्द्रता, वायु दाब, आदि पर निर्भर करता है;

2) त्रुटियां, जिनकी प्रकृति ज्ञात है, लेकिन त्रुटि का परिमाण स्वयं अज्ञात है। इस तरह की त्रुटियों में मापने वाले उपकरण के कारण होने वाली त्रुटियां शामिल हैं: डिवाइस की खराबी, शून्य मान के साथ पैमाने का अनुपालन न करना, इस उपकरण की सटीकता वर्ग;

3) त्रुटियां, जिनके अस्तित्व पर संदेह नहीं किया जा सकता है, लेकिन उनका परिमाण अक्सर महत्वपूर्ण हो सकता है। ऐसी त्रुटियां अक्सर जटिल माप के साथ होती हैं। ऐसी त्रुटि का एक सरल उदाहरण कुछ नमूने के घनत्व का माप है जिसमें एक गुहा है;

4) माप वस्तु की विशेषताओं के कारण त्रुटियां। उदाहरण के लिए, किसी धातु की विद्युत चालकता को मापते समय, तार का एक टुकड़ा बाद वाले से लिया जाता है। सामग्री में कोई दोष होने पर त्रुटियां हो सकती हैं - एक दरार, तार का मोटा होना या अमानवीयता जो इसके प्रतिरोध को बदल देती है।

यादृच्छिक त्रुटियां वे त्रुटियां हैं जो समान मात्रा के बार-बार माप के लिए समान परिस्थितियों में संकेत और परिमाण में यादृच्छिक रूप से बदलती हैं।


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