इस वीडियो ट्यूटोरियल का विषय गति गुण, साथ ही समानांतर अनुवाद होगा। पाठ की शुरुआत में, हम एक बार फिर आंदोलन की अवधारणा को दोहराएंगे, इसके मुख्य प्रकार - अक्षीय और केंद्रीय समरूपता। उसके बाद, हम गति के सभी गुणों पर विचार करते हैं। आइए "समानांतर स्थानांतरण" की अवधारणा का विश्लेषण करें, इसका उपयोग किस लिए किया जाता है, आइए इसके गुणों का नाम दें।

थीम: आंदोलन

सबक: आंदोलन। गति गुण

आइए प्रमेय सिद्ध करें: चलते समय, खंड खंड में गुजरता है.

आइए हम चित्र की सहायता से प्रमेय के निरूपण को समझें। 1. यदि आंदोलन के दौरान एक निश्चित खंड एमएन के सिरों को क्रमशः एम 1 और एन 1 के कुछ बिंदुओं पर प्रदर्शित किया जाता है, तो खंड एमएन के किसी भी बिंदु पी को खंड एम 1 एन 1 के किसी बिंदु पी 1 पर जाना होगा, और इसके विपरीत, खंड एम 1 एन 1 के प्रत्येक बिंदु क्यू 1 पर खंड एमएन के कुछ बिंदु क्यू प्रदर्शित किए जाएंगे।

प्रमाण।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, एमएन = एमपी + पीएन।

बिंदु P को विमान के किसी बिंदु P 1 "पर जाने दें। गति की परिभाषा का अर्थ है MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 खंडों की लंबाई की समानता "एन 1. इन समानताओं से यह निम्नानुसार है कि एम 1 Р 1 ", एम 1 Р 1" + Р 1 "एन 1 = एमपी + Рएन = एमएन = एम 1 एन 1, यानी बिंदु Р 1 "से संबंधित है खंड एम 1 एन 1 और बिंदु पी 1 के साथ मेल खाता है, अन्यथा उपरोक्त समानता के बजाय, त्रिभुज एम 1 पी 1 "+ पी 1" एन 1> एम 1 एन 1 की असमानता सच होगी। यानी, हमने साबित किया कि चलते समय, कोई भी बिंदु, खंड MN का कोई भी बिंदु P निश्चित रूप से खंड M 1 N 1 के किसी बिंदु P 1 पर जाएगा। प्रमेय का दूसरा भाग (बिंदु Q 1 के संबंध में) बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होता है। .

सिद्ध प्रमेय किसी भी गति के लिए मान्य है!

प्रमेय: चलते समय, कोण एक समान कोण में चला जाता है।

मान लीजिए RAOB दिया गया है (चित्र 2)। और कुछ गति दी जाए, जिसमें शीर्ष РО बिंदु О 1 पर जाता है, और बिंदु A और B - क्रमशः बिंदु А 1 और В 1 पर जाता है।

त्रिभुज AOB और A 1 O 1 B 1 पर विचार करें। प्रमेय की शर्त के अनुसार, बिंदु A, O और B क्रमशः बिंदु A 1, O 1 और B 1 पर जाने पर गति करते हैं। इसलिए, लंबाई AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 और AB \u003d A 1 B 1 की समानता है। इस प्रकार, एओबी \u003d ए 1 ओ 1 बी 1 तीन तरफ। त्रिभुजों की समानता से संगत कोणों O और O 1 की समानता का अनुसरण होता है।

तो, कोई भी आंदोलन कोणों को संरक्षित करता है।

गति के मूल गुणों से बहुत सारे परिणाम मिलते हैं, विशेष रूप से, कि गति के दौरान किसी भी आकृति को उसके बराबर एक आकृति पर मैप किया जाता है।

एक अन्य प्रकार के आंदोलन पर विचार करें - समानांतर स्थानांतरण।

समानांतर स्थानांतरणकिसी दिए गए सदिश पर स्वयं पर तल का ऐसा मानचित्रण कहा जाता है, जिसमें तल का प्रत्येक बिंदु M उसी तल के ऐसे बिंदु M 1 पर जाता है कि (चित्र 3)।

आइए साबित करें कि समानांतर अनुवाद एक आंदोलन है.

प्रमाण।

एक मनमाना खंड MN (चित्र 4) पर विचार करें। बिंदु M को समानांतर स्थानांतरण के दौरान बिंदु M 1 पर जाने दें, और बिंदु N को बिंदु N 1 पर ले जाएं। इस मामले में, समानांतर स्थानांतरण की शर्तें पूरी होती हैं: और। एक चतुर्भुज पर विचार करें

MM 1 N 1 N। इसके दो विपरीत पक्ष (MM 1 और NN 1) समान और समानांतर हैं, जैसा कि समानांतर अनुवाद स्थितियों द्वारा निर्धारित किया गया है। इसलिए, यह चतुर्भुज उत्तरार्द्ध के संकेतों में से एक के अनुसार समांतर चतुर्भुज है। इसका तात्पर्य यह है कि समांतर चतुर्भुज की अन्य दो भुजाओं (MN और M 1 N 1) की लंबाई समान है, जिसे सिद्ध करना था।

इस प्रकार, समानांतर स्थानांतरण वास्तव में एक आंदोलन है।

आइए संक्षेप करते हैं। हम पहले से ही तीन प्रकार की गति से परिचित हैं: अक्षीय समरूपता, केंद्रीय समरूपता और समानांतर अनुवाद। हमने साबित कर दिया है कि चलते समय एक खंड एक खंड में गुजरता है, और एक कोण एक समान कोण में। इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि एक सीधी रेखा चलते समय एक सीधी रेखा में गुजरती है, और एक वृत्त उसी त्रिज्या के एक वृत्त में गुजरता है।

1. अतानासियन एल.एस. और अन्य। ज्यामिति ग्रेड 7-9। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम .: शिक्षा, 2010।

2. फार्कोव ए.वी. ज्यामिति परीक्षण: ग्रेड 9। एल। एस। अतानासियन और अन्य की पाठ्यपुस्तक के लिए - एम।: परीक्षा, 2010।

3. ए। वी। पोगोरेलोव, ज्यामिति, खाता। 7-11 कोशिकाओं के लिए। आम उदाहरण - एम .: ज्ञानोदय, 1995।

1. रूसी शैक्षिक पोर्टल ()।

2. शैक्षणिक विचारों का त्योहार "ओपन लेसन" ()।

1. अतानासन (संदर्भ देखें), पृष्ठ 293, 1, आइटम 114।

संपत्ति 1. मान लीजिए कि समतल में बिंदुओं की गति f है, A", B" और C" f की गति के दौरान बिंदुओं A, B और C के प्रतिबिम्ब हैं। फिर बिंदु A", B" और C" झूठ बोलते हैं एक सीधी रेखा पर यदि और केवल यदि बिंदु A, B और C संरेख हैं।

गुण 4. चलते समय, यह इसके बराबर खंड में बदल जाता है। संपत्ति 5. चलते समय, एक किरण एक किरण में बदल जाती है।

संपत्ति 7. मान लीजिए कि एक बिंदु O पर केन्द्रित त्रिज्या r का एक वृत्त दिया गया है। फिर, चलते समय, यह उसी त्रिज्या के एक वृत्त में परिवर्तित हो जाता है, जो केंद्र O की छवि से मेल खाने वाले बिंदु पर केंद्रित होता है।

एफाइन प्लेन फ्रेम से हमारा मतलब नॉनकोलिनियर पॉइंट्स के ऑर्डर किए गए ट्रिपल से है। संपत्ति 7. चलते समय, फ्रेम एक फ्रेम में बदल जाता है, और ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम एक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम में बदल जाता है।

प्रमेय (गति की मूल प्रमेय)। मान लीजिए कि समतल पर लम्बवत फ्रेम u दिए गए हैं। फिर एक अनूठी चाल जी है जो फ्रेम को आर से आर तक ले जाती है":।

परिणाम। यदि f विमान की गति है: ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम R को ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम R में अनुवाद करना, तो R के सापेक्ष x और y निर्देशांक वाले समतल का प्रत्येक बिंदु M एक बिंदु M"= f(M) से मेल खाता है। R के सापेक्ष x और y का समन्वय करता है"।

"विमान गतियों और उनकी कुछ संपत्तियों की जांच"। पेज 21 का 21

विमान गति की जांच

और उनके कुछ गुण

विषय

गति के सिद्धांत के विकास के इतिहास से।

गतियों की परिभाषा और गुण।

आंकड़ों की अनुरूपता।

आंदोलनों के प्रकार।

4.1. समानांतर स्थानांतरण।

4.2. मोड़।

4.3. एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता।

4.4. स्लाइडिंग समरूपता।

5. अक्षीय सममिति के विशेष गुणों का अध्ययन।

6. अन्य प्रकार के आंदोलनों के अस्तित्व की संभावना की जांच।

7. गतिशीलता प्रमेय। दो तरह के आंदोलन।

8. आंदोलनों का वर्गीकरण। चाल का प्रमेय।

ज्यामितीय परिवर्तनों के समूह के रूप में आंदोलन।

समस्या समाधान में आंदोलनों का अनुप्रयोग।

साहित्य।

गति के सिद्धांत के विकास का इतिहास।

सबसे पहले जिसने कुछ ज्यामितीय प्रस्तावों को साबित करना शुरू किया, उसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ माना जाता है मिलेटस के थेल्स(625-547 ईसा पूर्व)। यह थेल्स के लिए धन्यवाद था कि ज्यामिति व्यावहारिक नियमों के एक सेट से एक सच्चे विज्ञान में बदलने लगी। थेल्स से पहले, सबूत बस मौजूद नहीं थे!

थेल्स ने अपने प्रमाणों का संचालन कैसे किया? इस उद्देश्य के लिए, उन्होंने आंदोलनों का इस्तेमाल किया।

गति - यह आंकड़ों का रूपांतरण है, जिसमें बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित किया जाता है। यदि दो आकृतियों को गति के माध्यम से एक-दूसरे के साथ ठीक-ठीक जोड़ दिया जाए, तो ये आंकड़े समान, समान होते हैं।

इस प्रकार थेल्स ने ज्यामिति के पहले कई प्रमेयों को सिद्ध किया। यदि तल को किसी बिंदु के चारों ओर एक दृढ़ संपूर्ण के रूप में घुमाया जाता है हे 180 ओ, बीम ओए इसकी निरंतरता के लिए जाएगा ओए ’ . इस तरह के लोगों के साथ मोड़ (यह भी कहा जाता है केंद्रीय समरूपता केंद्रित हे ) प्रत्येक बिंदु लेकिन एक बिंदु पर ले जाता है लेकिन ’ , क्या हे खंड का मध्यबिंदु है आ ’ (चित्र .1)।

Fig.1 Fig.2

रहने दो हे - ऊर्ध्वाधर कोनों का सामान्य शीर्ष एओबी और लेकिन ’ ओवी ’ . लेकिन फिर यह स्पष्ट है कि 180° से मुड़ने पर, दो ऊर्ध्वाधर कोणों में से एक की भुजाएँ दूसरे की भुजाओं तक ही पहुँच जाएँगी, अर्थात्। ये दो कोने संरेखित हैं। इसका मतलब है कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं (चित्र 2)।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों की समानता सिद्ध करते हुए थेल्स ने प्रयोग किया अक्षीय समरूपता : उसने एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो हिस्सों को कोण के समद्विभाजक के अनुदिश मोड़कर शीर्ष पर जोड़ दिया (चित्र 3)। इसी प्रकार थेल्स ने सिद्ध किया कि व्यास वृत्त को समद्विभाजित करता है।

Fig.3 Fig.4

एप्लाइड थेल्स और एक अन्य आंदोलन - समानांतर स्थानांतरण , जिस पर आकृति के सभी बिंदु एक निश्चित दिशा में समान दूरी से विस्थापित होते हैं। उनकी मदद से, उन्होंने उस प्रमेय को सिद्ध किया जो अब उनके नाम पर है:

यदि कोण के एक तरफ समान खंड अलग रखे जाते हैं और इन खंडों के सिरों के माध्यम से समानांतर रेखाएं खींची जाती हैं, जब तक कि वे कोण के दूसरे पक्ष के साथ प्रतिच्छेद न करें, तो कोण के दूसरी तरफ भी समान खंड प्राप्त होंगे(चित्र 4)।

प्राचीन काल में आंदोलन के विचार का प्रयोग प्रसिद्ध लोगों द्वारा भी किया जाता था यूक्लिड, "बिगिनिंग्स" के लेखक - एक किताब जो दो सहस्राब्दियों से अधिक समय तक जीवित रही है। यूक्लिड टॉलेमी I का समकालीन था, जिसने 305-283 ईसा पूर्व मिस्र, सीरिया और मैसेडोनिया में शासन किया था।

आंदोलन निहित रूप से मौजूद थे, उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तर्क में जब त्रिकोण की समानता के संकेतों को साबित करते हैं: "आइए एक त्रिकोण को दूसरे पर इस तरह से लागू करें।" यूक्लिड के अनुसार, दो अंक समान कहलाते हैं यदि उन्हें उनके सभी बिंदुओं से "संयुक्त" किया जा सकता है, अर्थात। एक आकृति को एक ठोस संपूर्ण के रूप में घुमाकर, कोई इसे दूसरी आकृति पर सटीक रूप से अधिरोपित कर सकता है। यूक्लिड के लिए, आंदोलन अभी तक एक गणितीय अवधारणा नहीं थी। "सिद्धांतों" में उनके द्वारा पहले निर्धारित स्वयंसिद्धों की प्रणाली एक ज्यामितीय सिद्धांत का आधार बन गई जिसे कहा जाता है यूक्लिडियन ज्यामिति.

आधुनिक समय में, गणितीय विषयों का विकास जारी है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति 11वीं शताब्दी में बनाई गई थी। बोलोग्ना विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर बोनावेंचर कैवेलियरी(1598-1647) निबंध प्रकाशित करता है "ज्यामिति, अविभाज्य निरंतर की मदद से एक नए तरीके से कहा गया है।" कैवलियरी के अनुसार, किसी भी सपाट आकृति को समानांतर रेखाओं या "निशान" के एक सेट के रूप में माना जा सकता है जो एक रेखा अपने समानांतर चलती है। इसी तरह, निकायों का एक विचार दिया गया है: वे विमानों की गति के दौरान बनते हैं।

गति के सिद्धांत का आगे विकास फ्रांसीसी गणितज्ञ और विज्ञान के इतिहासकार के नाम से जुड़ा है मिशेल चालो(1793-1880)। 1837 में, उन्होंने "ज्यामितीय विधियों की उत्पत्ति और विकास की ऐतिहासिक समीक्षा" कार्य प्रकाशित किया। अपने स्वयं के ज्यामितीय अनुसंधान की प्रक्रिया में, Schall सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय साबित होता है:

एक विमान की प्रत्येक अभिविन्यास-संरक्षण गति या तो है

समानांतर अनुवाद या रोटेशन,

किसी विमान की कोई भी अभिविन्यास-परिवर्तन गति या तो अक्षीय होती है

समरूपता या स्लाइडिंग समरूपता।

चाल के प्रमेय का प्रमाण इस सार के मद 8 में पूरी तरह से किया गया है।

19वीं शताब्दी में ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण संवर्धन ज्यामितीय परिवर्तनों के सिद्धांत का निर्माण है, विशेष रूप से, गति के गणितीय सिद्धांत (विस्थापन)। इस समय तक, सभी मौजूदा ज्यामितीय प्रणालियों का वर्गीकरण देने की आवश्यकता थी। इस समस्या को एक जर्मन गणितज्ञ ने हल किया था क्रिश्चियन फेलिक्स क्लेन(1849-1925).

1872 में, एर्लांगेन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर का पद ग्रहण करते हुए, क्लेन ने "नवीनतम ज्यामितीय शोधों की एक तुलनात्मक समीक्षा" पर एक व्याख्यान दिया। गति के सिद्धांत के आधार पर सभी ज्यामिति पर पुनर्विचार करने के उनके द्वारा रखे गए विचार को कहा जाता था "एरलांगेन कार्यक्रम".

क्लेन के अनुसार, एक विशेष ज्यामिति का निर्माण करने के लिए, आपको तत्वों का एक समूह और परिवर्तनों के एक समूह को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। ज्यामिति का कार्य तत्वों के बीच उन संबंधों का अध्ययन करना है जो किसी दिए गए समूह के सभी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय रहते हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड की ज्यामिति आकृतियों के उन गुणों का अध्ययन करती है जो गति के दौरान अपरिवर्तित रहते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि एक आकृति दूसरे से गति द्वारा प्राप्त की जाती है (ऐसी आकृतियों को सर्वांगसम कहा जाता है), तो इन आकृतियों में समान ज्यामितीय गुण होते हैं।

इस अर्थ में, गतियाँ ज्यामिति का आधार बनती हैं, और पाँच सर्वांगसमता के अभिगृहीतआधुनिक ज्यामिति के स्वयंसिद्धों की प्रणाली में एक स्वतंत्र समूह द्वारा अलग किया जाता है। पूर्व के सभी अध्ययनों को सारांशित करते हुए, स्वयंसिद्धों की यह पूर्ण और काफी कठोर प्रणाली जर्मन गणितज्ञ द्वारा प्रस्तावित की गई थी डेविड गिल्बर्ट(1862-1943)। पाँच समूहों में विभाजित बीस स्वयंसिद्धों की उनकी प्रणाली पहली बार 1899 में पुस्तक में प्रकाशित हुई थी "ज्यामिति के मूल सिद्धांत".

1909 में एक जर्मन गणितज्ञ फ्रेडरिक शूर(1856-1932), थेल्स और क्लेन के विचारों का अनुसरण करते हुए, ज्यामिति के स्वयंसिद्धों की एक और प्रणाली विकसित की - आंदोलनों के विचार के आधार पर। उनकी प्रणाली में, विशेष रूप से, सर्वांगसमता के स्वयंसिद्धों के हिल्बर्ट समूह के बजाय, तीन का एक समूह गति के स्वयंसिद्ध.

आंदोलनों के प्रकार और कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर इस निबंध में विस्तार से चर्चा की गई है, लेकिन उन्हें संक्षेप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: गतियाँ एक समूह बनाती हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति को परिभाषित और निर्धारित करता है।

गतियों की परिभाषा और गुण।

इस आकृति के प्रत्येक बिंदु को किसी प्रकार से खिसकाने से एक नया अंक प्राप्त होता है। कहा जाता है कि यह आंकड़ा प्राप्त होता है परिवर्तन इस से। एक आकृति के दूसरे में परिवर्तन को एक आंदोलन कहा जाता है यदि यह बिंदुओं के बीच की दूरी को बनाए रखता है, अर्थात। किन्हीं दो बिंदुओं का अनुवाद करता है एक्स और यू प्रति बिंदु एक आकार एक्स ’ और यू ’ एक और आंकड़ा ताकि XY = एक्स ’यू ’.

परिभाषा। आकार परिवर्तन जो दूरी बनाए रखता है

बिंदुओं के बीच इस आकृति की गति कहलाती है।

! टिप्पणी:ज्यामिति में गति की अवधारणा विस्थापन के सामान्य विचार से जुड़ी है। लेकिन अगर, विस्थापन की बात करें, तो हम एक सतत प्रक्रिया की कल्पना करते हैं, तो ज्यामिति में केवल आकृति की प्रारंभिक और अंतिम (छवि) स्थिति हमारे लिए मायने रखती है। यह ज्यामितीय दृष्टिकोण भौतिक दृष्टिकोण से भिन्न है।

चलते समय, अलग-अलग बिंदु अलग-अलग छवियों के अनुरूप होते हैं, और प्रत्येक बिंदु एक्स केवल एक अंक के साथ पत्राचार किया जाता है दूरसंचार विभाग एक्स ’ एक और आंकड़ा। इस प्रकार के परिवर्तन को कहा जाता है एक-से-एक या विशेषण.

आंदोलनों के संबंध में, आंकड़ों (सीधी रेखाओं, खंडों, विमानों, आदि) की "समानता" शब्द के बजाय, शब्द का प्रयोग किया जाता है "एकरूपता"और प्रतीक का प्रयोग किया जाता है  . प्रतीक є का उपयोग संबंधित को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम आंदोलन की अधिक सही परिभाषा दे सकते हैं:

गति समतल का एक विशेषण रूपांतरण है, जिसके अंतर्गत किसी के लिए

विभिन्न बिंदु एक्स, वाई є π सम्बन्ध XY  φ (एक्स ) φ (यू ).

दो आंदोलनों के क्रमिक निष्पादन के परिणाम को कहा जाता है संघटन. अगर चाल पहले की जाती है φ , उसके बाद आंदोलन ψ , तो इन गतियों की संरचना द्वारा निरूपित किया जाता है ψ ◦ φ .

आंदोलन का सबसे सरल उदाहरण पहचान प्रदर्शन है (यह निरूपित करने के लिए प्रथागत है - ε ), जिस पर प्रत्येक बिंदु एक्स , समतल से संबंधित, इस बिंदु की तुलना स्वयं की जाती है, अर्थात। ε (एक्स ) = एक्स .

आइए गति के कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करें।

सी संपत्ति 1.

लेम्मा 2. 1. संघटनφ ◦ ψ दो आंदोलनψ , φ एक आंदोलन है।

प्रमाण।

आंकड़ा दें एफ आंदोलन द्वारा अनुवादित ψ एक आकृति में एफ ', और आंकड़ा एफ ' आंदोलन द्वारा अनुवादित है φ एक आकृति में एफ ''। बात करने दो एक्स आंकड़ों एफ बिंदु पर जाता है एक्स 'आंकड़े एफ ' , और दूसरे आंदोलन के दौरान, बिंदु एक्स 'आंकड़े एफ ' बिंदु पर जाता है एक्स ''आकार एफ ''। फिर आकृति का परिवर्तन एफ एक आकृति में एफ '', जिस पर एक मनमाना बिंदु एक्स आंकड़ों एफ बिंदु पर जाता है एक्स ''आकार एफ '', बिंदुओं के बीच की दूरी को बनाए रखता है, और इसलिए यह एक गति भी है।

ध्यान दें कि किसी रचना की रिकॉर्डिंग हमेशा अंतिम गति से शुरू होती है, क्योंकि रचना का परिणाम अंतिम छवि है - इसे मूल के अनुरूप रखा गया है:

एक्स ’’= ψ (एक्स ’) = ψ (φ (एक्स )) = ψ ◦ φ (एक्स )

सी संपत्ति 2.

लेम्मा 2.2 . यदि एकφ - आंदोलन, फिर परिवर्तनφ -1 एक आंदोलन भी है।

प्रमाण।

आकार परिवर्तन होने दें एफ एक आकृति में एफ ' आकृति के विभिन्न बिंदुओं का अनुवाद करता है एफ आकृति पर विभिन्न बिंदुओं पर एफ '। चलो एक मनमाना बिंदु एक्स आंकड़ों एफ इस परिवर्तन के तहत एक बिंदु पर जाता है एक्स 'आंकड़े एफ ’.

आकार परिवर्तन एफ 'एक आकृति में' एफ , जिस बिंदु पर एक्स ' बिंदु पर जाता है एक्स , कहा जाता है दिए गए के विपरीत परिवर्तन।हर चाल के लिए φ रिवर्स मूवमेंट को परिभाषित करना संभव है, जिसे दर्शाया गया है φ -1 .

संपत्ति 1 के प्रमाण के समान तर्क देते हुए, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि गति के विपरीत परिवर्तन भी एक गति है।

यह स्पष्ट है कि परिवर्तन φ -1 समानता को संतुष्ट करता है:

एफ ◦ एफ -1 = एफ -1 ◦ एफ = ε , कहाँ पे ε समान प्रदर्शन है।

संपत्ति 3 (रचनाओं की संबद्धता)।

लेम्मा 2.3. चलो 1 , φ 2 , φ 3 - स्वैच्छिक आंदोलनों। फिर 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

तथ्य यह है कि आंदोलनों की संरचना में सहयोगीता की संपत्ति है, हमें डिग्री निर्धारित करने की अनुमति देती है φ एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एन .

चलो रखो φ 1 = φ और φ एन+1 = φ एन ◦ φ , अगर एन ≥ 1 . इस प्रकार आंदोलन φ एन के द्वारा हासिल किया गया एन आंदोलन के कई अनुक्रमिक अनुप्रयोग φ .

सी संपत्ति 4 (सीधा बनाए रखना).

प्रमेय 2। 1. एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदु, चलते समय, बिंदुओं में गुजरते हैं,

गतिगुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में पिंड

कोर्सवर्क >> भौतिकी

प्रक्षेपवक्र के प्रकार उन्हें आंदोलनोंवृद्धि की पुष्टि करता है ... एयरो- और हाइड्रोडायनामिक्स है पढाई आंदोलनोंगैस में ठोस और ... घर्षण) है संपत्तिवास्तविक तरल पदार्थ प्रतिरोध करते हैं... बैरल और विमानक्षितिज हथियार बना हुआ है कुछइंजेक्शन,...

अध्ययनसंघनित विस्फोटकों में अतिसंपीड़ित विस्फोट तरंगों में विद्युत चालकता वितरण

डिप्लोमा कार्य >> रसायन विज्ञान

... अनुसंधानवैद्युतकणसंचलन गुण... परिणाम और उन्हेंविश्लेषण 2.1 ... विस्फोट उत्पादों में विमानचैपमैन-जौगेट ... आपको गिनने की अनुमति देता है गतिइलेक्ट्रॉन अर्धशास्त्रीय। ... कार्तशोव ए.एम., स्वीह वी.जी. ओ कुछचालकता की माप में व्यवस्थित त्रुटियां ...

गुणइंजीनियरिंग सामग्री (2)

व्यावहारिक कार्य >> उद्योग, उत्पादन

खंड I स्ट्रक्चरल स्टील्स और मिश्र स्ट्रक्चरल स्टील्स वे हैं जो मशीन के पुर्जों (मशीन-बिल्डिंग स्टील्स), संरचनाओं और संरचनाओं (बिल्डिंग स्टील्स) के निर्माण के लिए अभिप्रेत हैं। कार्बन स्ट्रक्चरल स्टील्स कार्बन स्ट्रक्चरल...

परिचय।

ज्यामितीय परिवर्तन गणित की अपेक्षाकृत देर से आने वाली शाखा है। 17वीं शताब्दी में पहले ज्यामितीय परिवर्तनों पर विचार किया जाने लगा, जबकि प्रक्षेप्य परिवर्तन केवल 19वीं शताब्दी की शुरुआत में दिखाई दिए।

बीजगणित में, विभिन्न कार्यों पर विचार किया जाता है। फ़ंक्शन f प्रत्येक संख्या x को फ़ंक्शन के डोमेन से एक निश्चित संख्या f(x) निर्दिष्ट करता है - बिंदु x पर फ़ंक्शन f का मान। ज्यामिति में, ऐसे कार्यों पर विचार किया जाता है जिनमें परिभाषा के अन्य डोमेन और मूल्यों के सेट होते हैं। वे प्रत्येक बिंदु को एक बिंदु प्रदान करते हैं। इन कार्यों को ज्यामितीय परिवर्तन कहा जाता है।

ज्यामिति में ज्यामितीय परिवर्तनों का बहुत महत्व है। ज्यामितीय परिवर्तनों की मदद से, समानता और आंकड़ों की समानता जैसी महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित किया जाता है। ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए धन्यवाद, ज्यामिति के कई अलग-अलग तथ्य एक सुसंगत सिद्धांत में फिट होते हैं।

सार में, हम मुख्य रूप से अंतरिक्ष के परिवर्तनों के बारे में बात करेंगे। अंतरिक्ष के सभी आंदोलनों, समानताएं, परिपत्र और एफ़िन परिवर्तनों के साथ-साथ विमान के एफ़िन और प्रोजेक्टिव परिवर्तनों पर विचार किया जाएगा। प्रत्येक परिवर्तन के लिए, इसके गुणों और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए आवेदन के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

सबसे पहले, आइए कुछ बुनियादी अवधारणाओं को देखें जिनकी हमें परिवर्तनों के साथ काम करने की आवश्यकता होगी। आइए दो शर्तों पर ध्यान दें: दूरी और परिवर्तन। तो इन शब्दों से हमारा क्या मतलब है:

परिभाषा। दूरीदो बिंदुओं के बीच हम इन बिंदुओं पर समाप्त होने वाले खंड की लंबाई को कॉल करेंगे।

परिभाषा। परिवर्तनसेट को इस सेट की स्वयं पर एक-से-एक मैपिंग कहा जाता है।

अब आइए कुछ विशेष प्रकार के ज्यामितीय परिवर्तनों पर विचार करें।

भाग I. अंतरिक्ष की गति।

आंदोलनों के सामान्य गुण।

परिभाषा।अंतरिक्ष परिवर्तन कहा जाता है आंदोलन, अगर यह बिंदुओं के बीच की दूरी को बरकरार रखता है।

आंदोलन गुण।

1. गति के विपरीत परिवर्तन गति है।
2. आंदोलनों की संरचना आंदोलन है।
3. चलते समय, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा में बदल जाती है, एक किरण एक किरण में, एक खंड एक खंड में, एक विमान एक विमान में, एक आधा-तल आधा-तल में बदल जाता है।
4. गति में समतल कोण का प्रतिबिंब समान परिमाण का समतल कोण होता है।
5. गति सीधी रेखाओं के बीच, सीधी रेखा और समतल के बीच, समतलों के बीच के कोण को बनाए रखती है।
6. आंदोलन सीधी रेखाओं, एक सीधी रेखा और एक समतल, समतलों की समानता को बनाए रखता है।

संपत्ति के प्रमाण।

1 और 2. गति की परिभाषा का अनुसरण करें।

1. मान लीजिए बिंदु A, X और B एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, और बिंदु X, A और B के बीच स्थित है। तब AX + XB = AB। गति के दौरान बिंदुओं , , बिंदुओं , , के प्रतिबिम्ब होने दें। तब А´Х´+Х´В´=А´В´ (गति की परिभाषा से)। और इससे यह इस प्रकार है कि बिंदु A´, X´, B´ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, और X´ A´ और B´ के बीच स्थित है।
   सिद्ध कथन से यह तुरंत पता चलता है कि चलते समय एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा में बदल जाती है, एक किरण एक किरण में, एक खंड एक खंड में।

विमान के लिए, प्रमाण निम्नानुसार किया जा सकता है। मान लीजिए a, b हमारे तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं α, a´, b´ उनके प्रतिबिंब। जाहिर है, a´ और b´ प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए α´ वह तल है जिसमें रेखाएँ a´, b´ हैं। आइए हम सिद्ध करें कि α´ समतल α का प्रतिबिम्ब है। मान लीजिए समतल α का एक मनमाना बिंदु है जो a और b रेखाओं पर नहीं है। आइए हम M से होकर एक रेखा c खींचते हैं जो रेखाओं a और b को विभिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। इस रेखा का प्रतिबिम्ब वह रेखा है जो विभिन्न बिंदुओं पर a´, b´ को प्रतिच्छेद करती है। इसका अर्थ यह है कि बिंदु M का प्रतिबिम्ब M´ भी समतल α´ में स्थित है। इस प्रकार, समतल α के किसी भी बिंदु का प्रतिबिंब तल α´ में होता है। यह इसी प्रकार सिद्ध होता है कि समतल α´ के किसी भी बिंदु का पूर्व-प्रतिबिम्ब तल α में होता है। अत: α´ समतल α का प्रतिबिम्ब है।

अब हाफ-प्लेन के लिए भी दावे को साबित करना मुश्किल नहीं है। केवल आधे-तल को एक समतल पर पूरा करना आवश्यक है, उस रेखा पर विचार करें जो आधे-तल को बांधती है, और उसकी छवि a´, और फिर विरोधाभास से साबित करें कि अर्ध-तल के किन्हीं दो बिंदुओं की छवियां झूठ बोलती हैं a´ का एक ही पक्ष।

1. संपत्ति से अनुसरण करता है 3.
2. यह गुण 4 और अंतरिक्ष में रेखाओं (एक रेखा और एक तल, दो तल) के बीच के कोण की परिभाषा से अनुसरण करता है।
3. इसके विपरीत मान लें, अर्थात्। हमारी समानांतर रेखाओं (एक रेखा और एक तल, तल) की छवियों को प्रतिच्छेद करने दें (समानांतर रेखाओं के मामले में, यह दिखाना अभी भी आवश्यक है कि उनकी छवियां तिरछी रेखाएँ नहीं हो सकती हैं, लेकिन यह तुरंत इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समतल ये रेखाएं एक विमान में गुजरेंगी)। फिर उनके सामान्य बिंदु पर विचार करें। इसके दो प्रोटोटाइप होंगे, जो परिवर्तन की परिभाषा से असंभव है।

परिभाषा।चित्रा एफ कहा जाता है बराबरआंकड़ा , अगर कोई आंदोलन है जो को में बदल देता है।

आंदोलनों के प्रकार।

3.1. पहचान परिवर्तन।

परिभाषा। पहचान परिवर्तनई अंतरिक्ष एक परिवर्तन कहा जाता है जिसमें अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु अपने आप में चला जाता है।

जाहिर है, वही परिवर्तन एक आंदोलन है।

3.2. समानांतर स्थानांतरण।

परिभाषा।मान लीजिए अंतरिक्ष में एक वेक्टर दिया गया है। समानांतर स्थानांतरणएक सदिश पर अंतरिक्ष को एक परिवर्तन कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बिंदु M को एक बिंदु M´ पर मैप किया जाता है जैसे कि ।

प्रमेय 3.2.समानांतर स्थानांतरण - आंदोलन।

प्रमाण।चलो , वेक्टर के समानांतर स्थानांतरण के तहत अंक А, की छवियां हों। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि AB=A´B´, जो समानता से अनुसरण करता है:

संपत्ति हस्तांतरण।समानांतर अनुवाद एक लाइन (प्लेन) को अपने आप में या उसके समानांतर एक लाइन (प्लेन) में ट्रांसलेट करता है।

प्रमाण।प्रमेय 3.2 को सिद्ध करने में, हमने सिद्ध किया कि सदिश समानांतर अनुवाद के तहत संरक्षित हैं। इसका मतलब है कि रेखाओं के दिशा वैक्टर और विमानों के सामान्य वैक्टर संरक्षित हैं। यहीं पर हमारा दावा चलता है।

केंद्रीय समरूपता।

परिभाषा। समरूपताबिंदु O के संबंध में ( केंद्रीय समरूपता) अंतरिक्ष का एक स्थान परिवर्तन है जो एक बिंदु O को स्वयं पर मैप करता है, और किसी अन्य बिंदु M को एक बिंदु M´ पर इस तरह से मैप करता है कि बिंदु O खंड MM´ का मध्य बिंदु है। बिंदु O कहा जाता है समरूपता का केंद्र.

प्रमेय 3.4.केंद्रीय समरूपता - आंदोलन।

प्रमाण।

मान लीजिए A, B दो मनमाना बिंदु हैं, A´, B´ उनके प्रतिबिम्ब, सममिति का केंद्र। फिर ।

केंद्रीय समरूपता की संपत्ति।केंद्रीय समरूपता एक रेखा (तल) को अपने आप में या उसके समानांतर एक रेखा (तल) में ले जाती है।

प्रमाण।प्रमेय 3.4 को सिद्ध करते हुए, हमने सिद्ध किया कि सदिश समानांतर अनुवाद के तहत उलटे होते हैं। इसका मतलब यह है कि केंद्रीय समरूपता के साथ लाइनों के निर्देशन वैक्टर और विमानों के सामान्य वैक्टर केवल दिशा बदलते हैं। यहीं पर हमारा दावा चलता है।

मोशन असाइनमेंट पर प्रमेय।

प्रमेय 5.1. (गति विनिर्देश के बारे में प्रमेय)दो टेट्राहेड्रा ABCD और A´B´C´D´ को क्रमशः समान किनारों के साथ दिया गया है, तो अंतरिक्ष की एक और केवल एक गति है जो क्रमशः A, B, C, D को बिंदुओं A´, B´, C´ पर मैप करती है। डी .

प्रमाण।

मैं। अस्तित्व।यदि A, A´ के साथ मेल खाता है, B, B´ के साथ मेल खाता है, C, C´ के साथ मेल खाता है, D, D´ के साथ मेल खाता है, तो बस पहचान परिवर्तन दिया जाता है। यदि नहीं, तो हम निश्चित रूप से मान लेते हैं कि A, A के साथ मेल नहीं खाता है। बिंदु A और A´ की सममिति के समतल α पर विचार करें। समरूपता S α को चतुष्फलक ABCD को चतुष्फलक A´B 1 C 1 D 1 में ले जाने दें।

अब, यदि 1 के साथ, С 1 - के साथ, D 1 - D´ के साथ मेल खाता है, तो सबूत पूरा हो गया है। यदि नहीं, तो हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि अंक В´ और В 1 मेल नहीं खाते थे। बिंदु B1 और B´ की सममिति के समतल β पर विचार करें। बिंदु A´ बिंदु B1 और B´ से समान दूरी पर है, इसलिए यह समतल β पर स्थित है। समरूपता S β को चतुष्फलक A´B 1 C 1 D 1 को चतुष्फलक A´B´C 2 D 2 में लेने दें।

अब, यदि 2 के साथ संपाती है, और D 2, D´ के साथ संपाती है, तो उपपत्ति पूर्ण है। यदि नहीं, तो हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि अंक और С 2 मेल नहीं खाते थे। बिंदु 2 और की सममिति के तल γ पर विचार करें। बिंदु , बिंदु 2 और С´ से समान दूरी पर हैं, इसलिए वे समतल में स्थित हैं। समरूपता S को चतुष्फलक A´B´C 2 D 2 को चतुष्फलक A´B´C´D 3 में लेने दें।

अब, यदि D 3, D´ के साथ संपाती हो, तो उपपत्ति पूर्ण होती है। यदि नहीं, तो बिंदु D3 और D´ की सममिति के समतल पर विचार करें। बिंदु , , बिंदु D 3 और D´ से समान दूरी पर हैं, इसलिए वे समतल में स्थित हैं। इसलिए, समरूपता S चतुष्फलक A´B´C´D 3 को चतुष्फलक A´B´C´D´ में ले जाती है।

इस प्रकार, कम दर्पण समरूपता की आवश्यक संख्या की संरचना टेट्राहेड्रोन ABCD को टेट्राहेड्रोन A´B´C´D´ में बदल देती है। और यह परिवर्तन एक आंदोलन है (आंदोलनों की संपत्ति 2)।

द्वितीय. विशिष्टता।मान लीजिए कि दो गतियाँ f और g हैं जो A को A´, B से B´, C से C´, D से D´ तक ले जाती हैं। तब गति एक समान परिवर्तन है, क्योंकि अंक ए, बी, सी, डी निश्चित छोड़ देता है। तो एफ = जी।

प्रमेय 5.1 (अस्तित्व) के प्रमाण में, वास्तव में,

प्रमेय 5.2.अंतरिक्ष का कोई भी आंदोलन चार से अधिक दर्पण समरूपता की संरचना नहीं है।

अंतरिक्ष की समरूपता।

आइए पहले हम समानता, समरूपता के एक महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें।

परिभाषा। समरूपताकेंद्र ओ और गुणांक के साथ अंतरिक्ष का एक परिवर्तन है, जिसमें प्रत्येक बिंदु एक्स की छवि एक बिंदु एक्स´ है जैसे कि।

समरूपता के गुण।

संपत्ति के प्रमाण।

1 और 2. समरूपता की परिभाषा का अनुसरण करें।

3. यह तल पर संगत प्रमेय के समान सिद्ध होता है। वास्तव में, यदि हम अंतरिक्ष के एक मनमाना बिंदु X पर विचार करते हैं, तो यह हमारे लिए समतल (AXB) के लिए हमारे प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त होगा।

4. विरोधाभास से सिद्ध।

1. संपत्ति 1 से अनुसरण करता है।

समानता गुण।

प्रमेय 2.1.अंतरिक्ष की समानता को समरूपता और गति की संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है f:

प्रमाण।आइए एक समरूपता को एक मनमाना बिंदु पर केंद्रित करें। एक परिवर्तन f पर विचार करें जैसे कि (इस तरह के परिवर्तन का अस्तित्व परिवर्तन की परिभाषा से होता है)। गति की परिभाषा के अनुसार परिवर्तन f गति होगा।

ध्यान दें कि f आंदोलन को चुनकर, हम इस रूप में भी अपनी समानता का प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकते हैं।

समानता गुण।

संपत्ति के प्रमाण।

1 और 2. प्रमेय 2.1 से उपपत्ति।

3. समानता की परिभाषा से अनुसरण करता है।

4. घन के लिए, प्रमेय स्पष्ट रूप से सत्य है। क्यूब्स से युक्त शरीर के लिए, निश्चित रूप से भी।

एक क्यूबिक जाली पर एक मनमाना पॉलीहेड्रॉन एम लगाया जा सकता है। हम इस जाली को पीस लेंगे। चूंकि हमारी जाली के एक घन का किनारा शून्य हो जाता है, दो पिंडों का आयतन: शरीर I, जिसमें पूरी तरह से M के अंदर स्थित क्यूब्स होते हैं, और शरीर S, जिसमें क्यूब होते हैं, जिनमें M के साथ सामान्य बिंदु होते हैं, मात्रा की ओर रुख करते हैं पॉलीहेड्रॉन एम का (यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि हमारे पॉलीहेड्रॉन एम के प्रत्येक चेहरे के लिए, इस चेहरे को पार करने वाले क्यूब्स की मात्रा शून्य हो जाएगी)। उसी समय, हमारी समानता के साथ पॉलीहेड्रॉन एम की छवि एम के लिए, निकायों की मात्रा I´, S´ (पिंडों I, S की छवियां) पॉलीहेड्रॉन एम´ की मात्रा में होती हैं। निकायों I और S के लिए, हमारा प्रमेय सत्य है, जिसका अर्थ है कि यह बहुफलक M के लिए भी सत्य है।

एक मनमाना शरीर का आयतन संबंधित पॉलीहेड्रा के आयतन के संदर्भ में निर्धारित किया जाता है, इसलिए प्रमेय एक मनमाना शरीर के लिए भी सही है।

प्रमेय 2.2. (अंतरिक्ष की समानता निर्धारित करने पर)यदि दो चतुष्फलक ABCD और A´B´C´D´ इस प्रकार दिए गए हैं कि , तो अंतरिक्ष की ठीक एक समानता है जिसके लिए A→A´, B→B´, С→С´, D→D´।

प्रमाण।ऐसी समानता मौजूद है जो प्रमेय 2.1 और अंतरिक्ष की गति को निर्दिष्ट करने पर प्रमेय (भाग I, प्रमेय 5.1) से निम्नानुसार है। मान लीजिए कि ऐसे दो परिवर्तन हैं: P और । फिर परिवर्तन एक गति है जिसमें निश्चित बिंदु ए, बी, सी, डी, यानी। f पहचान परिवर्तन है। इसलिए पी = पी´।

कार्य 1।

बिंदु M, N, P त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC, AC पर स्थित हैं। बिंदु M´, N´, P´ AB, BC, AC की भुजाओं के संबंध में बिंदुओं M, N, P के सममित हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज MNP और M´N´P´ के क्षेत्रफल बराबर हैं।

फेसला।

एक नियमित त्रिभुज के लिए, अभिकथन स्पष्ट है।

उसी तरह, किसी भी समलम्बाकार को एक समद्विबाहु में परिवर्तित किया जा सकता है, एक एफ़िन परिवर्तन द्वारा, अर्थात। यह समद्विबाहु समलम्बाकार के लिए किसी भी अभिकथन को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

कार्य 2.

AD और BC के आधार वाले एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, बिंदु B से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो भुजा CD के समानांतर है और बिंदु P पर विकर्ण AC को प्रतिच्छेद करती है, और बिंदु C से होकर, भुजा AB के समानांतर एक रेखा और बिंदु Q पर विकर्ण BD को प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि वह रेखा PQ, समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समांतर है।

फेसला।

एक समद्विबाहु समलम्ब के लिए, अभिकथन स्पष्ट है।

एक सीधी रेखा में संपीड़न।

परिभाषा। एक सीधी रेखा में संपीड़नगुणांक k () के साथ एक परिवर्तन है जो एक मनमाना बिंदु M को एक बिंदु M´ तक ले जाता है जैसे कि और , जहां ।

प्रमेय 2.1.एक सीधी रेखा में संकुचन एक सम्बद्ध परिवर्तन है।

प्रमाण।सीधी जाँच से, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि सीधी रेखा एक सीधी रेखा में जाए। आप यह भी देख सकते हैं कि एक सीधी रेखा में सिकुड़ना समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला है (जब प्रक्षेपण दिशा विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के लंबवत होती है)।

प्रमेय 2.2.किसी भी एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के लिए, एक वर्गाकार जाली होती है, जो इस ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत एक आयताकार जाली में बदल जाती है।

प्रमाण।आइए एक मनमाना वर्ग जाली लें और इसके एक वर्ग OABS पर विचार करें। हमारे परिवर्तन के साथ, यह एक समांतर चतुर्भुज О´А´В´С´ में बदल जाएगा। यदि O´A´B´C´ एक आयत है, तो हमारा प्रमाण पूरा हो गया है। अन्यथा, हम निश्चित रूप से मान लेते हैं कि कोण А´О´В´ न्यून है। हम वर्ग OABS और हमारी पूरी जाली को बिंदु O के चारों ओर घुमाएंगे। जब वर्ग OABS चालू होता है (इसलिए बिंदु A, बिंदु B पर चला जाता है), बिंदु A´ बिंदु B´ पर जाएगा, और B´ इसके शीर्ष पर जाएगा। O´A´ W´S´ के निकट समांतर चतुर्भुज। वे। कोण A´O´B´ अधिक हो जाता है। निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार, किसी समय वह सीधे थे। इस समय, वर्ग OABS एक आयत में बदल गया, और हमारी जाली एक आयताकार जाली, आदि में बदल गई।

प्रमेय 2.3.एक सीधी रेखा और समानता के संकुचन की संरचना द्वारा एक एफ़िन परिवर्तन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

प्रमाण।प्रमेय 2.2 से अनुसरण करता है।

प्रमेय 2.4.एक निश्चित वृत्त को एक वृत्त में बदलने वाला एफ़िन परिवर्तन एक समानता है।

प्रमाण।हम अपने वृत्त के पास एक वर्ग का वर्णन करते हैं और इसे घुमाते हैं ताकि यह हमारे परिवर्तन के दौरान एक आयत में बदल जाए (प्रमेय 2.2।)। हमारा वृत्त इस आयत में खुदे हुए वृत्त में जाएगा, इसलिए यह आयत एक वर्ग है। अब हम वर्ग ग्रिड निर्दिष्ट कर सकते हैं कि हमारा परिवर्तन एक वर्ग ग्रिड में बदल जाएगा। जाहिर है, हमारा परिवर्तन एक समानता है।

3. अंतरिक्ष के परिशोधन परिवर्तन।

परिभाषा। affineएक अंतरिक्ष परिवर्तन एक अंतरिक्ष परिवर्तन है जो प्रत्येक विमान को एक विमान में बदल देता है।

गुण।

1. एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत, सीधी रेखाएँ सीधी रेखाएँ बन जाती हैं।
2. अंतरिक्ष का एक affine परिवर्तन अपनी छवि पर प्रत्येक विमान के एक affine मानचित्रण को प्रेरित करता है।
3. एक एफ़िन परिवर्तन के तहत, समानांतर विमान (सीधी रेखाएं) समानांतर विमानों (सीधी रेखाएं) में गुजरती हैं।

संपत्ति के प्रमाण।

1. यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि एक सीधी रेखा दो विमानों का प्रतिच्छेदन है, और एक एफ़िन परिवर्तन की परिभाषा से।
2. यह एक affine परिवर्तन और संपत्ति 1 की परिभाषा से आता है।
3. विमानों के लिए यह विरोधाभास से सिद्ध होता है, सीधी रेखाओं के लिए - संपत्ति 2 के माध्यम से और विमान के एफ़िन परिवर्तन की संपत्ति।

प्रमेय 3.1। (एफ़िन स्पेस ट्रांसफ़ॉर्मेशन निर्दिष्ट करने पर)किसी भी दिए गए टेट्राहेड्रा ABCD और A´B´C´D´ के लिए एक अद्वितीय एफ़िन परिवर्तन है जो A से A´, B से B´, C से C´, D से D´ तक ले जाता है।

प्रमाण।प्रमाण प्रमेय 1.1 के समान है। (समानांतर चतुर्भुज की जाली का निर्माण किया जाता है)।

यह प्रमेय 3.1 के प्रमाण से निम्नानुसार है कि यदि हमारे पास कुछ तिरछी समन्वय प्रणाली W है, और W´ एक एफ़िन परिवर्तन के तहत इसकी छवि है, तो W समन्वय प्रणाली में अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक इसके निर्देशांक के बराबर हैं W´ समन्वय प्रणाली में छवि।

इससे तुरंत कुछ और अनुसरण करता है गुणएफ़िन परिवर्तन।

1. एक affine परिवर्तन affine है।
2. एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन समानांतर सेगमेंट की लंबाई के अनुपात को बनाए रखता है।

अब निर्देशांक प्रणाली (O, , , ) को अंतरिक्ष में दें और affine परिवर्तन f क्रमशः O से O´ और आधार वैक्टर को सदिशों में ले जाता है। आइए हम परिवर्तन f के तहत बिंदु M(x,y,z) के छवि M´(x´,y´,z´) के निर्देशांक x´, y´, z´ खोजें।

हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि निर्देशांक प्रणाली (О, , , ) में बिंदु M के निर्देशांक प्रणाली (О´, , , ) में बिंदु के समान निर्देशांक हैं। यहां से

इसलिए, हमारे पास समानताएं हैं (*):

यह भी ध्यान देने योग्य है कि , क्योंकि वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

इस निर्धारक को कहा जाता है affine परिवर्तन निर्धारक.

प्रमेय 3.2.समानता (*) द्वारा दिया गया परिवर्तन affine है।

प्रमाण।यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि परिवर्तन (*) के विपरीत परिवर्तन affine (संपत्ति 4) है। एक मनमाना विमान लें Аx´+Вy´+Сz´+D=0, जहां А, В, एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। प्रतिस्थापन (*) करते हुए, हम इसकी पूर्व-छवि का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह केवल जांचना बाकी है कि परिणामी समीकरण में x, y, z पर गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं। यह सच है, क्योंकि अन्यथा सिस्टम

एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ केवल एक शून्य समाधान होगा: ए = बी = सी = 0, जो सत्य नहीं है।

प्रमेय 3.3।एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के अनुरूप निकायों के वॉल्यूम V और V´ के लिए, एक निर्भरता है।

प्रमाण।मान लीजिए गैर समतलीय सदिश , , अंतरिक्ष का सदिश आधार बनाते हैं, और सदिशों को देते हैं , और . इन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद की गणना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि किनारों पर वैक्टर पर निर्मित एक उन्मुख समानांतर चतुर्भुज की मात्रा इन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद के बराबर है:

,

जहाँ V 0 आधार सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन है।

एक affine परिवर्तन संबंधित आधारों में संबंधित वैक्टर के निर्देशांक नहीं बदलता है। इसलिए, आयतन V के समांतर चतुर्भुज की छवि के आयतन V´ के लिए, हमारे पास है:

,

किनारों के रूप में वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज का आयतन कहाँ है।

यहाँ से हमें मिलता है: . आगे , इसलिए अनियंत्रित मात्रा के लिए हमारे पास है . यह समानता सभी निकायों के लिए समान रूप से संपत्ति 4 के समानता के प्रमाण के लिए विस्तारित की जा सकती है (भाग II, 2)।

काम।

समानांतर चतुर्भुज का शीर्ष तीन चेहरों के केंद्रों से जुड़ा होता है जिनमें यह शामिल नहीं होता है। परिणामी चतुष्फलक के आयतन का दिए गए समांतर चतुर्भुज के आयतन से अनुपात ज्ञात कीजिए।

फेसला।

आइए एक क्यूब के लिए इस अनुपात की गणना करें और क्यूब को एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन द्वारा समानांतर में परिवर्तित करके, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन वॉल्यूम के अनुपात को संरक्षित करता है। एक घन के लिए, अनुपात की गणना करना आसान है। यह 1:12 के बराबर है।

जवाब: 1:12.

अंतरिक्ष का संबंध।

परिभाषा।निश्चित बिंदुओं के समतल वाले अंतरिक्ष के एक परिमित परिवर्तन को कहा जाता है संबंधित परिवर्तन (समानता), और इसके निश्चित बिंदुओं के तल को कहा जाता है रिश्तेदारी विमान. संबंधित तत्व कहलाते हैं संबंधित.

परिभाषा।संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं की दिशा कहलाती है रिश्तेदारी की दिशा.

रिश्तेदारी गुण।

1. संबंधित रेखाएँ (तल) रिश्तेदारी के तल पर प्रतिच्छेद करती हैं या इसके समानांतर होती हैं।
2. (रिश्तेदारी की दिशा निर्धारित करने की शुद्धता)रेखाएं, जिनमें से प्रत्येक दो संबंधित बिंदुओं को जोड़ती है, समानांतर हैं।
3. यदि संबंध की दिशा इस संबंध के तल के समानांतर नहीं है, तो दो संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले प्रत्येक खंड को समान अनुपात में संबंध के तल से विभाजित किया जाता है।
4. रिश्तेदारी की दिशा के समानांतर कोई भी विमान इस रिश्तेदारी में गतिहीन होता है। इसमें, विमान का संबंध प्रेरित होता है (एक एफ़िन परिवर्तन जिसमें निश्चित बिंदुओं की एक रेखा होती है, जिसे संबंध की धुरी कहा जाता है), जिसकी धुरी दिए गए अंतरिक्ष संबंध के विमान के साथ इसके प्रतिच्छेदन की रेखा है।

संपत्ति के प्रमाण।

1. सबूत दर्पण समरूपता संपत्ति के सबूत के समान है (भाग I, §3.5)।

2. मान लीजिए A, B दो अलग-अलग बिंदु हैं; A´, B´ संबंध में उनके प्रतिबिम्ब हैं, α संबंध का तल है। रहने दो । तब (एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन का एक गुण), यानी। एए´||बीबी´, आदि।

3 और 4. संपत्ति के प्रमाण से अनुसरण करें 2.

परिभाषा।समीकरण द्वारा दर्शाया गया सतह , कहा जाता है दीर्घवृत्ताभ. दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला एक गोला है।

निम्नलिखित तथ्य होता है, जिसे हम सिद्ध नहीं करेंगे, हालाँकि, निम्नलिखित प्रमेयों के प्रमाण में, हमें इसकी आवश्यकता होगी:

प्रमेय 4.1.एक affine परिवर्तन एक दीर्घवृत्त को एक दीर्घवृत्त में बदल देता है।

प्रमेय 4.2.अंतरिक्ष के एक मनमाना संबंध परिवर्तन को समानता और संबंध की संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है।

प्रमाण।दीर्घवृत्त पर गोले का मानचित्रण करने के लिए एक परिबद्ध परिवर्तन f को मान लें। प्रमेय 3.1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि इन आंकड़ों से f दिया जा सकता है। एक विमान α´ पर विचार करें जिसमें दीर्घवृत्त का केंद्र होता है और इसे किसी वृत्त ω´ के साथ प्रतिच्छेद करता है (इस तरह के विमान के अस्तित्व को निरंतरता के विचारों से आसानी से साबित किया जा सकता है)। मान लीजिए α, α´ की पूर्व-छवि हो, ω´ की पूर्व-छवि हो, और β सर्कल ω´ के व्यास चक्र के रूप में होने वाला क्षेत्र हो। एक संबंध मैपिंग β से है और एक समानता पी मैपिंग से β है। फिर आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

प्रमेय 4.3 पिछले प्रमेय के प्रमाण से तुरंत अनुसरण करता है:

प्रमेय 4.3।एक एफ़िन परिवर्तन जो क्षेत्र को संरक्षित करता है वह एक समानता है।

भाग IV। प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्मेशन।

1. विमान के प्रक्षेपी परिवर्तन।

परिभाषा। प्रोजेक्टिव प्लेन– एक साधारण (यूक्लिडियन) तल, अनंत पर बिंदुओं द्वारा पूर्ण और अनंत पर एक सीधी रेखा, जिसे भी कहा जाता है अनुचित तत्व. इस मामले में, प्रत्येक सीधी रेखा एक अनुचित बिंदु, संपूर्ण तल - एक अनुचित सीधी रेखा द्वारा पूरित होती है; समानांतर रेखाएं एक सामान्य अनुचित बिंदु से पूरित होती हैं, गैर-समानांतर - अलग-अलग द्वारा; विमान की सभी संभावित रेखाओं के पूरक अनुचित बिंदु अनुचित रेखा से संबंधित हैं।

परिभाषा।एक प्रक्षेपी समतल परिवर्तन जो किसी भी रेखा को एक रेखा तक ले जाता है, कहलाता है प्रक्षेपीय.

परिणाम।एक प्रक्षेपी परिवर्तन जो रेखा को अनंत पर सुरक्षित रखता है वह सम्बद्ध है; अनंत पर रेखा को संरक्षित करते हुए, कोई भी affine परिवर्तन प्रक्षेप्य है।

परिभाषा। केंद्रीय डिजाइनविमान α एक बिंदु O पर केंद्रित होता है जो इन विमानों पर नहीं होता है, एक मानचित्रण कहलाता है जो विमान α के किसी भी बिंदु A को रेखा OA के प्रतिच्छेदन के बिंदु A´ के साथ समतल β के साथ जोड़ता है।

इसके अलावा, यदि विमान α और β समानांतर नहीं हैं, तो विमान α में एक रेखा होती है जैसे कि बिंदु ओ से गुजरने वाला विमान और रेखा ℓ विमान β के समानांतर होता है। हम मानेंगे कि हमारे प्रक्षेपण के दौरान विमान के अनंत पर रेखा पर जाता है β (इस मामले में, रेखा का प्रत्येक बिंदु बी अनंत पर रेखा के उस बिंदु पर जाता है, जो ओबी के समानांतर सीधी रेखाओं को पूरक करता है)। समतल β में एक रेखा इस प्रकार है कि बिंदु O और रेखा ℓ´ से गुजरने वाला तल समतल α के समानांतर है। हम अनंत पर सीधी रेखा α की छवि ℓ´ पर विचार करेंगे। रेखाएँ और कहलाती हैं समर्पित.

हम कह सकते हैं कि प्रक्षेप्य तल का एक सरल परिवर्तन दिया गया है (यदि हम विमानों α और β को जोड़ते हैं)।

यह परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है केंद्रीय प्रक्षेपण गुण:

1. केंद्रीय डिजाइन एक प्रक्षेपी परिवर्तन है।
2. केंद्रीय डिजाइन के विपरीत परिवर्तन एक ही केंद्र के साथ केंद्रीय डिजाइन है।
3. चयनित रेखाओं के समानांतर रेखाएँ समानांतर हो जाती हैं।

परिभाषा।मान लीजिए बिंदु A, B, C, D एक ही रेखा पर स्थित हैं। दोहरा रवैया(AB; CD) इन बिंदुओं का मान कहलाता है। यदि बिंदुओं में से एक अनंत पर है, तो खंडों की लंबाई, जिसका अंत यह बिंदु है, को छोटा किया जा सकता है।

प्रमेय 1.1.केंद्रीय प्रक्षेपण दोहरे संबंध को बरकरार रखता है।

प्रमाण।मान लीजिए प्रक्षेपण केंद्र है, , , С, D - एक सीधी रेखा पर स्थित चार बिंदु, A´, B´, C´, D´ - उनके प्रतिबिम्ब।

उसी प्रकार .

एक समीकरण को दूसरे से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं .

इसी प्रकार, बिंदु C के स्थान पर, बिंदु D पर विचार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं .

यहां से , अर्थात। .

सबूत को पूरा करने के लिए, यह ध्यान रखना बाकी है कि सभी खंडों, क्षेत्रों और कोणों को उन्मुख माना जा सकता है।

प्रमेय 1.2.मान लीजिए कि समतल के चार बिंदु A, B, C, D एक रेखा पर नहीं हैं और समतल के चार बिंदु M, N, P, Q एक रेखा पर नहीं हैं। फिर केंद्रीय (समानांतर) प्रक्षेपण और समानता की एक रचना है जो ए से एम, बी से एन, सी से पी, डी से क्यू को मैप करती है।

प्रमाण।

सुविधा के लिए, हम कहेंगे कि ABCD और MNPQ चतुर्भुज हैं, हालाँकि वास्तव में यह आवश्यक नहीं है (उदाहरण के लिए, खंड AB और CD प्रतिच्छेद कर सकते हैं)। प्रमाण से यह देखा जाएगा कि हम कहीं भी इसका उपयोग नहीं करते हैं कि बिंदु ए, बी, सी, डी और एम, एन, पी, क्यू इस क्रम में चतुर्भुज बनाते हैं।

.

आइए अब बिंदु A, B, C, D से होकर X 1 X 2 (K, L DC पर स्थित है; G, F AB पर स्थित है) और बिंदुओं N, M से होकर जाने वाली रेखाएँ AK, BL, CF, DG खींचें। रेखाएँ NT , MS Y 1 Y 2 के समानांतर (T, S PQ पर स्थित हैं)। केंद्रीय (समानांतर) प्रक्षेपण f का उपयोग करते हुए, हम समलम्बाकार ABLK को समतल के समलम्बाकार A´B´L´K´ में बदलते हैं, जो समलम्बाकार MNTS के समान है (यह हमारे प्रमाण के भाग I के अनुसार संभव है) . इसके अलावा, अंक X 1, X 2 के चुनाव से यह पता चलता है कि रेखा X 1 X 2 समतल की एक विशिष्ट रेखा है। आइए हम रेखा L´K´ पर बिंदु С´, D´ इस तरह से चिह्नित करें कि समलम्बाकार ABCD समलम्बाकार A´B´C´D´ के समान हो। रेखा B´L´ (F´, G´ पर स्थित है) के समानांतर रेखाएं C´F´, D´G´ खींचें और रेखा A´B´ पर एक बिंदु Y 1 इस प्रकार चिह्नित करें कि , . रेखा C´D´ पर एक बिंदु Y 2 इस प्रकार चिह्नित करें कि Y 1 Y 2 ´||A´K´ (आकृति देखें)। बिंदु Y 1 और Y 2 की पसंद से यह इस प्रकार है कि रेखा Y 1 ´Y 2 विमान की एक विशिष्ट रेखा है। परिवर्तन f के तहत, बिंदु E, A´B´ और L´K´ के प्रतिच्छेदन के बिंदु E´ पर जाता है। बिंदु सीधी रेखा D´ के किसी बिंदु С 0 पर जाता है।

आइए हम सिद्ध करें कि 0 के साथ मेल खाता है। इस तथ्य से कि परिवर्तन के तहत X 2, लाइन C´D´ के अनंत बिंदु पर जाता है, और Y 2 लाइन सीडी के अनंत पर बिंदु की छवि है और केंद्रीय प्रक्षेपण दोहरे संबंधों को संरक्षित करता है, यह निम्नानुसार है वह , कहाँ पे . अब परिवर्तन जी पर विचार करें, केंद्रीय प्रक्षेपण और समानता की संरचना, जो समलम्बाकार सीडीजीएफ को समलम्बाकार C´D´G´F´ तक ले जाती है। परिवर्तन जी के लिए, कोई इसी तरह दिखा सकता है कि . यहां से यह पता चलेगा कि अंक 0 और मेल खाते हैं। इसी तरह, कोई यह दिखा सकता है कि डी 0 - परिवर्तन एफ के तहत बिंदु डी की छवि - डी के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, परिवर्तन f चतुर्भुज ABCD को चतुर्भुज MNPQ के समान चतुर्भुज A´B´C´D´ में आवश्यकतानुसार बदल देता है।

प्रमेय 1.3।मान लीजिए कि चार बिंदु दिए गए हैं, जिनमें से कोई भी तीन एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं: A, B, C, D और A´, B´, C´, D´। फिर A से A´, B से B´, C से C´, D से D´ तक ले जाने वाला एक अद्वितीय प्रक्षेपी परिवर्तन होता है।

अस्तित्वऐसा परिवर्तन प्रमेय 1.1 से अनुसरण करता है।

विशिष्टताउसी तरह से सिद्ध किया जा सकता है जैसे कि एक एफ़िन परिवर्तन की विशिष्टता (प्रमेय 1.1, भाग III): एक वर्ग जाली पर विचार करें, इसकी छवि बनाएं, और फिर इसे परिष्कृत करें। हमारे सामने आने वाली मुश्किलों को दूर करें

द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय।

कुछ मामलों में, एक प्रणाली (विशेष रूप से एक कठोर शरीर) की गति की प्रकृति को निर्धारित करने के लिए, इसके द्रव्यमान केंद्र की गति के नियम को जानना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी लक्ष्य पर पत्थर फेंकते हैं, तो आपको यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि यह उड़ान के दौरान कैसे गिरेगा, यह स्थापित करना महत्वपूर्ण है कि यह लक्ष्य पर लगेगा या नहीं। ऐसा करने के लिए, इस शरीर के किसी बिंदु की गति पर विचार करना पर्याप्त है।

इस नियम को खोजने के लिए, हम निकाय की गति के समीकरणों की ओर मुड़ते हैं और उनके बाएँ और दाएँ भागों को पद दर पद जोड़ते हैं। तब हमें मिलता है:

आइए समानता के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें। द्रव्यमान केंद्र के त्रिज्या वेक्टर के सूत्र से, हमारे पास है:

इस समानता के दोनों हिस्सों से दूसरी बार व्युत्पन्न लेते हुए और यह देखते हुए कि योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर है, हम पाते हैं:

जहाँ निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है। चूंकि, सिस्टम के आंतरिक बलों की संपत्ति के अनुसार , फिर, सभी पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय को समीकरण और व्यक्त करता है: निकाय के द्रव्यमान का गुणनफल और उसके द्रव्यमान केंद्र का त्वरण निकाय पर कार्यरत सभी बाह्य बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।एक भौतिक बिंदु की गति के समीकरण की तुलना में, हम प्रमेय की एक और अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है, जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिस पर सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बल लागू होते हैं।

समन्वय अक्षों पर समानता के दोनों पक्षों को प्रक्षेपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

ये समीकरण हैं द्रव्यमान के केंद्र की गति के अंतर समीकरणकार्टेशियन समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों पर अनुमानों में।

सिद्ध प्रमेय का अर्थ इस प्रकार है।

1) प्रमेय बिंदु गतिकी के तरीकों के लिए एक औचित्य प्रदान करता है। समीकरणों से यह देखा जा सकता है कि दिए गए पिंड को भौतिक बिंदु मानकर हमें जो समाधान मिलते हैं, वे इस पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गति के नियम को निर्धारित करते हैं,वे। बहुत विशिष्ट अर्थ रखते हैं।

विशेष रूप से, यदि शरीर आगे बढ़ता है, तो इसकी गति पूरी तरह से द्रव्यमान के केंद्र की गति से निर्धारित होती है। इस प्रकार, एक उत्तरोत्तर गतिमान पिंड को हमेशा पिंड के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान वाला एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है। अन्य मामलों में, शरीर को केवल भौतिक बिंदु के रूप में माना जा सकता है, जब व्यवहार में, शरीर की स्थिति निर्धारित करने के लिए, इसके द्रव्यमान केंद्र की स्थिति जानने के लिए पर्याप्त है।

2) प्रमेय किसी भी प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति के नियम का निर्धारण करते समय, सभी पूर्व अज्ञात आंतरिक बलों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है। यह इसका व्यावहारिक मूल्य है।

तो एक क्षैतिज विमान पर एक कार की गति केवल बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत हो सकती है, सड़क के किनारे से पहियों पर काम करने वाले घर्षण बल। और कार का ब्रेक लगाना भी केवल इन्हीं बलों द्वारा संभव है, न कि ब्रेक पैड और ब्रेक ड्रम के बीच घर्षण से। यदि सड़क चिकनी है, तो पहिए चाहे जितने भी ब्रेक लें, वे स्लाइड करेंगे और कार को नहीं रोकेंगे।

या एक उड़ने वाले प्रक्षेप्य (आंतरिक बलों के प्रभाव में) के विस्फोट के बाद, इसके टुकड़े बिखर जाएंगे ताकि उनका द्रव्यमान केंद्र उसी प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़े।

एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय का उपयोग यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाना चाहिए जिनकी आवश्यकता होती है:

एक यांत्रिक प्रणाली (अक्सर एक ठोस शरीर के लिए) पर लागू बलों के अनुसार, द्रव्यमान के केंद्र की गति का नियम निर्धारित करें;

यांत्रिक प्रणाली में शामिल निकायों की गति के दिए गए नियम के अनुसार, बाहरी बाधाओं की प्रतिक्रियाएं पाएं;

यांत्रिक प्रणाली में शामिल निकायों की दी गई पारस्परिक गति के आधार पर, संदर्भ के कुछ निश्चित फ्रेम के सापेक्ष इन निकायों की गति के नियम का निर्धारण करें।

इस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक यांत्रिक प्रणाली की गति के समीकरणों में से कई डिग्री स्वतंत्रता के साथ संकलित किया जा सकता है।

समस्याओं को हल करते समय, एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय के परिणाम अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

कोरोलरी 1. यदि यांत्रिक प्रणाली पर लागू बाहरी बलों का मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर है, तो सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र आराम पर है या समान रूप से और सीधा चलता है। चूँकि द्रव्यमान केन्द्र का त्वरण शून्य होता है।

उपफल 2. यदि किसी अक्ष पर बाह्य बलों के मुख्य सदिश का प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र या तो इस अक्ष के सापेक्ष अपनी स्थिति नहीं बदलता है, या इसके सापेक्ष समान रूप से चलता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो बल शरीर पर कार्य करना शुरू करते हैं, तो एक जोड़ी बल (चित्र 38) बनाते हैं, तो द्रव्यमान का केंद्र साथ मेंयह उसी पथ पर आगे बढ़ेगा। और पिंड स्वयं द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमेगा। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कुछ बल कहाँ लागू होते हैं।

वैसे, स्टैटिक्स में हमने यह साबित कर दिया है कि शरीर पर एक जोड़ी का प्रभाव इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि इसे कहाँ लगाया गया है। यहां हमने दिखाया है कि पिंड का घूर्णन केंद्रीय अक्ष के चारों ओर होगा साथ में.

चित्र.38

गतिज क्षण के परिवर्तन पर प्रमेय।

एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष यांत्रिक प्रणाली का गतिज क्षण हेइस केंद्र के चारों ओर प्रणाली की गति का एक उपाय है। समस्याओं को हल करते समय, यह आमतौर पर स्वयं वेक्टर नहीं होता है, बल्कि एक निश्चित समन्वय प्रणाली के अक्षों पर इसके प्रक्षेपण होते हैं, जिन्हें अक्ष के बारे में गतिज क्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, - निश्चित अक्ष के सापेक्ष निकाय का गतिज आघूर्ण आउंस .

एक यांत्रिक प्रणाली का गतिज क्षण इस प्रणाली में शामिल बिंदुओं और निकायों के गतिज क्षणों का योग है। एक भौतिक बिंदु और एक कठोर शरीर के कोणीय गति को उनकी गति के विभिन्न मामलों में निर्धारित करने के तरीकों पर विचार करें।

एक वेग वाले द्रव्यमान वाले भौतिक बिंदु के लिए, कुछ अक्ष के बारे में कोणीय गति आउंसचयनित अक्ष के बारे में इस बिंदु के संवेग वेक्टर के क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है:

किसी बिंदु का कोणीय संवेग धनात्मक माना जाता है यदि, अक्ष की धनात्मक दिशा की ओर से, बिंदु की गति वामावर्त होती है।

यदि कोई बिंदु एक जटिल गति करता है, तो उसके कोणीय गति को निर्धारित करने के लिए, गति वेक्टर को सापेक्ष और पोर्टेबल आंदोलनों की मात्रा के योग के रूप में माना जाना चाहिए (चित्र। 41)

परंतु , बिंदु से घूर्णन के अक्ष तक की दूरी कहाँ है, तथा

चावल। 41

कोणीय गति वेक्टर के दूसरे घटक को उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है जैसे अक्ष के बारे में बल का क्षण। बल के क्षण के लिए, मान शून्य है यदि सापेक्ष वेग वेक्टर उसी विमान में स्थित है जिसमें ट्रांसलेशनल रोटेशन अक्ष है।

एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष एक कठोर शरीर के गतिज क्षण को दो घटकों के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: उनमें से पहला अपने द्रव्यमान के केंद्र के साथ-साथ शरीर की गति के अनुवादिक भाग की विशेषता है, दूसरा आंदोलन की विशेषता है। द्रव्यमान के केंद्र के आसपास प्रणाली:

यदि पिंड स्थानांतरीय गति करता है, तो दूसरा घटक शून्य के बराबर होता है

एक कठोर शरीर के गतिज क्षण की गणना सबसे सरल रूप से तब की जाती है जब वह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है

रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण कहां है।

एक यांत्रिक प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय जब यह एक निश्चित केंद्र के चारों ओर घूमता है, निम्नानुसार तैयार किया जाता है: किसी निश्चित केंद्र के संबंध में यांत्रिक प्रणाली के कोणीय गति वेक्टर का कुल समय व्युत्पन्न हेपरिमाण और दिशा में एक ही केंद्र के सापेक्ष परिभाषित यांत्रिक प्रणाली पर लागू बाहरी बलों के मुख्य क्षण के बराबर है

कहाँ पे - केंद्र के बारे में सभी बाहरी ताकतों का मुख्य क्षण हे.

समस्याओं को हल करते समय जिसमें निकायों को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए माना जाता है, वे एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करते हैं

द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय के लिए, कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय के परिणाम होते हैं।

कोरोलरी 1. यदि किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष सभी बाहरी बलों का मुख्य क्षण शून्य के बराबर है, तो इस केंद्र के सापेक्ष यांत्रिक प्रणाली का गतिज क्षण अपरिवर्तित रहता है।

उपफल 2. यदि किसी निश्चित अक्ष के परितः सभी बाह्य बलों का मुख्य आघूर्ण शून्य है, तो इस अक्ष के परितः यांत्रिक तंत्र का गतिज आघूर्ण अपरिवर्तित रहता है।

संवेग परिवर्तन प्रमेय का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिनमें एक यांत्रिक प्रणाली की गति पर विचार किया जाता है, जिसमें एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाला एक केंद्रीय निकाय होता है, और एक या एक से अधिक निकाय होते हैं, जिनकी गति केंद्रीय एक से जुड़ी होती है। संचार कर सकते हैं धागों का उपयोग करके किया जा सकता है, निकाय आंतरिक बलों के कारण केंद्रीय निकाय की सतह या उसके चैनलों में जा सकते हैं। इस प्रमेय का उपयोग करके, कोई व्यक्ति शेष निकायों की स्थिति या गति पर केंद्रीय निकाय के घूर्णन के नियम की निर्भरता को निर्धारित कर सकता है।