Противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n"\; =\; -n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули , но противоположные знаки . В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Противоположное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$-r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Показательная	$re^\{i\; \backslash varphi\}$	$-re^\{i\; \backslash varphi\}$

Противоположное к мнимой единице

$\backslash frac\{1\}\{i\}=\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; i\}\{i\; \backslash cdot\; i\}=\backslash frac\{i\}\{i^2\}=\backslash frac\{i\}\{-1\}=-i$

Таким образом, получаем

$-i\; =\; \backslash frac\{1\}\{i\}$__ или__ $-i\; =\; i^\{-1\}$

Аналогично для $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{i\}$ __ или __ $i\; =\; -i^\{-1\}$

Напишите отзыв о статье "Противоположное число"

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Противоположное число

«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.
– Как не бы… – начал Кутузов, но тотчас же замолчал и приказал позвать к себе старшего офицера. Вылезши из коляски, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, ходил он взад и вперед. Когда явился потребованный офицер генерального штаба Эйхен, Кутузов побагровел не оттого, что этот офицер был виною ошибки, но оттого, что он был достойный предмет для выражения гнева. И, трясясь, задыхаясь, старый человек, придя в то состояние бешенства, в которое он в состоянии был приходить, когда валялся по земле от гнева, он напустился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь площадными словами. Другой подвернувшийся, капитан Брозин, ни в чем не виноватый, потерпел ту же участь.
– Это что за каналья еще? Расстрелять мерзавцев! – хрипло кричал он, махая руками и шатаясь. Он испытывал физическое страдание. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что никто никогда не имел в России такой власти, как он, он поставлен в это положение – поднят на смех перед всей армией. «Напрасно так хлопотал молиться об нынешнем дне, напрасно не спал ночь и все обдумывал! – думал он о самом себе. – Когда был мальчишкой офицером, никто бы не смел так надсмеяться надо мной… А теперь!» Он испытывал физическое страдание, как от телесного наказания, и не мог не выражать его гневными и страдальческими криками; но скоро силы его ослабели, и он, оглядываясь, чувствуя, что он много наговорил нехорошего, сел в коляску и молча уехал назад.

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M , то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N . Например, от M до нуля ­– расстояние в 2 , 4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Определение 1

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Пример 1

Допустим, наше число равно a , следовательно, ему противоположно – a (минус a). Точно таким же образом для 0 , 26 противоположно - 0 , 26 , а для 145 это будет - 145 . Если исходное число само является отрицательным, например, - 9 , то противоположное мы записываем как – (- 9) .

Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и - 12 . Противоположные рациональные числа – это 3 2 11 и - 3 2 11 , а также 8 , 128 и − 8 , 128 , 0 , (18901) и − 0 , (18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2 + 1 и - 2 + 1 .

Противоположными иррациональными числами также будут e и - e .

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

Определение 2

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно − (− a) = a . Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем число 5 . С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число - 5 , и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное - 5 как – (- 5) . Получается, что – (- 5) = 5 . Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Определение 3

Если некоторое число a является противоположным числу b , тогда и b является противоположным числу a .

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0 .

В буквенном виде это утверждение выглядит как a + (− a) = 0 .

Пример 2

Приведем примеры таких вычислений:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Тема

Тип урока

• изучение и первичное усвоение нового материала

Цели урока

Познакомиться с определениями положительных и отрицательных, противоположных чисел

Находить противоположные числа при решении упражнений, при решении уравнений

Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

Узнать, что такое противоположные числа

Научиться использовать это понятие при решении задач

Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Введение.

2. Теоретическая часть

3. Практическая часть.

4. Домашнее задание.

5. Интересные факты

Введение

Посмотрите на картинки и охарактеризуйте одним слово в чем отличие на них.

На картинках изображены противоположности.

– это два числа, равные по абсолютной величине, но имеющие разные знаки, напр. 5 и -5.

Теоретическая часть

Для начала давайте вспомним, что такое отрицательные числа . Посмотри видео :

Точки с координатами 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки O в эти точки надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами : 5 противоположно -5, а -5 противоположно 5.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами .

Например, противоположными числами будут 35 и -35, так как число 35 = +35, значит, числа 35 и -35 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут 0,8 и -0,8, ¾ и -¾ .

Свойства противоположных чисел

1). Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

2). Число 0 противоположно самому себе.

3). Число, противоположное числу а, обозначают -а. Если а = -7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то -а = -8,3; если а = 0, то -а = 0.

4). Запись «-(-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(-15) = 15. Вообще -(-а) = а.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами .

Противоположное число n" по отношению к числу n - это число, которое при сложении с n даёт нуль.

n + n" = 0

Это равенство можно переписать следующим образом:

n + n" − n = 0 − n либоn" = − n

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки.

В соответствии с этим число, противоположное числу n, обозначают − n. Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот.

1. Приведите примеры противоположных чисел.

2. Изобразите их на координатной прямой.

3. Назовите число, противоположное -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практическая часть

Пример

1) Отметьте на координатной прямой точки А(2), В(-2), С(+4), D(-3), Е(-5,2), F(5,2), G(-6), H(7). 2) Среди этих точек найдите и укажите симметричные относительно точки О(0). Что можно сказать о координатах симметричных точек?

Точки, симметричные относительно точки О(0): A(2) и B(-2), E(- 5,2) и F(5,2)

Координаты симметричных точек – это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.

Отметьте на координатной прямой точки А(-3), B(+6), С(+4,2), D(+3), Е(-4,2), F(-6) Что можно сказать об эти числах?

Из чисел 15; 2,5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 выберите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) отрицательные числа; г) положительные числа; д) противоположные числа.

1) Запишите число, противоположное числу а.

2) Укажите число, противоположное числу а, если:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

А =6, -а= - 2, -а=3,4.

1) Вспомните, что означает запись: - (- а).

2) Поставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: а) - (- 5) = *; б) 3 = – *.

Домашнее задание

1). Заполнить таблицу:

2). Найди: а) -m,

если m = -8,

если m = -16

если -k = 27

если -k = -35

если с = 41

если с = -3,6

3). Сколько пар противоположных чисел расположено между числами -7,2 и 3,6. Отметьте на координатной прямой.

4). Узнайте фамилию выдающегося ученого Франции:

А знаете ли вы, где в повседневной жизни мы сталкиваемся с положительными и отрицательными числами?

Список использованных источников

1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008 г.
3. Конспект урока на тему "Противоположные числа" Автор: Петрова В. П., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

В этой статье мы изучим противоположные числа . Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по странице.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет .

Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М , отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N . Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N .

Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число , следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N , и называются противоположными.

Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0 . Число нуль принято считать противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел .

Определение.

Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначения противоположных чисел .

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a , записывается как −a . Например, числу 0,24 противоположно число −0,24 , а числу −25 противоположно число −(−25) .

Приведем примеры противоположных чисел . Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17 ) является примером противоположных целых чисел . Числа и - это противоположные рациональные числа . Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126 . а также 0,(1201) и −0,(1201) . Осталось привести несколько примеров противоположных

Противоположные числа определение

Противоположные числа определение:

Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаками.

Примеры противоположных чисел

Примеры противоположных чисел.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Отсюда понятно как находить число, противоположное данному: просто поменяйте знак числа.

Противоположное число числу 3 есть число минус три.

Пример. Числа противоположные данным.

Дано: числа 1; 5; 8; 9.

Найти числа противоположные данным.

Для решения этого задания просто меняем знаки заданный чисел:

Составим таблицу противоположных чисел:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Число противоположное нулю

Число противоположное нулю есть само число ноль.

Итак, противоположное число числу 0 - это 0.

Противоположные целые числа

Противоположные целые числа отличаются только знаками.

Примеры противоположных целых чисел.

10 -10
20 -20
125 -125

Пара противоположных чисел

Когда говорят о притивоположных числах всегда имеют ввиду пару противоположных чисел.

Число противоположно другому числу. И у каждого числа имеется только одно противоположное число.

Числа, противоположные натуральным

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа.

Составим таблицу противоположных чисел для первых пяти натуральных чисел:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Сумма противоположных чисел

Сумма противоположных чисел равна нулю. Ведь противоположные числа отличаются только знаком.