Критерий Дарбина-Уотсона (или статистика DW).

Это наиболее известный критерий обнаружения автокорреляции первого порядка. Статистика Дарбина - Уотсона приводится во всех специальных компьютерных программах как одна из важнейших характеристик качества регрессионной модели.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии

определяются значения отклонений Рассчитывается

статистика

0 положительная автокорреляция;

d t зона неопределенности;

d u - d u - автокорреляция отсутствует;

• 4 - d u
• 4 - d/ отрицательная автокорреляция.

Можно показать, что статистика (2.64) тесно связана с коэффициентом автокорреляции первого порядка:

Связь выражается формулой:

Отсюда вытекает смысл статистического анализа автокорреляции. Поскольку значения г изменяются от -1 до + 1, DW изменяется от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует, коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW равна 2. Статистика DW, равная 0, соответствует положительной автокорреляции, когда выражение в скобках равно нулю (г= +1). При отрицательной автокорреляции (г= - 1), DW= 4 и выражение в скобках равно двум.

Ограничения критерия Дарбина - Уотсона следующие.

• 1. Статистика DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.
• 2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

• 3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).
• 4. Критерий Дарбина - Уотсона неприменим к авторегрессионным моделям вида

Для моделей (2.66) предлагается /г-статистика Дарбина:

где р - оценка р первого порядка (2.65);

D(c) - выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной у, _ ь п - число наблюдений.

При большом п и справедливости нуль-гипотезы Н 0: р = 0 И- статистика имеет стандартное распределение h ~ N{ 0, 1). Поэтому при заданном уровне значимости определяется критическая точка из условия:

и Л-статистика сравнивается с иар.. Если И > иа/ 2 , то нуль-гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется.

Обычно значение р рассчитывается в первом приближении по формуле р&1- DIV /2, a D(c) равна квадрату стандартной ошибки т с оценки коэффициента с. Следует отметить, что вычисление /г-статистики невозможно при nD(c) > 1.

Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели. Поэтому следует попытаться скорректировать саму модель, в частности ввести какой-нибудь неучтенный фактор или изменить форму модели, например, с линейной на полулогарифмическую или гиперболическую. Если все эти способы не помогают и автокорреляция вызвана какими-то внутренними свойствами ряда {е,}, можно воспользоваться преобразованием, которое называется авторегрессионной схемой первого порядка AR{ 1).

Рассмотрим /Щ1) на примере парной регрессии:

Тогда соседним наблюдениям согласно (2.68) соответствуют формулы:

Если случайные отклонения определяются выражением (2.65), где коэффициент р известен, то преобразования формул (2.69) и (2.70) дает:

Сделаем в (2.71) замены переменных: получим с учетом выражения (2.65):

Поскольку случайные отклонения у, удовлетворяют предпосылкам МНК, оценки а и b уравнения (2.73) будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок. По преобразованным значениям всех переменных с помощью обычного МНК вычисляются оценки параметров а и Ь, которые затем можно использовать в регрессии (2.68).

Однако способ вычисления преобразованных переменных (2.72) приводит к потере первого наблюдения, если нет информации о предшествующих наблюдениях. Это уменьшает на единицу число степеней свободы, что при больших выборках не очень существенно, однако при малых выборках приводит к потере эффективности. Тогда первое наблюдение восстанавливается с помощью поправки Прайса- Уинстена:

Для преобразования /Щ1), а также при введении поправок (2.74) важно оценить коэффициент авторегрессии р. Это делается несколькими способами. Самое простое - оценить р на основе статистики

где г берется в качестве оценки р.

Формула (2.75) хорошо работает при большом числе наблюдений.

Существуют и другие методы оценивания р: метод Кокрена- Оркатта и метод Хилдрета-Лу. Рассмотрим метод Кокрена-Оркатта пошагово:

• 1. Сначала к непреобразованным исходным данным применяется обычный МНК, для которого рассчитываются остатки.
• 2. Затем в качестве приближенного значения коэффициента авторегрессии р берется его МНК-оценка в регрессии (2.65).
• 3. Проводится преобразование исходных переменных по формулам (2.72), и к преобразованным данным применяется МНК для определения новых оценок параметров а и Ь.
• 4. Процедура повторяется, начиная с п. 2.

Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение р мало отличается от предыдущего. Иногда просто фиксируется количество итераций. Такая процедура реализована в большинстве эконометрических компьютерных программ.

где Ду, = у, - у 1, Дх, = х, - х,_ 1 - так называемые первые разности (назад).

Из уравнения (2.76) по МНК оценивается коэффициент Ь. Параметр а здесь не определяется непосредственно, однако из МНК известно, что а = у -Ьх.

В случае р = -1, сложив (2.69) и (2.70) с учетом (2.65), получаем уравнение регрессии.

где ρ 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2 , при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:

На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости α .

1. Если d < d L , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);
2. Если d > d U , то гипотеза не отвергается;
3. Если d L < d < d U , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент d , а выражение (4 − d ) .

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами . В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают .

Недостатки

h-критерий Дарбина

Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами :

• где n - число наблюдений в модели;
• V - стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение h -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения .

Критерий Дарбина-Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов .

См. также

• Метод рядов
• Q-тест Льюнга-Бокса
• Метод Кочрена-Оркатта

Примечания

Литература

• Anayolyev S. Durbin–Watson statistic and random individual effects // Econometric Theory (Problems and Solutions) . - 2002-2003.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Дарбина-Уотсона" в других словарях:

Критерий Дарбина Уотсона (или DW критерий) статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и… … Википедия

Дарбина - Уотсона критерий - условный показатель, который применяется для выявления автокорреляции во временных рядах (обозначается d). Показатель d вычисляется по формуле где yt+1 и yt соответствующие уровни ряда. При отсутствии… … Экономико-математический словарь

Дарбина-Уотсона критерий - Условный показатель, который применяется для выявления автокорреляции во временных рядах (обозначается d). Показатель d вычисляется по формуле: где yt+1 и yt соответствующие уровни ряда. При отсутствии автокорреляции в исследуемом ряде показатель … Справочник технического переводчика

Автокорреляция статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса со сдвигом по времени. Данное понятие широко используется в эконометрике. Наличие… … Википедия

Тест Бройша Годфри, называемый также LM тест Бройша Годфри на автокорреляцию (англ. Breusch Godfrey serial correlation LM test применяемая в эконометрике процедура проверки автокорреляции произвольного порядка в случайных… … Википедия

Статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции: где n… … Википедия

Статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции.… … Википедия

Статистика Бокса Пирса статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов … Википедия

Тест Льюнга Бокса статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов… … Википедия

График 100 случайных величин со скрытой синусоидой. Автокорреляционная функция позволяет увидеть периодичность в ряде данных. Автокорреляция статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом,… … Википедия

Рассматриваем уравнение регрессии вида:

где k - число независимых переменных модели регрессии.

Для каждого момента времени t = 1: n значение определяется по формуле

Изучая последовательность остатков как временной ряд в , можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки должны быть случайными (а). Однако при моделировании временных рядов иногда встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (б и в) или циклические колебания (г). Это говорит о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае имеется автокорреляция остатков.

Причины автокорреляции остатков

Автокорреляция остатков может возникать по несколькими причинами:

Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях Y.

Во-вторых, иногда причину следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными . Зачастую этим фактором является фактор времени t.

Иногда, в качестве существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных , включенных в модель. Либо в модели не учтено несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или циклических колебаний.

Методы определения автокорреляции остатков

Первый метод - это построение графика зависимостей остатков от времени и визуальное определение наличия автокорреляции остатков.

Второй метод — расчет критерия Дарбина — Уотсона

Т.е. Критерий Дарбина — Уотсона определяется как отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к сумме квадратов остатков. Практически во всех задачах по эконометрике значение критерия Дарбина - Уотсона указывается наряду с коэффициентом корреляции, значениями критериев Фишера и Стьюдента

Коэффициент автокорреляции первого порядка определяется по формуле

Соотношение между критерием Дарбина - Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков (r1) первого порядка определяется зависимостью

Т.е. если в остатках существует полная положительная автокорреляция r1 = 1, а d = 0, Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r1 = - 1, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r1 = 0, d = 2. Следовательно,

Алгоритм выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина - Уотсона

Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков . Альтернативные гипотеэы о наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Затем по таблицам определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона dL и du для заданного числа наблюдений и числа независимых переменных модели при уровня значимости а (обычно 0,95). По этим значениям промежуток разбивают на пять отрезков.

Если расчетное значение критерия Дарбина — Уотсона попадает в зону неопределенности , то подтверждается существование автокорреляции остатков и гипотезу отклоняют

Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции остатков первого порядка регрессионной модели. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

где ρ 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:

На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если d < d L , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если d > d U , то гипотеза не отвергается;

Если d L < d < d U , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент d , а выражение (4 − d ).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок ] .

Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

где n - число наблюдений в модели;

V - стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение h -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Критерий Дарбина-Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов.

1. Методы исключения автокорреляции (отклонений от тренда, последовательных разностей, включения фактора времени).

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить воздействие фактора времени на формирование уравнений временного ряда. Основные методы делят на 2 группы:

Основанные на преобразовании уровней ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используем далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. 1.Метод последовательных разностей. 2.Метод отклонения от трендов.

Основанные на изучении взаимосвязей исходных уровней временных рядов при исключении воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели: включение в модель регрессии фактора времени.

Критерий Дарбина - Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина - Уотсона рассчитывается по следующей формуле

где ρ1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной - к 4:

На практике применение критерия Дарбина - Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями dL и dU для заданных числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если d < dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если d > dU, то гипотеза не отвергается;

Если dL < d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с dL и dU сравнивается не сам коэффициент d, а выражение (4 − d).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки :

Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок.

13. Соизмеримые показатели тесноты связи

К соизмеримым показателям тесноты связи относятся:

1) коэффициенты частной эластичности;

2) стандартизированные частные коэффициенты регрессии;

3) частный коэффициент детерминации.

Если факторные переменные имеют несопоставимые единицы измерения, то связь между ними измеряется с помощью соизмеримых показателей тесноты связи. С помощью соизмеримых показателей тесноты связи характеризуется степень зависимости между факторной и результативной переменными в модели множественной регрессии.

Коэффициент частной эластичности рассчитывается по формуле:

– среднее значение факторной переменной xi по выборочной совокупности,

– среднее значение результативной переменной у по выборочной совокупности;

– первая производная результативной переменной у по факторной переменной х.

Частный коэффициент эластичности измеряется в процентах и характеризует объём изменения результативной переменной у при изменении на 1 % от среднего уровня факторной переменной xiпри условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Для линейной модели регрессии частный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

где βi– коэффициент модели множественной регрессии.

Для того чтобы рассчитать стандартизированные частные коэффициенты регрессии, необходимо построить модель множественной регрессии в стандартном (нормированном) масштабе. Это означает, что все переменные, включённые в модель регрессии, стандартизируются с помощью специальных формул. Посредством процесса стандартизации точкой отсчёта для каждой нормированной переменной устанавливается её среднее значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной переменной принимается её среднеквадратическое отклонение β.

Факторная переменная х переводится в стандартизированный масштаб по формуле:

где xij – значение переменной xj в i-том наблюдении;

G(xj) – среднеквадратическое отклонение факторной переменной xi;

Результативная переменная у переводится в стандартизированный масштаб по формуле:

где G(y) – среднеквадратическое отклонение результативной переменной у.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии характеризуют, на какую долю своего среднеквадратического отклонения G(y) изменится результативная переменная у при изменении факторной переменной х на величину своего среднеквадратического отклонения G(x), при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированный частный коэффициент регрессии характеризует степень непосредственной или прямой зависимости между результативной и факторной переменными. Но в связи с тем, что между факторными переменными, включёнными в модель множественной регрессии, существует зависимость, факторная переменная оказывает не только прямое, но и косвенное влияние на результативную переменную.

Частный коэффициент детерминации используется для характеристики степени косвенного влияния факторной переменной х на результативную переменную у:

где βi– стандартизированный частный коэффициент регрессии;

r(xixj) – коэффициент частной корреляции между факторными переменными xi и xj.

Частный коэффициент детерминации характеризует, на сколько процентов вариация результативной переменной вызвана вариацией i-ой факторной переменной, включённой в модель множественной регрессии, при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии и частные коэффициенты эластичности могут давать различные результаты. Это несовпадение может быть объяснено, например, слишком большой величиной среднеквадратического отклонения одной из факторных переменных или эффектом неоднозначного воздействия одной из факторных переменных на результативную переменную.