По мнению самых компетентных из ныне здравствующих математиков, госпожа Нётер была самым значительным творческим математическим гением (женского пола) из родившихся до сих пор.

Альберт Эйнштейн

Амалия Эмми Нётер (23 марта 1882 - 14 апреля 1935) - выдающийся немецкий математик.

Эмми Нётер родилась в Эрлангене, старшей из четверых детей в еврейской семье. Её родители, математик Макс Нётер и Ида Амалия Кауфман, происходили из состоятельных купеческих семейств.

Первоначально Нётер изучала языки, планируя стать преподавателем английского и французского языков. С этой целью добилась разрешения посещать лекции в Эрлангенском университете, где работал её отец, вначале вольнослушательницей (1900), а с 1904 года, когда разрешили женское обучение, она была зачислена официально. Однако в университете лекции по математике привлекали Эмми больше, чем любые другие. Она стала ученицей математика Пауля Гордана, под руководством которого защитила в 1907 году диссертацию по теории инвариантов.

Уже в 1915 году Нётер внесла вклад в разработку Общей теории относительности; Эйнштейн в письме к мировому лидеру математиков Давиду Гильберту выразил восхищение «проницательным математическим мышлением» Нётер.

В 1916 году Нётер переехала в Гёттинген, где знаменитые математики Давид Гильберт и Феликс Клейн продолжали работы по теории относительности, и знания Нётер в области теории инвариантов были им нужны. Гильберт оказал на Нётер огромное влияние, сделав её сторонницей аксиоматического метода. Он пытался сделать Нётер приват-доцентом Гёттингенского университета, но все его попытки провалились из-за предрассудков профессуры, в основном в области гуманитарных наук.

Внешняя карьера Эмми Нетер была парадоксальна и навсегда останется примером возмутительной косности и неспособности преодолеть предрассудки со стороны прусской академической и чиновной бюрократии. Получение ею приват-доцентского звания в 1919 году произошло лишь вследствие настойчивости Гильберта и Клейна, после преодоления чрезвычайного сопротивления реакционных университетских кругов. Основным формальным отводом был пол кандидата: „Как можно допустить, чтобы женщина сделалась приват-доцентом: ведь, сделавшись приват-доцентом, она может стать профессором и членом Университетского сената; позволительно ли, чтобы женщина вошла в Сенат?" На это заявление последовала знаменитая реплика Гильберта: „Господа, ведь Сенат не бани, почему же женщина не может войти туда!"

Самый плодотворный период научной деятельности Нётер начинается около 1920 года, когда она создаёт целое новое направление в абстрактной алгебре. С 1922 года она работает профессором Гёттингенского университета, возглавляет авторитетную и быстро растущую научную школу.

Будь Эмма Нётер мужчиной, ее, без всяких сомнений, приглашали бы на профессорские должности лучшие университеты страны. Ей же приходилось довольствоваться титулом «экстраординарный профессор» Гёттингенского университета, полученным ею 6 апреля 1922 года, когда ей исполнилось уже сорок лет. К этому времени она уже по праву считалась среди специалистов основоположником современной алгебры, ей удалось заложить краеугольные камни в фундаменты нескольких важнейших научных направлений. В указе о назначении Эммы Нётер на должность экстраординарного профессора специально оговаривалось, что никаких привилегий, предусмотренных государственным служащим, ей не положено.

Современники описывают Нётер как на редкость умную, обаятельную и приветливую женщину. Её женственность проявлялась не внешне, а в трогательной заботе об учениках, всегдашней готовности помочь им и коллегам. В числе ее преданных друзей были ученые с мировым именем: Гильберт, Герман Вейль, Эдмунд Ландау, нидерландский математик Л. Брауэр, советские математики П.С. Александров, П.С. Урысон и многие другие.

В 1924-1925 годах школа Эмми Нётер сделала одно из самых блестящих своих приобретений: учеником ее стал кончающий амстердамский студент Бартель Леендерт ван дер Варден. Ему шел тогда 22-й год, и это было одно из самых ярких молодых математических дарований Европы. Ван дер Варден быстро овладел теориями Эмми Нётер, пополнил их существенными новыми результатами и как никто другой способствовал распространению ее идей. Курс общей теории идеалов, прочитанный ван дер Варденом в 1927 году в Гёттингене, имел громадный успех. Идеи Эмми Нётер в блестящем изложении ван дер Вардена покорили математическое общественное мнение сначала Гёттингена, а затем и других руководящих математических центров Европы.

В основном труды Нётер относятся к алгебре, где они способствовали созданию нового направления, известного под названием абстрактной алгебры. В эту область Нётер внесла решающий вклад (наряду с Эмилем Артином и её учеником ван дер Варденом).

Термины «нётерово кольцо», «нётеров модуль», теоремы о нормализации и теорема Ласкера-Нётер о разложении идеала теперь являются основополагающими.

Большой вклад внесла Нётер в математическую физику, где её именем называется фундаментальная теорема теоретической физики (опубликована в 1918 году), связывающая законы сохранения с симметриями системы (например, однородность времени влечет закон сохранения энергии). На этом плодотворном подходе основана знаменитая серия книг «Теоретической физики» Ландау-Лифшица. Важное значение имеет теорема Нётер в квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определенной группы симметрии, обычно являются главным источником информации о свойствах исследуемых объектов.

Идеи и научные взгляды Нётер оказали огромное влияние на многих учёных, математиков и физиков. Она воспитала ряд учеников, которые стали учёными мирового класса и продолжили открытые Нётер новые направления.

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР; в 1928-1929 учебном году она приезжала в СССР и читала лекции в Московском университете, где она оказала влияние на Л.С. Понтрягина и особенно на П.С. Александрова, до этого часто бывавшего в Гёттингене.

С 1927 года влияние идей Эмми Нётер на современную математику все время возрастает и параллельно возрастает и научная слава автора этих идей. Если в 1923-1925 годах ей приходилось доказывать важность развиваемых ею теорий, то в 1932 году, на международном математическом конгрессе в Цюрихе, она была увенчана лаврами самого блестящего успеха. Нётер, совместно со своим учеником Эмилем Артином, получает премию Аккермана-Тёбнера за достижения в математике. Прочитанный ею на этом съезде большой обзорный доклад был настоящим триумфом представляемого ею направления, и она могла не только с внутренним удовлетворением, но и с сознанием безусловного и полного признания оглянуться на пройденный ею математический путь. Цюрихский конгресс был высшей точкой ее международного научного положения. Через несколько месяцев над немецкой культурой и, в частности, над тем ее очагом, которым столетиями был Гёттингенский университет, разразилась катастрофа.

В 1933 году, к власти в Германии пришёл Гитлер, и немецкое правительство издало Закон о государственной службе. Идея этого закона была простой: "Неарийцев - вон!" Преподаватели в Германии были государственными служащими, и идея, касаемо них, выражалась просто: "Арийских студентов должны учить арийские профессора".

Эмми Нётер оказалась в числе первых шести преподавателей, которым Прусское министерство запретило читать лекции и отправило в бессрочный отпуск на основании печально знаменитого закона, положившего начало массовой чистке профессорско-преподавательского состава.

Лично Нётер получила официальную бумагу, подписанную главой Министерства науки, искусства и народного образования Пруссии в апреле 1933 года. В ней было написано прямым текстом: "В соответствии с параграфом 3 Кода о гражданской службе от 7 апреля 1933 года, я лишаю Вас прав учить в университете Гёттингена".

Произошла одна из величайших трагедий среди всех испытанных человеческой культурой со времен возрождения, трагедия, несколько лет тому назад казавшаяся невероятной и невозможной в Европе XX века. Одной из ее многочисленных жертв оказалась созданная Эмми Нетер гёттингенская алгебраическая школа: ее руководительница была изгнана из стен университета; потеряв право преподавания, Эмми Нетер должна была эмигрировать из Германии.

Младший брат Эмми, одарённый математик Фриц Нётер, уехал в СССР, где был расстрелян в сентябре 1941 года за «антисоветские настроения».

Даже после отъезда из Германии Эмма Нётер не показывала и следа горечи или вражды к тем, кто сломал ее жизнь. Она оказалась одной из немногих эмигрантов, кто на следующий же год после отъезда осмелился вернуться назад: летом 1934 года она решила провести некоторое время в знакомой обстановке зеленого Гёттингена, где ей так хорошо работалось все последние годы.

В эмиграции Эмма столкнулась с теми же трудностями, что и большинство других ученых, приехавших за океан уже в зрелом возрасте. Но найти работу ей удалось сравнительно быстро. Она получила место преподавателя в небольшом американском колледже Брин Мор в штате Пенсильвания и вела научную работу в Институте перспективных исследований в Принстоне.

Устроившись сама, она тут же стала заботиться о коллегах, кому меньше повезло в изгнании. Вместе с Германом Вейлем она организовала специальный «Фонд помощи немецким математикам», в который должны были отчислять небольшую часть своей зарплаты те ученые, которые уже нашли работу. Из собранных средств выплачивались стипендии тем, кто особенно нуждался в поддержке.

И в Америке не все понимали масштаб ее личности как ученого и человека. В актах Чрезвычайного комитета Даггена сохранилась запись, сделанная 21 марта 1935 года, за три недели до неожиданной смерти гениального ученого: «Вчера состоялась дискуссия с президентом колледжа Брин Мор о судьбе Эмми Нётер. Она сказала, что Эмма Нётер слишком эксцентрична и трудно адаптируется к американским условиям, чтобы заключать с ней постоянный контракт, но она оставит ее в колледже еще на два года».

К сожалению, Эмме не дано было проработать в колледже и этих двух лет: 14 апреля 1935 года после неудачной медицинской операции по удалению раковой опухоли она скончалась.

Свою речь президент Московского математического общества П.С. Александров на заседании общества 5 сентября 1935 года начал следующими словами:

14 апреля текущего года в маленьком городе Bryn Mawr (США, штат Пенсильвания) после хирургической операции скончалась в возрасте 53 лет Эмми Нетер, один из крупнейших математиков современности, бывший профессор Гёттингенского университета. Смерть Эмми Нётер - не только большая утрата для математической науки, это утрата в полном смысле слова трагическая. В высшем расцвете творческих сил погибла самая крупная женщина-математик, когда-либо существовавшая, погибла, изгнанная из своей родины, оторванная от своей школы, годами ею создававшейся и бывшей одной из самых блестящих математических школ Европы, погибла оторванная и от своих родных, оказавшихся разбросанными по разным странам в силу того же политического варварства, в силу которого она сама должна была эмигрировать из Германии. Московское математическое общество скорбно склоняется сегодня перед памятью одного из самых выдающихся своих сочленов, непрерывно в течение свыше десяти лет поддерживавшего с обществом, с математической Москвой и с математиками Советского Союза тесные связи постоянного научного взаимодействия, искренней симпатии и сердечной дружбы...

Именем Эмми Нётер названы:

• кратер на Луне
• астероид
• улица в родном городе Нётер, Эрлангене
• школа, где она училась в Эрлангене.
• Немецкая программа для поддержки выдающихся молодых учёных: Emmy Noether Programme.

Имя Нётер носят следующие математические объекты:

• нётерово кольцо
• нётеров модуль
• теорема Нётер
• теорема Ласкера-Нётер
• теорема Сколема-Нётер
• нётеровы пространства
• нётерова схема
• проблемы Нётер
• лемма Нётер.

По материалам Википедии и сайтов: berkovich-zametki.com и turtle-t.livejournal.com, а так же статьи П.С. Александров, “Памяти Эмми Нетер” (УМН, 1936, № 2, 255-265).

Амалия (Эмми) Нётер, королева без короны

По мнению наиболее выдающихся из числа ныне здравствующих математиков, Эмми Нётер была величайшим творческим математическим гением, явившимся миру с тех пор, как для женщин открылось высшее образование.

Альберт Эйнштейн

Эйнштейн был прав, и Эмми Нётер (1882–1935) , с которой ему так и не довелось вместе поработать в Институте перспективных исследований в Принстоне (хотя она этого заслуживала как никто), была удивительным математиком - возможно, величайшей женщиной-математиком всех времен. И Эйнштейн не единственный придерживался такой точки зрения: Норберт Винер поместил Нётер в один ряд с лауреатом двух нобелевских премий Марией Кюри, которая тоже была превосходным математиком.

Также Эмми Нётер стала объектом ряда дурных шуток - вспомним хотя бы бессмертную фразу невоздержанного на язык Эдмунда Ландау: «Я могу поверить в ее математический гений, но не могу поклясться, что это женщина». Эмми в самом деле отличалась мужеподобной внешностью, а кроме этого, совершенно не задумывалась о том, как она выглядит, особенно во время занятий или научных дебатов.

По воспоминаниям очевидцев, она забывала уложить волосы, почистить платье, тщательно пережевывать пищу и отличалась многими другими чертами, которые делали ее не слишком женственной в глазах благопристойных соотечественников-немцев. Также Эмми страдала сильной близорукостью, из-за чего носила некрасивые очки с толстыми стеклами и была похожа на сову. Сюда же следует добавить и привычку носить (из соображений удобства) мужскую шляпу и набитый бумагами кожаный чемодан, как у страхового агента. Сам Герман Вейль, ученик Эмми и почитатель ее математического таланта, достаточно взвешенно выразил общее мнение о наставнице словами: «Грации не стояли у ее колыбели».

Портрет Эмми Нётер в юности.

Превращение в прекрасного лебедя

Эмми Нётер родилась в обществе, где женщины, можно сказать, были скованы по рукам и ногам. В то время в Германии правил всесильный кайзер Вильгельм II, любитель торжественных приемов и церемоний. Он приезжал в город, чинно спускался с поезда, а затем местный градоначальник произносил речь. Всей грязной работой занимался Железный Канцлер Бисмарк. Он и был истинным главой государства и общества, вдохновителем его консервативной структуры, которая препятствовала обучению женщин (всеобщее образование считалось признаком ненавистного социализма). Образцом женщины была супруга кайзера, императрица Августа Виктория. Ее жизненным кредо были четыре К: кайзер, Kinder (дети), Kirche (церковь), K?che (кухня) - дополненная версия трех К из народной трилогии «Kinder, Kirche, K?che ». В такой среде женщинам отводилась четко выписанная роль: на социальной лестнице они находились ниже мужчин и на ступеньку выше домашних животных. Так, женщины не могли получить образование. Собственно, обучение женщин не было запрещено полностью - для родины Гёте и Бетховена это было бы слишком. Преодолев множество препятствий, женщины могли учиться, но не имели права занимать должностей. Итог был тем же самым, но игра - более тонкой. Некоторые преподаватели, демонстрируя особое идеологическое рвение, отказывались начинать занятия, если в аудитории присутствовала хотя бы одна женщина. Совершенно иначе дело обстояло, например, во Франции, где господствовали свобода и либерализм.

Эмми родилась в небольшом городе Эрлангене, в семье преподавателей, принадлежавшей к верхушке среднего класса. Эрланген занимал необычное место в истории математики - он был малой родиной создателя так называемой синтетической геометрии Христиана фон Штаудта (1798–1867) , кроме того, именно в Эрлангене юный гений Феликс Клейн (1849–1925) обнародовал свою знаменитую Эрлангенскую программу, в которой классифицировал геометрии с точки зрения теории групп.

Отец Эмми, Макс Нётер, преподавал математику в Эрлангенском университете. Его интеллект унаследовали сын Фриц, посвятивший жизнь прикладной математике, и дочь Эмми, которая напоминала гадкого утенка из сказки Андерсена - никто не мог и предположить, каких научных высот она достигнет. В детстве и юности Эмми ничем не отличалась от сверстников: ей очень нравилось танцевать, поэтому она охотно посещала все торжества. При этом девушка не проявляла особого интереса к музыке, что отличает ее от других математиков, которые часто любят музыку и даже играют на разных инструментах. Эмми исповедовала иудаизм - в то время это обстоятельство было неважным, но сказалось на ее дальнейшей судьбе. За исключением редких проблесков гениальности обучение Эмми ничем не отличалось от обучения ее сверстниц: она умела готовить и вести домашнее хозяйство, проявляла успехи в изучении французского и английского, и ей пророчили карьеру преподавателя языков. Ко всеобщему удивлению, Эмми выбрала математику.

Фасад Kollegienhaus - одного из старейших корпусов Эрлангенского университета.

Бесконечная гонка

Эмми имела все необходимое для того, чтобы посвятить себя выбранному занятию: она знала математику, семья могла выделять ей средства на жизнь (пусть и весьма скудные), а личное знакомство с коллегами отца позволяло ей рассчитывать на то, что учеба в университете не станет невыносимой. Чтобы продолжить обучение, Эмми пришлось стать слушательницей - посещать занятия в качестве полноправного студента ей запрещалось. Она успешно окончила обучение и сдала экзамен, дававший право на получение докторской степени. В качестве темы диссертации Эмми выбрала алгебраические инварианты тернарных квадратичных форм. Преподавателем этой дисциплины был Пауль Гордан (1837–1912) , которого современники называли королем теории инвариантов; он был давним другом отца Нётер и сторонником конструктивной математики. В поисках алгебраических инвариантов Гордан превращался в настоящего бульдога: он вцеплялся в инвариант и не разжимал челюстей до тех пор, пока не выделял его среди хитросплетения расчетов, порой казавшихся бесконечными. Объяснить, что такое алгебраический инвариант и форма, не слишком сложно, но эти понятия не представляют интереса для современной алгебры, поэтому не будем останавливаться на них подробнее.

В докторской диссертации под названием «Об определении формальных систем тернарных биквадратичных форм» приведен 331 инвариант тернарных биквадратичных форм, найденный Эмми. Работа принесла ей степень доктора и дала возможность вдоволь попрактиковаться в математической гимнастике. Этот тяжкий труд сама Эмми позднее в порыве самокритики назвала чепухой. Она стала второй женщиной - доктором наук в Германии после Софьи Ковалевской.

Эмми получила должность преподавателя в Эрлангене, где проработала восемь долгих лет, не получая никакого жалования. Порой ей выпадала честь замещать собственного отца - его здоровье к тому времени ослабело. Пауль Гордан вышел в отставку, и его сменил Эрнст Фишер, который придерживался более современных взглядов и прекрасно ладил с Эмми. Именно Фишер познакомил ее с трудами Гильберта.

К счастью, проницательность Нётер, ее ум и знания заметили два светила Гёттингенского университета, «самого математического университета мира». Этими светилами были Феликс Клейн и Давид Гильберт (1862–1943) . Шел 1915 год, Первая мировая война была в самом разгаре. И Клейн, и Гильберт отличались крайним либерализмом в вопросах обучения женщин (и их участия в исследовательской работе) и были специалистами высочайшего уровня. Они убедили Эмми покинуть Эрланген и переехать к ним в Гёттинген для совместной работы. В то время гремели революционные физические идеи Альберта Эйнштейна, а Эмми была экспертом по алгебраическим и прочим инвариантам, составлявшим крайне полезный математический аппарат теории Эйнштейна (к разговору об инвариантах мы вернемся чуть позже).

Все это было бы смешно, если бы не было так грустно - даже поддержка таких авторитетов не помогла Эмми преодолеть сопротивление ученого совета Гёттингенского университета, от членов которого можно было услышать заявления в духе: «Что скажут наши героические солдаты, когда вернутся на родину, и в аудиториях им придется сидеть перед женщиной, которая будет обращаться к ним с кафедры?». Гильберт, присутствовавший при подобном разговоре, возмущенно возразил: «Не понимаю, как пол кандидата мешает избрать ее приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!»

Но Эмми так и не была избрана приват-доцентом. Ученый совет объявил ей настоящую войну. Конфликт вскоре прекратился, была провозглашена Веймарская республика, и положение женщин улучшилось: они получили право голосовать, Эмми смогла занять должность профессора (но без жалования), однако лишь в 1922 году, приложив огромные усилия, она наконец начала получать деньги за свой труд. Эмми раздражало, что ее работа на посту редактора журнала «Анналы математики», отнимавшая немало времени, не была оценена по достоинству.

В 1918 году была опубликована сенсационная теорема Нётер. Многие называли ее именно так, хотя Эмми доказала немало и других теорем, в том числе очень важных. Нётер заслужила бы бессмертие, даже если бы умерла на следующий день после публикации теоремы в 1918 году, хотя на самом деле она нашла доказательство тремя годами ранее. Эта теорема не относится к абстрактной алгебре и находится на стыке между физикой и математикой, точнее говоря, принадлежит к механике. К сожалению, чтобы объяснить ее понятным для читателя языком, пусть даже в упрощенном виде, мы не сможем обойтись без высшей математики и физики.

Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит: «Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют свои значения с течением времени».

Понятие непрерывной симметрии в высшей физике объясняется с помощью групп Ли. Не будем углубляться в детали и скажем, что в физике под симметрией понимается любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системе инвариантны. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать координаты системы, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.

Откуда же взялся термин «симметрия»? Он принадлежит к чисто физическому языку и применяется потому, что по смыслу схож с термином «симметрия» в математике. Представьте себе повороты пространства, образующие группу симметрии. Если мы применим один из таких поворотов к системе координат, то получим другую систему координат. Изменение координат будет описываться непрерывными уравнениями. Согласно теореме Нётер, если система инвариантна относительно подобной непрерывной симметрии (в данном случае - поворота), то в ней автоматически существует закон сохранения той или иной физической величины. В нашем случае, проведя необходимые вычисления, можно убедиться, что этой величиной будет момент импульса.

Не будем останавливаться на этой теме и приведем некоторые разновидности симметрии, группы симметрии и соответствующие физические величины, которые будут сохраняться.

Эта теорема вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:

«Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы ее послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает свое ремесло ».

Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят ее в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.

Перенесемся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902–1994) , и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую некое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом можно определить, верна наша теория или нет.

ТЕОРЕМА НЁТЕР

Физическая система в механике определяется с помощью достаточно сложных терминов, в том числе такого понятия, как действие, которое можно рассматривать как произведение выделенной энергии на время, затраченное на ее поглощение. Поведение физической системы на языке математики описывается ее лагранжианом L , который представляет собой функционал (функцию от функций) вида

где q - положение, q ? - скорость (точка вверху в нотации Ньютона обозначает производную от q ), t - время. Обратите внимание, что q - положение в системе координат общего вида, которая необязательно является декартовой.

Действие А на языке математики выражается интегралом вдоль пути, выбранного системой:

Принцип наименьшего действия, сыгравший столь важную роль в физике XIX века, гласит: физическая система движется согласно закону наименьших усилий, следовательно, если использовать язык математического анализа, действие А должно представлять собой экстремальное значение, то есть минимум или максимум, поэтому его первая производная должна равняться нулю.

Хорошая иллюстрация лучше тысячи слов, поэтому приведем пример, который прекрасно объясняется во множестве книг и в интернете. Теорема Нётер в этом примере выражена в следующем виде: «Допустим, что система частиц обладает некой симметрией, то есть ее лагранжиан L инвариантен относительно изменений некоторой переменной s таким образом, что dL /ds = 0. Тогда существует свойство системы С , которое будет сохраняться: dC /dt = 0

Рассмотрим физическую систему, состоящую из двух пружин с коэффициентами упругости к 12 и к 23 Введем обозначения:

Теперь рассмотрим симметрию (в формулировке теоремы она обозначена через s ). Так как закон упругости выполняется всегда, мы вполне можем предположить, что s = t , то есть время, и симметрия лагранжиана, о которой говорится в исходной формулировке, проявляется так:

Проведем некоторые алгебраические преобразования:

Изменим порядок членов:

Мы получили сохраняющуюся величину С - она приведена в скобках. Так как q? = х? , имеем

Сумма (со знаком «минус») кинетической и потенциальной энергии, то есть общая энергия системы, постоянна. Мы получили закон сохранения энергии.

Алгебра и еще раз алгебра. И какая алгебра!

Мы прервали наш рассказ об Эмми на том, что она обосновалась в Гёттингене, рядом с Клейном и Гильбертом - двумя математиками мировой величины. Остроумный Гильберт нашел способ преодолеть препятствия со стороны наиболее косных и консервативных преподавателей: он организовал курсы под своим именем, но на занятиях его всякий раз замещала Эмми, а недоброжелателям оставалось лишь скрежетать зубами.

Эмми отличалась невероятной работоспособностью - ее можно было сравнить с автомобилем, у которого отказали тормоза. В 1920 году она решила последовать новым путем. Постепенно, но неуклонно Эмми стала уделять все больше внимания вопросам чистой алгебры: сначала кольцам и идеалам на кольцах, затем - более сложным структурам, в частности различным алгебрам. Она настолько овладела темой, что вполне заслужила титул «властительницы колец». К этой эпохе относятся столь важные для развития алгебры результаты, как теорема Ласкера - Нетер (1921) и лемма о нормализации (1926). К 1927 году относятся ее теоремы об изоморфизме.

Затем практически сразу же Эмми перешла к более сложным темам, в частности к алгебрам. В 1931 году была сформулирована теорема Альберта - Брауэра - Хассе - Нётер об алгебрах конечной размерности. В 1933 году Эмми Нётер вновь получила важный результат, связанный с алгебрами, - так называемую теорему Сколема - Нётер. Мы не приводим подробные формулировки этих теорем, так как в них упоминаются очень абстрактные математические термины и объекты, доступные исключительно специалистам.

За Эмми повсюду следовала настоящая толпа учеников - шумных, недисциплинированных, но очень умных. То были «дети Нётер», которые внимали ее словам. Они сопровождали ее во время длинных прогулок и частых купаний в муниципальном бассейне, где Эмми плавала и ныряла, словно дельфин. Многие «дети Нётер» впоследствии стали великими математиками благодаря идеям, которые они почерпнули от своей наставницы, хотя ее педагогический дар был, если можно так выразиться, нестандартным: она относилась к ученикам как курица-наседка к цыплятам - была неизменно строгой и требовательной и не отходила от них ни на шаг. Многим она напоминала скорее петуха, чем курицу, и они называли ее, проявляя уважение к ее уму и некоторую робость, в мужском роде - Der Noether .

«Дети Нётер ».

Понять, сколь любопытной была свита «детей Нётер», поможет анекдотичный случай времен нацистской Германии. Наташа Артин-Брауншвейг, супруга Эмиля Артина (1898–1962) , рассказывала, как они однажды спустились в гамбургское метро: ученики ни на шаг не отставали от Нётер и шли за ней, словно дети за Гамельнским крысоловом. Едва они зашли в поезд, Эмми начала обсуждать математические темы с Эмилем Артином, все больше повышая голос и не обращая внимания на остальных пассажиров. В речи Нётер постоянно звучали слова «фюрер» и «идеал» - к великому ужасу Наташи, которая боялась, что их вот-вот задержит гестапо.

Однако любой из «детей» без труда объяснил бы внушавшим ужас гестаповцам, что эти слова были всего лишь невинными алгебраическими терминами из теории колец. В то время нацисты установили повальную слежку, они вмешивались в частную жизнь людей и буквально осаждали университеты. Один из учеников Эмми, который был евреем и поэтому не мог посещать университет, приходил заниматься к ней домой в форме члена штурмового отряда, чтобы избежать подозрений. Пацифистка Эмми воспринимала происходящее со смирением.

Она занималась наиболее современными разделами алгебры. Время от времени Эмми обращалась к топологии, в частности в совместных работах с Павлом Сергеевичем Александровым (1896–1982) . Специализацией Нётер было подробное изучение алгебраических структур, цель которого - отбросить их частные свойства и рассмотреть их в максимально общем виде. Эмми пользовалась безграничным авторитетом, и к ней приезжали ученики со всех уголков Европы. Один из них, Бартель ван дер Варден (1903–1996) , впоследствии прославившийся как автор «Современной алгебры», книги, ставшей каноном для нескольких поколений (по этой самой книге, страницы которой были испещрены непонятными символами готического шрифта, учился и я), писал в некрологе Эмми Нётер:

«Для Эмми Нётер связи между числами, функциями и операциями становились ясными, доступными для обобщения и полезными только после того, как они были отделены от конкретных объектов и сведены к концептуальным связям общего вида ».

А вот что писал Эйнштейн:

«Теоретическая математика - своего рода поэзия логичных идей. Ее цель - поиск наиболее общих идей, которые в простом, логичном и общем виде описывают максимально возможный спектр формальных взаимосвязей. На этом пути к логической красоте мы и открываем формулы, позволяющие глубже постичь законы природы ».

Основные алгебраические структуры

Внимательно прочтите этот раздел, посвященный азам абстрактной алгебры, - в противном случае вы не поймете ничего из того, о чем говорится в следующих разделах. Этот раздел обширен, но прост, так как содержит исключительно определения.

Основных алгебраических структур, которые рассматриваются как множества с одной или несколькими операциями, много. Мы ограничимся тем, что рассмотрим структуры, на которых определены две операции, o и . Этими операциями часто оказываются + и . Порой требуется так называемый третий закон внешней композиции (а иногда и больше), но мы рассмотрим только простейшие случаи. Вместо того чтобы постоянно использовать слова «является элементом», заменим их символом

.

Группой называется множество элементов А с определенной на нем операцией o, которая удовлетворяет трем следующим условиям:

1) существует нейтральный элемент n такой, что n о а = а о n = а для любого a

2) для каждого а

А существует обратный элемент а -1 такой, что а о а -1 = а -1 о а = n ;

3) для любых a, b, с

А выполняется свойство ассоциативности, согласно которому (а о Ь ) о с = а о (Ь о с ).

Группа называется коммутативной, или абелевой (в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля), если для любых a, b

А определенная нами операция обладает коммутативностью, то есть выполняется соотношение а о Ь = b о а .

Если на группе определена операция сложения (+), то элемент, обратный а , обозначается - а и называется противоположным. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 0.

Если на группе определена операция умножения (), то элемент, обратный а , обозначается 1/а . Нейтральный элемент в этом случае обозначается 1.

4) для любых а, Ь, с

А справедливо (а Ь ) с = а (Ь с ).

Операции о и связаны друг с другом свойством дистрибутивности относительно:

5) а (Ь о с ) = (а b ) о (а с ).

Кольцо - это коммутативная группа, на которой определена еще одна операция обладающая свойством ассоциативности:

Примерами колец являются натуральные числа

Целые числа

Рациональные числа

Вещественные числа

И комплексные числа

(вне зависимости от определенной для них модальной арифметики). Многочлены также образуют кольца.

В мире колец операция о обладает коммутативностью аналогично операции сложения, поэтому она обозначается знаком +. Операция (для простоты будем предполагать, что она также обладает коммутативностью) обозначается знаком · , подобно умножению.

Подгруппой или подкольцом А будет любое подмножество, которое будет оставаться группой или кольцом, если ограничить операции о или этим подмножеством. Идеал - особое подкольцо: это подкольцо В

А такое, что любое произведение b В и любого другого элемента, принадлежащего В или нет, будет принадлежать В . Идеалы можно складывать и перемножать. Результатами сложения и умножения идеалов также будут идеалы. Понятие идеала возникло как обобщение понятия числа. Для двух данных идеалов I и J имеем:

Определить идеал IJ несколько сложнее. Это идеал, порожденный всеми произведениями ху , где х

I, у J . Пересечение всех идеалов, содержащих подобные произведения, называется порожденным идеалом.

Областью целостности называется кольцо А , на котором для операции · не существует так называемых делителей нуля. Иными словами, на этом кольце не существует элементов а и b таких, что аb = bа = 0.

В этом случае кольцо А является коммутативным и содержит единичный элемент, то есть для операции определен нейтральный элемент, играющий роль единицы:

а 1 = а .

Теперь рассмотрим область целостности А без 0. Обозначим ее через А * = А |(0). Если операция · определяет на А * коммутативную группу, то А называется полем. Если А * не является коммутативной, то А называется телом. Не стоит пугаться подобных сложностей: если кольцо А конечно, то оно коммутативно согласно знаменитой теореме Веддербёрна. Если кольцо А бесконечно, то наступает раздолье для алгебраистов.

Рассмотрим А-модули - редчайший вид современного алгебраического мира. Чтобы определить левый А-модуль, нам потребуются кольцо с единицей А и коммутативная группа М . Действия с элементами a, b

А и элементами М (m, n М ) определяются следующим, вполне обычным образом:

1. (ab )m = а (Ьm )

2. (а + b ) n = am + bm

3. а (m + n ) = am + аn

4. 1m = m .

Аналогично определяется правый А-модуль; коммутативный модуль (или просто A-модуль) - это модуль, который является правым и левым одновременно. Если А - поле, то A-модуль называется векторным пространством. Если для векторов векторного пространства определена операция умножения, имеем «алгебру». На этом мы остановимся. Хотя приведенные нами определения элементарны, вполне возможно, что читатель не назовет элементарным этот раздел.

Несколько слов об алгебре, идеалах и нётеровых кольцах

Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам - алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему же Нётер уделяла им такое внимание?

Многие объекты, с которыми работают математики, представляют собой кольца: так, кольцами являются множество целых чисел

И его последовательные расширения - ,

Кольцами также являются многочлены одной переменной с коэффициентами из вышеуказанных колец

[X]. Аналогично кольцами являются многочлены нескольких переменных

А также сходящиеся ряды - короче говоря, много чего еще.

Но что такое идеалы и почему они получили столь романтичное название? Совершим небольшой экскурс в историю математики. Рассмотрим в качестве примера квадратичное целое

[?-5] или

Что аналогично. Это множество чисел вида а + Ь ?-5, где а и Ь - целые числа. Иными словами,

[?-5] - кольцо (убедитесь в этом), но здесь, говоря математическим языком, мы вступаем в запретную зону. Мы привыкли к стандартным свойствам делимости и к тому, что разложение числа на простые множители всегда является единственным. К примеру, рассмотрим число 21. Имеем 21 = 3·7 и на этом разложение на множители заканчивается: 21 можно разложить на простые множители единственным способом, и этими множителями будут 3 и 7. Это утверждение следует из основной теоремы арифметики: на множестве

Разложение любого числа на простые множители является единственным. На множестве

[?-5] это утверждение уже не будет выполняться: здесь мы можем разложить 21 на простые множители двумя способами:

3·7 = (4 + ?-5)(4 - ?-5) = 21.

На этом множестве разложение на простые множители уже не будет единственным, что, к своему величайшему неудовольствию, заметил еще Эрнст Куммер (1810–1893) . Это утверждение, которое кажется не особенно важным и записывается всего одной строкой, помешало алгебраистам XIX доказать теорему Ферма и доставило им немало хлопот.

Чтобы как-то исправить ситуацию и обойти проблему стороной, сам Куммер ввел идеальные числа. Они оказались не слишком полезны, так как принадлежали уже не к

[?-5], а к другому, большему кольцу. Это были даже не числа - сегодня мы бы назвали их множествами чисел, эквивалентных между собой. Тогдашним математикам были неизвестны общепринятые на сегодняшний день понятия фактор множества и гомоморфизма, и какой-то порядок и логику в мир идеалов внес лишь Рихард Дедекинд (1831–1916) . За ним последовали другие алгебраисты, которые расчистили территорию и приступили к раскопкам. Важное место среди них занимала Эмми Нётер.

Идеалы обладают еще одной примечательной особенностью - речь идет о цепочке идеалов. Не будем следовать за Нётер и пытаться объяснить абстрактное понятие, а ограничимся тем, что приведем один очень простой пример - идеалы кольца целых чисел

.

В этом мире (он представляет собой область целостности, то есть «хорошее» кольцо) правит бал основная теорема арифметики: для всех чисел разложение на простые множители является единственным, и ничто не нарушает гармонию. Идеалами в этом мире будут множества n

Состоящие из целых чисел, кратных n . Количество таких идеалов, как и самих чисел, будет бесконечно велико. Сумма и произведение идеалов определяются очень просто:

Идеалы, которые представляют собой множества чисел, и обычные числа ведут себя одинаково, одинаково раскладываются на множители, и с точки зрения арифметики эквивалентны. Они эквивалентны даже в таком непростом аспекте, как делимость. В самом деле, «Ь делится на а » для идеалов можно выразить как b

Гениальность Нётер заключается в том, что она выстроила цепочку идеалов, объединенных функцией принадлежности

Которая отражает их делимость друг на друга.

Так как любое отношение делимости рано или поздно заканчивается некоторым числом, то рано или поздно закончится и любая цепочка идеалов. «Хорошие» цепочки идеалов обязательно заканчиваются, то есть являются конечными. Кольца, на которых не существует бесконечных цепочек идеалов, называются нётеровыми кольцами. Именно этим кольцам Эмми уделяла особое внимание в своих исследованиях.

Позднее алгебраисты доказали эквивалентность следующих утверждений.

1. Кольцо А является нётеровым (иными словами, возрастающие цепочки идеалов на нем конечны).

2. Любой идеал на А является конечнопорожденным.

3. Любое множество идеалов на А содержит наибольший идеал.

В 1999 году Австралийский математический фонд выпустил футболки, на которых были изображены все возрастающие цепи для идеала 18

На множестве

Использовать другой пример помешали ограниченные размеры футболок. На футболках были изображены следующие цепи идеалов:

Как и следовало ожидать, эти цепочки конечны, а кольцо

Является нётеровым. Между прочим, Гильберт доказал, что если кольцо А является нётеровым, то нётеровым будет и кольцо многочленов А [Х ].

ТЕОРЕМА ЭММИ И ШАХМАТИСТА

Алгебраист Эмануэль Ласкер (1868–1941) был выдающимся математиком и чемпионом мира по шахматам. Он подробно рассмотрел обычные, простые и примарные идеалы. Не будем слишком углубляться в абстрактную алгебру и рассмотрим кольца А , которые также представляют собой области целостности. Примерным идеалом на этих кольцах называется идеал I , отличный от исходного кольца А , на котором при ab

I и а I существует n такое, что b n I . (При n = 1 этот идеал называется простым.) Ласкер описал очень широкий класс колец (сегодня они называются кольцами Ласкера) на основе одного интересного свойства их идеалов. Любой идеал можно представить в виде пересечения конечного числа примарных идеалов.

Эмми Нётер доказала теорему, сегодня известную как теорема Нётер - Ласкера, которая звучит следующим образом:

«Любая нётерова область целостности является кольцом Ласкера».

Эта теорема, относящаяся к абстрактной алгебре, связывает между собой два, казалось бы, очень далеких понятия - конечные цепочки идеалов и пересечения примарных идеалов. Возможно, вы не заметили (и, по правде говоря, извиняться за это вовсе не стоит), что если мы применим теорему Ласкера - Нётер к кольцу

То получим основную теорему арифметики: любое целое число можно представить в виде произведения простых множителей единственным способом. Термин «нётерово кольцо», который сегодня используется повсеместно, ввел великий французский математик Клод Шевалле (1909–1984) , один из основателей группы Бурбаки.

Конец истории

Не стоит и говорить, что уже в 1930-е годы Эмми Нётер пользовалась среди математиков невероятным уважением. Пример тому - ее участие в Международном конгрессе 1932 года. На следующий год к власти в Германии пришли нацисты, и с огромной решительностью, которая могла сравниться только с их же глупостью, принялись изгонять из университетов всех преподавателей-евреев. От антисемитизма пострадала и Эмми. Напрасно протестовали ее друзья и знакомые - она и многие ее коллеги (Томас Манн, Альберт Эйнштейн, Стефан Цвейг, Зигмунд Фрейд, Макс Борн и другие) были вынуждены прекратить преподавание в Германии и покинуть страну (как стало ясно позднее, такая возможность выпала не всем), чтобы распространять свои зловредные идеи среди представителей других, неарийских рас. Что именно зловредного увидели нацисты в современной алгебре, мы никогда не узнаем. Вероятнее всего, нацисты сами не знали ответа на этот вопрос.

Брат Эмми, Фриц, переехал в Томск, а сама Эмми, которая некоторое время склонялась то к Оксфорду, то к Москве (она испытывала определенную симпатию к социалистической революции в СССР), усилиями Фонда Рокфеллера оказалась в США.

Об антисемитизме и его распространении написано множество книг. Будет нелишним сказать, что до вступления США во Вторую мировую войну в некоторых университетах, которые считались храмами знания и оплотами либерализма, в частности, в Принстонском университете в Нью-Джерси, набирал обороты антисемитизм. Именно по этой причине еврейская семья миллионеров и филантропов Бамбергеров пожертвовала несколько миллионов долларов Институту перспективных исследований в том же Принстоне - абсолютно нейтральному учреждению, свободному от подобных предрассудков. Это пожертвование в итоге помогло институту стать образцовым исследовательским учреждением. В Принстоне ученые вынашивали идеи, получали зарплату исключительно за научную работу и были освобождены от преподавания. Институт стал убежищем для многих европейских эмигрантов - полностью или наполовину евреев. Среди них были Эйнштейн, Вейль, фон Нейман и Гёдель. Хотя Эмми Нётер читала в институте лекции и проводила семинары, да и ее заслуг в математике было более чем достаточно, она так и не стала полноправным сотрудником Принстона - только потому, что была женщиной. Основным местом работы Нётер стал расположенный недалеко от Нью-Джерси Брин-Мор-колледж в штате Пенсильвания - лучший женский колледж мира. Иногда Эмми забывала, что находится в Америке, и в разгар спора о математике разражалась тирадами на немецком.

Спустя всего два года после приезда в Америку врачи обнаружили у Эмми рак матки. Она прекрасно перенесла операцию, но умерла от эмболии. Интересно, что среди лавины некрологов один, за подписью ван дер Вардена, был без особых проблем опубликован в Германии - должно быть, нацистские цензоры не слишком хорошо разбирались в алгебре.

Именем Эмми Нётер также названы кратер на обратной стороне Луны и астероид под номером 7001.

Из книги Мария Стюарт автора Цвейг Стефан

3. Вдовствующая королева и все же королева (июль 1560 – август 1561) Ничто так резко не повернуло линию жизни Марии Стюарт в сторону трагического, как та коварная легкость, с какою судьба вознесла ее на вершину земной власти. Ее стремительное восхождение напоминает взлет

Из книги Мемуары 1942-1943 автора Муссолини Бенито

Глава XIII Совет короны и капитуляция Было 7 часов вечера 8 сентября, когда пришло известие о заключении перемирия; люди слушали все радиопередачи. С этого момента моя охрана была усилена и караул у моих дверей стоял даже ночью. Начальник караула казался весьма озабоченным.

Из книги Жизнь Пушкина. Том 1. 1799-1824 автора Тыркова-Вильямс Ариадна Владимировна

Из книги Великие романы автора Бурда Борис Оскарович

ФРАНЦ-ИОСИФ ФОН ГАБСБУРГ И АМАЛИЯ ЕВГЕНИЯ ЕЛИЗАВЕТА ФОН ВИТТЕЛЬСБАХ Цесарь и Сисси Любое активное вмешательство родителей в жизнь молодой четы идет во вред – исключений практически не существует. Если родители говорят и делают неправильные вещи, возникающее

Из книги Мария-Антуанетта автора Левер Эвелин

Из книги Записки палача, или Политические и исторические тайны Франции, книга 2 автора Сансон Анри

Глава VII Королева Даже при самом большом сочувствии революции, при энтузиазме нет никакой возможности смотреть хладнокровно, без смущения на судьбу и страдания бывшей французской королевы. В какой-то год эта несчастная женщина лишилась короны и свободы; секира палача

Из книги В небе Китая. 1937–1940. [Воспоминания советских летчиков-добровольцев] автора Чудодеев Юрий Владимирович

Из книги Прошлое и будущее автора Азнавур Шарль

Амалия Мне всегда нравилось работать в Бельгии, будь то Валлония, Брюссель или Антверпен. Я люблю публику этой страны, которая «усыновляет» тебя безо всяких церемоний. Обожаю их угря в зелени, их прекрасное пиво - это веселая страна, и я счастлив, когда мне иногда

Из книги Черчилль-Мальборо. Гнездо шпионов автора Грейгъ Ольга Ивановна

Глава 5 КАК ПОЛИТИКА БРИТАНСКОЙ КОРОНЫ В ИНДИИ ОБОГАТИЛА ЧЕРЧИЛЛЕЙ Все, что касается жизни и деятельности Уинстона Черчилля, подается многочисленными историками высокопарными словами, с придыханием от значимости фигуры и восхищением политическими делами этого

Из книги Пушкин и 113 женщин поэта. Все любовные связи великого повесы автора Щеголев Павел Елисеевич

Ризнич Амалия Амалия Ризнич (1802–1825) - дочь венского банкира Риппа, сербка из Воеводины, жена (с 1820) одесского негоцианта, одного из директоров коммерческого банка Ивана (Йована) Степановича Ризнича, тоже серба. Ее полное имя - Амалия-Розалия-София-Элизабетта Рипп.Ее муж,

Из книги Клуб любителей фантастики, 1976–1977 автора Фиалковский Конрад

1977, № 5 Роберт Шерман Таунс ЗАДАЧА ДЛЯ ЭММИ Рис. Валерия КарасеваЭмми жила - мы все употребляли именно это слово - в большом помещении, служившем когда-то оружейным складом при университетской службе подготовки офицеров резерва. Стены заново покрасили в бледно-серый

Из книги Знаменитые красавицы автора Муромов Игорь

Из книги Рудольф Нуреев. Неистовый гений автора Дольфюс Ариан

Глава 6. Королева Марго Мы становились одним телом, одной душой. Рудольф Нуреев Один из самых лучших балетных дуэтов Рудольф Нуреев - Марго Фонтейн мог бы никогда не сложиться. В самый первый раз, когда молодой русский попросил ее станцевать с ним, прима английского

Из книги Жизнь и смерть Бенито Муссолини автора Ильинский Михаил Михайлович

Из книги Черчилль и древняя тайна «Заговора рептилий» автора Грейгъ Ольга Ивановна

Из книги автора

Глава 5. Как политика Британской короны в Индии обогатила Черчиллей Все, что касается жизни и деятельности Уинстона Черчилля, подается многочисленными историками высокопарными словами, с придыханием от значимости фигуры и восхищением политическими делами этого

Выдающийся немецкий математик, «самая крупная женщина-математик, когда-либо существовавшая».

Родилась в семье математика Макса Нётера в Эрлангене. Обучалась в Эрлангенском университете, где работал её отец, вначале вольнослушательницей, с 1904 года, когда разрешили женское обучение, официально зачислена. Была ученицей математика Пауля Гордана, под руководством которого защитила в 1907 году диссертацию по теории инвариантов.

Уже в 1915 году Нётер внесла вклад в разработку Общей теории относительности; Эйнштейн в письме к мировому лидеру математиков Давиду Гильберту выразил восхищение «проницательным математическим мышлением» Нётер.

В 1916 Нётер переехала в Гёттинген, где знаменитые математики Давид Гильберт и Феликс Клейн продолжали работы по теорией относительности, и знания Нётер в области теории инвариантов были им нужны. Гильберт оказал на Нётер огромное влияние, сделав её сторонницей аксиоматического метода. Он пытался сделать Нётер приват-доцентом Гёттингенского университета, но все его попытки провалились из-за предрассудков профессуры, в основном гуманитариев. Стала известна фраза Гильберта:

Не понимаю, почему пол кандидата служит доводом против избрания её приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!

Нётер тем не менее, не занимая никакой должности, часто читала лекции за Гильберта. Лишь по окончании Первой мировой войны она смогла стать приват-доцентом в 1919 году, затем (1922) сверхштатным профессором.

Самый плодотворный период научной деятельности Нётер начинается около 1920 года, когда она создаёт целое новое направление в абстрактной алгебре. С 1922 года она работает профессором Гёттингенского университета, возглавляет авторитетную и быстро растущую научную школу.

Современники описывают Нётер как не слишком красивую, но на редкость умную, обаятельную и приветливую женщину. Её женственность проявлялась не внешне, а в трогательной заботе об учениках, всегдашней готовности помочь им и коллегам. В числе ее преданных друзей были ученые с мировым именем: Гильберт, Герман Вейль, Эдмунд Ландау, нидерландский математик Л. Брауэр, советские математики П. С. Александров, П. С. Урысон и многие другие.

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР; в 1928/29 учебном году читала лекции в Московском университете, где она оказала влияние на Л. С. Понтрягина и особенно на П. С. Александрова, до этого часто бывавшего в Гёттингене. П. С. Александров вспоминал:

Вершиной всего услышанного мною в это лето в Гёттингене были лекции Эмми Нётер по общей теории идеалов… Конечно, самое начало теории заложил Дедекинд, но только самое начало: теория идеалов во всём богатстве её идей и фактов, теория, оказавшая такое огромное влияние на современную математику, есть создание Эмми Нётер. Я могу об этом судить, потому что я знаю и работу Дедекинда, и основные работы Нётер по теории идеалов.

Лекции Нётер увлекли и меня, и Урысона. Блестящими по форме они не были, но богатством своего содержания они покоряли нас. С Эмми Нётер мы постоянно виделись в непринуждённой обстановке и очень много с ней говорили, как на темы теории идеалов, так и на темы наших работ, сразу же её заинтересовавших.

Наше знакомство, живо завязавшееся этим летом, очень углубилось следующим летом, а затем, после смерти Урысона, перешло в ту глубокую математическую и личную дружбу, которая существовала между Эмми Нётер и мною до конца её жизни. Последним проявлением этой дружбы с моей стороны была речь памяти Эмми Нётер на собрании Московской международной топологической конференции в августе 1935 года.

1932: Нётер, совместно с Эмилем Артином, получает премию Аккермана-Тёбнера за достижения в математике.

После прихода нацистов к власти в 1933 году Нётер, как еврейке, пришлось эмигрировать в США, где она стала преподавателем женского колледжа в Брин-Море (Пенсильвания) и приглашённым преподавателем Института высших исследований в Принстоне. Младший брат Эмми, одарённый математик Фриц Нётер, уехал в СССР, где был расстрелян в сентябре 1941 года за «антисоветские настроения».

Несмотря на блестящие математические достижения, личная жизнь Нётер не сложилась. Будучи некрасивой женщиной, она так и не вышла замуж. Непризнание, изгнание, одиночество на чужбине, казалось бы, должны были испортить её характер. Тем не менее, она почти всегда выглядела спокойной и доброжелательной. Герман Вейль писал, что даже счастливой.

В 1935 Эмми Нётер умерла после неудачной операции по удалению раковой опухоли.

Академик П. С. Александров писал:

Если развитие математики сегодняшнего дня несомненно протекает под знаком алгебраизации, проникновения алгебраических понятий и алгебраических методов в самые различные математические теории, то это стало возможным лишь после работ Эмми Нётер.

Эйнштейн в заметке на её смерть отнёс Нётер к величайшим творческим гениям математики.

Научная деятельность

В основном труды Нётер относятся к алгебре, где они способствовали созданию нового направления, известного под названием абстрактной алгебры. В эту область Нётер внесла решающую роль (наряду с Эмилем Артином и её учеником Б. Л. ван дер Варденом). Герман Вейль писал:

Значительная часть того, что составляет содержание второго тома «Современной алгебры» (Теперь просто «Алгебры») ван дер Вардена, должно принадлежать Эмми Нётер

Термины «нётерово кольцо», «нётеров модуль», теоремы о нормализации и теорема Ласкера-Нётер о разложении идеала теперь являются основополагающими.

Большое влияние оказала Нётер на алгебризацию топологии, показав, что т. н. «числа Бетти» являются всего лишь рангами групп гомологий.

Большой вклад внесла Нётер в математическую физику, где её именем называется фундаментальная теорема теоретической физики (опубликована в 1918 году), связывающая законы сохранения с симметриями системы (например, однородность времени влечет закон сохранения энергии). На этом плодотворном подходе основана знаменитая серия книг «Теоретической физики» Ландау-Лифшица. Особенно важное значение имеет теорема Нётер в квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определенной группы симметрии, обычно являются главным источником информации о свойствах исследуемых объектов.

Идеи и научные взгляды Нётер оказали огромное влияние на многих учёных-математиков и физиков. Она воспитала ряд учеников, которые стали учёными мирового класса и продолжили открытые Нётер новые направления.

Математик Эмми Нётер была гением, положившим начало новому подходу в физике

Теорема Нётер в теоретической физике – то же самое, что и естественный отбор в биологии. Если бы вы написали уравнение, которое кратко излагает все, что мы знаем о теоретической физике, то на одном его конце были бы имена Фейнмана, Шрёдингера, Максвелла и Дирака. Но если вы напишите фамилию Нётер с другой стороны уравнения, то это бы компенсировало их всех.

Эмми Нётер родилась в Баварии в 1882 году. Она посещала школу-пансион и получила диплом, дающий право преподавать языки - французский и английский. Однако вскоре девушка поняла, что математика, которой занимались ее отец и брат в Эрлангенском университете, интересует ее куда больше. Женщинам не разрешалось поступать в высшие учебные заведения, но Эмми сдала вступительный экзамен на пять с плюсом и просто посещала лекции вольнослушательницей до тех пор, пока университет не стал принимать девушек на обучение. И Нётер смогла получить степень доктора наук.

Девушка начала заниматься исследовательской работой и, можно сказать, изобрела общую алгебру. Эта дисциплина изучает алгебраические системы (алгебраические структуры) и редуцировать их до максимально абстрактных форм. Целью Нётер было понять, как математические идеи коррелируют друг с другом и построить общие математические структуры. Она никогда не заявляла о том, что открыла нечто революционное, но её работа стала новым подходом в математике.

Пока Нётер писала свою принципиально новую работу в Эрлангенском университете, у неё не было ни должности, ни зарплаты. Единственное, что она могла – время от времени заменять своего отца на лекциях по математике, когда он был болен.

Спустя семь лет математики Давид Гильберт и Феликс Клейн пригласили Нётер поработать с ними в Гёттингенском университете. Они хотели, чтобы женщина решила проблему сохранения энергии в теории общей относительности Эйнштейна. Пытаясь сделать это, Эмми сформулировала теорему Нётер, тем самым внеся один из самых значительных вкладов в теоретическую физику.

Эйнштейн говорил о теореме как о примере «прозорливого математического мышления». При этом теорема имеет простую формулировку: каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Под симметрией подразумевается, что физический процесс - или его математическое описание - остается неизменным при изменении какого-либо аспекта установки.

Например, идеальный маятник, который бесконечно долго колеблется туда-сюда, симметричен во времени. Исходя из теоремы Нётер, все, обладающее временной симметрией, сохраняет энергию. Таким образом, маятник не теряет энергии. Если же система обладает вращательной симметрией - то есть работает одинаково вне заивимости от ориентации в пространстве - то в ней сохраняется момент импульса. Это означает, что если объект вначале вращается, то он продолжит вращаться бесконечно долго. Стабильность, которую мы видим у орбит планет, – это следствие симметрий, которые работают вместе - сохранение и энергии, и углового момента тел.

Теорема Нётер позволяет нам провести глубокие связи между результатами экспериментов и фундаментальным математическим описанием их физики. Размышления о физике в этом случае формируют основу того типа теоретического скачка, который привел физиков к теоретическому предсказанию бозона Хиггса задолго до того, как частицу смогли обнаружить в результате исследований на БАК. Симметрия настолько фундаментальна для физики, что стандартная модель физики частиц часто называется по её группам симметрии: U(1)×SU(2)×SU(3).

Это, конечно, здорово, что Нётер произвела коренной переворот в физике - но при этом она продолжала работать без зарплаты, часто читая лекции за Гильберта и будучи его ассистенткой. В 1922 году, спустя 4 года после публикации своей теоремы, женщина получила статус внештатного доцента, и ей начали давать неболоьшую зарплату. Эмми читала лекции по всей Европе.

Когда нацисты пришли к власти, Нётер оказалась без работы, потому что она была еврейкой. Ей пришлось эмигрировать в Америку, где она стала приглашенным профессором в женском колледже в Брин-Море. Кроме того, Эмми Нётер читала еженедельные лекции в Принстоне. В Брин-Море Нётер впервые стала работать с женщинами-математиками. Трагично, что ей было отведено всего лишь 2 года, чтобы этим наслаждаться. Нётер умерла в 1935 году в возрасте 53 лет после неудачной операции по удалению раковой опухоли.

Многие великие физики и математики того времени, включая Эйнштейна, превозносили Эмми. В её эпоху ученые мужи усердно старались, чтобы женщины не приходили в науку. Но Нётер поборола это правило (возможно, с поддержкой Эйнштейна).

Даже сегодня в математике и физике мы можем наблюдать асимметрию в отношении к ученым женского и мужского пола (это называется «Эффектом Матильды в науке»). Как Нётер и говорила - как только симметрия нарушается, что-то теряется.

Katie Mack
The woman who invented abstract algebra // Cosmos Magazine
Перевод: Катюша Шутова

Комментарии: 0

Алексей Левин

Ровно сто лет назад на семинаре Геттингенского математического общества была представлена теорема, которая со временем стала важнейшим инструментом в математической и теоретической физике. Она связывает каждую непрерывную симметрию физической системы с некоторым законом сохранения (например, если в изолированной системе частиц процессы инвариантны относительно сдвига по времени, то в этой системе выполняется закон сохранения энергии). Доказала эту теорему Эмми Нётер - и этот результат, наряду с последовавшими важнейшими работами по абстрактной алгебре, заслуженно позволяет многим считать Нётер величайшей женщиной в истории математики.

Алексей Левин

В июле 1918 года ученые круги Геттингена узнали о доказательстве математической теоремы, которой было суждено стать самым универсальным и эффективным инструментом фундаментальной физики новейшего времени. Лекция посвящена как самой теореме и ее роли в прогрессе теоретической физики, так и очень нестандартной личности и жизни ее автора великого математика Эмми Нётер. Особое внимание будет уделено связям Нётер как с современной ей Россией, так и с российской историей 19 века.

Эмиль Ахмедов

Какие наблюдения лежат в основе специальной теории относительности? Как был выведен постулат о том, что скорость света не зависит от системы отсчета? О чем теорема Нётер? И существуют ли явления, которые противоречат СТО? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Эмиль Ахмедов.

Эмиль Ахмедов

Как меняются физические законы в различных системах отсчета? Какой физический смысл имеет искривление пространства? И как функционирует Global Positioning System? О неинерциальных системах отсчета, ковариантности и физическом смысле искривления пространства рассказывает доктор физико-математических наук Эмиль Ахмедов.

Эмиль Ахмедов

О преобразованиях Лоренца, специальной теории относительности, о парадоксе близнецов и парадоксе стержня и сарая рассказывает доктор физико-математических наук Эмиль Ахмедов.

Дмитрий Казаков

Как были открыты три поколения кварков? Какие теории описывают взаимодействие частиц? Какими свойствами обладают кварки? О типах элементарных частиц, теории групп и открытии трех поколений кварков рассказывает доктор физико-математических наук Дмитрий Казаков.

Иван Лосев

Общепринятый формализм классической (гамильтоновой) механики подразумевает, что наблюдаемые образуют алгебру Пуассона, а эволюция системы задается уравнением Гамильтона. В общепринятом квантово-механическом формализме наблюдаемые - это самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция задается уравнением Гейзенберга. Эти два уравнения похожи, но природа наблюдаемых совершенно разная. Это затрудняет переход как от классического к квантовому, так и обратно. По этой причине в был предложен более простой (и более алгебраический) формализм для квантовой механики, в котором квантовая алгебра наблюдаемых становится деформацией классической. Я начну с того, что на примере потенциальной системы объясню возникновение скобки Пуассона и уравнения Гамильтона. Затем я поговорю о деформациях алгебр и объясню почему деформационный формализм с легкостью обеспечивает переход к квазиклассическому пределу.