Сегодня в современном мире без процентов невозможно обойтись. Даже в школе, начиная с 5 класса, дети узнают данное понятие и решают задачи с этой величиной. Проценты встречаются в любой сфере современных структур. Взять, к примеру, банки: размер переплаты кредита зависит от указанной в договоре величины; на размерность прибыли также влияет Поэтому жизненно необходимо знать, что такое процент.
Понятие процента
Согласно одной легенде, процент появился из-за глупой опечатки. Наборщик должен был выставить число 100, но перепутал и поставил так: 010. Это послужило причиной того, что первый ноль немного приподнялся, а второй опустился. Единица превратилась в обратный слеш. Такие манипуляции послужили тому, что появился знак процента. Конечно, есть и другие легенды о происхождении этой величины.
О процентах индусы знали еще в V веке. В Европу же с которыми тесно взаимосвязано наше понятие, появились спустя тысячелетие. Впервые в Старом Свете суждение о том, что такое процент, ввел ученый из Бельгии Симон Стевин. В 1584 году была впервые опубликована таблица величин этим же ученым.
Слово «процент» берет свое начало в латинском языке как pro centum. Если перевести словосочетание, то получится «со ста». Итак, под процентом понимается одна сотая часть какой-либо величины, числа. Обозначается эта величина знаком %.
Благодаря процентам появилась возможность сравнивать части одного целого без особого труда. Появление долей значительно упростило расчеты, поэтому они стали столь распространенным явлением.
Перевод дробей в проценты
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, может понадобиться так называемая формула процентов: дробь умножается на 100, к результату приписывается %.
Если нужно перевести в проценты обыкновенную дробь, ее для начала нужно сделать десятичной, а затем воспользоваться вышеуказанной формулой.
Перевод процентов в дроби
Как таковая формула процентов достаточно условна. Но нужно знать, как переводить данную величину в дробное выражение. Чтобы перевести доли (проценты) в десятичные дроби, нужно знак % убрать и разделить показатель на 100.
Формула подсчета процента от числа
1) 40 х 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (учащихся).
Ответ: контрольную работу на "5" написали 12 учащихся.
Можно воспользоваться готовой таблицей, в которой указаны некоторые дроби и проценты, которые им соответсвуют.
Получается, что формула процентов от числа выглядит следующим образом: С = (А∙В) / 100 , где А - исходное число (в конкретном примере равное 40); В - количество процентов (в данной задаче В=30%); С - искомый результат.
Формула подсчета числа от процента
Следующая задача продемонстрирует, что такое процент и как найти число по проценту.
Швейная фабрика изготовила 1200 платьев, где из них 32% - платья нового фасона. Сколько платьев нового фасона изготовила швейная фабрика?
1. 1200: 100 = 12 (платьев) - 1% от всех выпущенных изделий.
2. 12 х 32 = 384 (платья).
Ответ: фабрика изготовила 384 платья нового фасона.
Если нужно найти число по его проценту, можно воспользоваться следующей формулой: С = (А∙100) / В, где А - общее количество предметов (в данном случае А=1200); В - количество процентов (в конкретной задаче В=32%); С - искомая величина.
Увеличение, уменьшение числа на заданное количество процентов
Школьники должны усвоить, что такое проценты, как считать их и решать разнообразные задачи. Для этого нужно понимать, как увеличивается или уменьшается число на N%.
Зачастую даются задания, да и в жизни нужно узнать, чему будет равно число, увеличенное на заданное количество процентов. К примеру, дано число Х. Нужно узнать, чему будет равно значение Х, если его увеличить, допустим, на 40%. Сначала нужно перевести 40% в дробное число (40/100). Итак, результатом увеличения числа Х станет: Х + 40% ∙ Х= (1+40 / 100) ∙ Х = 1,4 ∙ Х. Если вместо Х подставить любое число, возьмем, к примеру, 100, тогда все выражение будет равно: 1,4 ∙ Х = 1,4 ∙ 100 = 140.
Примерно тот же принцип используется и при уменьшении числа на заданное число процентов. Нужно провести расчеты: Х - Х ∙ 40% = Х ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ Х. Если величина равна 100, тогда 0,6 ∙ Х = 0,6 . 100 = 60.
Встречаются задания, где нужно узнать, на сколько процентов увеличилось число.
К примеру, дана задача: Машинист ехал по одному участку пути со скоростью 80 км/ч. На другом участке скорость поезда возросла до 100 км/ч. На сколько процентов возросла скорость поезда?
Предположим, 80 км/ч - 100%. Тогда производим расчеты: (100% ∙ 100 км/ч) / 80 км/ч= 1000: 8 = 125%. Получается, что 100 км/ч - это 125%. Чтобы узнать, на сколько увеличилась скорость, нужно вычислить: 125% - 100% = 25%.
Ответ: на 25% увеличилась скорость поезда на втором участке.
Пропорция
Нередки случаи, когда необходимо решить задачи на проценты, используя пропорцию. На самом деле этот метод нахождения результата в значительной мере облегчает задачу учащимся, преподавателям и не только.
Итак, что такое пропорция? Под этим термином понимается равенство двух отношений, которые можно выразить следующим образом: А / В = С / D .
В учебниках математики значится такое правило: произведение крайних членов равняется произведению средних. Это выражается следующей формулой: А х D = В х С.
Благодаря этой формулировке, можно вычислить любое число, если три других члена пропорции известны. К примеру, А - неизвестное число. Чтобы его найти, нужно
При решении задач методом пропорции необходимо понимать, от какого числа брать проценты. Бывают случаи, когда доли нужно взять от разных величин. Сравните:
1. После окончания распродажи в магазине стоимость футболки возросла на 25% и составила 200 рублей. Какова была стоимость во время распродажи.
В данном случае нужно величина 200 рублей соответствует 125% от первоначальной (распродажной) цены футболки. Тогда, чтобы узнать ее стоимость во время распродажи, нужно (200 х 100) : 125. Получится 160 рублей.
2. На планете Виценция 200 000 жителей: люди и представители гуманоидной расы Наави. Наави составляют 80% от всего населения Виценции. Из людей 40% заняты обслуживанием рудника, остальные добывают тетаниум. Сколько людей добывают тетаниум?
В первую очередь нужно найти в численном виде количество людей и количество Наави. Так, 80% от 200 000 будет равняться 160 000. Столько представителей гуманоидной расы проживает на Виценции. Количество людей, соответственно, равняется 40 000. Из них 40%, то есть 16 000, обслуживают рудник. Значит, 24 000 людей занимаются добычей тетаниума.
Многократное изменение числа на некоторое количество процентов
Когда уже понятно, что такое процент, нужно изучить понятие абсолютного и относительного изменения. Под абсолютным преобразованием понимается увеличение числа на конкретное число. Так, Х возрос на 100. Что бы вместо Х ни подставили бы, все равно это число возрастет на 100: 15 + 100; 99,9 + 100; а + 100 и т. д.
Под относительным изменением понимается возрастание величины на некоторое число процентов. Допустим, Х увеличился на 20%. Это значит, что Х будет равен: Х+Х∙20%. Относительное изменение подразумевается каждый раз, когда заходит речь об увеличении на половину или треть, уменьшении на четверть, возрастании на 15% и т. д.
Существует еще один важный момент: если величину Х увеличить на 20%, а затем еще на 20%, то в результате общее возрастание составит 44%, но никак не 40%. Это видно из следующих расчетов:
1. Х + 20% ∙ Х = 1,2 ∙ Х
2. 1,2 ∙ Х + 20% ∙ 1,2 ∙ Х = 1,2 ∙ Х + 0,24 ∙ Х = 1,44 ∙ Х
Это показывает, что Х возрос на 44%.
Примеры задач на проценты
1. Сколько процентов от числа 36 составляет число 9?
По формуле нахождения процента от числа, нужно 9 умножить на 100 и поделить на 36.
Ответ: число 9 составляет 25% от 36.
2. Вычислить число С, которое составляет 10% от 40.
По формуле нахождения числа по его проценту, нужно 40 умножить на 10 и результат разделить на 100.
Ответ: число 4 составляет 10% от 40.
3. Первый партнер вложил в бизнес 4500 рублей, второй - 3500 рублей, третий - 2000 рублей. Они получили прибыль 2400 рублей. Прибыль они разделили поровну. Сколько в рублях потерял первый партнер, по сравнению с тем, сколько бы он получил, если бы они разделили доход согласно проценту вложенных средств?
Итак, вместе они вложили 10 000 рублей. Доход на каждого составил равную долю по 800 рублей. Чтобы узнать, сколько должен был получить первый партнер и сколько он, соответственно, потерял, нужно узнать процент вложенных средств. Затем нужно узнать, сколько в рублях прибыли составляет этот вклад. И последнее - вычесть 800 рублей из полученного результата.
Ответ: первый партнер потерял 280 рублей при разделе прибыли.
Немного экономики
Сегодня довольно популярный вопрос - оформление кредита на определенный срок. Но как выбрать выгодный заем, чтобы не переплачивать? Во-первых, нужно посмотреть процентную ставку. Желательно, чтобы этот показатель был как можно ниже. Затем следует применить по кредиту.
Как правило, на размер переплаты влияет сумма долга, процентная ставка и способ погашения. Различают аннуитетные и В первом случае кредит погашается равными долями каждый месяц. Тут же сумма, которая перекрывает основной заем, растет, а стоимость процентов постепенно уменьшается. Во втором случае кредитозаемщик выплачивает постоянные суммы на погашение займа, к которым прибавляются проценты на остаток основного долга. Ежемесячно общая сумма выплат будет уменьшаться.
Теперь нужно рассмотреть оба способа Так, при аннуитетном варианте сумма переплаты будет выше, а при дифференциальном - сумма первых платежей. Естественно, условия кредита одинаковы для обоих случаев.
Заключение
Итак, проценты. Как считать их? Достаточно просто. Однако иногда они могут вызвать затруднения. Эту тему начинают изучать еще в школе, но она настигает всех в сфере кредитов, депозитов, налогов и т. д. Поэтому желательно вникнуть в суть данного вопроса. Если все же не получается провести расчеты, есть масса онлайн-калькуляторов, которые помогут справиться с поставленной задачей.
Процент - это одна сотая доля числа, принимаемого за целое. Проценты используются для обозначения отношения части к целому, а также для сравнения величин.
1% = 1 100 = 0,01
Калькулятор процентов позволяет выполнить следующие операции:
Найти процент от числа
Чтобы найти процент p от числа, нужно умножить это число на дробь p 100
Найдем 12% от числа 300:
300 · 12
100
= 300 · 0,12 = 36
12% от числа 300 равняется 36.
Например, товар стоит 500 рублей и на него действует скидка 7%. Найдем абсолютное значение скидки:
500 · 7
100
= 500 · 0,07 = 35
Таким образом, скидка равна 35 рублей.
Сколько процентов составляет одно число от другого
Чтобы вычислить процентное отношение чисел, нужно одно число разделить на другое и умножить на 100%.
Вычислим, сколько процентов составляет число 12 от числа 30:
12
30
· 100 = 0,4 · 100 = 40%
Число 12 составляет 40% от числа 30.
Например, книга содержит 340 страниц. Вася прочитал 200 страниц. Вычислим, сколько процентов от всей книги прочитал Вася.
200
340
· 100% = 0,59 · 100 = 59%
Таким образом, Вася прочитал 59% от всей книги.
Прибавить проценты к числу
Чтобы прибавить к числу p процентов, нужно умножить это число на (1 + p 100 )
Прибавим 30% к числу 200:
200 · (1 + 30
100
) = 200 · 1,3 = 260
200 + 30% равняется 260.
Например, абонемент в бассейн стоит 1000 рублей. Со следующего месяца обещали поднять цену на 20%. Вычислим, сколько будет стоить абонемент.
1000 · (1 + 20
100
) = 1000 · 1,2 = 1200
Таким образом, абонемент будет стоить 1200 рублей.
Вычесть проценты из числа
Чтобы отнять от числа p процентов, нужно умножить это число на (1 - p 100 )
Отнимем 30% от числа 200:
200 · (1 - 30
100
) = 200 · 0,7 = 140
200 - 30% равняется 140.
Например, велосипед стоит 30000 рублей. Магазин сделал на него скидку 5%. Вычислим, сколько будет стоить велосипед с учетом скидки.
30000 · (1 - 5
100
) = 30000 · 0,95 = 28500
Таким образом, велосипед будет стоить 28500 рублей.
На сколько процентов одно число больше другого
Чтобы вычислить, на сколько процентов одно число больше другого, нужно первое число разделить на второе, умножить результат на 100 и вычесть 100.
Вычислим, на сколько процентов число 20 больше числа 5:
20
5
· 100 - 100 = 4 · 100 - 100 = 400 - 100 = 300%
Число 20 больше числа 5 на 300%.
Например, зарплата начальника равна 50000 рублей, а сотрудника - 30000 рублей. Найдем, на сколько процентов зарплата начальника больше:
50000
35000
· 100 - 100 = 1,43 * 100 - 100 = 143 - 100 = 43%
Таким образом, зарплата начальника на 43% выше зарплаты сотрудника.
На сколько процентов одно число меньше другого
Чтобы вычислить, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно из 100 вычесть отношение первого числа ко второму, умноженное на 100.
Вычислим, на сколько процентов число 5 меньше числа 20:
100 - 5
20
· 100 = 100 - 0,25 · 100 = 100 - 25 = 75%
Число 5 меньше числа 20 на 75%.
Например, фрилансер Олег в январе выполнил заказы на 40000 рублей, а в феврале на 30000 рублей. Найдем, на сколько процентов Олег в феврале заработал меньше, чем в январе:
100 - 30000
40000
· 100 = 100 - 0,75 * 100 = 100 - 75 = 25%
Таким образом, в феврале Олег заработал на 25% меньше, чем в январе.
Найти 100 процентов
Если число x это p процентов, то найти 100 процентов можно умножив число x на 100 p
Найдем 100%, если 25% это 7:
7 · 100
25
= 7 · 4 = 28
Если 25% равняется 7, то 100% равняется 28.
Например, Катя копирует фотографии с фотоаппарата на компьютер. За 5 минут скопировалось 20% фотографий. Найдем, сколько всего времени занимает процесс копирования:
5 · 100
20
= 5 · 5 = 25
Получаем, что процесс копирования всех фотографий занимает 30 минут.
Доброго времени суток, уважаемые гости! А вы хорошо учились в школе? Я вот на отлично, но и у меня возникают ситуации, когда нужно освежить в памяти школьные знания.
К сожалению, среди всего объема информации очень сложно выделить ту, которая может понадобиться на самом деле.
Давайте сегодня вспомним, как узнать процент от числа.
Математика необходима в обычной жизни, ведь она учит мыслить нестандартно и развивает логику. Знания вычислительных манипуляций упрощает жизнь в материальном отношении.
Вот примеры использования %:
- Данное отношение позволяет улучшить восприятие информации, чтобы сравнить определенные параметры. Например, тело человека состоит из 70 % воды, а медузы – 98%.
- Применяются такие расчеты и в экономике. Это нужно, к примеру для расчетов прибыли.
- Знания необходимы и для анализа конкретных величин. Например, разницу между зарплатами в разные месяцы.
Понятие процента
Что интересно, индусы еще в 5-ом столетии использовали проценты в расчетах. В Европе о десятичных дробях узнали только через тысячелетие.
Данное понятие ввел бельгийский ученый Симон Стевин
. В 16-ом столетии была опубликована таблица с величинами.
Само слово имеет латинское происхождение. Переводится слово, как «со ста». При этом имеется ввиду одна сотая часть от какой-либо величины.
% предоставляют возможность сравнивать составляющие одного целого без сложностей. Возникновение долей позволило упростить расчеты, и они стали стандартным явлением.
Способы расчета
В учебнике математики за 5-ый класс можно узнать, что % составляет сотую часть от числа. Чтобы узнать, сколько % от определенного значения, можно воспользоваться пропорцией и составить правило креста.
Например, нужно найти 500 от 1000. При этом данные, которые располагаются напротив друг друга необходимо перемножить, а затем разделить на третье число.
При этом числа пишутся под цифрами, а проценты под такими же показателями.
Получается:
1000 – 100%;
500 – x%.
Получаем: X=(500*100)/1000.
X=50 %.
Можно использовать и программу Excel.
Например, нужно найти сумму, которая составляет 15% от целого числа 8500.
Сначала создайте на рабочем столе лист Excel.
Затем откройте документ и в выделенной строке введите:
- = (равно);
- затем 8500;
- после этого нажмите * (умножить);
- затем 15;
- после следует нажать клавишу % и Enter.
Как просчитать процент на калькуляторе
Затем в поля нужно ввести запрашиваемые данные и получить результат. При этом можно узнать, как % от общего числа, так и сколько процентов составляет значение одного числа от другого.
Подводя итоги, можно сказать, что калькулятор позволяет определиться с такими вопросами:
- Вычислить определенный % из определенного значения. Или, если известен %, то прибавить его к какому-то числу.
- Какой % составляет от заданного показателя.
- Сколько % содержит одно значение от другого.
На обычном калькуляторе также есть функция определения %. Если опция есть, то должна быть клавиша, где изображен %.
Для этого найдите на его клавиатуре кнопку с изображением процента (%).
Например, давайте выясним, сколько 12 составляет от 125.
Для этого проведем следующие манипуляции:
Введите 125 на калькуляторе.
Нажмите умножить (*).
Нажмите 12.
Затем нажмите кнопку с процентом.
При этом на экране отобразиться результат – 9,6%.
Таким образом, можно найти любые другие значения с двумя числами. Калькулятором можно и воспользоваться на мобильном телефоне.
В ноутбуке или компьютере полезную программку можно отыскать через меню пуск.
Расчет с помощью формул
Итак, рассмотрим некоторые формулы для расчета.
Формула вычисления процента от определенного значения.
Если известно число А и составляющее от процента В, то процент от А находится так:
В=А*Р/100%.
Есть специальная формула для вычисления по проценту. При этом нужно узнать от какого значения %.
Если известно В, которое составляет Р процентов от числа А, то количество А находится так.
А=В*100%/Р.
Можно также вычислить процентное значение одного числа от другого. Если известны два значения А и В, то можно выяснить, какой % содержит В от А. При этом применяется такая формула. Р=В/А*100%.
Чтобы узнать насколько увеличилось число по сравнению с исходным, также есть определенная формула.
Если известно число А и необходимо найти В, которое на определенный процент больше числа А, то применяется такая формула: В=А(1+Р/100%)
.
Также есть формула для расчетов, которое меньше исходного на какой-то заданный процент.
Если мы знаем число А и необходимо отыскать В, которое на Р % меньше А, то применяется такое вычисление: В=А(1-Р/100%).
Надеюсь вам пригодиться информация в моей статье. Если хотите дополнить ее, то напишите в комментариях.
Вспоминайте школьные знания и используйте их в обычной жизни. Математические расчеты здорово упрощают жизнь.
На сегодня у меня все. До свидания, дорогие почитатели моего блога!
Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%, промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.
Одним процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. - называется одна сотая ее часть.
Обозначается
процент знаком %, Таким образом,
1% - это 0,01, или \(\frac{1}{100} \) часть величины
Приведем примеры:
- 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) - это 2300/100 = 23 рубля;
- 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек;
- 3%-я концентрация раствора соли - это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора - это часть, которую
составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).
Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.
Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: "Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы". Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова "процент": 7% - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.
Знак "%" получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали "cto" (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это "с/о" за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.
Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.
Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:
\(58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить
на 100:
В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т.д.
Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%" и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз" говорится об одном и том же. Точно так же увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.
Аналогично
- увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,
- уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.
Задачи на проценты
Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть b выражается числом p%.
В зависимости от того, что неизвестно - а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.
1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \(\frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \(\frac{p}{100} \):
Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \(\frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x
2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \(\frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \(\frac{p}{100} \):
\(a = b: \frac{p}{100} \)
3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \((a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а
затем эту часть выразить в процентах:
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \(\frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.
Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.
Нетрудно заметить, что формулы
\(b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b: \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0) \) взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании, можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.
Простой процентный рост
Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роеnа - наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.
Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.
Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму,
которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S n .
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \(\frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить
\(S + \frac{pn}{100}S = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\(S_n = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.
Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\(S_n = \left(1- \frac{pn}{100} \right) S \)
Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отрицательный".
Сложный процентный рост
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - "проценты", как его обычно называют.
Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.
10% от 1000 р. составляют 0,1 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)
10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)
10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.
А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 2 раз.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 2 = 1,1 3 раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (р.)
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S n р.
Величина p% от S составляет \(\frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\(S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \(1+ \frac{p}{100} \) раз.
За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\(S_2 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left(1+ \frac{p}{100} \right) \left(1+ \frac{p}{100} \right)S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)
Аналогично \(S_3 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.д. Другими словами, справедливо равенство
\(S_n = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^n S \)
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста , или просто формулой сложных процентов.
Слово «процент» в переводе с греческого обозначает сотую часть числа. В математике, да и во всем мире, принято считать абсолют за 100%. Исходя из этого принципа, строятся все вычислительные правила.
Существует несколько вариантов заданий, связанных с целью посчитать Каждая подобная задача имеет свой индивидуальный принцип решения.
В условии задачи дано определенное числовое значение и требуется найти его процент. Например, у нас есть число 47 и необходимо вычислить его 25%.
Решение: Для решения мы исходное число принимаем за 100%. После этого данный процент переводим в и получаем, что 25%=0,25. Умножаем 47 на процент, выраженный дробью, и получаем искомое число 47*0,25=11,75.
Ответ: 11,75 составляет 25% от числа 47.
Найти число по проценту
Следующей разновидностью задач, связанных с вопросом о том, как найти процент от числа, является вычисление значения по имеющемуся проценту. Дано, что 57 составляет 45% от какого-то числа. Требуется найти это число.
Решение: Для решения такой задачи, необходимо имеющееся число разделить на тот процент, который оно составляет от целого. Так, получаем, что 57/0,45=126,67. Чтобы лучше понять данное действие, будет нелишним детально разобрать весь процесс. 57 - это 45%, т.е. чтобы найти значение одного процента, необходимо число разделить на количество процентов. Получается, что 1% от целого числа равен 1,2667. Далее, чтобы найти целое, мы полученное значение умножаем на 100.
Ответ: Число, 45% которого составляет 57, равняется 126,67.
Найти сколько процентов одно число составляет от другого
Немного сложнее представляются задания, в которых необходимо найти процентное значение, которое одно число составляет от другого. Как найти процент от числа в таком случае? Ответ очень прост. Рассмотрим его на небольшом примере. У нас есть два числа: предположим, что это 45 и 58. Чтобы узнать, сколько процентов составляет 45 от 58 необходимо умножить его на 100 и разделить на 58. Получаем, что 45 - это 77,6% от 58.
Часто можно увидеть такие ситуации, когда люди не понимают, как изменится цена продукта, если она повысится на 15%. Люди забывают элементарную школьную математику и по этой причине задаются вопросом о том, как найти процент от числа.
Особо важны знания процентного сообщения в сфере биржевых коммуникаций и операций. Делая вклады в мы также имеет дело с процентами. Там зачастую действует принцип плавающих процентов или капитализации, что немного усложняет принцип вычисления конечного итога.
Как мы видим, при небольшом повторении можно с легкостью вспомнить, или заново усвоить, как найти процент от числа, да и вообще, как работать с подобной математической и финансовой единицей. Эти знания не только расширят общий человеческий кругозор, но также помогут увереннее ориентироваться в ситуациях с изменениями цен, курса валют, нормы прибыли и в других очень важных процессах. Конечно, на первый взгляд кажется, что умение вычислять в уме может сэкономить лишь несколько секунд, но выигранная минута от принятия одного решения может вылиться в несколько освобожденных дней за год.
