Сущность координатного метода для решения геометрических задач

Сущностью решения задач с помощью координатного метода состоит в том, чтоб ввести удобную нам в том или ином случае систему координат и переписать все данные с помощью него. После этого все неизвестные величины или доказательства проводятся с помощью этой системы. Как ввести координаты точек в любой системе координат, было нами рассмотрено в другой статье – здесь мы на этом останавливаться не будем.

Введем основные утверждения, которые используются в координатном методе.

Утверждение 1: Координаты вектора будут определяться разностью соответственных координат конца данного вектора и его же начала.

Утверждение 2: Координаты середины отрезка будут определяться как полусумма соответственных координат его границ.

Утверждение 3: Длина любого вектора $\overline{δ}$ с данными координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ будет определяться формулой

$|\overline{δ}|=\sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}$

Утверждение 4: Расстояние между двумя любыми точками, заданными координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ будет определяться формулой

$d=\sqrt{(δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2}$

Схема решения геометрических задач с использованием координатного метода

Для решения геометрических задач с помощью координатного метода лучше всего пользоваться данной схемой:

Провести анализ того, что дано в задаче:

• Задать наиболее подходящую для задачи систему координат;
• Математически записывается условие задачи, вопрос задачи, строится чертеж по данной задаче.

1. Все данные задачи записать в координатах выбранной системы координат.

2. Составить необходимые соотношения из условия задачи, а также связать эти соотношения с тем, что необходимо найти (доказать в задаче).
3. Полученный результат перевести на язык геометрии.

Примеры задач, решаемые координатным методом

Основными задачами, приводящими к координатному методу можно выделить следующие задачи (их решения здесь приводить не будем):

1. Задачи на нахождение координат вектора по его концу и началу.
2. Задачи, связанные с делением отрезка в каком-либо отношении.
3. Доказательство того, что три точки лежат на одной прямой или, что четыре точки лежат в одной плоскости.
4. Задачи на нахождение расстояния между двумя данными точками.
5. Задачи на нахождение объемов и площадей геометрических фигур.

Результаты решения первой и четвертой задачи приведены нами как основные утверждения выше и довольно часто используются для решения других задач с помощью координатного метода.

Примеры задач на применение метода координат

Пример 1

Найти боковую сторону правильной пирамиды, у которого высота равняется $3$ см, если сторона основания равняется $4$ см.

Пусть нам дана правильная пирамида $ABCDS$, высота которой – $SO$. Введем систему координат, как на рисунке 1.

Так как точка $A$ - центр построенной нами системы координат, то

Так как точки $B$ и $D$ принадлежат осям $Ox$ и $Oy$, соответственно, то

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Так как точка $C$ принадлежит плоскости $Oxy$, то

Так как пирамида правильная, то $O$ - середина отрезка $$. По утверждению 2, получаем:

$O=(\frac{0+4}{2},\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2,2,0)$

Так как высота $SO$

Урок-зачет по геометрии в 11 классе

Тема: « Метод координат в пространстве».

Цель: Проверить теоретические знания учащихся, их умения и навыки применять эти знания в решении задач векторным, векторно-координатным способами.

Задачи:

1 .Создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

2. Развивать математическое мышление, речь, внимание.

3. Содействовать активности, мобильности, умения общаться, общей культуре учащихся.

Форма проведения : работа в группах.

Оборудование и источники информации : экран, мультимедийный проектор, таблица учета знаний, карточки для проведения зачета, тесты.

Ход урока

1.Мобилизующий момент .

Урок с применением КСО; учащиеся распределены по 3-ем динамическим группам, в которых учащиеся с допустимым, оптимальным и расширенным уровнем. В каждой группе выбран координатор, который руководит работой всей группы.

2 . Самоопределение учащихся на основе антиципации.

Задача: целеполагание по схеме: вспомнить- узнать- уметь.

Входной тест- Заполните пропуски (в распечатках)

Входной тест

Заполните пропуски…

1.Через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные пря-

мые, на каждой из них выбраны направление и единица измерения отрезков,

то говорят что задана …………. в пространстве.

2. Прямые с выбранными на них направлениями называются ……………..,

а их общая точка …………. .

3. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называют ее ………………..

4. Координаты точки в пространстве называются ………………..

5. Вектор, длина которого равна единице называется …………..

6. Векторы i y k называются………….

7. Коэффициенты x y z в разложении a = x i + y j + z k называтся

……………вектора a .

8. Каждая координата суммы двух или более векторов равна ……………..

9. Каждая координата разности двух векторов равна ……………….

10. Каждая координата произведения вектора на число равна………………..

11.Каждая координата вектора равна…………….

12. Каждая координата середины отрезка равна……………….

13. Длина вектора a { x y z } вычисляется по формуле ……………………

14. Расстояние между точками М 1(x 1 ; y 1; z 1) и M 2 (x 2; y 2 ; z 2) вычисляется по формуле …………………

15. Скалярным произведением двух векторов называется……………..

16. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю………………..

17. Скалярное произведение векторов a { x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2} в ыражается формулой…………………

Взаимопроверка входного теста. Ответы к заданиям теста на экране.

Критерии оценок:

1-2 ошибки –«5»

3-4 ошибки-«4»

5-6 ошибки-«3»

В остальных случаях –«2»

3. Выполнение работы. (по карточкам).

Каждая карточка содержит два задания: №1- теоретическое с доказательством, №2 включает в себя задачи.

Пояснить уровень сложности заданий, вошедших в работу. Группа выполняет одно задание, но имеющие 2 части. Координатор группы руководит работой всей группы. Обсуждение одной информации с несколькими партнерами повышает ответственность не только за свои успехи, но и за результаты коллективного труда, что позитивно сказывается на микроклимате в коллективе.

КАРТОЧКА №1

1.Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.

2.Задача: 1) Даны точки А (-3; 1; 2) и В (1; -1; 2)

Найдите:

а) координаты середины отрезка АВ

б) координаты и длину вектора АВ

2) Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1 . Используя метод координат, найдите угол

между прямыми АВ1 и А1 Д.

КАРТОЧКА№2

Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

Задача: 1) Даны точки М(-4; 7; 0), N (0; -1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка М N .

→ → → → →

2) Даны вектора a и b . Найдите b (a + b), если a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

КАРТОЧКА №3

Выведите формулу для вычисления расстояния между точками с заданными координатами.

Задача: 1) Даны точки А(2;1;-8), В(1;-5;0), С(8;1;-4).

Докажите, что ∆АВС равнобедренный и найдите длину средней линии треугольника, соединяющий середины боковых сторон.

2) Вычислите угол между прямыми АВ и СД, если А(1;1;0),

В(3;-1;2), Д(0;1;0).

КАРТОЧКА№4

Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

Задача: 1) Даны координаты трех вершин параллелограмма АВСД:

А(-6;-;4;0), В(6;-6;2), С(10;0;4). Найдите координаты точки Д.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СД, если А(1;1;2), В(0;1;1), С(2;-2;2), Д(2;-3;1).

КАРТОЧКА№5

Расскажите как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых. → →

Задача: 1) Найдите скалярное произведение векторов a и b , если:

→ → → ^ →

а) | a | =4; | b | =√3 (a b )=30◦

б) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Даны точки А(0;4;0), В(2;0;0), С(4;0;4) и Д(2;4;4). Докажите, что АВСД- ромб.

4. Проверка работ динамических групп по карточкам .

Слушаем выступление представителей групп. Работу групп оценивает учитель при участии учащихся.

5. Рефлексия. Оценки за зачет.

Итоговый тест с выбором ответа (в распечатках).

1) Даны векторы a {2 ;-4 ;3} b {-3; ─ ; 1}. Найдите координаты вектора

→ 2

c = a + b

а) (-5; 3 −; 4); б) (-1; -3,5;4) в) (5; -4 −; 2) г) (-1; 3,5; -4)

2) Даны векторы a {4; -3; 5) и b {-3 ; 1; 2}. Найдите координаты вектора

C =2 a – 3 b

а) (7;-2;3); б) (11; -7; 8); в) (17; -9; 4); г) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3)Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m = a + 2 b - c

→ → → → →^ → → → → →

n = 2 a - b если | a |=2 , ‌| b |=3, (a b ‌)=60°, c ┴ a , c ┴ b .

а)-1; б)-27; в)1; г) 35.

4) Длина вектора a { x y z } равна 5. Найдите координаты вектора а, если x =2, z =-√5

а) 16; б) 4 или -4; в) 9; г)3 или -3.

5) Найдите площадь ∆АВС, если А(1;-1;3); В(3;-1;1) и С(-1;1;-3).

а) 4√3; б) √3; в)2√3; г)√8.

Взаимопроверка теста. Коды ответов к заданиям теста на экране:1(б); 2(в);

3(а); 4(б); 5(в).

Критерии оценок:

Все правильно-«5»

1 ошибка-«4»

2 ошибки-«3»

В остальных случаях-«2»

Таблица учета знаний учащихся

Работа по

карточкам

Итоговый

тест

Оценка за зачет

Задания

теория

практика

1 группа

2 группа

3 группа

Оценка подготовки учащихся к зачету.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.

Прямоугольная система координат

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве

Прямые, с выбранными на них направлениями, называются осями координат, а их общая точка - началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, О z - и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

Вся система координат обозначается Оху z . Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и О z , О z и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оу z , О z х.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.

На рисунке изображены шесть точек А (9; 5; 10), В (4; -3; 6), С (9; 0; 0), D (4; 0; 5), Е (0; 3; 0), F (0; 0; -3).

Координаты вектора

Любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z в разложении вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

1 0 . Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если a {х 1 , у 1 , z 1 } и b {х 2 , у 2 , z 2 } - данные векторы, то вектор a + b имеет координаты {х 1 +х 2 , у 1 + у 2 , z 1 + z 2 }.

2 0 . Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если a {х 1 , y 1 , z 1 } и b {х 2 у 2 ; z 2 } - данные векторы, то вектор a - b имеет координаты {х 1 - х 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 }.

3 0 . Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если а {х; у; х} - данный вектор, α - данное число, то вектор α a имеет координаты {αх; αу; α z).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Дидактический раздаточный материал "Комплект конспектов для учащихся по теме «Метод координат в пространстве"для проведения уроков в форме лекций.Геометрия 10-11 класс....

Цель урока:Проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Использование метода координат в пространстве для решения заданий С2 ЕГЭ».Планируемые образовательные результаты:Учащиеся демонстрируют: ...

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов и по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
. Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора и нормали
Угол между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:

Пусть и — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики - и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат - точку (0; 0; 0) - то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) - вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов - есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек - начала и конца вектора - можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец - в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC - все та же точка A, зато конец - точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены прямые AC и BD 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD 1 . На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, проведены прямые AB 1 и AC 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA 1 , ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB 1 . Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC 1 . Все то же самое - единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB 1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами - точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка - обозначим ее точкой H - можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка - это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L - это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)