Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
из одной точки в одном направлении со скоростями \(v_1>v_2\) .

Тогда если \(l\) - длина круга, \(t_1\) - время, через которое они окажутся в одной точке в первый раз, то:

То есть за \(t_1\) первое тело пройдет расстояние на \(l\) большее, чем второе тело.

Если \(t_n\) - время, через которое они в \(n\) –ый раз окажутся в одной точке, то справедлива формула: \[{\large{t_n=n\cdot t_1}}\]

\(\blacktriangleright\) Пусть два тела начали движение из разных точек в одном направлении со скоростями \(v_1>v_2\) .

Тогда задача легко сводится к предыдущему случаю: нужно найти сначала время \(t_1\) , через которое они окажутся в одной точке в первый раз.
Если на момент начала движения расстояние между ними \(\buildrel\smile\over{A_1A_2}=s\) , то:

Задание 1 #2677

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Два спортсмена стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек круговой дорожки. Они бегут с разными непостоянными скоростями. Известно, что в тот момент, когда спортсмены впервые поравнялись, они прекратили тренировку. На сколько кругов больше пробежал спортсмен с большей средней скоростью, чем другой спортсмен?

Назовём спортсмена с большей средней скоростью первым. Сначала первому спортсмену нужно было пробежать полкруга, чтобы достичь места старта второго спортсмена. После этого ему предстояло пробежать столько же, сколько пробежал второй спортсмен (грубо говоря, после того, как первый спортсмен пробежал полкруга, ему до встречи надо было пробежать каждый метр дорожки, который пробежал второй спортсмен, причём столько же раз, сколько этот метр пробежал второй).

Таким образом, первый спортсмен пробежал на \(0,5\) круга больше.

Ответ: 0,5

Задание 2 #2115

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Кот Мурзик бегает от пса Шарика по кругу. Скорости Мурзика и Шарика постоянны. Известно, что Мурзик бежит в \(1,5\) раза быстрее Шарика и за \(10\) минут они в сумме пробегают два круга. За сколько минут Шарик пробежит один круг?

Так как Мурзик бежит в \(1,5\) раза быстрее Шарика, то за \(10\) минут Мурзик и Шарик в сумме пробегают такое же расстояние, которое пробежал бы Шарик за \(10\cdot (1 + 1,5) = 25\) минут. Следовательно, Шарик пробегает два круга за \(25\) минут, тогда один круг Шарик пробегает за \(12,5\) минут

Ответ: 12,5

Задание 3 #823

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки A круговой орбиты далёкой планеты одновременно в одном направлении вылетели два метеорита. Скорость первого метеорита на 10000 км/ч больше, чем скорость второго. Известно, что впервые после вылета они встретились через 8 часов. Найдите длину орбиты в километрах.

В тот момент, когда они впервые встретились, разница расстояний, которые они пролетели, равна длине орбиты.

За 8 часов разница стала \(8 \cdot 10000 = 80000\) км.

Ответ: 80000

Задание 4 #821

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вор, укравший сумочку, убегает от хозяйки сумочки по круговой дороге. Скорость вора на 0,5 км/ч больше, чем скорость хозяйки сумочки, которая бегает за ним. Через сколько часов вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, если длина дороги, по которой они бегают, равна 300 метрам (считайте, что в первый раз он её догнал уже после кражи сумочки)?

Первый способ:

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на 600 метров больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки (с момента кражи).

Так как его скорость на \(0,5\) км/ч больше, то за час он пробегает на 500 метров больше, тогда за \(1: 5 = 0,2\) часа он пробегает на \(500: 5 = 100\) метров больше. На 600 метров больше он пробежит за \(1 + 0,2 = 1,2\) часа.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость хозяйки сумочки, тогда
\(v + 0,5\) км/ч – скорость вора.
Пусть \(t\) ч – время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, тогда
\(v\cdot t\) – расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за \(t\) ч,
\((v + 0,5)\cdot t\) – расстояние, которое пробежит вор за \(t\) ч.
Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на 2 круга больше неё (то есть на \(600\) м = \(0,6\) км), тогда \[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5\cdot t = 0,6,\] откуда \(t = 1,2\) ч.

Ответ: 1,2

Задание 5 #822

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого мотоциклиста в два раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в третий раз (считайте, что в первый раз они встретились уже после старта). Найдите скорость первого мотоциклиста, если длина трассы 40 км. Ответ дайте в км/ч.

В тот момент, когда мотоциклисты встретились в третий раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было \(3 \cdot 40 = 120\) км.

Так как скорость первого в 2 раза больше, чем скорость второго, то он проехал из 120 км часть в 2 раза большую, чем второй, то есть 80 км.

Так как встретились в третий раз они через час, то 80 км первый проехал за час. Его скорость 80 км/ч.

Ответ: 80

Задание 6 #824

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два бегуна стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой 400 метров. Через сколько минут бегуны поравняются в первый раз, если первый бегун за час пробегает на 1 километр больше, чем второй?

За час первый бегун пробегает на 1000 метров больше, чем второй, значит на 100 метров больше он пробежит за \(60: 10 = 6\) минут.

Изначальное расстояние между бегунами равно 200 метров. Они поравняются, когда первый бегун пробежит на 200 метров больше, чем второй.

Это произойдёт через \(2 \cdot 6 = 12\) минут.

Ответ: 12

Задание 7 #825

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из города M по круговой дороге длиной 220 километров вышел турист, а через 55 минут следом за ним из города M отправился автомобилист. Через 5 минут после отправления он догнал туриста в первый раз, а еще через 4 часа после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость туриста. Ответ дайте в км/ч.

Первый способ:

После первой встречи автомобилист догнал туриста (во второй раз) через 4 часа. К моменту второй встречи автомобилист проехал на круг больше, чем прошёл турист (то есть на \(220\) км).

Так как за эти 4 часа автомобилист обогнал туриста на \(220\) км, то скорость автомобилиста на \(220: 4 = 55\) км/ч больше, чем скорость туриста.

Пусть теперь скорость туриста \(v\) км/ч, тогда до первой встречи он успел пройти \ автомобилист успел проехать \[(v + 55)\dfrac{5}{60} = \dfrac{v + 55}{12}\ \text{км}.\] Тогда \[\dfrac{v + 55}{12} = v,\] откуда находим \(v = 5\) км/ч.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость туриста.
Пусть \(w\) км/ч – скорость автомобилиста. Так как \(55\) минут \(+ 5\) минут \(= 1\) час, то
\(v\cdot 1\) км – расстояние, которое прошёл турист до первой встречи. Так как \(5\) минут \(= \dfrac{1}{12}\) часа, то
\(w\cdot \dfrac{1}{12}\) км – расстояние, которое проехал автомобилист до первой встречи. Расстояния, которые они проехали до первой встречи, равны: \ За следующие 4 часа автомобилист проехал больше, чем прошёл турист на круг (на \(220\) \ \

При использовании в упражнении величин, которые связаны с расстоянием (скорость, длина круга), решить их можно путем сведения к перемещению по прямой.

\

Наибольшую сложность у школьников Москвы и других городов, как показывает практика, вызывают задачи на круговое движение в ЕГЭ, поиск ответа в которых связан с применением угла. Для решения упражнения длину окружности можно задать как часть круга.

Повторить эти и другие алгебраические формулы вы можете в разделе «Теоретическая справка». Для того чтобы научиться применять их на практике, прорешайте упражнения по данной теме в «Каталоге».

Задачи на движение по круговой трассе. Задачи на движение по круговой трассе.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 1.


которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости
другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км,

Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после
скорость

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он
еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился
мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал
его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы
равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут.

первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут?
Ответ дайте в км/ч.


один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут

км/ч меньше скорости второго.




трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36
минут после встречи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 2.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты
поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч
больше скорости другого?

одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 минут
следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправ­
ления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут
после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на
15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если
известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг
через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого

назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на
5км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное



трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 20
минут после встречи.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 3.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости
другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после

второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 21
минуту после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 94 круга по
кольцевой трассе протяжённостью 7,5 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 18 минут.
Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что
первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 50 минут?
Ответ дайте в км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 минут
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6
км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к
моменту их встречи проходит на 300 метров больше, чем второе, и
возвращается в точку А через 5 минут после встречи. Найдите длину
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 4.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 40 км. Через сколько минут мотоциклисты
поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 25 км/ч
больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут
следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч.
Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе
протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на
финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась
средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик
в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в
км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минут
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8
км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их
встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и
возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину

Шинкарев Егор Александрович

Сборник задач

Нестандартные задачи на движение

Научный руководитель проекта Кудрявцева Наталья Николаевна

В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных к следующим группам: на круговое движение, на движение протяжённых тел и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Абакан 2017

Введение____________________________________________________3

Глава 1. Задачи на движение по кругу

§ 1.1. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки____________________________________________________4

§ 1.2. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек_____________________________6

§ 1.3. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки.………….7

§ 1.4. Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки.………………..8

Глава 2. Задачи на движение протяжённых тел

§ 2.1. Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону

§ 2.2. Задачи на движение двух протяженных тел навстречу

§ 2.3. Задачи на движение одного протяжённого тела относительно другого неподвижного

§ 2.4. Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной точки

§ 2.5. Задачи на движение протяжённого тела и точки навстречу

§ 2.6 задачи на движение протяжённого тела и точки в одну сторону______

Введение

В практике встречается очень много интересных задач на движение. Занимательные задачи предлагают на различных олимпиадах и на выпускных экзаменах. В данном сборнике собраны только задачи, условно отнесенные к следующим группам: задачи на движение по кругу, задачи на движение протяжённых тел.

В каждой группе выделены подгруппы, отличающиеся друг от друга способами решения.

В данном сборнике задач представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение, как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Глава 1

Задачи на движение по кругу

§1.1 Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки

Задача: Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1-ыйавтомобиль

80 км/ч

80*= км

2-ойавтомобиль

X км/ч

x ⋅ км

Зная, что за 2/3 часа первый автомобиль прошел на круг, то есть на 14 км больше, чем второй, составим уравнение.

X ⋅ +14;

2х=160 −14 ⋅ 3;

x=59 .

Ответ: 59 км/ч

1. Два бе­гу­на од­но­вре­мен­но стар­то­ва­ли в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места кру­го­вой трас­сы в беге на не­сколь­ко кру­гов. Спу­стя один час, когда од­но­му из них оста­ва­лось 1 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, ему со­об­щи­ли, что вто­рой бегун прошёл пер­вый круг 20 минут назад. Най­ди­те ско­рость пер­во­го бе­гу­на, если из­вест­но, что она на 8 км/ч мень­ше ско­ро­сти вто­ро­го.(13)( )

2. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. (108) ( )

3. Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в км/ч.

(150)( )

4. Двум гонщикам предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.

(96 )( )

5. Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?(1/80 и 1/90 части окружности)( )

§1.2. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек

Задача: Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1-ый мотоциклист

Х км/ч

t ч

xt км

2-й мотоциклист

Х + 21 км/ч

t ч

(х+21)t км

Пусть мотоциклисты находятся в пути одно и то же время, равное t

часов. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы, то есть 14:2=7 км. Поэтому путь, пройденный вторым мотоциклистом, на 7 км больше, чем путь, пройденный первым:

(х+21)t−хt=7;

21t=7

t=ч

Таким образом, мотоциклисты поравняются через t= часа или через 20 минут.

Приведём другое решение

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Ответ: 20 мин

Задачи для самостоятельного решения:

6. Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?(33)(https://www.metod-kopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

7. Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

8 . Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? (20)

9 . Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 27 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 27 км/ч больше скорости другого? (30)

10. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 9 км/ч больше скорости другого? (20)

§1.3. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки

Задача: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 встреча

Велосипедист

Х км/ч

40мин= ч

Мотоциклист

4Х км/ч

10 мин= ч

2 встреча

Велосипедист

Х км/ч

Мотоциклист

4Х км/ч

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x км/ч, а скорость их сближения - 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.

Итак, 3х=60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Ответ: 80км/ч.

Задачи для самостоятельного решения:

11 . Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 2 минуты после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч. (6) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm

12. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 8 минут после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. (60) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

13. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 18 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч. (60)

14. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 12 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.(95)

15. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч. (75)

§1.4. Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки

З ад ача 1: На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.

Решение:

Время

Расстояние

1-ая точка

Х км/ч

t ч

xt км

2-ая точка

y км/ч

t ч

Ytкм

Пусть х – скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а у– скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние xt, а вторая пройдет yt расстояние.

После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:

Xt=16y

Yt=9x

Выразим время движения точек до встречи t

t = =

Откуда имеем

x =

По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть

16y-9x=10

Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:

16 y -12 y =10

И находим Y=2,5 откуда x= .

Полная длина круга равна: 70

Ответ: длина окружности 70 м.

Задачи для самостоятельного решения:

16. Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5 сек. Найдите скорости каждого тела. (22 и 18)

17. Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи. (700)

18. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?(1120 м; 40 м/мин, 30 м/мин)

19. В 2.4

20. В 2.4

Глава 2

Задачи на движение протяжённых тел

§2.1. Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону

Задача: По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй- длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?(http://www.ug.ru/method_article/519)

Решение:

Время

Расстояние

2 - 1

Х м/мин

11 мин

600+130+120+800= 1650 м

Расстояние, пройденное носом 2 сухогруза равно: первоначальное расстояние от носа 2 сухогруза до кормы 1(600) + длина 1(130) + длина 2(120) + конечное расстояние от носа 1 до кормы 2(800) = 1650 м

V= S: t

V = 1650: 11= 150 м/мин =9 км/ч

Ответ: 9 км/ч

Задачи для самостоятельного решения:

21. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам. Ответ дайте в метрах. (200)

22. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй - длиной 70 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 200 метров. Через 8 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 500 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (6.6)

( )

23. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая длиной 70 метров, вторая - длиной 30 метров. Сначала вторая баржа отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 250 метров. Через 14 минут после этого уже первая баржа отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 350 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? (3)

( )

24. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая длиной 60 метров, вторая- длиной 40 метров. Сначала вторая баржа отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 200 метров. Через 18 минут после этого уже первая баржа отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 300 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? (2.1)

( )

25 . По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй - длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (6)

( )

§3

Задачи на цифровую запись числа

Задача 1: Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12.

Решение:

Число должно быть кратно 11, то есть разность цифр, стоящих на чётных позициях и цифр, стоящих на нечётных позициях кратно 11, рассмотрим случай, когда их разность равна 0. Заметим, что 0 не должен встречаться, так как при умножении на 0 получим 0. Так как число наименьшее возьмём первую цифру 1. Число примет вид 1bcd. И так 1 + c = b + d и c×b×d=12. При этом если представить 12 в виде произведения 3-х чисел, то получим 12= 2×3×2, при этом 2+2 = 3+1 и получаем 1232

Ответ:1232

Задачи для самостоятельного решения:

26. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 40. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

27. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 60. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

28. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 18, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

29. Най­ди­те четырёхзнач­ное число кратное 33, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

30. Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12

Задача 2: Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение:

Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами. Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
Ответ: 111000

Задачи для самостоятельного решения:

31. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

32. Най­ди­те ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 5 и де­лит­ся на 45. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

33. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 3 и делится на 6.

34. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 7 и 3 и делится на 11.

35. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 3, 4, 9 и 5 и делится на 9.

36. Найти наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

37. Найдите шестизначное натуральное число, делящееся на 47, которое записывается только цифрами 2, 8, и 0.

Задача 3: Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12 найдите Наименьшее возможное число А.

Решение: Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Сумма цифр a + b + c должна делиться нацело на 12. Предположим, что так оно и есть, и попробуем подобрать такое число A + 6, чтобы сумма его цифр также делилась на 12. Заметим, что сумма цифр числа A + 6 должна отличаться от суммы цифр числа A на 12, 24, ... Иначе она не будет делиться на 12. Рассмотрим все возможные варианты:

Вариант 1. Если c <4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.

Вариант 2. Если c ≥ 4 и b <9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.

Вариант 3. Если c ≥ 4, b = 9, a <9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.

Вариант 4. Если c ≥ 4, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 6 будет равно: A + 6 = 100(c - 4) Сумма цифр этого числа равна: 1 + 0 + 0 + c - 4 = c - 3 Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна: 9 + 9 + c = c + 18 Получается, что 2 этих числа отличаются на 21 (18 - (-3)). Этот вариант не подойдет. Таким образом, цифры числа abc должны соответствовать c ≥ 4, b = 9, a < 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1

Ответ: 699

Задачи для самостоятельного решения:

38. Сумма цифр натурального трёхзначного числа А делится на 13. Сумма цифр числа А+5 также делится на 13. Найдите такое число А.

39. Сумма цифр натурального трёхзначного числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12. Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее условию А › 700.

40. Найдите трёхзначное число А, обладающие всеми следующими свойствами:

сумма цифр числа А делится на 6

сумма цифр числа А+3 также делится на 6

число А больше 350 и меньше 400

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

§4

Задачи на вычёркивание и дописывание чисел

Задача 1: Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 27. В ответе укажите число.

Решение:

Начнем с чисел, которые начинаются с цифры 1, что бы порядок не был нарушен:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Среди этих чисел 135 делится на 27 (13–8·5= –27)
Далее проверяем числа, которые начинаются с цифры 2:
234, 235, 236, 245, 246, 256

Проверяем числа, которые начинаются с 3:
345, 346, 356.
Ни одно число не делится на 27.
Переходим к числам которые начинаются на цифру 4.
456: не делится на 27.
Таким образом, получаем число 135

Ответ: 135

Задачи для самостоятельного решения:

41. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 35. В ответе укажите число.

42. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 5. В ответе укажите число.

43. Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

44. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

45. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача 2: К числу 26 допиши левее и правее по цифре, чтоб полученное число было кратным 45.

Решение:

Сумма цифр этого числа должна делиться на 9, само число должно делиться на 5., значит последняя цифра 0 или 5. а дальше подбираем первую цифру.

1260 и 5265.

Ответ: 1260 или 5262

Задачи для самостоятельного решения:

46. К числу 374 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

47. Приписать к 1022 слева и справа по одной цифре так чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8, 9.

48. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

49. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы получилось число, кратное 72.

50. К числу 2012 припишите справа две цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 36.

Ответы на задачи:

1. 1125

2. 1044

3. 1245

4. 3225

5. 4312

6. 6

7. 5

8. 3

9. 321 0

10. 3211

11. 11

12. 5

13. 1152

14. 1152

15. 2120

16. 20

17. 20

18. 10

19. 35

20. 10

21. 30

22. 24

23. 25

24. 24

25. 54

26. 1254

27. 2156

28. 3222

29. 2541

30. 1232

31. 222000

32. 111555

33. 333222

34. 377333

35. 333459

36. 1023457896

37. 282000

38. 899

39. 798

40. 369

41. 245

42. 12345

43. 54162

44. 115650

45. 181512

46. 43740

47. 910224

48. 1155

49. 4104

50. 420120

Список используемой литературы:

1) Школьные знания - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://znanija.com/task/, свободный. - Заглавие с экрана.

2) mail . ru - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://otvet.mail.ru/question/, свободный. - Заглавие с экрана.

3) ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Забелин, П. И. Захаров, С. Л. Крупецкий, В. Б. Некрасов, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Е. А. Семенко, А. В. Семёнов, В. А. Смирнов, Н. А. Сопрунова, А. В. Хачатурян, И. А. Хованская, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2015. – 686, с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)

4) Математичка - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://mathematichka.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.

5) Задачи математических олимпиад / И. Л. Бабинская. – М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975. – 109, с.

6) Открытый банк задач ЕГЭ по математике - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://base.mathege.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.

7) Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ - экзамены на олично - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://worksbase.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.

Демонстрационный вариант вступительного экзамена
в 8-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535. 1 этап
1) Найти значение выражения:

Решение:

На рисунке изображен график движения туриста из города A в город B, причём по дороге им был сделан привал. Определить:
а) На каком расстоянии (в км) от города A турист сделал привал?
б) Какой была скорость туриста (в км/ч) после привала?
в) Какой была средняяскорость движения туриста (в км/ч) при движении из A в B?

Решение: а) ответ: 9; б) 18-9=9, 7-5=2, значит 9:2=4,5 км/ч; в) 18:5=3,6 км/ч.

3) Привести многочлен (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) к стандартному виду/
Решение: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 -p-16)=p 3 +3p 2 -16p-48- p 3 +p 2 +16p=4p 2 -48

4) Найти корень уравнения выражения: 8 15: x=4 17 · 2 6
Решение:

5) Пользуясь данными рисунка найти градусную меру угла α


Решение: 136°+44°=180°, значит, прямые параллельны. Следовательно, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, значит, ∠α=180°-44°-56°=80°.

6) Чему равен корень уравнения

Решение: умножаем все слагаемые на 30, знаменатели сократятся:

7) Найти значение числового выражения:

Решение:

8) Если одну из смежных сторон квадрата уменьшить на 2 см, а вторую - увеличить на 6 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади прямоугольника, который получится из того же исходного квадрата, если одну из его смежных сторон не изменять, а другую увеличить на 3 см. Чему (в квадратных сантиметрах) равна площадь исходного квадрата?
Решение. Пусть x - сторона квадрата. Составим уравнение:
(x -2)(x +6)=x (x +3);
x 2 +4x -12=x 2 +3x ;
x =12
Площадь исходного квадрата равна 12 · 12=144 см 2 .

9) Задать формулой линейную функцию, график которой в системе координат 0xy проходит через точку Т(209,908) и не пересекается с графиком уравнения 9x+3y=14
Решение. Перепишем уравнение в виде

Формула линейной функции в общем виде y=kx+b. Если график искомой не пересекается с графиком данного уравнения, значит k=-3. Следовательно, 908=-3 · 209 + b, откуда b=1535.
Формула искомой линейной функции: y=-3x+1535

10) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45 % меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40 % меди?
Решение. Если в сплаве меди с оловом 45 % меди, то значит, в нем 55 % олова. Если в новом сплаве 40 % меди, значит, в нем 60 % олова. Пусть x - количество кг чистого олова, которого надо прибавить к сплаву. Составим уравнение:
0,55 · 24 + x = 0,6 (x+24)
x-0,6x=0,6 · 24- 0,55 · 24
0,4x=0,05 · 24
x=3
Ответ: 3 кг.
Примечание репетитора по математике: подробнее о методах решения задач на сплавы и смеси можно почитать в статье Преимущества и недостатки различных методик решения задач на сплавы и смеси

11) По данным рисунка, на котором изображены графики двух линейных функций и парабола, найти абсциссу точки T.

Решение. Прямая y=5x и парабола y=x 2 пересекаются в двух точках. Найдем абсциссы этих точек с помощью уравнения 5x=x 2 . Отсюда x 1 =0; x 2 =5. Значит, ордината точки пересечения равна 25
Прямая, на которой лежит точка T, проходит через точки с координатами (5;25) и (0;27). Уравнение прямой в общем виде: y=kx+b. Подставляя вместо x и y координаты точек прямой, получаем систему уравнений:


Точка T имеет ординату, равную нулю. Следовательно

Ответ. 67,5.

12) Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два объекта. Первый объект к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второй, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найти длину трассы в метрах, если второй объект возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Примечание. В Интернете можно встретить сайты, где такого рода задачи решаются квадратным уравнением. Между тем, данная работа предназначена для поступающих в 8-й класс. То есть решать эту задачу, зная квадратное уравнение, которое проходят в 8-м классе, некорректно. Ни к чему пременять программу 8-го класса для решения задачи, адресованной семиклассникам. Ниже представлено решение, которое не требует квадратного уравнения
Решение. Пусть t - время до встречи объектов, v 1 - скорость первого объекта, v 2 - скорость второго объекта.
Тогда v 1 · t - v 2 · t = 100, так как на момент встречи первый объект прошел на 100 м больше. Так как v 2 t - путь, который прошел 1-й объект после встречи, v 1 - его скорость и вернулся он в точку А через 9 минут, то можно составить уравнение

Аналогично
. Три уравнения образуют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Поделим 1-е уравнение на 2-е. Получится:

откуда

Таким образом,

Подставив это выражение в первое уравнение, получим t=12 мин

Подставив последнее выражение и t=12 в третье уравнение системы, получим:

отсюда

Согласно условию длину трассы в метрах можно определить, сложив путь первого объекта до встречи и путь второго объекта до встречи. То есть

Ответ. 700 метров

13) На стороне ML квадрата MNKL построен равносторонний треугольник MPL, причём точка P расположена внутри квадрата. Найти градусную меру угла LPK.
Решение

По условию ML=PL=KL; треугольник PLM - равносторонний, значит, все углы равны 60°, значит, ∠ PLK=30°. Таким образом, ∠LPK=(180°-30°) : 2=75°.

14) Разложить на множители: (решения написаны сразу же)

Александр Анатольевич, репетитор по математике. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей, в том числе и в 8-й класс математической специализации и в классы других специализаций. Готовящимся к поступлению в лицей № 1535, равно как и в другие лицеи, важно понимать, что реальные варианты на вступительных экзаменах несколько отличаются от демонстрационных. Поэтому необходимо уметь решать и другие похожие задания.

Решаем 238 Вариант Ларина ЕГЭ 2018. Подробный разбор заданий 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с сайта alexlarin.net. Алекс Ларин 238 тайминги: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 twitter:https://twitter.com/mrMathlesson
группа ВК: https://vk.com/mr.mathlesson
сайт:
Примеры заданий: 1)Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его длина, ширина и глубина равны соответственно 25 м, 12 м и 2 м. Для облицовки дна и стен бассейна решено приобрести плитку по цене 500 р. за квадратный метр. Сколько рублей будет стоить покупка, если по периметру бассейна дополнительно планируется выложить прямоугольную дорожку шириной 1 м из той же плитки? 2)На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат - давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут прошло от запуска турбины до момента, когда давление в первый раз достигло наибольшего значения. 3)Найдите площадь треугольника ABC, если сторона клетки равна 4. 4)На прилавке лежат 8 одинаковых пар перчаток, но у одной пары есть незаметный снаружи брак внутри обеих перчаток. В ходе примерок все перчатки перемешались. Продавец разделил все перчатки случайным образом на 4 группы по 4 штуки. Какова вероятность того, что обе бракованные перчатки находятся в одной группе? 5)Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней. 6)Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. 7)На рисунке изображён график y=f"(x) - производной функции f(x) , определённой на интервале (-4;10) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=x или совпадает с ней. 8)Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах. 10)После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h=5t. До дождя время падения камушков составляло 1,4 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 с? 11)Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36 мин после встречи. 14)В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D. а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD . б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что Ссылка на первоисточник варианта:
#mrMathlesson #Ларин #ЕГЭ #профиль #математика