Определение .

Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

• Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
• Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
• Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
• Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
• Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагональ B 1 D
• Диагональ основания BD
• Диагональное сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства правильной четырехугольной призмы

• Основаниями являются два равных квадрата
• Основания параллельны друг другу
• Боковыми гранями являются прямоугольники
• Боковые грани равны между собой
• Боковые грани перпендикулярны основаниям
• Боковые ребра параллельны между собой и равны
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
• Углы перпендикулярного сечения - прямые
• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма " подразумевается, что:

Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение .
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна

√144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ : 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 4 , а боковые рёбра равны 10 . Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Показать решение

Решение

Рассмотрим следующий рисунок.

Отрезок MN является средней линией треугольника A_1B_1C_1, поэтому MN = \frac12 B_1C_1=2. Аналогично, KL=\frac12BC=2. Кроме того, MK = NL = 10. Отсюда следует, что четырёхугольник MNLK является параллелограммом. Так как MK\parallel AA_1, то MK\perp ABC и MK\perp KL. Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. S_{MNLK} = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Ответ

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 24 . Точка K — середина ребра CC_1 . Найдите объём пирамиды KBCD .

Показать решение

Решение

Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD . CC_1 является высотой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Так как K является серединой CC_1 , то KC=\frac12CC_1. Пусть CC_1=H , тогдаKC=\frac12H . Заметим также, что S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}. Тогда, V_{KBCD}= \frac13S_{BCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac13\cdot\frac12S_{ABCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac{1}{12}\cdot S_{ABCD}\cdot H= \frac{1}{12}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}. Следовательно, V_{KBCD}=\frac{1}{12}\cdot24=2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6 , а высота — 8 .

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 6a\cdot h, где P осн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 8 , и a — сторона правильного шестиугольника, равная 6 . Следовательно, S бок. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 40 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Пусть a — сторона основания первого сосуда, тогда 2 a — сторона основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обозначим через H уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^{\circ}\cdot40= \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40, и, V=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H. Отсюда \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H, 40=4H, H=10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2 . Найдите расстояние между точками A и E_1 .

Показать решение

Решение

Треугольник AEE_1 — прямоугольный, так как ребро EE_1 перпендикулярно плоскости основания призмы, прямым углом будет угол AEE_1.

Тогда по теореме Пифагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Найдём AE из треугольника AFE по теореме косинусов. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120^{\circ}. Тогда AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^{\circ}= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Отсюда, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4\sqrt5 и 8 , и боковым ребром, равным 5 .

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 4a\cdot h, где P осн. и h соответственно периметр основания и высота призмы, равная 5 , и a — сторона ромба. Найдём сторону ромба, пользуясь тем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = AA’ = BB’ = CC’ (рис. 306).

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD и \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (рис. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и BB’, то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями BCD, ВСЕ, BАD и BAF.

Призмы с основаниями BCD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh . Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh .

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания Sи высотой h , разобьём её на треугольные призмы (рис. 308).

Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S 1 h + S 2 h + S 3 h , или

V = (S 1 + S 2 + S 3)h .

И окончательно: V = Sh .

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Объём призмы

Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

1) Проведём (черт. 95) через ребро AA 1 треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 плоскость, параллельную грани ВВ 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - плоскость, параллельную грани AA 1 B 1 B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

Тогда мы получим параллелепипед BD 1 , который диагональной плоскостью АА 1 С 1 С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd . В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть \(\Delta\)аbc , а высота - ребро АА 1 . Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть \(\Delta\)аdс , а высота - ребро АА 1 . Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА 1 В 1 С 1 и ADCA 1 D 1 C 1 равновелики. Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD 1 ; поэтому, обозначив высоту призмы через H, получим:

$$ V_{\Delta пр.} = \frac{S_{ABCD}\cdot H}{2} = \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot H = S_{ABC}\cdot H $$

2) Проведём через ребро АА 1 многоугольной призмы (черт. 96) диагональные плоскости АА 1 С 1 С и AA 1 D 1 D.

Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b 1 , b 2 , b 3 , а общую высоту через Н, то получим:

объём многоугольной призмы = b 1 H +b 2 H + b 3 H =(b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площади ABCDE) H.

Следствие. Если V, В и Н будут числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту призмы, то, по доказанному, можно написать:

Другие материалы

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.