Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.
Если рассматривать форму записи вида:
то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
> теорема синусов
> отношение элементов в треугольнике
> теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:
— часы в минуты (и наоборот).
— единицы объёма, площади.
— длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700 – 100%
х – 35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит
1 – 60
х – 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1 – 1,6
х – 3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Разделы: Математика
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма урока: Урок-исследование.
Цели урока:
- активизировать познавательную деятельность учащихся;
- познакомить учащихся с понятиями: пропорция, члены пропорции; верная и неверная пропорции;
- познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
Оборудование:
В маршрутных листах указаны баллы, которые можно получить за решение заданий. При выставлении баллов учащийся учитывает правильность своего решения, скорость решения (самопроверка и взаимопроверка с помощью презентации). В строке “Дополнительные баллы” выставляются баллы за ответы на дополнительные вопросы, за помощь учителю в организации проверки других учащихся, а также за “отгадывание” темы урока.
Карточки разрезаются и в конвертах раздаются учащимся (один конверт на парту).
3. Карточки для магнитной доски (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3)
В ходе урока данные карточки вывешиваются на магнитную доску.
4. Ребусы (рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6, рисунок 7).
Ребусы, составленные учащимися старших классов (кроме ребуса “Пропорция” - этот ребус взят из урока, представленного на ФПИ учителем Козак Татьяной Ивановной, МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области) расположены на доске, учащимся предлагается разгадать их после урока.
Техническое оснащение урока – компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint (приложение 4).
I. Организация начала урока
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте, наличие красного и синего карандаша, а также свою готовность к уроку.
II. Сообщение темы, цели и задач урока.
Сегодня на уроке мы продолжаем изучение большого раздела курса математики. Мы закончили изучение темы (какой? - “Отношение” ). Теперь мы приступаем к изучению новой темы в этом разделе. А узнать тему урока нам помогут несколько примеров. На титульном листе вашего маршрутного листа вам необходимо заполнить таблицу, устно решив примеры и, тогда, вы узнаете тему сегодняшнего урока. СЛАЙД 1
Итак, тема сегодняшнего урока Пропорция . СЛАЙД 2
Зная тему урока, попробуйте составить план урока. Что вы должны узнать сегодня на уроке? Что вы хотите узнать? Чему хотите научиться на уроке?
Составим план, который будем дополнять по ходу урока. (учащиеся называют два первых и два последних пункта плана, остальные заполняются в течение урока, по мере “открытия” новых знаний; план урока записывается на доске)
- повторение (вопросы, связанные с отношением)
Определение пропорции
ЧЛЕНЫ ПРОПОРЦИИ
ВЕРНЫЕ и НЕВЕРНЫЕ ПРОПОРЦИИ
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ
Применение в математике
Применение в жизни
Два последних пункта мы сможем разобрать на следующих уроках, по ходу изучения темы.
III. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.
Обсудите вопросы, связанные с темой “Отношение”, с соседом по парте.
Кто готов задать вопросы, связанные с прошлой темой? (блицопрос) МР1
- Что такое отношение?
Как можно записать отношение?
На какие вопросы отвечает отношение?
Как можно записать отношение двух чисел?
Чем можно заменить знак делания?
Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?
Они помогут нам при изучении новой темы.
Возьмите конверты и составьте отношения а к b и c к d двумя способами. (всего 4 отношения) РАБОТА В ПАРАХ.
МР2 Перед вами несколько отношений. Найдите значение этих выражений. СЛАЙД 3
По какому признаку вы сгруппировали данные отношения?
- Их значения равны.
Полученные равенства называются пропорцией.
Подумайте и дайте определение пропорции.
ПОДСКАЗКА – пропорция – это … НА ЭКРАНЕ (равенство )
Равенство …ЧЕГО (отношений )
Скольких отношений? (двух ).
Кто уверен в своем мнении, запишите определение в маршрутный лист. МР3
Кто готов выйти к доске и составить определение пропорции? (приложение 3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на магнитной доске): Пропорция – равенство двух отношений.
Посмотрим на толкование слова пропорция в словаре русского языка Ожегова С.И. СЛАЙД 4 : “Пропорция - определенное соотношение частей между собой, соразмерность. В математике – равенство двух отношений”.Вы сформулировали определение пропорции также как в словаре русского языка!
Подумайте, с каким математическим термином созвучно слово “пропорция”? (проценты ). Как переводится термин “процент”? (от ста ). Значит, “про” переводится как “от”. Какая часть слова осталась? (“порция ”). Где вы встречались с этим словом? (в кулинарии) Что оно означает? (размер)
Слово пропорция произошло от латинского слова proportio – соразмерность. (этимологический словарь). СЛАЙД 4
Используя определение пропорции, составьте пропорции, используя знак деления и дробную черту. (РАБОТА В ПАРАХ, конверты).
В маршрутных листах запишите пропорцию, используя буквы a,b,c,d. МР4
А сейчас мы узнаем, как называются числа, из которых состоит пропорция.
Числа a, b, c, d называются членами пропорции
Назовите первый и последний член пропорции? (а и с )
А как обычно (в жизни) называют первого и последнего? (крайние)
Значит, члены a и b называются …? (крайними)
А где находятся члены с и d? (в середине)
И как называются члены с и d? (средними)
Красным цветом выделим какие члены? (к райние )
цветом (с редние) члены.средние члены
Вернемся к плану урока – есть чем его дополнить? (крайние и средние члены пропорции)
V. Первичное закрепление знаний
МР5 Заполните таблицу:
Какой вывод можно сделать? Запишите вывод в маршрутном листе. (В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних) СЛАЙД 8
МР6 Перед вами пять равенств. Все ли они являются пропорциями?
Подчеркните пропорции.
= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2СЛАЙД 7 Встаньте, кто закончил.
Все уверены в том, что здесь три пропорции? Ведь в последнем равенстве произведение крайних членов не равно произведению средних. Вернемся к определению пропорции (Пропорция – равенство двух отношений ). Третье равенство является равенством двух отношений? (является). По определению это пропорция? (да) . А произведение крайних членов равно произведению средних? (нет) . Значит, это пропорция…? (неправильная). Такая пропорция называется неверной. Значит, бывают пропорции неверные и …? (верные). Сформулируйте основное свойство пропорции, используя полученные знания. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних).
VI. Закрепление знаний.
Заполните с таблицу.
Верная пропорция Неверная пропорция
= = 20: 4
А как еще можно определить верная пропорция или неверная? (найти значение отношений)
В дальнейшем мы будет говорить о верных пропорциях.
Вернемся к плану урока. Что можно добавить? (пропорции верные и неверные)
МР7 Используя буквы В и Н отметьте верные и неверные пропорции.
= 1: 0,5 = 4,8: 2,4 7,5: 5 = 2: 3 = 10: 3 = 3 : 1 5: х = 20: 4х
VII. Обобщение и систематизация.
МР8 Используя основное свойство пропорции, составьте верную пропорцию из следующих чисел: 4, 5, 12, 15. Сколько верных пропорций можно составить?
VIII. Контроль и самопроверка знаний
МР9 Математический диктант
- Запишите пропорцию: Число 18 так относится к 4, как 27 относится к 6.
- Запишите пропорцию: Отношение трех к пяти равно отношению двух к семи.
- Запишите средние члены пропорции: 1,5: 2 = 4,5: 6
- Запишите крайние члены пропорции: 2/1,9 = 3/2,8
- Верна ли пропорция в п.3
- Верна ли пропорция в п.4
- Верно ли высказывание: Корень уравнения 20/5 = х/0,5 число 2
- Верно ли высказывание: Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию?
СЛАЙД 10. Взаимопроверка
IX. Подведение итогов урока.
Обратитесь к плану урока.
Что вы узнали сегодня на уроке? (что такое пропорция, из чего состоит пропорция, пропорции бывают верными и неверными, основное свойство пропорции, …)
Чему вы научились сегодня на уроке? (определять крайние и средние члены пропорции, выяснять является пропорция верной или неверной, …)
Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?
- Сколько верных пропорций можно составить из данной верной пропорции?
Как можно определить является пропорция верной или неверной?
Вспомним последнее задание математического диктанта.
Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию. Правильный ответ ДА. Составить пропорцию можно, но она не обязательно будет верной.
Из фразы “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” исключите одно слово, чтобы это высказывание стало неверным. (натуральных) . Почему? (Число 0 не может являться членом пропорции) . Из любых четырех чисел можно составить пропорцию
В данную фразу “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” вставьте одно слово, чтобы высказывание стало неверным (верную). Из любых четырех натуральных чисел можно составить верную пропорцию.
Подсчитайте количество баллов, которые вы заработали на уроке и выставите оценку.
X. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению
Математика – 6, Виленкин Н.Я. и др. 6-е издание
П.21, №№ 760, 781, 782, 783 (а)
Двух отношений называется пропорцией .
10: 5 = 6: 3 или
Пропорцию a : b = c : d или , читают так: отношение a к b равно отношению c к d , или a относится к b , как c относится к d .
Члены пропорции: крайние и средние
Члены отношений, составляющих пропорцию, называются членами пропорции . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c - средними членами пропорции:
Эти названия условны, так как достаточно написать пропорцию в обратном порядке (переставить отношения местами):
c : d = a : b или
и крайние члены станут средними, а средние - крайними.
Главное свойство пропорции
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
Пример: рассмотрим пропорцию . Если воспользоваться вторым свойством равенства и умножить обе её части на произведение bd (для приведения обеих частей равенства от дробного вида к целому), то получим:
Сокращаем дроби и получаем:
ad = cb
Из главного свойства пропорции следует:
Нахождение неизвестного члена пропорции
Свойства пропорции позволяют найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Рассмотрим пропорцию:
x : 8 = 6: 3
Тут неизвестен крайний член. Так как крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний, то
Разделы: Математика
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма урока: Урок-исследование.
Цели урока:
- активизировать познавательную деятельность учащихся;
- познакомить учащихся с понятиями: пропорция, члены пропорции; верная и неверная пропорции;
- познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
Оборудование:
В маршрутных листах указаны баллы, которые можно получить за решение заданий. При выставлении баллов учащийся учитывает правильность своего решения, скорость решения (самопроверка и взаимопроверка с помощью презентации). В строке “Дополнительные баллы” выставляются баллы за ответы на дополнительные вопросы, за помощь учителю в организации проверки других учащихся, а также за “отгадывание” темы урока.
Карточки разрезаются и в конвертах раздаются учащимся (один конверт на парту).
3. Карточки для магнитной доски (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3)
В ходе урока данные карточки вывешиваются на магнитную доску.
4. Ребусы (рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6, рисунок 7).
Ребусы, составленные учащимися старших классов (кроме ребуса “Пропорция” - этот ребус взят из урока, представленного на ФПИ учителем Козак Татьяной Ивановной, МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области) расположены на доске, учащимся предлагается разгадать их после урока.
Техническое оснащение урока – компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint (приложение 4).
I. Организация начала урока
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте, наличие красного и синего карандаша, а также свою готовность к уроку.
II. Сообщение темы, цели и задач урока.
Сегодня на уроке мы продолжаем изучение большого раздела курса математики. Мы закончили изучение темы (какой? - “Отношение” ). Теперь мы приступаем к изучению новой темы в этом разделе. А узнать тему урока нам помогут несколько примеров. На титульном листе вашего маршрутного листа вам необходимо заполнить таблицу, устно решив примеры и, тогда, вы узнаете тему сегодняшнего урока. СЛАЙД 1
Итак, тема сегодняшнего урока Пропорция . СЛАЙД 2
Зная тему урока, попробуйте составить план урока. Что вы должны узнать сегодня на уроке? Что вы хотите узнать? Чему хотите научиться на уроке?
Составим план, который будем дополнять по ходу урока. (учащиеся называют два первых и два последних пункта плана, остальные заполняются в течение урока, по мере “открытия” новых знаний; план урока записывается на доске)
- повторение (вопросы, связанные с отношением)
Определение пропорции
ЧЛЕНЫ ПРОПОРЦИИ
ВЕРНЫЕ и НЕВЕРНЫЕ ПРОПОРЦИИ
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ
Применение в математике
Применение в жизни
Два последних пункта мы сможем разобрать на следующих уроках, по ходу изучения темы.
III. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.
Обсудите вопросы, связанные с темой “Отношение”, с соседом по парте.
Кто готов задать вопросы, связанные с прошлой темой? (блицопрос) МР1
- Что такое отношение?
Как можно записать отношение?
На какие вопросы отвечает отношение?
Как можно записать отношение двух чисел?
Чем можно заменить знак делания?
Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?
Они помогут нам при изучении новой темы.
Возьмите конверты и составьте отношения а к b и c к d двумя способами. (всего 4 отношения) РАБОТА В ПАРАХ.
МР2 Перед вами несколько отношений. Найдите значение этих выражений. СЛАЙД 3
4: 0,5= = 5: 10 = = 8: 1 = 2,5: 5 =
Сгруппируйте отношения по определенному признаку и составьте соответствующие равенства.
IV. Усвоение новых знаний.
4: 0,5 = 8: 1 = 5: 10 = 2,5: 5
По какому признаку вы сгруппировали данные отношения?
- Их значения равны.
Полученные равенства называются пропорцией.
Подумайте и дайте определение пропорции.
ПОДСКАЗКА – пропорция – это … НА ЭКРАНЕ (равенство )
Равенство …ЧЕГО (отношений )
Скольких отношений? (двух ).
Кто уверен в своем мнении, запишите определение в маршрутный лист. МР3
Кто готов выйти к доске и составить определение пропорции? (приложение 3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на магнитной доске): Пропорция – равенство двух отношений.
Посмотрим на толкование слова пропорция в словаре русского языка Ожегова С.И. СЛАЙД 4 : “Пропорция - определенное соотношение частей между собой, соразмерность. В математике – равенство двух отношений”.Вы сформулировали определение пропорции также как в словаре русского языка!
Подумайте, с каким математическим термином созвучно слово “пропорция”? (проценты ). Как переводится термин “процент”? (от ста ). Значит, “про” переводится как “от”. Какая часть слова осталась? (“порция ”). Где вы встречались с этим словом? (в кулинарии) Что оно означает? (размер)
Слово пропорция произошло от латинского слова proportio – соразмерность. (этимологический словарь). СЛАЙД 4
Используя определение пропорции, составьте пропорции, используя знак деления и дробную черту. (РАБОТА В ПАРАХ, конверты).
В маршрутных листах запишите пропорцию, используя буквы a,b,c,d. МР4
А сейчас мы узнаем, как называются числа, из которых состоит пропорция.
Числа a, b, c, d называются членами пропорции
Назовите первый и последний член пропорции? (а и с )
А как обычно (в жизни) называют первого и последнего? (крайние)
Значит, члены a и b называются …? (крайними)
А где находятся члены с и d? (в середине)
И как называются члены с и d? (средними)
Красным цветом выделим какие члены? (к райние )
цветом (с редние) члены.средние члены
Вернемся к плану урока – есть чем его дополнить? (крайние и средние члены пропорции)
V. Первичное закрепление знаний
МР5 Заполните таблицу:
Какой вывод можно сделать? Запишите вывод в маршрутном листе. (В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних) СЛАЙД 8
МР6 Перед вами пять равенств. Все ли они являются пропорциями?
Подчеркните пропорции.
= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2СЛАЙД 7 Встаньте, кто закончил.
Все уверены в том, что здесь три пропорции? Ведь в последнем равенстве произведение крайних членов не равно произведению средних. Вернемся к определению пропорции (Пропорция – равенство двух отношений ). Третье равенство является равенством двух отношений? (является). По определению это пропорция? (да) . А произведение крайних членов равно произведению средних? (нет) . Значит, это пропорция…? (неправильная). Такая пропорция называется неверной. Значит, бывают пропорции неверные и …? (верные). Сформулируйте основное свойство пропорции, используя полученные знания. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних).
VI. Закрепление знаний.
Заполните с таблицу.
Верная пропорция Неверная пропорция
= = 20: 4
А как еще можно определить верная пропорция или неверная? (найти значение отношений)
В дальнейшем мы будет говорить о верных пропорциях.
Вернемся к плану урока. Что можно добавить? (пропорции верные и неверные)
МР7 Используя буквы В и Н отметьте верные и неверные пропорции.
= 1: 0,5 = 4,8: 2,4 7,5: 5 = 2: 3 = 10: 3 = 3 : 1 5: х = 20: 4х
VII. Обобщение и систематизация.
МР8 Используя основное свойство пропорции, составьте верную пропорцию из следующих чисел: 4, 5, 12, 15. Сколько верных пропорций можно составить?
VIII. Контроль и самопроверка знаний
МР9 Математический диктант
- Запишите пропорцию: Число 18 так относится к 4, как 27 относится к 6.
- Запишите пропорцию: Отношение трех к пяти равно отношению двух к семи.
- Запишите средние члены пропорции: 1,5: 2 = 4,5: 6
- Запишите крайние члены пропорции: 2/1,9 = 3/2,8
- Верна ли пропорция в п.3
- Верна ли пропорция в п.4
- Верно ли высказывание: Корень уравнения 20/5 = х/0,5 число 2
- Верно ли высказывание: Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию?
СЛАЙД 10. Взаимопроверка
IX. Подведение итогов урока.
Обратитесь к плану урока.
Что вы узнали сегодня на уроке? (что такое пропорция, из чего состоит пропорция, пропорции бывают верными и неверными, основное свойство пропорции, …)
Чему вы научились сегодня на уроке? (определять крайние и средние члены пропорции, выяснять является пропорция верной или неверной, …)
Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?
- Сколько верных пропорций можно составить из данной верной пропорции?
Как можно определить является пропорция верной или неверной?
Вспомним последнее задание математического диктанта.
Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию. Правильный ответ ДА. Составить пропорцию можно, но она не обязательно будет верной.
Из фразы “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” исключите одно слово, чтобы это высказывание стало неверным. (натуральных) . Почему? (Число 0 не может являться членом пропорции) . Из любых четырех чисел можно составить пропорцию
В данную фразу “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” вставьте одно слово, чтобы высказывание стало неверным (верную). Из любых четырех натуральных чисел можно составить верную пропорцию.
Подсчитайте количество баллов, которые вы заработали на уроке и выставите оценку.
X. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению
Математика – 6, Виленкин Н.Я. и др. 6-е издание
П.21, №№ 760, 781, 782, 783 (а)
§ 125. Понятие о пропорции.
Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:
Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.
Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.
Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.
§ 126. Основное свойство пропорции.
Рассмотрим пропорцию:
Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.
Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.
Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.
В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .
Проверим его на нескольких пропорциях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.
Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:
эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:
Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:
Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:
а) 1 6 = 2 3;
б) 2 15 = б 5.
§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.
Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:
х : 4 = 15: 3.
В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:
x 3 = 4 15.
После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:
х 3 = 60.
Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:
х = 60: 3, или х = 20.
Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:
Пропорция верна.
Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:
70: 10 = 21: х .
Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.
Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:
70 х = 210.
Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.
Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:
30: х = 27: 9.
Напишем основное свойство пропорции:
30 9 = х 27.
Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:
х 27 = 270.
Найдём неизвестный сомножитель:
х = 270: 27, или х = 10.
Проверим подстановкой:
30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.
Возьмём ещё одну пропорцию:
12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:
12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:
6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:
х = 96: 6, или х = 16.
Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.
Найдите неизвестные члены следующих пропорций:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два последних правила в общем виде можно записать так:
1) Если пропорция имеет вид:
х: а = b: с , то
2) Если пропорция имеет вид:
а: х = b: с , то
§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.
В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:
1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.
П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.
Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:
120:30 = 60: 15.
Пропорция не нарушилась.
Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:
Получили опять правильную пропорцию.
2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.
Пример. 16:8 = 40:20.
Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:
Получили правильную пропорцию.
Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:
Пропорция не нарушилась.
Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.
Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:
3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:
Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:
Пропорция верна.
Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.
1) Пусть имеется пропорция:
200: 25 = 56: x .
В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:
8:1 = 56: x .
Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:
2) Возьмём пропорцию:
2: 1 / 2 = 20: 5.
В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.
Увеличим второй крайний член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.
Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.
Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.
Приведём дроби к общему знаменателю:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:
Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.
Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .
Умножим все члены пропорции на 48:
24: 1 = 960: 40.
При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставив в ней крайние члены, получим:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставим теперь средние члены:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставим одновременно и крайние, и средние члены:
20: 12 = 5: 3. (4)
Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:
12: 20 = 3: 5. (5)
В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.
Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:
а: b = с: d; c: d = a: b ;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:
ad = bc.
Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.
