Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший.

Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.

Предыстория

Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути. По прямым линиям распространяются и световые лучи.

При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.

Это несложно доказать, просто отразив пути лучей на противоположную сторону от зеркала. На картинке они показаны пунктиром.

Видно, что зеленый путь ACB превращается в прямую ACB’. А красный путь превращается в изломанную линию ADB’, которая, конечно длиннее зеленой.

В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время.

На рисунке опять, зеленым цветом показан путь, по которому в действительности двигается световой луч. Путь, отмеченный красным цветом, является кратчайшим, но не самым быстрым, потому что свету приходится больший путь проходить в стекле, а в нем его скорость меньше. Самым быстрым является именно реальный путь прохождения светового луча.

Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий. Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой.

В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:

На математическом языке принцип наименьшего действия формулируется достаточно кратко, однако не для всех читателей может быть понятен смысл используемых обозначений. Я хочу попытаться объяснить этот принцип более наглядно и простыми словами.

Свободное тело

Итак, представьте, что вы сидите в машине в точке и в момент времени вам дана простая задача: к моменту времени вам нужно доехать на машине до точки .

Топливо для машины дорого стоит и, конечно, вам хочется потратить его как можно меньше. Машина у вас сделана по новейшим супер-технологиям и может разгоняться или тормозить как угодно быстро. Однако, устроена она так, что чем быстрее она едет, тем больше потребляет топлива. Причем потребление топлива пропорционально квадрату скорости. Если вы едете в два раза быстрее, то за тот же промежуток времени потребляете в 4 раза больше топлива. Кроме скорости, на потребление топлива, конечно же влияет и масса автомобиля. Чем тяжелее наш автомобиль, тем больше топлива он потребляет. У нашего автомобиля потребление топлива в каждый момент времени равно , т.е. в точности равно кинетической энергии автомобиля.

Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? Ясно, что ехать нужно по прямой. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. А дальше можно избрать разные тактики. Например, можно быстро приехать в пункт заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время . Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени . Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее. Как же лучше ехать?

Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте в точно назначенное время . При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Можете сами проверить на нескольких примерах. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.

Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки в точку к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил. Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива.

В поле тяжести

Теперь давайте немного усовершенствуем наш автомобиль. Давайте приделаем к нему реактивные двигатели, чтобы он мог свободно летать в любом направлении. В целом конструкция осталась той же, поэтому расход топлива опять остался строго пропорционален кинетической энергии автомобиля. Если теперь дано задание вылететь из точки в момент времени и прилететь в точку к моменту времени , то наиболее экономичный способ, как и прежде, конечно, будет лететь равномерно и прямолинейно, чтобы оказаться в точке в точно назначенное время . Это опять соответствует свободному движению тела в трехмерном пространстве.

Однако, в последнюю модель автомобиля установили необычный аппарат. Данный аппарат умеет вырабатывать топливо буквально из ничего. Но конструкция такова, что чем выше находится автомобиль, тем больше топлива в каждый момент времени вырабатывает аппарат. Выработка топлива прямо пропорциональна высоте , на которой в данный момент находится автомобиль. Также, чем тяжелее автомобиль, тем более мощный аппарат на нем установлен и тем больше топлива он вырабатывает, и выработка прямо пропорциональна массе автомобиля . Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна (где – ускорение свободного падения), т.е. потенциальной энергии автомобиля.

Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами и становится сложнее. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Оказывается, более оптимально - немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку . При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли.

Здесь стоит сделать разъяснение. Конечно, можно из точки кинуть камень многими разными способами так, чтобы он попал в точку . Но кидать его нужно так, чтобы он, вылетев из точки в момент времени , попал в точку точно в момент времени . Именно это движение будет самым экономным для нашего автомобиля.

Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия

Теперь мы можем перенести эту аналогию на реальные физические тела. Аналог интенсивности потребления топлива для тел называют функцией Лагранжа или Лагранжианом (в честь Лагранжа) и обозначают буквой . Лагранжиан показывает насколько много «топлива» потребляет тело в данный момент времени. Для тела, движущегося в потенциальном поле, Лагранжиан равен его кинетической энергии минус потенциальной энергии.

Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е. значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием».

Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. где тело находится в момент времени и в момент времени .

При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. Можно рассматривать совершенно другие ситуации. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е. действие.

Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел. И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным.

Не все так просто

На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.

Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.

Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.

Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в .

1. Кинематика материальной точки. Под материальной точкой понимается физический объект, в геометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Кинематика – раздел физики, изучающий виды движения тел без рассмотрения причин возникновения движения. Положение точки в пространстве характеризуется радиусом-вектором. Радиусом-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с точкой начала системы координат, а конец – с рассматриваемой точкой. r = i x + j y + k z. Скорость – расстояние, проходимое телом в единицу времени v (t) = dr /dt. v (t) = i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. Ускорение – скорость изменения скорости. a = dv /dt = d 2 r / dt 2 = i d 2 x/dt 2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n = τ dv/dt + n v 2 /R.

dr = v dt; dv = a dt, следовательно v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t 2 /2.

2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Основными понятиями в динамике являются понятие о массе и силе. Сила – это есть причина движения, т.е. под действием силы тела обретают скорости. Сила есть величина векторная. Масса – мера инертности тела. Произведение массы на скорость называется импульсом p = mv . Моментом импульса материальной точки называется вектор L = r * p . Моментом силы, действующей на материальную точку, называется вектор M = r * F . Если продифференцировать выражение для момента импульса, то получим: dL / dt = dr / dt * p + r * dp / dt. Учтя, что dr / dt = v и v параллельно p , получим dL / dt = M . Законы Ньютона. Первый закон Ньютона гласит, что тело, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие силы или их действие скомпенсировано. Второй закон Ньютона гласит, что изменение количества движения по времени, это есть величина постоянная и равна действующей силе dp / dt = d / dt (mv ) = m dv / dt = F .Это и есть второй закон Ньютона, записанный в дифференциальном виде. Третий закон Ньютона говорит о том, что во взаимодействии двух тел каждое из них действует на другое с одинаковой по значению, но противоположной по направлению силой. F 1 = - F 2 .

3. Динамика системы материальных точек. Законы сохранения. Системой материальных точекназывается совокупность конечного их числа. На каждую из точек системы действуют внутренние (со стороны других точек) и внешние силы. Пусть m – масса, r i – радиус вектор. x i , y i , z i ­ – корд. i-ой точки. Импульсом системы материальных точек называется сумма импульсов материальных точек, составляющих систему: p = Σ (i=1,n) p i = [p 1 + p 2 +…+ p n ]. Моментом импульса системы материальных точек называется сумма моментов импульса, составляющих систему материальных точек: L = Σ [L i ] = Σ [r i * p i ]. Сила, действующая на систему материальных точек, определяется как сумма всех сил, действующих на точки системы, включая силы взаимодействия точек системы между собой: F = Σ [F i ], где F i = F i ’ + Σ(j ≠ i) F ji является силой, действующей на материальную точку системы, обозначенную индексом i. Она слагается из внешней силы F i ’ и внутренней силы Σ(i ≠ j) [F ji ], действующей на точку в результате взаимодействия с другими точками системы. Тогда: F = Σ (i=1,n) [F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [F ji ]. Согласно третьему закону Ньютона Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [F ji ] = 0, поэтому F = Σ [F i ’]. Моментом силы, действующей на систему материальных точек, называется сумма моментов сил, приложенных к точкам системы M = Σ (i) [M i ] = Σ (i) [r i * F i ] = Σ (i) [r i * F i ’]. Для системы материальных точек уравнение движения имеет вид dp / dt = Σ = Σ [F i ].

Центр масс системы материальных точек – это воображаемая точка с радиусом-вектором R = 1/m Σ . Скорость его движения V = dR /dt. Тогда уравнение движения m dV /dt = F . Уравнение моментов для системы материальных точек dL /dt = M . Законы сохранения. Изолированная система – та, на которую не действуют внешние силы. В ней F = 0, поэтому dp /dt = 0. Тогда p = const. В изолированной системе момент внешних сил M = 0. Поэтому dL /dt = 0, а значит L = const. Изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равно работе, совершенной при этом силой. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F dl или m 0 v 2 /2 + Е п = const.

4. Движение в центрально-симметричном поле. Законы Кеплера. Поле называют центральным, если в нем потенциальная энергия тела зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки. Сила F = - ∂U(r)/ ∂r = - dU/dr r /r действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль ра­диус-вектора. При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы момент М = [r *р ]. Поскольку векторы М и r взаимно перпендикулярны, по­стоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r, φ, напишем функцию Лагранжа в виде L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Эта функция не содержит в явном виде координату φ. Для такой координаты соответствующий ей обобщенный импульс p i является интегралом движения. В данном случае обобщенный импульс р φ = mr 2 φ(∙) совпадает с моментом М z = М, так что M = mr 2 φ(∙) (1). Заметим, что для плоского движения одной частицы в цент­ральном поле этот закон допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение 1/2 r r d φ представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории. Обозначив ее как df, напишем момент частицы в виде M = 2mf, где производную f называют секториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной ско­рости - за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (вто­рой закон Кеплера ). Выражая φ(∙) через М из (1) и подставляя в выраже­ние для энергии, получим: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙)/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Отсюда r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) или, разделяя переменные и интегрируя: t = ∫dr/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. Далее, написав (1) в виде dφ = M 2 /mr 2 dt, подставив сюда dt и интегрируя, находим: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + const. Первый закон Кеплера. Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Третий закон Кеплера. Квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа системы материальных точек. Интегралы движения. Рассмотрим замкнутую систему материальных точек. Функция Лагранжа для нее имеет вид L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), где T = Σ (a) – кинетическая энергия, а U – потенциальная энергия взаимодействия частиц. Тогда уравнения движения d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a принимают вид m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Эти уравнения движения называются уравнениями Ньютона. Вектор F a = - ∂U/∂r a называется силой. Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q i , то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s), x a (∙) = Σ(k) [∂f a /∂q k (∙)] и т. д. Подставляя эти выражения в функцию L= 1 / 2 Σ(a) – U, получим искомую функцию Лагранжа вида L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Интегралы движения. Существуют такие функции обобщенных координат, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Они называются интегралами движения. В силу однородности времени dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Заменяя ∂L/∂q i согласно уравнениям Лагранжа на d/dt (∂L/∂q i (∙)), получим dL/dt = Σ(i) или d/dt (Σ(i) - L) = 0. Отсюда видно, что величина Е = Σ(i) – L, называемая энергией, не меняется, т.е. интеграл движения. В связи с однородностью пространства при бесконечно малом переносе ε, когда все точки системы смещаются на ε = δr, изменение функции Лагранжа, равное δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], должно быть равно нулю, т.е. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Используя уравнения Лагранжа, получаем Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Тогда величина Р = Σ(a)[ ∂L/∂v a ], называемая импульсом, остается неизменной, т.е. интеграл движения. В связи с изотропностью пространства при бесконечно малом повороте на угол δφ изменение функции Лагранжа, равное δL = Σ(a) [∂L/∂r a δr а + ∂L/∂v a δv а ] должно быть равно нулю. Произведя замену ∂L/∂v a = p a и ∂L/∂r a = p a (∙) ввиду произвольности δφ получим d/dt Σ(a) [r a p a ] = 0. Величина М = Σ(a) [r a p a ], называемая моментом импульса остается постоянной, т.е. интеграл движения.

6. Динамика абсолютно твердого тела. Тензор инерции. Уравнения Эйлера. Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми остается постоянным. Для полного описания движения твердого тела необходимо кроме движения одной из его точек знать движение тела около этой точки как точки закрепления. Пусть тело закреплено в точке О. Радиус-вектор точки m i относительно О обозначим r i , w – мгновенная угловая скорость тела, тогда момент импульса L = Σ [r i * m i v i ] = Σ = w Σ – Σ . Это векторное равенство можно записать в виде трех проекций на оси координат L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Учитывая, что (w r i) = x i w x + y i w y + z i w z получим L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , где J xx = Σ , J xy = Σ , другие аналогично. Величины J xx , J yy , J zz называются осевыми моментами инерции, а J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – центробежными моментами инерции. Совокупность величин J ij называется тензором инерции. Элементы J ii называются диагональными. Если все недиагональные элементы равны нулю, то говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции, а величины J ii называют главными моментами инерции. Такой тензор приведен к диагональному виду.

Уравнения Эйлера. Уравнение движения центра масс тела имеет вид m dv 0 /dt = m d/dt (w * r 0) = F , где r 0 – радиус-вектор центра масс тела, проведенный из точки его закрепления. Оси связанной с телом системы координат удобно направить по главным осям инерции. В этом случае момент импульса приобретает простой вид L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , причем w i – проекции угловой скорости на движущиеся вместе с телом оси координат. Воспользовавшись общей формулой dA /dt = ∂A /∂t + w * A , можно представить уравнение моментов следующим образом ∂L /∂t + w * L = M . Принимая во внимание, что L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , это уравнение перепишем в проекциях на оси движущейся системы координат: J x dw x /dt + (J z - J y)w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.

7. Движение относительно неинерциальных систем отсчета. НИСО-это система, в кот. тело движется с ускорением отн-но покоящ. системы коорд. Здесь понятия однородности и изотропности пространства и времени не выполняются, т.к. длительность и протяженность в НИСО меняются. Кроме того, теряется содержание 3 го з-на Ньютона и з-ов сохранения. Причиной всему служат силы инерции, связанные только с системой координат, кот. действуют на движение тела. Т.О. ускорение можно изменять при помощи внешней силы, либо силой инерции. F=∑Fi=ma (ИСО), F=F(внеш.)+Fi=ma′(НИСО), где Fi-сила инерции, a-ускор. тела в ИСО, a′-ускор. того же тела в НИСО. В НИСО 1-й з-н Ньютона не выполняется! Fi=-m(a′-a), т.е. силы инерции не подчиняются 3му з-ну Ньютона, т.к. они кратковремены. При переходе от ИСО к НИСО силы инерции исчезают. Инерц. силы всегда направлены против век. внешних сил. Силы инерции сожно складывать векторно. В ИСО: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/dt′+dv(t)/dt′=a x ’ + a 0 = a x . В НИСО вводятся понятия абсолютной, относительной и переносной скоростей: u 0 -абсолютная скорость, a 0 - ускорение относит. покоящ. системы коорд.

u x 0 = v + u x 0 ’; a x 0 = a’ + a x ; u x ’ a x - скорость и ускорение относит. движ. системы коорд. (относительные) ; v, a′-скор. и ускорен. к′ относит. к, т.е. переносные скорость и ускорение

8. Вариационный принцип Гамильтона. (принцип наименьшего действия).

Существует -функция обобщенной координаты, скорости, времени. Рассмотрим пространство 2S мерное, тогда положение системы S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L- функция Лагранжа; S- действие. Ф-ей действия наз-ся итнеграл S=∫ Ldt=0, при кот. взятая вдоль истинной траектории движения система будет иметь минимальное значение, т.е. S=Smin, δS=0. Т.е. система из 1 в 2 движется по такой траектории, чтобы её действие было минимально- принцип наименьшего действия Гамильтона. L = T – U -разность кинетической и потенциальной энергий системы. Согласно Гамильтону действительная траектория отвечает минимальному действию. Найдем траекторию. Действительная траектория- минимальная траектория. S-функционал. Найдем её min. δS = 0 первая вариация. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg i не зависят друг от друга
=0
на действительной траектории должно выполняться уравнение:
- уравнение Лагранжа (для любыхi= 1,…S).

9. Колебания систем с одной и многими степенями свободы. Свободные и вынужденные колебания . Наиболее простой случай, когда система имеет одну степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует такое положение сис., в кот. ее потенц. эн. U(q) имеет минимум. Отклонение от такого положения приводит к возникновению силы - dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. q 0 - обобщенная координата. Разложим U(q) - U(q0) по степеням и получим U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 где к =U’’(q 0) - положительный коэффициент. U(q 0) = 0, обозначим х = q - q 0 - отклонение координаты от равновесного значения, тогда U(x) = kx 2 /2 – потенц.энергия. 1/2a(q) q’ 2 =1/2a(q)x’ 2 -кинет.энергия при q = q0 и a(q0) = m получим функцию Лагранжа для системы совершающей одномерные колебания: L = mx 2 (∙)/2 – kx 2 /2. Соответствующее этой функции уравнение движения будет: mx(∙∙) + kx = 0 или x(∙∙) + w 2 x = 0, где w = √(k/m) -циклическая частота колебаний. Решением этих ур-й яв-ся х = a cos(wt + α) где а-амплитуда колебаний, wt + α - фаза колебаний. т.о. энергия системы совершающей колебания будет E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Вынужденные колебания. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией ½ кх 2 система обладает еще потенциальной энергией U e (х,т) связанной с действием внешнего поля. Соответственно функция Лагранжа такой системы будет: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), где F(t)-внешняя сила.

Соответствующее ур-ние движения будет mx(∙∙) + kx = F(t), или x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Если F(t) яв-ся простой периодической функцией времени с некоторой частотой γ: F(t) = f cos(γt + β) то решением уравнений движения будет: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a и α определяются из начальных условий. Т.о. под действием вынуждающей силы система совершает движение представляющее совокупность двух колебаний - с собственной частотой системы w и с частотой вынуждающей силы - γ. Колебания систем со многими степенями свободы . Потенц. эн. системы U(q i) имеет минимум при q i =q i 0 . Вводя малые смещения x i = q i - q i 0 и разлагая по ним U с точностью до членов 2-го порядка получим потенц. энергию: U = 1/2 Σ(i,k) , к ik =k ki . Кинет. эн. для такой системы будет 1/2 Σ(i,k) , где m ik =m ki . Уравнение Лагранжа для такой системы будет: L = 1/2 Σ(i,k) . Тогда dL = Σ(i,k) . Ищем x k (t) в виде x k = A k exp(-iwt), А к - постоянная. Подставляя это в уравнение Лагранжа, получим систему линейных однородных уравнений. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - характеристическое уравнение, оно имеет s различных корней w 2 α (α=1,2,….,s) w α - собственные частоты системы. Частное решение системы имеет вид: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Общее решение является суммой всех частных решений: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], где Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Каноническое уравнение Гамильтона. Ряд преимуществ при исследовании вопросов механики представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функций Лагранжа как функция координат и скоростей равен: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Это выражение можно написать в виде dL = Σ(i) + Σ(i) . Перепишем его в виде: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы выраженную через координаты и импульсы и она наз-ся гамильтоновой функцией: H(p,q,t) = Σ(i) – L. Из диф. равенства dH = - Σ(i) + Σ(i) следуют уравнения: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i – это уравнения Гамильтона. В виду их простоты и симметрии они еще наз. каноническими. Скобки Пуассона. Производная по времени от любой функции F обобщенных координат, импульсов и времени будет dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂p i dp i /dt]. Пользуясь уравнениями Гамильтона мы можем переписать это уравнение в следующем виде: dF/dt = ∂F/∂t + , где = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F/∂p i ] - наз. скобкой Пуассона. Очевидно, что уравнение Гамильтона могут быть записаны с помощью скобок Пуассона.

11. Уравнение Гамильтона–Якоби . По принципу наименьшего действия имеем S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Рассмотрим действие (S) как величину, характеризующую движение по истинным траекториям. Исходя из ур-й Лагранжа для изменения действия при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории (при одной степени свободы) получим: δS = pδq или для любого числа степеней свободы: δS = Σ(i) . Отсюда следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам: ∂S/∂q i = p i (1). По определению dS/dt = L с другой стороны рассматривая S как функцию координат и времени и используя формулу (1) имеем: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Сравнивая оба выражения, получим ∂S/∂t = L - Σ(i) или ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Формулы (1), (2) можно вместе записать в виде dS = Σ(i) – Hdt. А само действие (S) будет S = ∫ (Σ(i) – Hdt). При H независимом от t – S(q,t)=S 0 (q) - Et, где S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] - укороченное действие и Еt заменено H(p,q). Функция S(q,t) удовлетворяет определенному диф. уравнению, которое мы получим, заменив в соотношении (2) импульсы Р производными ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,…,q s ,t) = 0 - это уравнение в частных производных 1-го порядка наз. уравнением Гамильтона-Якоби. Так, для одной частицы во внешнем поле U(x,y,z,t) оно имеет вид: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Деформации и напряжения в твердых телах. Модули Юнга, сдвига. Коэффициент Пуассона . Деформация – изменение формы и объема тела под действием внешних сил. Под действием внешней силы форма тела меняется. Все деформации в природе могут быть сведены к 3 м основным деформациям: 1) растяжение, сжатие; 2) сдвига; 3) кручение. Различают однородные и неоднородные деформации. Если все части деформируются одинаково, то это однороднодеформированные. Если все части тела деформируются неодинаково, то это неоднороднодеформированные. Закон Гука выполняется в области только упругой деформации.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F упр = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; F упр = ESx/l 0 . Закон Гука определяет связь между  и . к-коэффициент упругости, он зависит от геометрических размеров, материала, из чего сделано тело. Е- модуль Юнга. Модуль Юнга равен силе, которую необходимо приложить к телу единичного поперечного сечения, чтобы его тела увеличилась в 2 раза. Другим видом деформирования является деформация сдвига, она наблюдается при касательном приложении поверхности; она параллельна поверхности деформации сдвига, наблюдается при действии тангенциальных сил, т.е., силы приложены касательно. Ψ~F t /S (угол сдвига). Ψ = nF t /S; n- коэффициент сдвига. F t = nS. (Е> N, E~ 4N).

Количественная связь между Е и N задается через коэффициент Пуассона. N = E/(2(1+μ)), где  - коэффициент Пуассона. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Коэффициент Пуассона определяет изменением поперечных размеров при растяжении или сжатии.  0,5.

13. Механика жидкостей и газов. Для всех жидкостей и газов объединяющим параметром является: плотность ρ, давление P=F n /S. В жидкостих и газах имеет место модуль Юнга, но не имеет место модуль сдвига |σ|=|P|, σ - напряжение. Если жидкость (газ) неподвижны то имеем дело с гидростатикой (аэростатикой). Характерные законы: З-н Паскаля: избыточное давление, создаваемое в газах и жидкостях передается во все стороны одинаково. З-н Архимеда справедлив и для жидкостей и для газов. Сила Архимеда всегда действует против силы тяжести. Причиной возникновения силы Архимеда является наличие у тела объема V. З-н Архимеда: На тело находящееся в жидкости или газе всегда действует сила равная весу жидкости или газа, вытесненного погруженной частью тела, и направленная вертикально вверх. Если F A >F ТЯЖ, то тело всплывает, если наоборот, то – тонет. Если жидкость (газ) текут, то к этим уравнениям присоединяются уравнение непрерывности струи. Траекторию движения частицы в жидкости наз. линией тока. Часть пространства ограниченная линией тока наз. трубкой тока. Жидкость в трубке тока может течь стационарно или не стационарно. Течение наз. стац. если через данное сечение трубки тока за ед. времени проходит одинаковое кол-во жидкости (газа), иначе, течение нестац. Пусть мы имеем трубку тока следующего вида: Если течение жидкости стац. То m 1 =m 2 =…=m n за единицу времени, если жидкость несжимаема, то ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; = ρ n Δx n , ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n , т. К. жидкость несжимаема ρ постоянно υ 1 S 1 =υ 2 S 2 =…= υ n S n , υS=const; υ=const/S – уравнение неразрывности струи. ρ dv /dt = ρg – grad P – уравн. Эйлера – 2-й зак. Ньютона для жидкостей и газов. Закон сохр. Энергии в жидкостях и газах. Ур. Бернулли. Ид. Наз. Несжимаемая жидкость, в которой можно пренебречь силами вязкого трения. Кинетическая энергия не тратится на совершение работы против сил трения. Ρυ­­ 2 /2+ρgh + P = const – ур. Бернулли, ρυ­­ 2 /2 – динамическое давление, ρgh – гидростат. Давл., P – молекулярное давление. Mυ­­ 2 /2 = E K ; mυ­­ 2 /2V= E K /V= ρυ­­ 2 /2. Сила вязкого трения F A = - ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – сила Стокса. Η - коэф. вязкости, Δυ/ΔZ – grad υ, r – размеры тела. Это есть формула Ньютона для сил вязкого трения. Если в жидкости имеются силы трения, то ид. Жидкость стан-ся вязкой. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 – P 2)= ρ(υ­ 2 ­ 2 – υ­ 1 ­ 2)/2. Если ΔP = 0, то υ­ 2 ­ 2 – υ­ 1 ­ 2 = 0, и течения жидкости не будет. Где P больше, там скор. Течения меньше. Если сечение S растет, то растет P и падает υ. Если трубка тока не лежит горизонтально, то υ­ 2 ­ 2 -υ­ 1 ­ 2 =2g (h 1 -h 2); υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) – формула Торричелли.

1. Принцип Гамильтона-Остроградского

В настоящее время стал одним из основополагающих принципов механики. Для голономных механических систем он может быть непосредственно получен как следствие принципа Даламбера - Лагранжа. В свою очередь, все свойства движения голономных механических систем могут быть получены из принципа Гамильтона - Остроградского.

Рассмотрим движение системы материальных точек относительно некоторой инерциальной системы отсчета под действием активных сил Пусть возможные перемещения точек системы стеснены идеальными голономными связями. Обозначим декартовы координаты точки через а независимые лагранжевы координаты через Зависимость между декартовыми и лагранжевыми координатами задается соотношениями

В дальнейшем будем предполагать, что координаты представляются однозначными, непрерывными и сколь угодно раз дифференцируемыми функциями переменных Кроме того, будем предполагать, что из каждого положения системы параметры могут изменяться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Движение системы будем рассматривать начиная с некоторого момента времени до момента Пусть начальному положению системы отвечают значения

лагранжевых координат а положению системы в момент - значения Введем в рассмотрение -мерное расширенное пространство координат и времени в котором каждому конкретному положению системы отвечает одна точка. В таком расширенном -мерном пространстве движение системы представляется некоторой кривой, которую в дальнейшем будем называть траекторией системы. Начальному и конечному положениям системы здесь будут соответствовать две точки . В действительном движении системы из положения в положение лагранжевы координаты непрерывно изменяются, определяя в -мерном пространстве кривую, которую будем называть действительнойтраекторией системы. Можно заставить перемещаться систему в соответствии с наложенными на систему связями из положения в положение за тот же интервал времени, но по другой траектории, близкой к действительной, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения движения. Такую траекторию в -мерном пространстве назовем окольной траекторией. Сравнивая движения по действительной и окольным траекториям, зададимся целью определить действительную траекторию среди окольных. Пусть положение системы в момент на действительной траектории отмечается точкой Р, а положение системы в тот же момент времени на окольной траектории - точкой Р (рис. 252).

Отрезок соединяющий две точки на различных траекториях в один и тот же момент времени, будет представлять возможное перемещение системы в момент Он соответствует изменению лагранжевых координат в момент при переходе из положения Р в положение Р на величину Возможному перемещению системы будут отвечать вариации декартовых координат которые могут быть выражены через вариации координат Лагранжа в виде равенств

Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство «траекторий»

каждая из которых соединяет точки проходя через них в моменты времени соответственно, и пусть значению параметра отвечает действительная траектория (прямой путь), которую проходит система за время из положения в положение Значениям а, отличным от нуля, отвечают «окольные» траектории (окольные пути), т. е. все остальные траектории, соединяющие точки за время Перемещению системы вдоль какой-либо траектории будет соответствовать изменение лагранжевых координат за счет изменения времени когда параметр а остается неизменным. Параметр а будет меняться лишь при переходе с одной траектории на другую. Вариация координаты будет теперь определяться следующим образом:

а производная по времени от координаты будет иметь вид

Пусть лагранжевы координаты являются однозначными непрерывными дифференцируемыми функциями от . Тогда

Полученные соотношения в механике называются «перестановочными». Операции дифференцирования перестановочны только тогда, когда все координаты независимы и не связаны неинтегрируемыми соотношениями.

Покажем, что перестановочность операций варьирования и дифференцирования выполняется и для декартовых координат. Пусть

Рассмотрим производную по времени от

С другой стороны,

Вычитая второе равенство из первого, получим

откуда следует

т. e. операции дифференцирования и варьирования перестановочны и для декартовых координат, если на систему материальных точек наложены только голономные идеальные связи.

Перейдем к определению действительной траектории среди всех окольных. Действительное движение системы происходит в соответствии с принципом Даламбера - Лагранжа

который определяет «тенденцию» истинного движения (действительного движения) в каждый момент времени. Рассмотрим интеграл

взятый вдоль действительной траектории системы. Все сравниваемые траектории системы начинаются в один и тот же момент времени и из одной и той же точки -мерного пространства. Все они оканчиваются в одной и той же точке в один и тот же момент времени. Поэтому на концах траекторий при будут выполняться условия

Преобразуем полученное уравнение, проинтегрировав по частям выражение

а так как на концах траектории вариации обращаются в нуль, будем иметь

В силу перестановочности операций дифференцирования и варьирования, имеем

после чего уравнение принимает вид

В таком виде полученное уравнение выражает «принцип наименьшего действия» Гамильтона для общих механических систем. На действительной траектории системы обращается в нуль интеграл от функции

Если силы, действующие на систему, обладают силовой функцией , то имеет место соотношение

а выведенное выше уравнение принимает вид

Так как варьирование не связано с изменением времени, то операции варьирования и интегрирования можно поменять местами:

т. e. интеграл на действительной траектории имеет стационарное значение.

Мы показали необходимость стационарного значения интеграла на действительной траектории. Покажем, что обращение вариации интеграла в нуль является достаточным условием действительного движения системы. Для этого достаточно из принципа Гамильтона получить уравнения движения системы.

Рассмотрим механическую систему с голономными идеальными связями, положение которой определяется лагранжевыми координатами а живая сила

зависит от обобщенных скоростей, координат и времени. Принимая во внимание известное соотношение

перепишем принцип Гамильтона в виде

Выполняя варьирование живой силы

и интегрируя затем по частям

так как на концах интервала вариации координат равны нулю, из принципа Гамильтона получим

Вариации произвольны и независимы внутри интервала а тогда в силу основной леммы вариационного исчисления равенство будет возможно только тогда, когда все коэффициенты при обращаются в нуль, т. е. когда выполняются условия

Полученные уравнения должны выполняться в действительном движении механической системы. Достаточность принципа Гамильтона доказывается тем, что эти уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода, описывающими движение механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи.

Принцип Гамильтона для механических систем с голономными идеальными связями можно теперь сформулировать следующим образом:

Действительное движение системы с голономными идеальными связями между двумя заданными положениями отличается от кинематически возможных между этими положениями движений, совершаемых за тот же промежуток времени, тем, что на действительном движении обращается в нуль интеграл

для всех значений удовлетворяющих указанным условиям.

Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера (2.13) скалярных произведений. С помощью преобразований координат уравнения (2.13) можно преобразовать к виду, содержащему только скалярные функции обобщенных координат. Мы укажем другой путь, когда вначале от принципа Даламбера переходят к интегральному вариационному принципу. Получение уравнений механики из вариационного принципа позволило получить много важных результатов. В дальнейшем вариационные принципы стали использовать и в других областях теоретической физики.

Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме (2.14)

В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном , это никак не сказывается на выводах. При использовании обобщенных координат потенциальная энергия в конечном счете является функцией обобщенных координат. Тогда вариация потенциальной энергии будет иметь вид

(2.15)

По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют Обобщенными силами:

Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение (2.9) по времени: . (2.17)

(2.18)

Будем считать, что начальное в момент времени И конечное в момент времени положения системы материальных точек заданы. Поэтому для этих моментов времени равно нулю, и первое слагаемое в (2.18) обращается в нуль. Так как вариации координат рассматриваются для фиксированных моментов времени, то производную по времени и варьирование можно переставить местами. Второе слагаемое в (2.18) преобразуется к виду

(2.19)

Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим

. (2.20) Разность кинетической и потенциальной энергии, которая входит в последний из интегралов в формуле (2.20), называется Функцией Лагранжа и обозначается буквой . Функция Лагранжа зависит от координат и скоростей материальных точек. При переходе к обобщенным координатам она выражается через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой и называется Действием; (2.22)

После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид . (2.23)

Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости подставить функции, описывающие движение механической системы. Поэтому условие экстремума действия можно использовать для отыскания закона движения системы материальных точек.

Теперь можно сформулировать Интегральный принцип, называемый Принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток вре­мени от До Происходит таким образом, что действие имеет при этом экстремум.

Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это - вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени находится из условия минимума интеграла действия. Одним из преимуществ применения принципа Гамильтона является то, что в него входят только скалярные функции, которые можно пересчитать к произвольным обобщенным координатам. Поэтому уравнения, которые вытекают из вариационного принципа, оказываются сразу записанными в обобщенных координатах. Получение уравнений механики из вариационного принципа так же позволило решить ряд фундаментальных вопро­сов классической механики.

ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРОН - ВОЛНА И ЧАСТИЦА

Обратим внимание на такой эксперимент. Электроны, определенной энергии, вылетая из источника, по одиночке проходят через маленькие отверстия в поставленной на их пути преграде, а затем попадают на фотопластинку, или на люминесцирующий экран, где оставляют след. После проявления фотопластинки на ней можно увидеть совокупность чередующихся светлых и темных полос, т.е. дифракционную картину, которая представляет собой довольно сложное физическое явление, включающее, как, собственно, дифракцию (т.е. огибание волной препятствия) так и интерференцию (наложение волн).

Не останавливаясь на деталях, рассмотрим это явление. Отметим следующие моменты:

− и дифракция, и интерференция, наблюдаемая в таком опыте

с электронами, говорят о проявлении ими (и, вообще, микрочастицами) волновых свойств, ибо только волны способны огибать препятствие и налагаться друг на друга в месте встречи;

− даже, когда электроны проходят через отверстие по одиночке (т.е. с большим интервалом) результирующая дифракционная картина остается такой же, как при массированном обстреле, что говорит

о проявлении волновых свойств каждым отдельным электроном;

− чтобы объяснить дифракцию электронов, необходимо сопоставить с их движением какую-то волновую функцию, свойства которой должны определять наблюдаемую дифракционную картину. Но раз есть волновая функция, то должно быть и волновое уравнение, решением которого эта функция является.

Таким образом, мы начнем изучение не самого уравнения, а функции, т.е. решения волнового уравнения. Но вначале мы вспомним принцип Гамильтона, работающий в квантовой механике как аксиома.

ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

В 1833г. сэр Гамильтон в работе "Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов некоторой характеристической функции" изложил идею, которая состояла в следующем:

Изложение законов механики начинается обычно с законов Ньютона. Но, можно начать с "другого конца", а именно с формулировки весьма общего утверждения, именуемого принципом наименьшего действия . Согласно этому принципу реальному движению механической системы (в отличии от всех других ее мыслимых

движений) отвечает экстремальное (а для достаточно малого промежутка времени ∆ t = t 2 − t 1 − минимальное) значение интеграла, назы-

ваемого "действием" S = ∫ Ldt ,

где L - некоторая функция координат, скоростей и, вообще говоря, времени, именуемая "функцией Лагранжа".

Как показал Гамильтон, любой величине в механике отвечает аналогичная ей величина в геометрической оптике. Так, распространение плоской волны можно представить, как перемещение в пространстве поверхности постоянной фазы ϕ = const . В то же время движению системы тождественных материальных точек вдоль пучка траекторий можно сопоставить перемещение в пространстве некоторой поверхности постоянного действия S = const . Аналогия "фаза"- "действие" может быть продолжена, тогда "подобными" окажутся такие величины как энергия и частота, а также импульс и волновой вектор, (то есть, подобны формулы, хотя смысл различен).

E = − ∂ ∂ S t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S ; k = ϕ .

− ″ набла″ оператор, введенный Гамильтоном

= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k .

Обнаруженная Гамильтоном оптико− механическая аналогия более 100 лет не привлекала внимания. И только де Бройль понял значение этой аналогии для двойственной природы микрообъекта (на соотношении де Бройля мы остановимся позднее). Однако для дальнейшей работы нам понадобится сопоставить объект с массой покоя и волну.

ФОРМУЛА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ.

Согласно принципу Гамильтона одномерному движению электрона (объекта с массой покоя) в направление оси "x" можно сопоставить плоскую монохроматическую волну:

	Ψ = A cos 2π					−ν t
	Ψ = A sin 2π					−ν t

Ψ − амплитуда (с максимальным абсолютным значением A ) ,

λ - длина волны, ν - частота, t - время.

Введем круговую частоту ω = 2 πν и волновой вектор k = 2 λ π n ,

где n − единичный вектор, указывающий направление перемещения плоской волны; Тогда:

Ψ = Acos(kx − ω t)

Ψ = A sin(kx − ω t ) (6)

Выражение (kx − ω t ) называется фазой волны (ϕ ).

Удобнее записать выражение (6) в эквивалентной комплексной форме:

Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7)

где A − тоже может быть комплексным. Выражение e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) − формула Эйлера.

Функция (8) периодична с периодом 2 π n (n = 0, ± 1; ± 2;...). В

(7) имеются как волновые так и дискретные характеристики соответствующие периоду (8). Таким образом, мы сделали первый шаг к получению волновой функции, которая сопоставима движению свободного электрона, написав формулу (7).

ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПОИСКА ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК.

Итак, электрону может быть сопоставлена частица без массы покоя, проявляющая волновые свойства. Этот факт был на основании принципа Гамильтона сначала предсказан выдающимся французским физиком Луи де Бройлем в 1924г, а затем установлен экспериментально в 1927г. американцами Дж. Дэвиссоном и А. Джермером.

Луи де Бройль предположил, что свободно движущемуся электрону с импульсом p и энергией E можно сопоставить волну с волновым вектором k и частотой ω , причем:

	p = h					(9) и E = h ω (10).

(Вспомним, что h = 2 h π = 1,054 10 − 34 Дж с)

Эти соотношения сыграли выдающуюся роль, в истории создания квантовой физики, поскольку являются соотношениями, доказанными экспериментально. Разберемся в сути экспериментов Дэвиссона и Джеррмера. Дэвиссон, изучая отражение электронов от твердых тел, стремился "прощупать" конфигурацию электрического поля, окружающего отдельный атом, т.е. искал электронные оболоч-

ки атомов. В 1923г. совместно со своим учеником Г. Кансманом он получил кривые распределения рассеянных электронов по углам в зависимости от скорости первоначального (нерассеянного) пучка.

Схема установки очень проста, изменяли энергию пучка, угол падения на мишень, положение детектора. Согласно классической физике, рассеянные электроны должны вылетать во всех направлениях. Их интенсивность не должна зависеть ни от углов, ни от энергии. Так и получалось в опытах Дэвиссона и Кансмана. Почти..., но небольшие максимумы на кривых распределения по углам от энергий все-таки были, их объяснили неоднородностью полей около атомов мишени. Немецкие физики Дж. Франк и В. Эльзассер предположили, что это − от дифракции электронов. Спор помог разрешить случай. В 1927г. Девиссон вместе с Джермером проводил опыт с никелевой пластинкой. В установку случайно попал воздух, и поверхность металла окислилась. Пришлось удалить окисную пленку отжигом кристалла в высокотемпературной печи в восстановительной среде, после чего опыт продолжили. Но результаты стали иными. Вместо монотонного (или почти монотонного) изменения интенсивности рассеянных электронов от угла наблюдались ярко выраженные максимумы и минимумы, положение которых зависело от энергии электронов. Причина столь резкого изменения картины рассеяния − образование в результате обжига монокристаллов никеля, которые служили дифракционными решетками. Если де Бройль прав, и электроны обладают волновыми свойствами, то картина рассеяния должна напоминать рентгенограмму, а расчет рентгенограммы проводится по формуле Брэгга, которая была уже известна. Так, для случая, представленного на рисунке, угол α между плоскостью Брэгга и направлением максимального рассеяния электронов составляет 650 . Измеренное рентгенографическим методом расстояние "а" между плоскостями в монокристалле Ni равно 0,091 нм.

Уравнение Брэгга, описывающее положение максимумов при дифракции, имеет вид: n λ = 2asin α (n - целое число).

Принимая n = 1 и используя экспериментальные значения ″ а ″

и ″ α ″ , получаем для λ :

λ = 2 0,091 sin 650 = 0,165 нм.

Формула де Бройля:

что превосходно согласуется с экспериментом. Впоследствии аналогичные результаты были получены Том-

соном (1928г) и в 1930г многими другими физиками.

Таким образом, как эксперимент, так и теория показали двойственность поведения электрона. Несмотря на революционность этой точки зрения, внутренняя структура электрона все же оставалась неясной. Однако, в науке часто происходят события, благодаря которым удается обойти непреодолимые участки познания и сделать определенные шаги на пути прогресса обходным путем.

В 1920 годах на заре квантовой механики физики поставили перед собой другую задачу − построить механику микромира, т.е. найти законы, определяющие движение электрона в различных ус-

ловиях, не прибегая к моделям, описывающим его внутреннюю структуру.

Итак: имеем микрообъект с отрицательным зарядом и определенной массой, совмещающей в себе каким-то образом свойства волны и частицы. Спрашивается: каковы особенности физического описания движения такого микрообъекта? Одна особенность уже ясна. Движение без потери энергии может совершать только частица без массы покоя, имеющая исключительно волновые свойства, то есть фотон. Но другая особенность этого объекта заключается в том, что он лишен покоя. Объединение этих двух особенностей микрочастицы требует специальных аксиом, или, принципов. Один из важнейших принципов описания таких объектов, которые в неуловимые моменты меняют свою суть и отражают то волновые, то корпускулярные свойства − принцип неопределенности.