Ini adalah benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon datar yang terbatas. Polihedron disebut cembung, jika terletak pada salah satu sisi bidang dari masing-masing bidang poligon pada permukaannya. Bagian persekutuan bidang tersebut dan permukaan poligon cembung disebut tepian.
Gambar di bawah menunjukkan polihedron non-cembung di sebelah kiri; pada gambar di sebelah kanan - cembung.

Muka polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi mukanya disebut tepi polihedron, dan simpul dari permukaannya adalah simpul polihedron.

Prisma

Prisma disebut polihedron, yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak pada bidang berbeda dan digabungkan dengan translasi paralel, dan semua segmen yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian dari poligon tersebut (lihat gambar). Poligon disebut dasar prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian adalah tepi lateral prisma.

Sebutan: .
Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang. Masing-masing memiliki dua sisi, yang merupakan sisi alas yang bersesuaian, dan dua lainnya merupakan rusuk samping yang berdekatan. Alas prisma adalah sama besar dan terletak pada bidang sejajar. Sisi-sisi sisi prisma sejajar dan sama panjang. Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya.
Ruas yang menghubungkan dua titik sudut pada suatu prisma yang tidak mempunyai muka yang sama disebut diagonal prisma. (Gambar menunjukkan tinggi dan diagonal.)
Bagian diagonal- ini adalah bagian prisma oleh bidang yang melewati dua sisi sisi yang tidak memiliki permukaan yang sama (lihat gambar).

Prisma disebut lurus, jika sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya. Kalau tidak, prisma disebut cenderung.
Sisi-sisi prisma lurus berbentuk persegi panjang, tinggi prisma lurus sama dengan rusuk samping, dan bagian diagonalnya adalah persegi panjang.
Permukaan samping prisma adalah jumlah luas sisi-sisinya. Permukaan prisma penuh sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya.
Teorema 1. Permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling alas dan tinggi, yaitu panjang rusuk samping.
Bagian prisma tegak lurus kita sebut bagian tersebut sebagai bidang yang tegak lurus terhadap sisi sisi prisma (artinya bidang tersebut tegak lurus terhadap semua sisi sisi prisma).
Teorema 2. Permukaan lateral prisma miring sama dengan hasil kali panjang rusuk lateral dan keliling penampang tegak lurus.
Gambar tersebut menunjukkan bagian yang tegak lurus.
S b = H ⋅ P dasar;
S n = S b + 2 S dasar
S b = aku ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S dasar

Jelasnya, teorema ini juga berlaku untuk prisma lurus, karena penampang tegak lurus adalah bagian bidang yang sejajar dengan bidang alas prisma.
Harap diperhatikan: jika suatu poligon tertentu merupakan bagian tegak lurus suatu prisma, maka sudut dalamnya adalah sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisi yang bersesuaian.
Dalam kasus prisma lurus, sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisi lateralnya adalah langsung sudut alasnya.
Contoh
Gambar tersebut menunjukkan prisma lurus.

- sudut linier dari sudut dihedral antara permukaan dan .
Prisma disebut benar, Jika:
itu didasarkan pada poligon beraturan;
prismanya lurus.

Paralelipiped

Paralelepiped adalah prisma dengan jajar genjang di alasnya.
Semua permukaan jajar genjang adalah jajar genjang.
Muka-muka suatu parallelepiped yang tidak mempunyai simpul-simpul yang sama disebut di depan.
Teorema 1. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu parallelepiped adalah sejajar dan genap.
Sebuah parallelepiped tetap menjadi parallelepiped dalam semua kasus ketika kita menganggap salah satu wajahnya sebagai dasarnya (lihat gambar).
Teorema 2. Diagonal-diagonal suatu parallelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik potongnya.
Oleh karena itu, titik potong diagonal-diagonal suatu parallelepiped adalah pusat simetrinya.
Harap diperhatikan: paralelepiped siku-siku memiliki empat diagonal yang sama besar berpasangan satu sama lain.
Pada gambar; .
Ini mengikuti sifat-sifat miring, jadi - tegak lurus yang sama terhadap bidang alas ABCD.

Jika dua diagonal suatu jajar genjang siku-siku muncul dari titik sudut yang berdekatan, maka diagonal yang lebih besar adalah diagonal yang menonjol ke diagonal utama alasnya, yaitu diagonal jajar genjang yang terletak berhadapan dengan sudut tumpul. Oleh karena itu, jika pada gambar di atas kita perhatikan sudutnya ABC bodoh, kita akan mendapatkannya, .
Paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut paralelepiped persegi panjang(Lihat gambar).

Semua muka suatu persegi panjang parallelepiped adalah persegi panjang yang dapat dibagi menjadi tiga pasang sama panjang. Basisnya dapat dianggap sebagai permukaan sembarang dari paralelepiped persegi panjang. Mengingat bahwa dalam desain paralel, jajar genjang sembarang dapat diwakili oleh jajar genjang sembarang, maka bayangan jajar genjang persegi panjang sama sekali tidak berbeda dengan jajar genjang siku-siku.
Panjang sisi-sisi yang tidak sejajar disebut dimensi linier(pengukuran) dari parallelepiped persegi panjang.
Teorema 3. Dalam suatu parallelepiped persegi panjang, semua diagonalnya sama besar. Kuadrat suatu diagonal sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya.
Semua sudut dihedral pada parallelepiped persegi panjang adalah sudut siku-siku.
Paralelepiped persegi panjang memiliki tiga pasang bagian diagonal yang sama. Masing-masing bagian ini berbentuk persegi panjang (lihat gambar).

Setiap pasangan bagian berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik potong diagonal-diagonal sisi yang berhadapan. Ruas-ruas di antara titik-titik ini sejajar dan sama dengan salah satu rusuk persegi panjang yang sejajar.
Segitiga siku-siku, yang dibentuk oleh diagonal-diagonal persegi panjang sejajar, diagonal sisi mukanya, dan sisi alasnya (lihat gambar). Misalnya, .

Paralelepiped persegi panjang memiliki pusat simetri - ini adalah titik potong diagonalnya.
Ia juga memiliki tiga bidang simetri yang melalui pusat simetri sejajar dengan permukaannya.
Paralelepiped persegi panjang yang semua rusuknya sama disebut kubus.
Bidang setiap bagian diagonal kubus adalah bidang simetrinya. Jadi, kubus mempunyai sembilan bidang simetri.
Pada gambar, kami mempertimbangkan posisi relatif beberapa elemen paralelepiped siku-siku:

- sudut antara diagonal sisi muka dan bidang alas ( - tegak lurus, - miring, CD- proyeksi).
- sudut antara diagonal paralelepiped siku-siku dan bidang alasnya ( - tegak lurus, - miring, AC- proyeksi).
- sudut kemiringan diagonal terhadap sisi muka ( IKLAN- tegak lurus, - miring, - proyeksi).
Misalkan ada parallelepiped siku-siku (lihat gambar), dimana ABCD- belah ketupat Mari kita menggambar bagiannya dengan bidang yang melewati diagonal alasnya BD dan bagian atas.

Pada penampang kita memperoleh segitiga sama kaki.
- sudut linier dari sudut dihedral antara bidang alas dan bidang penampang. menurut sifat-sifat diagonal belah ketupat, - tegak lurus, - miring, BERSAMA- proyeksi. Menurut teorema tiga garis tegak lurus: .

Piramida

Piramida disebut polihedron yang terdiri dari poligon datar - alas limas, suatu titik yang tidak terletak pada bidang alas - puncak limas dan semua ruas yang menghubungkan puncak limas dengan titik-titik alasnya. Ruas-ruas yang menghubungkan puncak limas dengan titik-titik alasnya disebut tulang rusuk lateral.
Tinggi piramida- tegak lurus diturunkan dari puncak limas ke bidang alas.
Piramida disebut N-batu bara, jika dasarnya adalah N-gon. Piramida segitiga disebut juga segi empat. Sisi muka piramida- segitiga. Salah satu simpulnya adalah puncak piramida, dan sisi yang berlawanan adalah sisi dasar piramida.
Pada gambar JADI- tinggi piramida. Kemudian - sudut antara tepi samping dan bidang alas ( JADI- tegak lurus, SA- cenderung, OA- proyeksi).

Dari dasar ketinggian limas (titik DI DALAM) gambarlah garis tegak lurus terhadap sisi alasnya (misalnya, AE). Alas tegak lurus ini (titik F) sambungkan ke puncak piramida (titik S). Menurut teorema tiga garis tegak lurus: . ( JADI- tegak lurus, SP- cenderung, DARI- proyeksi, oleh konstruksi.) Oleh karena itu, - sudut linier dari sudut dihedral antara bidang sisi muka ASE dan bidang alasnya.
Untuk menyelesaikan soal piramida, sangat penting untuk mengetahui di mana letak alas tingginya.
1. Jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:
semua tepi lateral piramida adalah sama;
semua rusuk samping miring ke bidang alas dengan sudut yang sama;
semua rusuk sisi membentuk sudut yang sama dengan tinggi limas;
semua rusuk sisinya berjarak sama dari alas tingginya, maka alas tinggi limas adalah pusat lingkaran yang dibatasi sekeliling alas limas.
Tulang rusuk samping aku, tinggi H dan radius R dibatasi pada alas lingkaran membentuk segitiga siku-siku:

Dalam hal ini permukaan lateral dapat dicari dengan rumus dimana aku- panjang tepi samping, , ... - sudut datar di puncak.
2. Jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:
semua sisi sisinya miring ke bidang alas dengan sudut yang sama;
semua sisi sisi memiliki ketinggian yang sama;
tinggi sisi-sisinya membentuk sudut yang sama dengan tinggi limas;
sisi-sisinya berjarak sama dari alas tingginya, maka alas tingginya terletak di pusat lingkaran yang terdapat pada alas limas.
Pada gambar - persegi panjang, - jari-jari lingkaran yang tertulis di ABCDEF;

- tinggi piramida, SP- tinggi sisi muka;
- sudut linier sudut dihedral antara sisi muka dan bidang alas;
TENTANG- pusat lingkaran pada alasnya, yaitu titik potong garis-bagi ABCDEF.
Pada kasus ini .
3. Jika rusuk samping tegak lurus terhadap bidang alas, maka rusuk tersebut adalah tinggi limas (lihat gambar).

Pada kasus ini Dan - sudut kemiringan rusuk lateral SВ Dan SC masing-masing terhadap bidang alasnya. adalah sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisinya KANTUNG. Dan S.B.A..
4. Jika sisi sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya (lihat gambar), maka tinggi limas adalah tinggi sisi tersebut (menurut teorema “Jika sebuah garis lurus yang terletak pada salah satu dari dua bidang yang tegak lurus adalah tegak lurus terhadap garis perpotongannya, maka tegak lurus terhadap bidang kedua”).
5. Jika dua sisi sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka tinggi limas adalah sisi persekutuannya.

Jarak dari dasar ketinggian limas

Jarak dari pangkal tinggi limas ke tepi sampingnya adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik TENTANG di tepi ini (lihat gambar). Harap diperhatikan: , tetapi pada gambar tidak boleh lurus: sudut tidak dipertahankan selama desain paralel.
DARI- jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping SE.;
PADA- jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping A.S.B.(Lihat jarak ini lebih detail di bawah).

, di mana sudut antara tepinya SE. dan bidang alasnya.

Jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping

Misalkan , maka dengan teorema tiga garis tegak lurus. Karena itu, AB tegak lurus terhadap bidang oke. Oleh karena itu, jika , maka PADA tegak lurus terhadap bidang A.S.B..
.
Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan, dan alasnya tingginya berimpit dengan pusat poligon tersebut. Sumbu piramida beraturan adalah garis yang memuat tingginya. Sisi-sisi lateral limas beraturan adalah sama besar, sisi-sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama kaki. Ketinggian sisi muka yang ditarik dari puncak limas disebut apotema. Ini adalah garis bagi dan median sisi sisinya, karena merupakan segitiga sama kaki.
Dalil. Permukaan lateral limas beraturan sama dengan hasil kali keliling alas dan apotema.
; ,
Di mana R- keliling dasar, A- sisi dasar, aku- panjang apotema.
Piramida segitiga biasa
Di dasar piramida segitiga beraturan terdapat segitiga sama sisi, yang diwakili oleh segitiga sembarang (lihat gambar).

Pusatnya adalah titik potong garis bagi, yang merupakan ketinggian dan median. Dalam desain paralel, median digambarkan sebagai median. Oleh karena itu, kami membuat dua median alas. Titik perpotongannya adalah alas dari tinggi limas. Kami menggambarkan tingginya, dan kemudian menghubungkan bagian atas piramida dengan simpul alasnya. Kami mendapatkan tulang rusuk samping.
Pada gambar: - sudut kemiringan rusuk samping terhadap bidang alas (sama untuk semua rusuk); - sudut kemiringan sisi muka terhadap bidang alas (sama untuk semua muka).
Membiarkan .
Kemudian ; ; ;
; ; .
Karena itu, .
; .
Bidang bagian aksial ASD. adalah bidang simetri limas segitiga beraturan.
Bidang ini tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang rusuk BSC.
Menarik juga untuk dicatat bahwa tepian piramida yang bersilangan ( S.A. Dan SM, S.B. Dan AC, S.C. Dan AB) tegak lurus. Jika kemudian PADA adalah jarak dari pangkal ketinggian tidak hanya ke laknat, tetapi juga ke sisi muka BSC.
.
Piramida segi empat beraturan
Di dasar piramida segi empat beraturan terdapat sebuah persegi, yang digambarkan sebagai jajaran genjang sembarang. Pusatnya merupakan titik potong diagonal-diagonalnya. Titik ini merupakan alas dari tinggi limas.
Biarkan sisinya berbentuk persegi A(Lihat gambar).
Kemudian ;
;
;
;
.

Harap dicatat: , , itu .
Dengan desain paralel, paralelisme dipertahankan.
; .
Jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping:
; .

Piramida heksagonal beraturan
Basis piramida heksagonal beraturan adalah segi enam beraturan (lihat gambar). Pusatnya merupakan titik potong diagonal-diagonalnya. Titik ini merupakan alas dari tinggi limas.
Kemudian ;
Biarkan sisi segi enam beraturan A.
;
;

.
; .

Piramida terpotong
Dipotong oleh piramida disebut polihedron yang akan tetap ada jika sebuah limas yang titik sudutnya sama dipisahkan dari limas tersebut oleh sebuah bidang yang sejajar alasnya.
Dalil. Sebuah bidang yang sejajar dan memotong alas limas memotong piramida serupa.
Harap diperhatikan: untuk menggambarkan potongan piramida dengan benar, Anda harus memulai dengan penggambaran piramida utuh asli (lihat gambar).

Basis piramida terpotong adalah poligon serupa. Sisi sampingnya berbentuk trapesium. - tinggi limas terpotong, - tinggi muka samping, - sudut kemiringan tepi samping terhadap bidang alas (apa saja), - sudut kemiringan muka samping terhadap bidang bawah basis.
Piramida terpotong biasa- ini adalah piramida terpotong yang diambil dari piramida biasa.
Tulang rusuk sisinya sama besar dan miring terhadap bidang alas dengan sudut yang sama. Sisi-sisinya sama dengan trapesium horizontal dan miring terhadap bidang alas bawah dengan sudut yang sama. Ketinggian sisi sisi piramida disebut apotema.
Permukaan lateral piramida terpotong beraturan sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan apotema.
, Di mana P n dan P- keliling alas yang bersangkutan, aku- apotema.
Gambar-gambar tersebut menunjukkan gambar-gambar yang sangat berguna untuk dipertimbangkan ketika memecahkan masalah yang melibatkan potongan piramida.
;
.

;


- trapesium persegi panjang.
- tinggi piramida terpotong.
- tinggi tepi samping.

Dalam kasus ketika piramida terpotong teratur, segmennya OD. dan adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi, dan DARI dan - jari-jari lingkaran bertulisan masing-masing untuk alas bawah dan atas.

Polihedra biasa

Polihedron cembung disebut benar, jika muka-mukanya adalah polihedra beraturan dengan jumlah sisi yang sama dan jumlah rusuk yang sama pada setiap titik sudut polihedron tersebut.
Ada lima jenis polihedra cembung beraturan: tetrahedron beraturan, kubus, oktahedron, dodecahedron, ikosahedron.
1. Tetrahedron beraturan mempunyai muka-muka yang berbentuk segitiga beraturan; Setiap simpul mempunyai tiga sisi yang berhimpitan. Tetrahedron adalah piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama besar.
2. Semua permukaan kubus berbentuk persegi; Setiap simpul mempunyai tiga sisi yang berhimpitan. Kubus adalah persegi panjang yang sejajar dengan rusuk-rusuk yang sama panjang.
3. Muka segi delapan adalah segitiga beraturan. Masing-masing simpulnya mempunyai empat sisi yang berhimpitan.
4. Muka-muka dodecahedron berbentuk segi lima beraturan, pada setiap simpulnya terdapat tiga sisi yang berimpit.
5. Muka ikosahedron mempunyai segitiga beraturan. Pada setiap simpulnya, terdapat lima sisi yang berhimpitan.
Gambar tersebut menunjukkan contoh polihedra beraturan dengan nama.

Institusi Pendidikan Kota

Gimnasium No.26

Geometri

Jenis utama polihedra dan sifat-sifatnya

Dilakukan:

Siswa kelas 9-1

Baysakova Lyazzat

Guru:

Sysoeva Elena Alekseevna

Chelyabinsk

Perkenalan

Sampai saat ini, pada mata kuliah geometri, kita telah mempelajari planimetri - kita telah mempelajari sifat-sifat bangun datar, yaitu bangun-bangun yang terletak seluruhnya pada suatu bidang. Namun sebagian besar benda di sekitar kita tidak sepenuhnya datar, melainkan terletak di luar angkasa. Cabang ilmu geometri yang mempelajari sifat-sifat bangun ruang disebut stereometri ( dari bahasa Yunani lainnya στερεός, "stereo" - "padat, spasial" dan μετρέω - "Saya mengukur").

Tokoh utama di luar angkasa adalah dot , lurus Dan pesawat. Selain figur paling sederhana ini, benda geometris dan permukaannya juga dipertimbangkan dalam stereometri. Saat mempelajari benda geometris, gunakan gambar dalam gambar.

Gambar 1 Gambar 2

Gambar 1 menunjukkan piramida, Gambar 2 menunjukkan kubus. Benda-benda geometris ini disebut polihedra. Mari kita lihat beberapa jenis dan sifat polihedra.

Permukaan beraneka segi. Polihedron

Permukaan polihedral adalah gabungan dari sejumlah poligon datar yang jumlahnya terbatas sehingga masing-masing sisi poligon mana pun pada saat yang sama merupakan sisi poligon lain (tetapi hanya satu), yang disebut berdekatan dengan poligon pertama.

Dari poligon mana pun yang membentuk permukaan polihedral, Anda dapat menjangkau poligon lainnya dengan bergerak di sepanjang poligon yang berdekatan.

Poligon yang membentuk permukaan polihedral disebut permukaannya; Sisi-sisi poligon disebut tepi, dan simpul disebut simpul permukaan polihedral.

Gambar 1 menunjukkan gabungan poligon yang memenuhi persyaratan yang ditentukan dan merupakan permukaan polihedral. Gambar 2 menunjukkan gambar yang bukan permukaan polihedral.

Permukaan polihedral membagi ruang menjadi dua bagian - wilayah dalam dari permukaan polihedral dan wilayah luar. Dari kedua wilayah tersebut, wilayah terluar adalah wilayah yang dapat ditarik garis-garis lurus yang seluruhnya merupakan milik wilayah tersebut.

5 Penyatuan permukaan polihedral dan daerah dalamnya disebut polihedron. Dalam hal ini, permukaan polihedral dan daerah dalamnya masing-masing disebut permukaan dan daerah dalam polihedron. Muka, tepi, dan simpul pada permukaan polihedron masing-masing disebut muka, tepi, dan simpul polihedron.

Piramida

Sebuah polihedron, yang salah satu wajahnya adalah polihedron sembarang, dan wajah-wajah lainnya adalah segitiga dengan satu titik sudut yang sama, disebut piramida.

Poligon disebut alas limas, dan sisi lainnya (segitiga) disebut sisi samping limas.

Ada yang berbentuk segitiga, segi empat, pentagonal, dll. piramida tergantung pada jenis poligon yang terletak di dasar piramida.

Piramida segitiga disebut juga tetrahedron. Gambar 1 menunjukkan piramida segi empat SABCD dengan alas ABCD dan sisi-sisinya menghadap SAB, SBC, SCD, SAD.

Sisi-sisi muka limas disebut tepi limas. Tulang rusuk yang termasuk dalam dasar piramida disebut tulang rusuk dasar, dan semua tulang rusuk lainnya disebut tulang rusuk lateral. Titik sudut persekutuan semua segitiga (sisi sisi) disebut titik sudut limas (pada Gambar 1, titik S adalah titik puncak limas, ruas SA, SB, SC, SD adalah rusuk samping, ruas AB, BC, CD, AD adalah tepi alasnya).

Tinggi limas adalah ruas tegak lurus yang ditarik dari puncak limas S ke bidang alasnya (ujung-ujung ruas tersebut adalah puncak limas dan alas tegak lurus tersebut). Pada Gambar 1 SO adalah tinggi piramida.

Piramida yang benar. Piramida disebut beraturan jika alas limasnya adalah poligon beraturan, dan proyeksi ortogonal titik sudut pada bidang alasnya berimpit dengan pusat poligon yang terletak di dasar limas.

Semua tepi lateral piramida beraturan sama besar satu sama lain; semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar.

Ketinggian sisi muka limas beraturan, yang ditarik dari puncaknya, disebut apotema limas tersebut. Pada Gambar 2 SN adalah apotema. Semua apotema piramida beraturan adalah sama satu sama lain.

Prisma

Polihedron yang kedua sisinya sama besar N-gon terletak pada bidang sejajar, dan sisanya N wajah adalah jajaran genjang, disebut N- prisma karbon.

prisma piramida polihedron paralelepiped

Sepasang yang sederajat N-gon disebut alas prisma. Sisi-sisi prisma yang tersisa disebut sisi-sisinya, dan kombinasi keduanya disebut permukaan lateral prisma. Gambar 1 menunjukkan prisma pentagonal.

Sisi-sisi muka prisma disebut rusuk, dan ujung rusuk disebut titik sudut prisma. Tulang rusuk yang tidak termasuk dalam alas prisma disebut rusuk lateral.

Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya disebut prisma lurus. Jika tidak, prisma disebut miring.

Ruas yang tegak lurus terhadap bidang alas prisma, yang ujung-ujungnya termasuk dalam bidang tersebut, disebut tinggi prisma.

Prisma tegak yang alasnya berupa poligon beraturan disebut prisma beraturan.

Paralelipiped

Paralelepiped adalah segi enam yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan. Paralelipiped memiliki 8 simpul, 12 sisi; wajahnya adalah jajaran genjang yang sama berpasangan.

Paralelipiped disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya (dalam hal ini, 4 sisi sisinya berbentuk persegi panjang); persegi panjang jika ini paralelipiped lurus dan alasnya persegi panjang (jadi, 6 sisinya berbentuk persegi panjang);

Paralelipiped, yang semua mukanya berbentuk persegi disebut kubus.

Volume Paralelipiped sama dengan hasil kali luas alas dan tingginya.

Volume tubuh

Setiap polihedron memiliki volume yang dapat diukur menggunakan satuan volume yang dipilih. Satuan besaran volume adalah kubus yang rusuknya sama dengan satuan besaran ruas-ruas. Kubus yang panjang rusuknya 1 cm disebut kubus centimeter kubik. Didefinisikan dengan cara yang sama meter kubik Dan milimeter kubik, dll.

Dalam proses pengukuran volume dengan satuan ukuran yang dipilih, volume suatu benda dinyatakan sebagai bilangan positif, yang menunjukkan berapa banyak satuan pengukuran volume dan bagian-bagiannya yang dapat dimasukkan ke dalam benda tersebut. Angka yang menyatakan volume suatu benda bergantung pada pilihan satuan pengukuran volume. Oleh karena itu, satuan volume ditunjukkan setelah nomor ini.

Sifat dasar volume:

1. Benda-benda yang sama mempunyai volume yang sama.

2. Jika suatu benda terdiri dari beberapa benda, maka volumenya sama dengan jumlah volume benda-benda tersebut.

Untuk mencari volume benda, dalam beberapa kasus akan lebih mudah menggunakan teorema yang disebut Prinsip Cavalieri .

Prinsip Cavalieri adalah sebagai berikut: jika, ketika dua benda berpotongan dengan suatu bidang yang sejajar dengan suatu bidang tertentu, diperoleh bagian-bagian dengan luas yang sama, maka volume benda-benda tersebut sama satu sama lain.

Kesimpulan

Jadi, polihedra dipelajari oleh cabang geometri yang disebut stereometri. Polihedra tersedia dalam berbagai jenis (piramida, prisma, dll.) dan memiliki sifat berbeda. Perlu juga dicatat bahwa polihedra, tidak seperti bangun datar, memiliki volume dan terletak di ruang angkasa.

Sebagian besar benda di sekitar kita berada di luar angkasa, dan studi tentang polihedra membantu kita mendapatkan gambaran tentang realitas di sekitar kita dari sudut pandang geometri.

Bibliografi

1. Geometri. Buku teks untuk kelas 7-9.

3.wikipedia

Polihedron- benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon berhingga yang disebut permukaan polihedron. Sisi dan simpul dari poligon ini masing-masing disebut rusuk dan simpul dari polihedron.Berdasarkan jumlah sisinya, 4 hedra, 5 hedra, dan seterusnya dibedakan. Ruas yang menghubungkan dua titik yang tidak mempunyai sisi yang sama disebut diagonal polihedron.

Sejarah penemuan polihedron kembali ke zaman kuno. Penyebutan polihedra pertama kali diketahui tiga ribu tahun SM di Mesir dan Babilonia.

Polihedron adalah suatu bangun ruang (spatial body), secara visual suatu benda harus dibayangkan sebagai suatu bagian ruang yang ditempati oleh suatu benda fisik dan dibatasi oleh suatu permukaan. Polihedra dipelajari pada bagian stereometri. Cabang geometri yang mempelajari kedudukan, bentuk, ukuran dan sifat-sifat bangun ruang. Kata "stereometri" berasal dari kata Yunani "στερεοσ" - volumetrik, spasial dan "μετρεο" - untuk mengukur.

Contoh polihedra adalah:

kubus- polihedron yang permukaannya terdiri dari enam kotak.Sebuah kubus (segi enam biasa) memiliki semua sisi - kotak; Tiga sisi bertemu di setiap titik. Kubus adalah sebuah persegi panjang yang sejajar dengan sisi-sisi yang sama.Kasus khusus dari sebuah paralelepiped dan sebuah prisma. Kubus mempunyai 12 sisi, 6 sisi, 8 titik sudut.

Paralelipiped- polihedron yang permukaannya terdiri dari enam jajar genjang, muka jajar genjang yang tidak mempunyai simpul-simpul yang sama disebut berhadapan. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu parallelepiped adalah sejajar dan sama besar. Diagonal suatu paralelepiped, seperti polihedron pada umumnya, adalah ruas yang menghubungkan titik-titik sudut suatu paralelepiped yang tidak terletak pada satu sisi.

Paralelepiped persegi panjang- suatu parallelepiped yang mukanya berbentuk persegi panjang.Panjang rusuk suatu parallelepiped persegi panjang yang memanjang dari satu titik sudut disebut dimensinya atau dimensi linier. Paralelepiped persegi panjang memiliki tiga dimensi.

Paralelepiped kanan adalah sebuah parallelepiped dengan 4 sisi sisi persegi panjang.

Paralelepiped miring adalah suatu parallelepiped yang sisi-sisinya tidak tegak lurus terhadap alasnya.

Prisma- polihedron yang permukaannya terdiri dari dua poligon yang sama besar, yang disebut alas prisma, dan jajar genjang yang mempunyai sisi-sisi yang sama dengan masing-masing alasnya.Poligon-poligon tersebut disebut alas prisma, dan ruas-ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang bersesuaian adalah rusuk-rusuk sisi prisma. Alas-alas prisma sama panjang dan terletak pada bidang sejajar. Sisi-sisi sisi prisma sama panjang dan sejajar. Permukaan sebuah prisma terdiri dari dua alas dan sebuah permukaan samping. Permukaan samping dari setiap prisma terdiri dari jajaran genjang, yang masing-masing mempunyai dua sisi yang bersesuaian dengan sisi alasnya, dan dua lainnya merupakan tepi samping yang berdekatan. prisma adalah salah satu garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik pada alas yang satu ke bidang alas prisma yang lain.

Prisma lurus- Disebut jika ujung-ujungnya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Kalau tidak, prisma disebut miring. Sisi-sisinya berbentuk persegi panjang. Tepi lateral prisma lurus adalah tingginya.

Prisma yang benar- prisma lurus yang alasnya berupa poligon beraturan.

Piramida- polihedron yang permukaannya terdiri dari poligon yang disebut alas limas, dan segitiga yang memiliki titik sudut yang sama. Ruas-ruas yang menghubungkan puncak limas dengan simpul-simpul alasnya disebut tepi lateral. Permukaan limas terdiri dari alas dan muka samping. Setiap sisi mukanya berbentuk segitiga. Salah satu simpulnya adalah puncak piramida, dan sisi yang berlawanan adalah sisi dasar piramida. Tinggi limas adalah garis tegak lurus yang ditarik dari puncak limas ke bidang alasnya.Piramida disebut n-gonal jika alasnya berupa n-gon. Piramida segitiga disebut juga tetrahedron.

Piramida yang benar- piramida dengan poligon beraturan di alasnya dan semua tepi lateralnya sama besar. Sumbu limas beraturan adalah garis lurus yang memuat tingginya. Sisi-sisi limas beraturan adalah segitiga sama kaki yang sama kaki. Ketinggian sisi muka limas beraturan, yang ditarik dari puncaknya ke sisi alasnya, disebut apotema.

benda padat Plato- polihedron yang semua mukanya merupakan poligon beraturan dan sama besar, disebut beraturan. Sudut-sudut pada simpul-simpul polihedron tersebut adalah sama besar satu sama lain.

Ada lima jenis polihedra beraturan. Polihedra ini dan sifat-sifatnya dijelaskan lebih dari dua ribu tahun yang lalu oleh filsuf Yunani kuno Plato, yang menjelaskan nama umum mereka.

Setiap polihedron beraturan berhubungan dengan polihedron beraturan lainnya dengan jumlah sisi sama dengan jumlah simpul dari polihedron tersebut. Kedua polihedra mempunyai jumlah rusuk yang sama. Ini termasuk:

Tetrahedron (api)- tetrahedron biasa. Dibatasi oleh empat segitiga sama sisi (ini adalah limas segitiga beraturan) Tetrahedron memiliki 4 sisi, 4 simpul, dan 6 sisi.

Tetrahedron beraturan memiliki permukaan segitiga beraturan; Tiga sisi bertemu di setiap titik sudut. Tetrahedron beraturan adalah salah satu dari lima polihedra beraturan.

Oktahedron (udara)- segi delapan biasa. Terdiri dari delapan segitiga sama sisi dan sama besar, dihubungkan oleh empat buah segitiga di setiap titik sudutnya. Sisi-sisi segi delapan adalah segitiga beraturan, tetapi tidak seperti tetrahedron, empat sisinya bertemu pada setiap titik sudutnya. Sisi oktahedron beraturan adalah segitiga ganda dengan kubus. Ini adalah pemotongan total tetrahedron. Oktahedron beraturan adalah piramida ganda persegi di salah satu dari tiga arah ortogonal. Ini juga merupakan antiprisme segitiga di salah satu dari empat arah.Segi delapan adalah varian tiga dimensi dari konsep hiperoktahedron yang lebih umum.

Hexahedron (bumi)- segi enam biasa. Ini adalah kubus yang terdiri dari enam kotak yang sama.

Pigura berduabelas segi- dodecahedron beraturan, terdiri dari dua belas segi lima beraturan dan sama besar, dihubungkan oleh tiga buah di dekat setiap titik sudut. Dodecahedron memiliki 12 sisi (pentagonal), 30 sisi, dan 20 simpul (masing-masing 3 sisi bertemu).

Icosahedron (air)- Terdiri dari 20 segitiga sama sisi dan sama panjang, dihubungkan oleh lima buah segitiga di setiap titik sudut. Jumlah rusuknya 30, jumlah simpulnya 12. Icosahedron mempunyai 59 bintang.

Polihedra bisa cembung atau non-cembung. Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada salah satu sisi bidang masing-masing mukanya. Tetrahedron, paralelepiped, dan oktahedron adalah polihedra cembung.Jelas bahwa semua permukaan polihedron cembung adalah poligon cembung. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa pada polihedron cembung jumlah seluruh sudut bidang pada setiap titik sudut kurang dari 360°.

Untuk polihedron cembung, teorema Euler B + G − P = 2 benar, dengan B adalah jumlah simpul pada polihedron, G adalah jumlah sisi, P adalah jumlah sisi.

Polihedron cembung yang semua titik sudutnya terletak pada dua bidang sejajar disebut prismatoid. Prisma, piramida, dan piramida terpotong adalah kasus khusus dari prismatoid. Semua permukaan lateral prismatoid adalah segitiga atau segi empat, dan permukaan segi empat adalah trapesium atau jajaran genjang.

Polihedron juga dibagi menjadi beraturan dan tidak beraturan. Suatu polihedron disebut beraturan jika muka-mukanya merupakan poligon beraturan (yaitu, poligon-poligon yang semua sisi dan sudutnya sama besar) dan semua sudut polihedral pada titik-titik sudutnya sama besar. Polihedra beraturan telah dikenal sejak zaman kuno. Sebagian besar, polihedra beraturan dipelajari oleh orang Yunani kuno. Euclid memberikan deskripsi matematis lengkap tentang polihedra beraturan di buku Elemen XIII yang terakhir. Ada juga polihedra semi beraturan- secara umum, ini adalah berbagai polihedra cembung, yang meskipun tidak beraturan, namun memiliki beberapa ciri, misalnya: semua permukaannya sama, atau semua permukaannya adalah poligon beraturan, atau terdapat simetri spasial tertentu. Definisinya dapat bervariasi dan mencakup berbagai jenis polihedra, tetapi terutama mencakup padatan Archimedean.

Polihedron bintang ( badan bintang) adalah polihedron non-cembung yang wajahnya saling bersilangan. Seperti halnya polihedra non-bintang, permukaan-permukaan tersebut dihubungkan berpasangan pada tepinya (dalam hal ini, garis perpotongan bagian dalam tidak dianggap sebagai tepi).Bentuk bintang dari suatu polihedron adalah polihedron yang diperoleh dengan memanjangkan permukaan suatu polihedron tertentu melalui tepinya sampai selanjutnya berpotongan dengan permukaan lain di sepanjang tepi yang baru.

Polihedra bintang biasa- ini adalah polihedra bintang, yang permukaannya merupakan poligon beraturan atau bintang yang identik (kongruen). Berbeda dengan lima polihedra beraturan klasik (padatan Platonis), polihedra ini bukan padatan cembung.

Pada tahun 1811, Augustin Lou Cauchy menetapkan bahwa hanya ada 4 benda bintang biasa (disebut benda Kepler-Poinsot), yang bukan merupakan gabungan benda Platonis dan benda bintang. Ini termasuk dodecahedron bintang kecil dan dodecahedron bintang besar, ditemukan pada tahun 1619 oleh Johannes Kepler, serta dodecahedron besar dan icosahedron besar, ditemukan pada tahun 1809 oleh Louis Poinsot. Polihedra bintang beraturan yang tersisa merupakan senyawa padatan Platonis atau senyawa padatan Kepler-Poinsot.

Polihedra bintang semi beraturan- ini adalah polihedra bintang, yang permukaannya merupakan poligon beraturan atau poligon bintang, tetapi belum tentu sama. Dalam hal ini struktur semua simpul harus sama (kondisi keseragaman). G. Coxeter, M. Longuet-Higgins dan J. Miller pada tahun 1954 membuat daftar 53 badan serupa dan berhipotesis bahwa daftar mereka sudah lengkap. Baru kemudian, pada tahun 1969, S.P. Sopov berhasil membuktikan bahwa daftar polihedra yang mereka sajikan memang lengkap.

Banyak bentuk polihedra bintang yang disarankan oleh alam itu sendiri. Misalnya, kepingan salju adalah proyeksi bidang polihedra bintang. Beberapa molekul memiliki struktur teratur berbentuk tiga dimensi.

Properti polihedra:

Properti 1. Dalam polihedron cembung, semua permukaannya adalah poligon cembung.

Properti 2. Polihedron cembung dapat terdiri dari piramida dengan titik sudut yang sama, yang alasnya membentuk permukaan polihedron.

Properti 3. Sebuah polihedron cembung terletak pada salah satu sisi bidang masing-masing wajahnya.

Properti 4. Dalam setiap polihedron cembung terdapat permukaan yang jumlah rusuknya kurang dari atau sama dengan lima.

Tidak semua jenis polihedra yang tercantum dipelajari dan diterapkan di sekolah dasar. Paling sering, siswa dalam pelajaran matematika menjadi akrab dengan kubus, poligon, limas, silinder, dan paralelepiped. Contoh penulis buku teks adalah A.I.Istomina. kelas 3, Dorofeev G.V., Mirakova T.N., Buka T.B. kelas 3, Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P. kelas 3; mereka memulai dengan cara yang sama, mereka berkenalan di kelas 2, ini adalah contoh buku teks Dorofeev G.V., Mirakova T.N. kelas 2.

Jadi, kami memeriksa konsep polihedron dan sifat-sifatnya. Sebutkan jenis-jenis polihedron. Kami belajar tentang sejarah penemuan polihedron. Telah ditetapkan bahwa polihedra sangat penting baik di alam maupun bagi manusia. Misalnya, polihedra digunakan dalam konstruksi.

Sudut segitiga dan polihedral:
Sudut segitiga adalah suatu bangun datar
dibentuk oleh tiga bidang yang dibatasi oleh tiga sinar yang memancar darinya
satu poin dan tidak berbohong pada satu poin
pesawat.
Mari kita pertimbangkan beberapa hal datar
poligon dan sebuah titik yang terletak di luar
bidang poligon ini.
Mari kita menggambar sinar dari titik ini,
melewati puncak
poligon. Kami akan mendapatkan angkanya
yang disebut polihedral
sudut.

Sudut segitiga adalah bagian dari ruang
dibatasi oleh tiga sudut bidang yang sama
atas
Dan
berpasangan
umum
Para Pihak,
Bukan
berbaring di pesawat yang sama. Umum atas Tentang ini
sudut
ditelepon
atas
bersegi tiga
sudut.
Sisi-sisi sudut disebut rusuk, sudut bidang
pada titik sudut suatu segitiga disebut sudutnya
tepian. Masing-masing dari tiga pasang muka bersudut segitiga
membentuk sudut dihedral

Sifat dasar sudut segitiga
1. Setiap sudut bidang suatu sudut segitiga lebih kecil dari jumlah
dua sudut bidang lainnya.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - sudut bidang,
A, B, C - sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang
sudut β dan γ, α dan γ, α dan β.
2. Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga lebih kecil
360 derajat
3. Teorema kosinus pertama
untuk sudut segitiga
4. Teorema kosinus kedua untuk sudut segitiga

,
5. Teorema sinus
Sudut polihedral yang luas interiornya
terletak di satu sisi bidang masing-masing
wajahnya disebut polihedral cembung
sudut. Jika tidak, sudut polihedral
disebut non-cembung.

Polihedron adalah benda, permukaan
yang terdiri dari sejumlah terbatas
poligon datar.

Elemen polihedron
Muka-muka polihedron adalah
poligon itu
membentuk.
Tepi polihedron adalah sisi-sisinya
poligon.
Titik sudut suatu polihedron adalah
simpul poligon.
Diagonal suatu polihedron adalah
segmen yang menghubungkan 2 simpul,
tidak termasuk dalam wajah yang sama.

Polihedra
cembung
tidak cembung

Polihedron disebut cembung
jika terletak di satu sisi
bidang setiap poligon pada bidangnya
permukaan.

SUDUT POLIHEDAL Cembung

Sudut polihedral disebut cembung jika sudutnya cembung
gambar, yaitu bersama-sama dengan dua titik mana pun, seluruhnya memuat dan
segmen yang menghubungkan mereka.
Gambar tersebut menunjukkan contoh
cembung
Dan
tidak cembung
sudut polihedral.
Dalil. Jumlah semua sudut bidang pada sudut polihedral cembung kurang dari 360°.

POLIHEDA Cembung

Sudut polihedron disebut cembung jika bangunnya cembung,
yaitu, bersama-sama dengan dua titik mana pun, seluruhnya mengandung penghubung
segmen mereka.
Kubus, paralelepiped, prisma segitiga, dan limas berbentuk cembung
polihedra.
Gambar tersebut menunjukkan contoh piramida cembung dan tidak cembung.

PROPERTI 1

Properti 1. Dalam polihedron cembung, semua sisinya adalah
poligon cembung.
Memang benar, misalkan F adalah suatu permukaan polihedron
M, dan titik A, B milik muka F. Dari kondisi cembung
polihedron M, maka segmen AB terisi seluruhnya
dalam polihedron M. Karena segmen ini terletak pada bidang
poligon F, seluruhnya akan terkandung di dalamnya
poligon, yaitu F adalah poligon cembung.

PROPERTI 2

Sifat 2. Setiap polihedron cembung dapat tersusun dari
piramida dengan puncak yang sama, yang alasnya membentuk permukaan
polihedron.
Memang, misalkan M adalah polihedron cembung. Mari kita ambil beberapa
titik internal S dari polihedron M, yaitu titik yang tidak ada
bukan milik muka polihedron M. Hubungkan titik S dengan
simpul polihedron M menurut segmen. Perhatikan bahwa karena konveksitas
polihedron M, semua segmen ini terkandung dalam M. Pertimbangkan piramida dengan
simpul S, yang alasnya adalah muka polihedron M. Ini
piramida seluruhnya terkandung dalam M, dan semuanya membentuk polihedron M.

Polihedra biasa

Jika muka suatu polihedron adalah
poligon beraturan dengan satu dan
jumlah sisi dan titik sudut yang sama
polihedron menyatukan bilangan yang sama
tepinya, lalu polihedron cembung
disebut benar.

Nama polihedra

berasal dari Yunani kuno,
mereka menunjukkan jumlah wajah:
wajah "hedron";
"tetra" 4;
"heksa" 6;
"okta" 8;
"ikos" 20;
"dodeka" 12.

Tetrahedron biasa

Beras. 1
Terdiri dari empat
sama sisi
segitiga. Setiap
puncaknya adalah
yang teratas dari tiga
segitiga.
Oleh karena itu, jumlahnya
sudut datar di
setiap titik adalah sama
180º.

Oktahedron biasa
Beras. 2
Terdiri dari delapan
sama sisi
segitiga. Setiap
puncak segi delapan
adalah yang teratas
empat segitiga.
Oleh karena itu, jumlahnya
sudut datar di
setiap titik sudut adalah 240º.

Icosahedron biasa
Beras. 3
Terdiri dari dua puluh
sama sisi
segitiga. Setiap
puncak ikosahedron
adalah yang teratas dari lima
segitiga.
Oleh karena itu, jumlahnya
sudut datar di
setiap titik adalah sama
300º.

Kubus (segi enam)

Beras.
4
Terdiri dari enam
kotak. Setiap
titik puncak kubus adalah
bagian atas tiga kotak.
Oleh karena itu, jumlahnya
sudut datar untuk masing-masing
puncaknya adalah 270º.

Dodecahedron biasa
Beras. 5
Terdiri dari dua belas
benar
segi lima. Setiap
puncak dodecahedron
adalah yang teratas dari tiga
benar
segi lima.
Oleh karena itu, jumlahnya
sudut datar di
setiap titik adalah sama
324º.

Tabel No.1
Benar
polihedron
Nomor
wajah
puncak
Tulang iga
Segi empat
4
4
6
kubus
6
8
12
Segi delapan
8
6
12
Pigura berduabelas segi
12
20
30
Icosahedron
20
12
30

rumus Euler
Jumlah jumlah muka dan simpul dari suatu bidang
polihedron
sama dengan jumlah sisi bertambah 2.
G+V=P+2
Jumlah muka ditambah jumlah simpul dikurangi nomor
Tulang iga
dalam polihedron apa pun sama dengan 2.
G+VP=2

Tabel No.2
Nomor
Benar
polihedron
Segi empat
tepi dan
puncak
(G+V)
Tulang iga
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
kubus
6 + 8 = 14
12
"heksa"
6;
Segi delapan
8 + 6 = 14
12
"okta"
Pigura berduabelas segi
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"Ikosa"
20
Icosahedron
20 + 12 = 32
8

Dualitas polihedra beraturan

Bentuk hexahedron (kubus) dan octahedron
sepasang polihedra ganda. Nomor
wajah satu polihedron sama dengan nomornya
simpul dari yang lain dan sebaliknya.

Ambil kubus apa saja dan pertimbangkan polihedron dengan
simpul di tengah-tengah wajahnya. Betapa mudahnya
pastikan kita mendapatkan segi delapan.

Pusat-pusat wajah segi delapan berfungsi sebagai simpul kubus.

Polihedra di alam, kimia dan biologi
Kristal dari beberapa zat yang kita kenal memiliki bentuk polihedra beraturan.
Kristal
pirit-
alami
model
pigura berduabelas segi.
Kristal
masakan
garam diteruskan
bentuk kubus
Monokristal
Antimon
Kristal
aluminium sulfat
(prisma)
kalium tawas natrium - tetrahedron.
memiliki bentuk
segi delapan.
Dalam sebuah molekul
metana punya
membentuk
benar
segi empat.
Icosahedron telah menjadi fokus perhatian para ahli biologi dalam perselisihan mereka mengenai bentuk
virus. Virus tidak bisa berbentuk bulat sempurna, seperti yang diperkirakan sebelumnya. Ke
untuk menentukan bentuknya, mereka mengambil berbagai polihedra dan mengarahkan cahaya ke sana
pada sudut yang sama dengan aliran atom ke virus. Ternyata hanya satu
polihedron memberikan bayangan yang persis sama - ikosahedron.
Selama proses pembelahan telur, pertama-tama terbentuklah tetrahedron yang terdiri dari empat sel
segi delapan, kubus dan terakhir struktur dodecahedral-ikosahedral dari gastrula. Dan akhirnya,
Mungkin hal yang paling penting - struktur DNA dari kode genetik kehidupan - mewakilinya
adalah pengembangan empat dimensi (sepanjang sumbu waktu) dari dodecahedron yang berputar!

Polihedra dalam seni
"Potret Monna Lisa"
Komposisi gambarnya didasarkan pada emas
segitiga yang merupakan bagian
segi lima bintang biasa.
ukiran "Melankolis"
Di latar depan gambar
sebuah dodecahedron digambarkan.
"Perjamuan Terakhir"
Kristus bersama murid-muridnya digambarkan
latar belakang dodecahedron transparan besar.

Polihedra dalam arsitektur
Museum Buah
Museum Buah di Yamanashi dibuat dengan bantuan
pemodelan tiga dimensi.
Piramida
Mercusuar Alexandria
Menara Spasskaya
Kremlin.
Menara Spasskaya empat tingkat dengan Gereja Juru Selamat
Not Made by Hands - pintu masuk utama ke Kazan Kremlin.
Dibangun pada abad ke-16 oleh arsitek Pskov Ivan
Shiryaem dan Postnik Yakovlev, dijuluki
"Barma". Empat tingkatan menara tersebut adalah
kubus, polihedra, dan limas.