Mari kita perhatikan tiga sinar a, b, c, yang memancar dari titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama. Sudut trihedral (abc) adalah bangun datar yang terdiri dari "tiga sudut datar (ab), (bc) dan (ac) (Gbr. 2). Sudut-sudut ini disebut wajah sudut trihedral, dan sisi-sisinya adalah tepi, sudut simpul persekutuan dari sudut-sudut datar disebut Sudut dihedral yang dibentuk oleh muka-muka sudut segitiga disebut sudut dihedral dari sudut segitiga.
Konsep sudut polihedral didefinisikan dengan cara yang sama (Gbr. 3).
polihedron
Dalam stereometri, sosok di ruang angkasa, yang disebut benda, dipelajari. Secara visual, tubuh (geometris) harus dibayangkan sebagai bagian dari ruang yang ditempati oleh tubuh fisik dan dibatasi oleh permukaan.
Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar (Gbr. 4). Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron cembung disebut wajah. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul disebut simpul polihedron.
Mari kita jelaskan apa yang dikatakan pada contoh kubus yang sudah dikenal (Gbr. 5). Kubus adalah polihedron cembung. Permukaannya terdiri dari enam kotak: ABCD, BEFC, .... Mereka adalah wajahnya. Sisi-sisi kubus adalah sisi-sisi persegi berikut: AB, BC, BE, .... Simpul kubus adalah simpul bujur sangkar: A, B, C, D, E, .... Kubus memiliki enam wajah, dua belas tepi dan delapan simpul.
Polihedra paling sederhana - prisma dan piramida, yang akan menjadi objek utama penelitian kami - kami akan memberikan definisi yang, pada dasarnya, tidak menggunakan konsep benda. Mereka akan didefinisikan sebagai figur geometris dengan indikasi semua titik ruang milik mereka. Konsep tubuh geometris dan permukaannya di kasus umum akan diberikan nanti.
TEKS PENJELASAN PELAJARAN:
Dalam planimetri, salah satu objek studi adalah sudut.
Sudut adalah sosok geometris yang terdiri dari titik - titik sudut dan dua sinar yang memancar dari titik ini.
Dua sudut, satu sisi yang sama dan dua lainnya merupakan kelanjutan satu sama lain, disebut bersebelahan dalam planimetri.
Kompas dapat dipandang sebagai model sudut datar.
Ingat konsep sudut dihedral.
Ini adalah gambar yang dibentuk oleh garis lurus a dan dua setengah bidang dengan batas yang sama a yang tidak termasuk dalam bidang yang sama dalam geometri disebut sudut dihedral. Setengah bidang adalah wajah sudut dihedral. Garis lurus a adalah tepi dari sudut dihedral.
Atap rumah dengan jelas menunjukkan sudut dihedral.
Tetapi atap rumah pada gambar dua dibuat dalam bentuk bangun datar yang dibentuk dari enam sudut datar dengan satu simpul yang sama sehingga sudut-sudut tersebut diambil dalam urutan tertentu dan setiap pasangan sudut yang berdekatan, termasuk yang pertama dan terakhir, memiliki sisi umum. Disebut apakah jenis atap ini?
Dalam geometri, bangun yang terdiri dari sudut
Dan sudut-sudut yang membentuk sudut ini disebut sudut datar. Sisi-sisi sudut datar disebut tepi sudut polihedral. Titik O disebut titik sudut.
Contoh sudut polihedral dapat ditemukan pada tetrahedron dan balok.
Wajah tetrahedron DBA, ABC, DBC membentuk sudut polihedral BADC. Lebih sering disebut sudut trihedral.
Dalam parallelepiped, wajah AA1D1D, ABCD, AA1B1B membentuk sudut trihedral AA1DB.
Nah, atap rumah dibuat berbentuk sudut heksagonal. Ini terdiri dari enam sudut datar.
Sejumlah properti berlaku untuk sudut polihedral. Mari kita rumuskan dan buktikan. Di sini dikatakan bahwa pernyataan
Pertama, untuk setiap sudut polihedral cembung ada bidang yang memotong semua tepinya.
Pertimbangkan untuk membuktikan sudut polihedral OA1A2 A3…An.
Menurut definisi, itu cembung. Suatu sudut disebut cembung jika terletak pada salah satu sisi bidang dari masing-masing sudut datarnya.
Karena, dengan syarat, sudut ini cembung, maka titik-titik O, A1, A2, A3, An terletak pada satu sisi bidang OA1A2
Mari kita menggambar KM garis tengah segitiga OA1A2 dan memilih dari tepi OA3, OA4, OAn tepi yang membentuk sudut dihedral terkecil dengan bidang OCM. Biarkan ini menjadi tepi OAi.(Oa total)
Mari kita perhatikan setengah bidang dengan batas CM yang membagi sudut dihedral OKMAi menjadi dua sudut dihedral. Semua simpul dari A ke An terletak pada satu sisi bidang , dan titik O pada sisi lainnya. Oleh karena itu, bidang memotong semua tepi sudut polihedral. Pernyataan itu terbukti.
Sudut polihedral cembung memiliki sifat penting lainnya.
Jumlah sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360°.
Pertimbangkan sudut polihedral cembung dengan titik di titik O. Berdasarkan pernyataan yang terbukti, terdapat sebuah bidang yang memotong semua sisinya.
Mari kita menggambar bidang seperti itu , biarkan berpotongan dengan tepi sudut di titik A1, A2, A3, dan seterusnya An.
Bidang akan memotong segitiga dari area luar sudut datar. Jumlah sudut adalah 180°. Kami mendapatkan bahwa jumlah semua sudut bidang dari 1ОА2 ke nОА1 sama dengan ekspresi yang kami ubah, ekspresi ini kami kelompokkan kembali, kami dapatkan
Dalam ekspresi ini, jumlah yang ditunjukkan dalam tanda kurung adalah jumlah sudut bidang dari sudut trihedral, dan seperti yang Anda ketahui, mereka lebih besar dari sudut bidang ketiga.
Pertidaksamaan ini dapat ditulis untuk semua sudut trihedral yang membentuk sudut polihedral tertentu.
Oleh karena itu, kami memperoleh kelanjutan persamaan berikut:
Jawaban yang diperoleh membuktikan bahwa jumlah sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360 derajat.
1 Tanggal05.09.14
Geometri Subjek
Kelas 11
Topik pelajaran: Konsep sudut polihedral. sudut segitiga.
Tujuan Pelajaran:
memperkenalkan konsep: "sudut trihedral", "sudut polihedral", "polihedron";
untuk memperkenalkan siswa dengan elemen-elemen sudut trihedral dan polihedral, polihedron, serta definisi sudut polihedral cembung dan sifat-sifat sudut datar dari sudut polihedral;
untuk terus mengembangkan representasi spasial dan imajinasi spasial, serta pemikiran logis siswa.
Jenis pelajaran: mempelajari materi baru
SELAMA KELAS
1. Momen organisasi.
Menyambut siswa, memeriksa kesiapan kelas untuk pelajaran, mengatur perhatian siswa, mengungkapkan tujuan umum pelajaran dan rencananya.
2. Pembentukan konsep dan metode tindakan baru.
Tugas: Untuk memastikan persepsi, pemahaman dan menghafal materi yang dipelajari oleh siswa. Untuk memastikan bahwa siswa menguasai metodologi untuk mereproduksi materi yang dipelajari, untuk mempromosikan pemahaman filosofis tentang konsep, hukum, aturan, formula yang diasimilasi. Untuk membangun kebenaran dan kesadaran materi yang dipelajari oleh siswa, untuk mengidentifikasi kesenjangan dalam pemahaman utama, untuk melakukan koreksi. Untuk memastikan bahwa siswa menghubungkan pengalaman subjektif mereka dengan tanda-tanda pengetahuan ilmiah.
Biarkan tiga sinar diberikansebuah, b dans titik awal yang samaHAI (Gbr. 1.1). Ketiga sinar ini tidak selalu terletak pada bidang yang sama. Pada gambar 1.2, sinarb dandengan berbaring di pesawatR, sinarsebuah tidak terletak di pesawat ini.
sinarsebuah, b dandengan pasangan menentukan tiga sudut datar yang dibedakan oleh busur (Gbr. 1.3).
Perhatikan gambar yang terdiri dari tiga sudut yang ditunjukkan di atas dan bagian ruang yang dibatasi oleh sudut datar ini. Angka spasial ini disebutsudut segitiga
(Gbr. 2).
sinarsebuah, b dan dengan ditelepontepi sudut segitiga, dan sudut: = AOC, = AOB,
=
Dewan Komisaris
,
membatasi sudut trihedral, - itswajah.
Sudut-sudut ini membentukpermukaan trihedral.
DotHAI
ditelepontitik sudut segitiga.
Sebuah sudut trihedral dapat dilambangkan sebagai berikut: OABC
Setelah memeriksa dengan cermat semua sudut polihedral yang ditunjukkan pada Gambar 3, kita dapat menyimpulkan bahwa masing-masing sudut polihedral memiliki jumlah tepi dan permukaan yang sama:
4 wajah dan satu simpul;
sudut heksagonal memiliki 6 tepi, 6 wajah dan satu simpul, dll.
sudut lima sisi memiliki 5 tepi, 5 wajah dan satu simpul;
Sudut polihedral adalah cembung dan tidak cembung.
Bayangkan bahwa kita mengambil empat sinar dengan asal yang sama, seperti pada Gambar 4. Dalam hal ini, kita dapatkansudut polihedral tidak cembung.
Definisi 1. Sudut polihedral disebut sudut cembung,jika diaterletak di satu sisi bidang dari masing-masing wajahnya.
Dengan kata lain, sudut polihedral cembung selalu dapat ditempatkan oleh salah satu wajahnya pada suatu bidang. Anda dapat melihat bahwa dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar 4, ini tidak selalu memungkinkan. Sudut tetrahedral yang ditunjukkan pada Gambar 4 tidak cembung.
Perhatikan bahwa dalam tutorial kami, jika kami mengatakan "sudut polihedral", yang kami maksud adalah cembung. Jika sudut polihedral yang dipertimbangkan tidak cembung, ini akan dibahas secara terpisah.
Sifat Sudut Bidang dari Sudut Polihedral
Teorema 1.Setiap sudut datar dari suatu sudut segitiga lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.
Teorema 2.Jumlah nilai semua sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360°.
3. Aplikasi. Pembentukan keterampilan dan kemampuan.
Tujuan: Untuk memastikan bahwa siswa menerapkan pengetahuan dan metode tindakan yang mereka butuhkan untuk SW, untuk menciptakan kondisi bagi siswa untuk mengidentifikasi cara individu menerapkan apa yang telah mereka pelajari.
6. Tahap informasi tentang pekerjaan rumah.
Tujuan: Untuk memastikan bahwa siswa memahami tujuan, isi dan metode mengerjakan pekerjaan rumah.
1(1.1, 1.2) hal.4, no.9.
7. Menyimpulkan pelajaran.
Tujuan: Untuk memberikan penilaian kualitatif terhadap pekerjaan siswa kelas dan individu.
8. Tahap refleksi.
Tugas: Untuk memulai refleksi siswa pada penilaian diri dari kegiatan mereka. Untuk memastikan bahwa siswa mempelajari prinsip-prinsip pengaturan diri dan kerjasama.
Percakapan di:
Apa yang menurut Anda menarik dalam pelajaran?
Apa yang tidak jelas?
Apa yang harus diperhatikan guru dalam pelajaran selanjutnya?
Bagaimana Anda menilai pekerjaan Anda di kelas?
geser 1
Sosok yang dibentuk oleh permukaan tertentu dan salah satu dari dua bagian ruang yang dibatasi olehnya disebut sudut polihedral. Titik persekutuan S disebut titik sudut polihedral. Sinar SA1, …, SAn disebut tepi sudut polihedral, dan bidang sudut itu sendiri A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 disebut wajah sudut polihedral. Sudut polihedral dilambangkan dengan huruf SA1…An, yang menunjukkan titik dan titik pada tepinya. Permukaan yang dibentuk oleh himpunan berhingga sudut bidang A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 dengan simpul yang sama S, di mana sudut bertetangga tidak memiliki titik yang sama, kecuali titik-titik pada sinar yang sama, dan sudut yang tidak bertetangga memiliki tidak ada titik yang sama, kecuali untuk titik yang sama, kita akan disebut permukaan polihedral.
geser 2
Tergantung pada jumlah wajah, sudut polihedral adalah trihedral, tetrahedral, pentahedral, dll.
geser 3
SUDUT TRIHEDRAL
Dalil. Setiap sudut datar dari suatu sudut segitiga kurang dari jumlah dua sudut datar lainnya. Bukti Perhatikan sudut trihedral SABC. Biarkan yang terbesar dari sudut datarnya adalah sudut ASC. Maka pertidaksamaan ASB ASC
geser 4
Properti. Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga kurang dari 360°. Demikian pula, untuk sudut trihedral dengan simpul B dan C, pertidaksamaan berikut berlaku: ABС
geser 5
SUDUT POLYHEDRAL cembung
Suatu sudut polihedral disebut cembung jika merupakan bangun datar cembung, yaitu, bersama-sama dengan dua titiknya, seluruhnya berisi segmen yang menghubungkannya.Gambar tersebut menunjukkan contoh sudut polihedral cembung dan tidak cembung. Properti Jumlah semua sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360°. Pembuktiannya mirip dengan pembuktian sifat yang bersesuaian untuk sudut trihedral.
geser 6
Sudut polihedral vertikal
Gambar-gambar menunjukkan contoh sudut vertikal trihedral, tetrahedral dan pentahedral. Sudut vertikal sama besar.
Geser 7
Pengukuran sudut polihedral
Karena nilai derajat dari sudut dihedral yang dikembangkan diukur dengan nilai derajat dari sudut linier yang sesuai dan sama dengan 180°, kita akan mengasumsikan bahwa nilai derajat dari seluruh ruang, yang terdiri dari dua sudut dihedral yang dikembangkan, adalah 360° . Nilai sudut polihedral, dinyatakan dalam derajat, menunjukkan bagian ruang yang ditempati oleh sudut polihedral tersebut. Misalnya, sudut segitiga sebuah kubus menempati seperdelapan dari ruang dan, oleh karena itu, nilai derajatnya adalah 360o:8 = 45o. Sudut trihedral pada prisma n-gonal beraturan sama dengan setengah sudut dihedral pada tepi samping. Mengingat bahwa sudut dihedral ini sama, kita memperoleh bahwa sudut trihedral prisma adalah sama.
Geser 8
Pengukuran sudut segitiga*
Kami memperoleh rumus yang menyatakan nilai sudut trihedral dalam hal sudut dihedralnya. Mari kita gambarkan sebuah bola satuan di dekat titik sudut S dari sudut trihedral dan menunjukkan titik potong dari tepi sudut trihedral dengan bola ini A, B, C. Bidang-bidang permukaan dari sudut trihedral membagi bola ini menjadi enam berpasangan digon bola yang sama sesuai dengan sudut dihedral dari sudut trihedral yang diberikan. Segitiga bola ABC dan segitiga bola A "B" C yang simetris dengannya merupakan perpotongan dari tiga buah digon.Oleh karena itu, jumlah dua kali lipat sudut dihedral adalah 360o ditambah nilai empat kali lipat dari sudut trihedral, atau SA + SB + SC = 180o + 2SABC.
Geser 9
Pengukuran sudut polihedral*
Misalkan SA1…An adalah sudut bermuka-n cembung. Membaginya menjadi sudut trihedral, menggambar diagonal A1A3, …, A1An-1 dan menerapkan rumus yang dihasilkan untuk mereka, kita akan memiliki: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Sudut polihedral juga dapat diukur dengan angka. Memang, tiga ratus enam puluh derajat dari seluruh ruang sesuai dengan angka 2π. Melewati dari derajat ke angka dalam rumus yang dihasilkan, kita akan memiliki: SA1+ …+SAn = (n – 2) + 2SA1…An.
Geser 10
Latihan 1
Mungkinkah ada sudut segitiga dengan sudut datar: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Tidak ada Jawaban; b) tidak; c) ya.
geser 11
Latihan 2
Berikan contoh polihedra yang wajahnya, berpotongan di simpul, hanya membentuk: a) sudut segitiga; b) sudut tetrahedral; c) sudut bersisi lima. Jawaban: a) Tetrahedron, kubus, dodecahedron; b) segi delapan; c) ikosahedron.
geser 12
Latihan 3
Dua sudut planar dari sudut trihedral adalah 70° dan 80°. Berapakah batas sudut bidang ketiga? Jawaban: 10
geser 13
Latihan 4
Besar sudut segitiga adalah 45°, 45°, dan 60°. Hitunglah sudut antara bidang-bidang dengan sudut datar 45°. Jawab: 90o.
Geser 14
Latihan 5
Dalam sudut trihedral, dua sudut bidang masing-masing 45°; sudut dihedral antara mereka benar. Temukan sudut datar ketiga. Jawaban: 60o.
geser 15
Latihan 6
Besar sudut segitiga siku siku adalah 60°, 60°, dan 90°. Segmen yang sama OA, OB, OC diplot pada tepinya dari simpul. Tentukan sudut dihedral antara bidang sudut 90° dan bidang ABC. Jawab: 90o.
geser 16
Latihan 7
Setiap sudut datar dari suatu sudut segitiga adalah 60°. Di salah satu tepinya, segmen yang sama dengan 3 cm diletakkan dari atas, dan tegak lurus diturunkan dari ujungnya ke wajah yang berlawanan. Temukan panjang tegak lurus ini. Jawaban: lihat
Geser 17
Latihan 8
Temukan tempat kedudukan titik-titik interior dari sudut trihedral yang berjarak sama dari wajahnya. Jawab: Sinar yang titik sudutnya merupakan titik sudut suatu segitiga terletak pada garis perpotongan bidang-bidang yang membagi dua sudut dihedral menjadi dua.
Geser 18
Latihan 9
Temukan tempat kedudukan titik-titik interior dari sudut trihedral yang berjarak sama dari tepinya. Jawab: Sinar yang titik sudutnya merupakan titik sudut dari suatu sudut segitiga terletak pada garis perpotongan bidang-bidang yang melalui garis-garis bagi sudut-sudut bidang dan tegak lurus terhadap bidang-bidang dari sudut-sudut tersebut.
Geser 19
Latihan 10
Untuk sudut dihedral dari tetrahedron kita memiliki: , dimana 70o30". Untuk sudut trihedral dari tetrahedron kita memiliki: 15o45". Jawaban: 15o45". Temukan nilai perkiraan sudut trihedral dari tetrahedron.
Geser 20
Latihan 11
Temukan nilai perkiraan sudut tetrahedral dari segi delapan. Untuk sudut dihedral dari oktahedron kita memiliki: , dari mana 109o30". Untuk sudut tetrahedral dari oktahedron kita memiliki: 38o56". Jawaban: 38o56".
geser 21
Latihan 12
Temukan nilai perkiraan dari sudut lima sisi ikosahedron. Untuk sudut dihedral dari ikosahedron kita memiliki: , dari mana 138o11". Untuk sudut pentahedral dari ikosahedron kita memiliki: 75o28". Jawaban: 75o28".
geser 22
Latihan 13
Untuk sudut dihedral dari dodecahedron kita memiliki: , dari mana 116o34". Untuk sudut trihedral dari dodecahedron kita memiliki: 84o51". Jawaban: 84o51". Temukan nilai perkiraan sudut trihedral dari dodecahedron.
geser 23
Latihan 14
Dalam sebuah piramida segi empat beraturan SABCD, sisi alasnya adalah 2 cm, tingginya 1 cm. Temukan sudut tetrahedral di bagian atas piramida ini. Solusi: Piramida yang ditunjukkan membagi kubus menjadi enam piramida yang sama dengan simpul di tengah kubus. Oleh karena itu, sudut 4 sisi di puncak piramida adalah seperenam dari sudut 360°, mis. sama dengan 60o. Jawaban: 60o.
geser 24
Latihan 15
Dalam piramida segitiga biasa, sisi-sisinya sama dengan 1, sudut-sudut di atasnya adalah 90o. Temukan sudut trihedral di puncak piramida ini. Solusi: Piramida yang ditunjukkan membagi segi delapan menjadi delapan piramida yang sama dengan simpul di pusat O segi delapan. Oleh karena itu, sudut 3 sisi di puncak piramida adalah seperdelapan dari sudut 360°, mis. sama dengan 45o. Jawab: 45o.
Geser 25
Latihan 16
Dalam piramida segitiga biasa, sisi-sisinya sama dengan 1, dan tingginya Temukan sudut segitiga di bagian atas piramida ini. Solusi: Piramida yang ditunjukkan membagi tetrahedron biasa menjadi empat piramida yang sama dengan simpul di tengah tetrahedron. Oleh karena itu, sudut 3 sisi di puncak piramida adalah seperempat dari sudut 360°, mis. sama dengan 90o. Jawab: 90o.
Lihat semua slide
Definisi. Mari kita ambil beberapa sudut (Gbr. 37): ASB, BSC, CSD, yang, berdampingan satu sama lain secara seri, terletak di bidang yang sama di sekitar simpul umum S.
Mari kita putar bidang sudut ASB di sekitar sisi persekutuan SB sehingga bidang ini membuat beberapa sudut dihedral dengan bidang BSC. Kemudian, tanpa mengubah sudut dihedral yang dihasilkan, kami memutarnya di sekitar garis lurus SC sehingga bidang BSC membuat beberapa sudut dihedral dengan bidang CSD. Mari kita lanjutkan rotasi berurutan ini di sekitar setiap sisi yang sama. Jika dalam hal ini sisi terakhir SF digabungkan dengan sisi pertama SA, maka terbentuklah sebuah angka (Gbr. 38), yang disebut sudut polihedral. Sudut ASB, BSC, ... disebut sudut datar atau wajah, sisi-sisinya SA, SB, ... disebut Tulang iga, dan simpul persekutuan S- puncak sudut multifaset.
Setiap tepi juga merupakan tepi dari beberapa sudut dihedral; oleh karena itu, dalam sudut polihedral, ada banyak sudut dihedral dan sudut datar sebanyak semua tepi di dalamnya. Jumlah wajah terkecil dalam sudut polihedral adalah tiga; sudut ini disebut bersegi tiga. Mungkin ada empat sisi, lima sisi, dll. sudut.
Sudut polihedral dilambangkan dengan satu huruf S yang ditempatkan di titik, atau dengan serangkaian huruf SABCDE, yang pertama menunjukkan titik, dan yang lain menunjukkan tepi dalam urutan di mana mereka berada.
Sudut polihedral disebut cembung jika semuanya terletak di satu sisi bidang dari masing-masing wajahnya, yang diperpanjang tanpa batas. Misalnya, adalah sudut yang ditunjukkan pada gambar 38. Sebaliknya, sudut pada gambar 39 tidak dapat disebut cembung, karena terletak di kedua sisi muka ASB atau muka BSC.
Jika semua wajah sudut polihedral berpotongan dengan bidang, maka poligon terbentuk di bagian ( abcde ). Dalam sudut polihedral cembung, poligon ini juga cembung.
Kami hanya akan mempertimbangkan sudut polihedral cembung.
Dalil. Dalam sudut segitiga, setiap sudut datar lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.
Biarkan dalam sudut trihedral SABC (Gbr. 40) sudut datar terbesar adalah sudut ASC.
Mari kita plot sudut ASD pada sudut ini, yang sama dengan sudut ASB, dan gambar garis lurus AC yang memotong SD di beberapa titik D. Letakkan SB = SD. Menghubungkan B dengan A dan C, kita mendapatkan \(\Delta\)ABC, di mana
AD+DC< АВ + ВС.
Segitiga ASD dan ASB kongruen karena masing-masing memiliki sudut yang sama besar antara sisi yang sama: maka AD = AB. Oleh karena itu, jika kita membuang suku AD dan AB yang sama dalam pertidaksamaan turunan, kita memperoleh DC< ВС.
Sekarang kita perhatikan bahwa segitiga SCD dan SCB memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, dan sisi ketiga tidak sama; dalam hal ini, sudut yang lebih besar terletak di seberang yang lebih besar dari sisi-sisi ini; cara,
CSD< ∠ CSВ.
Menambahkan sudut ASD ke sisi kiri pertidaksamaan ini, dan sudut ASB yang sama dengan sisi kanannya, kami memperoleh pertidaksamaan yang harus dibuktikan:
ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.
Kami telah membuktikan bahwa bahkan sudut datar terbesar lebih kecil dari jumlah dua sudut lainnya. Jadi teorema terbukti.
Konsekuensi. Kurangi kedua bagian pertidaksamaan terakhir di sudut ASB atau di sudut CSB; kita mendapatkan:
ASC - ASB< ∠ CSB;
ASC - CSB< ∠ ASB.
Mempertimbangkan pertidaksamaan ini dari kanan ke kiri, dan dengan mempertimbangkan bahwa sudut ASC sebagai yang terbesar dari tiga sudut lebih besar dari perbedaan dua sudut lainnya, kami menyimpulkan bahwa pada sudut trihedral, setiap sudut bidang lebih besar dari perbedaan dua sudut lainnya.
Dalil. Dalam sudut polihedral cembung, jumlah semua sudut planar kurang dari 4d (360 °) .
Mari kita berpotongan wajah (Gbr. 41) dari sudut cembung SABCDE dengan beberapa bidang; dari ini di bagian kita mendapatkan cembung n-gon ABCDE.
Menerapkan teorema terbukti sebelumnya untuk masing-masing sudut trihedral yang simpulnya berada di titik A, B, C, D dan E, paholim:
ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.
Mari kita tambahkan semua ketidaksetaraan ini istilah demi istilah. Kemudian di sisi kiri kita mendapatkan jumlah semua sudut poligon ABCDE, yang sama dengan 2 dn - 4d , dan di sebelah kanan - jumlah sudut segitiga ABS, SBC, dll., kecuali untuk sudut yang terletak di titik S. Menunjukkan jumlah sudut terakhir ini dengan huruf X , kita dapatkan setelah penambahan:
2dn - 4d < 2dn - x .
Karena dalam perbedaan 2 dn - 4d dan 2 dn - x minuendnya sama, maka agar selisih pertama lebih kecil dari selisih kedua, perlu pengurangan 4 d lebih dari dikurangi X ; artinya 4 d > X , yaitu X < 4d .
Kasus paling sederhana persamaan sudut trihedral
Teorema. Sudut segitiga sama besar jika memiliki:
1) oleh sudut dihedral yang sama yang tertutup antara dua sudut bidang yang masing-masing sama dan berjarak sama, atau
2) sepanjang bidang yang sama sudut tertutup antara dua sudut dihedral yang masing-masing sama dan berjarak sama.
1) Misalkan S dan S 1 adalah dua sudut segitiga (Gbr. 42), di mana ASB = A 1 S 1 B 1 , ASC = A 1 S 1 C 1 (dan sudut-sudut yang sama terletak sama besar) dan dihedral sudut AS sama dengan sudut dihedral A 1 S 1 .
Mari kita tanamkan sudut S 1 ke dalam sudut S sehingga titik S 1 dan S, garis S 1 A 1 dan SA, dan bidang A 1 S 1 B 1 dan ASB bertepatan. Kemudian rusuk S 1 B 1 akan sepanjang SB (karena persamaan sudut A 1 S 1 B 1 dan ASB), bidang A 1 S 1 C 1 akan mengikuti ASC (karena persamaan sudut dihedral), dan tepi S 1 C 1 akan mengikuti tepi SC (karena persamaan sudut A 1 S 1 C 1 dan ASC). Dengan demikian, sudut trihedral akan digabungkan oleh semua tepinya, mis. mereka akan setara.
2) Kriteria kedua, seperti yang pertama, dibuktikan dengan penyematan.
Sudut polihedral simetris
Seperti yang Anda ketahui, sudut vertikal sama dengan sudut yang dibentuk oleh garis lurus atau bidang. Mari kita lihat apakah pernyataan ini benar untuk sudut polihedral.
Kami melanjutkan (Gbr. 43) semua tepi sudut SABCDE di luar simpul S, kemudian sudut polihedral lain SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 terbentuk, yang dapat disebut vertikal sehubungan dengan tikungan pertama. Sangat mudah untuk melihat bahwa kedua sudut memiliki bidang yang sama dan sudut dihedral, masing-masing, tetapi keduanya dalam urutan terbalik. Memang, jika kita membayangkan seorang pengamat yang melihat dari luar sudut polihedral pada titik sudutnya, maka tepi SA, SB, SC, SD, SE akan tampak baginya berada dalam arah berlawanan arah jarum jam, sambil melihat sudut SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , ia melihat ujung-ujungnya SA 1 , SВ 1 , ... terletak searah jarum jam.
Sudut polihedral dengan bidang yang sama dan sudut dihedral masing-masing, tetapi terletak dalam urutan terbalik, tidak dapat digabungkan sama sekali saat disematkan; itu berarti mereka tidak setara. Sudut yang demikian disebut simetris(relatif terhadap S atas). Lebih lanjut tentang simetri bangun ruang akan dibahas di bawah ini.
bahan lainnya