Biarkan garis lurus melalui titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
di mana k - koefisien masih belum diketahui.
Karena garis lurus melewati titik M 2 (x 2 y 2), maka koordinat titik ini harus memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Dari sini kami menemukan Mengganti nilai yang ditemukan k
ke persamaan (10.6), kita memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2: 
Diasumsikan bahwa dalam persamaan ini x 1 x 2, y 1 y 2
Jika x 1 \u003d x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y I) dan M 2 (x 2, y 2) sejajar dengan sumbu y. persamaannya adalah x = x 1 .
Jika y 2 \u003d y I, maka persamaan garis lurus dapat ditulis sebagai y \u003d y 1, garis lurus M 1 M 2 sejajar dengan sumbu x.
Persamaan garis lurus dalam segmen
Biarkan garis lurus memotong sumbu Ox di titik M 1 (a; 0), dan sumbu Oy - di titik M 2 (0; b). Persamaan tersebut akan berbentuk: 
itu. 
. Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam segmen, karena angka a dan b menunjukkan segmen mana yang dipotong garis lurus pada sumbu koordinat.
Persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu
Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu Mo (x O; y o) tegak lurus terhadap vektor bukan-nol yang diberikan n = (A; B).
Ambil titik sembarang M(x; y) pada garis lurus dan pertimbangkan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Gambar 1). Karena vektor n dan M o M tegak lurus, produk skalarnya sama dengan nol: yaitu,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Persamaan (10.8) disebut persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu .
Vektor n = (A; B) yang tegak lurus garis disebut normal vektor normal dari garis ini .
Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang sebagai Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
di mana A dan B adalah koordinat vektor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - anggota bebas. Persamaan (10.9) adalah persamaan umum garis lurus(lihat Gbr.2).
Gbr.1 Gbr.2
Persamaan kanonik garis lurus
,
Di mana 
adalah koordinat titik yang dilalui garis, dan 
- vektor arah.
Kurva lingkaran orde kedua
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.
Persamaan kanonik lingkaran dengan jari-jari
R berpusat pada satu titik 
:
Secara khusus, jika pusat pasak bertepatan dengan titik asal, maka persamaannya akan terlihat seperti: 
Elips
Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang, jumlah jarak masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu
dan 
, yang disebut fokus, adalah nilai konstan 
, lebih besar dari jarak antara fokus 
.
Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada sumbu Ox dan asalnya di tengah antara fokus memiliki bentuk 
G 
de sebuah panjang semiaxis utama; b adalah panjang semiaxis minor (Gbr. 2).
Persamaan garis lurus pada bidang.
Vektor arahnya lurus. vektor normal
Garis lurus pada bidang adalah salah satu bentuk geometris paling sederhana, yang Anda kenal sejak kelas dasar, dan hari ini kita akan belajar cara mengatasinya menggunakan metode geometri analitik. Untuk menguasai materi, perlu untuk dapat membangun garis lurus; tahu persamaan mana yang mendefinisikan garis lurus, khususnya, garis lurus yang melalui titik asal dan garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat. Informasi ini dapat ditemukan di manual. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar, saya membuatnya untuk matan, tetapi bagian tentang fungsi linier ternyata sangat sukses dan terperinci. Oleh karena itu, teko sayang, hangatkan dulu di sana. Selain itu, Anda harus memiliki pengetahuan dasar tentang vektor jika tidak, pemahaman materi tidak akan lengkap.
Dalam pelajaran ini, kita akan melihat cara-cara di mana Anda dapat menulis persamaan garis lurus pada bidang. Saya sarankan untuk tidak mengabaikan contoh-contoh praktis (walaupun kelihatannya sangat sederhana), karena saya akan memberi mereka fakta-fakta dasar dan penting, metode teknis yang akan diperlukan di masa depan, termasuk di bagian lain dari matematika yang lebih tinggi.
- Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus dengan kemiringan?
- Bagaimana ?
- Bagaimana menemukan vektor arah dengan persamaan umum garis lurus?
- Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus yang diberikan titik dan vektor normal?
dan kita mulai:
Persamaan Garis dengan Kemiringan
Bentuk "sekolah" yang terkenal dari persamaan garis lurus disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan. Misalnya, jika garis lurus diberikan oleh persamaan, maka kemiringannya: . Pertimbangkan arti geometris dari koefisien ini dan bagaimana nilainya mempengaruhi lokasi garis: 
Dalam perjalanan geometri terbukti bahwa kemiringan garis lurus adalah tangen suatu sudut antara arah sumbu positifdan garis yang diberikan: , dan sudutnya "dibuka" berlawanan arah jarum jam.
Agar tidak mengacaukan gambar, saya menggambar sudut hanya untuk dua garis lurus. Pertimbangkan garis lurus "merah" dan kemiringannya. Menurut di atas: (sudut "alpha" ditunjukkan oleh busur hijau). Untuk garis lurus "biru" dengan kemiringan, persamaan adalah benar (sudut "beta" ditunjukkan oleh busur coklat). Dan jika tangen dari sudut diketahui, maka jika perlu mudah untuk menemukan dan sudut menggunakan fungsi invers - tangen busur. Seperti yang mereka katakan, meja trigonometri atau kalkulator di tangan. Dengan demikian, kemiringan mencirikan derajat kemiringan garis lurus ke sumbu x.
Dalam hal ini, kasus-kasus berikut dimungkinkan:
1) Jika kemiringannya negatif: , maka garisnya, secara kasar, bergerak dari atas ke bawah. Contohnya adalah garis lurus "biru" dan "merah tua" dalam gambar.
2) Jika kemiringannya positif: , maka garis bergerak dari bawah ke atas. Contohnya adalah garis lurus "hitam" dan "merah" dalam gambar.
3) Jika kemiringan sama dengan nol: , maka persamaan mengambil bentuk , dan garis yang sesuai sejajar dengan sumbu. Contohnya adalah garis "kuning".
4) Untuk keluarga garis lurus yang sejajar dengan sumbu (tidak ada contoh dalam gambar, kecuali untuk sumbu itu sendiri), kemiringan tidak ada (tangen 90 derajat tidak ditentukan).
Semakin besar modulo kemiringan, semakin curam grafik garisnya.
Misalnya, perhatikan dua garis lurus. Di sini , sehingga garis lurus memiliki kemiringan yang lebih curam. Saya mengingatkan Anda bahwa modul memungkinkan Anda untuk mengabaikan tanda, kami hanya tertarik pada nilai mutlak koefisien sudut.
Pada gilirannya, garis lurus lebih curam daripada garis lurus. 
.
Sebaliknya: semakin kecil modulo kemiringan, garis lurus semakin rata.
Untuk garis lurus 
ketidaksamaan benar, dengan demikian, garis lurus lebih dari kanopi. Seluncuran anak-anak, agar tidak menanam memar dan gundukan.
Mengapa ini dibutuhkan?
Perpanjang siksaan Anda Mengetahui fakta-fakta di atas memungkinkan Anda untuk segera melihat kesalahan Anda, khususnya, kesalahan saat merencanakan grafik - jika gambar ternyata "jelas ada yang salah". Sangat diharapkan bahwa Anda langsung jelas bahwa, misalnya, garis lurus sangat curam dan bergerak dari bawah ke atas, dan garis lurus sangat datar, dekat dengan sumbu dan bergerak dari atas ke bawah.
Dalam masalah geometris, beberapa garis lurus sering muncul, jadi lebih mudah untuk menunjukkannya.
Notasi: garis lurus ditunjukkan dengan huruf latin kecil: . Pilihan yang populer adalah penunjukan huruf yang sama dengan subskrip alami. Misalnya, lima baris yang baru saja kita pertimbangkan dapat dilambangkan dengan 
.
Karena setiap garis lurus secara unik ditentukan oleh dua titik, itu dapat dilambangkan dengan titik-titik ini: 
dll. Notasinya cukup jelas menyiratkan bahwa titik-titik itu milik garis.
Saatnya untuk melonggarkan sedikit:
Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus dengan kemiringan?
Jika diketahui suatu titik yang termasuk dalam suatu garis tertentu, dan gradien garis tersebut, maka persamaan garis tersebut dinyatakan dengan rumus:
Contoh 1
Buatlah persamaan garis lurus dengan kemiringan jika diketahui bahwa titik tersebut termasuk ke dalam garis lurus tersebut.
Keputusan: Kami akan membuat persamaan garis lurus sesuai dengan rumus 
. Pada kasus ini: 
Menjawab:
Penyelidikan dilakukan secara elementer. Pertama, kita melihat persamaan yang dihasilkan dan memastikan bahwa kemiringan kita ada pada tempatnya. Kedua, koordinat titik harus memenuhi persamaan yang diberikan. Mari kita masukkan mereka ke dalam persamaan:
Persamaan yang benar diperoleh, yang berarti bahwa titik memenuhi persamaan yang dihasilkan.
Kesimpulan: Persamaan ditemukan dengan benar.
Contoh yang lebih rumit untuk solusi do-it-yourself:
Contoh 2
Tulis persamaan garis lurus jika diketahui sudut kemiringannya terhadap arah sumbu positif adalah , dan titik tersebut termasuk dalam garis lurus tersebut.
Jika Anda mengalami kesulitan, baca kembali materi teoritis. Lebih tepatnya, lebih praktis, saya kehilangan banyak bukti.
Bel terakhir berbunyi, bola kelulusan mereda, dan di belakang gerbang sekolah asal kita, sebenarnya, geometri analitik sedang menunggu kita. Lelucon sudah berakhir... Mungkin ini baru mulai =)
Secara nostalgia kami melambaikan pegangan ke yang akrab dan berkenalan dengan persamaan umum garis lurus. Karena dalam geometri analitik justru inilah yang digunakan:
Persamaan umum garis lurus memiliki bentuk: , di mana beberapa angka. Pada saat yang sama, koefisien serentak tidak sama dengan nol, karena persamaan kehilangan artinya.
Mari kita mengenakan jas dan mengikat persamaan dengan kemiringan. Pertama, kita pindahkan semua suku ke ruas kiri:
Istilah dengan "x" harus diletakkan di tempat pertama:
Pada prinsipnya, persamaan sudah memiliki bentuk , tetapi menurut aturan etiket matematika, koefisien suku pertama (dalam hal ini ) harus positif. Mengubah tanda:
Ingat fitur teknis ini! Kami membuat koefisien pertama (paling sering ) positif!
Dalam geometri analitik, persamaan garis lurus hampir selalu diberikan dalam bentuk umum. Nah, jika perlu, mudah untuk membawanya ke bentuk "sekolah" dengan kemiringan (kecuali garis lurus yang sejajar dengan sumbu y).
Mari kita bertanya pada diri sendiri apa cukup tahu membangun garis lurus? Dua poin. Tapi tentang kasus masa kecil ini nanti, sekarang menempel dengan aturan panah. Setiap garis lurus memiliki kemiringan yang jelas, yang mudah untuk "beradaptasi" vektor.
Vektor yang sejajar dengan suatu garis disebut vektor arah dari garis tersebut.. Jelas, setiap garis lurus memiliki banyak vektor arah yang tak terhingga, dan semuanya akan kolinear (berarah bersama atau tidak - tidak masalah).
Saya akan menunjukkan vektor arah sebagai berikut: .
Tetapi satu vektor tidak cukup untuk membangun sebuah garis lurus, vektor tersebut bebas dan tidak melekat pada sembarang titik pada bidang tersebut. Oleh karena itu, perlu diketahui juga beberapa titik yang termasuk ke dalam garis tersebut.
Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah?
Jika beberapa titik yang termasuk dalam garis dan vektor pengarah garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dapat disusun dengan rumus:
Kadang disebut persamaan kanonik garis .
Apa yang harus dilakukan ketika salah satu koordinat adalah nol, kita akan melihat contoh praktis di bawah ini. Omong-omong, perhatikan - keduanya sekaligus koordinat tidak boleh nol, karena vektor nol tidak menentukan arah tertentu.
Contoh 3
Tuliskan persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah
Keputusan: Kami akan menyusun persamaan garis lurus sesuai dengan rumus. Pada kasus ini:
Dengan menggunakan sifat-sifat proporsi, kita menghilangkan pecahan: 
Dan kami membawa persamaan ke bentuk umum:
Menjawab:
Menggambar dalam contoh-contoh seperti itu, sebagai suatu peraturan, tidak perlu, tetapi demi pemahaman: 
Dalam gambar, kita melihat titik awal, vektor arah asli (dapat ditunda dari titik mana pun di pesawat) dan garis yang dibangun. Omong-omong, dalam banyak kasus, konstruksi garis lurus paling mudah dilakukan dengan menggunakan persamaan kemiringan. Persamaan kami mudah diubah ke bentuk dan tanpa masalah ambil satu titik lagi untuk membangun garis lurus.
Seperti disebutkan di awal bagian, sebuah garis memiliki banyak vektor arah yang tak terhingga, dan semuanya kolinear. Sebagai contoh, saya menggambar tiga vektor tersebut: 
. Vektor arah mana pun yang kita pilih, hasilnya akan selalu menjadi persamaan garis lurus yang sama.
Mari kita buat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor pengarah:
Mengurai proporsi:
Bagilah kedua sisi dengan -2 dan dapatkan persamaan yang sudah dikenal:
Mereka yang ingin juga dapat menguji vektor 
atau vektor collinear lainnya.
Sekarang mari kita selesaikan masalah invers:
Bagaimana menemukan vektor arah dengan persamaan umum garis lurus?
Sangat sederhana:
Jika sebuah garis lurus diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat persegi panjang, maka vektornya adalah vektor arah dari garis lurus tersebut.
Contoh mencari vektor arah garis lurus: 
Pernyataan tersebut memungkinkan kita untuk menemukan hanya satu vektor arah dari himpunan tak hingga, tetapi kita tidak membutuhkan lebih banyak lagi. Meskipun dalam beberapa kasus disarankan untuk mengurangi koordinat vektor arah:
Jadi, persamaan menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, dan koordinat vektor kemudi yang dihasilkan mudah dibagi dengan -2, mendapatkan vektor basis persis sebagai vektor kemudi. Logikanya.
Demikian pula, persamaan mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, dan membagi koordinat vektor dengan 5, kita mendapatkan ort sebagai vektor arah.
Sekarang mari kita jalankan cek contoh 3. Contohnya naik, jadi saya mengingatkan Anda bahwa di dalamnya kami membuat persamaan garis lurus menggunakan vektor titik dan arah
Pertama-tama, menurut persamaan garis lurus, kami mengembalikan vektor pengarahnya: 
- semuanya baik-baik saja, kami mendapatkan vektor asli (dalam beberapa kasus, itu bisa menjadi collinear dengan vektor asli, dan ini biasanya mudah dilihat dengan proporsionalitas koordinat yang sesuai).
Kedua, koordinat titik harus memenuhi persamaan . Kita substitusikan ke persamaan:
Kesetaraan yang benar telah diperoleh, yang sangat kami senangi.
Kesimpulan: Pekerjaan diselesaikan dengan benar.
Contoh 4
Tuliskan persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah
Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Sangat diinginkan untuk melakukan pemeriksaan sesuai dengan algoritma yang baru saja dipertimbangkan. Cobalah untuk selalu (jika mungkin) memeriksa konsep. Adalah bodoh untuk membuat kesalahan di mana mereka dapat 100% dihindari.
Jika salah satu koordinat vektor arah adalah nol, sangat mudah untuk dilakukan:
Contoh 5
Keputusan: Rumus tidak valid karena penyebut di ruas kanan adalah nol. Ada jalan keluar! Dengan menggunakan sifat-sifat proporsi, kami menulis ulang rumus dalam bentuk , dan sisanya digulung sepanjang alur yang dalam:
Menjawab:
Penyelidikan:
1) Kembalikan vektor arah garis lurus:
– vektor yang dihasilkan kolinear dengan vektor arah asal.
2) Substitusikan koordinat titik dalam persamaan: 
Persamaan yang benar diperoleh
Kesimpulan: pekerjaan diselesaikan dengan benar
Timbul pertanyaan, mengapa repot-repot dengan rumus jika ada versi universal yang akan bekerja pula? Ada dua alasan. Pertama, rumus pecahan jauh lebih baik untuk diingat. Dan kedua, kerugian dari formula universal adalah bahwa peningkatan risiko kebingungan yang nyata saat mengganti koordinat.
Contoh 6
Buatlah persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah.
Ini adalah contoh do-it-yourself.
Mari kita kembali ke dua poin di mana-mana:
Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus jika diberikan dua titik?
Jika dua titik diketahui, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik tersebut dapat disusun dengan menggunakan rumus:
Sebenarnya, ini adalah sejenis rumus, dan inilah alasannya: jika dua titik diketahui, maka vektornya akan menjadi vektor arah garis ini. Pada pelajaran Vektor untuk boneka kami menganggap masalah paling sederhana - bagaimana menemukan koordinat vektor dari dua titik. Berdasarkan masalah ini, koordinat vektor arah: 
Catatan
: poin dapat "ditukar" dan menggunakan rumus 
. Keputusan seperti itu akan sama.
Contoh 7
Tuliskan persamaan garis lurus dari dua titik 
.
Keputusan: Gunakan rumus: 
Kami menyisir penyebutnya:
Dan mengocok dek: 
Sekarang lebih mudah untuk menyingkirkan bilangan pecahan. Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan kedua bagian dengan 6: 
Buka tanda kurung dan ingat persamaannya: 
Menjawab:
Penyelidikan jelas - koordinat titik awal harus memenuhi persamaan yang dihasilkan:
1) Substitusikan koordinat titik: 
Kesetaraan sejati.
2) Substitusikan koordinat titik: 
Kesetaraan sejati.
Kesimpulan: persamaan garis lurus benar.
Jika sebuah setidaknya satu poin tidak memenuhi persamaan, cari kesalahan.
Perlu dicatat bahwa verifikasi grafis dalam kasus ini sulit, karena untuk membangun garis dan melihat apakah titik-titik itu miliknya 
, tidak begitu mudah.
Saya akan mencatat beberapa poin teknis dari solusinya. Mungkin dalam masalah ini lebih menguntungkan menggunakan rumus cermin 
dan, untuk titik yang sama 
membuat persamaan: 
Ada lebih sedikit fraksi. Jika mau, Anda bisa menyelesaikan penyelesaian sampai akhir, hasilnya harus persamaan yang sama.
Poin kedua adalah melihat jawaban akhir dan melihat apakah itu dapat disederhanakan lebih lanjut? Misalnya, jika diperoleh persamaan, maka disarankan untuk menguranginya menjadi dua: - persamaan akan membentuk garis lurus yang sama. Namun, ini sudah menjadi topik pembicaraan tentang susunan garis lurus bersama.
Setelah menerima jawaban 
dalam Contoh 7, untuk berjaga-jaga, saya memeriksa apakah SEMUA koefisien persamaan habis dibagi 2, 3 atau 7. Meskipun, paling sering pengurangan seperti itu dilakukan selama penyelesaian.
Contoh 8
Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik 
.
Ini adalah contoh untuk solusi independen, yang hanya akan memungkinkan Anda untuk lebih memahami dan mengerjakan teknik perhitungan.
Mirip dengan paragraf sebelumnya: jika dalam rumus 
salah satu penyebutnya (koordinat vektor arah) hilang, lalu kita tulis ulang menjadi . Dan lagi, perhatikan betapa canggung dan bingungnya dia mulai terlihat. Saya tidak melihat banyak gunanya memberikan contoh-contoh praktis, karena kita sebenarnya telah memecahkan masalah seperti itu (lihat No. 5, 6).
Vektor normal garis lurus (vektor normal)
Apa itu normal? Secara sederhana, normal adalah tegak lurus. Artinya, vektor normal suatu garis tegak lurus terhadap garis yang diberikan. Jelas bahwa setiap garis lurus memiliki jumlah yang tak terbatas (serta vektor pengarah), dan semua vektor normal dari garis lurus akan kolinear (searah atau tidak - tidak masalah).
Berurusan dengan mereka akan lebih mudah daripada dengan vektor arah:
Jika sebuah garis lurus diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat persegi panjang, maka vektornya adalah vektor normal dari garis lurus tersebut.
Jika koordinat vektor arah harus "ditarik" dengan hati-hati dari persamaan, maka koordinat vektor normal dapat dengan mudah "dihilangkan".
Vektor normal selalu ortogonal terhadap vektor arah garis. Kami akan memverifikasi ortogonalitas dari vektor-vektor ini menggunakan produk titik:
Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama untuk vektor arah: 
Apakah mungkin untuk menulis persamaan garis lurus, mengetahui satu titik dan vektor normal? Rasanya mungkin. Jika vektor normal diketahui, maka arah garis paling lurus juga ditentukan secara unik - ini adalah "struktur kaku" dengan sudut 90 derajat.
Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus yang diberikan titik dan vektor normal?
Jika beberapa titik yang termasuk dalam garis dan vektor normal garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan rumus:
Di sini semuanya berjalan tanpa pecahan dan kejutan lainnya. Seperti itulah vektor normal kita. Suka. Dan hormat =)
Contoh 9
Buatlah persamaan garis lurus yang diberikan sebuah titik dan sebuah vektor normal. Temukan vektor arah garis lurus.
Keputusan: Gunakan rumus: 
Persamaan umum garis lurus diperoleh, mari kita periksa:
1) "Hapus" koordinat vektor normal dari persamaan: 
- ya, memang, vektor asli diperoleh dari kondisi (atau vektor harus collinear dengan vektor asli).
2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan: 
Kesetaraan sejati.
Setelah kita yakin bahwa persamaan itu benar, kita akan menyelesaikan tugas kedua yang lebih mudah. Kami menarik keluar vektor arah garis lurus: 
Menjawab: 
Dalam gambar, situasinya adalah sebagai berikut: 
Untuk tujuan pelatihan, tugas serupa untuk solusi independen:
Contoh 10
Buatlah persamaan garis lurus yang diberikan sebuah titik dan sebuah vektor normal. Temukan vektor arah garis lurus.
Bagian terakhir dari pelajaran akan dikhususkan untuk yang kurang umum, tetapi juga jenis persamaan penting dari garis lurus di pesawat
Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik
Persamaan garis lurus dalam segmen memiliki bentuk , di mana adalah konstanta bukan nol. Beberapa jenis persamaan tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk ini, misalnya, proporsionalitas langsung (karena suku bebasnya nol dan tidak ada cara untuk mendapatkannya di ruas kanan).
Secara kiasan, ini adalah jenis persamaan "teknis". Tugas yang biasa dilakukan adalah merepresentasikan persamaan umum garis lurus sebagai persamaan garis lurus dalam segmen-segmen. Mengapa nyaman? Persamaan garis lurus dalam segmen memungkinkan Anda untuk dengan cepat menemukan titik perpotongan garis lurus dengan sumbu koordinat, yang sangat penting dalam beberapa masalah matematika yang lebih tinggi.
Temukan titik potong garis dengan sumbu. Kami mengatur ulang "y", dan persamaan mengambil bentuk . Titik yang diinginkan diperoleh secara otomatis: .
Sama dengan sumbu 
adalah titik potong garis dengan sumbu y.
Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan persamaan umum garis lurus pada bidang. Mari kita berikan contoh membangun persamaan umum garis lurus jika dua titik dari garis lurus ini diketahui atau jika satu titik dan vektor normal garis lurus ini diketahui. Mari kita sajikan metode untuk mengubah persamaan dalam bentuk umum menjadi bentuk kanonik dan parametrik.
Biarkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian sewenang-wenang diberikan oxy. Pertimbangkan persamaan derajat pertama atau persamaan linier:
| Kapak+Oleh+C=0, | (1) |
di mana A, B, C adalah beberapa konstanta, dan setidaknya salah satu elemen A dan B berbeda dari nol.
Kami akan menunjukkan bahwa persamaan linier di pesawat mendefinisikan garis lurus. Mari kita buktikan teorema berikut.
Teorema 1. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian arbitrer pada bidang, setiap garis lurus dapat diberikan oleh persamaan linier. Sebaliknya, setiap persamaan linier (1) dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian sewenang-wenang pada bidang mendefinisikan garis lurus.
Bukti. Cukup untuk membuktikan bahwa garis L ditentukan oleh persamaan linier untuk setiap sistem koordinat persegi panjang Cartesian, karena itu akan ditentukan oleh persamaan linier dan untuk setiap pilihan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.
Biarkan garis lurus diberikan di pesawat L. Kami memilih sistem koordinat sehingga sumbu Sapi sejajar dengan garis L, dan sumbu Oy adalah tegak lurus terhadapnya. Maka persamaan garis L akan mengambil bentuk sebagai berikut:
| y=0. | (2) |
Semua titik pada satu garis L akan memenuhi persamaan linier (2), dan semua titik di luar garis lurus ini tidak akan memenuhi persamaan (2). Bagian pertama dari teorema terbukti.
Biarkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian diberikan dan biarkan persamaan linier (1) diberikan, di mana setidaknya salah satu elemen A dan B berbeda dari nol. Temukan tempat kedudukan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1). Karena setidaknya salah satu koefisien A dan B berbeda dari nol, maka persamaan (1) memiliki setidaknya satu solusi M(x 0 ,kamu 0). (Misalnya, ketika A 0, titik M 0 (−C/A, 0) milik lokus poin yang diberikan). Mengganti koordinat ini menjadi (1) kita memperoleh identitasnya
| Kapak 0 +Oleh 0 +C=0. | (3) |
Mari kita kurangi identitas (3) dari (1):
| A(x−x 0)+B(kamu−kamu 0)=0. | (4) |
Jelas, persamaan (4) setara dengan persamaan (1). Oleh karena itu, cukup untuk membuktikan bahwa (4) mendefinisikan beberapa garis.
Karena kita sedang mempertimbangkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian, maka dari persamaan (4) diperoleh vektor dengan komponen ( x−x 0 , yy 0 ) ortogonal terhadap vektor n dengan koordinat ( A, B}.
Pertimbangkan beberapa baris L melewati titik M 0 (x 0 , kamu 0) dan tegak lurus terhadap vektor n(Gbr.1). Biar intinya M(x,y) termasuk dalam garis L. Maka vektor dengan koordinat x−x 0 , yy 0 tegak lurus n dan persamaan (4) terpenuhi (produk skalar dari vektor n dan sama dengan nol). Sebaliknya, jika titik M(x,y) tidak terletak pada garis L, maka vektor dengan koordinat x−x 0 , yy 0 tidak ortogonal terhadap vektor n dan persamaan (4) tidak terpenuhi. Teorema telah terbukti.
Bukti. Karena garis (5) dan (6) mendefinisikan garis yang sama, vektor normal n 1 ={A 1 ,B 1) dan n 2 ={A 2 ,B 2) bersifat kolinear. Karena vektor n 1 ≠0, n 2 0, maka ada angka λ , Apa n 2 =n 1 λ . Oleh karena itu kami memiliki: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Ayo buktikan C 2 =C 1 λ . Jelas bahwa garis yang bertepatan memiliki titik yang sama M 0 (x 0 , kamu 0). Mengalikan persamaan (5) dengan λ dan mengurangkan persamaan (6) dari itu kita mendapatkan:
Karena dua persamaan pertama dari ekspresi (7) terpenuhi, maka C 1 λ −C 2=0. Itu. C 2 =C 1 λ . Pernyataan itu terbukti.
Perhatikan bahwa persamaan (4) mendefinisikan persamaan garis lurus yang melalui titik M 0 (x 0 , kamu 0) dan memiliki vektor normal n={A, B). Oleh karena itu, jika vektor normal garis dan titik yang termasuk ke dalam garis tersebut diketahui, maka persamaan umum garis tersebut dapat dibuat dengan menggunakan persamaan (4).
Contoh 1. Sebuah garis melalui sebuah titik M=(4,−1) dan memiliki vektor normal n=(3, 5). Buatlah persamaan umum garis lurus.
Keputusan. Kita punya: x 0 =4, kamu 0 =−1, A=3, B= 5. Untuk menyusun persamaan umum garis lurus, kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan (4):
Menjawab:
Vektor sejajar dengan garis L dan karenanya tegak lurus terhadap vektor normal garis L. Mari kita buat vektor garis normal L, mengingat bahwa produk skalar dari vektor n dan sama dengan nol. Kita dapat menulis, misalnya, n={1,−3}.
Untuk membangun persamaan umum garis lurus, kita menggunakan rumus (4). Mari kita substitusikan ke (4) koordinat titik M 1 (kita juga dapat mengambil koordinat titik M 2) dan vektor normal n:
Mengganti koordinat titik M 1 dan M 2 dalam (9) kita dapat memastikan bahwa garis lurus yang diberikan oleh persamaan (9) melewati titik-titik ini.
Menjawab:
Kurangi (10) dari (1):
Kami telah memperoleh persamaan kanonik dari garis lurus. vektor q={−B, A) adalah vektor arah garis lurus (12).
Lihat transformasi terbalik.
Contoh 3. Sebuah garis lurus pada bidang diwakili oleh persamaan umum berikut:
Pindahkan suku kedua ke kanan dan bagi kedua ruas persamaan dengan 2 5.
Garis yang melalui titik K(x 0; y 0) dan sejajar dengan garis y = kx + a ditemukan dengan rumus:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
Dimana k adalah kemiringan garis lurus.
Rumus alternatif:
Garis yang melalui titik M 1 (x 1 ; y 1) dan sejajar dengan garis Ax+By+C=0 diwakili oleh persamaan
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Contoh 1. Buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik M 0 (-2.1) dan pada saat yang sama:a) sejajar dengan garis lurus 2x+3y -7 = 0;
b) tegak lurus garis 2x+3y -7 = 0.
Keputusan . Mari kita nyatakan persamaan kemiringan sebagai y = kx + a . Untuk melakukan ini, kami akan mentransfer semua nilai kecuali y ke sisi kanan: 3y = -2x + 7 . Kemudian kita membagi ruas kanan dengan koefisien 3 . Kita peroleh: y = -2/3x + 7/3
Tentukan persamaan NK yang melalui titik K(-2;1) sejajar garis lurus y = -2 / 3 x + 7 / 3
Mengganti x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 kita dapatkan:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
atau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 atau 3y + 2x +1 = 0
Contoh #2. Tulis persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis lurus 2x + 5y = 0 dan membentuk, bersama-sama dengan sumbu koordinat, segitiga yang luasnya 5.
Keputusan
. Karena garisnya sejajar, maka persamaan garis yang diinginkan adalah 2x + 5y + C = 0. Luas segitiga siku-siku, di mana a dan b adalah kaki-kakinya. Temukan titik potong garis yang diinginkan dengan sumbu koordinat: 
;
.
Jadi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Substitusi ke rumus luas: 
. Kami mendapatkan dua solusi: 2x + 5y + 10 = 0 dan 2x + 5y - 10 = 0 .
Contoh #3. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (-2; 5) dan garis sejajar 5x-7y-4=0 .
Keputusan. Garis lurus ini dapat diwakili oleh persamaan y = 5/7 x – 4/7 (di sini a = 5/7). Persamaan garis yang diinginkan adalah y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), yaitu 7(y-5)=5(x+2) atau 5x-7y+45=0 .
Contoh #4. Memecahkan contoh 3 (A=5, B=-7) menggunakan rumus (2), kita menemukan 5(x+2)-7(y-5)=0.
Contoh nomor 5. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik (-2;5) dan garis lurus sejajar 7x+10=0.
Keputusan. Di sini A=7, B=0. Rumus (2) memberikan 7(x+2)=0, mis. x+2=0. Rumus (1) tidak dapat diterapkan, karena persamaan ini tidak dapat diselesaikan terhadap y (garis lurus ini sejajar dengan sumbu y).
Persamaan umum garis lurus:
Kasus khusus dari persamaan umum garis lurus:
dan jika C= 0, persamaan (2) akan berbentuk
Kapak + Oleh = 0,
dan garis lurus yang ditentukan oleh persamaan ini melewati titik asal, karena koordinat titik asal x = 0, kamu= 0 memenuhi persamaan ini.
b) Jika dalam persamaan umum garis lurus (2) B= 0, maka persamaan mengambil bentuk
Kapak + Dengan= 0, atau .
Persamaan tidak mengandung variabel kamu, dan garis lurus yang didefinisikan oleh persamaan ini sejajar dengan sumbu Oy.
c) Jika dalam persamaan umum garis lurus (2) A= 0, maka persamaan ini mengambil bentuk
Oleh + Dengan= 0, atau ;
persamaan tidak mengandung variabel x, dan garis lurus yang ditentukan olehnya sejajar dengan sumbu Sapi.
Harus diingat: jika suatu garis lurus sejajar dengan sembarang sumbu koordinat, maka persamaannya tidak mengandung suku yang memuat koordinat dengan nama yang sama dengan sumbu ini.
d) Kapan C= 0 dan A= 0 persamaan (2) berbentuk Oleh= 0, atau kamu = 0.
Ini adalah persamaan sumbu Sapi.
e) Kapan C= 0 dan B= 0 persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk Kapak= 0 atau x = 0.
Ini adalah persamaan sumbu Oy.
Susunan timbal balik garis lurus pada bidang. Sudut antar garis pada bidang. Kondisi garis sejajar Kondisi tegak lurus garis.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Vektor-vektor S 1 dan S 2 disebut sebagai pemandu garis-garisnya.
Sudut antara garis l 1 dan l 2 ditentukan oleh sudut antara vektor arah.
Teorema 1: sudut cos antara l 1 dan l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d
Teorema 2: Agar 2 garis menjadi sama, perlu dan cukup:
Teorema 3: sehingga 2 garis tegak lurus diperlukan dan cukup:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Persamaan umum pesawat dan kasus-kasus khusus. Persamaan bidang dalam segmen.
Persamaan bidang umum:
Ax + By + Cz + D = 0
Kasus khusus:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - pesawat melewati titik asal
2. =0 Ax+By+D = 0 – bidang || ons
3. =0 Ax+Cz+d = 0 – bidang || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – bidang || SAPI
5. A=0 dan D=0 By+Cz = 0 - pesawat melewati OX
6. B=0 dan D=0 Ax+Cz = 0 - pesawat melewati OY
7. C=0 dan D=0 Ax+By = 0 - pesawat melewati OZ
Susunan bersama bidang-bidang dan garis-garis lurus dalam ruang:
1. Sudut antar garis dalam ruang adalah sudut antara vektor arahnya.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. Sudut antara bidang ditentukan melalui sudut antara vektor normalnya.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. Kosinus sudut antara garis dan bidang dapat dicari melalui sin sudut antara vektor arah garis dan vektor normal bidang.
4. 2 baris || di luar angkasa saat mereka || panduan vektor
5. 2 pesawat || kapan || vektor normal
6. Konsep tegak lurus garis dan bidang diperkenalkan dengan cara yang sama.
Pertanyaan #14
Berbagai jenis persamaan garis lurus pada bidang (persamaan garis lurus dalam segmen, dengan kemiringan, dll.)
Persamaan garis lurus dalam segmen:
Misalkan dalam persamaan umum garis lurus:
1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - garis lurus melewati titik asal.
2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d
3. di \u003d 0 Axe + C \u003d 0 x \u003d
4. v \u003d C \u003d 0 Kapak \u003d 0 x \u003d 0
5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0
Persamaan garis lurus dengan kemiringan:
Setiap garis lurus yang tidak sama dengan sumbu y (B tidak = 0) dapat ditulis sebagai berikut. membentuk:
k = tgα adalah sudut antara garis lurus dan garis berarah positif
b - titik perpotongan garis lurus dengan sumbu OS
Dok-in:
Kapak+Oleh+C = 0
Wu \u003d -Ax-C |: B
Persamaan garis lurus pada dua titik:
Soal 16
Limit berhingga suatu fungsi di suatu titik dan untuk x→∞
Batas akhir di titik x 0:
Bilangan A disebut limit fungsi y \u003d f (x) untuk x → x 0, jika untuk sembarang E > 0 ada b > 0 sehingga untuk x x 0, memenuhi pertidaksamaan |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Batas dilambangkan: = A
Batas akhir pada titik +∞:
Bilangan A disebut limit dari fungsi y = f(x) untuk x → + ∞ , jika untuk sembarang E > 0 terdapat C > 0 sehingga untuk x > C pertidaksamaan |f(x) - A|< Е
Batas dilambangkan: = A
Batas akhir di titik -∞:
Bilangan A disebut limit dari fungsi y = f(x) untuk x→-∞, jika untuk sembarang E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
