KESALAHAN PENGUKURAN KUANTITAS FISIK DAN

PENGOLAHAN HASIL PENGUKURAN

Dengan mengukur disebut mencari nilai-nilai besaran fisis secara eksperimental dengan menggunakan cara teknis khusus. Pengukuran bisa langsung atau tidak langsung. Pada langsung Dalam pengukuran, nilai besaran fisis yang diinginkan dicari secara langsung dengan menggunakan alat ukur (misalnya mengukur dimensi suatu benda dengan menggunakan jangka sorong). Tidak langsung disebut pengukuran di mana nilai yang diinginkan dari suatu besaran fisis ditemukan berdasarkan hubungan fungsional yang diketahui antara besaran yang diukur dan besaran yang diukur secara langsung. Misalnya, saat menentukan volume V sebuah silinder, diameter D dan tinggi H diukur, lalu sesuai dengan rumus P D 2 /4 hitung volumenya.

Karena ketidakakuratan alat ukur dan sulitnya memperhitungkan segala efek samping selama pengukuran, mau tidak mau timbul kesalahan pengukuran. Kesalahan atau kesalahan pengukuran disebut penyimpangan hasil pengukuran dari nilai sebenarnya besaran fisis yang diukur.

Kesalahan pengukuran biasanya tidak diketahui, begitu pula nilai sebenarnya dari besaran yang diukur. Oleh karena itu, tugas pemrosesan dasar hasil pengukuran adalah menetapkan interval di mana, dengan probabilitas tertentu, nilai sebenarnya dari besaran fisis yang diukur berada.

Klasifikasi kesalahan pengukuran

Kesalahan dibagi menjadi tiga jenis:

1) kasar atau melakukan kesalahan besar,

2) sistematis,.

3) acak Kesalahan besar

- ini adalah pengukuran yang salah yang timbul akibat pembacaan yang ceroboh pada perangkat, tidak terbacanya pencatatan pembacaan. Misalnya, mencatat hasilnya sebagai 26,5, bukan 2,65; menghitung pada skala 18 bukannya 13, dst.- kesalahan yang, selama pengukuran berulang, tetap konstan atau berubah menurut hukum tertentu. Kesalahan ini mungkin disebabkan oleh pilihan metode pengukuran yang salah, ketidaksempurnaan atau kegagalan fungsi instrumen (misalnya, pengukuran menggunakan perangkat yang offset nolnya). Untuk menghilangkan kesalahan sistematis sebanyak mungkin, Anda harus selalu menganalisis metode pengukuran dengan cermat dan membandingkan instrumen dengan standar. Di masa depan, kami berasumsi bahwa semua kesalahan sistematis telah dihilangkan, kecuali kesalahan yang disebabkan oleh ketidaktelitian dalam pembuatan instrumen dan kesalahan penghitungan. Kami akan menyebut kesalahan ini perangkat keras

Kesalahan acak - Ini adalah kesalahan yang penyebabnya tidak dapat diperhitungkan sebelumnya. Kesalahan acak bergantung pada ketidaksempurnaan indra kita, pada tindakan terus-menerus dari perubahan kondisi eksternal (perubahan suhu, tekanan, kelembapan, getaran udara, dll.). Kesalahan acak tidak dapat dihilangkan; kesalahan tersebut pasti ada dalam semua pengukuran, namun kesalahan tersebut dapat dinilai dengan menggunakan metode teori probabilitas.

Pengolahan hasil pengukuran langsung

Misalkan sejumlah nilainya diperoleh sebagai hasil pengukuran langsung suatu besaran fisis:

x 1, x 2, ... xn.

Mengetahui rangkaian angka ini, Anda perlu menunjukkan nilai yang paling dekat dengan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur dan menemukan besarnya kesalahan acak.

Masalah ini diselesaikan berdasarkan teori probabilitas, yang penjelasan rincinya berada di luar cakupan kursus kami.

. (1)

Nilai yang paling mungkin dari besaran fisis yang diukur (mendekati nilai sebenarnya) dianggap sebagai mean aritmatika Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut D

, (2)

x, yang dihitung menggunakan rumus di mana t(a,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan A,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan .

Nilai kepercayaan diri ditanyakan oleh peneliti sendiri.

Kemungkinan,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan suatu kejadian acak adalah rasio jumlah kasus yang menguntungkan bagi suatu kejadian tertentu dengan jumlah total kasus yang sama kemungkinannya.

Peluang suatu kejadian tertentu adalah 1, dan peluang terjadinya kejadian yang mustahil adalah 0.

Nilai koefisien siswa sesuai dengan probabilitas kepercayaan tertentu dan sejumlah pengukuran n, ditemukan dari tabel. 1.	Tabel 1,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan
			0,95	0,98
	1,38		12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

Nomor,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan dimensi n,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan =0,95.

Namun, menambah jumlah pengukuran saja tidak dapat mengurangi kesalahan keseluruhan menjadi nol, karena alat pengukur apa pun memberikan kesalahan. Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut Mari kita jelaskan arti istilah kesalahan absolut,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan x dan probabilitas kepercayaan menggunakan sumbu bilangan. Biarkan nilai rata-rata dari besaran yang diukur(Gbr. 1), dan kesalahan absolut yang dihitung Dx. Sisihkan D x dari - kanan dan kiri. Interval numerik yang dihasilkan dari ( D x) sampai ( +D x) dipanggil interval kepercayaan

. Di dalam selang kepercayaan ini terdapat nilai sebenarnya dari nilai x yang diukur.

Gambar.1 Jika pengukuran besaran yang sama diulangi dengan instrumen yang sama pada kondisi yang sama, maka nilai sebenarnya dari besaran terukur x ist akan masuk dalam selang kepercayaan yang sama, tetapi pukulannya tidak dapat diandalkan, tetapi dengan probabilitas

A. Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut Setelah dihitung besarnya kesalahan mutlak x menurut rumus (2), nilai sebenarnya x dari besaran fisis yang diukur dapat ditulis sebagai x=

±Dx. Untuk menilai keakuratan pengukuran besaran fisis, hitunglah kesalahan relatif

. (3)

, yang biasanya dinyatakan dalam persentase,

Oleh karena itu, pada saat mengolah hasil pengukuran langsung harus dilakukan hal-hal sebagai berikut:

1. Lakukan pengukuran sebanyak n kali.

2. Hitung mean aritmatika menggunakan rumus (1). 3. Tetapkan tingkat kepercayaan

a (biasanya mengambil a =0,95).,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan 4. Dengan menggunakan Tabel 1, carilah koefisien Student yang sesuai dengan probabilitas kepercayaan yang diberikan

dan jumlah dimensi n.

5. Hitung kesalahan mutlak menggunakan rumus (2) dan bandingkan dengan kesalahan instrumental. Untuk perhitungan selanjutnya ambil yang lebih besar.

6. Dengan menggunakan rumus (3), hitung kesalahan relatif

e. 7. Tuliskan hasil akhirnya x=±D X. menunjukkan kesalahan relatif Jika pengukuran besaran yang sama diulangi dengan instrumen yang sama pada kondisi yang sama, maka nilai sebenarnya dari besaran terukur x ist akan masuk dalam selang kepercayaan yang sama, tetapi pukulannya tidak dapat diandalkan, tetapi dengan probabilitas

e

dan probabilitas kepercayaan

Pengolahan hasil pengukuran tidak langsung

Misalkan besaran fisika y yang diinginkan berhubungan dengan besaran lain x 1, x 2, ... xk dengan suatu ketergantungan fungsional Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut Y=f(x 1 , x 2 , ... xk) (4)±D Diantara nilai x 1 , x 2 , ... xk terdapat nilai yang diperoleh dari pengukuran langsung dan data tabel. Hal ini diperlukan untuk menentukan yang absolut

y dan relatif

. (5)

kesalahan dalam nilai y. Dalam kebanyakan kasus, lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif terlebih dahulu dan kemudian kesalahan absolut. Dari teori probabilitas, kesalahan relatif pengukuran tidak langsung Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut x i – kesalahan mutlak nilai x i. Jika x i diperoleh dari hasil pengukuran langsung, maka nilai rata-ratanya dan kesalahan mutlak Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut x dihitung menggunakan rumus (1) dan (2). Untuk semua nilai terukur x saya probabilitas kepercayaan yang sama ditentukan,n) – Koefisien Student, bergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan . P Jika salah satu suku yang dikuadratkan dalam persamaan (5) besarnya lebih kecil (10 kali) dibandingkan suku lainnya, maka suku tersebut dapat diabaikan.

Ini harus diperhitungkan ketika memilih nilai tabel (

, g, dll.) termasuk dalam rumus kesalahan relatif. Nilainya harus dipilih sedemikian rupa sehingga kesalahan relatifnya adalah urutan besarnya lebih kecil dari kesalahan relatif terbesarnya. Mari kita tuliskan hasil akhirnya:

kamu= ±D kamu. Di Sini .

– nilai rata-rata pengukuran tidak langsung yang diperoleh dari rumus (4) dengan mensubstitusikan nilai rata-rata xi ke dalamnya;

.

D kamu= e

. (6)

Biasanya dalam pengukuran nyata terdapat kesalahan acak dan sistematis (perangkat keras). Jika kesalahan acak yang dihitung dari pengukuran langsung adalah nol atau kurang dari kesalahan instrumen sebanyak dua kali atau lebih, maka ketika menghitung kesalahan pengukuran tidak langsung, kesalahan instrumen harus diperhitungkan. Jika kesalahan ini berbeda kurang dari dua kali, maka kesalahan absolut dihitung menggunakan rumus Mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan volume silinder perlu dihitung: Disini D adalah diameter silinder, H adalah tingginya, diukur dengan jangka sorong dengan nilai pembagian 0,1 mm. Dari hasil pengukuran yang berulang-ulang kita akan menemukan nilai rata-ratanya

, (7)

=10,0 mm dan =40,0mm. Kesalahan relatif pengukuran volume silinder tidak langsung ditentukan oleh rumus dimana D D dan D H – kesalahan absolut dalam pengukuran langsung diameter dan tinggi. Kami menghitung nilainya menggunakan rumus (2): DD=0,01mm; D T = 0,13mm. Mari kita bandingkan kesalahan yang dihitung dengan kesalahan perangkat keras, yang sama dengan nilai pembagian kaliper.<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо Disini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n – jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan nilai kesalahan absolut D

D D bukan 0,01 mm, tapi 0,1 mm. nilai p harus dipilih sehingga kesalahan relatif Dp/hal pada rumus (7) dapat diabaikan. Dari analisis nilai terukur dan kesalahan absolut yang dihitung D D dan D H Terlihat bahwa kontribusi terbesar terhadap kesalahan relatif pengukuran volume diberikan oleh kesalahan pengukuran tinggi badan. Menghitung kesalahan ketinggian relatif menghasilkan e H =0,01. Oleh karena itu, nilainya

P

Anda perlu mengambil 3.14. Dalam hal ini

1. Jika pengukuran dilakukan satu kali atau hasil beberapa pengukuran sama, maka untuk kesalahan pengukuran mutlak perlu diambil kesalahan instrumental, yang pada sebagian besar instrumen yang digunakan sama dengan nilai pembagian perangkat (untuk informasi lebih lanjut tentang kesalahan instrumental, lihat bagian “Alat Ukur”).

2. Jika data tabel atau eksperimen diberikan tanpa menunjukkan kesalahannya, maka kesalahan mutlak bilangan tersebut dianggap sama dengan setengah orde angka penting terakhir.

Tindakan dengan angka perkiraan

Masalah memvariasikan akurasi perhitungan sangat penting, karena melebih-lebihkan akurasi perhitungan akan menyebabkan banyak pekerjaan yang tidak perlu. Siswa sering kali menghitung besaran yang diperlukan hingga lima angka penting atau lebih. Perlu dipahami bahwa keakuratan ini berlebihan. Tidak ada gunanya melakukan perhitungan melebihi batas ketelitian yang dijamin oleh ketelitian dalam menentukan besaran yang diukur secara langsung. Setelah memproses pengukuran, mereka sering tidak menghitung kesalahan hasil individual dan menilai kesalahan perkiraan nilai suatu nilai dengan menunjukkan jumlah digit penting yang benar dalam angka ini.

Angka penting angka perkiraan adalah semua digit kecuali nol, serta nol dalam dua kasus:

1) berada di antara angka penting (misalnya pada angka 1071 ada empat angka penting);

2) bila ia berdiri di akhir suatu bilangan dan bila diketahui bahwa satuan dari angka yang bersangkutan tidak ada pada bilangan tersebut. Contoh. Angka 5.20 mempunyai tiga angka penting, artinya pada pengukuran kita tidak hanya memperhitungkan satuan saja, tetapi juga persepuluhan dan perseratus, dan angka 5.2 hanya mempunyai dua angka penting, artinya kita hanya memperhitungkan bilangan bulat dan persepuluh.

Perkiraan perhitungan harus dilakukan sesuai dengan aturan berikut.

1. Saat menambah dan mengurangi Hasilnya, mereka menyimpan angka desimal sebanyak yang terdapat dalam angka dengan angka desimal paling sedikit. Misalnya: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32.

2. Jumlahnya harus dibulatkan menjadi seperseratus, mis. ambil sama dengan 5,32. Saat mengalikan dan membagi Hasilnya, mereka mempertahankan angka penting sebanyak perkiraan angka dengan angka penting paling sedikit. Misalnya, Anda perlu mengalikan 8,632 ´ 2,8 ´

3.53. Ekspresi ini seharusnya dievaluasi

Saat menghitung hasil antara, satu digit lebih banyak dipertahankan daripada yang direkomendasikan aturan (disebut digit cadangan). Pada hasil akhir, digit cadangan dibuang. Untuk memperjelas nilai digit penting terakhir dari hasil, Anda perlu menghitung digit setelahnya. Jika ternyata kurang dari lima, maka dibuang saja, dan jika lima atau lebih dari lima, maka setelah dibuang, angka sebelumnya harus ditambah satu. Biasanya, kesalahan absolut dibiarkan pada satu digit signifikan, dan nilai terukur dibulatkan ke digit di mana digit signifikan dari kesalahan absolut berada.

3. Hasil perhitungan nilai fungsi x n , , log( X) beberapa angka perkiraan X harus memuat angka penting sebanyak yang ada pada bilangan tersebut X. Misalnya: .

Grafik

Hasil yang diperoleh selama pekerjaan laboratorium seringkali penting dan perlu disajikan secara grafis. Untuk membuat grafik, Anda perlu membuat tabel berdasarkan pengukuran yang dilakukan, di mana setiap nilai dari salah satu besaran sesuai dengan nilai tertentu dari besaran lainnya.

Grafik dibuat pada kertas grafik. Saat memplot grafik, nilai variabel bebas harus diplot pada sumbu absis, dan nilai fungsi pada sumbu ordinat. Di dekat setiap sumbu Anda perlu menulis penunjukan besaran yang digambarkan dan menunjukkan dalam satuan apa besaran itu diukur (Gbr. 2).

Gambar.2

Untuk konstruksi grafik yang benar, pemilihan skala adalah penting: kurva menempati seluruh lembar, dan dimensi panjang dan tinggi grafik kira-kira sama. Skalanya harus sederhana. Cara termudah adalah jika satuan nilai terukur (0,1; 10; 100, dst.) sama dengan 1, 2, atau 5 cm. Perlu diingat bahwa perpotongan sumbu koordinat tidak harus bertepatan nilai nol dari nilai yang diplot (Gbr. 2).

Setiap nilai eksperimen yang diperoleh diplot pada grafik dengan cara yang cukup mencolok: dengan titik, tanda silang, dll.

Kesalahan ditunjukkan untuk nilai yang diukur dalam bentuk segmen panjang interval kepercayaan, yang di tengahnya terdapat titik-titik percobaan. Karena penunjukan kesalahan mengacaukan grafik, hal ini dilakukan hanya jika informasi tentang kesalahan benar-benar diperlukan: saat membuat kurva menggunakan titik eksperimen, saat menentukan kesalahan menggunakan grafik, saat membandingkan data eksperimen dengan kurva teoretis (Gambar 2). Seringkali cukup dengan menunjukkan kesalahan pada satu atau beberapa poin.

Hal ini diperlukan untuk menggambar kurva halus melalui titik-titik percobaan. Seringkali titik-titik percobaan dihubungkan dengan garis putus-putus sederhana. Hal ini tampaknya menunjukkan bahwa besaran-besaran tersebut bergantung satu sama lain secara melompat-lompat. Dan ini tidak mungkin terjadi. Kurva harus mulus dan tidak dapat melewati titik-titik yang ditandai, tetapi dekat dengannya sehingga titik-titik tersebut berada di kedua sisi kurva pada jarak yang sama darinya.

Jika ada titik yang jauh keluar dari grafik, maka pengukuran ini harus diulang. Oleh karena itu, disarankan untuk membuat grafik secara langsung selama percobaan. Grafik tersebut kemudian dapat berfungsi untuk mengontrol dan meningkatkan observasi.

ALAT PENGUKUR DAN AKUNTANSI KESALAHANNYAΔ Untuk pengukuran langsung besaran fisis digunakan alat ukur.Alat ukur apapun tidak memberikan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur.Δ Hal ini disebabkan, pertama, karena tidak mungkin menghitung secara akurat nilai terukur pada skala alat, dan kedua, karena ketidaktelitian dalam pembuatan alat ukur. Untuk memperhitungkan faktor pertama, kesalahan penghitungan Δx o diperkenalkan, untuk faktor kedua - kesalahan yang diizinkan:

.

xd

.

Jumlah kesalahan ini membentuk kesalahan instrumental atau kesalahan mutlak perangkat

X ± Kesalahan yang diizinkan distandarisasi oleh standar negara bagian dan ditunjukkan dalam paspor atau deskripsi perangkat. Kesalahan pembacaan biasanya dianggap sama dengan setengah nilai pembagian skala instrumen, tetapi untuk beberapa instrumen (stopwatch, barometer aneroid) - sama dengan nilai pembagian instrumen (karena posisi panah instrumen tersebut berubah lompatan sebesar satu pembagian. ) dan bahkan beberapa pembagian skala, jika kondisi eksperimen tidak memungkinkan penghitungan mundur dengan pasti ke satu pembagian (misalnya, dengan penunjuk tebal atau pencahayaan buruk). Dengan demikian, kesalahan penghitungan ditentukan oleh pelaku eksperimen itu sendiri, yang benar-benar mencerminkan kondisi eksperimen tertentu.

Jika kesalahan yang diizinkan jauh lebih kecil daripada kesalahan pembacaan, maka kesalahan tersebut dapat diabaikan. Biasanya kesalahan absolut perangkat diambil sama dengan pembagian skala perangkat. ± (3–4) µm (untuk mikrometer dengan rentang pengukuran 0–25 mm). Kesalahan penghitungan diambil setengah dari nilai pembagian. Dengan demikian, kesalahan mutlak mikrometer dapat diambil sama dengan nilai pembagian, yaitu. 0,01 mm.

Saat menimbang, kesalahan timbangan teknis yang diizinkan tergantung pada beban dan berjumlah 50 mg untuk beban 20 hingga 200 g, dan 25 mg untuk beban kurang dari 20 g.

Kesalahan instrumen digital ditentukan oleh kelas akurasi.

Perhitungan kesalahan pengukuran langsung dan tidak langsung

Pengukuran mengacu pada perbandingan suatu besaran yang diukur dengan besaran lain yang diambil sebagai satuan pengukuran. Pengukuran dilakukan secara eksperimental dengan menggunakan sarana teknis khusus.

Pengukuran langsung adalah pengukuran yang hasilnya diperoleh langsung dari data eksperimen (misalnya mengukur panjang dengan penggaris, waktu dengan stopwatch, suhu dengan termometer). Pengukuran tidak langsung adalah pengukuran yang nilai suatu besaran yang diinginkan ditemukan berdasarkan hubungan yang diketahui antara besaran tersebut dengan besaran yang nilainya diperoleh dalam proses pengukuran langsung (misalnya menentukan kecepatan sepanjang jarak yang ditempuh dan waktu). https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

Setiap pengukuran, betapapun hati-hatinya dilakukan, pasti disertai dengan kesalahan (error) – penyimpangan hasil pengukuran dari nilai sebenarnya dari nilai yang diukur.

Kesalahan sistematik adalah kesalahan yang besarnya sama pada semua pengukuran yang dilakukan dengan metode yang sama, menggunakan alat ukur yang sama, dan pada kondisi yang sama. Terjadi kesalahan sistematis:

Akibat ketidaksempurnaan instrumen yang digunakan dalam pengukuran (misalnya, jarum ammeter mungkin menyimpang dari pembagian nol jika tidak ada arus; balok keseimbangan mungkin memiliki lengan yang tidak sama, dll.);

Akibatnya teori metode pengukuran belum berkembang sepenuhnya, yaitu metode pengukuran mengandung sumber kesalahan (misalnya kesalahan terjadi ketika kehilangan panas ke lingkungan tidak diperhitungkan dalam pekerjaan kalorimetri atau ketika menimbang suatu benda). neraca analitik dilakukan tanpa memperhitungkan gaya apung udara) ;

Karena perubahan kondisi eksperimen tidak diperhitungkan (misalnya, selama aliran arus jangka panjang melalui rangkaian, sebagai akibat dari efek termal arus, parameter listrik rangkaian berubah) .

Kesalahan sistematis dapat dihilangkan dengan mempelajari ciri-ciri instrumen, mengembangkan teori pengalaman secara lebih menyeluruh, dan berdasarkan hal tersebut, melakukan koreksi terhadap hasil pengukuran.

Kesalahan acak adalah kesalahan yang besarnya berbeda meskipun pengukuran dilakukan dengan cara yang sama. Alasannya terletak pada ketidaksempurnaan organ indera kita dan dalam banyak keadaan lain yang menyertai pengukuran, dan yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya (kesalahan acak muncul, misalnya, jika kesetaraan iluminasi bidang fotometer ditentukan oleh mata; jika momen defleksi maksimum pendulum matematika ditentukan oleh mata ; ketika menemukan momen resonansi suara dengan telinga; ketika menimbang pada timbangan analitik, jika getaran lantai dan dinding ditransmisikan ke timbangan, dll.).

Kesalahan acak tidak dapat dihindari. Kemunculannya diwujudkan dalam kenyataan bahwa ketika mengulangi pengukuran besaran yang sama dengan kehati-hatian yang sama, diperoleh hasil numerik yang berbeda satu sama lain. Oleh karena itu, jika pada saat pengukuran berulang diperoleh nilai yang sama, hal ini tidak menunjukkan tidak adanya kesalahan acak, melainkan sensitivitas metode pengukuran yang tidak mencukupi.

Kesalahan acak mengubah hasil baik ke satu arah maupun ke arah lain dari nilai sebenarnya, oleh karena itu untuk mengurangi pengaruh kesalahan acak terhadap hasil pengukuran, pengukuran biasanya diulang berkali-kali dan rata-rata aritmatika dari semua hasil pengukuran adalah diambil.

Hasil yang sengaja salah - kesalahan terjadi akibat pelanggaran kondisi pengukuran dasar, akibat kurangnya perhatian atau kelalaian pelaku eksperimen. Misalnya, dalam pencahayaan buruk, “8” ditulis bukan “3”; karena perhatian pelaku eksperimen terganggu, ia mungkin menjadi bingung ketika menghitung jumlah osilasi pendulum; karena kelalaian atau kecerobohan, ia dapat mengacaukan massa beban saat menentukan kekakuan pegas, dll. Tanda eksternal dari suatu kesalahan adalah perbedaan tajam antara nilai hasil dan hasil pengukuran lainnya. Jika ditemukan kesalahan, hasil pengukuran harus segera dibuang dan pengukuran itu sendiri harus diulang. Identifikasi kesalahan juga difasilitasi dengan membandingkan hasil pengukuran yang diperoleh oleh peneliti yang berbeda.

Mengukur suatu besaran fisis berarti mencari selang kepercayaan yang di dalamnya terdapat nilai sebenarnya https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >.png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> kasus, nilai sebenarnya dari nilai yang diukur akan masuk ke dalam interval kepercayaan. Nilainya dinyatakan dalam pecahan satuan, atau dalam persen. Untuk sebagian besar pengukuran, tingkat kepercayaan dibatasi hingga 0,9 atau 0,95. Kadang-kadang, ketika diperlukan tingkat keandalan yang sangat tinggi, tingkat kepercayaan 0,999 sering digunakan. Seiring dengan tingkat kepercayaan, tingkat signifikansi sering digunakan, yang menentukan probabilitas bahwa nilai sebenarnya tidak berada dalam interval kepercayaan

dimana https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> adalah kesalahan absolut. Jadi, batas intervalnya, https://pandia .ru/ text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> terletak dalam interval ini.

Untuk menemukan dan , serangkaian pengukuran tunggal dilakukan. Mari kita pertimbangkan contoh spesifik..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height =" 23">.png" width="72" height="24">. Nilai dapat diulang, seperti nilai dan https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4. png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">.

Nilai rata-rata besaran yang diukur

Alat ukur juga berkontribusi terhadap ketidakpastian pengukuran. Kesalahan ini disebabkan oleh desain perangkat (gesekan pada sumbu perangkat penunjuk, pembulatan yang dihasilkan oleh perangkat penunjuk digital atau diskrit, dll.). Berdasarkan sifatnya, ini adalah kesalahan sistematis, namun besaran dan tandanya tidak diketahui untuk perangkat khusus ini. Kesalahan instrumen dinilai selama pengujian serangkaian besar perangkat serupa.

Kisaran standar kelas ketelitian alat ukur meliputi nilai sebagai berikut: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 1,5; 2.5; 4.0. Kelas akurasi suatu instrumen sama dengan kesalahan relatif instrumen yang dinyatakan dalam persentase relatif terhadap rentang skala penuh. Kesalahan spesifikasi perangkat

Mari kita pertimbangkan dulu kasus kuantitasnya pada bergantung pada satu variabel saja X, yang ditemukan dengan pengukuran langsung,

Rata-rata aritmatika<kamu> dapat dicari dengan substitusi pada (8) X rata-rata aritmatika<X>.

.

Kesalahan absolut dapat dianggap sebagai pertambahan fungsi (8) dengan pertambahan argumen ∆ X(kesalahan total dari nilai yang diukur X). Untuk nilai ∆ yang kecil X itu kira-kira sama dengan diferensial fungsi

, (9)

di mana turunan dari fungsi tersebut dihitung pada . Kesalahan relatifnya akan sama dengan

.

Biarkan jumlahnya ditentukan pada merupakan fungsi dari beberapa variabel x saya,

. (10)

Diasumsikan bahwa kesalahan semua besaran dalam rumus kerja adalah acak, independen dan dihitung dengan probabilitas kepercayaan yang sama (misalnya R= 0,95). Kesalahan dari nilai yang diinginkan akan memiliki probabilitas kepercayaan yang sama. Dalam hal ini, nilai kuantitas yang paling mungkin<pada> ditentukan oleh rumus (10), dengan menggunakan nilai besaran yang paling mungkin untuk dihitung X saya, yaitu nilai rata-ratanya:

<pada> = F(<X 1 >, <X 2 >, …,<X saya >, …,<X m>).

Dalam hal ini, kesalahan absolut dari hasil akhir Δ pada ditentukan oleh rumus

, (11)

di mana ∂ pada/∂X i – turunan parsial dari fungsi tersebut pada dengan argumen X saya , dihitung untuk nilai besaran yang paling mungkin X Saya. Turunan parsial merupakan turunan yang dihitung dari fungsi tersebut pada dengan argumen X saya asalkan semua argumen lainnya dianggap konstan.

Kesalahan nilai relatif pada kita peroleh dengan membagi ∆ pada pada<kamu>

. (12)

Mengingat (1/ pada) mati/dx mewakili turunan terhadap X dari logaritma natural pada kesalahan relatifnya dapat ditulis sebagai berikut

. (13)

Rumus (12) lebih mudah digunakan dalam kasus di mana, bergantung pada (10), besaran yang diukur x saya terutama disertakan dalam bentuk suku, dan rumus (13) cocok untuk perhitungan jika (10) merupakan hasil kali kuantitas X Saya. Dalam kasus terakhir, logaritma awal dari ekspresi (10) secara signifikan menyederhanakan bentuk turunan parsial. Kuantitas terukur pada adalah besaran dimensional dan tidak mungkin membuat logaritma suatu besaran dimensional. Untuk menghilangkan kesalahan ini, Anda perlu memisahkannya pada ke konstanta yang mempunyai dimensi tertentu. Setelah logaritma, Anda mendapatkan suku tambahan yang tidak bergantung pada kuantitas X i dan oleh karena itu akan hilang ketika mengambil turunan parsial, karena turunan dari suatu nilai konstanta sama dengan nol. Oleh karena itu, ketika mengambil logaritma, keberadaan istilah seperti itu diasumsikan saja.

Mengingat hubungan sederhana antara kesalahan absolut dan relatif kamu = Δ pada/<pada>, dengan mudah berdasarkan nilai yang diketahui Δ pada menghitung kamu dan sebaliknya.

Hubungan fungsional antara kesalahan pengukuran langsung dan kesalahan pengukuran tidak langsung untuk beberapa kasus sederhana diberikan dalam Tabel. 3.

Mari kita perhatikan beberapa kasus khusus yang muncul saat menghitung kesalahan pengukuran. Rumus di atas untuk menghitung kesalahan pengukuran tidak langsung hanya valid jika semuanya X saya adalah besaran bebas dan diukur dengan berbagai instrumen dan metode. Dalam praktiknya, kondisi ini tidak selalu terpenuhi. Misalnya, jika ada besaran fisis yang bergantung (10) diukur dengan alat yang sama, maka kesalahan instrumen Δ X i pr dari besaran-besaran ini tidak lagi independen, dan kesalahan instrumental dari besaran yang diukur secara tidak langsung Δ di pr dalam hal ini akan sedikit lebih besar dibandingkan dengan “penjumlahan kuadrat”. Misalnya luas pelat itu panjang aku dan lebar B diukur dengan satu jangka sorong, maka kesalahan instrumen relatif dari pengukuran tidak langsung adalah

(ΔS/S) pr = (Δ aku/aku) pr + ( Δb/b) pr,

itu. kesalahan dijumlahkan secara aritmatika (kesalahan Δ aku pada Δb bertanda sama dan nilainya sama), bukan kesalahan instrumental relatif

dengan kesalahan independen.

Tabel 3

Hubungan fungsional antara kesalahan pengukuran langsung dan tidak langsung

Rumus kerja	Rumus untuk menghitung kesalahan

Saat melakukan pengukuran, mungkin ada kasus ketika nilainya X saya memiliki nilai berbeda yang diubah atau ditentukan secara khusus selama percobaan, misalnya viskositas zat cair dengan metode Poiseuille ditentukan untuk ketinggian kolom zat cair di atas kapiler yang berbeda, atau percepatan gravitasi g ditentukan dengan menggunakan pendulum matematika untuk panjang yang berbeda). Dalam kasus seperti itu, nilai besaran yang diukur secara tidak langsung harus dihitung pada di masing-masing n percobaan secara terpisah, dan ambil nilai rata-rata sebagai nilai yang paling mungkin, yaitu. . Kesalahan acak Δ di sl dihitung sebagai kesalahan dalam pengukuran langsung. Perhitungan kesalahan instrumen Δ di pr dihasilkan melalui turunan parsial menggunakan rumus (11), dan total kesalahan akhir dari nilai terukur tidak langsung dihitung menggunakan rumus

Dalam kebanyakan kasus, tujuan akhir pekerjaan laboratorium adalah menghitung besaran yang diinginkan dengan menggunakan rumus tertentu yang mencakup besaran yang diukur secara langsung. Pengukuran seperti ini disebut tidak langsung. Sebagai contoh, kami memberikan rumus massa jenis benda padat berbentuk silinder

di mana r adalah massa jenis benda, M– berat badan, D– diameter silinder, H– tingginya.

Ketergantungan (A.5) secara umum dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Di mana Y– besaran yang diukur secara tidak langsung, dalam rumus (A.5) ini adalah massa jenis r; X 1 , X 2 ,... ,Xn– besaran yang diukur secara langsung, dalam rumus (A.5) adalah M, D, Dan H.

Hasil pengukuran tidak langsung tidak dapat akurat, karena hasil pengukuran besaran secara langsung X 1 , X 2, ... ,Xn selalu mengandung kesalahan. Oleh karena itu, dengan pengukuran tidak langsung, seperti halnya pengukuran langsung, perlu untuk memperkirakan interval kepercayaan (kesalahan absolut) dari nilai yang diperoleh. DY dan kesalahan relatif e.

Saat menghitung kesalahan dalam kasus pengukuran tidak langsung, sebaiknya ikuti urutan tindakan berikut:

1) memperoleh nilai rata-rata dari setiap besaran yang diukur secara langsung b X 1ñ, á X 2ñ, …, á Xnñ;

2) memperoleh nilai rata-rata besaran yang diukur secara tidak langsung b Yñ dengan mensubstitusikan nilai rata-rata besaran yang diukur secara langsung ke dalam rumus (A.6);

3) memperkirakan kesalahan mutlak besaran yang diukur secara langsung DX 1 , DX 2 , ..., DX n, menggunakan rumus (A.2) dan (A.3);

4) berdasarkan bentuk eksplisit fungsi (A.6), diperoleh rumus untuk menghitung kesalahan absolut dari nilai yang diukur secara tidak langsung DY dan menghitungnya;

6) tuliskan hasil pengukuran dengan memperhitungkan kesalahannya.

Di bawah ini, tanpa turunan, adalah rumus yang memungkinkan diperoleh rumus untuk menghitung kesalahan absolut jika bentuk eksplisit dari fungsi (A.6) diketahui:

dimana ¶Y¤¶ X 1 dll. – turunan parsial dari Y terhadap semua besaran yang dapat diukur secara langsung X 1 , X 2 , …, X n (ketika turunan parsial diambil, misalnya terhadap X 1, lalu semua besaran lainnya X saya dalam rumus dianggap konstan), D X saya– kesalahan absolut dari besaran yang diukur secara langsung, dihitung menurut (A.3).

Setelah menghitung DY, carilah kesalahan relatifnya.

Namun, jika fungsi (A.6) adalah monomial, maka akan lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif terlebih dahulu, lalu kesalahan absolut.

Memang membagi kedua sisi persamaan (A.7) menjadi Y, kita dapatkan

Tapi sejak itu, kita bisa menulis

Sekarang, mengetahui kesalahan relatif, tentukan kesalahan absolut.

Sebagai contoh, kita memperoleh rumus untuk menghitung kesalahan massa jenis suatu zat, yang ditentukan dengan rumus (A.5). Karena (A.5) adalah monomial, maka seperti disebutkan di atas, lebih mudah untuk menghitung kesalahan pengukuran relatif terlebih dahulu menggunakan (A.8). Pada (A.8) di bawah akar kita mempunyai jumlah turunan parsial kuadrat dari logaritma besaran terukur, jadi pertama-tama kita cari logaritma natural dari r:

ln r = ln 4 + ln M– dalam hal –2 dalam D–ln H,

dan kemudian kita akan menggunakan rumus (A.8) dan memperolehnya

Seperti dapat dilihat, pada (A.9) digunakan nilai rata-rata besaran yang diukur secara langsung dan kesalahan absolutnya, dihitung dengan metode pengukuran langsung menurut (A.3). Kesalahan yang ditimbulkan oleh bilangan p tidak diperhitungkan, karena nilainya selalu dapat diambil dengan ketelitian yang melebihi ketelitian pengukuran semua besaran lainnya. Setelah menghitung e, kami menemukan .

Jika pengukuran tidak langsung bersifat independen (kondisi setiap percobaan berikutnya berbeda dari kondisi percobaan sebelumnya), maka nilai besarannya Y dihitung untuk setiap percobaan individu. Setelah diproduksi N pengalaman, dapatkan N nilai-nilai kamu saya. Selanjutnya, ambil masing-masing nilainya kamu saya(Di mana Saya– nomor percobaan) untuk hasil pengukuran langsung, hitung á Yñ dan D Y menurut rumus (A.1) dan (A.2), masing-masing.

Hasil akhir pengukuran langsung dan tidak langsung akan terlihat seperti ini:

Di mana M– eksponen, kamu– satuan pengukuran besaran Y.

Masalahnya dirumuskan sebagai berikut: biarkan jumlah yang diinginkan z ditentukan melalui besaran lain a, b, c, ... diperoleh dari pengukuran langsung

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Penting untuk mencari nilai rata-rata fungsi dan kesalahan pengukurannya, mis. mencari selang kepercayaan

dengan keandalan a dan kesalahan relatif.

Sedangkan untuk , ditemukan dengan mensubstitusikan ke ruas kanan (11). a, b, c,...nilai rata-ratanya

Kesalahan absolut pengukuran tidak langsung merupakan fungsi dari kesalahan absolut pengukuran langsung dan dihitung dengan rumus

(1.14)

Berikut turunan parsial dari fungsi tersebut F oleh variabel a, b, …

Jika nilainya a,b,c,... menjadi suatu fungsi Z = f (a, b, c,...) dimasukkan dalam bentuk faktor dengan derajat yang berbeda-beda, yaitu jika

, (1.15)

maka akan lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif terlebih dahulu

, (1.16)

dan kemudian mutlak

Rumus untuk D z dan e z diberikan dalam literatur referensi.

Anda perlu mengambil 3.14. Dalam hal ini

1. Untuk pengukuran tidak langsung, rumus perhitungan dapat mencakup konstanta fisika yang diketahui (percepatan gravitasi G, kecepatan cahaya dalam ruang hampa Dengan dll.), bilangan seperti faktor pecahan... . Nilai-nilai ini dibulatkan selama perhitungan. Dalam hal ini, tentu saja, terjadi kesalahan dalam perhitungan ‒ kesalahan pembulatan dalam perhitungan, yang harus diperhitungkan.

Secara umum diterima bahwa kesalahan pembulatan suatu bilangan perkiraan sama dengan setengah satuan angka yang dibulatkan bilangan tersebut. Misalnya, hal = 3.14159... . Jika kita ambil p = 3,1, maka Dp = 0,05, jika p = 3,14, maka Dp = 0,005 ... dst. Pertanyaan tentang digit mana yang akan membulatkan suatu angka perkiraan diselesaikan sebagai berikut: kesalahan relatif yang ditimbulkan oleh pembulatan harus memiliki urutan yang sama atau urutan besarnya lebih kecil dari kesalahan relatif maksimum jenis lainnya. Kesalahan absolut data tabular diperkirakan dengan cara yang sama. Misalnya, tabel menunjukkan r = 13,6 × 10 3 kg/m 3, oleh karena itu, Dr = 0,05 × 10 3 kg/m 3.

Kesalahan dalam nilai konstanta universal sering kali ditunjukkan bersama dengan nilainya yang diambil sebagai rata-rata: ( Dengan = m/s, di mana D Dengan= 0,3×10 3 m/s.

2. Terkadang, dengan pengukuran tidak langsung, kondisi eksperimen tidak sesuai dengan pengamatan berulang. Dalam hal ini, nilai fungsinya z dihitung untuk setiap pengukuran individu, dan interval kepercayaan dihitung di seluruh nilai z sama seperti pengukuran langsung (semua kesalahan di sini termasuk dalam satu kesalahan pengukuran acak z). Nilai yang tidak diukur, tetapi ditentukan (jika ada) harus ditunjukkan dengan akurasi yang cukup tinggi.

Tata cara pengolahan hasil pengukuran

Pengukuran langsung

1. Hitung nilai rata-ratanya N pengukuran

2. Temukan kesalahan pengukuran individu .

3. Hitung kesalahan kuadrat dari pengukuran individu dan jumlahnya: .

4. Tetapkan reliabilitasa (untuk tujuan kita, kita ambil a = 0,95) dan gunakan tabel untuk menentukan koefisien Student T A, N dan t a, ¥ .

5. Menilai kesalahan sistematis: instrumen D X kesalahan pembulatan dalam pengukuranD X env = D/2 (D adalah nilai pembagian instrumen) dan cari kesalahan total hasil pengukuran (setengah lebar interval kepercayaan):

.

6. Perkirakan kesalahan relatif

.

7. Tuliskan hasil akhir pada formulir

ε = … % untuk a = ...

Pengukuran tidak langsung

1. Untuk setiap besaran yang diukur secara langsung, dimasukkan ke dalam rumus penentuan besaran yang diinginkan , lakukan pemrosesan seperti yang ditunjukkan di atas. Jika di antara kuantitas a, b, c, ...ada konstanta tabel atau angka seperti p, e,..., maka selama perhitungan mereka harus dibulatkan sehingga (jika mungkin) kesalahan relatif yang ditimbulkan adalah urutan besarnya lebih kecil dari kesalahan relatif terbesar dari besaran yang diukur secara langsung.

Tentukan nilai rata-rata dari besaran yang diinginkan

z = f ( ,,,...).

3. Perkirakan setengah lebar selang kepercayaan hasil pengukuran tidak langsung

,

di mana turunannya ... dihitung

4. Tentukan kesalahan relatif dari hasil tersebut

5. Jika ketergantungan z pada a, b, c,...memiliki bentuk , Di mana k, aku, m‒ bilangan real apa pun, maka Anda harus menemukannya terlebih dahulu relatif kesalahan

kemudian mutlak .

6. Tuliskan hasil akhir pada formulir

z = ± Dz , ε = …% pada a = … .

Catatan:

Saat memproses hasil pengukuran langsung, Anda harus mengikuti aturan berikut: nilai numerik dari semua besaran yang dihitung harus mengandung satu digit lebih banyak dari besaran awal (ditentukan secara eksperimental).

Untuk pengukuran tidak langsung, perhitungan dilakukan sesuai dengan aturan perhitungan perkiraan:

Aturan 1. Saat menjumlahkan dan mengurangi angka perkiraan, Anda harus:

a) pilih suku yang angka meragukannya mempunyai angka tertinggi;

b) membulatkan semua suku lainnya ke digit berikutnya (satu digit cadangan dipertahankan);

c) melakukan penjumlahan (pengurangan);

d) sebagai hasilnya, buang angka terakhir dengan cara membulatkan (angka dari angka yang meragukan dari hasil tersebut bertepatan dengan angka tertinggi dari angka-angka yang meragukan dari suku tersebut).

Contoh: 5.4382·10 5 – 2.918·10 3 + 35.8 + 0.064.

Pada angka-angka ini, angka penting terakhir diragukan (yang salah sudah dibuang). Mari kita tuliskan dalam bentuk 543820 – 2918 + 35.8 + 0.064.

Terlihat pada suku pertama bilangan meragukan 2 mempunyai angka tertinggi (puluhan). Membulatkan semua angka lainnya ke digit berikutnya dan menjumlahkannya, kita mendapatkan

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.

Aturan 2. Saat mengalikan (membagi) angka perkiraan, Anda harus:

a) pilihlah bilangan-bilangan yang mempunyai angka penting paling sedikit ( SIGNIFIKAN – angka selain nol dan angka nol di antara keduanya);

b) membulatkan angka-angka yang tersisa sehingga mempunyai satu angka penting lebih banyak (satu angka cadangan dipertahankan) daripada yang dialokasikan pada langkah a;

c) mengalikan (membagi) bilangan yang dihasilkan;

d) sebagai hasilnya, sisakan angka penting sebanyak-banyaknya pada bilangan-bilangan yang jumlah angka pentingnya paling sedikit.

Contoh: .

Aturan 3. Saat dipangkatkan, saat mengekstraksi akar, hasilnya tetap mempertahankan angka penting sebanyak bilangan aslinya.

Contoh: .

Aturan 4. Saat mencari logaritma suatu bilangan, mantissa logaritma harus mempunyai angka penting sebanyak bilangan aslinya:

Contoh: .

Dalam rekaman terakhir mutlak kesalahan seharusnya hanya dibiarkan satu angka penting. (Jika angka ini ternyata 1, maka angka lain disimpan setelahnya).

Nilai rata-rata dibulatkan ke angka yang sama dengan kesalahan absolutnya.

Misalnya: V= (375,21 0,03) cm 3 = (3,7521 0,0003) cm 3.

SAYA= (5,530 0,013) A, A = J.