Tanggapan redaksi

Michael Francis Atiyah, seorang profesor di Universitas Oxford, Cambridge dan Edinburgh dan pemenang hampir selusin penghargaan bergengsi dalam matematika, mempresentasikan bukti Hipotesis Riemann, salah satu dari tujuh Masalah Milenium, yang menjelaskan bagaimana bilangan prima terletak pada bilangan garis.

Pembuktian Atiyah singkat, sebanyak lima halaman, berikut pendahuluan dan daftar pustaka. Ilmuwan mengklaim bahwa ia menemukan solusi untuk hipotesis dengan menganalisis masalah yang terkait dengan konstanta struktur halus, dan menggunakan fungsi Todd sebagai alat. Jika komunitas ilmiah menganggap bukti itu benar, maka orang Inggris itu akan menerima $ 1 juta untuk itu dari Clay Mathematics Institute (Clay Mathematics Institute, Cambridge, Massachusetts).

Ilmuwan lain juga berlomba-lomba untuk mendapatkan hadiah tersebut. Pada tahun 2015, ia mengumumkan solusi dari hipotesis Riemann Profesor Matematika Opeyemi Enoch dari Nigeria, dan pada tahun 2016 mempresentasikan bukti hipotesisnya Matematikawan Rusia Igor Turkanov. Menurut perwakilan Institut Matematika, agar prestasi tersebut dapat dicatat, harus diterbitkan dalam jurnal internasional yang berwibawa, diikuti dengan konfirmasi pembuktian oleh komunitas ilmiah.

Apa inti dari hipotesis?

Hipotesis dirumuskan kembali pada tahun 1859 oleh orang Jerman matematikawan Bernhard Riemann. Dia mendefinisikan formula, yang disebut fungsi zeta, untuk jumlah bilangan prima hingga batas tertentu. Ilmuwan menemukan bahwa tidak ada pola yang akan menggambarkan seberapa sering bilangan prima muncul dalam deret bilangan, sementara ia menemukan bahwa jumlah bilangan prima yang tidak melebihi x, dinyatakan dalam distribusi yang disebut "nol non-sepele" dari fungsi zeta.

Riemann yakin akan kebenaran rumus turunan, tetapi dia tidak dapat menentukan pernyataan sederhana apa yang sepenuhnya bergantung pada distribusi ini. Akibatnya, ia mengajukan hipotesis bahwa semua nol non-sepele dari fungsi zeta memiliki bagian nyata yang sama dengan dan terletak pada garis vertikal Re=0,5 bidang kompleks.

Pembuktian atau sanggahan hipotesis Riemann sangat penting untuk teori distribusi bilangan prima, kata Mahasiswa PhD Fakultas Matematika Sekolah Tinggi Ekonomi Alexander Kalmynin. “Hipotesis Riemann adalah pernyataan yang setara dengan beberapa formula untuk jumlah bilangan prima yang tidak melebihi angka tertentu x. Sebuah hipotesis, misalnya, memungkinkan Anda untuk dengan cepat dan akurat menghitung jumlah bilangan prima yang tidak melebihi, misalnya, 10 miliar.Ini bukan satu-satunya nilai hipotesis, karena ia juga memiliki jumlah yang agak jauh. -mencapai generalisasi, yang dikenal sebagai hipotesis Riemann yang digeneralisasi, hipotesis Riemann yang diperluas, dan hipotesis Riemann yang besar. Mereka bahkan lebih penting untuk cabang matematika yang berbeda, tetapi pertama-tama, pentingnya hipotesis ditentukan oleh teori bilangan prima, ”kata Kalmynin.

Menurut ahli, dengan bantuan hipotesis, dimungkinkan untuk memecahkan sejumlah masalah klasik teori bilangan: masalah Gauss pada bidang kuadrat (masalah diskriminan kesepuluh), masalah Euler pada bilangan yang sesuai, dugaan Vinogradov pada kuadrat non-residu, dll. Dalam matematika modern, hipotesis ini digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan prima. “Kami segera berasumsi bahwa beberapa hipotesis kuat seperti hipotesis Riemann benar, dan lihat apa yang terjadi. Ketika kita berhasil, kita bertanya pada diri sendiri: dapatkah kita membuktikannya tanpa mengasumsikan hipotesis? Dan, meskipun pernyataan seperti itu masih di luar apa yang bisa kita capai, itu berfungsi seperti suar. Karena ada hipotesis seperti itu, kita bisa melihat ke mana kita akan pergi,” kata Kalmynin.

Bukti hipotesis juga dapat mempengaruhi peningkatan teknologi informasi, karena proses enkripsi dan pengkodean saat ini bergantung pada efektivitas algoritma yang berbeda. “Jika kita mengambil dua bilangan besar sederhana dari empat puluh digit dan mengalikannya, maka kita akan mendapatkan bilangan delapan puluh digit yang besar. Jika kami menetapkan tugas untuk memfaktorkan angka ini, maka ini akan menjadi tugas komputasi yang sangat kompleks, yang menjadi dasar banyak masalah keamanan informasi. Semuanya terdiri dari pembuatan algoritma berbeda yang terkait dengan kompleksitas semacam ini, ”kata Kalmynin.

Solusi 15 baris dipresentasikan oleh ilmuwan Inggris terkenal Sir Michael Francis Atiyah ( Michael Francis Atiyah), pemenang penghargaan matematika bergengsi. Dia terutama bekerja di bidang fisika matematika. Sains melaporkan bahwa Atiyah berbicara tentang penemuannya di sebuah konferensi Forum Pemenang Heidelberg di Universitas Heidelberg pada hari Senin.

Hipotesis Riemann dirumuskan, seperti yang Anda duga, oleh Bernhard Riemann pada tahun 1859. Matematikawan memperkenalkan konsep fungsi zeta - fungsi untuk variabel kompleks - dan menggunakannya untuk menggambarkan distribusi bilangan prima. Masalah asli dengan bilangan prima adalah bahwa mereka hanya didistribusikan melalui serangkaian bilangan asli tanpa pola yang jelas. Riemann mengusulkan fungsi distribusinya untuk bilangan prima yang tidak melebihi x, tetapi dia tidak dapat menjelaskan mengapa ketergantungan itu muncul. Para ilmuwan telah berjuang untuk memecahkan masalah ini selama hampir 150 tahun.

Hipotesis Riemann termasuk dalam daftar "" (Masalah Hadiah Milenium), untuk solusi dari masing-masing hadiah satu juta dolar. Dari masalah ini, hanya satu yang telah dipecahkan - dugaan Poincare. Solusinya diusulkan oleh seorang ahli matematika Rusia pada tahun 2002 dalam serangkaian makalahnya. Pada 2010, ilmuwan itu dianugerahi hadiah, tetapi dia menolaknya.

Michael Atiyah mengaku telah menjelaskan pola Riemann. Dalam pembuktiannya, ahli matematika mengandalkan konstanta fisik dasar - konstanta struktur halus, yang menggambarkan kekuatan dan sifat interaksi elektromagnetik antara partikel bermuatan. Menggambarkan konstanta ini menggunakan fungsi Todd yang relatif tidak jelas, Atiyah menemukan solusi untuk hipotesis Riemann dengan kontradiksi.

Komunitas ilmiah tidak terburu-buru untuk menerima bukti yang diajukan. Misalnya, seorang ekonom dari Universitas Sains dan Teknologi Norwegia Jørgen Visdal ( Jørgen Veisdal), yang sebelumnya telah mempelajari Hipotesis Riemann, menyatakan bahwa solusi Atiyah "terlalu kabur dan tidak pasti". Ilmuwan perlu mempelajari bukti tertulis lebih hati-hati untuk sampai pada kesimpulan. Rekan Atiyah dihubungi Sains, juga mencatat bahwa mereka tidak menganggap solusi yang disajikan berhasil, karena didasarkan pada asosiasi yang goyah. Fisikawan matematika UC Riverside John Baez ( John Baez) dan bahkan menyatakan bahwa bukti Atiyah "hanya memaksakan satu klaim yang mengesankan pada klaim lain tanpa argumen yang mendukungnya atau pembenaran yang nyata."

Michael Atiyah sendiri percaya bahwa karyanya meletakkan dasar untuk membuktikan tidak hanya Hipotesis Riemann, tetapi juga masalah lain yang belum terselesaikan dalam matematika. Tentang kritik, katanya, "Orang-orang akan mengeluh dan menggerutu, tetapi itu karena mereka tidak setuju dengan gagasan bahwa orang tua dapat menemukan metode yang sama sekali baru."

Menariknya, di masa lalu, ilmuwan tersebut telah membuat pernyataan profil tinggi yang serupa dan menghadapi kritik. Pada 2017, Atiyah menceritakan edisi London Waktu bahwa ia mengurangi 255 halaman Feit-Thompson atau Teorema Orde Ganjil, terbukti pada tahun 1963, menjadi 12 halaman. Ahli matematika mengirimkan buktinya kepada 15 ahli, tetapi mereka tidak pernah memberikan nilai positif untuk pekerjaan itu, dan akibatnya, itu tidak dipublikasikan di jurnal ilmiah mana pun. Setahun sebelumnya, Atiyah telah mengumumkan solusi dari masalah yang terkenal dalam geometri diferensial. Ilmuwan menerbitkan pracetak artikel dengan solusi ini di ArXiv.org. Segera, rekan-rekan menunjukkan sejumlah ketidakakuratan dalam pekerjaan, dan versi teks lengkap dari artikel tersebut tidak pernah diterbitkan.

Kesalahan ini sekarang sebagian besar mendukung skeptisisme komunitas ilmiah tentang pembuktian Hipotesis Riemann. Atiye harus menunggu penilaian dari Clay Institute, yang memberikan penghargaan untuk memecahkan "masalah milenium". Untuk saat ini, Anda dapat membaca bukti ahli matematika di tautan ke Google Drive, yang ia sendiri posting di domain publik.

Halo, habralyudi!

Hari ini saya ingin menyentuh topik seperti "tugas milenium", yang telah mengkhawatirkan pikiran terbaik planet kita selama beberapa dekade, dan beberapa bahkan ratusan tahun.

Setelah membuktikan dugaan (sekarang teorema) Poincaré oleh Grigory Perelman, pertanyaan utama yang menarik perhatian banyak orang adalah: “ Dan apa yang sebenarnya dia buktikan, jelaskan dengan jari Anda?» Mengambil kesempatan, saya akan mencoba menjelaskan dengan jari saya tugas-tugas lain dari milenium, atau setidaknya mendekati mereka dari sisi lain lebih dekat dengan kenyataan.

Persamaan kelas P dan NP

Kita semua ingat persamaan kuadrat dari sekolah, yang diselesaikan melalui diskriminan. Solusi untuk masalah ini adalah kelas P (P waktu olinomial)- untuk itu, ada algoritma solusi puasa (selanjutnya, kata "cepat" adalah mengeksekusi dalam waktu polinomial), yang dihafal.

Ada juga NP-tugas ( N pada-deterministik P waktu olinomial), solusi yang ditemukan yang dapat dengan cepat diperiksa menggunakan algoritma tertentu. Misalnya, periksa dengan komputer brute force. Jika kita kembali ke solusi persamaan kuadrat, kita akan melihat bahwa dalam contoh ini algoritma solusi yang ada diperiksa semudah dan secepat diselesaikan. Dari sini, kesimpulan logis menunjukkan dirinya bahwa tugas ini milik satu kelas dan yang kedua.

Ada banyak tugas seperti itu, tetapi pertanyaan utamanya adalah apakah semua atau tidak semua tugas yang dapat diperiksa dengan mudah dan cepat juga dapat diselesaikan dengan mudah dan cepat? Sekarang, untuk beberapa masalah, tidak ada algoritma solusi cepat yang ditemukan, dan tidak diketahui apakah solusi seperti itu ada sama sekali.

Di Internet, saya juga menemukan kata-kata yang menarik dan transparan:

Katakanlah Anda, berada di sebuah perusahaan besar, ingin memastikan bahwa teman Anda juga ada di sana. Jika Anda diberitahu bahwa dia duduk di sudut, maka sepersekian detik akan cukup untuk, dengan pandangan sekilas, memastikan bahwa informasi itu benar. Dengan tidak adanya informasi ini, Anda akan dipaksa untuk berkeliling ke seluruh ruangan, melihat para tamu.

Dalam hal ini, pertanyaannya masih sama, apakah ada algoritme tindakan seperti itu, berkat itu, bahkan tanpa informasi tentang di mana seseorang berada, temukan dia secepat seolah-olah mengetahui di mana dia berada.

Masalah ini sangat penting untuk berbagai bidang pengetahuan, tetapi belum terpecahkan selama lebih dari 40 tahun.

Hipotesis Hodge

Pada kenyataannya, ada banyak objek geometris yang sederhana dan jauh lebih kompleks. Jelas, semakin kompleks objek, semakin memakan waktu untuk belajar. Sekarang para ilmuwan telah menemukan dan menggunakan pendekatan yang kuat dan utama, ide utamanya adalah menggunakan yang sederhana "batu bata" dengan sifat-sifat yang sudah dikenal yang menyatu dan membentuk kemiripannya, ya, seorang desainer akrab bagi semua orang sejak kecil. Mengetahui sifat-sifat "batu bata", menjadi mungkin untuk mendekati sifat-sifat objek itu sendiri.

Hipotesis Hodge dalam hal ini terkait dengan beberapa sifat baik "batu bata" dan benda.

Hipotesis Riemann

Sejak sekolah, kita semua tahu bilangan prima yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh satu. (2,3,5,7,11...) . Sejak zaman kuno, orang telah berusaha menemukan pola dalam penempatan mereka, tetapi keberuntungan belum tersenyum pada siapa pun sejauh ini. Akibatnya, para ilmuwan telah menerapkan upaya mereka pada fungsi distribusi bilangan prima, yang menunjukkan jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan bilangan tertentu. Misalnya, untuk 4 - 2 bilangan prima, untuk 10 - sudah 4 bilangan. Hipotesis Riemann hanya mengatur properti dari fungsi distribusi ini.

Banyak pernyataan tentang kompleksitas komputasi dari beberapa algoritma bilangan bulat dibuktikan dengan asumsi bahwa dugaan ini benar.

Teori Yang-Mills

Persamaan fisika kuantum menggambarkan dunia partikel elementer. Fisikawan Yang dan Mills, setelah menemukan hubungan antara geometri dan fisika partikel dasar, menulis persamaan mereka sendiri, menggabungkan teori elektromagnetik, interaksi lemah dan kuat. Pada suatu waktu, teori Yang-Mills dianggap hanya sebagai penyempurnaan matematis, tidak terkait dengan kenyataan. Namun, kemudian teori itu mulai menerima konfirmasi eksperimental, tetapi secara umum masih belum terselesaikan.

Berdasarkan teori Yang-Mills, model standar fisika partikel elementer dibangun di mana Higgs boson sensasional diprediksi dan baru-baru ini ditemukan.

Keberadaan dan kelancaran solusi persamaan Navier-Stokes

Aliran fluida, arus udara, turbulensi. Ini dan banyak fenomena lainnya dijelaskan oleh persamaan yang dikenal sebagai Persamaan Navier-Stokes. Untuk beberapa kasus khusus, solusi telah ditemukan di mana, sebagai aturan, bagian dari persamaan dibuang karena tidak mempengaruhi hasil akhir, tetapi secara umum solusi dari persamaan ini tidak diketahui, dan bahkan tidak diketahui bagaimana menyelesaikannya. mereka.

Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer

Untuk persamaan x 2 + y 2 \u003d z 2, Euclid pernah memberikan deskripsi lengkap tentang solusi, tetapi untuk persamaan yang lebih kompleks, menemukan solusi menjadi sangat sulit, cukup untuk mengingat sejarah bukti teorema Fermat yang terkenal untuk yakinlah akan hal ini.

Hipotesis ini dihubungkan dengan deskripsi persamaan aljabar derajat ke-3 - yang disebut kurva elips dan sebenarnya satu-satunya cara umum yang relatif sederhana untuk menghitung peringkat, salah satu sifat terpenting dari kurva eliptik.

Sebagai bukti Teorema Fermat kurva elips telah mengambil salah satu tempat yang paling penting. Dan dalam kriptografi, mereka membentuk seluruh bagian dari nama itu sendiri, dan beberapa standar tanda tangan digital Rusia didasarkan pada mereka.

Dugaan Poincare

Saya pikir jika tidak semua, maka sebagian besar dari Anda pasti pernah mendengarnya. Paling sering ditemukan, termasuk di media pusat, transkrip seperti “ karet gelang yang direntangkan di atas bola dapat ditarik dengan mulus ke suatu titik, tetapi karet gelang yang direntangkan di atas donat tidak dapat ditarik". Faktanya, formulasi ini berlaku untuk dugaan Thurston, yang menggeneralisasi dugaan Poincaré, dan yang benar-benar dibuktikan Perelman.

Sebuah kasus khusus dari dugaan Poincare memberitahu kita bahwa setiap manifold tiga dimensi tanpa batas (alam semesta, misalnya) seperti bola tiga dimensi. Dan kasus umum menerjemahkan pernyataan ini ke objek dari dimensi apa pun. Perlu dicatat bahwa donat, seperti alam semesta seperti bola, seperti cangkir kopi biasa.

Kesimpulan

Saat ini, matematika diasosiasikan dengan ilmuwan yang berpenampilan aneh dan membicarakan hal yang sama anehnya. Banyak yang membicarakan keterasingannya dari dunia nyata. Banyak orang dari usia yang lebih muda dan cukup sadar mengatakan bahwa matematika adalah ilmu yang tidak perlu, bahwa setelah sekolah / institut, itu tidak berguna di mana pun dalam kehidupan.

Namun kenyataannya, tidak demikian - matematika diciptakan sebagai mekanisme untuk menggambarkan dunia kita, dan khususnya, banyak hal yang dapat diamati. Itu ada di mana-mana, di setiap rumah. Sebagai V.O. Klyuchevsky: "Bukan salah bunganya bahwa orang buta tidak melihatnya."

Dunia kita jauh dari sesederhana kelihatannya, dan matematika, sesuai dengan ini, juga menjadi lebih kompleks, meningkat, memberikan landasan yang semakin kokoh untuk pemahaman yang lebih dalam tentang realitas yang ada.

Matematikawan Rusia menemukan bukti Hipotesis Riemann 3 Januari 2017

Bernhard Riemann

Ingat, aku sudah memberitahumu tentang . Jadi, di antaranya adalah hipotesis Riemann.

Pada tahun 1859, matematikawan Jerman Bernhard Riemann mengambil ide lama Euler dan mengembangkannya dengan cara yang sama sekali baru, mendefinisikan apa yang disebut fungsi zeta. Salah satu hasil dari pekerjaan ini adalah formula eksak untuk jumlah bilangan prima hingga batas tertentu. Rumusnya adalah jumlah yang tidak terbatas, tetapi analis tidak asing dengan itu. Dan itu bukan permainan pikiran yang tidak berguna: berkat formula ini, dimungkinkan untuk memperoleh pengetahuan baru yang asli tentang dunia bilangan prima. Hanya ada satu masalah kecil. Meskipun Riemann dapat membuktikan bahwa rumusnya tepat, implikasi potensial yang paling penting darinya bergantung sepenuhnya pada satu pernyataan sederhana tentang fungsi zeta, dan pernyataan sederhana itulah yang tidak pernah dapat dibuktikan Riemann. Satu setengah abad kemudian, kami masih belum berhasil melakukannya.

Hari ini, pernyataan ini disebut hipotesis Riemann dan, pada kenyataannya, merupakan cawan suci matematika murni, yang tampaknya telah "ditemukan" matematikawan Rusia.

Ini mungkin berarti bahwa ilmu matematika dunia berada di ambang ajang internasional.

Pembuktian atau sanggahan hipotesis Riemann akan berdampak luas bagi teori bilangan, khususnya di bidang distribusi bilangan prima. Dan hal ini dapat mempengaruhi kemajuan teknologi informasi.

Hipotesis Riemann adalah salah satu dari tujuh Masalah Milenium, di mana Institut Matematika Tanah Liat (Cambridge, Massachusetts) akan membayar hadiah satu juta dolar AS untuk menyelesaikan setiap masalah tersebut.

Dengan demikian, bukti dugaan dapat memperkaya matematikawan Rusia.

Menurut hukum tidak tertulis dari dunia ilmiah internasional, keberhasilan Igor Turkanov tidak akan sepenuhnya diakui sampai beberapa tahun kemudian. Namun, karyanya telah dipresentasikan pada Konferensi Fisika dan Matematika Internasional di bawah naungan Institut Matematika Terapan. Keldysh RAS pada September 2016.

Kami juga mencatat bahwa jika bukti Hipotesis Riemann yang ditemukan oleh Igor Turkanov diakui benar, maka solusi dari dua dari tujuh "masalah milenium" sudah akan dikreditkan ke akun matematikawan Rusia. Salah satu masalah ini adalah "hipotesis Poincaré" pada tahun 2002. Pada saat yang sama, dia menolak bonus $1 juta dari Clay Institute yang menjadi haknya.

Pada tahun 2015, Profesor Matematika Opeyemi Enoch dari Nigeria mengklaim bahwa ia mampu memecahkan Hipotesis Riemann, tetapi Institut Matematika Clay menganggap Hipotesis Riemann tidak terbukti hingga sekarang. Menurut perwakilan lembaga tersebut, agar prestasi tersebut dapat dicatat, maka harus diterbitkan dalam jurnal internasional bereputasi, dengan selanjutnya dikonfirmasi pembuktiannya oleh komunitas ilmiah.

sumber

Ilmu matematika. Bekerja pada mereka memiliki dampak luar biasa pada pengembangan bidang pengetahuan manusia ini. 100 tahun kemudian, Clay Mathematical Institute menyajikan daftar 7 masalah yang dikenal sebagai Masalah Milenium. Masing-masing dari mereka ditawari hadiah sebesar $1 juta.

Satu-satunya masalah yang muncul di antara kedua daftar teka-teki yang telah menghantui para ilmuwan selama lebih dari satu abad adalah hipotesis Riemann. Ia masih menunggu keputusannya.

Catatan biografi singkat

Georg Friedrich Bernhard Riemann lahir pada tahun 1826 di Hannover, dalam keluarga besar seorang pendeta miskin, dan hidup hanya 39 tahun. Ia berhasil menerbitkan 10 karya. Namun, sudah selama hidupnya, Riemann dianggap sebagai penerus gurunya Johann Gauss. Pada usia 25, ilmuwan muda itu mempertahankan disertasinya "Dasar-dasar teori fungsi variabel kompleks." Kemudian dia merumuskan hipotesisnya, yang menjadi terkenal.

bilangan prima

Matematika muncul ketika manusia belajar berhitung. Pada saat yang sama, ide pertama tentang angka muncul, yang kemudian mereka coba klasifikasikan. Beberapa dari mereka telah diamati memiliki sifat umum. Secara khusus, di antara bilangan asli, yaitu yang digunakan untuk menghitung (menomori) atau menentukan jumlah benda, dibedakan kelompok yang hanya dapat dibagi satu dan sendiri. Mereka disebut sederhana. Bukti elegan dari teorema infinity dari himpunan bilangan tersebut diberikan oleh Euclid dalam Elements-nya. pada saat ini pencarian mereka berlanjut. Secara khusus, yang terbesar dari yang sudah diketahui adalah angka 2 74 207 281 - 1.

rumus Euler

Bersamaan dengan konsep infinity dari himpunan bilangan prima, Euclid juga mendefinisikan teorema kedua pada satu-satunya kemungkinan dekomposisi menjadi faktor prima. Menurutnya, setiap bilangan bulat positif adalah produk dari hanya satu himpunan bilangan prima. Pada tahun 1737, matematikawan besar Jerman Leonhard Euler mengungkapkan teorema tak terhingga pertama Euclid dalam bentuk rumus di bawah ini.

Ini disebut fungsi zeta, di mana s adalah konstanta dan p mengambil semua nilai prima. Pernyataan Euclid tentang keunikan ekspansi langsung mengikutinya.

Fungsi Riemann zeta

Rumus Euler, pada pemeriksaan lebih dekat, benar-benar menakjubkan, karena mendefinisikan hubungan antara bilangan prima dan bilangan bulat. Lagi pula, di sisi kirinya, banyak ekspresi yang hanya bergantung pada bilangan prima dikalikan, dan di sisi kanan ada jumlah yang terkait dengan semua bilangan bulat positif.

Riemann melangkah lebih jauh dari Euler. Untuk menemukan kunci masalah distribusi angka, ia mengusulkan untuk mendefinisikan formula untuk variabel nyata dan kompleks. Dialah yang kemudian menerima nama fungsi zeta Riemann. Pada tahun 1859, ilmuwan menerbitkan sebuah artikel berjudul "Pada jumlah bilangan prima yang tidak melebihi nilai yang diberikan", di mana ia merangkum semua idenya.

Riemann menyarankan menggunakan deret Euler, yang konvergen untuk setiap s>1 nyata. Jika rumus yang sama diterapkan pada kompleks s, maka deret akan konvergen untuk setiap nilai variabel ini dengan bagian real yang lebih besar dari 1. Riemann menerapkan prosedur kelanjutan analitik, memperluas definisi zeta(s) ke semua bilangan kompleks, tetapi "membuang" unit. Itu dikeluarkan karena untuk s = 1 fungsi zeta meningkat hingga tak terhingga.

arti praktis

Sebuah pertanyaan alami muncul: apa yang menarik dan penting tentang fungsi zeta, yang merupakan kunci dari karya Riemann pada hipotesis nol? Seperti yang Anda ketahui, saat ini tidak ada pola sederhana yang telah diidentifikasi yang akan menggambarkan distribusi bilangan prima di antara bilangan asli. Riemann dapat menemukan bahwa jumlah pi(x) bilangan prima yang tidak melebihi x dinyatakan dalam distribusi nol non-sepele dari fungsi zeta. Selain itu, Hipotesis Riemann adalah kondisi yang diperlukan untuk membuktikan perkiraan waktu untuk pengoperasian beberapa algoritma kriptografi.

Hipotesis Riemann

Salah satu rumusan pertama dari masalah matematika ini, yang belum terbukti hingga hari ini, berbunyi seperti ini: fungsi zeta 0 non-sepele adalah bilangan kompleks dengan bagian real sama dengan . Dengan kata lain, mereka terletak pada garis Re s = .

Ada juga hipotesis Riemann umum, yang merupakan pernyataan yang sama, tetapi untuk generalisasi fungsi zeta, yang biasanya disebut fungsi-L Dirichlet (lihat foto di bawah).

Dalam rumus (n) adalah beberapa karakter numerik (modulo k).

Pernyataan Riemannian dianggap sebagai apa yang disebut hipotesis nol, karena telah diuji konsistensinya dengan data sampel yang ada.

Seperti yang dikatakan Riemann

Pernyataan matematikawan Jerman itu awalnya dirumuskan dengan agak santai. Faktanya adalah bahwa pada saat itu ilmuwan akan membuktikan teorema tentang distribusi bilangan prima, dan dalam konteks ini, hipotesis ini tidak memiliki banyak arti. Namun, perannya dalam memecahkan banyak masalah lain sangat besar. Itulah sebabnya asumsi Riemann saat ini diakui oleh banyak ilmuwan sebagai yang paling penting dari masalah matematika yang belum terbukti.

Seperti yang telah disebutkan, untuk membuktikan teorema distribusi, hipotesis Riemann penuh tidak diperlukan, dan cukup untuk secara logis membenarkan bahwa bagian nyata dari nol non-sepele dari fungsi zeta berada dalam interval dari 0 hingga 1. Dari sini properti berikut bahwa jumlah atas semua 0-th Fungsi zeta yang muncul dalam rumus yang tepat di atas adalah konstanta terbatas. Untuk nilai x yang besar, mungkin hilang sama sekali. Satu-satunya anggota rumus yang tetap sama bahkan untuk x yang sangat besar adalah x itu sendiri. Istilah kompleks yang tersisa menghilang secara asimtotik dibandingkan dengannya. Jadi jumlah bobotnya cenderung ke x. Keadaan ini dapat dianggap sebagai konfirmasi kebenaran teorema distribusi bilangan prima. Dengan demikian, nol dari fungsi zeta Riemann memiliki peran khusus. Itu terletak pada kenyataan bahwa nilai-nilai tidak dapat memberikan kontribusi yang signifikan terhadap formula ekspansi.

Pengikut Riemann

Kematian tragis akibat tuberkulosis tidak memungkinkan ilmuwan ini untuk mengakhiri programnya secara logis. Namun, Sh-Zh mengambil alih darinya. de la Vallée Poussin dan Jacques Hadamard. Secara independen satu sama lain, mereka menyimpulkan teorema tentang distribusi bilangan prima. Hadamard dan Poussin berhasil membuktikan bahwa semua fungsi zeta 0 nontrivial berada dalam pita kritis.

Berkat karya para ilmuwan ini, arah baru dalam matematika muncul - teori analitik angka. Kemudian, beberapa bukti yang lebih primitif dari teorema yang sedang dikerjakan Riemann diperoleh oleh peneliti lain. Secara khusus, Pal Erdős dan Atle Selberg bahkan menemukan rantai logis yang sangat kompleks yang mengkonfirmasinya, yang tidak memerlukan penggunaan analisis yang rumit. Namun, pada titik ini, beberapa teorema penting telah dibuktikan melalui ide Riemann, termasuk aproksimasi banyak fungsi teori bilangan. Dalam hal ini, karya baru Erdős dan Atle Selberg praktis tidak berpengaruh apa-apa.

Salah satu bukti paling sederhana dan paling indah dari masalah ini ditemukan pada tahun 1980 oleh Donald Newman. Ini didasarkan pada teorema Cauchy yang terkenal.

Apakah Hipotesis Riemannian mengancam fondasi kriptografi modern?

Enkripsi data muncul seiring dengan munculnya hieroglif, lebih tepatnya, mereka sendiri dapat dianggap sebagai kode pertama. Saat ini, ada seluruh area kriptografi digital yang sedang berkembang

Bilangan prima dan "semi-prima", yaitu bilangan yang hanya habis dibagi 2 bilangan lain dalam kelas yang sama, membentuk dasar dari sistem kunci publik yang dikenal sebagai RSA. Ini memiliki aplikasi terluas. Secara khusus, ini digunakan saat membuat tanda tangan elektronik. Berbicara dalam istilah yang dapat diakses oleh boneka, hipotesis Riemann menegaskan keberadaan sistem dalam distribusi bilangan prima. Dengan demikian, kekuatan kunci kriptografi, yang menjadi sandaran keamanan transaksi online di bidang e-commerce, berkurang secara signifikan.

Masalah matematika lain yang belum terselesaikan

Layak untuk menyelesaikan artikel dengan mencurahkan beberapa kata untuk tugas-tugas milenium lainnya. Ini termasuk:

• Kesetaraan kelas P dan NP. Masalahnya dirumuskan sebagai berikut: jika jawaban positif untuk pertanyaan tertentu diperiksa dalam waktu polinomial, apakah benar jawaban untuk pertanyaan ini sendiri dapat ditemukan dengan cepat?
• Hipotesis Hodge. Dengan kata sederhana, dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk beberapa jenis varietas aljabar proyektif (spasi), siklus Hodge adalah kombinasi objek yang memiliki interpretasi geometris, yaitu siklus aljabar.
• Hipotesis Poincare. Ini adalah satu-satunya Tantangan Milenium yang telah terbukti sejauh ini. Menurutnya, objek 3 dimensi apa pun yang memiliki sifat khusus bola 3 dimensi harus berbentuk bola hingga mengalami deformasi.
• Pernyataan teori kuantum Yang-Mills. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa teori kuantum yang diajukan oleh para ilmuwan ini untuk ruang R 4 ada dan memiliki cacat massa ke-0 untuk setiap grup pengukur kompak sederhana G.
• Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer. Ini adalah masalah lain yang berkaitan dengan kriptografi. Ini menyangkut kurva eliptik.
• Masalah keberadaan dan kelancaran solusi persamaan Navier-Stokes.

Sekarang Anda tahu hipotesis Riemann. Secara sederhana, kami telah merumuskan beberapa Tantangan Milenium lainnya. Bahwa mereka akan terpecahkan atau akan dibuktikan bahwa mereka tidak memiliki solusi adalah masalah waktu. Dan tidak mungkin ini harus menunggu terlalu lama, karena matematika semakin banyak menggunakan kemampuan komputasi komputer. Namun, tidak semuanya tunduk pada teknologi, dan pertama-tama, intuisi dan kreativitas diperlukan untuk memecahkan masalah ilmiah.